reduksi

BAB. I Pengantar Geodesi Geometrik

Pokok Bahasan. 1 I. Waktu Pertemuan Pertemuan ke : 1 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

II. Tujuan Instruksional 1. Umum Setelah mengikuti mata kuliah ini (pada akhir semester), mahasiswa mampu : a. Memahami fungsi dan klasifikasi kerangka kontrol horisontal dalam pemetaan b. Mengetahui keberadaan jaring kerangka kontrol nasional yang ada di Indonesia,

sistem koordinatnya dan datum yang

digunakan. c. Menyelenggarakan jaring kerangka kontrol horisontal secara terestrik untuk kebutuhan pemetaan. d. Mampu melakukan analisis ketelitian dan keterandalan suatu jaring kerangka kontrol horisontal. 2. khusus Setelah mengikuti kuliah ini (pada akhir pertemuan pertama), mahasiswa mampu : a. Mahasiswa memahami model pembelajaran yang diterapkan pada matakuliah Kerangka Kontrol Horisontal (materi yang akan diberikan, tata mengikuti perkuliahan, responsi, praktikum, tugas-tugas, dan evaluasi penilaian).

KTG – 226 : Geodesi Geometrik – Jurusan Teknik Geodesi FTSP-ITENAS,

hal : I – 1

16


b. Mahasiswa dapat menjelaskan definisi dari KKH, membedakan klasifikasi KKH berdasarkan orde (order) dan kelas (class), serta dapat menjelaskan fungsi dari KKH dalam pemetaan. c. Mahasiswa dapat menceritakan kembali sejarah penyelenggaraan JKHN di Indonesia, dimulai dari jaring utama triangulasi hingga dengan Jaring Kontrol Geodesi Nasional (JKGN). d. Mahasiswa

dapat

menjelaskan

keberadaan

jaring

utama

triangulasi Jawa-Sumatra-Bali-Lombok, jaring utama triangulasi Sulawesi, dan jaring utama triangulasi Kalimantan, serta manfaatnya dalam pemetaan e. Mahasiswa dapat menjelaskan keberadaan Jaring Kerangka Kontrol Geodesi Nasional (JKGN) orde nol, dan orde satu, serta dapat menjelaskan manfaatnya dalam pemetaan

III. Pokok Bahasan Sub Pokok Bahasan 1.

Model Matematik Bumi

2.

Rumus-rumus pada permukaan Ellipsoid

3.

Reduksi data ukuran ke Ellipsoid Referensi

IV. Referensi 1.

Abidin, H.Z., Andrew Jones. & Joenil Kahar. (1995) SURVAI DENGAN GPS, PT. Pradnya Paramita, Jakarta, ISBN 979-380-1.

2.

Davis, R.E., Francis S. Foote., James M. Anderson., & Edward M. Mikhail (1981) SURVEYING THEORY AND PRACTICE, McGraw-Hill, Inc.


hal : I – 2


BAB I PENGANTAR GEODESI GEOMETRIK Geodesi merupakan salah satu cabang ilmu matematika terpakai, yang bermaksud dengan jalan melakukan pengukuran-pengukuran, menentukan bentuk dan ukuran bumi, menentukan posisi/koordinat titik-titik, panjang dan arah-arah garis pada permukaan bumi, juga mempelajari medan gravitasi bumi. Secara umum, ilmu geodesi dibagi menjadi 2 (dua) bagian, yaitu : Geodesi geometris, yang menyangkut mengenai bentuk dan

1.

ukuran bumi, penentuan posisi titik, panjang dan arah garis. Geodesi fisis, yang menyangkut masalah medan gravitasi bumi,

2.

dimana studi ini sangat berguna untuk menentukan bentuk bumi. Sejarah penentuan bentuk bumi dimulai dari Pithagoras ( 495 SM ) adalah orang pertama yang mengatakan bahwa bumi ini bulat. Aristoteles (340 SM ) dan Archimedes ( 250 SM ), menyetujui pernyataan Pithagoras, dengan pembuktian hipotesa didasarkan atas fakta-fakta antara lain : 

pada waktu terjadi gerhana dimana bayangan bumi di bulan Nampak berbentuk lingkaran.



pada waktu kapal berlayar menuju pantai, oleh pengamat mula-mula nampak cerobong asapnya kemudian nampak seluruh badannya.

Pembuktian secara eksak, saat itu belum dapat dilakukan karena belum adanya peralatan ukur seperti sekarang-sekarang ini.


hal : I – 3


Erastosthenes ( 250 SM ), seorang astronom yang juga menyatakan bahwa bumi berbentuk bulat. Beliau tidak hanya mengemukakan buktibukti, tetapi juga melakukan percobaan-percobaan untuk mendapatkan ukuran/dimensi dari bumi. Percobaannya adalah sebagai berikut :

A

bayangan tongkat R A

S

tongkat

S = jarak dari Syene – Alexandria = 5.000 stadia R = jari-jari bumi  R = S/A A = sudut pusat = 7,2o

