CLUB DE MATEMÁTICA
ÁLGEBRA
CÉSAR H. AGUILAR RAMOS
a2
Donde: c =
b * raíz e0acta
−
Ejemlos elementales : RADICACIÓN Es la operación operación inversa inversa a la potenciación potenciación que tiene por por objeto hallar una cantidad llamada raíz, tal que se cumpla que al ser elevada esta a un número índice reproduzca otra cantidad llamada cantidad subradical o radicando. n
A
r
=
n
r
⇔
=
A
Donde: = raíz n = índice de la raíz
r
A = =
/rans#ormar /rans#ormar radicales simples: a)
1bs"rvese que: a = 11 -
b = 72
uego calculamos c: c = Entonces:
11 2
radicando
11 + b)
CLASIFICACIÓN DE LOS RADICALES Radicales homogéneos.- Son aquellos que tienen el ax
5
m
5
p
72
8−
11 + 7
=
−
72
=
=
9
11 − 7
+
2
2
49
=
2
+
7 3+
2
3+
2
=
48
Resol#ci$n
mismo índice. 5
72
Resol#ci$n
signo radical
Ejemplo:
11 +
2
a
= 8 -
82
c=
b = 48 48
−
16
=
4
=
Entonces:
Radicales semejantes.- Son los radicales que adem!s de
8 − 48
ser homog"neos tienen el mismo radicando. Ejemplo:
3
a
13 2
8+4
=
2
c)
3
5
5 + 2 6
Resol#ci$n
7
4
15
a
=
c
=
12
74
52
−
5+ 2 6
m.c.m. %&, ', () * +&. uego tendremos:
5 - b = 24
12
24
=
1 =1
5+
24
Entonces:
Sol#ci$n 56
2
−
a 0,73 a
Es el proceso por intermedio del cual, se trans#orma radicales heterog"neos en homog"neos. Ejemplo:
12
6
=
2
HOO!ENI"ACIÓN DE RADICALES
$omogenizar:
8−4
−
=
5+1
=
5 −1
+
2
=
2
RE!LA 'RC&ICA DE &RANSFORACIÓN
15 3
/odo /odo radical doble se puede escribir de la siguiente manera:
RADICALES DO%LES
( S )
Se denomina radical doble a todo radical que se presenta en su radicando otros radicales que est!n ligados por las operaciones de adición - sustracción. Ejemplo:
a
/alque:
P
± 2
+
a
=
b = S
a.b = P
b
±
Donde:
a >b
En los ejemplos anteriores: a
±
b
a
+
b
+
c
3
x
±
y
a)
11 +
72
11 + 2 18
=
&RANSFORACIÓN DE RADICALES DO%LES A SI'LES o todo radical doble se puede trans#ormar en radicales simples, podr! hacerse la trans#ormación siempre - cuando se cumpla ciertas condiciones.
23& b)
CASOS ()E SE 'RESEN&AN
a±
b
=
a+c
2
±
5+2 6
'3& d)
a± b /odo /odo radical de este tipo se puede trans#ormar de la siguiente manera:
48
8 − 2 12
=
=
3+
2
6
=
3
5−
2
−
4.& 2
+
'.&
7 + 2 12
(3' e)
3
=
2
+
2.&
43& c)
*+ RADICALES DE LA FORA,
8−
9
=
12 +
=
4
+
3
=
2+
3
(.' 140
=
12 + 2 35
=
7
3
+
a−c 536
2 #)
28
−
5 12
=
28
−
5.6 2 75
=
25
−
=
3
Pg. 1
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ÁLGEBRA
CÉSAR H. AGUILAR RAMOS
&63' g)
8+
28
&6.'
8+ 2 7
=
53+ h)
7
40
−
7
=
2− 3
2 10
−
3 j)
2 x ( x
7)
+
3
+
2 x 2
5
=
+1
3
=
1
−
2
( x
2
x
15
2
10 +
+ 1)( x − 1) =
24
40
+
x
x
+1 +
−1
=
+
b
c
+
+
2 ab
+
2 ac
os radicales de la #orma
x − 2
=
+
x −3
+
C +
A +
B
D
C +
+
/rans#ormar:
24
C +
+
D
0 donde:
2 60
+
D
x
=
+
y
+
z
12 + 7
+
5 + 2 12.5
12
+
7
+
5
2 3
+
7
+
5
=
B
888 %99)
2 xz =
C
888 %999)
2 yz
D
888 %9)
3
∗
40
+
+
2 35
+
2 5.7
b
+
c
+
60
+
2 12.7
=
3
a
b
±
A ± B
=
n2
n±
C = 3 A 2 A = 4n
−
C
− B
3
−
3nC
3
10
108
+
Sol#ci$n
∗
24
2 84
+
Ejemlos Elementales,
Ejemplos elementales: +
+
>dem!s:
;n sistema de ( ecuaciones con ' incógnitas, resolviendo el sistema con#ormado por las ecuaciones %99), %999) - %9) se obtiene: x, y ∧ z , la ecuación %9) es la ecuación de comprobación de los valores obtenidos.
