Teoria Relaciones y Funciones

Relaciones y funciones Entender los conceptos de Relación y de Función es de suma importancia en Matemática. Para lograr esa comprensión es necesario adentrarnos en la noción de Correspondencia, ya que esta tiene un papel fundamental en las relaciones y funciones. Lo primero es entender que Correspondencia es equivalente a Relación. En nuestra lengua, decir “en relación a”, es equivalente a decir “corresponde a”. Ejemplos:

En una tienda comercial, cada artículo está relacionado con su precio o sea, a cada artículo le corresponde un precio. En la guía telefónica, cada cliente está relacionado con un n!mero o sea, a cada nom"re de la guía le corresponde un n!mero.

Definición matemática de Relación y de Función En matemática, Relación es la correspondencia de un primer con#unto, llamado Dominio, con un segundo con#unto, llamadoRecorrido o Rango, de manera que a cada elemento del $ominio le corresponde uno o más elementos del %ecorrido o %ango. Por su parte, una Función es una relación a la cual se a&ade la condición de que a cada valor del $ominio le corresponde uno y sólo un valor del del %ecorrido. $e las definiciones anteriores podemos deducir que todas las funciones son relaciones, pero no todas las relaciones sonfunciones. 'am"i(n 'am"i(n de"emos agregar que toda ecuación es una Relación, pero no toda ecuación es una Función. 'odas las Relaciones pueden ser graficadas en el Plano )artesiano. Ver: lano Cartesiano

$ados dos con#untos * y + una relación definida de * en + es un con#unto de pare#as ordenadas  par ordenado- que acen verdadera una proposición dico de otro modo, una relación es cualquier su"con#unto del producto cartesiano * / + Ejemplo !.

0i * 1 23, 45 y + 1 26, 7, 85, encontrar tres relaciones definidas de * en +. "olución

El producto cartesiano de * / + está conformado por las siguientes pare#as o pares ordenados9 * / + 1 23, 6-, 3, 7-, 3, 8-, 4, 6-, 4, 7-, 4, 8-5 : cada uno de los siguientes con#untos c orresponde a relaciones definidas de * en +9 %6 1 23, 6-, 4, 6-5 %3 1 23, 7-, 3, 8-, 4, 7-, 4, 8-5 %4 1 23, 7-, 4, 8-5 La relación %6 se puede definir como el con#unto de pares cuyo segundo elemento es 6, esto es, %6 1 2#, y- ; y 1 65.

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La relación %3 está formada por los pares cuyo primer componente es menor que el segundo componente, %3 1 2#, y- ; # < y5 : la relación %4 está conformada por todos los pares que cumplen con que el segundo componente es dos unidades mayor que el primer componente, dico de otro modo, modo, %4 1 2#, y- ; y 1 / = 35 *sí, se puede continuar enumerando enumerando relaciones definidas a partir partir de * / +. )omo se puede ver, la regla regla que define la relación se puede escri"ir mediante ecuaciones o desigualdades que relacionan los valores de # e y. Estas reglas son un medio conveniente para ordenar en pares los elementos de los dos con#untos. Ejemplo $.

$ados los con#untos ) 1 26, >45 y $ 1 23, 4, ?5, encontrar todos los pares ordenados  #, y- que satisfagan la relación % 1 2#, y- ; # = y 1 45 "olución

El producto cartesiano de ) / $ está formado por los siguientes pares ordenados ) / $ 1 26, 3-, 6, 4-, 6, ?-, >4, 3-, >4, 4-, >4, ?-5 Las pare#as ordenadas que satisfacen que la suma de sus componentes sea igual a 4 son9 % 1 26, 3-, >4, ?-5 'oda 'oda relación queda definida si se conoce el con#unto de partida, el con#unto de llegada y la regla mediante la cual se asocian los elementos. En el e#emplo anterior, el con#unto de partida corresponde al con#unto C, el con#unto de llegada es el con#unto D y la e/presión # % y & ' es la regla que asocia los elementos elementos de los dos con#untos.

Dominio y rango de una relación El dominio de una relación es el con#unto de preimágenes( es decir, el con#unto formado por los elementos del con#unto de partida que están relacionados. *l con#unto de imágenes , esto es, elementos del con#unto de llegada que están relacionados, se le denomina recorrido o rango . Ejemplo '

0ea * 1 26, 3, 4, 75 y + 1 27, 8, ?, @, A5 y % la relación definida de * en + determinada por la regla “ y es el do"le de #” o “y 1 3#”, encontrar dominio y rango de la relación. "olución

El total de pares ordenados que podemos formar, o producto cartesiano es9 * / + 1 26, 7-, 6, 8-, 6, ?-, 6, @-, 6, A-, 3, 7-, 3, 8-, 3, ?-, 3, @-, 3, A-, A-, 4, 7-, 4, 8-, 4, ?-, 4, @-, 4, A-, 7, 7-, 7, 8-, 7, ?-, 7, @-, 7, A-5 Pero los pares que pertenecen a la relación % y 1 3/- son solo9 % 1 23, 7-, 4, ?-, 7, A-5 En esta relación vemos que9 “7 es el do"le de 3” esto es, “7 es la imagen de 3 "a#o %”, dico de otro modo, “3 es preimagen de 7”.





