Rapport TP 1 et 2

Ecole Nationale Supérieure d’Arts et Métiers Casablanca

Analyse temporelle d’un système dynamique du 1er ordre et du 2ème ordre Rapport TP n° 1 et n°2 de la Régulation Industrielle

Réalisé par :

 ABOUDRAR Basma  ACHOR Zineb  EL BECHARI Reda  EL BOUAMI Sarah  EL KHAOURI Wiam

Encadré par :

Mr.Chikh

Analyse temporelle d’un système dynamique du 1er ordre et du 2ème ordre

TP n° 1 : Analyse temporelle d’un système dynamique du 1er ordre

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Introduction : L’étude complète d’un système est composée de deux parties : son étude temporelle et son étude fréquentielle. En ce qui concerne l’étude temporelle, nous nous intéresserons ici à identiﬁer les réponses s(t)de systèmes étudiés à des signaux d’entrée e(t) relativement simples, appelés entrées canoniques, qui sont l’impulsion de Dirac d(t), l’échelon unitaire u(t) et la rampe unitaire v(t). La réponse d’un système à une impulsion de Dirac est appelée réponse impulsionnelle ; la réponse d’un système à un échelon unitaire est appelé réponse indicielle. Dans ce TP on va se familiariser avec le logiciel Matlab en essayant de dessiner la réponse d’un système du 1 er ordre pour trois entrées différentes ; échelon, rampe, et accélération.

Objectif : L'objectif de ce TP est de se familiariser avec tous les aspects des systèmes du premier ordre. Cette familiarisation introduit la fonction de transfert complexe, puis la fonction de transfert en représentation de Laplace pour aboutir à tous les diagrammes utilisés en automatisme, en réalisant un fichier exécutable sous Matlab.

Etude théorique : Soit le circuit RC donné par le schéma du montage suivante :

1. Appliquons la loi de Kirchhoff des tensions, l’équation différentielle qui régit le fonctionnement de ce circuit est :

3


2. La fonction de transfert du système : En appliquant la transformé de Laplace, on a

3. Déterminons :  Le gain statique: K=1 d’après la fonction de transfert 

La constante de temps : T= RC = 3,15ms

4. Déterminons la réponse du système à l’application d’un échelon d’amplitude On a



Le graphe obtenu est de la forme :

K=E0 et T= R*C

4

:




Calculons le temps de montée et le temps de réponse :

)

5. Déterminons la réponse du système à l’application d’une rampe de pente a : On a

D’où On peut simuler cette réponse par le graphe suivant :

et y(t)= s(t) 

Calculons l’erreur de trainage (erreur de vitesse)

On a

5


6. Traçons la réponse du système lorsque nous appliquons une impulsion e(t)= entrée du système.

comme

On a

Avec K=

et T=

Analyse sous Matlab : La fonction de transfert calculée dans la partie théorique : %%TP1 Analyse temporelle d'un système dynamique 1er ordre % Reponse impulsionnelle t=0:0.0001:0.1 ; % Discretisation du temps de 0 à 0.1 par un pas de 0.0001 R= 50; C= 63*10^-6; num=[ 1 ] ; % Numerateur de la fonction de transfert den=[R*C 1] ; % le denominateur de la FT sys=tf(num,den) ; % création de la FT y1=impulse(sys,t) ; % La reponse impulsionnelle y0=y1(1) plot(t,y1); % Le graphe de la reponse impulsionnelle title('Reponse impulsionnelle')

6


Réponse impulsionnelle %%TP1 Analyse temporelle d'un système dynamique 1er ordre % Reponse indicielle t=0:0.0001:0.1 ; % Discretisation du temps de 0 à 0.1 par un pas de 0.0001 R= 50; C= 63*10^-6; num=[ 1 ] ; % Numerateur de la fonction de transfert den=[R*C 1] ; % le dénominateur de la FT sys=tf(num,den) ; % création de la FT y1=step(sys,t) ; % La reponse impulsionnelle y0=y1(1) plot(t,y1); % Le graphe de la reponse indicielle title('Reponse indicielle')