10
a
=
/alque:
+. /rans#ormar:
+. /rans#ormar:
=
/odo radical de este tipo se puede trans#ormar de la siguiente manera:
Donde elevando al cuadrado - comparando t"rminos se consigue: x + y + z = A 888 %9)
=
2 bc
+
1+ RADICALES DE LA FORA,
3
2 xy
5
+
>comodando las raíces:
trans#ormar a la #orma x + y + z 0 para encontrar x ; y ∧ z en #unción de A, B, C y D , se plantea la siguiente igualdad: B
3
+
Resol#ci$n
A, B , C y D son racionales positivos, se puede
A +
2
=
Ejemplo:
/+ RADICALES DE LA FORA, B
60
+
/odo radical de esta #orma se puede escribir de la siguiente manera: a
( x − 2) + ( x − 3) + 2 ( x − 2)( x − 3)
A +
3.5
=
RE!LA 'RC&ICA DE &RANSFORACIÓN
5 x + 6
−
=
=inalmente la trans#ormación queda establecida así:
2
−1 =
2 x − 5 + 2
yz
3 1 . 2 2
2
+ 1)( x − 1) +
De %9) se tiene:
2 .5
=
Si observamos atentamente cada ecuación obtenida se podr! establecer que: x = 2 y = 3 ∧ z = 5
2
−
10
2 + 3 + 5 = 10
4
1
2
7
xz =
6.&
2−2
=
1=
+
5.+
63& i)
7
=
De %99) se tiene:
10 +
108
=
n+
n
2
−
c 888. %+)
c = 3 10 2 − 108 = −2 10 = 4n 3 − 3n( −2)
10 = 4 n 3
+
6n cumple para n = 1
Resol#ci$n En %+)
De acuerdo con el criterio e0puesto debemos plantear: 10 +
24
40
+
60
+
=
x
+
y
+
3
z
∴
uego el sistema ser!:
x + y
+
z = 10 888 %9)
=
24
888 %99)
2 xz =
40
888 %999)
2 yz
60
888 %9)
2 xy
=
&. /rans#ormar:
xy
=
6
=
2.3
108
10 + 3
=1 +
108
=1+
12
− ( −2)
3
38 − 17 5
Sol#ci$n 3
De %99) se tiene:
10 +
∗
38 − 17 5
c = 3 38 2
=
n−
n2
−
c 888. %+)
− 1445
Pg. 2
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c = 3 1444 − 1445
38 = 4n 3
∗
38 = 4 n 3
−
= −1
'.
3n( −1)
38 + 17 5
∴
3
'. /rans#ormar:
3
=
38 − 17 5
22
2− 2
=
−
5
7+5 2
7+5 2
c = 3 72
n+
=
n2
−
c 888. %+)
7 = 4n
+
a
±
±
b
→
F . R
=
b
→
F . R
=
a a
b
% conjugada)
b
% conjugada)
x
±
2n
y
3n cumple para n = 1 P
De donde:
∴
2n
tengan la #orma:
En %+) 3
y
±
%En cualquiera de los casos la #inalidad es #ormar una di#erencia de cuadrados) !lido en #orma general tambi"n para denominadores que
− 50
3
x
Su #actor racionalizante es: F . R. = x y recibe el nombre de conjugada - ser! el mismo binomio pero con signo intermedio opuesto. Es decir: a ± b → F . R = a b % conjugada)
a
c = 3 49 − 50 = −1 7 = 4n 3 − 3n( −1)
7 3
5 2
+
12
=1+
7+5 2
=1+
x
− ( −1)
Es aquella e0presión irracional que nos permite hacer la trans#ormación de racionalización.
'ROCEDIIEN&O 'ARA RACIONALI"AR Dada la e0presión de denominador irracional se multiplica divide por otra irracional %=.?.) de modo que la e0presión queda con denominador racionalizado así:
.
=
irracional F . R.
x
y
x
y
P x
=
y
x − y
2 3
&. ?acionalizar:
FAC&OR RACIONALI"AN&E 2F.R.3
F . R.
y
±
+. ?acionalizar:
Es el procedimiento para trans#ormar una e0presión con denominador irracional en otra equivalente cu-o denominador sea racional.
M
.
