1.
PENDAHULUAN Eksperimen faktorial
untuk faktor A dan B yang masing-masing
bertaraf a dan b telah di bahas di Bab V. Demikian pula eksperimen faktorial untuk tiga faktor A, B dan C yang masing-masing mempunyai taraf a, b dan c. Eksperimen ini jelas merupakan hal khusus dari pada eksperimen faktorial berbentuk umum
untuk k buah faktor
yang
masing-masing bertaraf
. bentuk khusus lain yang ternyata pula
dalam praktek sering di temukan, adalah apabila kita mempunyai k buah faktor dengan tiap faktor bertaraf tiga. Dalam hal demikian, kita berhadapan dengan eksperiman faktorial
. Untuk mengetahui daya tahan semacam praktek
misalnya, kita bisa memperhitungkannya dari pengaruh tiga macam temperatur (dingin, sedang, panas) dan pengaruh tiga macam kelembapan (50%,70%,90%). Eksperimennya akan merupakan eksperimen faktorial
. Juka juga untuk
pengukuran daya tahan perekat itu diperhitungkan kemungkinan adanya pengaruh tiga macam larutan kosentrasi yang digunakan (encer, sedang, kental), maka kita peroleh eksperimen faktorial
.
Dalam bab ini akan dibicarakan analisis desain eksperimen faktorial dengan titik berat
dan
,
.desain yang digunakan adalah desain acak
sempurna sedangkan faktor-faktornya akan di tinjau yang bertaraf tetap. Jenis taraf faktor-faktor bisa kuantitatif atau kualitatif.
2.
DESAIN FAKTORIAL Seperti telah dikatakan diatas, apabila eksperimen kita menyangkut dua
faktor A dan B, tiap faktor bertaraf tiga, maka diperoleh eksperimen faktorial Perhatikan bahwa dalam
.
, bilangan pangkat (ialah 2) menyatakan banyak faktor
sedangkan bilangan pokok (ialah 3) menunjukkan banyak taraf yang dimiliki faktor-faktor. Model untuk eksperimen ini, tanpa replikasi, adalah VIII. (1) . . .
1
i = 1, 2, 3 dan j = 1, 2, 3 dengan arti setiap simbol dan asumsi-asumsi yang diperlukan seperti telah diutarakan dalam bab-bab terdahulu. Karena setiap faktor bertaraf tiga, maka akibatnya derajat kebebasan dk = (3 - 1) = 2 untuk setiap faktor tersebut, sementara seluruhnya kita mempunyai 3 x 3 = 9 kombinasi perlakuan. Untuk menggambarkan atau melukiskan kesembilan kombinasi dengan model diatas, ketiga taraf tiap faktor akan kita beri notasi Taraf rendah dengan simbol 0, Taraf menengah dengan simbol 1 dan Taraf tinggi dengan simbol 2. Dengan notasi ini, kesembilan kombinasi perlakuan dapat dilukiskan sebagai berikut. Taraf
2
Faktor B
1
0
02
12
22
*
*
*
01
11
21
*
*
*
00
10
20
*
*
*
0
1
2
Taraf
Faktor A Secara lengkap, semua kombinasi di atas adalah ,
,
,
,
,
,
,
,
dan untuk tiap kombinasi, nantinya berdasarkan
pengamatan hasil eksperimen, akan memiliki nilai respon eksperimen. Dari skema di muka, jelas hendaknya bahwa angka pertama menyatakan taraf faktor A sedangkan angka kedua menunjukkan taraf faktor B. demikianlah misalnya 02, yang lengkapnya
, merupakan kombinasi taraf rendah faktor A
dengan taraf tinggi faktor B.
2
Skema kombinasi perlakuan untuk eksperimen dengan model di atas, memperlihatkan bahwa tiap sel kombinasi perlakuan hanya dikenakan kepada satu unit eksperimen. Akibatnya, hanya efek-efek A dan B saja yang dapat diuji dengan statistic F dibentuk sebagai rasio KT (sumber variasi A) dan KT (sumber variasi B) terhadap KT (sumber variasi AB), sedangkan interaksi AB tidak dapat diuji. Dengan kata lain, sumber variasi kekeliruan tidak ada, atau boleh dikatakan melekat pada atau baur dengan interaksi AB. Ini dapat dilihat dari daftar ANAVA berikut. DAFTAR VIII (1) ANAVA DESAIN FAKTORIAL (SATU UNIT PER SEL) Sumber Variasi Rata-rata
dk 1
Faktor A
2
Faktor B
2
Interaksi AB
4
Jumlah
9
Dari kenyataan ini, agar interaksi AB dapat diuji, maka dalam eksperimen perlu dilakukan replikasi dalam kesembilan sel. Dengan kata lain, perlu dilakukan eksperimen terhadap lebih dari satu unit eksperimen untuk tiap kombinasi perlakuan. Jika replikasi ini dilakukan sebanyak r kali, maka model untuk eksperimen faktorial
menjadi (lihat model V (1), Bab V).
