ELEMENTOS DE LÓGICA SIMBÓLICA 1. ¿Qué es una proposición? proposición? Es la expresión de un juicio entre dos términos, que solo puede ser verdadera o falsa, no ambas a la vez 2. ¿Qué es forma proporcional? proporcional? Expresión que se transforma en verdadera proposición, al sustituir la variable o el elemento impreciso, por un elemento fijo. 3. ¿Qué es una proposición simple? Es cuando concierne a un hecho único Ejemplo: El año tiene doce meses El día tiene 24 horas 4. ¿Qué es una proposición compuesta? compuesta? Es la combinación de enunciados simples, en caso contrario se llama atómica. Ejemplo: Tengo frío y estoy temblando temblando.. Tengo una guitarra eléctrica y una electroacústica. 5. ¿Qué es un conectivo lógico y sus símbolos para representarlos? representarlos? Para relacionar las proposiciones proposiciones simples se hace necesaria la aplicación de conectivos y así formar una proposición proposició n compuesta. Símbolos: Conectivos: Y = & = ^ Conjunción O = V Disyunción inclusiva O = V Disyunción exclusiva Si… entonces = => Implicació Implicación n Si = si y solo sí = Equivalencia No = ¬ = Negación 6. ¿Qué es la Conjunción? ^ La conjunción de dos proposiciones es verdadera solo cuando ambas son verdaderas, y falsas, si una de las partes o ambas son falsas. Ejemplo: 9 es múltiplo de 3 y 21 es múltiplo de 7 V 9 es múltiplo de 3 y 21 no es múltiplo de 7 F 9 no es múltiplo de 3 y 21 es múltiplo de 7 F 9 no es múltiplo de 3 y 21 no es múltiplo de 7 F 2+5=7 y 7+7 = 14 V 2+5=7 y 7+7 no es = 14 F 2+5 no es = 7 y 7+7 = 14 F 2+5 no es = 7 y 7+7 no es = F 7. ¿Qué es la Disyunción inclusiva? inclusiva? V Es verdadera siempre que al menos una de las proposiciones sea verdadera, o cuando ambas partes sean verdaderas, y es falsa cuando ambas partes sean falsas. Ejemplo: Compro radio o televisor V Compro radio o no compro tv V No compro radio o compro tv V No compro radio o no compro tv F Compro zapatos o pantalón V Compro zapatos o no compro pantalón V No compro zapatos o compro pantalón V No compro zapatos o no compro pantalón F 8. ¿Qué es la disyunción exclusiva? V Es verdadera cuando solo una de las componentes es verdadera, y falsa, cuando ambas son verdaderas o ambas son falsas. Ejemplo:
Mañana a las 5.30 estaré en la USAC o en mi casa F Mañana a las 5.30 estaré en la USAC y no estaré en mi casa V Mañana a las 5.30 no estaré en la USAC y estaré en mi casa. V Mañana a las 5.30 no estaré en la USAC y ni estaré en mi casa. F Hoy realizare mis tareas o iré a ensañar con mi banda F Hoy realizare mis tareas y no iré a ensañar con mi banda V Hoy no realizare mis tareas y si iré a ensañar con mi banda V Hoy no realizare mis tareas y no iré a ensañar con mi banda F 9. ¿Qué es la implicación o condicional? condicional? (=>) Esta es verdadera en todos los casos, salvo cuando el antecedente es verdadero y la consecuente falsa. Ejemplo: Si hace calor, entonces se secara la ropa rápido V Si hace calor, entonces no se seca la ropa rápido F Si no hace calor entonces se secara la ropa rápido V Si no hace calor, entonces no se secara la ropa rápido V Si me pagan hoy, entonces comprare una guitarra V Si me pagan hoy, entonces no comprare una guitarra F Si no me pagan hoy entonces comprare una guitarra V Si no me pagan hoy, entonces no me comprare una guitarra V 10. ¿Qué es la equivalencia, la doble implicación o incondicional? incondicional? () Esta es verdadera cundo ambas proposiciones son verdaderas o son falsas. Cuando una es verdadera y la otra falsa, entonces la equivalencia es falsa. Ejemplo: Comprare casa si el banco me presta el dinero. V Comprare casa si el banco no me presta el dinero F No comprare casa si el banco me presta el dinero F No comprare casa si el banco no me presta el dinero V 11. ¿Qué es la negación y cuál es su símbolo? (¬ = ) La negación de una preposición es verdadera y si la proposición es falsa, la negación es verdadera. El pizarrón del aula de matemáticas 1 es rojo V El pizarrón del aula de matemáticas 1 no es rojo F El pizarrón del aula de matemáticas 1 es morado F El pizarrón del aula de matemáticas 1, no es morado V Mis zapatos son color negro V Mis zapatos no son color negro F Mis zapatos son color café F Mis zapatos no son color café V 12. ¿Qué es una forma proposicional? Es la expresión que se transforma en verdadera proposición, proposición, al sustituir la variable o el elemento impreciso, por un elemento fijo. 4X=16 4(4) = 16 El fue a la USAC Carlos fue a la USAC 13. ¿Qué es una proposición y cuáles son sus tipos? Es la expresión de un juicio entre dos términos puede ser verdadera o falsa. Están divididas en proposiciones simples y compuestas. Ejemplo: P.Simple: El agua es indispensable para la vida P. Compuesta: Si tengo dinero hoy, entonces te invito a comer. 14. ¿Cuáles son los valores de verdad? Los valores de verdad de una proposición sencilla o simple solo puede tener dos valores de verdad, que será “verdadera” o que sea “falsa”.
