estadistica - regresion

Regresión y Correlación

ESTADÍSTICA I

TAREA 5 ANÁLISIS DE REGRESIÓN Y CORRELACIÓN LINEAL SIMPLE . 1.

Se tomó una muestra para analizar cuál es la relación entre la edad (en meses) y el peso (en kilogramos) de niños en edad pre escolar, en donde se obtuvo los siguientes resultados.

          

      a)

Hallar la edad promedio de la muestra y sus medidas de dispersión. X = Edad (meses) Y = Peso (kg)

I.

Media aritmética:

      51  II.

Varianza:

1122 57809− 1,258.884 57809−57.222 587 57809− 22    22−122   21 21 21   27.9 27.952 5233 ≅ 28   III.

Desviación Estándar:

√27.952380955.28700113≅5.3 45.72 ≤̅ ≤56.28  3.8 años

4.7 años

I nterpre nterpr etaci tación ón: La edad promedio de los niños de preescolar se encuentra entre 3.8 años y 4.7 años.

IV.

Coeficiente de Variación:

 . ×100%10.39215686 ≅10.4%

CV

I nterpre nterpr etaci tación ón: La muestra es homogénea

Lic. Jessica Chalco Suárez – Lic. Wilbert Colque Candia

1


b)

ESTADÍSTICA I

Hallar el peso promedio de la muestra y sus medidas de dispersión.

I.

Media aritmética

  308 22 14 II.

Varianza

308 308 4505− 94.864 4505−4312 193 4505−   22−122  21 22  21  21 9.19047619  9.19047619≅9  III.

Desviación Estándar

  √ 9.9.1904 190476 7619 19  3.0315 031579 7981 8188 ≅ 3   11.969≤ ≤17.031 IV.

Coeficiente de Variación

  143 ×100%21.428571413≅21% I nter nter pr etaci tación: ón: La muestra es homogénea

c)

Estime un modelo según una relación lineal entre la edad y el peso de los niños, interprete el coeficiente de regresión.

+ +  2216002 16002 −1122 −1122308 308  352044−345576  6468 .   22 22 2257809 57809 − 1122 1122 1271798−1258884 12914 ≅0.5 1122  308 −0.5(1122)14−0.5   308 −  51 14−25.5−. 22 22 22 22 )14−0.551 − −11.5 11.5 + 0.5 0.5 × I nter nter pr etaci tación: ón: El coeficiente de regresión b=0.5 nos indica que por cada mes que pasa, el peso en promedio aumenta en 500 gramos


2


d)

ESTADÍSTICA I

Estimar cuanto será el peso para u=n niño de 58 meses de edad.

 −11.5+0.558   −11.5+29    17.5 .  e)

Estimar que edad aproximada tiene un niño que pesa 12.5 Kg.

12.5+11.5  48  ≅ 4 ñ  +11.5  0.5 0.5 f)

Hallar la varianza residual de la regresión.

∑   ∑ 2 − ∑− −2 −11.5 × 308 − 0.5 × 16002 2.3 4505−   20 g)

Determinar el coeficiente de correlación, interprete.

16002−225114   √ 57809−2251   4 505−2214 0.87 Existe una relación correlación positiva fuerte h)

Hallar el coeficiente de determinación, interprete. E indicar a su criterio que otros factores determinan el peso de los niños.

 0.87 ×100%76.3% I nterpretación: La variabilidad del peso de los niños es explicado en un 76.3% por la variabilidad en su edad. Otros factores que determinan el peso de los niños en edad preescolar es la alimentación, (número de comidas por día), altura, ingreso económico de los padres.


3


2.

ESTADÍSTICA I

En la comunidades A y B se realizó un estudio para determinar si la agilidad mental de los niños esta en relación directa con su edad. Se escogieron 10 niños de cada comunidad y se les aplico un test para medir su agilidad mental con los siguientes resultados. Comunidad A

  

Comunidad B

 .

     .

 .

      COMUNIDAD A a)

Encontrar por el método de mínimos cuadrados la curva que mejor se ajuste entre la edad y la agilidad mental de los niños, interprete el coeficiente de regresión.