VIII. (2) . . . i = 1, 2, 3 j = 1, 2, 3 k = 1, 2, 3, … , r
3
Bahwasanya dengan melakukan replikasi kita dapat menguji interaksi AB, dapat dilihat daftar ANAVA berikut.
DAFTAR VIII (2) ANAVA DESAIN FAKTORIAL (r REPLIKASI PER SEL) Sumber Variasi
dk
Rata-rata
1
Faktor A
2
Faktor B
2
Interaksi AB
4
Kekeliruan
9(r-1)
Jumlah
9r
Kekeliruan mempunyai dk = 9(r-1) sehingga oleh karenanya interaksi AB dapat diuji terhadap sumber variasi kekeliruan ini. Apabila salah satu faktor atau kedua faktor bertaraf kuantitatif dan berinterval sama, dengan cara yang sudah dijelaskan dalam Bab VII, selanjutnya kita dapat menentukan efek-efek linier dan kuadratik faktor-faktor tersebut, termasuk semua interaksinya. Perhitungan jumlah kuadrat-kuadrat untuk tiap sumber variasi, dapat dikerjakan sebagaimana telah dijelaskan dalam Bab V mengenai eksperimen faktorial secara umum. Untuk menjelaskan penggunaan kedua daftar ANAVA diatas, terlebih dahulu kita analisis data yang tertera dalam daftar berikut. Daftar tersebut berisi variabel respon karena efek faktor-faktor A dan B di mana replikasi tidak dilakukan. Tiap faktor bertaraf 3 sehingga eksperimennya berbentuk factorial
.
4
DAFTAR VIII (3) RESPON KARENA DUA FAKTOR A & B ANAVA DESAIN FAKTORIAL (TANPA REPLIKASI) FAKTOR A
FAKTOR B
0
1
2
0
1.5
-3.0
4.5
3.0
1
0
6.0
1.5
7.5
2
3.0
-1.5
3.0
4.5
4.5
1.5
9.0
15.0
Jumlah kuadrat-kuadrat yang diperlukan adalah:
Dalam hasil perhitungan ini kita peroleh daftar ANAVA berikut.
5
DAFTAR VIII (4) DAFTAR ANAVA UNTUK DATA DALAM DAFTAR VIII (3) Sumber Variasi
dk
JK
KT
Rata-rata
1
25
25
Faktor A
2
9.5
4.75
Faktor B
2
3.5
1.75
Interaksi AB
4
52
13
Jumlah
9
90.0
Tampak jelas bahwa interaksi AB tidak dapat diuji, sedangkan faktor-faktor A dan B dapat diuji terhadap AB. Jika kita lakukan replikasi terhadap eksperimen, misalkan dua kali, dan diperoleh data seperti di bawah ini, keadaannya akan berbeda.
DAFTAR VIII (5) RESPON DUA FAKTOR A DAN B DALAM DESAIN FAKTORIAL (REPLIKASI 2 KALI TIAP SEL) FAKTOR A
FAKTOR B
0
1
0
1
2
1.5
-3.0
4.5
1.0
0.0
2.5
(2.5)
(-3.0)
0
6.0
1.5
1.0
2.5
2.0
(1.0)
2
(8.5)
(7.0)
(3.5)
3.0
-1.5
3.0
2.0
1.0
2.0
(5.0) 8.5
(-0.5) 5.0
(5.0) 15.5
6.5
13.0
9.5 29.0
6
Setelah disusun dalan daftar Anava, akan diperoleh daftar berikut.
