PERCOBAAN FAKTORIAL 2^k
Percobaan faktorial adalah percobaan yang semua taraf tiap faktor tertentu dikombinasikan atau disilangkan dengan semua taraf tiap faktor lainnya.
Beberapa keuntungan dari percobaan faktorial adalah :
Lebih efisien dalam menggunakan sumber-sumber yang ada,
Informasi yang diperoleh lebih komprehesif, karena mempelajari beberapa interaksi yang ada,
Hasil percobaan dapat diterapkan dalam suatu kondisi yang lebih luas, karena mempelajari beberapa kombinasi dari berbagai faktor.
Efek faktorial 23
Rancangan 23 adalah rancangan faktorial dengan 3 faktor masing-masing bertaraf 2. Jika faktornya A, B dan C, dan tarafnya 0 dan 1, maka dengan notasi didapat 23 = 8 kombinasi perlakuan yaitu (1), a, b, ab, c, ac, bc, dan abc.
SKEMA PERHITUNGAN KONTRAS METODA YATES
UNTUK DESAIN FAKTORIAL 23
(r Observasi Tiap Sel)
Perlakuan
Respon
Kolom (1)
Kolom (2)
Kolom (3) = Kontras = r.2k-1
(1)
(1)
(1)+a
(1)+a+b+ab
+(1)+a+b+ab+c+ac+bc+abc
a
a
b+ab
c+ac+bc+abc
-(1)+a-b+ab-c+ac-bc+abc
b
b
c+ac
a-(1)+ab-b
-(1)-a+b+ab-c-ac+bc+abc
ab
ab
bc+abc
ac-c+abc-c
+(1)-a-b+ab+c-ac-bc+abc
c
c
a-(1)
b+ab-(1)-a
-(1)-a-b-ab+c+ac+bc+abc
ac
ac
ab-b
bc+abc-c-ac
+(1)-a+b-ab-c+ac-bc+abc
bc
bc
ac-c
ab-b-a+(1)
+(1)+a-b-ab-c-ac+bc+abc
abc
abc
abc-bc
abc-bc-ac+c
-(1)+a+b-ab+c-ac-bc+abc
Atau dengan bentuk binom didapatkan :
Total = (a+1) (b+1) (c+1)
4A = (a-1) (b+1) (c+1)
4B = (a+1) (b-1) (c+1)
4AB = (a-1) (b-1) (c+1)
4C = (a+1) (b+1) (c-1)
4AC = (a-1) (b+1) (c-1)
4BC = (a+1) (b-1) (c-1)
4ABC = (a-1) (b-1) (c-1)
Hubungan antara kombinasi perlakuan dan efek yang membentuk kontras orthogonal di atas akan mudah tampak bila disusun dalam daftar berikut
TANDA KOEFISIEN EFEK UNTUK DESAIN FAKTORIAL 23
Kombinasi
Perlakuan
Efek
Total
A
B
AB
C
AC
BC
ABC
(1)
+
-
-
+
-
+
+
-
a
+
+
-
-
-
-
+
+
b
+
-
+
-
-
+
-
+
ab
+
+
+
+
-
-
-
-
c
+
-
-
+
+
-
-
+
ac
+
+
-
-
+
+
-
-
bc
+
-
+
-
+
-
-
abc
+
+
+
+
+
+
+
+
Jelas bahwa dengan menggunakan daftar di atas system kontras orthogonal dengan mudah dapat dibentuk sedangkan jumlah kuadrat-kuadrat tiap efek yang membentuk j=kontras dihitung dengan aturan
JK (efek) = (kontras)2r.23
dengan r menyatakan banyak replikasi dalam tiap sel kombinasi perlakuan.
Untuk menghitung JK (kekeliruan), tentulah harus dihitung jumlah kuadrat-kuadrat semua observasi Σ Y2, dan Ey seperti biasa ditentukan dengan jalan pengurangan Σ Y2 oleh jumlah kuadrat-kuadrat semua sumber variasi.
Jika pada rancangan 22 kita dapat kombinasinya dengan factor A dan B mempunyai taraf 0 dan 1 adalah :
B0
B1
A0
(1)
b
A1
a
ab
Maka dalam rancangan 23 dapat dikombinasikan menjadi
B0
C1
B1
C1
A0
(1)
c
b
bc
A1
a
ac
ab
abc
Jika eksperimennya dilakukan dengan menggunakan desain acak sempurna, dalam tiap kombinasi perlakuan terdapat n buah unit eksperimen atau observasi, maka model linier yang tepat untuk desain eksperimen factorial a,b dan c ini adalah
Yijk ll = μ + Ai + Bj + ABij + Ck + ACik + BCjk + ABCijk + ϵl(ijk)
Dengan i = 1, 2, …, a
j = 1, 2, …, b
k = 1, 2, …, c
l = 1, 2, …, n
Yijk l : menyatakan variable respon hasil observasi ke-l yang terjadi karena pengaruh bersama taraf ke-i factor A, taraf ke-j factor B dan taraf ke-k factor C.
