ACADEMIA PREUNIVERSITARIA NOBEL “INNOVA CON NOBEL”
ARITMÉTICA
RAZONES Y PROPORCIONES PROPORCIONES I. RAZONES
RAZÓN Es la comparación de dos cantidades. CLASES DE RAZÓN : RAZÓN ARIMÉTICA (R. A.) Es la que se obtiene mediante la sustracción y consiste en determinar en cuanto excede una de las cantidades cantidades a la otra. A - B = R.A RAZÓN GEOMÉTRICA (R. G.) Es la que se obtiene mediante la división y consiste en determinar cuántas veces cada una de las cantidades contienen la unidad de referencia. A B
CONTINUA Cuando los valores de los términos medios son Iguales a – b b = b – c c a ; c = Extremos b ; b = Medios b: Media diferencial de a y c c: Tercera diferencial de a y b PROPORCIÓN GEOMÉTRICA Es aquella que se forma al igualar los valores numéricos de dos razones geométricas. DISCRETA Cuando Los términos son diferentes a b
c d
a.d bc
d : Cuarta proporcional de a , b y c
R.G
CONTINUA En general
a b
RAZON Aritmética Geométrica a
a – b b = R
b
K
b c
a.c
b2
b: Media proporcional de a y c. C: Tercera proporcional de a y b
En toda proporción aritmética: [Suma de extremos] = [suma de d e medios]
Términos a : antecedente b : consecuente R y K: valores de las razones
En toda proporción pr oporción geométrica: [Producto de Extremos]=[Producto de Medios]
II. PROPORCIÓN
Es la igualdad en valor numérico de dos razones de la misma clase.
CLASES DE PROPORCIÓN
PROBLEMAS PROPUESTOS: 1.
PROPORCION ARITMÉTICA Es aquella que se forma al igualar a los valores numéricos de dos razones aritméticas. DISCRETA Cuando los valores de los términos medios son diferentes. a – b b = c – d d a ; d = Extremos b ; c = Medios d : Cuarta diferencial de a , b y c
En una proporción geométrica se sabe que el producto de extremos es 600. Si los términos medios son consecutivos. ¿cuál es la suma de los términos medios? A) 39 D) 18
2.
B) 20 E) 59
C) 49
En una proporción continua la diferencia de los extremos es 20 y el valor de la constante es 2/3. Determinar la media proporcional. A) 29 D) 15
B) 24 E) 28
C) 20
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3.
La media diferencial de una proporción es 24. Determinar la razón de la proporción, si el primer extremo es el doble del segundo. A) 9 D) 12
4.
B) 4 E) 8
La media geométrica de una proporción es 15. Halla la suma de los extremos, si la razón de la proporción es 1/3. A) 60 D) 15
5.
6.
C) 10
B) 50 E) 35
C) 200
El producto de los términos diferentes de una proporción geométrica continua es 1728. Calcule la razón dela proporción sabiendo que la suma de los términos extremos es 74. A) 8 B) 10 C) 7 D) 5 E)6 Si:
a
b
c
d
7
4 12
y
6
B) 80 E) 100
C) 90
8.
A
B 9
B
C
A
11
C) 20
B) 36 E) 48
C) 40
A) 250 D) 280
n2
M
m2
p2
98 7
además aa0 K Halle:
27
A) 36 D) 45 E) 32
B) 30 E) 31
C) 41
B) 14 E) 30
C) 21
B) 28 E) 30
C) 20
14. En una proporción geométrica continua el producto de los antecedentes es 400 y el producto de los consecuentes es 6 400. Halle dicha proporción y dar como respuesta la suma de sus 4 términos.
Si se cumple que:
m2 18 3
A) 29 D) 26
C
y: 3A + 2B – C = 240 Halle: A + B – C
9.
C) 12
11. La edad de Noemí es a la edad de Carolina como 3 es a 2. Si la edad que tendría Carolina dentro de 28 años es una vez más la edad que tenía Noemí hace 10 años ¿Cuántos años tenía Noemí hace 7 años?
A) 10 D) 25
10
A) 30 D) 45
B) 11 E) 14
13. Los términos de una proporción aritmética son proporcionales a 9;7; 10 y 8. Si al primero se le suma 10, al segundo se le resta 20, al tercero se suma 20 y al cuarto se le resta 20, se forma una proporción geométrica. Determine la razón de la proporción aritmética.
