Razonamiento Matemático '+* Cotos Nolasco
Se llama razón o relación de dos cantidades al número que expresa la medida de la primera si la segunda se toma como unidad. En otras palabras es el resu esultado de comparar dos cantidades. Razón aritmtica! a - b = r a r Razón geomtrica! b Térmi érmino nos: s: El pri primer mero se llama lama antecedente " el segundo consecuente. Prop Propor orci ción ón:: Es el resul esulta tado do de igualar dos razones.
a b = b x b$ x= a
RAZONES:
=
Clases:
#roporción aritmtica! a - b = c - d a c #roporción geomtrica! b d
Elías
Propiedades e !as Proporciones "eométricas
Si a los cuatro trminos de una una prop propor orci ción ón geom geomt tri rica ca se les multiplica por un mismo número o se les extrae la raíz de un mismo índice se obtiene una nue%a proporción. $ $ a c a c & & & & $& = &$ & &=& & b d &b & &d & a c = b d #
=
Media aritmética.
a- x = x- b a+ b x= $ Media geométrica.
a x = x b x = ab Cuarta proporcional.
a c = b x
x=
b c a
Tercera proporcional.
'oda 'oda proporción proporción geomtrica puede escribirse de ( maneras di)erentes. a c c a $% &% b d d b a b b a '% (% c d d c b d d b )% *% a c c a c d d c +% ,% a b b a ##
=
=
=
=
=
=
=
=
*a suma o resta de los dos primeros trminos es a la suma o resta de los dos últimos trminos+ como los antecedentes son entre si o ###
Razonamiento Matemático '+, Cotos Nolasco como los consecuentes entre si. a c a &b a b = = Si! = & b d c &d c d
Elías
son
*a suma de los dos primeros trminos es a su resta como la suma de los dos últimos trminos es a su resta. #-
$ Sabiendo que la razón de dos números es 7/3 y su diferencia 244. Hallar estos números y dar el menor.
a c a+ b c+d & = = b d a- b c- d
a, -($ d, -(0
*a suma o la di)erencia de los antecedentes es a la suma o di)er di)erenc encia ia de los consec consecuen uentes tes como cada antecedente es a su respecti%o consecuente. -
a c a &c a c = = = & b d b &d b d En toda proporción geomtrica la suma o resta de los dos trminos de la primera razón es a su consecuente i antec nteced eden ente te como como la suma suma o resta de los dos trminos de la segunda razón es a su consecuente o antecedente. -#
&a &b = a c& b = & b d &a &b = &a
c &d d c &d c
b, -( e, -(1
c, -(/
Resolución:
Sean los números a " b luego! a 2 a- b 2- & = = b b a- b 1 = #ero! a - b = $11 b Reemplazando tenemos. $11 1 = & b = -( b 1$2 Rpta. a 1$2 =
' La suma, la diferen erenc cia y el roducto de dos números est!n en la misma relación que los números ", 3 y #$. Hallar los números.
a, -0"1 d, -2"1
b, -("1 e, -3"1
c, -/"1
Resolución:
-## *a suma suma de antec anteced eden ente tess
es a su di)erencia como la suma de consecuentes es a su di)erencia. a c a+ c b+ d & = = b d a- c b- d
Sean a " b los números. a + b a - b a &b ...........4-, = = / -0 Comp Compon onien iendo do las las dos dos prim primera erass razones.