 +∗ /

Dónde:

− ∑ ∑  101888−80225  2.75    ∑  ∑  − ∑  10675−80 ∑   225 −2.75 80 0.5   ∑ −    10 10 I nterpretación: El coeficiente de regresión indica que si la edad aumenta en un año, en promedio la agilidad mental aumenta en 2.75 IQ. b)

Estimar cuanto será la agilidad mental de un niño de 7 años de edad.

  a+ b edad x  7 ; entonces /  0.5+2.757. / Si la edad

c)


Sy  ∑Y

 − a∑Y − b∑XY

n−2

 5549−0.5225−2.751888  30.4375 10−2


4


d)

ESTADÍSTICA I


∑XY−nXY r   ∑ X −nX  ∗  ∑ Y −nY 1888−10∗ 822.5 r   672−108  ∗  5549−1022.5 0.7052 I nterpretación: Existe una correlación positiva fuerte e)

Hallar el coeficiente de determinación, interprete. E indicar a su criterio que otros factores determinan la agilidad mental de los niños.

   ∗100% 0.7052 ∗100%49.73% I nterpretación: La variabilidad de la agilidad mental es explicado en un 49.73% por la variabilidad en la edad. Otros factores que determinan la agilidad mental son: la alimentación, motivación, interés, etc.

COMUNIDAD B a)

Encontrar por el método de mínimos cuadrados la curva que mejor se ajuste entre la edad y la agilidad mental de los niños, interprete el coeficiente de regresión.

 +∗ /

Dónde:

− ∑ ∑  101835−85209  .    ∑  ∑  − ∑  10747 −85 ∑   209 −2.39 85 .   ∑ −    10 10 I nterpretación: El coeficiente de regresión indica, que si la edad aumenta en un año, en promedio la agilidad mental aumenta en 2.39 IQ. b)

Estimar cuanto será la agilidad mental de un niño de 7años de edad.

  a+ b edad x  7 ; entonces /  0.585+2.397 . / Si la edad

c)


Sy  ∑Y

 − a∑Y − b∑XY

n−2


5


ESTADÍSTICA I

Sy  4783−0.585209−2.391835 . 10−2 d)


∑XY−nXY r   ∑ X −nX  ∗  ∑ Y −nY 1835−108.520.9 r   747−108.5  ∗  4783−1020.9  . I nterpretación: Existe una correlación positiva fuerte e)

Hallar el coeficiente de determinación, interprete. E indicar a su criterio que otros factores determinan la agilidad mental de los niños.

   ∗100% 0.58 ∗100%33.64% I nterpretación: La variabilidad de la agilidad mental es explicado en un 33.64% por la variabilidad en la edad. Otros factores que determinan la agilidad mental son: la alimentación, motivación, interés, etc.

3.

Se desea saber si hay relación entre el tiempo que le dedican al estudio fuera de horas de clase y el rendimiento académico en un determinado curso, dando los siguientes resultados:

  180  6141 a)

  40

  457  1035.92 2430.7

Hallar el tiempo promedio de estudio fuera de clases y sus medidas de dispersión

X: TIEMPO (horas) I.

Promedio:

II.

Varianza:

̅  180 40  .    ∑

  −∑

 − 1

III.

 180 401035. 9 2 −  . 4039


    . 2.09≤̅ ≤6.91 I nterpretación: El tiempo promedio se encuentra comprendido entre 2.09 horas y 6.91 horas

IV.

Coeficiente de Variación:


6


CV =

b)

ESTADÍSTICA I

 ×100% .  53,56 %  ̅ .

(La muestra no es homogénea)

Hallar el rendimiento académico promedio y sus medidas de dispersión.

Y: RENDIMIENTO ACADÉMICO (puntos) I.

Promedio:

II.

  457 11.43 40 Varianza:   −∑ 406141 − 457 ∑    − 1  4039 23.58

III.


     4.86 6.57≤ ≤ 16.29 ≅ 7 ≤  ≤ 16 I nterpretación: El rendimiento académico promedio está comprendido entre los 7 puntos y 16 puntos.

IV.

Coeficiente de variación: CV =

c)

 ×100% .  42.52 %  .

(La muestra no es homogénea)

Estime un modelo según una relación lineal entre horas de estudio fuera de clase y su rendimiento académico , interprete el coeficiente de regresión

 +∗ℎ  −  ̅  2430.7−404.511.43 1.65   ∑  ∑ − ̅  1035.92−40  4.5 A = 11.43 – (1.65) (4.5) = 4

 4+1.65ℎ  I nterpretación: Por cada hora que se estudia fuera de clases se logra un incremento promedio respecto al rendimiento académico en 1.65. d)

Estimar cuanto será el rendimiento académico para un alumno que estudia 3.5 horas

 +∗ℎ    ̂ 4+1.653.5 > 9.78 ≅ 10   e)

Estimar cuantas horas de estudio un alumno que obtuvo una nota de 14 puntos

144+1.65ℎ Lic. Jessica Chalco Suárez – Lic. Wilbert Colque Candia

7


ESTADÍSTICA I

  ̂  141.65−4  6.06 ≅ 6 ℎ f)

Hallar la varianza residual de la regresión

 =

∑ − ∑ − ∑   6141−4457−165 2430.7  7.96 −2 38

Sxy = 2.82 => El modelo es confiable g)

Determinar el coeficiente de correlación, interprete

−  ̅ 373.3 0.82    ∑   − ∑   ̅  ∗  ∑  −   454.7 I nterpretación: Existe una correlación positiva fuerte h)

Hallar el coeficiente de determinación, interprete. E indicar a su criterio que otros factores determinan el rendimiento académico.