15. Tablas de verdad y sus tipos (tautología, contradicción y contingencia) La tautología es una proposición que siempre es verdadera. La contradicción es una proposición que siempre es falsa. La contigencia es una preposición que tiene valores de verdad f alsos y verdaderos.
CLASES DE PROPOSICIONES Existen dos clases de proposiciones: PROPOSICIONES SIMPLES: tambien denominadas proposiciones atómicas. Son aquellas proposiciones que no se pueden dividir. Ejemplos: El cielo es azul. PROPOSICIONES COMPUESTAS: tambien denominadas moleculares. Son aquellas que están formadas por dos o más proposiciones simples unidas por los operadores lógicos. Ejemplos: Fui al banco, pero el banco estaba cerrado. Los lectores de este libro son jóvenes o universitarios. Si el miércoles próximo me saco la lotería entonces te regalare un auto.
CONECTIVOS (OPERADORES) LOGICOS Son aquellos que sirven para formar proposiciones más complejas (compuestas o moleculares).
TIPOS DE CONECTIVOS Y EJEMPLOS
Conectivo
Props. Compuesta
NOT
¬
Negación
AND
^
Conjunción
OR
v
Disyunción inclusiva
OR exclusivo
v
Disyunción exclusiva Condicional
Bicondicional
A) NEGACION: EJEMPLO: Juan conversa. Juan no conversa. B) CONJUNCION: EJEMPLO: P: La casa esta sucia. Q: La empleada la limpia mañana. PQ: La casa esta sucia y la empleada la limpia mañana. C) DISYUNCION: D) DISYUNCION EXCLUSIVA: EJEMPLO: P: Pedro juega básquet. Q: María juega futbol. PVQ: Pedro juega básquet o María juega futbol.
E) CONDICIONAL: EJEMPLO: P: Si me saco la lotería. Q: Te regalare un carro. PQ: Si me saco la lotería entonces te regalare un carro. F) BICONDICIONAL: EJEMPLO: P: Simon bolívar vive. Q: Montalvo esta muerto. PQ: Simon bolívar vive si y solo si Montalvo esta muerto.
FORMAS PROPOSICIONALES Existen tres formas proposicionales: TAUTOLOGIAS: es aquella forma proposicional que da como resultado verdadero. CONTRADICCIONES: es aquella forma proposicional que siempre da como resultado falso.
FALACIAS O INDETERMINADA: es aquella forma proposicional que siempre es verdadera y falsa a la vez. PROPIEDADES DEL ALGEBRA DE PROPOSICIONES
A) CONMUTATIVA:
B) ASOCIATIVA:
C) DISTRIBUTIVA:
D) IDENTIDAD:
E) ABSORCION:
F) LEYES DE MORGAN:
G) DOBLE NEGACION: Proposiciones Negativas Las proposiciones negativas llevan el adverbio de negación ‘no’, o sus expresiones equivalentes como ‘nunca’, ‘jamás’, ‘tampoco’, ‘no es verdad que‘, ‘no es cierto que’, ‘es falso que’, ‘le falta’, ‘carece de’, ‘sin’, etc.
Ejemplos:
a) Nunca he oído esa música. b) Jamás he visto al vecino. c) Es imposible que el átomo sea molécula. d) Es falso que el juez sea fiscal. e) Al papá de Nelly le falta carácter.
