Curvas Simples, Compuestas y Espirales

Escuela Militar de Ingenieria

Cálculo de Curvas Simples, Compuestas y Espirales 1. Antecedentes. Las carreteras y caminos son obras tridimensionales, cuyos elementos quedan definidos mediante las proyecciones sobre los planos ortogonales de referencia: Planta, Elevación y Sección Transversal. Los elementos geométricos de una carretera deben estar convenientemente relacionados, para garantizar una operación segura, segura, a una velocidad de operación continua y acorde con las condiciones de la vía. El alineamiento horizontal está constituido por los alineamientos rectos, curvas circulare, y curvas de grado de curvatura cur vatura variable que permiten una tansción suave al pasar de alineamientos rectos a curvas circulares o viceversa o también entre dos curvas circulares de curvatura diferente. Se hace necesario colocar curvas, con lo cual se modifica el rumbo de vía y se acerca o se aleja este del rumbo general que se requiere para unir el punto inicial con el final, con seis fines generales: 











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Topográfico: Con el fin de acomodar el alineamiento a la topografía y evitar cortes o llenos excesivos, minimizando constos y evitando inestabilidades en los cortes o en los llenos. Construcciones existentes: Se hace necesario con el fin de salvar obstáculos derivados de la utilización que tienen los terrenos por donde pasa la vía. Por ejemplo para no afectar una construcción existente. Hidráulico: Con el fin de cruzar una corriente de agua mediante una estructura (puente) que quede construida en un buen punto o ponteadero. Se llama ponteadero al lugar en el cual, tenidas en cuenta todas las variables hidráulicas, de cimentaciones, de diseño estructural, de los alineamientos de la vía, etc., resulta más económico y estable desde todo punto de vista el puente en referencia. Vial: Con el fin de hacer menos conflictivo para los usuarios el cruce con cualquier otra vía terrestre ( carretera, ferrocarril, etc) que a traviese la ruta de la que se esta diseñando. Técnico: Cuando se quiere evadir un área con problemas de tipo geologico o getécnico, y cuya solución podría ser demasiado costosa costosa o compleja. Geométrico: Para evitar tangentes demasiado largas, que pueden ocasionar inseguridad, especialmente donde las temperaturas son demasiado altas. Es

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preferiblemente reemplazar grandes tangentes tangentes por curvas amplias amplias de grandes radios. El alineamiento vertical esta formado Tangente verticales, Pendientes y Curvas Verticales. La finalidad de éstas curvas es suavizar los cambios en el movimiento vertical, puesto que a través de su longitud se efectúa un paso gradual de la pendiente de la tangente de entrada a la tangente de salida; proporcionando de esta forma una operación segura y confortable, además de una agradable apariencia y características para un drenaje adecuado.

2. Objetivos. 



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Determinar los elementos geométricos de las curvas, para permitir el trazados de herramientas para su materialización en el terreno Tener un mejor dominio del diseño y cálculo del diseño geométrico de carreteras, conociendo lo distintos tipos de curvas usados en dicho diseño y los elementos necesarios para su trazado.

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3.1.

Curva Circulares Simples. Las curvas circulares simples se definen como arcos de circunferencia de un solo radio que son utilizados para unir dos alineamientos rectos de una vía. Una curva circular simple (CCS) está compuesta de los siguientes elementos:













Ángulo de deflexión [ Δ ]: El que se forma con la prolongación de uno de los alineamientos rectos y el siguiente. Puede ser a la izquierda o a la derecha según si está medido en sentido anti-horario o a favor de las manecillas del reloj, respectivamente. Es igual al ángulo central subtendido por el arco ( Δ ). Tangente [T]: Distancia desde el punto de intersección de las tangentes (PI) -los alineamientos rectos también se conocen con el nombre de tangentes, si se trata del tramo recto que queda entre dos curvas se le llama entretangencia- hasta cualquiera de los puntos de tangencia de la curva (PC o PT).

Radio [R]: El de la circunferencia que describe el arco de la curva.

Cuerda larga [CL]: Línea recta que une al punto de tangencia donde comienza la curva (PC) y al punto de tangencia donde termina (PT).

Externa [E]: Distancia desde el PI al punto medio de la curva sobre el arco.

Ordenada Media [M] (o flecha [F]): Distancia desde el punto medio de la curva hasta el punto medio de la cuerda larga.

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



Grado de curvatura [G]: Corresponde al ángulo central subtendido por un arco o una cuerda unidad de determinada longitud, establecida como cuerda unidad (c) o arco unidad (s). Ver más adelante para mayor información.

