aritmetica razones y proporciones demostracionesDescripción completa
Práctica de ejercicios y/o problemas propuestos sobre razones y proporciones.
Descripción: Razones y Proporciones
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Descripción: MATE I
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Razones y Proporciones, ejercios y problemas
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Descripción: Sesion
ARITMETICA
CEPRE-UNI
RAZONES Y PROPORCIONES PROPORCIONES RAZÓN O RELACIÓN DE DOS NÚMEROS Es la comparación de dos cantidades y pueden ser: a)
Razón aritmética ( r ).
Cuando la comparación se realiza por diferencia.
12 – 3 = 9
9 es razón aritmética de 12 y 3
a–b=r b)
Razón Geométrica (r) . 12 3
=4
r es el valor de la razón geométrica de a y b a es el antecedente b es el consecuente
Razón armónica (r).1 2
−
1 a
Cuando la comparación se realiza mediante el cociente. 4 es la razón geométrica de 12 y 3
a = r b c)
r es el valor de la razón aritmética de a y b a es el antecedente b es el consecuente
1 3
=
1 6
−
1 = r b
Es la razón aritmética de las inversas de los dos números 1 es la razón armónica de 2 y 3 6 r es el valor de la razón armónica de de a y b a = antecedente b = consecuente
PROPORCION Es la igualdad de dos razones del mismo tipo. Pueden ser:
a)
Proporción Aritmética: Discretas: Cuando los cuatro términos son diferentes. Cada uno es la cuarta diferencial de los otros tres. Ejemplo: 15 – 8 = 11 – 4
a–b =c–d
a y d : extremos b y c : medios
Continuas: Cuando los términos medios ó los extremos son iguales Ejemplo:
a –b = b– c
15 – 9 = 9 – 3
ING. EDGAR NORABUENA
1
ARITMETICA
Donde:
CEPRE-UNI
b es la media diferencial de a y c, su valor es:
b=
a+c
a y c se denominan terceras diferenciales b)
2
Proporción Geométrica Discreta: Cuando los cuatro términos son diferentes. Cada término es la cuarta proporcional de los otros tres. Ejemplo:
Continua: Ejemplo: Donde:
15 5
=
a b
12 4
=
c d
a y d: extremos
b y c: medios Cuando los términos medios o los extremos son iguales 20 10
10
=
a b
5
=
b c
b=
b es media proporcional de a y c, su valor es:
a .c
a y c : Terceras proporcionales
c)
Proporción Armónica Discreta: Cuando los cuatro términos son diferentes. Cada uno es la cuarta armónica de los otros tres. Ejemplo:
Donde:
1 3
−
1 4
=
1 6
−
1
1 1 1 1 − = − a b c d
12
a y d son los términos extremos b y c son los términos medios
Continuas: Cuando los medios ó los extremos son iguales Ejemplo:
Donde:
1 2
−
1 3
=
1 3
−
1
1 1 1 1 − = − a b b c
6
b en la media armónica de a y c, su valor es: a y c se denominan terceras armónicas
b=
2.a.c a+c
RAZONES GEOMÉTRICAS IGUALES O EQUIVALENTES Es un conjunto de razones geométricas que tienen igual valor. Pueden ser discretas o continuas.
DISCRETA: Cuando todos los términos son diferentes
ING. EDGAR NORABUENA
2
a c e g = = = = k ... (1) b d f h
ARITMETICA
Ejm:
4 6
=
CEPRE-UNI
6 9
=
8 12
=
10 15
a b c ... d (2) ... (2) = = = =k b c d e
CONTINUA:
PROPIEDADES DE LAS RAZONES GEOMÉTRICAS Podemos señalar entre las más importantes
1ª Propiedad
Suma de antecedent es = razón Suma de consecuent es
de la serie (1)
a = bk c = dk e = fk g = hkk hkk (a+c+e+g) = k (b+d+f+h)
a+c+e+g =k b+d+ f +h
2ª Propiedad Elevando las razones (1) a la potencia n y haciendo lo mismo que la demostración anterior, obtenemos:
a n + c n + e n + gn b n + dn + f n + hn
=
kn
3ª Propiedad Multiplicando todas las razones (1)
a ⋅c ⋅e ⋅g 4 =k b ⋅ d⋅ f ⋅h
Aplicando esta propiedad al conjunto de razones continuas, obtenemos:
a⋅b⋅c ⋅d b⋅d⋅ f ⋅h
= k4
a = ek4
Similarmente
a = dk3 ; a = ck2 ; a = bk 4ª Propiedad Las razones (1) se puede escribir como: am cn ep gq = = = =k donde: m, n, n, p, p, q ≠ 0 bm dn fp hq
ING. EDGAR NORABUENA
3
ARITMETICA
CEPRE-UNI
am + cn + ep + gq
y aplicando la 1ª propiedad
bm + dn + fp + hq
5ª Propiedad De la expresión (1) se pueden deducir varias relaciones como las siguientes: