Balotario Examen Final - Calculo I

BALOTARIO  –  EXAMEN  EXAMEN FINAL 1. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función:    

   cos cos(  2) = 1 ; en el valor de: y = 0. 3    sen sen(  2) = 1 ; en el valor de: y = 0     sen sen(  ) = 1 ; en el valor de: y = 0 3    tan(  ) = 1 en el valor de: y = 0.

2. Encontrar la ecuación de la recta tangente y normal a la gráfica de la función en el punto dado:

   ,  4 2

x sen sen2y  y cos( cos(2x) 2x)

3. Derivar y simplificar la siguiente función: 





   (  () = arctanarctantan− −3    (  () = arctan3arctan3arccot−      (  () = arctanarctanarctan−



y  2x ar a rccos(3x )  3 1  9 x 2



arc tan 



 x2  y 

 2 2   ln x  y 





+7  () = arctan+ +7+

4. Optimización: Se producirá una caja, abierta por la parte superior, de una pieza cuadrada de cartón, cortando un cuadrado de cada esquina. Dado que la pieza de cartón mide 40 centímetros por lado. ¿Cuál son sus dimensiones de la caja? Y ¿Cuál es el máximo volumen? 





Un granjero planea cercar un pastizal rectangular adyacente a un río. El pastizal debe contener 245000 m 2 para proporcionar suficiente pastura para el rebaño. ¿Qué dimensiones requeriría la cantidad mínima de cercado si no es necesario vallar a lo largo l argo del río?

Algunas aves vuelan más lentamente sobre agua que sobre tierra. Un ave vuela a razones constantes de 6 km/h sobre el agua y 10km/h sobre tierra. Use la información de la figura. Para encontrar la trayectoria a la cual el ave debe seguir para minimizar el tiempo total de vuelo entre la l a costa de una isla y su nido ubicado en la costa de otra isla.







Un fabricante quiere diseñar una caja abierta que tenga una base cuadrada y un área superficial de 432cm2, como se muestra en la figura. ¿Qué dimensiones producirá una caja con un volumen máximo?

Un chiquero, junto a un granero, se delimita usando cerca solo en dos lados, como se muestra en la figura. ¿Cuál es el área máxima que se puede delimitar con 585 pies de cerca?

Se va a construir una tubería desde una refinería a través de un pantano hasta tanques de almacenamiento. Vea la figura. El costo de construcción es $500 por metro sobre el pantano y $250 por metro sobre tie rra. ¿Cuánto es el costo mínimo de producción?

4 km

5. Indique el límite dado como una de las formas indeterminadas estudiadas en clase. Use la regla de L’Hopital donde sea idóneo para encontrar e límite dado. 

 lim (x  )  →0 















    lim   → lim (1  4) →0 −  lim () →0 lim (ln )− →+ 5  lim  1   x  x

6x

 3  lim 1   →∞

lim(2  1)

→0

 

6. Encuentre las primeras derivadas parciales de la función dada.   



 (,,) =  ++  2 tan( 3)   −   (,,) = 5 3 sen(  )   3  (,,) = 23 tan( )   +  3 f(x, y, z)  ln(x 2  y 2  z2 )  6 cos(xy 2 )  2x

f(x, y, z)  

x 1  2x2z 2 xy

2