Prof. Je Jenne nnerr Hua uamá mán n Calli llirgo rgoss
El Hombre de Vitruvio es un famoso dibujo realizado en lápiz y tinta por Leonardo da Vinci alrededor del año 1492. Mide 34,2 x 24,5 cm y está acompañado de notas anatómicas realizadas por el propio Leonardo. Representa una figura masculina desnuda en dos posiciones sobreimpresas de brazos y pie ierrnas e inscrita en un círculo y un cuadrado. También se conoce como el Cano Ca nonn de la lass pr prop opor orci cion ones es hu huma mana nas. s. Se trata de un estudio de las proporciones del cuerpo humano, realizado a partir de los textos del arquitecto de la ant ntig igua ua Rom omaa Vititru ruvi vioo de ar arqu quititeect ctur ura, a, de dell qu quee el di dibu bujo jo toma su nombre. El cuadrado está centrado en los genitales, y el círculo en el ombligo. La relación entre el lado del cuadrado y el radio del círculo es la razón áurea. Para Vitruvio el cuerpo humano está dividido en dos mitades por los órganos sexuales, mientras que el ombligo determina la sección áurea. En el recié iénn nacido, el ombligo ocupa una posición media y con el crecimiento migr mi graa ha hast staa su po possic ició ión n def efin inititiv ivaa en el ad adul ultto.
El testamento del jeque Al morir el jeque, ordenó que se distribuyeran sus camellos entre sus hijos de la siguiente forma: la mitad para el primogénito, una cuarta parte para el segundo y un sexto para el más pequeño. Pero resulta que el jeque sólo tenía once camellos, con lo que el reparto se hizo realmente difícil, pues no era cosa de cortar ningún animal. Los tres hermanos estaban estaban discutiendo, discutiendo, cuando ven llegar a un viejo beduino famoso por su sabiduría montando en su camello. Le pidieron un consejo y éste dijo: -si vuestro padre hubiese dejado doce camellos en vez de once no habría habría problemas. problemas. - Cierto, pero sólo tenemos once respondieron los hermanos, a lo que el beduino contestó: tomad mi camello, haced el reparto y no os preocupéis que nada perderé yo en la operación. ¿En qué se basa el beduino para afirmar tal cosa?
RAZÓN Es la comparación de dos cantidades mediante una operación aritmética (sustracción o división) Clase de razón RA ZÓN AR A RITMÉTICA
Comparaci Compar ación ón de dos dos cantidades (a; b) mediante la sustracción. a – b = r
Donde: a: antecedente b: consecuente r: valor de la razón aritmética
RA ZÓN GEOMÉTRICA
Comparac Compa ración ión de dos cantidades (a; b) mediante la división.
=
Donde: a: antecedente b: consecuente k: valor de la razón geométrica
PROPORCIÓN Es la igualdad de 2 razones de una misma clase(aritmética o geométrica) que tenga el mismo valor de la razón. Clase de proporción PROPOR PRO PORCIÓ CIÓN N ARITMÉ ARITMÉTIC TICA: A:
Es la igualdad entre entr e 2 raz razones ones aritmétic arit méticas. as. DISCRETA
CONTINUA Extremos
Extremos
a –
b = c Medios
- d
a –
b = b
- c
Medios
b: Media diferencial de a y c d: Cuarta diferencial de a, b y c c: Tercera diferencial de a y b
PROPOR PRO PORCIÓ CIÓN N GEO GEOMÉT MÉTRIC RICA: A:
Es la igualdad de 2 razones geométricas. DISCRETA
CONTINUA
=
=
b: Media proporcional de a y c d: Cuarta proporcional de a, b y c: Tercera proporcional de a y b c
En toda proporción geométrica se cumple:
Producto de términos extremos = Producto de términos medios
axd=bxc
Propiedad Propieda d general general de la proporció propo rción n geomé g eométric trica a
Sea la proporción:
=
Propiedad I +
=
Propiedad III
+
o
+
=
+
Propiedad II −
−
=
o
−
=
−
+ −
+
=
−
Serie de razones geométricas equivalentes Propiedades Propiedad II
Propiedad I 1 + 2 + 3 + 4 + . . . . . + 1 + 2 + 3 + 4 + . . . . . +
vx p d gh dqwhf hghqwhv vx p d gh f r qvhf x hq hqwhv
1 2 3 4 x . . . . x
=
= ó
1 x2 x3 x4 x . . . . . x
=
s ur gx gxff wr gh dqwhf hghqwhv = < sur gxf wr gh f r qvhf xh xhq qwhv
ó
Serie de razones geométricas equivalentes continuas S.R.G.E.C Sea: =
3
=
=
=
2
= k
=
En general:
S.R.G.E.C 1 1
=...=
“n” razones
= ⇒ 1 = .