Lihat gambar di atas. Beliau membuat sumur dan mendirikan tongkat masing-masing di Syene dan Alexandria. Jarak kedua tempat tersebut adalah 5000 stadia ( menurut Yordan, 1 stadia = 185 meter ). Pada waktu matahari berada tepat di atas sumur, diukur bayangan tongkat di Alexandria. Dari tinggi dan bayangan tongkat diperoleh sudut A sebesar 7,20. Maka menurut beliau, keliling bumi adalah : Keliling Bumi = 2R = 2 . S/A = 250.000 stadia ≈ 46.250 km Hasil percobaan beliau ternyata 16% lebih besar dari ukuran bumi saat ini, yaitu 40.009 km. Poseidonius ( 90 SM ), melakukan percobaan yang memperoleh besar keliling bumi adalah 44.400 km. Abdullah Al Mamun ( 827 SM ), memperoleh besar keliling bumi adalah 41.436 km. Jean Fernel ( tahun 1525 ), juga memperoleh besar keliling bumi adalah 40.044 km. Beliau bertiga memperoleh besar keliling bumi yang berbeda karena masingmasing melakukan percobaan dengan caranya masing-masing pula. KTG – 226 : Geodesi Geometrik – Jurusan Teknik Geodesi FTSP-ITENAS,

hal : I – 4


Cassini dan para pendukungnya ( sebelum abad 17 ) berpendapat bahwa bumi mempunyai bentuk bulat seperti jeruk asam ( lemon ). Huygens dan Newton, para ahli fisika ini membantahnya dengan mengatakan dengan teori-teorinya bahwa bentuk bumi merupakan jeruk manis ( oranye ). Perbedaan pendapat ini berlangsung cukup lama, yang pada akhirnya

bentuk bumi seperti jeruk manis diperkuat dengan hasil

pengukuran busur meridian oleh para ahli yang tergabung dalam Lembaga Ilmu Pengetahuan Perancis – French Academy of Sciences. Disimpulkan bahwa bumi berbentuk seperti ellips putar dengan sumbu pendek sebagai sumbu putar. Teknik yang digunakan adalah teknik Astro-Geodesi atau Geodesi Geometrik, yaitu kombinasi pengukuran astronomi dan geodesi (teknik triangulasi). Secara sederhana, teknik triangulasi untuk menentukan harga 1 o busur meridian dapat dilihat di gambar di bawah ini.

utara Q

Teknik triangulasi diperkenalkan pertama

5

kali oleh Schnellius (tahun 4

S

panjang 1o busur meridian.

3 1 2

1615) untuk menghitung

o

do

0 = azimuth P ke 1 d0 = jarak P ke 1 S

= jarak P ke Q

P selatan


hal : I – 5


Titik-titik P dan Q yang kira-kira terletak satu meridian dihubungkan melalui segitiga-segitiga yang semua sudut-sudutnya diukur. Kemudian salah satu sisi (sisi P1) diukur jarak dan azimuthnya. Dengan menggunakan sudut-sudut, jarak dan azimuth sisi P1 (sisi awal) maka dapat digambarkan rangkaian segitiga yang dimulai dari titik P sampai titik Q. Untuk menggambarkan rangkaian segitiga tadi, dapat pula dihitung terlebih dulu koordinat titik-titik yang menghubungkan titik P dan Q. Apabila kemudian di titik-titik P dan Q dilakukan pengukuran lintang (dengan pengukuran astronomi), maka dari selisih lintang dan jarak PQ dapat dihitung harga 10 busur meridiannya. Triangulasi Schnellius (tahun 1615) ini diselenggarakan di negeri Belanda, di kira-kira lintang rata-rata 52 0 sebelah utara ekuator, menghasilkan harga 10 busur meridian di daerah tersebut adalah 107,7 km. Triangulasi Picard (tahun 1669), yang diselenggarakan di Perancis, memperoleh harga 1o busur meridian sebesar 111,211 km, pada lintang rata-rata 48o utara. Bouger dan Godin Lacondamina (tahun 1735) mendapatkan harga 1o busur meridian sebesar 110,6 km, dari triangulasi di Peru, pada lintang rata-rata 10o utara. Triangulasi Maupertius, Clairaut dan Celcius (tahun 1736) mendapat

harga

1o busur

meridian

sebesar

111,949

km,

yang

diselenggarakan di Lapland, pada lintang rata-rata 660 utara.

1.1.

Model Matematik Bumi Yang dimaksud dengan bentuk dan ukuran bumi adalah bentuk

dan ukuran dari permukaan air laut rata-rata (geoid) ; bukan bentuk dan ukuran bumi fisik yang sangat tidak teratur.

Geoid ini mempunyai


hal : I – 6


bentuk mendekati suatu ellips putar (ellipsoida). Maka bentuk dan ukuran ellipsoida inilah yang ditentukan. Secara geometrik, ukuran dan bentuk ellipsoida dinyatakan oleh besaran-besaran setengah sumbu panjan/jari-jari ekuator (a) dan pegepengan f (flattening). Berikut adalah para ahli yang tercatat dalam penentuan bentuk bumi, dimana model matematika buminya adalah ellipsoida.

Nama Ahli Everest Bessel Clarke Clarke Hayford Krassovsky Hough Fisher Kaula Fisher Helmert Heiskanen Jeffreys U.S. Army Map Service

tahun 1830 1841 1866 1878 1909 1948 1956 1960 1961 1968 1915 1938 1948 1956

a 6.378.276 6.378.397 6.378.206 6.378.199 6.378.388 6.378.206 6.378.270 6.378.155 6.378.165 6.378.150

6.378.260

1/f 300,80 299,15 294,99 293,15 297,00 298,30 297,00 298,30 298,30 298,30 296,70 297,00 297,10 297,00

Metode Astro Geodesi Astro Geodesi Astro Geodesi Astro Geodesi Astro Geodesi Astro Geodesi Astro Geodesi Astro Geodesi Astro Geodesi Astro Geodesi Pengukuran Gravitasi Pengukuran Gravitasi Pengukuran Gravitasi Astro Geodesi

Di samping cara Astro Geodesi dan Pengukuran gravitasi, penentuan bentuk dan ukuran ellipsoida bumi juga dilakukan dengan pengukuran medan gravitasi bumi dari orbit satelit buatan (artificial satellite); dan masih terus dilakukan sampai saat ini.