Razonamiento Matemático '+ Cotos Nolasco a + b+ a - b a - b = /+ 5 tambin. $a a - b ...........4$, = ( a + b- a + b a - b = /- $b a - b ...........4, = $ a - b a &b = #ero se tiene -0 Comparando 4-, con 4$, $a a &b = ( -0 Comparando 4-, " 4, $b a &b a -0 & = Rpta. $ -0 =
) La razón entre la suma de dos números y su diferencia es "/3. %l cociente entre el mayor y el menor es&
a, 1 d, 1
b, / e, $
c, $
Resolución:
a+ b / = a- b a + b = /a - /b (b = $a ( a a 1 Rpta. & = $ b b =
+ 'res número eros son entre si como 2, " y 7 si la suma de estos números es 42(. Hallar el mayor de ellos. a) -/6 b) -(6 c) $-6 d) -(6 e) $16
Elías
Resolución:
a b c 7 $ / 2 a + b + c = 1$6 a+ b+ c = 7 $+ / + 2 1$6 6 = 7 & 7 = 6 -1 c $-6 Rpta. = 6 & c 2 a b c d = = = & Si , si a + b = /8. /8 08 28 (8 *alcular& d c a, 08 b, /8 c, (8 d, 38 e, 28 =
=
=
=
-
Resolución:
d- c = 7 & d - c = 7 ( (8- 28) .......4-, (8- 28 a+ b /8 = 7& = 7&7= /8+ 08 /8( - + 0 ) 2 9 en 4-, d - c = 28( ( - -) 2 d - c = 28 Rpta. ( +os números son entre si como 7 es #2 si al menor se le aumenta 7(, ara que el alor de la razón no se altere el alor del otro otro nume numero ro deb debe tri trili lica cars rse, e, Hallar el mayor numero.
a, -/6 d, $16
b, $-6 e, $6
Resolución:
a 2 2b = & a = ......... ......4-, b -$ -$
c, (6
Razonamiento Matemático '&/ Cotos Nolasco :el enunciado. a + 26 2 = b -$ -$a + (16 = $-b $-b.............4$, .............4$, 4-, En 4$, 2b & -$& & &+ (16 = $-b &-$ & (16 = -1b b
=
Elías
de una roorción es #7$4((, el rimero de estos trminos es #2 5*u!l es el cuarto termino6
a, /
b, 0
d, (
c, 2
e, 3
Resolución:
06 Rpta.
a c = = a d & b c..... ........ ..... ...4 .4-, b d 1$6 Como! a?-$ & d -$ a &d &b @&c = -20166 =
* -n uador de billar 01 se le da de entaa u otro 0 4( carambolas ara #(( y 0 le da de entaa a otro 0* $( cara caramb mbol olas as ara ara #((. #((. *uan *uanta tas s carambolas debe dar 1 a * en un artido de #((. ,
a, 2/ d, 2(
b, 20 e, 23
a &d &( a &d )
( a &d )
$
=
=
-20166
( 1$6)
$
a &d = 1$6 / Rpta. &d =
c, 2
Resolución:
Se %a a considerar lo que a cada uno de los ;ugadores le )alta para completar -66 carambolas. < -66 & = = 06 &Multiplicando = -66 & & = C 16 & < = -66 -66 & = & = C 03 16 < -66 = Signi)ica que a C le )alta C $1 $1 para completar los -66. ><> le da %enta;a 20 Rpta. %l roducto de los 4 trminos
$/ La suma de los cuadrados de los cuatro trminos de una roorción eomtrica continua es iual a 722". *alcular la media roorcional si la diferencia de los etremos es 7".
a, -6 d, 16
b, $6 e, /6
c, 6
Resolución:
a b = & dato ! a - c = 2/ b c #ropiedad! b$ = a.c Sea!