   ∗100 % > 0.82 ∗100% >67.24% I nterpretación: La variabilidad de la variable respuesta es explicado por el coeficiente de determinación el cual es 67.24%, otros f actores que determinan la variabilidad del rendimiento académico son: alimentación, salud, materiales didácticos, estilos de aprendizaje, etc.


8


4.

ESTADÍSTICA I

Los siguientes datos corresponden a las notas obtenidas en dos exámenes parciales aplicados a ocho alumnos. Primer examen

8

13

14

7

10

11

13

9

Segundo examen

10

12

11

9

14

13

11

8

a)

Realizar el diagrama de dispersión para estos datos y analizar. Gráfica de dispersión de primer examen vs. segundo examen 14 13 12

n e

m 11 a x e r

e 10 mi r p

9 8 7 8

9

10

11

12

13

14

segundo examen

I nterpretación: Del diagrama de dispersión se observa que no existe relación entre las dos variables estudiadas.

b)

Hallar la ecuación de regresión lineal considerando como variable dependiente al segundo examen.

Análisis de regresión: Segundo examen vs. Primer examen La ecuación de regresión es:

   7.294 + 0.3488∗ Primer examen c)

Determinar si el modelo es confiable.

:   0      :  ≠ 0    

Hipótesis nula Hipótesis alterna

Regla de decisión: (Análisis de varianza)


9

Regresión y Correlación  

ESTADÍSTICA I

  > 0.05     ℎ    < 0.05     ℎ 

Análisis de Varianza Fuente GL SC MC F P Regresión 1 5.5804 5.58038 1.49 0.268 Error 6 22.4196 3.73660 Total 7 28.0000

I nterpretación: El modelo no es confiable. d)


Correlación: Primer examen, Segundo examen Correlación de Personas de Primer examen y Segundo examen = 0.446

I nterpretación: El tipo de correlación entre las variables es positiva débil, dado que el coeficiente de correlación es 0.446.

e)

Hallar el coeficiente de determinación, interprete. Indicar a su criterio que otros factores determinan las notas obtenidas en el segundo examen. S = 1.93303 R-cuad. = 19.9% R-cuad. (Ajustado) = 6.6%

I nterpretación: La variabilidad de la variable respuesta es explicado por el coeficiente de determinación el cual es 19.9%, otros factores que determinan la variabilidad son: horas asistidas a clases, horas que se dedican al estudio fuera de clase, desempeño del docente, etc.


10


5.

ESTADÍSTICA I

Las pruebas acerca del consumo de combustible de un vehículo que viaja a diferentes velocidades produjeron los siguientes resultados. Velocidad 20 30 40 50 60 Consumo 18.3 18.8 19.1 19.6 19.8

70 20

80 20.6

90 21

a) Realizar el diagrama de dispersión para estos datos y analizar la tendencia. Gráfica de línea ajustada Consumo = 1 7.63 + 0.03667 Velocidad S R-cuad. R-c uad.(aj ust ado)

21.0

0.1 1 0554 98.7% 9 8.5 %

20.5

20.0 o m u s 19.5 n o C 19.0

18.5

18.0 20

30

40

50

60

70

80

90

Velocidad

Del diagrama de dispersión se observa una tendencia lineal creciente, es decir; a mayor velocidad mayor consumo

b) Encontrar por el método de mínimos cuadrados la curva que mejor se ajuste entre la velocidad y el consumo, interprete el coeficiente de regresión. Análisis de regresión: Consumo vs. Velocidad La ecuación de regresión es: Consumo = 17.63 + 0.03667 Velocidad

I nterpretación: El coeficiente de regresión

0.036 indica que por cada kilómetro

recorrido se consume en promedio 0.036 galones de combustible

c)

Estimar cuanto será el consumo de combustible si el auto va a una velocidad de 75 k/h. Consumo = 17.63 + 0.03667 * 75 =20.33 galones

d) Estimar cuanto será la velocidad del auto si ha consumido 25 galones de combustible.