1.1.1. Geoid dan Ellipsoid Referensi KTG – 226 : Geodesi Geometrik – Jurusan Teknik Geodesi FTSP-ITENAS,

hal : I – 7


Salah satu facet geodesi geometris adalah menentuan koordinat titik-titik, menentukan jarak dan azimuth garis di muka bumi untuk berbnagai keperluan praktis maupun ilmiah. Untuk maksud tersebut diperlukan suatu bidang hitungan. Permukaan bumi fisik merupakan permukaan yang sangat tidak teratur. Makanya, permukaan bumi fisik tidak dapat digunakan sebagai bidang hitungan geodesi. Agar dapat dilakukan perhitungan-perhitungan geodesi, permaukaan bumi fisik tadi diganti dengan permukaan yang teratur dimana permukaan tersebut harus mempunyai bentuk dan ukuiran yang mendekati bumi, yaitu geoid (bidang nivo (level surface) yang berada pada ketinggian permukaan air laut rata-rata dalam keadaan tenang(undisturb)). Geoid ini mempunyai bentuk sangat mendekati suatu ellips putar (ellipsoida) dengan sumbu pendek sebagai sumbu putar dan berimpit dengan sumbu putar bumi. Ellipsoida inilah yang digunakan sebagai bidang

untuk

keperluan

perhitungan-perhitungan

geodesi,

dan

dinamakan sebagai Ellipsoida Referensi (E.R). Ellipsoida sebagai pengganti geoid merupakan permukaan fiktif yang tidak berimpit dengan geoid maupun permukaan fisik bumi.

geoid ellipsoida

Menurut para ahli permukaan bumi fisik berada ± 9 km di atas dan ± 11 km di bawah GEOID, sedangkan ellipsoida berada beberapa meter sekitar geoid. Berikut adalah E.R yang digunakan oleh beberapa negara. KTG – 226 : Geodesi Geometrik – Jurusan Teknik Geodesi FTSP-ITENAS,

hal : I – 8


Nama Negara India & Malaysia Eropa Tengah Australia Rusia Amerika Perancis Inggris Belanda

Ellipsoida Referensi Everest Bessel Clarke Krasovky Hayford Clarke Airy Bessel

Dengan beberapa pertimbangan, dimungkinkan negara-negara di atas telah mengganti E.R yang digunakannya; misalnya Indonesia.

Tahun

Ellipsoida Referensi

a (meter)

1/f

Sebelum 1971

Bessel 1841

6.377.397

299,15

Tahun 1971

GRS-67 (S.N.I)

6.378.160

298,25

Sekarang

GRS-80

6.378.137

298,25722101

Dari tabel di atas terlihat bahwa ukuran ellipsoida bumi berbeda satu dengan yang lainnya, sehingga hasil hitungannya pun akan berbeda pula. Hal ini tidak menjadi masalah, asalkan pada hasil hitungannya dicantumkan ukuran dan bentuk ellipsoida yang digunakan. 1.1.2. Geometrik Ellipsoida 1.1.2.1. Parameter Ellips Ellips merupakan tempat kedudukan titik-titik yang mempunyai jumlah jarak dari 2 titik tetap adalah konstan dan lebih besar dari jarak kedua titik tetap tadi. Kedua titik tetap tersebut disebut titik pusat/titik fokus ellips.


hal : I – 9


Z

A’

K1

a

A a

 b



F1 O

F2 B



K2

X

OA’ = a = A’B . sin β AB = (b/a).A’B = (b/a).a. sin β = b. sin β OB = a. cos β

Koordinat titik A(AB,OB) di ellips : AB = Z = b. sin β , atau (Z/b) = sin β dikuadratkan

;

kemudian

;

OB = X = a. cos β

(X/a) = cos β . Bila kedua persamaan tersebut dijumlahkan,

maka

akan

menghasilkan

persamaan ellips, yaitu : (Z/b)2 = sin2 β (X/a) 2 = cos2 β 2

+

2

Z  X     1 b a

Bentuk dan ukuran suatu ellips ditentukan oleh besarnya pegepengan (f) dan besarnya setengah sumbu panjang (a), dimana masing-masing didefinisikan sebagai : f 

ab b  1 a a

Besarnya a dan f untuk ellips bumi sekitar 6370 km dan 1 : 300. Di samping a dan f, terdapat besaran-besaran ellips lainnya yang sering digunakan, yaitu b, e, e’. Dengan demikian, besaran a, b, f, e dan e’ ini dinamakan parameter utama ellips (the principal parameters of ellips). KTG – 226 : Geodesi Geometrik – Jurusan Teknik Geodesi FTSP-ITENAS,

hal : I – 10


2

e2 

a 2  b2 b  1     2f  f 2 a2 a

e' 2 

a 2  b2  b     1 b2 a

2

1.1.2.2. Posisi Titik pada Ellips Letak titik pada suatu ellips dinyatakan dengan absis (X) dan ordinat (Z). garis normal Z A’ K1 X b

A Z N 

L 90-L



a O

90+L X

B

Garis normal pada ellips di titik A membentuk sudut L dengan sumbu X.  L = lintang geodetik/geografi.   = lintang reduksi (reduced latitude)   = lintang geosentrik (geocentric latitude) 

K2


hal : I – 11


Maka diperoleh koordinat titik A (X,Z) pada ellips yang dinyatakan dengan lintang geodetik (L) adalah : X Z

a cos L 1 - e 2 sin 2 L a (1  e 2 ) sin L 1 - e 2 sin 2 L

1.1.2.3. Lintang Telah disinggung di atas, bahwa ada 3 macam lintang, yaitu lintang geodetik (L), lintang reduksi () dan lintang geosentrik (). Di antara ketiga macam lintang tersebut terdapat hubungan matematika, yaitu : tg L  tg  

a tg  b 1  e 2 .tg L

tg   (1 - e 2 ) tg L

1.1.2.4. Jari-jari Kelengkungan di setiap titik pada ellips tidak sama. Maka besarnya jari-jari di setiap titiknya akan tidak sama pula.


hal : I – 12


garis normal

Z

M A

X b

N

r

Z 

N a

O

3

1 - e 2 sin 2 L a

1 - e 2 sin 2 L N cos L r cos 

L

B

a (1  e 2 )

X

R

N.M

K2

Terdapat 4 (empat) macam jari-jari, yaitu jari-jari lengkung meridian (M), jari-jari lengkung normal (N), jari-jari geosentrik (r), dan jari-jari lengkung rata-rata Gausz (R). Masing-masing rumus jari-jari tersebut adalah di samping gambar di atas. Apabila dibuktikan secara numerik, maka akan terjadi M = N di saat L = 900.