Razonamiento Matemático '&$ Cotos Nolasco a$ + b$ + b$ + c$ = 2$$/ a$ + $b$ + c$ = 2$$/ $ $ +$ :ato! a - 11 $ac1+1c = 2$$/
( a + c)
$
=
( (/ )
$
a + c = (/ a + c = (/ Se tiene que! a - c = 2/
a = (6 c=/
b$ = a &c Nos piden! $ b = (6 &/ b $6 Rpta. =
Elías
que resulta triplicada si se agr agrega ega a sus sus dos dos tr trmi min nos su denominador. a, b, c, $ / d, e, N.< 0 ) *a relació elación n geomt geomtric rica a entr entre dos números cu"a suma es 0/+ se in%ierte si se aade -2 al meno enor " se quita -2 al ma"or "or ACuál es el menor de dicDos númerosB a, 6 b, $/ c, / d, 16
e, N.< N.<
+ El
producto de los cuatro trm trmin inos os de una una prop propor orci ción ón es /60$ /60$/ / uno uno de los los extr xtremos emos es -3 del otro " los medios son iguales ACuáles son los trminos de esta proporciónB a, -/"/ b, -/" c, -/"0 d, -/"2 e, -/"( & *a suma+ la di)eren erenccia " el
$ *a suma del antecedente " el
consecuente de la razón geo geomt mtrica rica es $0 ACu ACual es su di)erencia si la razón %ale 6+61B a, $1 b, $0 c, $( d, $/ e, $( ' Cu Cual al es la )rac )racci ción ón ordi ordina nari ria a
producto de dos números enteros están en la misma relación que los números 2+ - " 1(. Fallar el cociente de los números. a, -+ b, -+ / c, -+ ( d, -+2 e, -+ a ( ( Siendo + a + b = 1/6 + b Fallar! * a b. =
-
Razonamiento Matemático '&' Cotos Nolasco a, 06 d, /6
b, -(6 e, 1$6
, Si a + b + c = $-6 +
c, -(/ a b c = = Fallar! / 2
( b + 6) ( c + $) ( a + 0)
a, -6 d, -60
c, $66
e, $666
a c Si! G a$ + b$ + c $ + d $ = $/ b d . Calcular! a + b + c + d a, $2 b, $3 c, $1 =
d, 6
e, $/
a c G b d a + b + c + d = -/ Fallar! a &b &c &d a, $620 b, $-(0- c, $/ Sabiendo que!
d, $-30
triangulo rectángulo es $ ACuál es el ma"or de los ángulosB a, 0 b, 1( c, 0$ d, /1 e, /$ a c $+ Se tien tiene e la razó razón! n! si! b d aHb?16 " cHd?/6 ACuánto %ale c dB a, 2./ b, (.$ c, 2.1 d, (.3 e, N.< =
b, -6
1
Elías
=
$-22
e, $620
-
$& El radio de la luna es los I
del radio terrestre " el radio del sol es igual a -6( radios terrestres ACuál es la relación de los radios de la luna " el solB a, b, c, 20 3( 3/ d, e, 3$ 31 $( *a suma de los cuadrados de
a- b b a = $$ Fallar! si. a &b 2 &1 b ( / 2 a, b, c, 2 / d, e, ( $
los cuatro trminos de una prop propor orci ción ón geom geomt tri rica ca es $/. $/. Fallar la suma de los 1 trminos. a, -( b, $3 c, 0 d, / e, $2
Cuantas proporciones cont contin inua uass tien tienen en como como term termin ino o medio -66. a, -6 b, -c, -$ d, - e, -1
( " su suma es $132. Fallar el menor. a, /$2 b, /c, 03d, 2e, 0(-
$'
$) *a relac elació ión n de los los ángu ángulo loss
agudo gudoss de un tria riangul ngulo o de un
$* *a razón de dos números es
$, *a razón de dos números es
6+-$/ si la suma de los trminos es $23. Fallar el consecuente. a, $13 b, $1( c, $/6
Razonamiento Matemático '&) Cotos Nolasco d, $06
e, N.< N.<
$ Si! aHbHc?$/
a 0 c = = = 7 G Fallar! Jc> ( b $6 a, / b, 0 c, -6 d, $6 e, $6 '/-/ es la media proporcional de
a " $/G $a es la tercera proporcional de ( " b+ cual es la cuarta proporcional proporcional de a+ b " -/. a, -/ b, $6 c, -0 d, -( e, $1 a c a - b c - d = 2$3 )( ) '$ Si! + ( b d Fallar! ac - bd. a, -( b, (.$1 c, $ d, ( e, $2 a c e g '' Si! = = = b d ) D ac a $ aD + + = . Fallar la bd ) $ bg suma suma de los ante antece cede dent ntes es++ si la suma de los consecuentes es -/. a, 06 b, 6 c, 1/ d, (6 e, 36 =