DAFTAR VIII (6) DAFTAR ANAVA UNTUK DATA DALAM DAFTAR VIII (5) Sumber Variasi
dk
JK
KT
Rata-rata
1
46.72
46.72
Faktor A
2
9.53
4.77
Faktor B
2
3.53
1.77
Interaksi AB
4
40.22
10.06
Kekeliruan
9
17.5
1.94
Jumlah
18
177.5
-
Dengan adanya sumber variasi untuk kekeliruan dengan dk = 9, maka semua faktor termasuk interaksinya dapat diuji. Untuk model tetap misalnya, semua diuji dengan mengambil rasio terhadap kekeliruan. Apabila ternyata bahwa salah satu faktor atau kedua-duanya bertaraf kuantitatif dan berinterval sama, maka selanjutnya kita dapat melakukan pengujian untuk melihat apakah ada tidaknya efek-efek linier, kuadratik serta
7
segala bentuk interaksinya terhadap variabel respon Y. cara analisisnya dapat dilakukan seperti telah diuraikan dalam Bab VII. Namun demikian marilah kita lihat pemecahan efek faktor-faktor tersebut dalam hal kedua faktor berbentuk kuantitatif. Dengan menggunakan koefisien orthogonal dari Daftar F dalam Lampiran, untuk k = 3, kita peroleh daftar koefisien berikut. Polinom
Taraf Faktor Rendah
Menengah
Tinggi
0
1
2
Linier
-1
0
+1
2
1
Kuadratik
+1
-2
+1
6
3
Untuk menghitung jumlah kuadrat-kuadrat tiap bentuk polinom ataupun interaksinya, sebaiknya kita buat daftar koefisien-koefisien seperti dalam Daftar VIII (7) yang diturunkan dari daftar koefisien di atas. DAFTAR VIII(7) KOEFISIEN UNTUK DESAIN FAKTORIAL KEDUA FAKTOR KUANTITATIF Faktor
Kombinasi 00
01
02
10
11
12
20
21
22
-1
-1
-1
0
0
0
+1
+1
+1
6
+1
+1
+1
-2
-2
-2
+1
+1
+1
18
-1
0
+1
-1
0
+1
-1
0
+1
6
+1
-2
+1
+1
-2
+1
+1
-2
+1
18
+1
0
-1
0
0
0
-1
0
+1
4
-1
+2
-1
0
0
0
+1
-2
+1
12
-1
0
+1
+2
0
-2
-1
0
+1
12
+1
-2
+1
-2
+4
-2
+1
-2
+1
36
1.5
0
3.0
-3.0
6.0
-1.5
4.5
1.5
3.0
-
8
Dalam baris
tidak terdapat faktor B. oleh karenanya tiga kolom
pertama berkoefisien -1 karena taraf A bernotasi 0; tiga kolom berikutnya berkoefisien 0 dengan taraf A bernotasi 1 dan tiga kolom terakhir berkoefisien +1 karena taraf A bernotasi 2. Tiga kolom pertama untuk efek kuadratik berkoefisien +1 karena taraf A bernotasi 0; tiga kolom berikutnya berisikan koefisien -2 disebabkan taraf A bernotasi 1 dan tiga kolom terakhir berkoefisien +1 untuk taraf A bernotasi 2. Dengan baris
, efek linier untuk faktor B,
koefisien tiga kolom pertama berturut-turut -1, 0, +1. Ini disebabkan oleh karena tarafnya berturut-turut bernotasi 0, 1, 2. Demikian pula tiga kolom terakhir. Tiga kolom pertama dalam baris efek kuadratik
berturut-turut berisikan koefisien-
koefisien +1, -2, +1 karena masing-masing taraf bernotasi 0, 1, 2. Hal yang sama berlaku untuk tiga kolom ditengah dan tiga kolom terakhir. Koefisien-koefisien untuk interaksi diperoleh sebagai hasil kali dari koefisien-koefisien bersesuaian yang ada dalam kolom yang sama. Kolom terakhir berisikan jumlah kuadratkuadrat koefisien yang diperlukan untuk perhitungan jumlah kuadrat-kuadrat kontras. Jika daftar ini kita gunakan untuk memecahkan efek-efek faktor yang datanya tercantum dalam Daftar VIII (3) misalnya, maka nilai pengamatan respon diperlukan, dan ini telah dituliskan dalam baris akhir. (Jika ada replikasi, dalam baris ini tentulah dituliskan jumlah nilai pengamatan dalam tiap sel kombinasi). Dengan cara yang telah dijelaskan dalam Bab VII, yakni mengalikan koefisien-koefisien kontras dengan nilai-nilai
yang bersesuaian kemudian
dijumlahkan, menggunakan Daftar VIII (3) dan Daftar VIII (7), diperoleh kontraskontras untuk ;
=
-1(1.5) – 1(0) – 1(3.0) + 0(3.0) + 0(6.0) + 0(-1.5) + 1(4.5) + 1(1.5) + 1(3.0)
=
4.5
=
+1(1.5) + 1(0) + 1(3.0) – 2(-3.0) – 2(6.0) – 2(-1.5) + 1(4.5) + 1(1.5)
9
+ 1(3.0) =
10.5
=
-1(1.5) + 0(0) + 1(3.0) – 1(-3.0) + 0(6.0) + 1(-1.5) – 1(4.5) + 0(1.5) + 1(3.0)
=
1.5
=
+1(1.5) – 2(0) + 1(3.0) + 1(-3.0) – 2(6.0) + 1(-1.5) + 1(4.5) – 2(1.5) + 1(3.0)
=
-7.5
=
+1(1.5) + 0(0) – 1(-3.0) + 0(-3.0) + 0(6.0) + 0(-1.5) – 1(4.5) + 0(1.5) + 1(3.0)
=
-3.0
=
-1(1.5) + 2(0) – 1(-3.0) + 0(-3.0) + 0(6.0) + 0(-1.5) + 1(4.5) – 2(1.5) + 1(3.0)
=
0.0
=
-1(1.5) + 0(0) + 1(-3.0) + 2(-3.0) + 0(6.0) – 2(-1.5) – 1(4.5) + 0(1.5) + 1(3.0)
=
-3.0
=
+1(1.5) – 2(0) + 1(-3.0) – 2(-3.0) + 4(6.0) – 2(-1.5) + 1(4.5) – 2(1.5) + 1(3.0)
=
42.0
Sehingga jumlah kuadrat-kuadrat kontras harganya adalah: JK (
=
=
3.375
JK (
=
=
6.125
JK (
=
=
0.375
JK (
=
=
3.125
JK (
=
=
2.25
JK (
=
=
0
10
JK (
=
=
0.75
JK (
=
=
49
Hasil perhitungan di muka memberikan analisis lengkap seperti berikut.