1.1.2.5. Bola Pengganti Untuk beberapa keperluan, kadang-kadang ellipsoida diganti dengan sebuah bola dengan jari-jari tertentu. Berikut diberikan macammacam bola pengganti ellipsoida. 1. Bola dengan jari-jari Rt. Rt 

aab 3

2. Bola dengan jari-jari Rr (bola reduksi). Rr  a

3. Bola dengan jari-jari Re (bola ekuivalen), yang ditentukan berdasarkan luas bola = luas ellipsoida. 2 2 3 –4 Jurusan 4 6 Teknik Geodesi FTSP-ITENAS, KTG – 226 : Geodesi Geometrik 2 R e  b (1 

e  e  e  ...) 3 5 7

hal : I – 13


4. Bola dengan jari-jari R (bola Gausz). R

N.M

5. Bola dengan jari-jari Rv, yang ditentukan berdasarkan isi bola = isi ellipsoida. R V  a 2b

Catatan : Bola reduksi digunakan oleh Bessel untuk memecahkan Soal



Pokok Geodesi (SPG). Bola ekuivalen digunakan untuk membuat proyeksi peta



ekuivalen. 

Bola Gausz digunakan untuk membuat proyeksi peta konform.



Bila bumi dianggap sebagai bola, ambil R = 6370,3 km.

1.2.

Rumus-rumus pada Permukaan Ellipsoid

1.2.1. Irisan Normal Geodesik


hal : I – 14

II


KU KK UK UU

 

B BR

H

A L

PP

Q Q

KS

 Lingkaran meridian / lingkaran bujur = lingkaran besar yang melalui KU dan KS ; mempunyai bentuk seperti ellips.  Lingkaran paralel / lingkaran lintang = lingkaran yang tegak lurus sumbu KU-KS.  Lingkaran ekuator = lingkaran paralel di saat L = 0.  Bidang H dan I = bidang-bidang normal pada ellipsoid melalui garis normal A. Bidang-bidang normal tersebut akan memotong permukaan ellipsoid dalam irisan normal yang berbentuk ellips dengan ukuran tertentu. (Bila titik A berada di kutub, irisan normalnya berbentuk ellips; bila titik A berada di ekuator, irisan normal utamanya berbentuk lingkaran).  Bidang normal H memotong ellipsoid pada ellips APQRA.  Busur AP dan AB merupakan busur irisan normal bidang H dan I.  Bila irisan normal AP membentuk sudut 90 0 dengan meridian A, irisan normal tersebut dinamakan irisan normal utama.  Irisan normal AB membentuk sudut  (azimuth) dengan meridian A. [ = azimuth irisan normal AB di titik A]. KTG – 226 : Geodesi Geometrik – Jurusan Teknik Geodesi FTSP-ITENAS,

hal : I – 15


Pada permukaan ellipsoid, terdapat unsur-unsur : 

Titik



Garis meridian



Garis paralel



Garis irisan normal



kedua unsur ini sangat erat kaitannya dengan persoalan Sudut



pokok geodesi. Jarak

Sudut pada permukaan ellipsoid dapat merupakan : 

Perpotongan garis meridian dengan garis paralel.



Perpotongan garis meridian dengan garis irisan normal.



Perpotongan garis-garis irisan normal.



Perpotongan antara garis-garis meridian



Perpotongan garis irisan normal dengan garis paralel.

Dari banyak sudut tersebut, yang paling penting adalah : Sudut mendatar yang dibentuk oleh perpotongan bidang (garis)



meridian dengan bidang (irisan) normal, disebut asimut. Sudut mendatar yang dibentuk oleh 2 bidang (irisan) normal,

 dan 

Sudut mendatar yang dibentuk oleh 2 bidang (lingkaran) meridian, disebut selisih bujur.

Jarak antara 2 titik pada permukaan ellipsoid adalah jarak yang dihitung sepanjang irisan normal melalui kedua titik tersebut.


hal : I – 16


B

A

S1 S

S2

Dari gambar di atas, S1 dan S2 adalah garis-garis irisan normal dimana kedua tidak saling berimpit. Maka, garis-garis irisan normal S 1 dan S2 diganti dengan suatu garis lengkung teoritis yang menghubungkan titik A dan B, yang disebut sebagai garis geodetik/geodesik. Geodesik ini merupakan jarak terkecil menghubungkan 2 titik di atas ellipsoid bumi. Irisan normal S1 dan irisan normal S2 tidak berimpit. S1 dan S2 menyatakan jarak dari A ke B dan dari B ke A sepanjang irisan normal masing-masing. U

U

 ’ 1 1 A  S  1 1 11

  2’  1 S1

2 S21

B1


hal : I – 17


dari gambar di atas : S1 = jarak dari A ke B sepanjang irisan normal S2 = jarak dari B ke A sepanjang irisan normal S = jarak dari A ke B sepanjang geodesik 1 = asimut S1 di titik A 1’ = asimut S di titik A (azimuth geodesik) 2 = asimut S2 di titik B 2’ = asimuh S di titik B (azimuth geodesik) Secara teoritis : S1  S2  S ,

