Problemas y Ejercicios ( Conjunto Conjunto Acotados ) Conjuntos Acotados Definición: Sea A ⊂ R, A ≠ φ . Se dice que α ∈ R es una cota superior (respectivamente inferior) de A, si α ≥ x ( α ≤ x respectivamente), ∀ x ∈ A . Definición: a) Se dice que un conjunto A es acotado superiormente (mayorado), si el conjunto de las cotas superiores de A es no vacío. b) Se dice que un conjunto A es acotado inferiormente (minorado), si el conjunto de las l as cotas inferiores de A es no vacío. Definición: Se dice que A es acotado si es acotado superior e inferiormente. Definición: Sea A ⊂ R, A ≠ φ . Se denomina denomina extremo superior (respectivamente extremo inferior) de Ay Ay se nota supA (respectivamente infA) a la menor de las cotas superiores (respectivamente inferiores) de A.
Caracterización del extremo superior y del extremo inferior Sea A ⊂ R, A ≠ φ . Un número real b es el extremo superior de A si verifica: verifica: i. ii.
b es es un una co cota su superior. c es otra cota superi erior y c ≥ b .
Sea A ⊂ R, A ≠ φ . Un número real c es el extremo inferior de A si verifica: i. ii.
c es una cota superi erior. d es otra cota superi erior y
c ≤ d .
Teorema 1: El extremo inferior (respectivamente superior) si existe, es único.
Demostración: Sea c un extremo extr emo inferior, supondremos que existe otro extremo inferior d, de A, siendo d ≠ c , entonces d ≤ c . Por otro lado, como c es extremo inferior, c ≤ d . Luego se sigue que c = d , lo que es una contradicción con la hipótesis. hipótesis. Por lo tanto el extremo extremo inferior es único. Teorema 2: Sea A ⊂ R, A ≠ φ un conjunto acotado superiormente y sea b = sup A . Entonces, para todo ε > 0, ∃ x ∈ A , tal que x > b − ε .
Demostración: Supondremos que ∃ε 0 > 0 tal que ∀ x ∈ A , x ≤ b − ε , con lo que obtenemos que b − ε es una cota superior de A pero como además b − ε < b , se tienen una contradicción, pues ninguna cota superior puede ser menor que el extremo superior. superior.
Por lo tanto lo que supusimos es incorrecto y entonces podemos concluir que para todo ε > 0, ∃ x ∈ A , tal que x > b − ε .
Axioma de Completez: Sea A ⊂ R, A ≠ φ . Si A es acotado superiormente, entonces entonces existe un extremo extre mo superior. Teorema 3: Sea A ⊂ R, A ≠ φ . Si b es una cota superior de A, tal que ∀ε > 0, ∃ x ∈ A , tal que x > b − ε , entonces b = sup A
Demostración: Si c es una cota superior de A, debemos demostrar que
c≥b
.
Supongamos entonces que c < b , esto implica que b − c > 0 . Como se cumple para todo ε , podemos tomar uno en particular. particular. Sea ε = b − c > 0 , por hipótesis existe un x ∈ A , tal que x > b − b + c , es decir x > c , lo que es una contradicción pues ningún elemento del conjunto puede ser mayor que una cota superior. superior. Por lo tanto b es el supA. Teorema 4: (Propiedad Arquimediana): Sean x, y ∈ R , x > 0 . Entonces existe n ∈ Z + tal que nx > y .
Demostración: Como x ≠ 0, x y ∈ R , y dado que Z + no es acotado superiormente, existe un n ∈ Z + , tal que n > y x , de donde se sigue que nx > y .
Ejercicios:
n ; n ∈ N es acotado inferiormente: n +1
1. Demostrar que A =
Solución: Tenemos que n ≥ 0 y n + 1 ≥ 0 . Luego
n n +1
≥ 0 y existe entonces una cota inferior
que es 0. Por lo tanto A es acotado. 2 + 2. Si A = { x ∈ R : x ≤ 2} , probar que existe el supA.
Solución: i. Debe Debem mos prim rimero ero dem demos ostr trar ar que A ≠ φ . En efecto, como 1 ≤ 2 , A es no vacío. ii. ii.
Debem Debemos os pro proba barr ahor ahoraa que que A es aco acotad tado o supe superi riorm ormen ente te..
Sea x ∈ A , si x < 1 , entonces x 2 < x < 1 , y por lo tanto 1 es una cota superior. superior. Si x > 1 , entonces x < x 2 < 2 , es decir x < 2 , por lo tanto 2 es una cota superior. Finalmente, como A ≠ φ es acotado superiormente, por el axioma de completez, existe es supA=b.
3. Si A = [ 2;3[ , probar que sup A = 3 .
Solución: Vamos a suponer que 3 no es sup A . Tomamos b como cota superior b ≠ 3 , entonces se presentan dos opciones. a) sup A = b > 3 Este caso es una contradicción, contradicci ón, puesto que como 3 es una cota superior, si existiese otra cota b, mayor que 3, esta debería cumplir con b < 3 . b) sup A = b < 3 Si b < 3 , entre b y 3 existe al menos un z, que sería:
b<
b+3
b+3
2
<3
∈ [ 2,3[ . Lo que es una contradicción contradicción pues ningún z ∈ A puede ser 2 mayor al sup A . Por lo tanto sup A = 3 . Con
4. Probar que Z+ no es acotado superiormente.
Solución: Supongamos que Z+ es acotado superiormente. Como Z+ ≠ φ , por el axioma de completez, existe sup Z+=b. Es decir: b = sup Z + ⇒ ∀ε > 0, ∃n ∈ Z + : n > b − ε Según este resultado, esto se cumple para cualquier ε y en particular para ε = 1 , tal + que n0 > b − 1 , de donde se sigue que n0 + 1 > b y como n0 + 1 ∈ Z se tiene una contradicción, pues ningún elemento puede ser mayor que el supremo de A. Por lo tanto lo que supusimos es incorrecto y entonces podemos decir que Z+ no es acotado superiormente.
+ 5. Probar que ∀ε > 0, ∃n ∈ Z tal que n = 1 ε
Solución:
Tomando E como x y y=1 en e n la propiedad Arquimediana, se tiene el resultado.
n , n ∈ N Probar que sup A = 1 . n +1
6. Sea A =
Solución: Desarrollando este conjunto tenemos,
1 2 3 A = 0, , , ,4..... 2 3 4 Por teoremas 2 tenemos que: sup A = 1 ⇒ ∀ε > 0, ∃ x ∈ A, x > 1 − ε Luego, 1 − ε <
n
n
⇒1−
n +1
n +1
⇒ ⇒
< ε
n +1− n n +1 1 n +1
< ε
< ε
Por la propiedad arquimediana, tenemos que ε es mayor para cualquier 1 n , por lo tanto es cierto que 1 − ε <
n n +1
Finalmente, siendo
n n +1
= x , concluimos que sup A = 1.