Halle el valor de “k”
B) 4 E) 24
A) 10 D) 13
A) 12 D) 28
a c e g 7. Si: k y además b d f h b + d+ e + g = 67 a + c + f + h = 43 a + c + e + g = 88
A) 9 D) 15
10. En una reunión se observan que el número de varones y el de mujeres están en la relación de 7 a 9 respectivamente ¿Cuántas parejas deben retirarse de la reunión para que por cada 15 mujeres hay 11 varones; si el número de mujeres que había al inicio excede en 28 al número de varones que hay al final?
12. En una proporción aritmética continua los extremos están en la relación de 9 a 5. Si la diferencia de cuadrados de los términos de la segunda razón es un número de tres cifras lo menor posible. Halle la media diferencial.
ab + cd = 2500, halle el valor de (a + c) A) 75 D) 95
ARITMÉTICA
32 4
K,
K0 3 .
n2 B) 30
147
p2 C) 42
48
B) 320 E) 260
C) 240
15. El peso promedio de todos los estudiantes de una clase A es 68,4 y de todos los estudiantes de la clase B es 71,2. Si el peso promedio de ambas clases combinadas es 70 y el número de estudiantes de la clase B excede a la de A en 16 ¿Cuántos estudiantes tiene la clase B? A) 64 D) 48
B) 40 E) 36
C) 24
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PROBLEMAS PROPUESTOS: En una proporción geométrica se sabe que el producto de extremos es 600. Si los términos medios son consecutivos. ¿cuál es la suma de los términos medios? Resolución : * Sea la proporción, lo siguiente :
x 15 15 y
1.
a
c
b
5.
ad bc
*Pero :600 = 24 x 25 b = 24 y c = 25 se pide : 24 +25 = 49
A) 29 D) 15
6.
Si:
M
M E 20
=
B) 24 E) 28
C) 20
2
2k 20
3
7.
4k 40 k
8
3
B) 10
a
b
c
7
4 12
d 6
C) 7
D) 5
Resolución : * Sea la proporción aritmética : a – 24 = 24- b * Se cumple que : a + b =48..................(I) * Además del otro dato se tiene que : a = 2b * Que al reemplazar en (I), resulta: 2b + b = 48 b = 16 a = 32 * Luego la razón la razón aritmética, será : 32 – 24 = 8
4.
La media geométrica de una proporción es 15. Halla la suma de los extremos, si la razón de la proporción es 1/3. Resolución : * Sea la proporción geométrica :
* Se obtienen dos igualdades :
E)6
y
a
b
7
4
c
d
12
6
K K
ab 28 cd 72
2
K
2
K
Si:
a c e g k y además b d f h b + d+ e + g = 67 a + c + f + h = 43 a + c + e + g = 88 Halle el valor de “k”
La media diferencial de una proporción es 24. Determinar la razón de la proporción, si el primer extremo es el doble del segundo.
y
E = 2k
2
9k
5
2
* Se pide: M = 3(8)= 24 3.
45
Luego: 2500 100K K=5 Luego: a = 35, c = 60 , a + c = 95
proporcionalidad continúa 3k
15 3
ab + cd = 2500, halle el valor de (a + c) RESOLUCIÓN
Resolución:
x
El producto de los términos diferentes de una proporción geométrica continua es 1728. Calcule la razón dela proporción sabiendo que la suma de los términos extremos es 74.
En una proporción continua la diferencia de los extremos es 20 y el valor de la constante es 2/3. Determinar la media proporcional.
E
A) 8
600
*
1 3 1 3
* Se pide x + y = 45 + 5 = 50
d
2.
ARITMÉTICA
x 15
15
y
1
3
A) 9 D) 15
a b
B) 4 E) 24
c d
e f
C) 20
g h
1
b + d + e + g = 67 a + c + f + h = 43 a + c + e + g = 88
1
2
2 3
3
b + d + f + h = 22 Podemos observar:
a ceg bd f h 88 4 K 22
K
K
4
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8.