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Réponse indicielle %%TP1 Analyse temporelle d'un système dynamique 1er ordre % Réponse indicielle t=0:0.0001:0.1 ; % Discretisation du temps de 0 à 0.1 par un pas de 0.0001 R= 50; C= 63*10^-6; num=[ 1 ] ; % Numérateur de la fonction de transfert den=[R*C 1] ; % le dénominateur de la FT sys=tf(num,den) ; % création de la FT y1=step(sys,t) ; % La reponse indicielle plot(t,y1); % Le graphe de la reponse indicielle title('Reponse indicielle') hold on ym=max(y1 ) ; yt=0.63*ym ; max_idx=find(y1>=yt, 1 ); tau=t(max_idx) plot([tau tau],[0 yt],'m--') str=sprintf('tau=%3.4f s',tau); gtext (str)

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Réponse indicielle %%TP1 Analyse temporelle d'un système dynamique 1er ordre % Reponse indicielle t=0:0.0001:0.1 ; % Discretisation du temps de 0 à 0.1 par un pas de 0.0001 R= 50; C= 63*10^-6; num=[ 1 ] ; % Numerateur de la fonction de transfert den=[R*C 1] ; % le denominateur de la FT sys=tf(num,den) ; % création de la FT y1=step(sys,t) ; % La reponse impulsionnelle plot(t,y1); % Le graphe de la reponse indicielle title('Reponse indicielle') hold on % Calcul de la constante du temps ym=max(y1 ) ; yt=0.63*ym ; max_idx=find(y1>=yt, 1 ); tau=t(max_idx) plot([tau tau],[0 yt],'m--') str=sprintf('tau=%3.4f s',tau); gtext (str)

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% Calcul du temps de montée Tm=t(find(y2>=0.9*k,1))-t(find(y2>=0.1*k,1)) % Calcule de temps de réponse Tr=t(find(y2>=0.95*k,1)) plot([Tr Tr],[0 k],':') str1=sprintf('t. rep =%3.4f s',Tr); gtext (str1) hold off

Réponse indicielle

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%Réponses indicielles du système correspondantes aux différentes valeurs de %tau(0.0016-rouge-, 0.0032-bleu-, 0.0064-vert-)

t=0:0.0001:0.1 ;

% Discretisation du temps de 0 à 0.1 par un pas de 0.0001

num=[ 1 ] ; % Numerateur de la fonction de transfert % les denominateurs de la FT den1=[0.0016 1] ; den2=[0.0032 1]; den3=[0.0064 1]; % création des FT sys1=tf(num,den1) ; sys2=tf(num,den2); sys3=tf(num,den3); y1=step(sys1,t) ; plot(t,y1,'r'); % Le graphe de la reponse indicielle hold on y2=step(sys2,t); plot(t,y2,'b') y3=step(sys3,t); plot(t,y3,'g') hold off legend('tau= 0.0016','tau= 0.0032','tau= 0.0064') title('Réponse indicielle "variation de tau"')

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Réponse indicielle variation de tau %Réponses à une rampe du système correspondantes aux différentes valeurs de %tau(0.0016-rouge-, 0.0032-bleu-, 0.0064-vert-)

t=0:0.0001:0.1 ; % Discretisation du temps de 0 à 0.1 par un pas de 0.0001 a=2; num=[ 1 ] ; % Numerateur de la fonction de transfert % les denominateurs de la FT den1=[0.0016 1] ; den2=[0.0032 1]; den3=[0.0064 1]; % création de la FT sys1=tf(num,den1) ; sys2=tf(num,den2); sys3=tf(num,den3); u=a*t ; y1=lsim(sys1,u,t) ; plot(t,y1,'r'); % Le graphe de la reponse

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hold on y2=lsim(sys2,u,t) ; plot(t,y2,'b') y3=lsim(sys3,u,t) ; plot(t,y3,'g') hold off legend('tau= 0.0016','tau= 0.0032','tau= 0.0064') title('Réponse à une rampe 2*t "variation de tau"')

Réponse à une rampe 2*t variation de tau

%Erreur de trainage correspondantes aux différentes valeurs de %tau(0.0016-rouge-, 0.0032-bleu-, 0.0064-vert-)

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t=0:0.0001:0.1 ; % Discretisation du temps de 0 à 0.1 par un pas de 0.0001 a=2; num=[ 1 ] ; % Numerateur de la fonction de transfert % les denominateurs de la FT den1=[0.0016 1] ; den2=[0.0032 1]; den3=[0.0064 1]; % création de la FT sys1=tf(num,den1) ; sys2=tf(num,den2); sys3=tf(num,den3); u=a*t' ; y1=lsim(sys1,u,t) ; plot(t,u-y1,'r'); % Le graphe de l'erreur de trainage er_red= max(u-y1) hold on y2=lsim(sys2,u,t) ; plot(t,u-y2,'b') er_blue= max(u-y2) y3=lsim(sys3,u,t) ; plot(t,u-y3,'g') er_green= max(u-y3) hold off legend('tau= 0.0016','tau= 0.0032','tau= 0.0064') title('Erreur de trainage "variation de tau"')