Ejemlos,
2
RACIONALI"ACIÓN
f =
P
− ( −1)
Sol#ci$n
∗
a 3b 5 c 7
%. DE LA FORA, 3
∗
8
3n cumple para n = 2
+
En %+)
3
5
?acionalizar:
M . F . R. racional
2
−
5+
2
5−
2
2+
'. ?acionalizar:
3 2
3 2 3
−
C. DE LA FORA, 3
x
3
x 2
±
3
F . R. = 3 x 2
⇒
y
3
+3
xy
y 2
⇒
3 3
F . R. =
xy
+
3
y2
x
±
3
y
Es preciso recordar que:
(a + b)(a 2
−
ab + b ) = a
2
3
(a − b)( a 2
+
ab + b 2 ) = a 3
+
b
3
−b
3
CASOS ()E SE 'RESEN&AN De donde:
A. DE LA FORA,
A n
x
m
; n
>
3
k
m 3
x
±
3
y
.
3
x 2
3
xy
+
x 2
3
xy
+
3 3
y 2
=
k . fr x ± y
y 2
Su #actor racionalizante ser!: F . R = n x n− m 1 tambi"n: De donde:
3
k
A n
x
m
n
.
n
Ejemplo: +.
?acionalizar:
&.
?acionalizar:
7
x a
x
x
n−m
n
=
A. x
n−m
3
3
x 2
±
3
xy
+
3
y 2
3
x
3
y
x
3
y
k . fr
=
x y
x Ejemplos: +.
7 5
x
n−m
.
?acionalizar:
F . R. = 3 4 2
−
3
7 3
4
+
3
4 .5
+
3
5 Resol#ci$n
52
Pg. 3
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ÁLGEBRA
CÉSAR H. AGUILAR RAMOS 7 3
4
3
+
.
5
F . R 3
16
3
−
20
3
+
25
Resol#ci$n
7 F . R ,
*
5
*
4
+
19
7 F .R.
8
9 &.
?acionalizar:
F . R. = 3 7 2
+
3
1 3
7
3
7
'.
3
−
.
2
49
3
+
?acionalizar:
3
F . R
1
3
+
4
F . R.
*
4
−
19 F .R.
*
2
2
a
−
5
b
Resol#ci$n
22
14
19 F . R
*
1 5
2 Resol#ci$n
−
7. 2
−
2
3
F . R 3
−
F . R
.
'. ?acionalizar:
5
1
4
8
7
−
2
1 F .R.
*
a
−
5
b
F . R F . R * a−b F . R
.
5
2 3
3
3
+
2
+.
Descomponer a radicales simples:
Resol#ci$n F . R. =
3
3
2
2 3
3 + 3 52
−
.
3
3
9
3
3. 2 + 2 2 F . R 3
−
6
+
3
4
2 F . R.
*
3+ 2
2 F .R
*
5
D. DE LA FORA, En general, para denominadores cu-os radicales son de orden ma-or que ', se utili zar!n criterios de los cocientes notables. n
a
n
±
n
b ⇒ F . R. =
a
n −1
n
a
n−2
b
+
n
a
n −3
b
3
n
a
−
n
.
a
+
n
a
+
n
F . R.
.
a =
a
F . R.
.
=
−
∀n ∈ N
b
N . F . R.
b F . R.
N n
N . F . R.
=
b F . R.
N n
F . R.
+
para
b
N . F . R.
b F . R.
a
...
−
&.
n impar
para n par
b
Ejemlos, 15
+. ?acionalizar:
5
3
+
5
2
Resol#ci$n F . R. = 5 3 4 15 5
5
3+ 2 15 F . R 3+ 2
.
−
5
*
3 3.2
5
81 −
5
+
54
5
3 2 .2 2 − 5 3.2 3 15 F . R
+
3 F . R
&. ?acionalizar:
8
4
−
5
36
−
5
24
+
+
5
5
16
24 *
'.
19 8
2
3+
8
b)
4+ 7
c)
5+
24
d)
9 +
e)
9 +
72
#)
g)
7
−
24
h)
8−
i)
8−
60
j)
10
7)
11 +
l)
12 +
m)
uego:
N
a) 2
72
30 −
704
22
7 +
48 48
19
−
140
n)
16 −
220
o)
13 +
160
p)
13 −
168
q)
13 −
88
r)
16 −
240
Descomponer a radicales simples: a)
9 + 2 18
b)
7
c)
12 + 2 35
d)
8+2 7
e)
8 + 2 12
#)
5 + 2 16
g)
13 + 2 12
h)
11 − 2
i)
7 − 2 6
j)
7
l)
5 x
7)
5−2
m)
9 x 3
o)
mn
p)
ab
q)
2 x + 5 − 2 x 2
r)
8 x + 4 + 2 12 x 2
s)
2 x
t)
5 x 2
6
r − 2
+
−
2 x2
30
2 10
−
2 6x 2 4 x 2
−1+
−
4 x − 24
m.n.r
+ 5x + 6 + 12 x +
3
−1
4 + 2 6 x 4
−
2 x
−
2 12
4 abcd
cd +
+
n)
72 x 6
+
+
2
− 12 − 14 x
Descomponer a radicales simples: a)
16
b)
a
c)
10
+
+
2 20
3b
+
+
15
4 +
+
2 28
+
4
a
+
−
2 35
4 3b
21 − 6 10
−
−
2 3ab 6
−
2 10
Pg. 4
CLUB DE MATEMÁTICA
ÁLGEBRA
CÉSAR H. AGUILAR RAMOS d)
3 x
+
2 + 2 x
e) (.