11


ESTADÍSTICA I

Consumo = 17.63 + 0.03667 * Velocidad

−17.63  25 −17.63  204.72 /ℎ Velocidad Consumo 0.036 0.036 e)

Hallar consumo de combustible promedio y su desviación estándar. Estadísticos descriptivos: Velocidad, Consumo Variable Consumo

f)

Media 19.650

Desv.Est. 0.904

Varianza 0.817

CoefVar 4.60

Hallar la velocidad promedio y su desviación estándar. Estadísticos descriptivos: Velocidad, Consumo Variable Media Velocidad 55.00

Desv.Est. Varianza CoefVar 24.49 600.00 44.54

g) Determinar si el modelo es confiable. Hipótesis:

:   0      ℎ  :  ≠ 0     ℎ  Regla de decisión: (Análisis de varianza)  

  > 005     ℎ    < 005     ℎ 

Análisis de Varianza Fuente GL SC MC F P Regresión 1 5.64667 5.64667 462.00 0.000 Error 6 0.07333 0.01222 Total 7 5.72000

I nterpretación: Como P = 0000 < 0.05 entonces se rechaza la hipótesis nula, es decir: el modelo es confiable

h) Determinar el coeficiente de correlación, interprete. Correlación: Velocidad, Consumo Correlación de Pearson de Velocidad y Consumo: r = 0.994 Valor p = 0.000


12


ESTADÍSTICA I

I nterpretación: Existe una correlación positiva fuerte

i)

Hallar el coeficiente de determinación, interprete. E indicar a su criterio que otros factores determinan el consumo de combustible. S = 0.110554 R-cuad. = 98.7% R-cuad.(ajustado) = 98.5%

I nterpretación: La variabilidad de la variable respuesta en este caso el consumo de combustible es explicado por el coeficiente de determinación el cual es 98.7%, otros factores que determinan la variabilidad del consumo de combustible son: Tiempo de uso del vehículo, carga del vehículo, etc.

6.

Sea Y la producción (en millones ) de un determinado articulo fabricado por una compañía durante los años 1999 al 2008 como se observa en el siguiente cuadro: Años 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 Producción 92.2 92.3 80 89.1 83.5 68.9 69.2 67.1 58.3 61.2 a)

Realizar un diagrama de dispersión y analizar la tendencia.

Gráfica de dispersión de Producción vs. Años 95 90 85 n ó i c c u d o r P

80 75 70 65 60 2006

2008

2010

2012

2014

2016

Años

I nterpretación: Existe una tendencia lineal negativa entre las dos variables X (Años), Y (Producción). También se le conoce como relación i nversa o tendencia decreciente


13


b)

ESTADÍSTICA I

Encontrar la recta de regresión que estime la producción en función del tiempo.

Gráfica de línea ajustada Producción = 8071 - 3,975 Años 95

S R-cuad. R-cuad.(ajustado)

90

4,69844 88,1 % 86,6%

85

n 80 ó i c c

u 75 d or P

70 65 60 2006

2008

2010

2012

2014

2016

Años

La ecuación de regresión es:

8071−3.975∗ñ I nterpretación: El coeficiente de regresión b = -3.975, indica que por cada año trabajado en la compañía la producción desciende en promedio 3.9 Millones de unidades c)

Estimar la producción de artículos para el año 2009.

8071−3.975∗ñ Reemplazando: Producción = 8071 - 3.975 (2017) = 53.425

I nterpretación: Para el año 2017 la producción artículos será de 53.425 millones.

d)


Correlación: Años; Producción Correlación de Pearson de Años y Producción = -0,938 Valor p = 0,000


14


ESTADÍSTICA I

I nterpretación: Existe una correlación negativa fuerte

e)

Hallar el coeficiente de determinación, interprete. S = 4.69844

R-cuad. = 88.1%

R-cuad.(ajustado) = 86.6%

I nterpretación: El coeficiente de determinación es de 88.1%, la variabilidad del modelo de regresión nos explica en un 88.1%.con respecto a la producción en función al tiempo.

7.

Se sabe que la producción de algodón de un país, expresada en millones de toneladas, fueron:

Años 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 Producción 8 10 12 15 15 18 19 23 30 a)


Gráfica de dispersión de Produccion vs. Años 30

25

n o i c c u d o r P

20

15

10

2006

2007

2008

2009

2010

2011

2012

2013

2014

2015

Años

I nterpretación: Existe una tendencia lineal positiva entre las dos variables X (Años), Y (Producción), también se le conoce como relación directa o tendencia creciente


15


b)

ESTADÍSTICA I

Encontrar la recta de regresión que estime la producción en función del tiempo.