ANEXO (RAZONAMIENTO) Las formas proposicionales que están constituidas por una o más hipótesis o premisas por una conclusión. Estructura Conjunto de premisas conclusión.
Un razonamiento es valido si y solo si el condicional formado es tautológico. EJEMPLO: Si hay lluvias, hay cosechas; si hay enfermedades, no hay cosechas; hay heladas o hay enfermedades; no hay enfermedades. Por lo tanto, hay lluvias. 1.- Identificamos las hipótesis y la conclusión, que en este caso son separadas por “;”. H1.- Si hay lluvias, hay cosechas. H2.- Si hay enfermedades, no hay cosechas. H3.- Hay heladas o hay enfermedades. H4.- No hay enfermedades. C.- Hay lluvias. 2.- Determinamos las proposiciones simples: p: Hay lluvias q: Hay cosechas r: Hay enfermedades S: Hay heladas 3.- Traducimos al lenguaje formal. H1: H2: H3:
H4: C: 4.- Entonces estructuramos el razonamiento.
PREGUNTAS GENERADORAS ¿De que manera podemos aplicar la lógica proposicional a la ingeniería de sistemas? ¿a través de las proposiciones lógicas en que modelo la carrera podemos aplicar razonamientos lógicos? ¿Qué métodos se utilizan para saber si algo es verdadero o es falso, y que tanto aportan las proposiciones a la ingeniería de sistemas? Los mapas conceptuales solo enlazan conceptos Ajustar mapas conceptuales MAPAS CONCEPTUALES 1)
PROPOSICIONES Es cualquier agrupación de palabras o símbolos que en un momento dado se puede afirmar si es verdadera o falsa.
Se divide en:
PROPOSICIONES SIMPLES O tambien llamadas proposiciones atómicas que son aquellas que no se pueden dividir. Eje: el cielo es azul.
2)
PROPOSICIONES COMPUESTAS Tambien llamadas moleculares y son aquellas que están formadas por 2 o mas proposiciones simples. Eje: fui al banco pero estaba cerrado.
NEGACION EJEMPLO: -Juan conversa
-Juan conversa
no
BICONDICIONA L
Simon bolívar vive si y solo si Montalvo esta muerto.
CONECTIVOS OPERADORES LOGICOS
CONDICIONAL Si me saco la lotería entonces te regalare un carro.
CONJUNCIO N EJEMPLO: - la casa esta sucia y la empleada mañana la limpia.
DISYUNCION
Å, o... pero ambas.
o... no
DISYUNCIO N EXCLUSIVA Pedro juega o básquet María juega futbol.
3)
FORMAS PROPOSICIONALES
TAUTOLOGIAS Es aquella forma proposicional que siempre da como resultado verdadero.
CONTRADICCIONES
Es aquella forma proposicional que siempre da como resultado falso.
FALACIAS Es aquella forma proposicional que siempre da como resultado verdadero y falso a la vez.
VOCABULARIO MONTALVO: Juan Montalvo (1832-1889), escritor ecuatoriano, nacido en Ambato y fallecido en París.
Su obra, personal y fuerte, es de difícil clasificación, aunque le corresponde el amplio y abierto campo del ensayo, basado en el gran ejemplo fundacional del escritor francés Miguel de Montaigne. Se le considera uno de los mayores prosistas hispanoamericanos del siglo XIX, pues su léxico, giros y cadencias, así como la desenfadada agudeza de su pensamiento, apelan a fuentes diversas: los clásicos latinos, el siglo de oro español, los románticos franceses. Frente a la opción de Domingo Faustino Sarmiento, o sea la constante reinvención latinoamericana del idioma, Montalvo trabaja por recuperar olvidadas fuentes de la literatura española, empleadas con extrema libertad. CONCLUSIONES Buscar que el tema halla sido entendido y aplicar esto a nuestra carrera. Encontramos el significado de las proposiciones y logramos adquirir un nuevo conocimiento que aportara a nuestra carrera. Queremos con este trabajo encontrar los errores antes de presentar a nuestros compañeros una información que ellos tomaran como aporte tambien para la carrera. CONECTIVOS LOGIOS: En lógica, una conectiva lógica, o simplemente conectiva, es un símbolo que se utiliza para conectar dos fórmulas, de modo que el valor de verdad de la fórmula compuesta dependa del valor de verdad de las fórmulas componentes. En programación se utilizan para combinar valores de verdad y obtener nuevos valores que determinen el flujo de control de un algoritmo o programa. Las conectivas lógicas son, junto con los cuantificadores, las principales constantes lógicas de muchos sistemas lógicos, principalmente la lógica proposicional y la lógica de predicados. Las conectivas son funciones de verdad. Quiere decir que son funciones que toman uno o dos valores de verdad, y devuelven un único valor de verdad. En consecuencia, cada conectiva lógica puede ser definida mediante una tabla de valores de verdad que indique qué valor devuelve la conectiva para cada combinación de valores de verdad. A continuación hay una tabla con las conectivas más usuales y su definición mediante tablas de verdad: Conectiva
Notación
Ejemplo Análogo de uso natural
Ejemplo de uso en el lenguaje natural
Negación
no
No está lloviendo.
