PARA POSTULANTES A LA: UNA-PUNO, UNAJ-JULIACA Y POLICIA NACIONAL DEL PERU
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PROGRESIONES PROGRESIÓN ARITMÉTICA
Se cumple que a + 8r = b
b + 6r = c
PROGRESIÓN ARITMÉTICA CUADRÁTICA
Es una sucesión cuya forma presenta la Es una sucesión cuya forma presenta la siguiente secuencia: siguiente secuencia: t1 ; t 2 ; t 3 ; t 4 ; ; t n LO → t 0 ; t 1 ; t 2 ; t 3 ; t 4 ; … ; t n +r +r +r RA → m 0 m1 m 2 m 3
MÉTODO DEL RENATO
t= r n + t0 = tn n
MI → + r n −1 n −1 t 1C 0 + rC1
+r
→ Razón única
Su término general se calcula así:
Donde: t 1 : Primer término
2
t n = An + Bn + C ↓ MI
t n : Último término
n : Número de términos t 0 : Término anterior al primero r
+r
↓ ↓ RA LO
El termino enésimo también lo podemos calcular utilizando el método combinatorio.
: Razón de la sucesión
n −1
MÉTODO DEL TRINCHI
t n =t 1C 0
a, b, c, están en progresión aritmética a ; b ; c ; ... a+c = 2b
n −1
+ m1 C 1
n −1
+ rC 2
Donde: "k" factores descendentes n(n − 1)(n − 2)(n − 3) n Ck = 1× 2 × 3 ×× k
MÉTODO DE MONTAÑAS En toda progresión aritmética se cumple:
PROGRESIÓN GEOMÉTRICA +8r
2
+6r
Es una sucesión cuya forma presenta la siguiente secuencia:
t6
t 14
t 20
a
b
c
t1 ; t 2 ; t 3 ; t 4 ; ; t n ×q ×q ×q
PARA POSTULANTES A LA: UNA-PUNO, UNAJ-JULIACA Y POLICIA NACIONAL DEL PERU
MÉTODO DEL TU NO TE QUIERES NADA
10 x = 120 x = 12
Se cumple: t n= t 1 × q
n −1
Donde: q : Razón
= q
t2 t3 t4 = = = t1 t 2 t 3
(q ≠ 0; q ≠ 1)
Aplicación N.° 02 Calcula el valor de “n” en la P.G.: (n − 3) ; n ; (n + 12) ; ...
Resolución
t 1 : Primer término
Como es una P.G. sabemos que:
t n : Último término
2
n = (n − 3) × (n + 12)
n : Número de términos
2
MÉTODO DEL TRINCHI a, b, c, están en progresión geométrica a ; b ; c ; ...
a×c = b
2
n = n + 9n − 36 36 = 9n n=4
2
Aplicación N.° 03
Si la diferencia de los términos de lugares 65 y 40 de una P.A. creciente es 75 y el término de En toda PG se cumple: lugar 30 es 152, entonces el término de lugar Si el número de elementos es impar, entonces 100 de la progresión es: existirá un término central (t c ) , donde:
MÉTODO DE MONTAÑAS
Resolución
×q
7
×q
Del enunciado se tiene
5
+ 10 r
t6
a
t 13
t 18
b
c
Se cumple que 7
a×q = b
5
b× q = c
REFUERZATE
+ 25r
+ 35r
T30
T40
T65
T100
152
m
m + 75
x
De la segunda montaña m + 25r =m + 75 25r = 75 r=3
De la primera montaña m 152 + 10r = Aplicación N.° 01 152 + 10(3) = m Calcule el valor de “x” en la siguiente m = 182 progresión aritmética. (3 x + 2) ; (59 − x ) ; (5 x − 4) ; ... Hallemos el término 100 en la tercera montaña Resolución m + 75 + 35r = x Se sabe que: 182 + 75 + 35(3) = x (3 x + 2) + (5 x − 4)= 2(59 − x ) x = 362 8 x − 2= 118 − 2 x PARA POSTULANTES A LA: UNA-PUNO, UNAJ-JULIACA Y POLICIA NACIONAL DEL PERU
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JOHN JOHN JOHN JOHN
MAMANI MAMANI MAMANI MAMANI
JOHN JOHN JOHN JOHN
MAMANI MAMANI MAMANI MAMANI
JOHN JOHN JOHN JOHN
MAMANI MAMANI MAMANI MAMANI
JOHN JOHN JOHN JOHN
MAMANI MAMANI MAMANI MAMANI
JOHN JOHN JOHN JOHN
MAMANI MAMANI MAMANI MAMANI
JOHN JOHN JOHN JOHN
MAMANI MAMANI MAMANI MAMANI
JOHN JOHN JOHN JOHN
MAMANI MAMANI MAMANI MAMANI
JOHN JOHN JOHN JOHN
MAMANI MAMANI MAMANI MAMANI
JOHN JOHN JOHN JOHN
MAMNI MAMNI MAMNI MAMNI
PRACTIQUEMOS JUNTOS 01. Indica el término 50 en la progresión 08. En la sucesión siguiente: encontrar el aritmética:
A) 16 D) 10
100; 97; 94; 91,… B) 13 C) –42 E) –47
primer término negativo. 64 ; 57 ; 50 ; 43 ; …..