1’  1 , dan 2’  2

Rumus perbedaan antara S1 dengan S, S2 dengan S, dan perbedaan asimut di masing-masing titik adalah sebagai berikut : S1  S1  S 

14 14 5 2 , 2 S sin  cos   S 5 sin 2 2 1, ; 1  e' cos L1 1 1 90 N 14 360 N 14

S 2  S 2  S 

 42 S 5 sin 2 2 ,2 ;  2  e' cos L 2 360 N 42

 e' 2 S 2   cos 2 L1 sin 2 1,  1   1,   1    12 N 1   e' 2 S 2  2   ,2   2    12 N 2

  cos 2 L 2 sin 2 ,2 


hal : I – 18


PANJANG BUSUR MERIDIAN dan PARALEL KU

’’

Q

dS

L+dL

1

’

P

Andaikan titik Q dekat sekali dengan titik P.  Jarak PQ = dS = elemen garis (dapat dianggap sbg garis lurus)   = azimuth dS di titik P  dS1 = dS cos   dS2 = dS sin   dB = selisih bujur P dengan Q  dL = selisih lintang P dengan Q 

dB

dS dS

2

L

B

Panjangnya elemen garis dS dapat dinyatakan oleh perubahan koordinat dB dan dL. Perubahan ini didasarkan pada koordinat geodetik titik P dan Q, koordinat dalam sistem koordinat siku ruang, ilmu ukur diferensial diperoleh : dS2 = M2 dL2 + N2 cos2 L dB2 Bila titik Q terletak pada meridian A (berarti dB=0), maka : dS2 = M2 dL2 dS1 = M dL =dS cos  (rumus dasar untuk menghitung panjang busur meridian antara 2titik) Bila titik Q terletak pada paralel A (berarti dL=0), maka : dS2 = N2 cos2 L dB2 dS2 = N cosL dB=dS sin  (rumus dasar untuk menghitung panjang busur paralel antara 2titik). Dari gambar di atas, diperoleh pula : KTG – 226 : Geodesi Geometrik – Jurusan Teknik Geodesi FTSP-ITENAS,

hal : I – 19


dL cos   dS M dB sin   dS N cos L

1.2.3. Konvergensi Meridian KU


hal : I – 20


garis geodesik (irisan normal)

1 1

2 2

1

 3 3

 4

1

41

1

ekuator

KS

Dari gambar di atas, geodesik/irisan normal memotong meridian di titik 1, 2, 3, dan 4. Asimutnya di masing-masing titik dinyatakan oleh 1, 2, 3, dan 4. Karena meridian di masing-masing titik konvergen ke


hal : I – 21


kutub (KU), maka 1  2  3  4 . Perbedaan ini dinamakan konvergensi meridian. Katakan konvergensi meridian di titik 2 terhadap meridian titik 1 adalah 2, dan konvergensi meridian di titik 3 terhadap meridian titik 1 adalah 3. Harga 2 dan 3 mempunyai arti : 2= 2 - 1 3= 3 - 1

Perbedaan 3 dengan 2 disebut konvergensi meridian di titik 3 terhadap meridian di titik 2.

Bila 2 diketahui dan besarnya konvergensi meridian di titik 3 terhadap meridian titik 2, maka 3 dapat dihitung, yaitu : 3= 2 +  Gambar berikut ini untuk mengetahui besarnya .











d = ’ -  adalah perubahan azimuth di titik 2 adalah p1 = jari-jari lingkaran paralel titik 1 p2 = jari-jari lingkaran paralel titik 2 Maka perubahannya : -dp = -d(N cos L) = M sin L dL Perubahan busur lingkaran paralelnya : M sin L dL dB


hal : I – 22


KU dB

d

’’

2

dS

L+dL

1

’

1

dS

22’’

dS

2

22”

L

B

Maka : M sin L dL dB  sin L . dB M dL tg L d  sin  . dS N d tg L  sin  dS N d 

1.2.4. Busur Meridian


hal : I – 23


KU

M

L

G  G

22

 L

OO

L2

dLdL

Gd L L1

11

ekuator

N

Andaikan dS1 (pada bahasan di atas) merupakan elemen busur meridian dG, maka dG = dS1 = M dL. Dan karena M di setiap titik pada meridian tidak sama besarnya, maka bila akan dihitung panjang busur meridian antara L1 dan L2 maka G merupakan jumlah dari dG. Secara matematika dituliskan sebagai berikut. G  E 0 L  E 2 (sin 2L 2  sin 2L1 ) 

E4 (sin 4L 2  sin 4L1 ) 4

L  ( L 2  L 1 ) /  o dimana :

A ; A 1 o B  - a (1  e 2 ) ;B 2 C  a (1  e 2 ) ;C 4  57, o 2957795

E 0  a (1  e 2 ) E2 E4 o

3 2 45 4 175 6 e  e  e  4 64 256 3 2 15 4 525 6 e  e  e  4 16 512 15 4 105 6 e  e  64 526

11025 8 43659 10 e  e  ... 16384 65536 2205 8 72765 10 e  e  ... 2048 65536 2205 8 10395 10 e  e  ... 4096 16384

Bila L1 = 0 dan L2 = L, maka persamaan di atas menjadi : KTG – 226 : Geodesi Geometrik – Jurusan Teknik Geodesi FTSP-ITENAS,

hal : I – 24


KU 22

11

GM L OO N

ekuator

G  E 0 L  E 2 sin 2L  E 4 sin 4L  ...

G = panjang busur meridian dari ekuator sampai L

L 

E G E2  sin 2L  4 sin 4L  ... Eo Eo Eo

L = besarnya harga lintang yang dihitung dari G

1.2.5. Busur Paralel


hal : I – 25


KU

Dari rumus dS = dS2 = N cosL dB, maka

panjang

p

22

busur

lingkaran

paralel antara bujur B1 dan B2 p

B

adalah :

11

P

P  N cos L (B 2  B1 )

ekuator

B2

OO

1.3.