0eg!n lo que vemos, BCu( relación ay entre el $ominio y el con#unto de partidaD En el $ominio falta el elemento 6 del con#unto de partida, por lo tanto el $ominio es un su"con#unto de *. tra pregunta9 B'odo B'odo elemento del con#unto de llegada es elemento del rangoD La respuesta es no, pues en el rango faltan el 8 y el @.

Representación gráfica de las relaciones Los pares ordenados se pueden representar gráficamente por medio de diagramas sagitales o por medio de puntos en el plano cartesiano. Feamos el siguiente e#emplo. Ejemplo )

0i * 1 26, 3, 4, 7, 85 y + 1 26, 4, 8, 8, @, G5 y % la relación definida por la regla % 1 2#, y- ; y 1 3# = 65, graficar graficar %.

"olución

Los pares ordenados que pertenecen a la relación que cumplen con y 1 3/ = 6- son9 % 1 26, 4-, 3, 8-, 4, @-, 7, G-5 : la gráfica correspondiente es la siguiente9

Funciones *atemáticas: Conceptos +ásicos





Ver: Relaciones y funciones

En lengua#e cotidiano o más simple, diremos que las funciones matemáticas equivalen al proceso lógico com!n que se e/presa como “depende de”. Las funciones matemáticas pueden referirse a situaciones cotidianas, tales como9 el costo de una llamada telefónica que depende de su duración, o el costo de enviar una encomienda que depende de su peso. * modo modo de e#emplo, Bcuál sería sería la regla que relaciona los n!meros de la dereca con los de la iHquierda en la siguiente listaD9 6 IIIIIIIIJ 6 3 IIIIIIIIJ 7 4 IIIIIIIIJ G 7 IIIIIIIIJ 6? Los n!meros de la dereca son los cuadrados de los de la iHquierda. La regla es entonces Kelevar al cuadradoK9 6 IIIIIIIIJ 6 3 IIIIIIIIJ 7 4 IIIIIIIIJ G 7 IIIIIIIIJ 6? / IIIIIIIIJ /3. Para referirse a esta regla podemos podemos usar un nom"re, que por lo general es la letra f de de función-. Entonces, f es es la regla Kelevar al cuadrado el n!meroK. sualmente se emplean dos notaciones9 / IIIIIIIIJ /3

o

f,#- & #$ .

*sí, f4- significa aplicar aplicar la regla f a 4. *l acerlo resulta 4 3 1 G. Entonces f4- 1 G. $e igual modo f3- 1 7, f7- 1 6?, fa- 1 a 3, etc. Feamos algunos e#emplos que constituyen funciones matemáticas. Ejemplo !

)orrespondencia entre las personas que tra"a#an en una oficina y su peso e/presado en ilos Conjunto 

Conjunto /

Nngela

88

Pedro

AA

Manuel

?3





)ada persona perteneciente al con#unto  o dominio - constituye lo que se llama la entrada o varia1le independiente. )ada peso perteneciente al con#unto / o codominio- constituye lo que se llama la salida o varia1le dependiente. otemos que una misma persona no puede tener dos pesos distintos. otemos tam"i(n que es posi"le que dos personas diferentes tengan el mismo peso. Ejemplo $

)orrespondencia entre el con#unto de los n!meros reales varia"le independiente- y el mismo con#unto varia"le dependiente-, definida por la regla Kdo"le del n!mero más 4K. # 22222223 $# % ' o "ien f,#- & $# % '

*lgunos pares de n!meros que se corresponden por medio de esta regla son9 Conjunto 

Conjunto /

Desarrollo

Q3

Q6

fQ3- 1 3Q3- = 4 1 Q7 = 4 1 Q 6

Q6

6

fQ6- 1 3Q6- = 4 1 Q3 = 4 1 6

O

4

fO- 1 3O- = 4 1 O = 4 1 4

6

8

f6- 1 36- = 4 1 3 = 4 1 8

3

@

f3- 1 33- = 4 1 7 = 4 1 @

4

G

f4- 1 34- = 4 1 ? = 4 1 G

7

66

f7- 1 37- = 4 1 A = 4 1 66

)on estos e#emplos vamos entendiendo la noción de función9 como vemos, todos y cada uno de los elementos del primer con#unto,- están asociados a uno, y sólo a uno, del segundo con#unto ,/-. 'odos y cada uno significa que no puede quedar un elemento en sin su correspondiente elemento en /. * uno y sólo a uno significa que a un mismo elemento en  no le pueden corresponder dos elementos distintos en /. *ora podemos enunciar una definición definición más formal9 na función f- es una regla que asigna a cada elemento # de un con#unto  ,dominio- e/actamente un elemento, llamado f,#-, de un con#unto / ,codominio,codominio-. tra definición equivalente es9 sean  e / dos con#untos. na función de  en / es una regla o un m(todoque asigna un y sólo uno- elemento en / a cada elemento en . sualmente R e : son con#untos de n!meros. SeneraliHando, si se tiene una función f , definida de un con#unto * en un con#unto +, se anota f : 4 222223 + ,o0 usando  por 4 e / por +

f :  222223 /- o f,#- & #

%ecordemos de nuevo que el primer con#unto * se conoce como dominio $om- de la función y + es el codominio o con#unto de llegada.





