Razones y proporciones.pdf

FACULTA FACULTAD D DE CIENCIAS CIENCIAS DE LA EDUCAC EDUCACII N

CURSO: ARITMÉTICA RAZONADA Profesores: Hugo Fiestas / José Manrique E-mail: [email protected] [email protected] [email protected]

PROGRAMA NACIONAL DE BECAS Y CRÉDITO EDUCATIVO

DIDÁCTICA DE LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS EN EDUCACIÓN SECUNDARIA SEMESTRE 2014 - II

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Maestría en Educación Didáctica de la Enseñanza de las Matemáticas en Educación Secundaria










Universidad de Piura Facultad de Ciencias de la Educación Curso Aritmética Razonada

Razones y Proporciones - Teoría Razón Se llama razón, a la comparación de dos cantidades mediante una operación aritmética (sustracción – división). RAZÓN ARITMÉTICA.-

Es la comparación de dos cantidades mediante la sustracción. Consiste en determinar cuántas unidades una cantidad excede a la otra. A – B B = r, donde A= Antecedente B=Consecuente r= razón aritmética Ejemplo: 9 – 9 – 6 6 = 3; podemos decir que 9 excede a 6 en 3 unidades.

RAZÓN GEOMÉTRICA.-

Es la comparación de dos cantidades mediante la división, y consiste en determinar cuántas veces una de las cantidades contiene a la otra.

   , donde 

A= Antecedente B=Consecuente r= razón geométrica Ejemplo:

      ; podemos decir que:      -

Por cada tres unidades de la edad de Carlos hay una unidad de la edad de Diana. Por cada tres años que tiene Carlos, Diana tiene 1 a ño. Las edades de Carlos y Diana están en la relación de 3 a 1. Las edades de Carlos y Diana son como 3 es a 1. Las edades de Carlos y Diana son proporcionales a 3 y 1.










Proporción Es la comparación de dos razones de una misma clase. PROPORCIÓN ARITMÉTICA.-

Es la igualdad de dos razones aritméticas. También recibe el nombre de equidiferencia e igualdad de diferencias.



Dónde a, c = antecedentes. b, d = consecuentes. Además a y d = términos extremos. b y c = términos internos o medios. Ejemplo: 12 – 12 – 8 8 = 6 – 6 – 2, 2, se lee 12 excede a 8 tanto tanto como 6 excede a 2. TIPOS DE PROPORCIÓN ARITMÉTICA.-

Proporción Aritmética discreta: Es aquella cuyos términos son diferentes. A cada uno de los cuatro términos se les llama “cuarta diferencial” diferencial”. Ejemplo: 16 – 16 – 9 9 = 11 – 11 – 4. 4. Se puede decir que 4 es la cuarta diferencial de 16, 9 y 11. Proporción Aritmética continua: Es aquella cuyos términos medios son iguales, llamando al término medio “media diferencial” o “media aritmética”, a cualquiera de sus términos extremos se le llama “tercera diferencial” o “ tercia diferencial”.

      Ejemplo: 15 – 15 – 8 8 = 8 – 8 – 1. 1. Se dice que: -

La media diferencial de 15 y de 1 es 8. 1 es la tercera diferencial de 15 y de 8. 15 es la tercera diferencial de 1 y de 8.










PROPORCIÓN GEOMÉTRICA.-

Igualdad de dos razones geométricas. También se le conoce como equicociente (igualdad de cocientes).

   Dónde a, c = antecedentes. b, d = consecuentes. Además a y d = términos extremos. b y c = términos internos o medios. Ejemplo:

  , se lee 6 es a 3 como 8 es a 4.  

TIPOS DE PROPORCIÓN GEOMÉTRICA.-

Proporción Geométrica discreta: Es aquella cuyos términos son diferentes. A cada uno de los cuatro términos se les llama “cuarta proporcional”. Ejemplo:

    

Se puede decir que 4 es la cuarta diferencial de 12, 3 y 16. Proporción Geométrica continua: Es aquella cuyos términos medios son iguales, llamando al término medio “media proporcional” proporcional” o “media geométrica”, geométrica”, a cualquiera de sus términos extremos se le llama “tercera proporcional” proporcional” o “tercia proporcional “tercia proporcional”. ”.