μ : menyatakan rata-rata yang sebenarnya
Ai : menyatakan efek taraf ke-i factor A
Bj : menyatakan efek taraf ke-j factor B
Ck : menyatakan efek taraf ke-k factor C
ABij : menyatakan efek interaksi antara taraf ke-i faktor A dan taraf ke-j faktor B
ACik : menyatakan efek interaksi antara taraf ke-i faktor A dan taraf ke-k faktor B
BCjk : menyatakan efek interaksi antara taraf ke-j faktor B dan taraf ke-k faktor C
ABCijk : menyatakan efek terhadap variable respon yang disebabkan oleh interaksi antara taraf ke-I factor A, taraf ke-j factor B, dan taraf ke-k factor C.
ϵl(ijk) : menyatakan efek unit eksperimen ke l dikarenakan oleh kombinasi perlakuan (ijk)
Untuk keperluan ANAVA, maka jumla kuadrat-kuadrat Σ Y2 dan Ry dihitung serupa seperti dalam hal untuk dua factor, ialah
Σ Y2 = i=1aj=1bk=1cl=1nYijkl2 , dengan dk = aben
Dan Ry = i=1aj=1bk=1cl=1nYijkl22 / (aben), dengan dk = 1
Jumlah kuadrat-kuadrat lainnya yang diperlukan akan mudah dapat dihitung apabila data hasil observasi dipecah dan disusun dalam beberapa buah daftar a x b x c, daftar a x b, daftar a x c dan daftar b x c.
Dari daftar-daftar baru ini berturut-turut dapat dihitung
Ja b c : menyatakan jumlah kuadrat-kuadrat antara sel untuk daftar a x b x c
Ja b c = i=1aj=1bk=1cJijk2n- Ry
Dengan Jijk = elemen dalam sel (ijk) dari daftar a x b x c = l=1nYijkl
Ja b : menyatakan jumlah kuadrat-kuadrat antara sel untuk daftar a x b
Ja b = i=1aj=1bJij2cn- Ry
Dengan Jij = elemen dalam sel (ij) dari daftar a x b = k=1cl=1nYijkl = k=1cJijk
Ja c : menyatakan jumlah kuadrat-kuadrat antara sel untuk daftar a x c
Ja c = i=1ak=1cJik2bn- Ry
Dengan Jik = menyatakan elemen sel (ik) dari daftar a x c
Jik = j=1bl=1nYijkl = j=1bJijk
Jb c : menyatakan jumlah kuadrat-kuadrat antara sel untuk daftar b x c
Jb c = j=1bk=1cJjk2an- Ry
Dengan Jjk : menyatakan elemen dalam sel (jk) dari daftar b x c
Jjk = i=1al=1nYijkl=i=1aJijk
Jumlah kuadrat-kuadrat untuk variasi perlakuan A adalah
Ay = i=1aAi2bcn- Ry , dengan dk = (a-1)
Dan Ai : menyatakan jumlah semua nilai observasi untuk taraf ke-i factor A
Ai = j=1bk=1cl=1nYijkl= j=1bk=1cJijk=j=1bJij=k=1cJik
Jumlah Kuadrat-kuadrat untuk sumber variasi perlakuan B adalah
By = j=1bBi2acn- Ry , dengan dk = (b-1)
Dan Bj : menyatakan jumlah semua nilai observasi untuk taraf ke-j factor B
Bj = i=1ak=1cl=1nYijkl= i=1ak=1cJijk= i=1aJij= k=1cJjk
Jumlah kuadrat-kuadrat untuk sumber variasi perlakuan C adalah
Cy = k=1cCk2abn- Ry , dengan dk = (c-1)
Dan Ck : menyatakan jumlah semua nilai observasi untuk taraf ke-k factor C
Ck = i=1aj=1bl=1nYijkl= i=1aj=1bJijk= i=1aJik= j=1bJjk
Selanjutnya jumlah kuadrat-kuadrat interaksi adalah
ABy = Jab – Ay – By , dengan dk = (a – 1)(b – 1)
ACy = Jac – Ay – Cy , dengan dk = (a – 1)(c – 1)
BCy = Jbc – By – Cy , dengan dk = (b – 1)(c – 1)
ABCy = Jabc – Ay – By – Cy – ABy – ACy – BCy , dengan dk = (a – 1)(b – 1)(c – 1)
Ey = Σ Y2 – Ry – Ay – By – Cy – ABy – ACy – BCy – ABCy , dengan dk = abc (n – 1)
Daftar ANAVA untuk desain ini, dengan satuan-satuan yang telah disebutka di atas, adalah
DAFTAR ANAVA DESAIN EKSPERIMEN FAKTORIAL a x b x c
N OBSERVASI TIAP SEL
DESAIN ACAK SEMPURNA
Sumber Variasi
dk
JK
KT
F
Rata-rata
1
Ry
R
Ditemukan oleh sifat taraf factor
Perlakuan :
A
a – 1
Ay
A
B
b – 1
By
B
C
c – 1
Cy
C
AB
(a – 1)(b – 1)
ABy
AB
AC
(a – 1)(c – 1)
ACy
AC
BC
(b – 1)(c – 1)
BCy
BC
ABC
(a – 1)(b – 1)(c – 1)
ABCy
ABC
Kekeliruan
abc (n – 1)
Ey
E
Jumlah
abcn
Σ Y2
-
Contoh soal :
Misalkan eksperimen mengenai hasil semacam zat kimia kecuali ditentukan oleh factor-faktor temperature (50 dan 60 ) dan konsentrasi (40% dan 50%), juga oleh tekanan dengan taraf rendah dan tinggi. Dengan demikian kita peroleh eksperimen factorial 23. Misalkan eksperimennya dilakukan dengan menggunakan replikasi sebanyak 3 kali dan hasilnya diberikan dalam daftar berikut.