UNA Puno – 2013
A) –12 D) –8
02. Halle el término que ocupa el lugar 18 en la siguiente progresión aritmética: 20 ; 16 ; 12 ; ...
UNA Puno – 2008
A) 88 D) 52
B) –52 E) –44
C) –48
09. Si 2 x ; x
C) –7
2
; 8 x ; ... es una PA. Halle el valor de “x” A) 3 B) 5 C) 1 D) 2 E) 32
03. ¿Cuántos términos tiene la siguiente 10. Si progresión aritmética? 64; 74; 84; ... ; 2974 A) 296 B) 189 C) 190 D) 200 E) 292
B) –6 E) –3
2
x ; x ; 5 x ; ... es una sucesión aritmética. Encuentre el valor de “x” UNA Puno – 2016
A) 3 D) 4
B) 1 E) 5
C) 6
04. Encuentre el número de términos de la 11. Si x, y, z son elementos consecutivos de serie aritmetica: S = 2 + 7 + 12 + 17 + + 197
una progresión aritmética, simplificar S=
UNA Puno – 2015
A) 360 D) 40
B) 47 E) 390
C) 28
05. Encuentre el doceavo término de la siguiente sucesión: 1 ; 7 ;19 ; 37 ; … A) 397 B) 399 C) 398 D) 379 E) 396
06. Halle el número que ocupa la posición 10 en la siguiente sucesión. 2 ; 11 ; 26 ; 47 ; ….
A) 2/5 D) 7
2
y ( x + z) ( x + y + z)
B) 2/27 E) 4/9
3
C) 1/9
12. Simplificar: S=
5b(a + b + c ) (a + c )
Si a, b, c están en P.A. A) 2/5 B) 2/27 D) 15/4 E) 12/9
2
C) 1/9
UNA Puno – 2014
A) 270 D) 285
B) 279 E) 265
C) 299
07. Cuál es el primer término negativo: A) –1 D) –3
4
695; 689; 683; 677;..... B) –5 C) –6 E) –4
13. Si los términos consecutivos de una progresión aritmética son: (3 x − y) ; (2 x + 3y) ; (4 x − 5 y) Halle, la relación x/y A) 2 B) 8 D) 6 E) 3
C) 4
PARA POSTULANTES A LA: UNA-PUNO, UNAJ-JULIACA Y POLICIA NACIONAL DEL PERU
14. Los términos consecutivos de una P.A. son:
( x + y) ; (4 x − 3y) ; (5 y + 3 x );...
La razón entre “x” e “y” es:
UNA Puno – 2016
A) 2 D) 6
B) 8 E) 3
C) 4
15. En una P.A., el cuarto término es 8 y el
sétimo término es 14. Halle el término del lugar 20. A) 100 B) 10 C) 15 D) 117 E) 40
16. El cuarto término de una progresión
A) 130 D) 128
B) 119 E) 129
C) 120
21. En una dulcería Lucio compra una caja
de chocolates y el vendedor le regala un chocolate por su compra. En una segunda vez compra dos cajas y le regalan 3 chocolates, la tercera vez compra 4 cajas y le regalan 6 chocolates, la cuarta vez compra 7 cajas y le regalan 10 chocolates. ¿Cuántos chocolates recibirá cuándo entre a la tienda por décima cuarta vez? Cada caja contiene 11 chocolates A) 1011 B) 1116 C) 1111 D) 1117 E) 1118
aritmética es 16 y el décimo término es 28, calcule el término de lugar 50 22. Diego va a un tienda a comprar un A) 108 B) 192 C) 102 caramelo, regalándole el vendedor un D) 121 E) 110 caramelo por su comprar. En una segunda vez compra 3 caramelos y le 17. El quinto término de una P.A. es 34 y el regalan 2, en la tercera vez compra 6 y le décimo término es 54. Halle la suma de regalan 3, en la cuarta vez compra 10 y los términos al cuadrado del sexto al le regalan 4, en la quinta vez compra 15 octavo término. y le regalan 5 y así sucesivamente. A) 3524 B) 5324 C) 2345 ¿Cuántos caramelos recibirá en total D) 2305 E) 3452 cuando compre por vigésima vez?