Ejemplo:

  , Se expresa:   -

       

6 es la media proporcional de 12 y 3. 12 es la tercera proporcional de 3 y 6 3 es la tercera proporcional de 12 y 6.










Series de Razones Geométricas Equivalentes (SRGE) Es la igualdad de más de dos razones geométricas equivalentes.

                        a1, a2, a3, a4,… ,an: antecedentes. b1, b2, b3, b4,… ,bn: consecuentes. K: constante de proporcionalidad o razón común. Ejemplo:

          

PROPIEDADES.-

a)

b)

c)

d)

   

e)

         

f)

g)

                           

            

         

Serie de razones geométricas equivalentes continúas

Si tenemos:

                  

       , se observa que   

    

Todos los términos a excepción del último se puede expresar en función del último consecuente y la razón. Ejemplo de serie de razones geométricas equivalentes: equivalentes: En una serie de 3 razones geométricas iguales se se sabe que la suma de los dos primeros antecedentes es igual al segundo consecuente, siendo éste el, doble del 1er. Consecuente, hallar el último antecedente, si su respectivo consecuente es 24. Ejemplo de serie de razones geométricas equivalentes continuas: En una serie de 4 razones geométricas












Mezclas Homogéneas Si consideramos la mezcla de dos líquidos A y B y extraemos de ella “m” litros: litros: Líquido A (x litros)

Líquido B (y litros)

Volumen total = T

Volumen total = T

 

Estamos extrayendo de cada líquido litros

Líquido A

Líquido B

       

Por lo queda de cada líquido:

    Líquido A Líquido B

  

m litros











Razones y Proporciones - Ejercicios 1)

Se duplicaron los 4 términos de una proporción geométrica y, a esos productos se les sumo el mismo número, obteniéndose 100, 130, 196 y 258. Indicar la suma de sus cifras de cada uno de sus términos.

2)

En un salón de clase, antes del recreo el número de hombres es al número de mujeres como 9 es a 5. Si después del recreo, hay 8 hombres y 4 mujeres menos, con lo cual la razón de hombres a mujeres es 7/4, hallar cuantas mujeres habían antes del recreo.

3)

Si las razones aritméticas, aritméticas, de los términos de la 1era y 2da razón de una proporción geométrica son 8 y 32, hallar en qué relación r elación estarían la suma y la diferencia de los consecuentes de dicha proporción.

4)

Hallar la cuarta proporcional de 50, x y 3x, sabiendo que x es la tercera proporcional entre la media proporcional de 4 y 16 y la cuarta proporcional de a, 4a y 10.

5)

Se tiene

6)

De un grupo de 416 personas las mujeres y los hombres están en la relación de 5 a 3 y por cada 5 hombres hay 4 niños: ¿cuántos niños hay en total?

7)

Si: = = k; a + c = 4 y además:

8)

Las edades de cuatro hermanos, de los cuales dos son mellizos, forman una proporción geométrica y la suma de las cuatro edades es a la mayor diferencia de edades como 3 es a 1. Calcule la suma de edades del mayor y el menor de ellos, si los mellizos tienen 18 años.

9)

En una serie de 3 razones geométricas iguales se sabe que el producto de los dos primeros antecedentes, el producto de los dos últimos antecedentes y el producto de los dos primeros consecuentes son: 48, 432 y 6912 respectivamente. Hallar el producto del 2do. Consecuente por el último antecedente.

   

  

(k ɛ Z) además, a + c =52 y bb – – d d =9. Calcule la media diferencial de a y d.

√   √  = 20. Hallar k










14) Si:

     y   = 36. ¿Cuál n ¿Cuál es el valor de E?: E?: E=        

15) Si





         ; y a(b)(c)(d) =37422. Calcular k    

16) La suma de los extremos de una proporción geométrica continua es 104. Hallar la media proporcional si la razón es 2/3. 17) Si