Conjunción
y
Está lloviendo y es de noche.
Tabla de verdad
Disyunción
o
Está lloviendo o es de noche.
Condicional material
si... Si está lloviendo, entonces es entonces de noche.
Bicondicional
si y sólo si
Negación conjunta
ni... ni
Disyunción excluyente
Está lloviendo si y sólo si es de noche.
Ni está lloviendo ni es de noche.
o bien... o O bien está lloviendo, o bien es de noche. bien
TABLAS DE VERDAD Estas tablas pueden construirse haciendo una interpretación de los signos lógicos,¬, ∧, ∨, →, ↔, como: no, o, y, si…entonces, sí y sólo si, respectivamente. La interpretación corresponde al sentido que estas operaciones tienen dentro del razonamiento. Puede establecerse una correspondencia entre los resultados de estas tablas y la deducción lógico matemática. En consecuencia, las tablas de verdad constituyen un método de decisión para chequear si una proposición es o no un teorema.
Para la construcción de la tabla se asignará el valor 1(uno) a una proposición cierta y 0 (cero) a una proposición falsa. Negación: El valor de verdad de la negación es el contrario de la proposición negada. P
¬
P
1
0
0
1
Disyunción: La disyunción solamente es falsa si lo son sus dos componentes. P
Q
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
0
P∨
Q
Conjunción: Solamente si las componentes de la conjunción son ciertas, la conjunción es cierta. P
Q
P
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
∧
Q
Condicional: El condicional solamente es falso cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. De la verdad no se puede seguir la falsedad. P
Q
P→Q
1
1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
Bicondicional: El bicondicional solamente es cierto si sus componentes tienen el mismo valor de verdad. P
Q
P↔ Q
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
Se denomina tautología una proposición que es cierta para cualquier valor de verdad de sus componentes. Por tanto, laúltima columna de su tabla de verdad estará formada únicamente por unos.
Contradicción es la negación de una tautología, luego es una proposición falsa cualesquiera sea el valor de verdad de sus componentes. La última columna de la tabla de verdad de una contradicción estará formada únicamente por ceros.
TEORIA DE CONJUNTOS: Por Extensión y por Comprensión Un conjunto queda perfectamente definido si se conocen con exactitud los elementos que lo integran o que pertenecen a él; es decir, si se nombran todos sus elementos o bien si se usa un enunciado o propiedad que lo identifique. Independientemente de la forma en que se lo represente, siempre se usa una letra mayúscula que lo define. Esta letra mayúscula representa a un conjunto específico de elementos. Existen dos maneras de definir un conjunto dado: a) Por extensión o enumeración: se define nombrando a cada elemento del conjunto. b) Por comprensión: se define mediante un enunciado o atributo que representa al conjunto (se busca una frase que represente a la totalidad de elementos sin nombrar a ninguno en particular). Por comprensión
Por extensión
A = {Números dígitos}
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
B = {Números pares]
B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ...}
C = {Múltiplos de 5}
C = {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35...}
FORMAS DE REPRESENTAR UN CONJUNTO: Diagrama de Venn y entre llaves. Es habitual representar los conjuntos en forma gráfica mediante los Diagramas de Venn. En estos diagramas el conjunto se representa mediante una superficie limitada por una línea. En su interior se colocan los elementos del conjunto. Cada porción del plano limitada se nombra con una letra mayúscula.
El conjunto A está formado por los elementos 1, 2, 3. El conjunto B está formado por los elementos a, b, c, d. Existe, además, otra forma de representarlos que es entre llaves. En estos ejemplos se escribe: A = {1, 2, 3} B = {a, b, c, d}
Otro ejemplo: Por diagrama
Entre llaves S = {a, e, i, o, u} Se escribe una coma para separar los elementos.