DAFTAR VIII (8) DAFTAR ANAVA UNTUK DATA DALAM DAFTAR VIII (3) Sumber Variasi
dk
JK
Rata-rata
1
25
Faktor A
2
9.5
Faktor B
Interaksi AB
3.375
3.375
1
6.125
6.125
1
0.375
0.375
1
3.125
3.125
1
2.25
2.25
1
0
0
1
0.75
0.75
2
3.5
4
9
25
1
52
1 Jumlah
KT
49
49
90.0
Karena tidak ada sumber variasi kekeliruann lihat juga Daftar VIII (4), kita tidak bisa menguji efek-efek faktor. Agar efek-efek faktor bisa diuji, maka pengamatan perlu dilakukan dengan replikasi.
Contoh Soal: Pengaruh kekuatan pengembang (A) dan waktu pengembangan (B). Tiga kekuatan pengembangan dan waktu pengembangan yang digunakan, dan empat
11
replikasi untuk desain faktorial
. Kerjakan analisis data menggunakan metode
standar dari desain faktorial. DAFTAR VIII(9) Waktu Pengembangan
Kekuatan Pengembang
10
1
2
3
14
18
0
2
1
3
2
5
5
4
4
2
4
6
4
6
6
8
9
10
7
5
7
7
8
5
7
10
10
10
12
10
8
7
8
7
9
8
Penyelesaian : DAFTAR VIII (10) Waktu Pengembangan
Kekuatan Pengembang 1
2
3
10
14
0
2
5
4 (11) 4
2 (10) 4
6 (17)
4
6
8
10
7
5 (22) 7
7 (28) 8
5 (32)
7
10
10
10
8
7 (32) 8 65
1
3
18
6
10
2
9
12
7 (35) 9 73
5
38
82
106
8 (39) 88
226
Dari di atas dapat dihitung jumlah kuadrat-kuadrat :
12
DAFTAR VIII (11) DAFTAR ANAVA UNTUK DATA DALAM DAFTAR VIII (10) Sumber Variasi
dk
JK
KT
Rata-rata
1
1418.77
1418.77
Faktor A
2
198.23
99.115
Faktor B
2
22.73
11.36
Interaksi AB
4
3.27
0.81
Kekeliruan
27
71
2.62
Jumlah
36
1714
-
3.
DESAIN FAKTORIAL 33 Desain faktorial 33 merupakan desain eksperimen dengan 3 faktor misalnya
faktor A, B dan C dengan 3 taraf. Keseluruhan eksperimen tanpa replikasi memerlukan 27 kombinasi perlakuan. Berikut ini sel-sel kombinasi perlakuan dari desain eksperimen 33:
DAFTAR VIII(12)
Faktor B
0
Faktor C
Faktor A 0
1
2
0
000
100
200
1
001
101
201
2
002
102
202
13
1
2
0
010
110
210
1
011
111
211
2
012
112
212
0
020
120
220
1
021
121
211
2
022
122
222
Dalam notasi triplet diatas, angka pertama menyatakan notasi taraf faktor A, angka kedua untuk notasi taraf faktor B dan angka terakhir menunjukkan notasi taraf faktor C. Misalnya, notasi 012 menyatakan interaksi taraf rendah faktor A dengan taraf menengah faktor B dan taraf tinggi faktor C. Jika dilakukan eksperimen secara acak sempurna dan tanpa replikasi terhadap ketiga faktor di atas, maka eksperimen tersebut akan mempunyai model: Yijk = + Ai + Bj + ABij + Ck + ACik + BCjk + ABCijk +
ijk
dengan i = 1, 2, 3 j = 1, 2, 3 k = 1, 2, 3 Yijkt
=
variabel respon hasil observasi ke-t yang terjadi karena pengaruh bersama taraf ke-i faktor A dengan taraf ke-j faktor B dan taraf ke-k faktor C.