       . Hallar e    

18) En una proporción geométrica continúa, la suma de los términos extremos es 20 y su diferencia es 16¿Cuál es su media proporcional? 19) En una progresión geométrica continua, la suma de los términos de la primera razón es a la suma de los términos de la segunda razón como 2 es a 3. Si la suma de términos es 100, halle la media proporcional 20) La suma de los cuadrados de los cuatro términos de una proporción geométrica continua es igual a 7225. Calcular la media proporcional si la diferencia de extremos es 75. 21) De un tonel que contiene 225 litros de vino se sacan 45 litros y se reemplaza por agua. Se hace lo mismo con la mezcla del tonel por 2da. Y 3ra. Vez. ¿Qué cantidad de vino queda después de la tercera operación? 22) Se tiene una vasija de 100 litros llena de vino; se extrae 1/5 de su contenido y se reemplaza por agua. Se vuelve a extraer 1/4 del contenido de la vasija y se vuelve a reemplazar por agua y finalmente se extrae 1/8 del nuevo contenido y se reemplaza por vino: ¿Cuántos litros de vino quedaron finalmente en la vasija? 23) Se tiene un recipiente que contiene una mezcla de leche, alcohol y agua en la relación 3, 4 y 5 respectivamente. Se extrae de la mezcla 2/5, 1/3, 5/7 y 5/12 de lo que iba quedando, resultando el volumen final de leche igual a 2 litros. Halle el volumen inicial de agua. 24) De un tonel lleno de vino se extraen 2/5 de lo que no se extrae y se llena de agua. Si esta operación se repite tres veces, ¿Que fracción del volumen de agua es el volumen de vino al final?











Magnitudes proporcionales Una magnitud es el resultado de una medición. Cuando hablamos de magnitudes proporcionales nos estamos refiriendo a las magnitudes cuyas diferencias (variaciones) están relacionadas entre sí; es decir cuando varia el valor de una de ellas, el valor correspondiente de la otra magnitud cambia en similar proporción. Por ejemplo: 1.- La velocidad de un móvil con el espacio recorrido (en el movimiento rectilíneo uniforme) son magnitudes proporcionales porque si duplicamos la velocidad del móvil, el espacio recorrido se duplica.

V

Tiempo: T e

2V

Tiempo: T 2e

2.- El número de días con el número de horas por día trabajadas para realizar una obra son magnitudes










Tal como se evidencia en los ejemplos anteriores, existen dos formas de establecer las relaciones en las magnitudes proporcionales, la relación directa (ejemplo 1) y la relación inversa (ejemplo 2). A continuación se detalla cada una de estas relaciones:

a)

Magnitudes directamente proporcionales (D.P): Decimos que las magnitudes “A” y “B” son directamente proporcionales; si al aumentar el valor de la magnitud de “A”, el valor de “B” también aumenta en la misma proporción; y al contrario al disminuir el valor de de la magnitud de “A”, el valor de “B” disminuye en la misma proporción. La razón entre las magnitudes, se conoce como constante de proporcionalidad directa [K].

 

Interpretación geométrica:

La gráfica de dos magnitudes D.P es una recta que pasa por el origen de d e coordenadas.

 

A A2

A1 B1

b)

B2

    

B

Inversamente proporcionales (I.P.): (I.P.): Se dice que las magnitudes “A” y “B” son inversamente proporcionales, si al aumentar el valor de la magnitud A, el respectivo valor de B disminuye; y cuando la














A A1



A2 B1

B2

B

Regla de Tres La regla de tres es una operación matemática que nos permite calcular el valor de una magnitud a partir de un valor conocido de esta magnitud y de otros valores conocidos de magnitudes relacionadas proporcionalmente con esta. La regla de tres puede ser simple, directa o inversa, cuando solo intervienen dos magnitudes y compuesta cuando intervienen más de dos magnitudes.

a)










Regla de tres simple Inversa Cuando se comparan dos magnitudes inversamente proporcionales. En este caso se cumple:

 Método practico Se ubican los datos de las magnitudes en dos columnas, y se multiplica los valores en paralelo. Magnitud 1 *

Magnitud 2

A1

B1

A2

B2

*



I.P

NOTA: En el diagrama de los métodos prácticos de la reglas de tres simple directa e inversa se ha










Paso 2: Evaluar la relación de proporcionalidad entre las magnitudes dos a dos.

Magnitud 1

Magnitud 3

Magnitud 2

A1

B1

C1

A2

B2

C2

I.P

D.P

Paso 3: Utilizar el asterisco para indicar que valores se deben multiplicar teniendo en cuenta la relación de proporcionalidad entre las magnitudes.

