5.Teoria de Potenciacion y Radicacion

6 TEORIA DE POTENCIACION Y RADICACION POTENCIACION: Definición: Es una operación que hace corresponder a un par de números

llamado POTENCIA; definido como:

Exponente Base

Teoremas de la Potenciación: Teorema 1 (Multiplicación de Bases Iguales)

Porque: Sean

; entonces: (por definición de potenciación) (por asociatividad de la multiplicación)

(por definición de potenciación) Teorema 2 (División de Bases Iguales)

Porque: Sean

; entonces: (por teorema de los números reales) (por teorema 1) (por cancelación)

Teorema 3 (Potenciación de un producto)

Porque: Sean

; entonces: (por definición de potenciación) (por asociatividad de la multiplicación) (por definición de potenciación)

Teorema 4 (Potenciación de una potencia)

Porque: Sean

; entonces: (por definición de potenciación)

; donde

un tercer número real

7 (por teorema 3) (por teorema 1) (por definición de multiplicación) Teorema 5 (Potenciación de un cociente)

Porque: Sean

; entonces: (por definición de potenciación)

(por multiplicación de fracciones)

(por definición potenciación)

Observación: Vemos que la definición de potenciación se ha establecido para

de potenciación para permitir que Así, con tal que

, escojamos definir

aquello que hace que sea verdad la ecuación:

; tenemos que:

Nota: No damos ninguna significación a

Análogamente; escojamos definir Así, con tal que

, ahora si queremos extender la definición

.

aquello que hace que sea verdad la ecuación:

; tenemos que:

Así extendemos la definición de potenciación para permitir que

.

RADICACION: Definición: Es una operación que hace corresponder a un par de números

llamado RAIZ n-esima; definido como: Índice del Radical

Cantidad subradical

; donde

un tercer número real

8 Teoremas de la Radicación: Teorema 1 (Multiplicación de Radicales)

Porque: Sean los radicales

; entonces:

…(1)

(por definición de radicación ) …(2)

(multiplicando los segundos miembros de (1) y (2)) (por teorema 3 de potenciación) (por definición de radicación) (reemplazando los primeros miembros de (1) y (2)) Teorema 2 (División de Radicales)

Porque: Sean los radicales

; entonces:

…(1)

(por definición de radicación ) …(2)

(dividiendo los segundos miembros de (1) y ( 2)) (por teorema 5 de potenciación) (por definición de radicación)

(reemplazando los primeros miembros de (1) y (2)) Teorema 3 (Radicación de un Radical)

Porque: Sea el radical

… (1); entonces:

(por definición de radicación) (por definición de radicación) (por teorema 4 de potenciación)

9 (por definición de radicación) (reemplazando (1)) Teorema 4 (Potenciación de un Radical)

Porque: Sea el radical

; entonces: (por definición de potenciación) (por teorema 1 de radicación) (por definición de potenciación)

Teorema 5:

Porque: Sea el radical

… (1); entonces:

(por definición de radicación) (elevando a la potencia r) (por teorema 4 de potenciación) (por definición de radicación) (reemplazando (1)) Observación: Vemos que por el teorema 4 de Potenciación tenemos que:

Luego por la definición de radicación podemos definir que:

10

PROBLEMAS DE TEORIA DE POTENCIACION Y RADICACION

1.

Simplificar: Rpta: 1

2.

Calcular: Rpta: xy

3.

Simplificar: Rpta:

4.

Calcular: Rpta:

5.

Calcular: Rpta:

6.

Calcular:

Rpta:

7.

Simplificar: Rpta: 2