B1

Reduksi Ukuran


hal : I – 26


Hitungan

Kerangka

Horisontal

Geodesi

untuk

keperluan

pemetaan, baik terestris maupun fotogrametris, dilakukan pada bidang datar atau pada permukaan Ellipsoida Referensi (ER). Sedangkan hasil pengukuran, yaitu sudut horizontal jarak azimuth, lintang dan bujur dilakukan di permukaan bumi. Mengingat adanya perbedaan antara bidang pengukuran dan bidang hitungan, maka juga berarti bahwa geometri unsur ukuran dengan unsur yang bersangkutan pada bidang hitungan juga berbeda. Hal ini berarti pula unsure yang diperoleh dari hasil ukuran tidak boleh begitu saja digunakan dalam perhitungan. Apabila langsung digunakan, terlepas dari kesalahan pengukuran dan perhitungan, akan memberikan hasil koordinat yang kontradiktif. Sebagai contoh : titik P akan ditentukan posisinya dari titik A dan titik B. Dari titik A dilakukan pengukuran poligon ke titik P, dan dari titik B juga dilakukan pengukuran poligon ke titik B. Apabila data ukuran langsung digunakan, maka akan menghasilkan hitungan yang berbeda dari titik A dan dari titik B terhadap titik P. Oleh karena itu, untuk menghindari perbedaan perhitungan, maka unsur-unsur hasil ukuran harus direduksi/dikoreksi terlebih dahulu sehinggan menjadi unsur-unsur yang bersangkutan di bidang hitungan. Reduksi/koreksi pada unsur-unsur ukuran sampai menjadi unsurunsur yang bersangkutan pada bidang hitungan, secara bertahap meliputi:

unsur-unsur ukuran KTG – 226 : Geodesi Geometrik – Jurusan Teknikke Geodesi FTSP-ITENAS, reduksi

hal : I – 27


permukaan geoid

reduksi ke

permukaan Ellipsoida Referensi

reduksi ke

bidang datar/proyeksi

1).

Reduksi ke Permukaan Geoid Maksud reduksi ini bertujuan untuk menghilangkan kontradiksi hasil ukuran akibat adanya perbedaan sistem referensi. Contoh : pengukuran jarak mendatar dari A ke B akan berbeda dengan jarak mendatar dari B ke A, apabila titik-titik A dan B tidak sama tingginya dan cukup jauh jaraknya. Dalam prakteknya, reduksi ini dilakukan ke permukaan air laut rata-rata, dengan anggapan bahwa geoid berimpit dengan permukaan air laut rata-rata tersebut.


hal : I – 28


Geoid global

Geoid merupakan bidang ekuipotensial gaya berat (bidang nivo) yang terletak pada ketinggian permukaan air laut rata-rata dalam keadaan tenang (undisturb).

2).

Reduksi ke Permukaan Ellipsoida Referensi Karena permukaan geoid tidak teratur, maka permukaannya tidak dapat digunakan sebagai bidang hitungan. Oleh karena itu, permukaan geoid diganti dengan permukaan matematika yang mempunyai bentuk dan ukuran seperti geoid. Permukaan tersebut, secara global, merupakan suatu permukaan ellips putar (ellipsoida / sferoid). geoid/muka laut rata-rata permukaan bumi fisik

Ellipsoida Referensi


hal : I – 29


Apabila telah ditetapkan suatu ellipsoida dengan ukuran tertentu sebagai pengganti geoid, bentuk geoid tidak akan sama benar dengan ellipsoidnya, akan terdapat penyimpangan/undulasi di berbagai arah. Hal ini disebabkan karena pola distribusi arah gaya berat (arah vertikal) pada geoid tidak sama dengan pola distribusi arah-arah garis normal pada ellipsoida. Dengan adanya kenyataan ini, maka unsur-unsur di geoid kemudian direduksi ke permukaan ellipsoida. Ellipsoida dengan ukuran

tertentu

sebagai

pengganti

geoid,

dimana

pada

permukaannya dilakukan hitungan-hitungan geodesi, dinamakan Ellipsoida Referensi ( ER ).

3).

Reduksi ke Bidang Datar / Bidang Proyeksi / Bidang Hitungan Apabila bidang datar akan digunakan sebagai bidang referensi hitungan, maka unsur-unsur pada ER dipindahkan/ditransformasikan ke bidang datar menggunakan rumus-rumus proyeksi peta. Karena adanya pemindahan unsur-unsur dari ER ke bidang proyeksi, maka perubahan-perubahan yang terjadi, baik itu perubahan besar maupun kecil, perlu diketahui besarnya. Yang kemudian ikut diperhitungkan perubahan yang terjadi tersebut di atas.

1.3.1. Reduksi Jurusan Jurusan mendatar dari satu titik ke titik lain pada ER diartikan sebagai jurusan dari garis geodesik yang melalui kedua titik tersebut. Sedangkan pengertian jurusan mendatar pada bidang datar adalah jurusan dari garis penghubung lurus yang melalui kedua titik tersebut.