= rata-rata yang sebenarnya (konstan)
Ai
= efek taraf ke-i faktor A
Bj
= efek taraf ke-j faktor B
ABij
= efek interaksi antara taraf ke-i faktor A dengan taraf ke-j faktor B
Ck
= efek taraf ke-k faktor C
ACik
= efek interaksi antara taraf ke-i faktor A dengan taraf ke-k faktor C
BCjk
= efek interaksi antara taraf ke-j faktor A dengan taraf ke-k faktor C
ABCijk = efek interaksi antara taraf ke-i faktor A dengan taraf ke-j faktor B dan taraf ke-k faktor C t (ijk)
= efek unit eksperimen ke-t dalam kombinasi perlakuan (ijk)
14
Karena tidak ada replikasi terhadap eksperimen, sebetulnya kedua buah suku terakhir berbaur menjadi satu. Ini berarti sumber variasi kekeliruan tidak terjadi mandiri. Akibatnya, penelitian terhadap interaksi ABC tidak dapat dilakukan kecuali ada repikasi dalam eksperimen. Tabel ANAVA untuk eksperimen faktorial 33 dengan model di atas adalah sebagai berikut: DAFTAR VIII (13) TABEL ANAVA DESAIN FAKTORIAL 3k SATU UNIT TIAP SEL Sumber Variasi
dK
Rata-rata
1
Faktor A (a-1)
2
Faktor B (b-1)
2
Interaksi AB (a-1)(b-1)
4
Faktor C (c-1)
2
Interaksi AC (a-1)(c-1)
2
Interaksi BC (b-1) (c-1)
4
Interaksi ABC (a-1)(b-1) (c-1)
8
Jumlah
27
Untuk model tetap, efek -efek faktor-faktor A, B, C dan interaksi-interaksi AB, AC dan BC dapat diuji terhadap interaksi ABC. Dengan kata lain, bentuk terakhir ini digunakan sebagai sumber variasi kekeliruan. Apabila diinginkan penelitian terhadap efek interaksi ABC, maka replikasi eksperimen perlu dilakukan dalam tiap sel kombinasi. Jika replikasi dilakukan sebanyak r kali, maka akan diperoleh model Yijk = + Ai + Bj + ABij + Ck + ACik + BCjk + ABCijk +
ijk
dengan i = 1, 2, 3 j = 1, 2, 3
15
k = 1, 2, 3 = 1, 2, 3, …, r Dalam model terakhir ini, untuk menguji efek faktor-faktor dan interaksinya, digunakan tabel ANAVA sebagai berikut.
DAFTAR VIII (14) TABEL ANAVA DESAIN FAKTORIAL 33 (r REPLIKASI TIAP SEL) Sumber Variasi
dK
Rata-rata
1
Faktor A (a-1)
2
Faktor B (b-1)
2
Interaksi AB (a-1)(b-1)
4
Faktor C (c-1)
2
Interaksi AC (a-1)(c-1)
2
Interaksi BC (b-1) (c-1)
4
Interaksi ABC (a-1)(b-1) (c-1)
8
Kekeliruan
27(r-1) Jumlah
27r
Contoh: Untuk mempelajari hasil produksi, telah dipertimbangkan kemungkinannya tiga macam faktor, yaitu faktor hari (H), operator (O) dan konsentrasi larutan (K). Hasil percobaan seperti dalam tabel di bawah ini.
DAFTAR VIII (15) PRODUKSI SEBAGAI HASIL DESAIN FAKTORIAL 33 (DENGAN 3 REPLIKASI)
16
Hari Senin
Konsentrasi K
0,5
1,0
2,0
Rabu
Kamis
Operator O X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
1,0
0,2
0,2
1,0
1,0
1,2
1,7
0,2
0,5
1,2
0,5
0,0
0,0
0,0
0,0
1,2
0,7
1,0
1,7
0,7
0,3
0,5
0,0
0,5
1,2
1,0
1,7
5,0
3,2
3,5
4,0
3,2
3,7
4,5
3,7
3,7
4,7
3,7
3,5
3,5
3,0
4,0
5,0
4,0
4,5
4,2
3,5
3,2
3,5
4,0
4,2
4,7
4,2
3,7
7,5
6,0
7,2
6,5
5,2
7,0
6,7
7,5
6,2
6,5
6,2
6,5
6,0
5,7
6,7
7,5
6,0
6,5
7,7
6,2
6,7
6,2
6,5
6,8
7,0
6,0
7,0