TIPOS DE CONJUNTOS: Conjunto Disjunto, Conjunto Subconjunto 1) Conjuntos disjuntos: Son aquellos conjuntos que no tienen elementos en común. Por ejemplo: El conjunto A tiene como elementos a los números 1, 2 y 3. El conjunto B tiene como elementos a las letras a, b, c y d. No hay elementos comunes entre los conjuntos A y B. En otras palabras, ningún elemento del conjunto A pertenece al conjunto B; a su vez, ningún elemento de B pertenece al conjunto A. En consecuencia, los conjuntos A y B son disjuntos.
Tomando otro ejemplo: Si E = { pizarrón, tiza, borrador} (Conjunto E formado por pizarrón, tiza, borrador) F = { tiza, profesor, regla} (Conjunto F formado por tiza, profesor, regla) G = { niño, cuaderno, sala, lápiz } (Conjunto G formado por niño, cuaderno, sala, lápiz) E y G son conjuntos disjuntos porque: pizarrón, tiza, borrador no pertenecen al conjunto G.
E y F no son disjuntos ya que tiza pertenece a E y también a F. F y G son conjuntos disjuntos porque: tiza, profesor, regla no pertenecen a G, y niño, cuaderno, sala, lápiz no pertenecen a F. 2) Conjunto Subconjunto: Un conjunto es subconjunto de otro si todos los elementos de un conjunto también pertenecen al otro. Si se tienen los siguientes conjuntos: P = { a, e, i, o, u }
y
R = { a, i }
R es subconjunto de P porque todos los elementos de R están en P. En general, para expresar que un conjunto es subconjunto de otro conjunto se pone entre ellos el símbolo . En este ejemplo se escribe: R
P
Se lee “ R es subconjunto de P” no es subconjunto de otro cuando al menos un elemento del primero no pertenece al segundo conjunto. El símbolo que representa la frase “no es subconjunto de“ es
.
Si se tienen los siguientes conjuntos: C = { 3, 5, 7, 9 }
y
H = { 3, 5, 8 }
H no es subconjunto de C porque el elemento 8 no pertenece al conjunto C. Se escribe: H
C
Se lee “ H no es subconjunto de C” También los subconjuntos pueden representarse mediante Diagramas de Venn. Ejemplo:
S
C
Propiedades de la relación subconjunto 1.- Todo conjunto es subconjunto de sí mismo. Si T = { x, z, y, z }, se tiene que T
T
2.- El conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto (el conjunto vacío es aquel que no tiene elementos; se representa por: { } o bien por Ø Si se tiene el conjunto B se puede establecer que Ø
T
SUBCONJUNTO: Es parte del conjunto que tiene las mismas características. Xej: B= {A, E, I, O, U} B= {VOCALES}
Conjunto Potencia
"El conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto" Ejemplo: Si tenemos un conjunto {a,b,c}: * Entonces un subconjunto podría ser {a} o {b}, o {a,c}, y así sucesivamente, * y {a,b,c} es también un subconjunto {a,b,c} * y y el conjunto vacío {} es también un subconjunto de {a,b,c} Entonces todos los subconjuntos juntos harían el Conjunto Potencia: P(S) = { {}, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c} }
FAMILIA DE CONJUNTOS: En matemáticas, principalmente en teoría de conjuntos y lógica de clases una familia de conjuntos o una colección de conjuntos es un conjunto cuyos elementos son a su vez conjuntos. El nombre "familia" o "colección" se utiliza para enfatizar la naturaleza conjuntista de sus elementos y suele venir acompañado de una notación distinta.
Conjunto Universo (U)
En el Diagrama de Venn de la izquierda se puede observar que el conjunto U contiene a los conjuntos M y N. U es el conjunto universo porque es un conjunto que contiene a todos los conjuntos. Otro ejemplo: Sea Y = { enero, febrero } ; El conjunto universo será:
Ñ = { marzo, junio, agosto } U = { meses del año }
PROPIEDADES DE LOS CONJUNTOS
PROPIEDADES DE LA INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS
А ∩ (B ∩ C) = (А ∩ B) ∩ C
2.- Popiedad Idempotente А ∩ А = А
3.- Propiedad Conmutativa. А ∩ B = B ∩ А
4.- Intersección con el Vacío А ∩ Ø = Ø PROPIEDADES DE LA UNIÓN DE CONJUNTOS 1.- Propiedad Asociativa А U (B U C) = (А U B) U C
2.- Propiedad Idempotente
5.- PROPIEDAD DE ABSORCIÓN Si B С A U B entonces А U B = B
PROPIEDADES COMBINADA 1.- Propiedad Distributiba a) A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C)
b) A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C)
2.- Propiedad Simplificativa a) A U B (B ∩ A) = A
b) A ∩ (B U A) = A
Operaciones
Una operación es obtener otras
un
conjunto cantidades
de
reglas o
que permiten expresiones.
