Programacion Lineal - Metodo Grafico, Simplex y Dualidad

------. . ! 2 Programación lineal: Método gráfico

La programación lineal es un método de resolución de problemas que se ha desarrollado para ayudar a los administradores a tomar decisiones. En seguida se describen algunas aplicaciones clásicas de la programación lineal: l. Un fabricante desea elaborar un programa de producción y una política de inventarios

que satisfaga la demanda de ventas en periodos futuros. Idealmente, el programa y la política le permitirán a la compañía satisfacer la demanda y, al mismo tiempo, minimizar los costos totales de producción e inventarios. 2. Un analista financiero debe seleccionar una cartera de inversiones a partir de diversas alternativas de inversión en bonos y acciones. Al analista le gustaría establecer la cartera que maximice el rendimiento sobre la inversión. 3. Un gerente de mercadotecnia desea determinar la mejor forma de asignar un presupuesto de publicidad fijo entre diversos medios publicitarios tales como radio, televisión, periódicos y revistas. Al gerente le gustaría determinar la combinación de medios que maximiza la eficacia de la publicidad. 4. Una compañía tiene almacenes en diversos lugares de Estados Unidos. Considerando las demandas específicas de un conjunto de clientes para sus productos, la compañía querría determinar qué almacén debe enviar qué cantidad de productos a qué clientes, de manera que se minimicen los costos totales de transporte. Estos son sólo unos cuantos ejemplos de casos en los cuales se ha utilizado la programación lineal con éxito, pero ilustran la diversidad de las aplicaciones de la programación lineal. Un examen cuidadoso revelará una propiedad básica que tienen en común todos estos ejemplos. Lo que interesa en todos ellos es maximizar o minimizar alguna cantidad. En el ejemplo 1 se desea minimizar costos;
30

CAPÍTULO DOS

objetivo. En el caso o ejemplo 1, el fabricante está limitado por restricciones que exigen que se satisfaga la demanda de los productos, y por las que limitan la capacidad de producción. El problema de la cartera para el analista financiero está restringido por la cantidad total de fondos de inversión disponibles y por las cantidades máximas que pueden invertirse en cada acción o en cada bono. La decisión del gerente de mercadotecnia sobre la selección de medios publicitarios está restringida por un presupuesto de publicidad fijo y por la disponibilidad de los diversos medios. En el problema de transporte, el programa de remesas de costo mínimo está restringido por la disponibilidad de los productos en cada almacén. Por ello, las restricciones son otra caractertstica general de todos los problemas de programación lineal.

2.1 UN PROBLEMA SENCILLO DE MAXIMIZACIÓN La compañía Par, Inc., es un pequeño fabricante de equipo y accesorios para golf cuyos administradores han decidido incursionar en el mercado de las bolsas para bastones de golf hechas de piel, a precios mediano y alto. El distribuidor de Par está muy entusiasmado con la nueva línea de productos y ha aceptado comprar todas las bolsas de golf que fabrique Par· en los tres meses siguientes. Después de una investigación cuidadosa de las etapas necesarias para fabricar una bolsa, los administradores determinan que cada bolsa que se fabrique requerirá de las siguientes operaciones: l. Cortar y teñir el material 2. Coser 3. Terminar (insertar el portasombrilla, los separadores de los palos, etc.) 4. Inspeccionar y embalar.

El director de manufactura ha analizado cada una de las operaciones y llegado a la conclusión de que si la compañía fabrica un modelo estándar de precio medio, se requerirá 11 10 de hora en el departamento de corte y teñido, 112 hora en el departamento de costura, 1 hora en el departamento de terminado, y 11 10 de hora en el departamento de inspección y embalaje. El modelo de lujo más costoso requerirá de 1 hora para corte y teñido, 516 de hora para costura, 213 de hora para el terminado, y I/ 4 de hora para inspección y embalaje. En la Tabla 2.1. se resume esta información sobre la producción. El departamento de costos ha analizado estas cifras de producción, ha asignado todos los costos pertinentes y llegado a la conclusión de que se obtendría una contribución a las utilidades 1 de $10 (dólares) para cada bolsa estándar, y de $9 para cada bolsa de lujo que se fabrique. TABLA 2.1 Producto

Bolsa estándar Bolsa de lujo

Operaciones de producción y requerimientos de producción por bolsa Tiempo de producción (horas) Corte y teñido Costura Terminado 7/ 10

1/2

1

516

2/ 3

Inspección y embalaje 1/ 10 1/ 4

1 Desde una perspectiva contable, es más correcto describir esto como el margen de contribución por bolsa; por ejemplo, no se han asignado los gastos generales.