Longitud de la curva [L]: Distancia desde el PC hasta el PT recorriendo el arco de la curva, o bien, una poligonal abierta formada por una sucesión de cuerdas rectas de una longitud relativamente corta. Ver más adelante para mayor información.

Ahora vamos a detenernos en dos aspectos con un poco más de detalle:

1° Grado de curvatura Usando arcos unidad: En este caso la curva se asimila como una sucesión de arcos pequeños (de longitud predeterminada), llamados arcos unidad (s). Comparando el arco de una circunferencia completa (2πR), que subtiende un ángulo de 360º, con un arco unidad (s), que subtiende un

ángulo G s (Grado de curvatura) se tiene:

Usando cuerdas unidad: Este caso es el más común para calcular y materializar (plasmar en el terreno) una curva circular, pues se asume que la curva es una sucesión de tramos rectos de corta longitud (también predeterminada antes de empezar el diseño), llamados cuerda unidad (c). La continuidad de esos tramos rectos se asemeja a la forma del arco de la curva (sin producir un error considerable). Este sistema es mucho más usado porque es más fácil medir en el terreno distancias rectas que distancias curvas (pregunta: ¿Se pueden medir distancias curvas en el terreno utilizando técnicas de topografía?¿cómo?).

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Tomando una cuerda unidad (c), inscrita dentro del arco de la curva se forman dos triángulos rectángulos como se muestra en la figura, de donde:

Longitud de la curva A partir de la información anterior podemos relacionar longitudes con ángulos centrales, de manera que se tiene: Usando arcos unidad:

Usando cuerdas unidad:

(La longitud de una cuerda unidad, o de un arco unidad, se toma comúnmente como 5 m , 10 m , ó 20 m .)

2° Localización de una curva circular Para calcular y localizar (materializar) una curva circular a menudo se utilizan ángulos de deflexión. Un ángulo de deflexión ( δ ) es el que se forma entre cualquier línea tangente a la curva y la cuerda que va desde el punto de tangencia y cualquier otro punto sobre la curva. Como se observa en la figura, el ángulo de deflexión ( δ ) es igual a la mitad del ángulo central subtendido por la cuerda en cuestión ( Φ ). Entonces se tiene una deflexión para cada cuerda unidad, dada por:

Es decir, se puede construir una curva con deflexiones sucesivas desde el PC, midiendo cuerdas unidad desde allí. Sin embargo, rara vez las abscisas del PC o del PT son cerradas (múltiplos exactos de la cuerda unidad), por lo que resulta más sencillo calcular una

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subcuerda desde el PC hasta la siguiente abscisa cerrada y, de igual manera, desde la última abscisa cerrada antes del PT hasta él. Para tales subcuerdas se puede calcular una deflexión conociendo primero la deflexión correspondiente a una cuerda de un metro (1 m ) de longitud δ m: Entonces la deflexión de las subcuerdas se calcula como: δ sc = δ m ·

Longitud de la subcuerda

La deflexión para el PT, desde el PC, según lo anotado, debe ser igual al la mitad del ángulo de deflexión de la curva: δ PT = Δ /2

Lo cual sirve para comprobar la precisión en los cálculos o de la localización en el terreno.

3.2.

Curvas circulares compuestas.

3.2.1. Curvas circulares compuestas de dos radios. Este tipo de curvas están formadas por una sucesión de curvas circulares de diferente radio. El número de curvas circulares simples que integran una curva compuesta puede ser de 2, 3, 4 o más. Los puntos de unión de dos curvas, es decir, donde termina una e inicia otra se denomina PCC (Punto común de curvas). El punto donde se inicia la primera curva se denomina PC y aquel donde termina la última curva PT. Cada una de las curvas circulares simples que forma la compuesta conservan sus nomenclaturas con subíndices de acuerdo son su sucesión. Para la curva compuesta sus tangentes se denominan TE (tangente de entrada) y TS (tangente de salida) o también denominadas tangente larga o tangente corta. PI= punto de intersección PC= principio de la curva compuesta PT= fin de la curva compuesta PCC= punto común de curvas R1= radio de la curva de menor curvatura o mayor radio

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R2= radio de la curva de mayor curvatura o menor radio O1= centro de la curvatura de mayor radio O2= centro de la curva de menor radio Δ= angulo de flexión principal Δ1= angulo de flexión principal de la curva de mayor radio Δ2= angulo de flexión principal de la curva de menor radio

T1= tangente de la curva de mayor radio T2= tangente de la curva de menor radio Tl= tangente larga de la curva circular compuesta Tc= tangente corta de la curva circular compuesta

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Un caso más General , es aquel en el cual siempre el radio de la primera curva es R1, el de la segunda R2 y el de la tercera R3 cualquiera sean las longitudes. En esta situación es más conveniente denominar las tangentes de la curva compuesta como tangente de entrada TE o del lado del PC y tangente de salida TS o del lado del PT.