Las siete operaciones básicas de la Aritmética son: Suma
L a o p er a ci ó n s u ma c on s is t e e n o b te n er e l n ú me r o t o ta l d e elementos a partir dos o más cantidades. a + b = c L os t ér mi no s d e l a s um a, a y b , s e l la ma n s u m a n d o s y e l resultado, c, suma. Propiedades de la suma 1. Asociativa : El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado. (a + b) + c = a + (b + c) 2. Conmutativa : El orden de los sumandos no varía la suma. a + b = b + a
3. Elemento neutro : El 0 es el elemento neutro de la suma porque todo número sumado con él da el mismo número. a + 0 = a 4.Elemento opuesto D os n úm er os s on o pu es to s s i a l s um ar lo s o bt en em os como resultado el cero. a − a = 0 El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número. La suma de números naturales no cumple esta propiedad. Resta
La resta o sustracción es la operación inversa a la suma. a - b = c Los términos que intervienen en una resta se llaman: a, minuendo y b, sustraendo . Al resultado, c, lo llamamos diferencia . Propiedades de la resta No es Conmutativa : a − b ≠ b – a Multiplicación M u lt i pl ic a r d os n úm er o s c o ns i st e e n s um ar u no d e l o s f ac to re s c on si go m is mo t an ta s v ec es c om o i nd ic a e l o tr o factor. a · b = c Los términos a y b se llaman factores y el resultado, c, producto. Propiedades de la multiplicación 1. Asociativa : El modo de agrupar los factores no varía el resultado (a · b) · c = a · (b · c) 2. Conmutativa : El orden de los factores no varía el producto. a · b = b · a 3. Elemento neutro : El 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque todo número multiplicado por él da el mismo número. a · 1 = a 4. Elemento inverso : U n n ú m e r o e s i nv e rs o d el o t ro s i a l m u l ti pl i c ar lo s obtenemos como resultado el elemento unidad.
La suma de números naturales y de enteros no cumple esta propiedad. 5. Distributiva : El producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos de dicho número por cada uno de los sumandos. a · (b + c) = a · b + a · c 6. Sacar factor común :
Es el proceso inverso a la propiedad distributiva. S i v a r i o s s u m a n d o s t i en e n u n f a c t o r c o m ú n , p o d e m o s transformar la suma en producto extrayendo dicho factor. a · b + a · c = a · (b + c) División
L a d iv is ió n o c oc ie nt e e s u na o pe ra ci ón a ri tm ét ic a q ue consiste en averiguar cuántas veces un número está contenido en otro número. D : d = c Los términos que intervienen en un cociente se llaman, D, dividendo y d divisor . Al resultado,c, lo llamamos cociente . Tipos de divisiones 1. División exacta : Cuando el resto es cero. D = d · c 2. División entera : Cuando el resto es distinto de cero. D = d · c + r Propiedades de la división 1. No es Conmutativo : a : b ≠ b : a 2. Cero dividido entre cualquier número da cero. 0 : a = 0 3. No se puede dividir por 0. Potenciación
L a p o t e n c i a c i ó n e s u na m ul ti pl ic ac ió n d e v ar io s f ac to re s iguales. a · a · a · ... = a n Base Es el número que multiplicamos por sí mismo. Exponente Indica el número de veces que multiplicamos la base.
Radicación
Es la operación inversa a la potenciación . Y consiste en que dados dos números, llamadosradicando e índice, hallar un tercero, llamado raíz, tal que, elevado al índice, sea igual al radicando.
En la raíz cuadrada el índice es 2, aunque en este caso no se pondría. Consistiría en hallar un número conocido su cuadrado.
La raíz cuadrada de un número, a, es exacta cuando encontramos un número, b, queelevado al cuadrado es igual al radicando : b 2 = a.