PROGRAMACIÓN LINEAL: MÉTODO GRÁFICO 31

Además, después de estudiar las proyecciones de las cargas de trabajo en los departamentos, el director de manufactura estima que para la producción de la bolsa de golf en los 3 meses siguientes, habrá disponibles 603 horas de tiempo de corte y teñido, 600 horas de costura, 708 horas de acabado y 135 horas de inspección y embalaje. El problema de Par es determinar cuántas bolsa estándares y cuántas bolsas de lujo deben fabricar con objeto de maximizar la contribución a las utilidades. Si estuviera a cargo del programa de producción para la compañía f'ar, ¿qué decisión tomaría?; es decir, ¿cuántas bolsas estándares o cuántas bolsas de lujo fabricaría en los 3 meses siguientes? Anote su decisión en los cuadros que aparecen en seguida. Se podrá hacer una verificación más adelante y determinar cuán buena fue su apreciación. Número de bolsas estándares

2.2

Número de bolsas de lujo

Utilidad total

LA FUNCIÓN OBJETIVA Como se señaló antes, todo problema de programación lineal tiene un objetivo de minimización o de maximización. El correspondiente al problema de Par es maximizar las utilidades. Se puede plantear este objetivo en forma matemática introduciendo alguna notación simple. Sean x1

número de bolsas estándares fabricadas

x2

número de bolsas de lujo faricadas

La contribución a las utilidades de Par provendrá de 2 fuentes: (1) la que proviene de x 1 bolsas estándares y (2) la que procede de la fabricación de x 2 bolsas de lujo. Como Par obtiene $10 por cada bolsa estándar que fabrica, la compañía obtendrá $10 x 1 si se fabrican x 1 artículos estándares. También, como Par obtiene $9 por cada bolsa de lujo que fabrica, la compañía obtendrá $9 x 2 si se manufacturaron x 2 artículos de lujo. Denotando con z la contribución total a las utilidades, se tiene Contribución a las utilidades totales

=

z

= $10x1 +

$9x2

A partir de este momento se supondrá que la contribución a las utilidades se mide en dólares, y se anotará la expresión de la aportación total a las utilidades sin los signos monetarios. Es decir, Contribución a las utilidades totales

=

z

=

1Ox 1 + 9x2

(2.1)

Ahora se puede plantear el problema de la empresa como el de elegir los valores de las variables x 1 y x2 que producen el mayor valor posible de z. En terminología de programación lineal, a x 1 y x 2 se las denomina variables de decisión. Como el objetivo, maximizar la contribución total a las utilidades, es función de esas variables decisorias, a I0x1 + l0x2 se la denominajunción objetivo. Utilizando max como abreviatura de maximizar, el objetivo de Par se plantea de la siguiente manera: max

z

=

max 10x1 + 9x2

(2.2)

32

CAPÍTULO DOS

En el problema en cuestión, a cualquier combinación específica de fabricación de artículos de tipo estándar y de lujo se le designa por solución del problema. Sin embargo, sólo a las soluciones que satisfacen todas las restricciones se las denomina soluciones factibles . La combinación factible específica de producción (solución factible) que da como resultado la mayor aportación a las utilidades se la denomina la combinación óptima de producción o, de manera equivalente, solución óptima. Sin embargo, en este momento no se tiene idea de cuál será la solución óptima. De hecho, ni siquiera se ha desarrollado un procedimiento para identificar las soluciones factibles. El método para determinar las soluciones factibles exige, en primer lugar, identificar todas las restricciones del problema.