Dalam eksperimen ini, tiga hari, tiga faktor dan tiga konsentrasi telah diambil, sehingga dihasilkan faktor eksperimen 33. Hari dan operator merupakan faktor kualitatif sedangkan konsentrasi larutan merupakan faktor kuantitatif dan ditetapkan dengan ukuran 1/2, 1 dan 2. Taraf konsentrasi ini tidak berinterval sama; tetapi akan berinterval sama apabila diambil logaritmanya. (Jika efek polinom termasuk interaksinya ternyata signifikan, maka untuk keperluan perkiraan tentulah logaritma ini yang digunakan). Untuk menghitung jumlah kuadrat (JK) tiap sumber variasi, sebaiknya dibuat tabel a x b x c, tabel a x b, tabel a x c dan tabel b x c seperti berikut. Mialkan hari = a, operator = b dan konsentrasi = c. Tabel a x b x c a1
a2
a3
b1
b2
b3
b1
b2
b3
b1
b2
b3
c1
3,9
1,4
0,5
1,5
1,0
1,7
4,1
1,9
3,2
c2
13,9
10,4
10,2
11,0
10,2
11,9
14,2
11,9
11,9
c3
21,7
18,4
20,4
18,7
17,4
20,5
21,2
19,5
19,7
17
Tabel a x b a1
a2
a3
b1
39,5
31,2
39,5
b2
30,2
28,6
33,3
b3
31,1
34,1
34,8
a1
a2
a3
c1
5,8
4,2
9,2
c2
34,5
33,1
38
c3
60,5
56,6
60,4
b1
b2
b3
c1
9,5
4,3
5,4
c2
39,1
32,5
34
c3
61,6
55,3
60,6
Tabel a x c
Tabel b x c
Dari tabel diatas dapat dihitung
Ry
=
Dari tabel a x b x c, dapat dihitung Jabc
=
Dari tabel a x b, tabel a x c dan tabel b x c dapat dihitung Jab
=
Jac
=
18
Jbc
=
Selanjutnya kita dapatkan harga-harga Ay
=
By
=
Cy
=
ABy = 13,33 – 3,48 – 6,10 = 3,75 ACy = 469,32 – 3,48 – 465,35 = 0,49 BCy = 472,23 – 6,10 – 465,35 = 0,78 ABCy = 480,87 – 3,48 – 6,10 – 465,35 – 3,75 – 0,49 – 0,78 = 0,92 Ey
= 1618,97 – 1128,21 – 3,48 – 6,10 – 465,35 – 3,75 – 0,49 – 0,77 – 0,92 = 9,89
Misalkan eksperimen mempunyai model tetap, akan kita peroleh analisis pertama seperti berikut.
DAFTAR VIII(16) TABEL ANAVA Sumber Variasi
dK
JK
KT
Hari H
2
3,48
1,74
Operator O
2
6,10
3,05
Interaksi HO
4
3,75
0,94
Konsentrasi K
2
465,35
232,675
Interaksi HK
4
0,49
0,12
Interaksi OK
4
0,78
0,19
Interaksi HOK
8
0,92
0,12
Kekeliruan
54
9,89
0,18
Jumlah
80
490,76
-
19
Jika hasil-hasil KT di atas dibandingkan dengan nilai distribusi F menggunakan dk yang sesuai, maka akan nampak bahwa pengaruh hari, operator dan interaksi hari dan operator sangat nyata terhadap hasil produksi. Pengaruh konsentrasi larutan sangat bukan main nyatanya terhadap variabel produksi. Untuk melakukan analisis pemecahan faktor konsentrasi, kita susun daftar yang terdiri dari jumlah nilai-nilai pengamatan dalam tiap sel.
DAFTAR VIII (16) JUMLAH NILAI PENGAMATAN (PRODUKSI) UNTUK INTERAKSI H X K dan O X K
Konsentrasi
Hari
0,5
1,0
2,0
Senin
5,8
34,5
60,5
Rabu
4,2
33,1
Kamis
9,2
Jumlah
19,2
Operator
Konsentrasi 0,5
1,0
2,0
X
9,5
39,1
61,6
56,6
Y
4,3
32,5
55,3
38,0
60,4
Z
5,4
34,0
60,6
105,6
177,5
Jumlah
19,2
105,6
177,5
Karena logaritma konsentrasi berinterval sama, maka dapat kita gunakan koefisien-koefisien linier dan kuadratik untuk menghasilkan nilai-nilai kontras konsentrasi. KL = −1(19,2) + 0(105,6) + 1(177,5) = 158,3 KD = +1(19,2) – 2(105,6) + 1(177,5) = −14,5 Sehingga jumlah kuadrat-kuadrat kontras harganya masing-masing sebesar JK(KL) =
= 464,05
JK(KD) =
= 1,30