APL A PLICA ICACIONES CIONES
1. En una reunión se observa que por cada tres varones hay cuatro mujeres. Si en total han participado 91 personas, ¿cuántos varones y mujeres hay en dicha reunión? a) 39 y 52 b) 37 y 54 c) 28 y 63 d) 42 y 39 e) N.A Resolución
2. Un escuadrón de aviones y otro de barcos se dirigen a una isla. Durante el viaje, uno de los pilotos observa que el número de aviones que él ve es al número de barcos como 1 es a 2. Uno de los marinos observa que el número de barcos que ve es al número de aviones como 3 es a 2. ¿Cuántas naves son? a) 16 b) 24 c) 18 d) 30 e) 20 Resolución
3. Si
A a
=
B b
=
AB
Además Calcule
ab
C c
+
=
D
= k
d
B+C+ D b+c+d
A + a
+
A2 + B 2 + D2 a +b +d 2
2
B−b
2
D + d ( )+( )+( ) a b d
a) 16 b) 20 c) 22 d) 28 Resolución
e) 30
= 63
4. Si
A B
+8 = = B + 5 B
A + 6 A + 3
Calcule A+B+C a) 28 b) 26
=
C C − 1
,
c) 25
d) 24
e) 20
a
5. Sab abiien endo do qu quee:
b
=
c d
=
e f
y
a 3 − c 3 + e3 b − d + f 3
3
3
= 64
ab + cd + ef a 2 + c 2 + e 2 x Calcule N = 2 2 2 2 2 2 b + d + f b + d + f
a) 34
b) 64
c) 54
d) 44
e) 84
6. Si:
a
2
b
=
c
9
=
b c
= k
b
Además. Calcul Calc ular ar:: “a “a”” a) 18
2
c + 2 + 1 = 25 c 9
b) 24
c) 12
d) 10
e) 15
7. En la siguiente serie: Calcule: E = a) 4
125n b
=
b c
c
=
27 n
b+c b−c b) 1/2
c) ¼
d) 8
e) 1/8
8. En una serie de cuatro razones geométricas iguales con cons co nsta tannte de pro ropo porc rcio iona nalilid dad po posi sittiv iva, a, lo loss an ante tece ced den ente tess son 2, 3, 7 y 11. Si el producto de los consecuentes es 37 422, halle la connst co sta ant nte e de pr prop opor orccio ion nal alid idad ad de la se seri rie e.(U (UN NMSM – 201 0144-I) I) A) 1/2 B) 1/3 C) 2/3 D) 2/9 E) 2/7 Resolución
EJER EJ ERCI CICI CIOS OS Y PROB PROBL L EM EMA AS DE REFORZAMIENT REFORZA MIENTO O
1. La razón geométrica de dos números positivos es 3/4 y su producto es 300. Hallar el menor de los números. a)6
b) 12
c) 15
d) 20
e) 30
2. Las edades edades de Julio y Wilter son 30 y 42 años respectivamente. respectivamente. ¿Dentro de cuántos años la razón de sus edades será 6/7? a)12
b) 16
c) 24
d) 36
e) 42
3. Hallar "A + B + C", si: "A" es la cuarta diferencial de 34; 21 y 18. "B" es la tercera diferencial de 25 y 16. "C" es la media diferencial de 73 y 27. a)51
b) 62
c) 73 d) 84 e) 99
4. Hallar "A + B + C", si: "A" es la cuarta proporcional de 12; 18 y 28. "B" es la tercera proporcional de 12 y 18. "C" es la media proporcional de 12 y 75. a) 48
b) 64
c) 73 d) 99
e) 102
5. El producto de los cuatro términos de una proporción geométrica continua es 50 625 y uno de los extremos es 3. Hallar la suma de los cuatro términos. a)35
b) 68
c) 93
d) 108
e) 120
6. En una serie de razones geométricas equivalentes, los consecuentes son 2; 3; 5 y 7 y el producto de los antecedentes es 17 010. Hallar la suma de los antecedentes. a)17
b) 34
c) 51
d) 68
e) 85
7. Una bolsa contiene 80 bolas, de las cuales 20 son negras y las restantes blancas. ¿Cuántas bolas blancas se deben retirar de la bolsa, para que por cada bola blanca existan 4 negras?
8. Mi esposa y yo tenemos entre los dos $ 8 400 y gastamos $ 3 300. Si mi dinero es al suyo como 4 es a 3, pero gastamos como 5 es a 6 respectivamente, ¿en qué relación están las cantidades de dinero que nos queda a cada uno? a)11/ a)1 1/ 6
b) 11/ 9
c) 5/6
d) 6/5
e) 7/9
9. Si: a/b = 4/7 4/7 y además: 5a – 2b = 30, hallar hallar "a . b". a)112 a)1 12
b) 252
c) 700
d) 840
e) 2 800
10. Si a los números 12; 27 y 67 se les resta una misma cantidad 10. se podría formar una proporción geométrica continua. ¿Cuál sería la media proporcional? a) 18
b) 24
c) 32
d) 45 e) 48
2
11. Si:
12
a)10
=
2
27
=
b) 12
2
48
=
2
75
c) 15
y además: a + b + c + d = 70, hallar "a". d) 20
e) 48
12.. La suma, la diferencia y el producto de dos números están en la 12 misma relación que los números 5; 3 y 16. Determinar la suma de dichos números. a)15
b) 20
c) 25 d) 40 e) 48
13.. En una proporción geométrica continua, la diferencia entre el 13 mayor y menor término es 25. Si el otro término es 30, hallar el mayor de los términos. a)36
b) 45
c) 75
d) 80 e) 90
14.. Se tienen tres toneles de vino cuyas cantidades son 14 proporcionales a 6; 7 y 11. Si del tonel que tiene más vino se saca 12 litros y se distribuye en los otros dos, resulta que al final los tres toneles poseen la misma cantidad de vino. ¿Cuántos litros de vino hay en total? a) 48
b) 56
c) 60
d) 96
e) 144