Los valores de las tangentes simples T1, T2, T3 se calculan en cada curva como:

Dependiendo del Valor de las longitudes de los radios R1, R2, R3 se presentan las seis posibles configuraciones.

3.3.

Curvas espirales. Llamemos a la longitud de la curva de transición y al radio de la curva circular en la que terminará. será la aceleración centrípeta como ya la habíamos definido y la velocidad de diseño de la vía (se supone que los vehículos circulan a esa velocidad).

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Siguiendo el objetivo propuesto para la transición, la variación de la aceleración centrípeta por unidad de longitud está dada por:

Para un punto P dentro de la curva de transición, que está a una distancia desde el comienzo de la curva (punto TE), y al cual le corresponde un radio , la aceleración centrípeta es:

simplificando Pero y son constantes, de manera que su producto se puede denominar , y obtenemos la ecuación de un clotoide, o espiral de Euler, donde K es el parámetro de la espiral:

En esta ecuación R es inversamente proporcional a L, es decir, el radio disminuye de manera proporcional al aumento de la longitud recorrida sobre la curva de transición, que era exactamente lo que se buscaba, pues al disminuir el radio, crece la aceleración centrípeta también en forma gradual.

3.3.1. Elementos geométricos de la espiral. La curva espiral de transición se puede definir en función de los siguientes elementos: x, y: Coordenadas rectangulares de un punto p (cualquier punto sobre la espiral), referidas a los ejes x e y, donde el eje x coincide con la tangente (la parte recta) y el eje y es perpendicular a ella. El origen de estas coordenadas es el punto TE para la espiral de entrada y el punto ET para la de salida, con dirección positiva hacia el PI -para el eje x- y hacia el centro de la curva (O) -para el eje y-. θ : Ángulo de deflexión principal para el

punto p (De nuevo, el punto p es un punto cualquiera sobre la curva y no debe ser confundido con el punto paramétrico, que es aquel en el que R=L). Éste ángulo se mide entre el alineamiento recto y una recta tangente a la espiral que pase por el punto p. θ e: Ángulo de deflexión principal de la

espiral. También es el ángulo que se forma entre

una línea perpendicular a la tangente en el punto TE (donde R=∞) y el radio de la curva

circular (Rc). Carreteras II

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p: θ

Ángulo paramétrico, es decir, la deflexión principal para el punto en el que R=L.

R: Radio correspondiente al punto p. Rc: Radio de la curva circular simple que sigue a la espiral. L: Longitud recorrida sobre la espiral desde el TE hasta el punto p. dL: Sección infinitesimal de la curva espiral. d θ: Elemento infinitesimal (diferencial) del ángulo de deflexión principal. Suponiendo que en una sección infinitesimal la espiral se comporte como un arco circular se tiene (en este caso d θ está en radianes, por ende θ también está en radianes):

pero

, es decir,

entonces de donde

, o lo que es igual

que

, o también

. Recordemos

.

Si queremos encontrar θ en grados sexagesimales, aplicamos los factores de conversión correspondientes: y

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.

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4. Ejemplos 4.1. Ejemplo de curva circular simples. Para una curva circular simple se tienen los siguientes elementos:      

Rumbo de la tangente de entrada: N 76º20 ′ E Rumbo de la tangente de salida: N 19º40 ′ E Abscisa del punto de intersección de las tangentes, PI: k2+226 Coordenadas del PI: 800 N , 700 E Cuerda unidad: 20 m Radio de curvatura: 150 m Calcular los elementos geométricos de la curva; las abscisas del PC y el PT; las coordenadas del PC, el PT y el centro de la curva; y las deflexiones de la curva.