2.3 LAS RESTRICCIONES Cada una de las bolsas estándar y de lujo que se fabrican deben pasar por cuatro operaciones de producción. Como existe una cantidad limitada de tiempo de producción disponible para cada una de esas operaciones, puede esperarse que haya cuatro restricciones limitando el número total de bolsas que la Par puede fabricar. A partir de la información de manufactura (Tabla 2.1) se sabe que cada bolsa estándar que Par fabrique utilizará 11 10 de hora en corte y teñido. Por ello, el número total de horas de corte y teñido que se utiliza en la fabricación de x 1 bolsas estándares será 11 10 x 1• Por otro lado, cada bolsa de lujo que se fabrique requerirá de una hora para corte y teñido; por ello, las bolsas de lujo utilizarán lx2 horas de tales operaciones. El tiempo total de corte y teñido que se requiere para la fabricación de x 1 bolsas estándares y x 2 bolsas de lujo está dado por Tiempo total de corte y teñido que se requiere =

11 10X

1

+ lx2

Como el director de manufactura ha planteado que se dispone de cuando mucho 630 horas para corte y teñido, se concluye que la combinación de productos que se seleccione debe satisfacer el requisito. 7/

rox 1

+

1x2 :5 630

(2 .3)

en donde el símbolo :5 significa menor que o igual a. A la relación (2.3) se la denomina desigualdad, y denota el hecho de que el número total de horas que se utilicen para las operaciones de corte y teñido en la fabricación de x 1 bolsas estándares y x 2 bolsas de lujo, debe ser menor que o igual a la cantidad máxima de tiempo disponible para corte y teñido en Par. En la Tabla 2. 1 se observa también que cada bolsa estándar que se fabrique requerirá de 112 hora de costura, y que cada bolsa de lujo requerirá de 516 de hora de tiempo de corte. Como hay disponibles 600 horas de tiempo de corte, se concluye que V2x 1

+

% x 2 :5 600

(2.4)

es la representación matemática de la restricción de corte. Verifique que la restricción para la capacidad de terminado es 1x 1

+

2JJx 2 :5 708

(2 .5)

y que la restricción para la capacidad de inspección y embalaje es (2.6)


Ya se han especificado las relaciones matemáticas de las restricciones para las cuatro operaciones de producción. ¿Existen cualesquiera otras restricciones que se hayan omitido? ¿Puede la firma fabricar un número negativo de bolsas estándar o de lujo? Es evidente que la respuesta es no. Por ello, con objeto de evitar que las variables de decisión x 1 y x 2 asuman valores negativos, deben añadirse dos restricciones.

(2 .7) El símbolo ~ significa mayor que o igual a. Estas restricciones aseguran que la solución del problema no contendrá valores negativos para las variables de decisión y, por ello, se las denomina restricciones de no negatividad. Las restricciones de no negatividad son una característica general de todos los problemas de programación lineal, y se les escribirá en lo subsiguiente de la siguiente forma abreviada:

2.4

PLANTEAMIENTO MATEMÁTICO DEL PROBLEMA DE PAR, INC. Está ahora completo el planteamiento matemático del problema de Par, In c. Ya se ha logrado traducir el objetivo y las restricciones del problema "real" en un conjunto de relaciones matemáticas a las que se denomina modelo matemático. El modelo matemático completo para el problema es el siguiente: max

10x 1

+ 9x2

sujeta a (s.t.) 7Jwx 1 + lx 2

::;

630

+ %x2 ::; 600 lx 1 + z¡3 x 2 ::; 708 l/wx 1 + l/4x2 ::; 135 l/zx 1

Corte y teñido Costura Terminado Inspección y embalaje

Lo que se requiere ahora es encontrar la combinación de productos (es decir, de x 1 y x 2 ) que satisfaga todas las restricciones y, al mismo tiempo, dé un valor de la función objetivo que sea mayor que o igual a un valor dado por cualquiera otra solución factible. Una vez que se hace esto, se ha encontrado la solución para el problema. El anterior modelo matemático para el problema es un programa lineal. El problema tiene objetivo y restricciones, de las cuales se dijo antes que son propiedades comunes de todos los programas lineales. Pero, ¿cuál es la característica especial de este modelo matemático que lo convierte en un programa lineal? La característica especial que lo convierte en tal programa es que la función objetivo y todas las funciones de restricción (los lados izquierdos de las desigualdades de restricción) son funciones lineales de las variables decisorias. Las funciones matemáticas en las que todas las variables aparecen en un término aparte y están elevadas a la primera potencia, reciben el nombre defunciones lineales. La función objetivo (10x 1 + 9x2 ) es lineal porque todas las variables de decisión aparecen en un término distinto y tienen exponente de l. Si la forma de la función objetivo hubiera sido !Oxi + 9Vx2 , no hubiera sido entonces una función lineal, y no se tendría un programa /

34

CAPÍTULO DOS

lineal. El tiempo de producción que se requiere en el departamento de corte y teñido ( 11 10X1 + lxJ es también función lineal de las variables de decisión por el mismo motivo. De manera similar, las funciones del lado izquierdo de todas las desigualdades de restricción (las funciones de restricción) son funciones lineales. Por ello, al planteamiento matemático del problema de Par se le denomina programa lineal. Puede ahora mencionarse que la programación lineal no tiene nada que ver con la programación de computadoras . Aquí, el uso de la palabra programación significa "elegir un curso de acción". La programación lineal implica seleccionar un camino de acción cuando el modelo matemático del problema contiene sólo funciones lineales.