−1 −
21 − 4 5
2 x
3
e)
i)
5
4 x 8
x 2 m
5
3 9
x
7
7
x
x 3
d)
2
5
1 g)
5
13
j)
x 2 y 3 z
c)
5
#)
1
7
−
3
2
3
8
3
−
2+
c)
3 3
7
−
7
+1
5
2
7
h)
3
x y
x 3
+.
2
&.
x 2 y
M
5 7)
m 3 x 4 z 2
5
9
4
l)
6
x y z
>) 7 .>
a 2b3
3
g)
j)
b)
5
+
5 2 2 3
7
3
−
2 3
e)
3
+
2−
3
2+
3
+1
2+
5 1
4 3 5 2
7)
3
x
m.
a+b
3 2
i)
2 3
−1
2
+1
2
−1
+1
(.
1
l)
7
−1
2
c)
3
e)
−1
−
5
+
2 5
−
7
2
8
+
−
6.
3+
2
#)
5
3
+
6− 11
2
+
+
=
3
8
−
7
4.
+ 10
5
3
−
5.
+
6+
2
2
7
2 D)
6+4
2
+
7−
D) +&
3+
2
12
−
<) '
5+ 2
B) &
E)
2
E) +@
18 −
+
D) (
128
E) 6
49 + 20 6
6
<) '
D) (
E) 6
15 − 10 2
11 − 2 10
−
9−4 2
+
B) +C'
D) (C'
3
<) 'A
1 +1
4 8 + 2 12
D) (A
2
+
E) 6C&
+
7 − 2 10
B) &A
2
13 + 4 10 12 + 8 2
+
=
11 − 2 n
E#ectuar: T =
+
<) 'C&
1
$allar n
>) +A
2
+
2
5− 2 63
7 5
7
<) +A
3
h)
+1
−
2 <)
B) &
>) C&
2
+
+
6 + ..... +
2 3+ 2 2
3
d)
2
1
g)
2− 3
−
?educir:
2 3
b)
3− 7
+
3
>) +
x − y
−
6
B) 4
3−
R
2 x + y
2 8
+
?educir:
E =
3 2
6+
>) +
?acionalizar: a)
6+
=
P =
5
+
2 10
+
?educir a su #orma mas simple:
'.
7
−
2 3 −1
#)
3
−
n.
a−b
+
5
2 5
−
2 3
2 3
c)
−
2 3
h)
6
+
2
6
B)
−1
>) '
2 7
?educir: P =
2
?acionalizar:
d)
1
−
3 −1
E) 6A
3+
2
?acionalizar: a)
d)
2.
x−2
+
3
b)
4 15
−
6
b)
3
a)
@.
2 x
−
2
a)
72 − 32 5
6
5.
8 3
+
3 x + 2
+
2
?acionalizar: a)
4.
2
/rans#ormar: a)
6.
2
2 2 3
9
−
3
7
3
3
b)
1 3
8
+
3
5
>) A
3
c)
3
6
+
3
e)
<)
2
D) 2
2
3(
E)
3
2
2 3
7
−
@.
?acionalizar: a)
B) 2
2 4
6
−
4
8
3 4
5
−
4
2
b)
#)
3 6
9
+
6
5
2
c)
5
2
+
5
3
d)
81 + 5 27
+
5
5
−
5
9
>)
2 + 5
9
+
5
3 +1
4+
7
2.
Si:
3
−1
−
2−
7
1 5
?educir: P =
B)
3
+1
5−
21
3
<) 2
−
3
D) + E)
3 9
−
57
=
2x
−
3 calcular:
x 2
−1
+A. ?acionalizar: +A. g
Pg. 5
CLUB DE MATEMÁTICA
ÁLGEBRA
CÉSAR H. AGUILAR RAMOS
++. g
+&. g
+'. g
+(. g
+6. h
+4. h
+5. h
+@. h
+2. h
&A. h
&+. h
&&. h
&'. h
Pg. 6