Solución 

Elementos geométricos de la curva El ángulo de deflexión de la curva está dado por la diferencia de los rumbos de los alineamientos (no siempre es así, en este caso sí porque los dos están en el mismo cuadrante NE): Δ = 76º20 ′ – 19º40 ′ = 56º40 ′ Izquierda (A la izquierda porque el rumbo de la tangente de salida es menor que el de la de entrada) Conociendo el radio y el ángulo de deflexión se pueden calcular los demás elementos geométricos:

Tangente: T = R · Tan ( Δ /2)

Grado de curvatura: G c = 2 · Sen -1 [ c / (2R) ]

Longitud de la curva: L c = c· Δ /G c

Cuerda Larga: CL = 2·RSen( Δ /2) Carreteras II

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Externa: E = R(1/Cos( Δ /2) – 1)

Ordenada Media (Flecha): M = R[1 - Cos( Δ /2)]

Deflexión por cuerda:

Deflexión por metro:



Abscisas del PC y el PT



Conociendo la abscisa del PI y las longitudes, tanto de la tangente (T) como de la curva (L c ): Abscisa del PC = Abscisa del PI – T Abscisa del PC = k2 + 226 – 80,879 m = k2 + 145,121 Abscisa del PT = Abscisa del PC + L c Abscisa del PT = k2 + 145,121 + 148,243 m = k2 + 293,364 Se debe tener en cuenta que la abscisa del PT se calcula a partir de la del PC y NO del PI , pues la curva acorta distancia respecto a los alineamientos rectos. 

Coordenadas de los puntos PC, PT y O



Conociendo los rumbos de las tangentes de entrada y salida se pueden calcular sus azimutes: Azimut del PC al PI = 76º 20 ′ Azimut del PI al PC = Contra azimut de PC-PI = 76º 20 ′ + 180º = 256º 20 ′ Azimut del PC a O = 256º 20 ′ + 90º = 346º 20 ′ (porque el radio es perpendicular a la tangente de entrada en el PC) Azimut del PI al PT = 19º 40 ′

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Nota : Debe tenerse mucho cuidado con el cálculo de estos azimuts, pues las condiciones particulares de cada curva pueden hacer que cambie la manera de calcularlos. Especialmente el hecho de si el ángulo de deflexión es a la izquierda o a la derecha. Lo que yo recomiendo para no cometer errores es, primero que todo, tener bien claro el concepto de azimut, y luego hacer un dibujo representativo para ubicarse, que sea claro y más o menos a escala. Recordemos que, conociendo las coordenadas de un punto A (N A y E A ), las coordenadas de un punto B (N B y E B ) se calculan a partir de la distancia y el azimut de la linea que une los dos puntos (AB) así: N B = N A + Distancia AB · Cos(Azimut AB ) E B = E A + Distancia AB · Sen(Azimut AB )

Coordenadas del PI: 800N 700E Coordenadas del PC: N = 800 + T·Cos(256º 20 )′ = 800 + 80,879 Cos(256º 20 ) ′ N = 780,890 E = 700 + T·Sen(256º 20 )′ = 700 + 80,879 Sen(256º 20 ) ′ E = 621,411

Coordenadas del centro de la curva (O): N = 780,890 + R·Cos(346º20 )′ = 780,890 + 150 Cos(346º20 ) ′ N = 926,643 E = 621,411 + R·Sen(346º20 )′ = 621,411 + 150 Sen(346º20 ) ′ E = 585,970

Coordenadas del PT N = 800 + T·Cos(19º40 )′ = 800 + 80,879 Cos(19º40 ) ′ N = 876,161 E = 700 + T·Sen(19º40 )′ = 700 + 80,879 Sen(19º40 ) ′ E = 727,220 

Deflexiones de la curva Para calcular las deflexiones de la curva partimos de las abscisas calculadas para el PC y el PT y dos ángulos que ya están definidos: la deflexión por cuerda y la deflexión por metro. Como la cuerda unidad es de 20 m quiere decir que las abscisas de la poligonal se vienen marcando a esa distancia, por lo tanto si la abscisa del PC es la k2 + 145,121 , la siguiente abscisa cerrada corresponde a la k2 + 160 (no la k2 + 150 porque no es múltiplo de 20, es

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decir, si empezamos desde la k0 + 000 sumando de 20 en 20 no llegamos a la k2 + 150 sino a la k2 + 160). Esto genera una subcuerda, cuya longitud se calcula como la diferencia entre las dos abscisas: 



Subcuerda de entrada: 2 160 m – 2 145,121 m = 14,879 m Ahora, si ya se había calculado que por cada metro de curva existe una deflexión δ m= 0º11’28,06”, para la primera subcuerda tenemos una deflexión (correspondiente a la abscisa k2 + 160) de: Deflexión para la abscisa k2 + 160 = 14,879 m * 0º11’28,06” = 2º 50’37,64”

A partir de la abscisa k2 + 160 siguen abscisas cerradas cada 20 m (de acuerdo a la longitud de la cuerda unidad), hasta llegar al PC, y la deflexión para cada una de las abscisas siguientes corresponde a la suma de la anterior con la deflexión por cuerda:      