NOTAS Y COMENTARIOS l. Los tres supuestos necesarios para que un modelo de programación lineal sea apro-

piado, son: proporcionalidad, aditividad y divisibilidad. Proporcionalidad significa que el aporte a la función objetivo y la cantidad de recursos que se utilizan son proporcionales al valor de cada variable de decisión. Aditividad significa que es posible encontrar el valor de la función objetivo y el total de los recursos que se utilizan sumando la contribución de ia función objetivo y los recursos que se utilizan, para todas las variables de decisión. Divisibilidad significa que las variables de decisión son continuas . El supuesto de divisibilidad, aunado a las restricciones de no negatividad, significa que las variables de decisión sólo pueden asumir valores que sean mayores que o iguales a cero. 2. Los científicos de la administración plantean y resuelven diversos modelos matemáticos que contienen una función objetivo y un conjunto de restricciones . A los modelos de este tipo se les denomina modelos de programación matemática. Los modelos de programación lineal son un tipo especial de modelos de programación matemática, ya que son lineales tanto la función objetivo como todas las funciones de restricción .

?..5 SOLUCIÓN GRÁFICA Se puede resolver un problema de programación lineal que tenga sólo dos variables de decisión utilizando un procedimiento gráfico de solución . Se comienza el procedimiento gráfico de resolución elaborando una gráfica que muestre las soluciones posibles (valores x 1 y x 2) para el problema de la empresa Par. La gráfica (Fig. 2.1) tendrá los valores de x 1 en el eje horizontal y los valores de x 2 en el eje vertical. Se puede ubicar cualquier punto en la gráfica mediante los valores de x 1 y x 2 , los cuales señalan la posición del punto sobre los ejes x 1 y x2 , respectivamente. Como cada punto (x 1, x 2 ) corresponde a una posible solución, a cada punto de la gráfica se le denomina punto solución. El punto solución en donde X 1 = O y x 2 = O se denomina origen. El siguiente paso consiste en determinar qué puntos solución corresponden a soluciones factibles para el programa lineal. Se requiere que tanto x 1 como x 2 sean no negativas, y por ello sólo es necesario considerar la porción de la gráfica en la que x 1 2: O y x 2 2: O. Las flechas de la Fig. 2.2 señalan la porción de la región de soluciones en donde se satisfacen esos requisitos de no negatividad. Como siempre se requiere que las variables decisorias de la programación lineal sean no negativas, las gráficas que se apliquen en lo subsiguiente


xz 1200 o

B ~

Un punto solución con 200 y X 2 = 800

1000

X1 =

-

o "e:\

'ü :::1

"e:\

eo. e

6oo

5

400

"e:\

1 Un punto solución con = 400 y X 2 = 300

X1

1

~

1 - - - - -f(400, 300)

o:!

:g

- 400

1 1

1

" E

· :::1

~

-f1(200, 800)

¡:: o:! u

200

- 200

o

1

1

1 1

1 1 12QQ

X¡

Cantidad de bolsas estándares

- 200

FIGURA 2.1

Gráfica de los puntos de solución para el problema de dos variables de la compañía Par, lnc.

mostrarán sólo la porción de la región de soluciones que corresponde a los valores no negativos de las variables de decisión. Se vio antes que la desigualdad que representa la restricción de corte y teñido es /wx 1

1

+ lx 2

:5

630

Para mostrar todos los puntos solución que cumplen esta relación, se comienza por localizar los puntos solución que satisfacen la parte de igualdad de la restricción. Es decir, los puntos en donde 11 10X 1 + lx2 = 630. Como la gráfica de la ecuación es una recta, se la puede obtener ubicando dos puntos que satisfagan la ecuación y trazando después una recta por tales puntos. Fijando x 1 = O y despejando x 2 se observa que el punto (x, = O, x 2 = 630) satisface la ecuación anterior. Para obtener un segundo punto que satisfaga la ecuación, se fija x 2 = O y se despeja x 1 • Con esto se obtiene 1nox1 + 1(0) = 630, o x 1 = 900. Por ello, un segundo punto que cumple la ecuación es (x 1 = 900, x 2 = 0). Se puede trazar ahora la recta que corresponde a la ecuación 7/wx

1

+ lx2

=

630

Esta recta, a la que se denominará lfnea o recta de restricción de corte y teñido, es la que se muestra en la Fig. 2.3. Se identifica tal línea como ''C & T'' para indicar que representa la restricción de corte y teñido.