hal : I – 30


2 l 12

1

Dari gambar di atas, apabila dari titik 1 (di muka bumi) diukur sudut jurusan mendatar ke titik 2 (di muka bumi), maka jurusan ukuran ini menyatakan jurusan irisan bidang vertikal yang dibentuk oleh garis vertikal di titik 1 dan titik 2 dengan bidang nivo melalui titik 1. Untuk memperoleh jurusan geodesik pada ER, maka jurusan ukuran ini harus mendapat reduksi agar menjadi jurusan dari irisan bidang normal yang dibentuk oleh garis normal di titik 1 (tegak lurus ER) dan titik 2 dengan ER. Reduksi/koreksi ini timbul karena pada umumnya garis vertikal di titik 1 tidak berimpit dengan garis normalnya. Koreksi ini dinamakan koreksi penyimpangan vertikal (correction for vertical deviation). Setelah itu, karena garis-garis normal pada ER di titik 1 dan 2 pada umumnya bersilangan, maka jurusan yang telah mendapat koreksi penyimpangan vertikal perlu mendapat koreksi agar menjadi jurusan irisan bidang normal yang dibentuk oleh garis normal di titik 1 dan proyeksi titik 2 pada ER dengan ER. Koreksi yang kedua ini dinamakan koreksi karena bersialngnya garis-garis normal (correction for skew normal). Karena pada umumnya irisan normal dan geodesik pada ER tidak berimpit, maka jurusan irisan normal mendapat koreksi lagi agar menjadi


hal : I – 31


jurusan geodesik. Koreksi ketiga ini dinamakan koreksi jurusan geodesik (correction for geodesics). Dengan ketiga koreksi/rediksi di atas, maka diperoleh jurusan geodesik pada ER. Apabila jurusan geodesik ditransformasikan ke bidang datar, maka jurusan ini perlu mendapat koreksi kelengkungan busur (arc to

chord

correction),

karena

proyeksi

geodesik

merupakan

garis

melengkung (busur) sedangkan arti jurusan pada bidang datar adalah jurusan garis penghubung lurus. Hasil

akhir

yang

diperoleh

dari

jurusan

adalah

jurusan

penghubung lurus pada bidang datar. Rumusnya adalah berikut ini. l12 = l12 + A12 + K12 +  12 + ( t-T )12 dimana : A = reduksi karena penyimpangan vertikal K = reduksi karena bersilangnya garis normal  = reduksi karena tidak berimpitnya irisan normal dengan geodesik ( t-T ) = reduksi kelengkungan busur

Reduksi Penyimpangan Vertikal ( A )

1).

A12  ( B1  1 ) sin L1  ( cos A12   sin A12 ) tg m12

dimana : A12 = reduksi jurusan 12 karena penyimpangan vertikal B1

= bujur geodetik di titik 1

1

= bujur astronomi di titik 1

L1

= lintang geodetik di titik 1

A12 = azimuth geodetik dari titik 1 ke titik 2 m12

= sudut miring dari titik 1 ke titik 2

1

= komponen penyimpangan vertikal pada arah siku-siku


hal : I – 32


meridian di titik 1 = ( 1 – B1 ) cos L1 1

= komponen penyimpangan vertikal pada arah meridian di titik 1 = ( 1 – L1 ) ; 1 = lintang astronomi di titik 1

Contoh Hitungan : Soal : Azimuth ukuran (astronomik) : A12a = 2240 23’ 44“,51 Koordinat geodetik dan astronomik : L1 = 070 37’ 11“,43 Utara

B1 = 070 12’ 32“,21 Timur

1 = 070 37’ 09“,65 Utara

1 = 070 12’ 42“,86 Timur

m12 = 450 Penyelesaian : 1 = ( 1 – L1 ) = - 1”,78

( B1 – 1 ) = - 10“,65

( B1 – 1 ) sin L1 = - 1”,41

1 = ( 1 – B1 ) cos L1 = + 10”,56

1 cos A12a = - 7“,54

1 sin A12a = + 1“,24

( 1 cos A12a - 1 sin A12a ) tg m12= - 8”,78 A = - 1”,41 - 8”,78 = - 10”,19

2).

K12

Reduksi Bersilangnya Garis Normal ( K )

 e'2     "  sin (2.A12 ) cos 2 L1 .H 2  2.N1  dimana : K12 = reduksi jurusan 12 karena bersilangnya garis normal a N1 = jari-jari lengkung normal di titik 1 ; N1  2 (1  e sin 2 L1 ) 0.5 a = setengah sumbu panjang ER e = eksentrisitet pertama ; e2 = 2 f – f2 e’2 = ( a2 – b2 )/a2 = e2 / ( 1 – e2 ) KTG – 226 : Geodesi Geometrik – Jurusan Teknik Geodesi FTSP-ITENAS,

hal : I – 33

( t - T)12

"



(X

6 . r02

2

 X 1 )(


” = ( 180/ ) . 3600” = 206264,806247 L1


A12 = azimuth geodetik dari titik 1 ke titik 2 H2 = tinggi normal titik 2 Reduksi Jurusan Geodesik (  )

3).



12



0,028" cos

2

L 1

sin

(2A

dimana : 12 = reduksi jurusan 12 karena irisan normal dan geodesik pada ER tidak berimpit S12 = jarak dari titik 1 ke titik 2, dalam kilometer (km) L1


A12 = azimuth geodetik dari titik 1 ke titik 2

4).

Reduksi karena kelengkungan busur ( t-T )

"

Proyeksi Polyeder :

( t - T)12



Proyeksi Mercator :

( t - T)12 

6 . r02

"

6.r

Proyeksi TM / UTM :

(T - t)12



2

(X

(X

2

"

6. r

2

2

 X 1 )(

 X 1 )( 2Y1

2 . K0

(Y2  Y

dimana : X,Y = koordinat proyeksi t = sudut lurusan tali busur T = sudut lurusan busur


hal : I – 34


Ko = 0,9996 ;

r02  ( N 0 . M 0 )

r 2  (N . M )

Arah Kelengkungan Busur 

Proyeksi Mercator/Polyeder

Y Y

2 (tT

)2 -T (t

1

(tT

)

12

β2 β’2

(tT)

41

β1

(t-T )

1

β’1

14

β’4 β4

)

23

(tT

)

32

β’3

β3 ) 43 -T (t

(tT

3 )