Gráfica de línea ajustada Producci ón = - 481 0 + 2.400 Años S R-cuad. R- cu ad.(aj ust ad o)

30

1 .94202 92.9% 9 1 .9 %

25

n ói

c 20 c u d or

P 15

10

2006

2007

2008

2009

2010

2011

2012

2013

2014

2015

Años

Análisis de regresión: Producción vs. Años La ecuación de regresión es:

−4810+2.4 ñ I nterpretación: El coeficiente de regresión

2.4 indica que por cada año trabajado la

producción aumenta en promedio 2.4 millones de toneladas de algodón

c)

Determinar si el modelo es confiable.

:   0      :  ≠ 0    


Regla de decisión: (Análisis de varianza)  

  > 005     ℎ    < 005     ℎ 

Análisis de Varianza:


16


ESTADÍSTICA I

Fuente GL SC MC F P Regresión 1 345.6 345.600 91.64 0.000 Error 7 26.4 3.771 Total 8 372.0

I nterpretación: Como P = 0.000 < 0.05 entonces se rechaza la hipótesis nula, es decir: el modelo es confiable

d)

Estimar la producción de algodón para los tres años siguientes. 

Año = 2016:

−4810+2.4 ñ −4810+2.4∗2016   28.4  

Año = 2017:

−4810+2.4 ñ −4810+2.4∗2017   30.8  

Año = 2018:

−4810+2.4 ñ −4810+2.4∗2018   33.2  f)


Correlación: Años, Producción Correlación de Pearson de Años y Producción = 0.964 Valor p = 0.000

I nterpretación: Existe una correlación positiva fuerte e)

Hallar el coeficiente de determinación, interprete.

S = 1.94202 R-cuad. = 92.9% R-cuad.(ajustado) = 91.9%

I nterpretación: La variabilidad de la producción es explicado por el coeficiente de determinación el cual es 92.9%. Otros factores que determinan la producción


17


8.

ESTADÍSTICA I

El auditor del sistema educativo público ha estudiado los registros del inventario para averiguar si el inventario actual de libros de texto es típico. Las siguientes existencias corresponden a los 5 años anteriores.

Año

2012 2013 2014 2015 2016

Inventario 4620 4910 5490 5730 5990

a)


Gráfica de dispersión de Inventario vs. Años 6000

5750

5500 o i r a t n e v n I

5250

5000

4750

4500 2012

2013

2014

2015

2016

Años

I nterpretación: Existe una tendencia lineal positiva entre las dos variables X (Años), Y (Inventario), también se le conoce como relación directa o tendencia creciente


18


b)

ESTADÍSTICA I

Encontrar la recta de regresión que estime el inventario en función del tiempo.

Análisis de regresión: Inventario vs. Años Gráfica de línea ajustada Inventario = - 71 1 636 + 356,0 Años 6250

S R-cuad. R-cuad.(ajustado)

6000

1 04,435 97,5% 96,6%

5750

oi

r 5500 at n e

v 5250 nI

5000 4750 4500 2012

2013

2014

2015

2016

Años

La ecuación de regresión es:

−711636+356∗ñ I nterpretación: El coeficiente de regresión

356 indica

que por cada año transcurrido el inventario de los libros asciende en promedio 356 libros. c)

Determinar si el modelo es confiable

:   0      :  ≠ 0    


Regla de decisión: (Análisis de varianza)  

  > 005     ℎ    < 005     ℎ 

Análisis de Varianza Fuente

GL

SC

MC

F


P

19

Regresión y Correlación Regresión Error Total

1 3 4

ESTADÍSTICA I 1267360 32720 1300080

1267360 10907

116,20

0,002

I nterpretación: Como P = 0.002 < 0.05 entonces se rechaza la hipótesis nula, es decir: el modelo es confiable

d)

Estimar el inventario para el año 2009.

−711636+356∗ñ Estimando se tiene:

Inventario = - 711636 + 356.0 (2017) = 6060

I nterpretación: Se registrara 6060 libros de texto para el año 2017. e)


Correlación: Años; Inventario Correlación de Pearson de Años y Inventario = 0,987 Valor p = 0,002

I nterpretación: El tipo de Correlación entre las variables es positiva fuerte f)

Hallar el coeficiente de determinación, interprete. S = 104,435 R-cuad. = 97,5% R-cuad. (ajustado) = 96,6%

I nterpretación: La variabilidad del modelo de regresión lineal simple se explicara en un 97.5% con respecto al inventario de libros con el transcurrir de los años.


20

estadistica - regresion

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