Untuk menentukan kontras interaksi H x KL dan H x KD, perlu dihitung dulu kontras tiap hari untuk tiap komponen KL dan KD. Perhitungannya dilakukan dengan jalan mengalihkan koefisien-koefisien orthogonal dengan nilai-nilai 20
respon pada tiap taraf konsentrasi kemudian dijumlahkan. Jika hal tersebut dilakukan, kita peroleh nilai-nilai kontras pada hari
Senin untuk KL = -1(5,8) + 0(34,5) + 1(60,5)
= 54,7
Rabu untuk KL
= -1(4,2) + 0(33,1) + 1(56,6)
= 52,4
Kamis untuk KL = -1(9,2) + 0(38,0) + 1(60,4)
= 51,2
Jumlah
= 158,3
sehingga diperoleh JK(H x KL) =
Selanjutnya kita hitung nilai-nilai kontras pada hari: Senin untuk KD = +1(5,8) – 2(34,5) + 1(60,5)
= −2,7
Rabu untuk KD = +1(4,2) – 2(33,1) + 1(56,6)
= −5,4
Kamis untuk KD = +1(9,2) – 2(38,0) + 1(60,4)
= −6,4
Jumlah
= −14,5
sehingga diperoleh JK(H x KD) =
Jelas bahwa jumlah nilai kedua JK interaksi ini haruslah sama dengan JK (H x K) = 0,49. Cara yang sama dapat dikerjakan, hanya sekarang untuk interaksi O x KL dan O x KD. Kontras-kontras untuk KL pada hari Senin
: −1(9,5) + 0(39,1) + 1(61,6)
= 52,1
Rabu
: −1(4,3) + 0(32,5) + 1(55,3)
= 51,0
Kamis : −1(5,4) + 0(34,0) + 1(60,6)
= 55,2 Jumlah
= 158,3
sehingga didapat JK(O x KL) =
21
Selanjutnya dihitung nilai-nilai kontras untuk KD pada hari Senin
: +1(9,5) – 2(39,1) + 1(61,6)
= −7,1
Rabu
: +1(4,2) – 2(32,5) + 1(55,3)
= −5,5
Kamis : +1(5,4) – 2(34,0) + 1(60,6)
= −2 Jumlah
= −14,6
sehingga dihasilkan JK(H x KD) =
Lagi, jumlah kedua JK ini harus sama dengan JK (O x K) = 0,78. Dengan memggunakan semua hasil perhitungan dia atas kita peroleh analisis lengkap sebagai berikut DAFTAR VIII (17) TABEL ANAVA (LENGKAP) Sumber Variansi
dk
JK
KT
Hari H
2
3,48
1,74
Operator O
2
6,10
3,05
Interaksi HO
4
3,75
0,94
Komponen KL
1
464,05
464,05
Komponen KD
1
1,35
1,35
Interaksi H x KL
2
0,35
0,18
Interaksi H x KD
2
0,14
0,07
Interaksi O x KL
2
0,53
0,27
Interaksi O x KD
2
0,25
0,125
Interaksi HOK
8
0,92
0.12
Kekeliruan
54
9,89
0,18
80
490,76
-
Jumlah
Dari tabel ANAVA di atas, tampak bahwa konsentrasi larutan tidak saja mempengaruhi produksi, akan tetapi juga mempunyai pengaruh berbentuk linier
22
dan kuadratik. (Statistik untuk bentuk kuadratik adalah F =
= 7,83). Kedua
pengaruh tersebut sangat nyata sekali.
Contoh soal:
DAFTAR VIII (18) Jenis Perangsang A
Temperatur
B
C
Berat
15ºC
Jumlah
25ºC
Jumlah
30ºC
Jumlah
20 g
25 g
30 g
20 g
25 g
30 g
20 g
25 g
30 g
5,9
5,9
6,1
4,5
4,0
4,9
6,0
6,4
7,0
6,0
5,7
5,9
4,4
4,9
5,0
6,4
6,7
7,2
5,8
6,2
6,4
4,4
4,2
4,6
6,2
6,8
6,9
17,7
17,8
18,4
13,3
13,1
14,5
18,6
19,9
21,1
5,4
5,4
5,9
4,5
4,9
5,1
5,9
6,2
6,9
5,8
5,0
6,0
4,0
5,0
5,2
5,9
6,3
7,3
5,2
5,1
5,6
4,4
4,7
5,0
5,8
6,5
7,5
16,4
15,5
17,5
12,9
14,6
15,3
17,6
19,0
21,7
4,0
4,2
4,9
3,2
3,3
3,9
5,0
5,5
6,0
4,4
4,5
5,0
3,6
3,9
4,2
5,5
5,8
6,1
4,5
4,8
4,9
3,0
4,0
4,6
5,3
5,9
5,7
12,9
13,5
14,8
9,8
11,2
12,7
15,8
17,2
17,8
Untuk menghitung jumlah kuadrat (JK) tiap sumber variasi, sebaiknya dibuat tabel a x b x c, tabel a x b, tabel a x c dan tabel b x c seperti berikut. Mialkan jenis perangsang = a, berat = b dan temperatur = c.