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS:
Conocida tambien con Algebra de conjuntos, las operaciones entre conjuntos son: unión, intersección, diferencia, diferencia simétrica y complemento. Unión de conjuntos:
Al realizar esta operación estamos conformando un nuevo conjunto, que se llamaconjunto solución, que contiene todos los elementos o miembros de los conjuntos que se estén uniendo, sin que ninguno de sus miembros se repita en el conjunto solución. Por ejemplo: B = {2, 4, 6} C= {4, 5, 7, 8} Dados: A = {-1, 1, 2, 3} A u B = {-1, 1, 2, 3, 4, 6}
Observe que el resultado A u B no contiene elementos repetidos A u B u C = {-1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} Intersección de conjuntos:
Esta operación entre conjuntos conforma un nuevo conjunto que contenga los elementos o miembros comunes a los conjuntos que hagan parte de esta operación. Por ejemplo si consideramos los conjuntos A, B y C arriba mencionados, al operar; se obtiene:
A n B = {2}
B n C = {4} A n B n C = { } Puesto que no hay ningún elemento que esté en los tres conjuntos. (A u B) n C Observe que en este ejemplo se está aplicando la propiedad asociativa para la operación de unión entre A y B y a su resultado hacer la intersección con C. (A u B) n C = {4} Diferencia de conjuntos: Cuando se analiza la diferencia entre A y B, se obtiene como respuestaexclusivamente los elementos del conjunto A. Por ejemplo si consideramos los conjuntos A, B, C que aparecen arriba: A - B = {1, 1, 3} B - C ={2, 6} B - A = {4, 6} C - B = {5, 7, 8} Diferencia simétrica de conjuntos:
Se presenta cuando se consideran todos los elementos que sólo pertenecen los conjuntos, sin tener en cuenta lo que tienen en común. En otras palabras, en la diferencia simétrica no se tiene en cuenta ningún elemento de la intersección entre los conjuntos, los demás sí. Por ejemplo, dados los conjuntos A = {-1, 1, 2, 3,} B = {2, 4, 6} C = {4, 5, 7, 8} y U = {-1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} (Conjunto Universal o referencial) Complemento de un conjunto:
Se buscan todos lo elementos que le hagan falta a un conjunto para convertirse o ser el conjunto universal o referencial. Por ejemplo: A´= {4, 5, 6, 7} B´= {-1, 1, 3, 5, 7, 8} C´= {-1, 1, 2, 3, 6,} (A u B)´={5, 7, 8}
DIAGRAMA DE VENH: Los diagramas de Venn son ilustraciones usadas en la rama de la Matemática yLógica de clases conocida como teoría de conjuntos. Estos diagramas se usan para mostrar gráficamente la agrupación de cosas elementos en conjuntos, representando cada conjunto mediante un círculo o un óvalo. La posición relativa en el plano de tales círculos muestra la relación entre los conjuntos. Por ejemplo, si los círculos de los conjuntos A y B se solapan, se muestra un área común a ambos conjuntos que contiene todos los elementos contenidos a la vez en A y en B. Si el círculo del conjunto A aparece dentro del círculo de otro B, es que todos los elementos de A también están contenidos en B.
Numeros naturales: Que son los Numeros Naturales? Número natural, el que sirve para designar la cantidad de elementos que tiene un cierto conjunto, y se llama cardinal de dicho conjunto. Los números naturales son infinitos. El conjunto de todos ellos se designa por N: N = {0, 1, 2, 3, 4,…, 10, 11, 12,…} El cero, a veces, se excluye del conjunto de los números naturales. Además de cardinales (para contar), los números naturales son ordinales, pues sirven para ordenar los elementos de un conjunto: 1º (primero), 2º (segundo),…, 16º (decimosexto),… Los números naturales son los primeros que surgen en las distintas civilizaciones, ya que las tareas de contar y de ordenar son las más elementales que se pueden realizar en el tratamiento de las cantidades. Entre los números naturales están definidas las operaciones adición y multiplicación. Además, el resultado de sumar o de multiplicar dos números naturales es también un número natural, por lo que se dice que son operaciones internas. La sustracción, sin embargo, no es una operación interna en N, pues la diferencia de dos números naturales puede no ser un número natural (no lo es cuando el sustraendo es mayor que el minuendo). Por eso se crea el conjunto Z de los números enteros, en el que se puede restar un número de otro, cualesquiera que sean éstos. La división tampoco es una operación interna en N, pues el cociente de dos números naturales puede no ser un número natural (no lo es cuando el dividendo no es múltiplo del divisor). Por eso se crea el conjunto Q de los números racionales, en el que se puede dividir cualquier número por otro (salvo por el cero). La