El rango %g- o recorrido %ec- o ám1ito *- es el con#unto de todos los valores posi"les de f,#- que se o"tienen cuando # varía en todo el dominio de la función. Ejemplo '

0uponga que el con#unto * de salida- es * 1 26, 3, 45 y que el con#unto + de llegada- es + 1 2O, 7, ?, A, 6O, 635 y que la relación de dependencia o correspondencia entre * y + es Kasignar a cada elemento su cuádruploK. Famos Famos a e/aminar si esta relación es una función de * en + y determinaremos dominio y recorrido. Veamos:

* los elementos 6, 3 y 4 del con#unto * les corresponden, respectivamente, los elementos 7, A y 63 del con#unto +. )omo a cada elemento de * le corresponde un !nico elemento de :, la relación de dependencia es una función función de * en +-. $ominio 1 26, 3, 45

%ecorrido 1 27, A, 635

otar que el recorrido es un su1conjunto del codominio + 1 2O, ), ?, 5, 6O, !$5 *quí de"emos recordar que toda toda función es una relación, pero no todas las relaciones son funciones. )omo e#emplos de relaciones que son funciones y algunas que no lo son, veamos las siguientes9 0i tenemos los con#untos 4 1 26( 3( 4( 75, + 1 26( 3( 4( 7( 85

Podemos esta"lecer las relaciones f 1 2 6( 3-( 3( 4-( 4( 7-( 7( 8- 5 g 1 2 6( 3-( 6( 4-( 3( 7-( 4( 8-( 7( 8- 5 6 1 2 6( 6-( 3( 3-( 4( 4- 5:

Está claro que f , g y 6 son relaciones de 4 en +, pero sólo f es una función todos los elementos del con#unto * tiene tiene su correspondiente elemento en "- g no es función ya que 6 ( 3- y 6( 4- repiten un elemento del dominio el 6-. 'ampoco 6 es una función ya que Dom6- 1 26( 3( 45 7 4 falta el 7-. Ejemplo )

0ea R 1 2Q7, Q6, O, 7, G5, : 1 2Q7,Q4, Q3, Q3, Q6, O, 6, 3, 4, 75 y que la regla de correspondencia es K asignar a cada elemento de R el resultado de e/traer su raíH cuadradaK. Famos Famos a determinar si esta regla constituye función de R en :. Veamos:

* simple simple vista se aprecia que los n!meros n!meros O, 7, G tienen imagen en :  -, pero a los n!meros Q7 y Q6 no les corresponden elementos en :. )omo e/isten elementos de R que no se corresponden con elementos de :, esta relación no es función de R en :.

Dominio y rango de una función







En cam"io, la función tiene como dominio todos los valores de # para los cuales Q6< # < 3, porque aunque pueda tomar cualquier valor real diferente de >3, en su definición determina en qu( intervalo está comprendida. 0i el dominio no se específica, de"e entenderse que el dominio incluye a todos los n!meros reales para los cuales la función tiene sentido. En el caso de la función , el dominio de esta función son todos los n!meros reales mayores o iguales a >4, ya que # = 4 de"e ser mayor o igual que cero para que e/ista la raíH cuadrada. Como resumen0 para determinar el dominio de una función0 de1emos considerar lo siguiente:

0i la función tiene radicales de índice par, el dominio está conformado por todos los n!meros reales para los cuales la cantidad su"radical sea mayor o igual a cero. 0i la función es un polinomio una función de la forma f,#- & a % a!# % a$#$ %...% an#n donde a0 a!0 a$0...0 an son constantes y nun entero no negativo-, el dominio está conformado por el con#unto de todos los n!meros reales. 0i la función es racional esto es, si es el cociente de dos polinomios, el dominio está conformado por todos los n!meros reales para los cuales el denominador sea diferente de cero. El rango recorrido o ám1ito- es el con#unto formado por todas las imágenes es decir, es el con#unto conformado por todos los valores que puede tomar la varia"le dependiente estos valores están determinados además, por el dominio de la función. Ejemplo

Tdentificar dominio y rango de la función Veamos:

)omo la función tiene radicales el dominio está conformado por todos los valores para los cuales # > 3 U O. Esto es, el dominio de la función incluye todos los reales que son mayores o iguales a 3. El rango es igual al con#unto de los n!meros reales positivos incluyendo el cero puesto que al reemplaHar los valores del dominio se o"tienen !nicamente valores positivos "a#o la función f .

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