18. El tercer término de una progresión
aritmética es 12 y el octavo es 27. Halle la suma de los términos al cuadrado del cuarto al sexto término. A) 940 D) 990
B) 900 E) 980
UNA Puno – 2014
C) 890
19. Hallar el número de términos de la progresión aritmética: 31 (n) ; 35 (n) ; 40 (n) ; ; 400 (n)
A) 74 D) 72
B) 76 E) 73
C) 75
20. ¿Cuántos términos tiene la progresión aritmética? 25 (b) ; 40 (b) ; 51 (b) ; ; 4110 (b)
UNA Puno – 2017
A) 240 D) 220
B) 230 E) 200
C) 210
23. La suma del octavo y decimo término de
una P.A. es 900 y la relación del segundo y decimo termino es como 1 es a 5. Halle el sétimo termino A) 350 B) 320 C) 310 D) 230 E) 300
24. La suma del sexto y décimo segundo
término de una progresión aritmética es 1800 y la relación del cuarto y décimo segundo es como 2 es a 6. Halle el segundo término.
UNA Puno – 2015
A) 150 D) 100
B) 200 E) 90
C) 180
UNA Puno – 2015 PARA POSTULANTES A LA: UNA-PUNO, UNAJ-JULIACA Y POLICIA NACIONAL DEL PERU
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25. Flor se encuentra en un una huerta de
6:18a.m., se realiza 9 abdominales; a las 6:19a.m., se realiza 14 abdominales y así cerezas donde comienza a comer de éste sucesivamente. de la siguiente manera: el primer día Si Kevin llego al patio a las 6:59a.m., come 3 cerezas, el segundo día come 8 ¿Cuántos abdominales deberá realizar? cerezas, el tercer día come 13 y así A) 1325 B) 1034 C) 1024 sucesivamente; hasta que cierto día se da D) 1045 E) 1028 cuenta que el número de cerezas que comió ese día era 8 cerezas menos que el doble de cerezas que comió el décimo 29. Tres números positivos forman una progresión aritmética y además su suma día ¿Cuántos días han transcurrido hasta es 21. Si a esos números añadimos 2; 3 y ese cierto día? 9 respectivamente obtenemos una A) 20 B) 19 C) 18 progresión geométrica. Calcula el D) 17 E) 16 producto de estos números. A) 231 B) 240 C) 238 26. Krystel se encuentra en un viñedo donde D) 236 E) 228 comienza a comer de éste de la siguiente manera: el primer día come 4 uvas, el segundo día come 7 uvas, el tercer día 30. Hay 3 números que forman una P.A. y la suma de todos ellos es 36. Si se les suma come 10 y así sucesivamente; hasta que 1; 6 y 35 respectivamente forman una cierto día se da cuenta que el número de P.G. Calcula el producto de los tres uvas que comió ese día era 11 uvas números iniciales. menos que el triple de uvas que comió el A) 1200 B) 1210 C) 1150 décimo día ¿Cuántos días completos han D) 1140 E) 1250 transcurrido hasta ese día? A) 25 D) 20
B) 30 E) 21
UNA Puno – 2005
C) 26
27. En la I.E., el profesor de C.T.A. decide
31. Lucrecia se dedica a la venta de revistas. El primer día vende 6; el segundo día vende 9; el tercer día, 14; el cuarto día, 21 y así sucesivamente hasta que el ultimo día vendió 630 revistas. ¿Cuántos días estuvo vendiendo? A) 25 B) 26 C) 35 D) 28 E) 15
sancionar a sus estudiantes de acuerdo a su hora de llegada. Al que llega a las 8:16 am se le descuentan 3 puntos; al que llega a las 8:17 am se le descuentan 7 puntos; al que llega a la 8:18 am se le descuentan 11; al de 8;19 se le descuentas15, y así sucesivamente. Si René llegó a las 8;59 am, ¿cuántos 32. Alberto comenzó a leer un día jueves de la siguiente manera: El primer día, 3 puntos se le descuentan? UNSA Arequipa – 2017 páginas; el segundo día, 7 páginas; el A) 59 B) 121 C) 63 tercer día, 13 páginas; el cuarto día, 21 y D) 44 E) 175 así sucesivamente hasta que el último día leyó 601 páginas. ¿Qué día terminó de 28. En un cuartel, el mayor decide que cada leer? cadete realice abdominales de acuerdo a A) jueves B) sábado C) miércoles su hora de llegada al patio. A las 6:16a.m. se realiza 2 abdominales; a las D) martes E) lunes 6:17a.m., se realiza 5 abdominales; a las
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PARA POSTULANTES A LA: UNA-PUNO, UNAJ-JULIACA Y POLICIA NACIONAL DEL PERU
