UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA MATEMATICA I GUIA 02 Carrer Carrera a profes profesion ional al : Ingeni Ingenierí ería a de Minas Minas Profesor : Jo Jose Quintana Quispe Semestre : 2010-I Fecha : 29/04/2010 ————————————————————————————————————— 1. Hallar Hallar el dominio y rango de las relaciones relaciones
2 ) R = (x; y) 2 ) R = (x; y) 2 ) R = f(x; y) 2 ) R = (x; y) 2 ) ) R = (x; y) 2
a ) R = (x; y ) b
c d
e f
1 =y = x x 4x; y 0 g ) R = (x; y) 2 R R=y = R=y = =y = p 2x 3x 5 R R=y = =y = 4 x R R=x = y 1 h ) R = (x; y ) 2 R R=x y 2x + y 4 = 0 = y R R=yx 2y x = 0g p i ) R = (x; y ) 2 R R= x 4 y = y p R R= x + y = 1 j ) R = (x; y) 2 R R= x 6x + 5 y = 4y4y 1 R R=x y + xy = xy = 5 2
R
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2. R es una relación binaria de…nida por R = (x; y) Z Z= 1 2x 2x + 1 < 1 < y < 5 , m es la suma de todos los elementos del dominio de R y n es n es la suma de todos los elementos del rango. Hallar m Hallar m + n:
f
2
g
3. Sea R = (x; y) N N=x2 2x = y = y;; si 0 si 0 < x mentos del dominio de R de R 1 : Hallar 261 :
2
5 ; 0 2 N: Si m es la suma de los ele-
m
2
m
4. Sea el conjunto S = 2; 3; 4 . Si R1 = (x; y) S 2 =y = x ; R2 = (x; y) S 2 =y = =y = x x ; n (R2 ) + n (R3 ) R3 = (x; y) S 2 =y x = 1 : Hallar el valor de n (R3 )
f
2
g
2 6
5. En A = 1; 2; 3; 4 se considera considera la relación relación R2 = a…rma que R que R es:
f
g
2
2
(x; y) 2 A =y = =y = x x _ x + y = 3 : Se
Re‡exivaa a ) Re‡exiv b ) Simétrica
ransitiva c ) Transitiva equivalencia. d ) De equivalencia. ¿Cuáles son verdaderas? justi…que su respuesta.
2
2 B=x y = 2 ; R = f(x; y) 2 B A=x < yg :
6. Sea A = 2; 3; 8; 9 y B = 4; 6; 7 ; R1 = (x; y) A Hallar Ran Hallar Ran (R1 ) Dom (R2 )
f
g [
f
g
2
7. Dadas las siguientes siguientes relaciones: relaciones: (1; 3) ; (2; (2; 3) ; (4; (4; 5) ; (7; (7; 5) ; (8; (8; 11) ; Dom (R1 ) = A = A = 1; 2; 3; 4; 5 a ) R1 = (1;
f g f g (1; 2) ; (2; (2; 3) ; (3; (3; 4) ; (2; (2; 5) ; (4; (4; 5)g ; Dom (R ) = A = A = f1; 2; 3; 4g b ) R = f(1; 21x x = 0g ; Dom (R ) = A = A = N c ) R = f(x; y ) =7y 21 2
2
3
3
1
d ) R4 = (x; y) =xy + 2 = 35 ; Dom (R4 ) = A = N
f
g
¿Cuáles de estas a…rmaciones de…nen funciones de A
! N:?
8. Discutir y gra…car las relaciones (Determine las intersecciones, simetrías, extensión, asíntotas y tabule) a ) xy 2 b ) y2
2
g ) xy2 + xy
1=0 x 3y 4 = x = 2 2
d ) x2 y2
3
x 2
2
2
2
2
x +y +1=0 e ) xy 2x y 3 = 0 f ) x y + 4x 4y = 0 2
6x 3 = 0 4x 3y + 12x = 0 2
x2 + 1 i ) y = 2x2 5x + 2 x2 25 j ) y = x+1 4x2 k ) y2 = 2 x 4
x2
2
c ) y =
h ) xy
2
2
9. Si f es una función de A en B, f : N a…rmaciones son siempre verdaderas?
! N: tal que f (x) = 3x + 2: ¿Cuáles de las siguientes
a ) f (5a + 7b) = 5f (a) + 7f (b) b ) Para todo b
2 N; existe un a 2 N tales que f (a) = b f (17) 1 c ) f [f (2)] = 2
f (a + b) d ) b
f (a) = 3; b 6= 0
10. ¿Cuáles de los siguientes conjuntos describen funciones A
A; si A = f1; 2; 3; 4; 5g
(x; y) 2 A =x = 4 ) R = (x; y) 2 A =y = 4 ) R = (x; y) 2 A =x + y = 6 ) R = (x; y) 2 A =x < y
a ) R1 =
2
b
2
2
2
c
3
d
4
2
11. Sea f : Q
! Q tales que f (x) = mx + b; con m y b constantes, tal que 2f (2) + f (4) = 21 y f ( 3) 3f (1) = 16: Hallar el valor de f (1) : 12. Sea el conjunto A = f1; 2; 3; 4g : Se de…ne en A las funciones g (x) = mx + bx + c, f = f(1; 1) ; (2; 3) ; (4; 2) ; (3; 3) ; (4; m)g : Si f (1) = g (1) y g (2) = 4; hallar el rango de g : 13. Sea f : Z ! Z de…nida por f (x) = 4 (x 1) : De las a…rmaciones siguientes ¿Cuáles 1 3
2
2
son verdaderas? a ) f (x
2
1) = 4 x b ) f (1 x) = f (x 1) c ) Siempre existe un x 2 Z donde se cumple f (x + 1) > 4:
14. Determinar el dominio, rango y gra…car cada una de las funciones siguientes 2
2
a b
2
x ; si x < 1 ) f (x) = 3xx; 2;si six 14 x 4 ) f (x) = x;p si 4x <2;xsi x< 6 2
c ) f (x) =
x 4; si x < 3 ) f (x) = si x 3 2xx 9;1; si x < 4
d
2
x2 + 2x
2
e ) f (x) =
5x
2; si x 4
3; si 1 < x < 1
15. De todos los triángulos rectángulos cuyos catetos suman 10cm, halla las dimensiones de aquel cuya área es máxima. 16. De la función f (x) = x 2 + ax + b se sabe que: Tiene un mínimo en x = 2; su grá…ca pasa por el punto (2; 2) : Teniendo en cuenta estos datos, ¿Cuánto vale la función en x = 1? 17. Calcula p y q de modo que la curva y = x 2 + px + q contenga al punto ( 2; 1) y tenga un mínimo en x = 3:
18. Entre todos los triángulos isóceles de perímetro 30cm, ¿Cuál es el de área máxima? 19. Con una cartulina rectangular de 2m por 3m se quiere construir una caja sin tapa. Para ello se recorta un cuadrado de cada uno de los vértices. Calcula el lado del cuadrado para que el volumen de la caja sea máximo. 20. Sea BCD un triángulo como se muestra ela …gura adjunta. Eligiendo cuatro puntos de este triángulo se construye un rectángulo como PQRS . a ) Expresar el área del rectángulo como función de la longitud x del lado indicado. b ) Determinar las dimensiones del rectángulo como PQRS que tenga área máxima.