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Erreur de trainage variation de tau

Conclusion: A l’issu de ce TP, on a pu analyser les réponses de ces systèmes à des entrées différentes et déterminer les performances tout en utilisant le logiciel Matlab qui nous a facilité l’étude qu’on fait habituellement par la main.

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TP n° 2 : Analyse temporelle d’un système dynamique du 2ème ordre

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Objectif : L’objectif de ce TP est d’exploiter les connaissances acquises, pendant le cours sur l’analyse temporelle d’un système dynamique du 2eme ordre. L’étudiant, après une étude théorique des systèmes proposés, devra d’abord réaliser un fichier exécutable sous Matlab afin d’analyser les réponses de ces systèmes à des entrées différentes et de déterminer leurs performances. La représentation d’un modèle sous Simulink va permettre ensuite de visualiser les réponses du système étudié.

Etude théorique :  Exemple 1 : Circuit RLC Etant donné un circuit RLC suivant avec les caractéristiques suivantes : R=20Ω, L=3mH, et C=5µF.

Figure1. Circuit RLC 1. La fonction de transfert : D’après la loi des mailles on trouve :

Avec :

Remplaçons chaque terme par sa valeur, on trouve :

En utilisant la transformée de la place, et en tenant compte que :

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on trouve :

Analyse temporelle d’un système dynamique du 1er ordre et du 2ème ordre D’où la fonction de transfert du système :

2. Détermination des éléments du système : On sait le modèle de fonction de transfert d’un circuit d’ordre 2 est le suivant :

On identifie la fonction de transfert avec le modèle (1), on trouve :

3. Les réponses de l’équation de transfert à différentes entrées :  Réponse à un échelon unitaire :

On a

donc le système à un comportement oscillatoire :

Cette réponse se compose de deux parties, la première correspond au régime transitoire, la seconde au régime permanent.



Réponse à une rampe de pente a=2 :

Avec une entrée de type Dirac

:

Système sous amorti :

7482t)

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Analyse temporelle d’un système dynamique du 1er ordre et du 2ème ordre 

Réponse à une impulsion de 1 :

 Exemple 2 : Système mécanique oscillant On considère le système mécanique donné par (Fig.2). L’application d’une force f (t) (entrée du système) sur le système provoque des oscillations de la masse m suivant la direction x(t) (la sortie du système). Le système est constitué, en plus de la masse m, d’un ressort de raideur k et d’un amortisseur de coefficient b.

L’équation différentielle correspondante à ce système est la suivante : ′+

"+

= (2)

1. La fonction de transfert du système : On appliquant la transformée de la place sur l’équation (2) on obtient : Ce qui donne :

2. Paramètres du système : A un échelon f(t)= 2 N.m ce qui donne après une transformée de la place :

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La réponse est :

On cherche les paramètres m, b, K :  On a d’après la Fig.3 :  On a

,

et aussi

D’où :

Avec -

=0,6 et

(pseudo-période)

On obtient : .

Ce qui donne

et donc

Analyse sous Matlab :  Exemple 1 : %definition des parametres du problemes R=20; L=3*10^-3; C=5*10^-6; num=1; den=[C*L R*C 1]; wn=1/sqrt(C*L); z=(R/2)*sqrt(C/L); t=0:0.0001:0.01; %fonction de transfert fct=tf(num,den) %réponse à une impulsion y1=impulse(fct,t); figure(1) plot(t,y1) title('réponse à impulsion') %réponse à un échelon y2=step(fct,t); figure(2)