Magnitud 1

Magnitud 2 *

Magnitud 3 C1











Regla de tres - Ejercicios 1. Un obrero debe recibir por 1 año 24000 dólares y un traje; al cabo de 5 meses es despedido dándole 9300 dólares y el traje. Calcular el valor del traje. 2. A trabaja con “X” caballos en 8 días. Si el mismo trabajo lo hace B con “Y” caballos en 1 días. Halle la razón X:Y 3. Un reloj se atrasa 10 minutos cada día ¿Dentro de cuántos días volverá a marcar la hora exacta? 4. Dos individuos arriendan una finca. El primero ocupa los 5/11 de la finca y paga 60500 dólares de alquiler al año ¿Cuánto paga de alquiler a lquiler bianual el segundo 5. Un cuartel tiene provisiones para 90 días, si se desea que duren 20 días más. ¿En cuánto debe disminuirse la ración? 6. En 10 litros de agua de mar hay 91 gramos de sal. ¿Cuántos litros de agua potable hay que añadir para que por cada 3 litros de la mezcla haya 13 gramos de sal? 7. Con 5 kg de arena se puede formar 8 cubos de 8 cm de lado. ¿Cuántos cubos de 4 cm de lado se podrán










15. 1 obreros inicialmente pensaban hacer una obra en “t” días. Si después de haber hecho la mitad de la obra 8 obreros aumentaron su rendimiento r endimiento n un 25% con lo cual el tiempo total de trabajo fue de 13 días. Hallar “t” 16. 80 obreros trabajan 8 horas diarias construyendo 480 m2 de una obra en 15 días. ¿Cuántos días requieren 120 obreros, trabajando 10 horas diarias para hacer 960 m2 de la misma obra? 17. Una cuadrilla de 10 obreros se compromete a construir en 24 días cierta obra. Al cabo de 18 días sólo han hecho 5/11 de la obra. ¿Cuántos obreros tendrán que reforzar a la cuadrilla para terminar la obra en el tiempo fijado? 18. Uno de los ambientes de la empresa productora de leche “Gloria”, tiene 5 máquinas que trabajan con un rendimiento de 60% para producir 3600 envases cada 4 días de 8 horas diarias. Si se desea producir 7200 envases cuya dificultad es el doble de la anterior, en 6 días trabajando 10 horas diarias. ¿Cúantas máquinas de 80% de rendimiento se requieren? 19. Ocho obreros hacen la apertura de una zanja de 20 m de d e largo, 5 m de ancho y 2 m de profundidad en 5 días, trabajando 10 h/d, con un esfuerzo representado por 4, una actividad como 2 y en un terreno cuya resistencia a la cava está representada por 1. Calcular la longitud que tendrá otra zanja de 4 m de ancho y 1,5 m de profundidad, habiendo sido abierta por 6 operarios que han trabajado durante 40 días, a 8 h/d, con un esfuerzo como 5, una actividad como 3 y un terreno de resistencia como 2. 20. Un regimiento de 160 hombres tienen víveres para 55 días comiendo 3 veces al día. Después de 10 días llega un refuerzo de 40 hombres que traían víveres para 20 días a razón de 3 raciones diarias. ¿Cuántos días duraran el total de víveres que se tiene, sabiendo que ahora todos ellos comen 2 veces al día?












26. Un sastre de categoría A puede hacer 32 ternos en 18 días trabajando 4 horas al día y un sastre de categoría B confecciona 24 ternos en 12 días trabajando 6 horas diarias ¿Cuántos ternos harán 6 sastres de categoría A y 9 sastres de categoría B trabajando 8 horas p or día en 15 días? 27. Veinte obreros y 5 aprendices pueden cavar una zanja de 9 m. x 9x 9m. en 27 días, a razón de 12 horas diarias siendo la habilidad de los obreros como 5 y de los aprendices como 3. ¿En qué tiempo 10 obreros y 10 aprendices cavarán una zanja de 12 x 3 x 48 si trabajan 9 horas diarias, y se esfuerzan sólo los 2/3 que los primeros? 28. Veinte obreros trabajan una obra 5 horas al día y deben terminarla en 15 días. Al cabo de 10 días han hecho solo la mitad y para cumplir con el plazo fijado se contratan 5 obreros y todo el personal cambia el número de horas de trabajo diarias. d iarias. ¿Cuántas son estas?



29. 80 obreros trabajan 8 horas diarias construyendo 480 de una obra en 15 días. ¿Cuántos días requieren 120 obreros, trabajando 10 horas diarias para hacer 960 de la misma obra?

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