A
B
B
9
C
A
11
M = 42
C
10
10. En una reunión se observan que el número de varones y el de mujeres están en la relación de 7 a 9 respectivamente ¿Cuántas parejas deben retirarse de la reunión para que por cada 15 mujeres hay 11 varones; si el número de mujeres que había al inicio excede en 28 al número de varones que hay al final?
y: 3A + 2B – C = 240 Halle: A + B – C A) 30 D) 45
B) 36 E) 48
C) 40
RESOLUCIÓN A + B = 9K B + C = 11 K A + C = 10 K 2 A
B
ARITMÉTICA
A) 10 D) 13 C
30K
Retira “x” parejas
7K
x
11
9K
x
15
105 K – 15 x = 99 K- 11 x
12K + 10K – 6 K = 240 K = 15 A + B – C = 3K = 45 Si se cumple que:
m2 18 3
n2
p2
98 7
además aa0 K
32 4
K,
K0 3 .
Halle:
m2
M
n2
27
A) 36 D) 45 E) 32
p2
147
B) 30
48
C) 42
18
n2
9 2
2
9
2
2
P
49
16
16
K03
2
K
294
p2
96
M
81
9
21
K2
K
2
2z
x
3z
Por dato: Mujeres – (Varones – x) = 28 9 K – (7K – x) = 28 7 Z = 28; Z = 4 Parejas retiraron: x = 3 Z = 12 11. La edad de Noemí es a la edad de Carolina como 3 es a 2. Si la edad que tendría Carolina dentro de 28 años es una vez más la edad que tenía Noemí hace 10 años ¿Cuántos años tenía Noemí hace 7 años? B) 30 E) 31
RESOLUCIÓN Noemí = N; Carolina = C
C) 41
N
3K
C
2K
C + 28 = 2(N -10) 2K + 28 = 2(3K -10) 12 = K
2 ; deduce
Piden: N – 7 36 – 7 = 29
54
n
M
32
2
n
de: aa0 K m
P2
98 49
m
K
A) 29 D) 26
RESOLUCIÓN Elevando al cuadrado
m2
C) 12
RESOLUCIÓN Varones = 7K Mujeres = 9K
A + B + C = 15 K A=4K B=5K C=6K Reemplazo: 3A + 2B – C = 240
9.
B) 11 E) 14
421
12
144
12. En una proporción aritmética continua los extremos están en la relación de 9 a 5. Si la diferencia de cuadrados de los términos de la segunda razón es un número de tres cifras lo menor posible. Halle la media diferencial.
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A) 12 D) 28
B) 14 E) 30
ARITMÉTICA
A) 250 D) 280
C) 21
B) 320 E) 260
C) 240
RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN Progresión Aritmética Continúa a
a – b = b – c ; b
c
a
b
b
c
2
9K
c
5K
14K
b
;
xyz menor número 25K2
24K2
xyz; K
c
6 400
b
b
c 2
49K2
b
xyz 3 (menor posible)
xyz 216 a = 27 b = 21 c = 15 Media diferencial es b = 21
B) 28 E) 30
C) 20
10
10K
7K
20
8K
2
72K
2K K
2
2
100K
40K 20K
B) 40 E) 36
RESOLUCIÓN A x Alumnos MA= 68,4
B (x+16 ) Alumnos MA =71,2 70
TOTAL
71, 2 x 16
4 x = 192 x = 48 x + 16 = 64
20 2
70K
60K
400
0 0
C) 24
16
70
1 400 x+11 200=1 396 x + 11 392
20
200
6 400
15. El peso promedio de todos los estudiantes de una clase A es 68,4 y de todos los estudiantes de la clase B es 71,2. Si el peso promedio de ambas clases combinadas es 70 y el número de estudiantes de la clase B excede a la de A en 16 ¿Cuántos estudiantes tiene la clase B?
2x
200
100
400
6 400
a = 10 c = 160 a + b + b + c = 250
68, 4 x
RESOLUCIÓN 9K – 7K = 10K -8K =r
400
b = 40
MA
9K
b
A) 64 D) 48
13. Los términos de una proporción aritmética son proporcionales a 9;7; 10 y 8. Si al primero se le suma 10, al segundo se le resta 20, al tercero se suma 20 y al cuarto se le resta 20, se forma una proporción geométrica. Determine la razón de la proporción aritmética. A) 10 D) 25
2
b
Por dato:
c2
400
a
2
b=7K
b2
b
*
Además:
a
a
K
10
r = 20 14. En una proporción geométrica continua el producto de los antecedentes es 400 y el producto de los consecuentes es 6 400. Halle dicha proporción y dar como respuesta la suma de sus 4 términos.