Tabel a x b x c a1 b1
b2
a2 b3
b1
b2
a3 b3
b1
b2
b3
23
c1
17,7 17,8 18,4 13,3 13,1 14,5 18,6 19,9 21,1
c2
16,4 15,5 17,5 12,9 14,6 15,3 17,6 19,0 21,7
c3
12,9 13,5 14,8
9,8
11,2 12,7 15,8 17,2 17,8
Tabel a x b a1
a2
a3
b1
47
36
52
b2
46,8
38,9
56,1
b3
50,7
42,5
60,6
a1
a2
a3
c1
53,9
40,9
59,6
c2
49,4
42,8
58,3
c3
41,2
33,7
50,8
b1
b2
b3
c1
49,6
50,8
54
c2
46,9
49,1
54,5
c3
38,5
41,9
45,3
Tabel a x c
Tabel b x c
Dari tabel a x b x c, dapat dihitung 2369,24 Ry
=
Jabc
=
Dari tabel a x b, tabel a x c dan tabel b x c dapat dihitung
24
Jab
=
Jac
=
Jbc
=
Selanjutnya kita dapatkan harga-harga Ay
=
By
=
Cy
=
ABy = 56,33 – 48,79 – 6,71 = 0,83 ACy = 68,14 – 48,79 – 17,95 = 1,4 BCy = 25,07 – 66,71 – 17,95 = 0,41 ABCy = 76,97 – 48,79 – 6,71 – 17,95 – 0,83 – 1,40 – 0,41 = 0,88 Ey
= 2369,24 – 2289,09 – 48,79 – 6,71 – 17,95 – 0,83 – 1,40 – 0,41 – 0,88 = 3,18
Dari perhitungan di atas, maka akan kita peroleh tabel ANAVA seperti berikut. TABEL ANAVA Sumber Variasi
dK
JK
KT
Jenis Perangsang P
2
48,79
24,40
Berat B
2
6,71
3,35
Interaksi PB
4
0,83
0,21
Temperatur T
2
17,95
8,98
Interaksi PT
4
1,4
0,35
Interaksi BT
4
0,41
0,10
Interaksi PBT
8
0,88
0,11
Kekeliruan
54
3,18
0,06
25
Jumlah
80
80,15
-
Dari tabel ANAVA di atas, berdasarkan jumlah JK maka akan terlihat bahwa pengaruh jenis perangsang, berat dan temperatur sangat nyata terhadap objek. Terutama pengaruh jenis perangsang sangat nyata sekali terhadap variabel objek
4.
DESAIN FAKTORIAL Eksperimen faktorial
untuk
dan
telah di jelaskan dalam
dua bagian terakhir bab ini. Urainnya dapat di perluas untuk harga-harga yang lebih tinggi, misalnya untuk faktorial
dan
dan seterusnya. Eksperimen
misalnya, akan menyangkut empat faktor A, B, C dan D yang masing-
masing bertaraf tiga. Jika eksperimen dilakukan tanpa replikasi, keseluruhannya akan melibatakan sebanyak 81 kombinasi perlakuan yang berarti sebanyak itu pula unit eksperimen yang diperlukan. Mudah dimengerti kiranya, bahwa semakin besar k, yakni makin banyak fakrtor yang di ikut sertakan dalam eksperimen makin banyak lah unit eksperimen yang diperlukan; dan akan lebih maskin banyak lagi apabila diperlukan replikasi. Model eksperimen untuk harga-harga k yang lebih besar, dengan desai acak sempurna dan dalam tiap sel kombinasi perlakuan terdapat r kali replikasi. Jika demikian, tentulah makin panjang model yang akan kita milki dan makin banyak pula suku-suku interaksi yang harus dibuat. Akan tetapi, karena dalm prakteknya sering mengalami kesulitan menafsirkan interaksi antara banyaknya faktor, biasanya orang membatasinya sampai paling tinggi dengan interaksi anatara tiga faktor. Interaksi antara empat faktor atau lebih sering dianggap sebagai sumber variasi kekeliruan. Bentuk umum ANAVA untuk eksperimen faktorial
dengan desian acak
sempurna dapat dilihat dalam daftar VIII (16)
26
DAFTAR ANAVA UNTUK DESAIN FAKTORIAL (r Replikasi Tiap Sel) Sumber Variasi
dk
Jk
Rata-rata
Faktor
Interaksi 2 faktor Dihitung dengan cara biasa (lihat Bab V)
Interaksi 3 faktor
Interaksi 4 faktor dan seterusnya
Kekeliruan Jumlah
Daftar ANAVA di atas makin bertambah lagi apabila paling sedikit satu di antara faktor-faktor bertaraf kuantitatif. Ini disebabkan oleh karena pemecahan tiap faktor menjadi komponen-komponen linier dan kuardratik serta semua interaksinya dapat diselidiki lebih lanjut.
27