división entera es un tipo de división peculiar de los números naturales en la que además de un cociente se obtiene un resto Propiedades de la adicion de Numeros Naturales La adición de números naturales cumple las propiedades asociativa, conmutativa y elemento neutro. 1.- Asociativa: Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que: (a + b) + c = a + (b + c) Por ejemplo: (7 + 4) + 5 = 11 + 5 = 16 7 + (4 + 5) = 7 + 9 = 16 Los resultados coinciden, es decir, (7 + 4) + 5 = 7 + ( 4 + 5) 2.-Conmutativa Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que: a+b=b+a En particular, para los números 7 y 4, se verifica que: 7+4=4+7 Gracias a las propiedades asociativa y conmutativa de la adición se pueden efectuar largas sumas de números naturales sin utilizar paréntesis y sin tener en cuenta el orden. 3.- Elemento neutro El 0 es el elemento neutro de la suma de enteros porque, cualquiera que sea el número natural a, se cumple que: a+0=a Propiedades de la Multiplicacion de Numeros Naturales La multiplicación de números naturales cumple las propiedades asociativa, conmutativa, elemento neutro y distributiva del producto respecto de la suma. 1.-Asociativa Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que: (a · b) · c = a · (b · c) Por ejemplo: (3 · 5) · 2 = 15 · 2 = 30
3 · (5 · 2) = 3 · 10 = 30 Los resultados coinciden, es decir, (3 · 5) · 2 = 3 · (5 · 2) 2.- Conmutativa Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que: a·b=b·a Por ejemplo: 5 · 8 = 8 · 5 = 40 3.-Elemento neutro El 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque, cualquiera que sea el número natural a, se cumple que: a·1=a 4.- Distributiva del producto respecto de la suma Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que: a · (b + c) = a · b + a · c Por ejemplo: 5 · (3 + 8) = 5 · 11 = 55 5 · 3 + 5 · 8 = 15 + 40 = 55 Los resultados coinciden, es decir, 5 · (3 + 8) = 5 · 3 + 5 · 8 ¿Que son los Numeros Enteros? Número entero, cualquier elemento del conjunto formado por los números naturales y sus opuestos. El conjunto de los números enteros se designa por Z: Z = {…, -11, -10,…, -2, -1, -0, 1, 2,…, 10, 11,…} Los números negativos permiten contar nuevos tipos de cantidades (como los saldos deudores) y ordenar por encima o por debajo de un cierto elemento de referencia (las temperaturas superiores o inferiores a 0 grados, los pisos de un edificio por encima o por debajo de la entrada al mismo…). Se llama valor absoluto de un número entero a, a un número natural que se designa |a| y que es igual al propio a si es positivo o cero, y a -a si es negativo. Es decir: • si a > 0, |a| = a ; por ejemplo, |5| = 5; • si a < 0, |a| = -a ; por ejemplo, |-5| = -(-5) = 5. El valor absoluto de un número es, pues, siempre positivo.
Las operaciones suma, resta y multiplicación de números enteros son operaciones internas porque su resultado es también un número entero. Sin embargo, dos números enteros sólo se pueden dividir si el dividendo es múltiplo del divisor. Propiedadesdelosnúmeros enteros
Orden numérico. Es el que da la idea de que un número es mayor o menor que otro número, o que hay diferencia real entre dos números. Ejemplo: el orden de los cursos de la educación primaria es (1º primero, 2º segundo, 3º tercero, 4º cuarto, 5º quinto) Número mayor: Que supera en cantidad a otro. Número menor: Que es inferior en cantidad a otro. El número siguiente a otro, es el número considerado más una unidad , por ejemplo 6 = 5 + 1. El número anterior a otro, es el número considerado menos una unidad, por ejemplo 4 = 5 – 1. Recta numérica. es la que esta dividida en intervalos iguales de distancia. La diferencia entre una división y la siguiente es siempre la unidad (1). - Ley cancelativa: Es recíproca de la uniforme. Si tenemos una igualdad, esta ley nos permite cancelar dos miembros iguales que se encuentren realizando la misma operación a ambos lados de la igualdad. (-3) + (+5) + (-6) = (+2) + (-6) Cancelamos el "+(-6)" y esto no afecta a la igualdad: (-3) + (+5 ) = (+2)