HASIL SEMACAM ZAT KIMIA
KARENA TEMPERATUR, KONSENTRASI DAN TEKANAN BERBEDA
REPLIKASI 3 (r = 3)
Temperatur
Konsentrasi
40%
50%
Tekanan
Tekanan
Rendah
Tinggi
Rendah
Tinggi
50
43,7
44,1
43,9
45,2
44,9
45,6
42,7
44,1
45,0
45,7
46,0
45,9
Jumlah
131,7
135,7
131,8
137,6
60
48,2
47,9
47,2
47,9
48,0
45,7
48,9
48,7
49,3
49,8
50,1
52,3
Jumlah
143,3
141,6
146,9
152,2
Jika A : menyatakan temperature
B : menyatakan konsentrasi , dan
C : menyatakan tekanan,
Maka dari daftar di atas kita peroleh respon-respon
= 131,7
a = 143,3
b = 131,8
c = 135,7
ab = 146,9
ac = 141,6
bc = 137,6
abc = 152,2
seperti telah dijelaskan diatas, untuk menghitung jumlah kuadrat-kuadrat (JK) untuk tiap sumber variasi, sebaiknya dibuat daftar a x b x c, daftar a x b, daftar a x c, dan daftar b x c.
DAFTAR a x b x c
b1
b2
c1
c2
c1
c2
a1
131,7
135,7
131,8
137,6
a2
143,3
141,6
146,9
152,2
DAFTAR a x b
b1
b2
a1
267,4
269,4
a2
284,9
299,1
DAFTAR a x c
c1
c2
a1
263,5
273,3
a2
290,2
293,8
DAFTAR b x c
c1
c2
b1
275
277,3
b2
278,7
289,8
Dari daftar tersebut, dapat kita hitung
Mensubtitusikan harga-harga ini ke dalam Skema Perhitungan Metoda Yates, kita peroleh
Perlakuan
Respon
Kolom (1)
Kolom (2)
Kontras
JK
(1)
131,7
275,0
553,7
1.120,8
52.341,36
a
143,3
278,7
567,1
47,2
92,83
b
131,8
277,3
26,7
16,2
10,94
ab
146,9
289,8
20,5
12,2
6,20
c
135,7
11,6
3,7
13,4
7,48
ac
141,6
15,1
12,5
-6,2
1,60
bc
137,6
5,9
3,5
8,8
3,23
abc
152,2
14,6
8,7
5,2
1,13
Nilai JK diperoleh dari
JK (efek) = (kontras)2r.23
Untuk mendapatka daftar ANAVA, terlebih dahulu kita mencari
Σ Y2 = (43,7)2 + (44,1)2 + (43,9)2 + (48,2)2 + (47,9)2 + (47,2)2 + (45,2)2 + (44,9)2 + (45,6)2 + (47,9)2 + (48,0)2 + (45,7)2 + (42,7)2 + (44,1)2 + (45,0)2 + (48,9)2 + (48,7)2 + (49,3)2 + (45,7)2 + (46,0)2 + (45,9)2 + (49,8)2 + (50,1)2 + (52,3)2 = 52.475,64
Ey = Σ Y2 – 52.341,36 – 92,83 – 10,94 – 6,20 – 7,48 – 1,60 – 3,23 – 1.13 = 10,87
Maka kita dapat ANAVA nya
Sumber Variasi
dk
JK
KT
Rata-rata
1
52.341,36
52.341,36
Perlakuan
A
1
92,83
92,83
136,51
B
1
10,94
10,94
16,09
AB
1
6,20
6,20
9,12
C
1
7,48
7,48
11,00
AC
1
1,60
1,60
2,35
BC
1
3,23
3,23
4,75
ABC
1
1,13
1,13
1,66
Kekeliruan
16
10,87
0,68
Jumlah
24
52.475,64
-
-