Deflexión para la k2+180 = 2º50’37,64” + 3º49’21,2” = 6º39’58.84” Deflexión para la k2+200 = 6º39’58.84” + 3º49’21,2” = 10º29’20,04” Deflexión para la k2+220 = 10º29’20,04” + 3º49’21,2” = 14º18’41,24” Deflexión para la k2+240 = 14º18’41,24” + 3º49’21,2” = 18º08’02,44” Deflexión para la k2+260 = 18º08’02,44” + 3º49’21,2” = 21º57’23,64” Deflexión para la k2+280 = 21º5 7’23,64” + 3º49’21,2” = 25º46’44,84”

Pero ahí hay que parar porque la abscisa del PT es la k2 + 293,364 , por lo tanto se genera otra subcuerda, la de salida, que se calcula de manera similar a la de entrada: 

Subcuerda de salida: 2 293,364 m – 2 280 m = 13,364



Deflexión para la subcuerda de salida = 13,364 m * 0º11’28,06” = 2º33’15,23”

Así que al final, la deflexión para el PT es: 

Deflexión para la k2+293,364 = 25º46’44,84” + 2º33’15,23” = 28º20’00,07”

La cual, según lo visto en el artículo, debe corresponder con la mitad del ángulo de deflexión de la curva:

Con esta información se construye la cartera de deflexiones , que va a ser la que permita materializar la curva en el terreno, pues es la que recibe el topógrafo para hacer su trabajo. A continuación se muestran las tres primeras que debe contener dicha cartera. Las otras tres, hacen referencia a los elementos que ya se calcularon a lo largo de este artículo (es necesario reescribirlos dentro de la cartera), el azimut de los alineamientos rectos (de entrada y salida), y el sentido en el que se deflectará la curva (en este ejemplo desde el PC hasta el PT, que es el sentido en el que aumenta la deflexión). Nótese que la cartera está escrita de abajo hacia arriba, para facilitar el trabajo de los topógrafos.

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4.2.

Ejemplo de curva compuesta. Calcule los elementos de la curva circular compuesta (CCC) si se sabe que: PI: 2+319.50 ļ   ļ  

G°1=3°10 G°2=2°40

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4.3.

Ejemplos curvas espirales Datos de diseño V(Diseño)= 25Km/h Rc= 15m α 124,9986111˚ =

PI=1+677,573m. A=20 n=2 ANCH0 VIA=6m.

REQUERIMIENTO DE UTILIZACION DE CURVAS DE TRANSICIÓN:

RMT=0.098xV^2 RMT=61,25 RMT>Rc

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SI NECESITA CURVAS DE TRANSICIÓN

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CALCULOS Le(min)=(0.036xV^3)/R Le(min)=37,5 A=(Le*R)^0.5 Le=(A^2)/R Le=26,66666667 Le>Le(min)

CORREGIR A

δ e=Le/2R δ e=0,888888889 θ e=180x δe /π θ e=50,92958179 θ e= 90xLe/πxR θ e=50,92958179

Ae=( θe /3)- θ ex8.3x10^(-7) Ae=16,97648499 B= θe -Ae B=33,9530968 Xe=Lex(1-(( δe ^2)/10)+(( δe ^4)/216)+(( δ e^6)/9360)+(( δ e^8)/685440)) Xe=4,63816474 Ye=Lex((( δe ^2)/3)+(( δe ^3)/42)+(( δe ^5)/1320)+(( δe ^7)/75600)) Ye=7,466365538 u=Xe-(Ye/Tan θ e) u=18,5768122 v=Ye/(Sen θe ) v=9,616995841

P=Ye-r(1-Cos θe ) P=1,920491302 K=Xe-R(Sen θe ) K=12,99258592 CURAVAS SIMETRICAS Te=(R+P)*Tg( α /2)+K Te=45,49558544

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Escuela Militar de Ingenieria α c= α- 2 θ e α c=23,13944753

Lc=πxRx( αc /180)

Lc=6,057893198 LT=Lc+2Le LT=59,39122653 LT=πxRx( α /180)+Le LT=59,39122653 TE=PI-Te TE=1+632,077 EC=TE+Le EC=1+658,744 CE=EC+Le CE=1+664,802 ET=CE+Le ET=1+691,469 ET=TE+LT ET=1+691,469

S=n(R-(R^2-L^2)^0.5)+(V/10x(R^0.5) S=3,063619116m/m P=(V^2/(127xR))-f P=0,24808399m/m P=24,80839895%

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