') :os números est están en la
relación de $ a /+ pero agregando -2/ al primero " --/ al segundo+ los los dos son son ig igu uales les. Fall Falla ar su suma. a, 26 b, -$6 c, -16 d, (6 e, -66
Elías
'+ A:en A:entr tro o de cuan cuanto toss aos aos la
relac elació ión n entr entre e las las edad edades es de $ personas será 20+ si sus edades actuales son 16 " 6 aosB a, 1/ b, 16 c, 6 d, $/ e, / '& *a razón de $ números es I "
los $ de su producto es --/$ el ma"or es! a, (1 b, 0 c, 13 d, 1( e, 1/ '( *a suma suma++ la di di)e )errenci encia a " el
producto de dos números+ están en la misma rela elación que los números 1+ $ " -/. ACuál es el ma"orB a, -/ b, -0 c, -1 d, -$ e, -( '*
S Sii! aa ( ( ) es a bba ( ( ) como
( ( ) es a -6 ( ( ) . Fallar! /a - (b a, 2 d, $
b, ( e, -
c, 0
En -32 -323 3 la razó razón n entr entre e las las edades de < " = era de 2. Si < naci nació ó cuan cuando do = teni tenia a $6 aos aos.. Fallar la razón de sus edades en -3(1B a, b, c, $ / $ $ / d, e, ',
Razonamiento Matemático '&+ Cotos Nolasco #ara un partido de -66 cara caramb mbol olas as #edr edro da a *uís *uís 16 carambolas de %enta;a " *uís da a Manuel 06. ACuántas carambolas de %enta;a debe dar #edro a ManuelB a, /6 b, 0( c, (6 d, 20 e, N.< '
Elías
es 066. ACuál es el terceroB terceroB a, ($/ b, 0$6 c, 1$/ d, 2/ e, 1/
)+ En una proporción continua el
la razón de Jr> a Js> es !1 ACuál es la razón de ps a qrB a, ( ! 3 b, - ! $ c, ! $ d, 3 ! ( e, N.<
product ducto o de los 1 tr trmi min nos es igual a $620+ " el cuarto termino es el doble de la suma de los trminos medios+ ACuál es el termino medioB a, -6 b, -( c, $1 d, -1 e, -$
)$ El radio de la luna es los --
)& *a suma de números es $1+
)/ *a razón de Jp> a Jq> es $! "
del radio terrestre+ " el diámetro del sol es igual a los -6( diámetros terrestres. ACuál es la razón entre los radios de la luna " el solB --a, b, c, 20 --$6 -$6 d, e, -2( 30 )' *a suma de los 1 trminos de
una proporción es 0/+ cada uno de los últimos trminos es los $ del anterior. ACuál es el últimoB a, ( b, 2 c, 3 d, -6 e, -$ )) *a suma de números es
-1$/+ la razón del primero " el segundo es -- " su di)erencia
la razón de dos de ellos es " la suma de estos di%idido entre el tercero es igual a /. Kno de los números es! a, 0 b, ( c, / d, 3 e, -6 )( Si la razón de la suma con la
di)erencia de $ números enteros positi%os es /. ACuál es el número ma"or+ si su producto es 01B a, -0 b, 1 c, ( d, $ e, 01 a + b a - b ab = = / -0 a a (b Fallar! E = + + b $b $b a a, 0 b, c, ( d, 3 e, -$ )* Si!
Razonamiento Matemático '&& Cotos Nolasco ), Sea la #.
a- + $ a $ + a + ( = = -6 $/ /6 Fallar! a - a$ - a-a, / b, c, $ 1 1 -$ d, e, -1 -
-
-
-
) *a base base de un tria triang ngul ulo o es
dos %eces el lado de un cuadrado de igual áreaG entonces la razón entre la altura del triangulo " el lado del cuadrado es! a, b, c, 1 $ d, $ e, 1 a + entonces la b 1 expresión incorrecta es! a+ b 2 b 1 = = a, b, b 1 b- a +/
Si Si!
=
c,
a + $b -= b
e,
a- b = b 1
d,
a = $b (
1.
2.
3.
4
5.
6.
7.
8.
9.
a
c
c
b
a
d
d
a
e
10.
11.
12.
13
14.
15.
16.
17.
18.
Elías
c
c
d
a
a
e
e
b
d
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
b
e
a
c
c
d
a
a
e
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
d
a
d
a
d
c
c
a
c
37.
38.
39.
40.
41.
b
c
e
e
c