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plot(t,y2) title('réponse à échelon') hold on %calcul de tau ym=max(y2); yt=0.63*ym; idx=find(y2>=yt, 1 ); tau=t(idx); plot([tau tau],[0 yt],'m--') str=sprintf('tau=\n%1.5fs',tau); gtext(str) tr=3/(z*wn) %tm=atan((-sqrt(1-z^2)/z)*(180/pi))/(wn*sqrt(1-z^2)) tp=pi/(sqrt(1-z^2)*wn) D=exp(-z*pi/sqrt(1-z^2))*100 %valeur pour laquelle z=1 - amortissement critique R1=2*sqrt(L/C) hold off %reponse a un echelon unitaire pour R= 0, 20, 60 R0=[0 20 60]; figure(3) hold on den1=[C*L R0(1)*C 1]; den2=[C*L R0(2)*C 1]; den3=[C*L R0(3)*C 1]; sys1=tf(num,den1); y1=step(sys1,t); plot(t,y1,'r') sys2=tf(num,den2); y2=step(sys2,t); plot(t,y2,'b') sys3=tf(num,den3); y3=step(sys3,t); plot(t,y3,'y') ksi=(R0/2).*sqrt(C/L); legend(strcat('R=0 , ksi=', num2str(ksi(1))),... strcat('R=20 , ksi=', num2str(ksi(2))),... strcat('R=60 , ksi=', num2str(ksi(3)))); title('Reponse a echelon unitaire') hold off %reponse a une rampe figure(4) R0=60; u=2*t'; den2=[C*L R0*C 1]; fonct=tf(num,den2); yr=lsim(fonct,u,t); plot(t,yr,t,u);

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title('Reponse à une rampe') figure(5) plot(t,u-yr); err=max(u-yr); hold on plot([0 0.01],[err err],'r--'); hold off

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 Exemple 2 : clear clc m=5.187; k=20; b=12.223; wn=sqrt(k/m) z=b*wn/(2*k) t=0:0.001:10; num=1; den=[m b k]; fct=tf(num,den) %réponse à une impulsion y1=impulse(fct,t); figure(1) plot(t,y1) title('réponse à une impulsion')

%réponse à un échelon y2=2.*step(fct,t);

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figure(2) plot(t,y2) title('réponse à échelon') hold on tau=1/(z*wn) tr=3*tau tm=2.2*tau tp=2*pi/(sqrt(1-z^2)*wn) D=100*(max(y2)-0.1)/0.1 z0=[1 0.4 0.7]; figure(3)

b0=2*z0.*k/wn; den1=[m b0(1) k]; den2=[m b0(2) k]; den3=[m b0(3) k]; hold on fonct1=tf(num,den1); y01=2*step(fonct1,t); plot(t,y01,'r'); fonct2=tf(num,den2); y02=2*step(fonct2,t); plot(t,y02,'b'); fonct3=tf(num,den3); y03=2*step(fonct3,t); plot(t,y03,'y'); legend(strcat('ksi=', num2str(z0(1))),... strcat('ksi=', num2str(z0(2))),... strcat('ksi=', num2str(z0(3)))); title('reponse a echelon unitaire') hold off figure(4) u=2*t; yr=lsim(fct,u,t); plot(t,yr,t,u); legend('sortie', 'entree') title('reponse a rampe')

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Analyse sous SUMILINK :   

On commence par créer un nouveau modèle Sumilink sous le nom de tp2.mdl On ajoute une fonction de transfert depuis la librairie de Sumilink : SumilinkContinuousTransfer Fcn On définit le numérateur et le dénominateur

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

Pour définir les constantes k, m et b diagramMaskEdit MaskEdit MaskParameters & Dialog ,ou par le raccourcis clavier (Ctrl+M)



Pour visualiser le résultat on ajoute un oscilloscope SinksScope, et on entrée du système on raccord une constante (échelon 2N) SourcesConstant.



Pour visualiser les résultats run , et double clic sur l’oscilloscope

1- On fixe k=3, m=5 et on varie b de 2 à 6:

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2- b=4 :

3- b=6 :

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

Lorsqu’on augmente la valeur de b, le coefficient du facteur d’amortissement augmente, du coup les oscillations diminue. 4- On fixe k=3, m=2,5 et b=3



Pour une entrée rampe on remplace Constant par Ramp : SourceRamp:

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Conclusion : En guise de conclusion, nous pouvons dire que la performance des systèmes du second ordre dépend fortement de leurs paramètres par exemple lorsque le b du système mécanique varie, l’amortissement fait de même. Il est remarquable que les résultats obtenus à partir de l’étude sur MATLAB et sur Simulink soient semblables. Enfin nous avons pu constater que le Simulink est facilement plus utilisable que MATLAB pour l’analyse des systèmes automatiques.

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Rapport TP 1 et 2

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