34

4 1   '1 (t  T )12  (t  T )14  2   '2 (t  T ) 21  (t  T ) 23

X X  3   '3 (t  T )32  (t  T )34  4   '4  (t  T ) 41  (t  T ) 43


hal : I – 35




Proyeksi TM/UTM

Y Y

2 (T t) 21

(T -t)

23

β2 (T -t)

12

β’2

(T - t)

41

β’1 (T-t )

1

β1

12

4

32

β3 β’3

3

(T -t)

) 3 -t 4 (T

β4

β’4

(T -t)

34

1   '1  (T  t )12  (T  t )14

 3   '3 (T  t ) 32  (T  t ) 34

 2   '2  (T  t ) 21  (T  t ) 23

 4   '4 (T  t ) 41  (T  t ) 43

X X

1.3.2. Reduksi Sudut Sudut mendatar adalah selisih dari 2 (dua) jurusan/azimuth, yaitu jurusan/azimuth kanan dikurangi jurusan/azimuth kiri.


hal : I – 36


2 l 12

1

β213

l

13

3 l12u = jurusan ukuran di bumi fisik dari titik 1 ke titik 2 l13u = jurusan ukuran di bumi fisik dari titik 1 ke titik 3 l12 = jurusan ukuran di bidang proyeksi dari titik 1 ke titik 2 l13 = jurusan ukuran di bidang proyeksi dari titik 1 ke titik 2 Agar diperoleh sudut mendatar pada bidang datar, masing-masing jurusan harus mendapat koreksi A, K, , dan ( t-T ). u u  u213  l13  l12

;

 213  l13  l12

u l12  l12  A12  K 12  12  ( t  T)12 u l13  l13  A13  K 13  13  ( t  T )13

 213   u213  (A13  A12 )  (K 13  K 12 )  (13  12 )  {( t  T)13  ( t  T)12 }

dimana : A = reduksi karena penyimpangan vertikal K = reduksi karena bersilangnya garis normal  = reduksi karena tidak berimpitnya irisan normal dengan geodesik ( t-T ) = reduksi kelengkungan busur 1.3.3. Reduksi Asimut Asimut juga merupakan suatu jurusan. Urutan pemberian reduksi/koreksi pada sudut jurusan ini adalah : azimuth ukuran A, K,  KTG – 226 : Geodesi Geometrik – Jurusan Teknik Geodesi FTSP-ITENAS, azimuth pada ER

hal : I – 37


( t-T ) , C1

azimuth pada bidang datar ( sudut jurusan )

Pengertian dari alur di atas adalah untuk memperoleh azimuth pada ER juga diperlukan reduksi A, K, . Azimuth pada bidang datar diperoleh setelah diberi reduksi ( t-T ) dan C. Untuk selanjutnya, azimuth pada bidang datar disebut sudut jurusan. Hubungan antara reduksi dan sudut jurusan tersebut adalah : a 12  A12  A12  K12  12  ( t  T)12  C1

dimana : 12 = sudut jurusan dari titik 1 ke titik 2 A12a = azimuth astronomis dari titik 1 ke titik 2 A12 = reduksi jurusan 12 karena penyimpangan vertikal K12

= reduksi jurusan 12 karena bersilangnya garis normal

12 = reduksi jurusan 12 karena irisan normal dan geodesik pada ER tidak berimpit ( t-T )12 = reduksi jurusan 12 karena kelengkungan busur C1

= konvergensi meridian di titik 1 Besarnya konvergensi meridian ( C ) ini tergantung pada letak titik

yang bersangkutan terhadap meridian tengah dan sistem proyeksi yang digunakan.


hal : I – 38


KU

C1  12 A12

C2 2  21

 12= A12 + C1  21= A12 – C2

A21

1

KS

Ci untuk proyeksi Polyeder



C i  ( B i  B 0 ) sin L 0 

atau ;

  " C i Ci proyeksi Mercator  Xi untuk N ctg L 0 0  

Ci = 0, karena meridian-meridian pada proyeksi Mercator sejajar dengan sumbu Y. Ci untuk proyeksi UTM



Dari koordinat geodetik : C i  [XII] p  [XIII] p 3  [C.5] p 5

Dari koordinat proyeksi : C i  [XV ] q  [XVI] q 3  [F.5] q 5

Catatan : 

Konvergensi

meridian

dapat

dihitung

dari

koordinat

proyeksi atau koordinat geodetik. Koordinat yang digunakan cukup koordinat hasil hitungan sementara (pendekatan). 

Ketentuan-ketentuan tanda C untuk proyeksi Polyeder dan UTM adalah sama, yaitu : o Untuk titik-titik di Utara ekuator :


hal : I – 39




sebelah Timur meridian tengah : + C



sebelah Barat meridian tengah : - C

o Untuk titik-titik di Selatan ekuator : 

sebelah Timur meridian tengah : - C



sebelah Barat meridian tengah

:+C

Koefisien-koefisien [XII], [XIII], [C.5], [XV],



[XVI] dan [F.5] dihitung dengan argumen lintang titik yang

akan

dihitung C-nya. Rumus matematika koefisien-koefisien tersebut adalah :

[XII]  sin L 10 4

sin L cos 2 L sin 2 1" (1  3e'2 cos 2 L  2 [XIII]  sin L cos 4 L sin 41" (2 3  tg 2 L) 10 20 [C5]  15 p  ( Bi  B0 ) . 0,0001"

tg L 106 [XV]  k 0 N sin 1"2 2 2 4 4 8 tg L (1  tg L - e' cos L - 2e' cos L)10 [XV]  3 3 23 k N 4sin 1" 30 tg L (2  5tg L 0 3tg L) 10 [F5]  q  X . 0,000.001 15 k 50 N 5 sinmeter 1"


hal : I – 40

reduksi

Recommend Documents