36

CAPÍTULO DOS

o

]'

Región de Soluciones no negativas

"'

"O

o

200

400

600

800

1000

1200

14QQ

X¡


FIGURA 2.2

Las restricciones de no negatividad.

Recuérdese que la desigualdad que representa dicha restricción es 1/wx 1

+

lx2

:S

630

¿Puede identificar todos los puntos solución que satisfacen esta restricción? Como todos los puntos de la recta satisfacen 7nox 1 + lx2 = 630, se sabe que cualquier punto que está sobre esta recta debe satisfacer la restricción. Pero, ¿existen puntos solución que satisfagan 7/ IOX + lx < 630? Considérense dos puntos solución: (x = 200, x = 200) y (x1 = 600, 1 2 1 2 x 2 = 500). Se puede observar en la Fig. 2.3 que el primer punto solución se encuentra abajo de la recta de restricción, y que el segundo se halla por encima. ¿Cuál de estas soluciones satisface la restricción de corte y teñido? Para el punto (x1 = 200, x 2 = 200), se observa que 7fwx 1

+

lx2 = 7fw(200)

+ 1(200) = 340

Como las 340 horas son menos que las 630 horas disponibles, la combinación de producción, o punto solución, (x 1 = 200, x 2 = 200), satisface la restricción. Para el punto (x1 = 600, x 2 = 500), se tiene 1fwx 1

+

Ix2 = 1fw(600)

+ 1(500)

=

920

Las 920 horas son más que las 630 horas disponibles, por lo que el punto solución (x1 600, X 2 = 500) no satisface la restricción y, por ello, no es factible.

PROGRAMACIÓN LINEAL: MÉTODO GRÁFICO 37 x2

1200

1000 o

:a

""'"'

800

~

o ""' .o

600 ~lo.¡-

":51"'

¡::

u"'

• (600,500)

1 ...

400

(¡-

< <:6..1o

200


FIGURA 2.3

La recta de restricción de corte y teñido.

Resulta que si un punto solución determinado no es factible, entonces, todos los demás puntos de solución que se encuentran al mismo lado de la recta de restricción tampoco son factibles. Si un punto solución específico es factible, entonces son factibles t0dos los demás puntos solución que están al mismo lado de la recta de restricción. Por ello, es necesario evaluar la función restrictiva sólo para un punto solución y determinar cuál de los lados de la recta de restricción se encuentra en la región factible. En la Fig. 2.4, se señalan todos los puntos que satisfacen la restricción de corte y teñido mediante el sombreado de la región correspondiente. Se continúa ubicando puntos solución que satisfacen cada una de las otras tres restricciones. Las soluciones que son factibles para cada una de estas restricciones se muestran en la Fig. 2.5. Se tienen ahora cuatro gráficas separadas que muestran los puntos de solución factibles para cada una de las cuatro restricciones. En los problemas de programación lineal es necesario localizar los puntos solución que satisfacen simultáneamente todas las restricciones. Para encontrar estos puntos se indican las cuatro restricciones en una sola gráfica y se observa la restricción que contiene los puntos que, de hecho, satisfacen en forma simultánea todas las restricciones. Pueden ponerse las gráficas de las Figs. 2.4 y 2.5 una sobre otra, para obtener una que contenga las cuatro restricciones. Tal gráfica con restricciones combinadas se muestra en la Fig. 2.6. La región sombreada incluye todos los puntos solución que satisfacen en forma simultánea todas las restricciones. Como a las soluciones que cumplen todas las restricciones se las denomina soluciones factibles, a la región sombreada se le nombra región de

38

CAPÍTULO DOS x2

1200

1000 o

E 800
"O

"'

o"'"'

.o
600

"O "O

"'

:9

E u"'

400

200

o

200

400

600

800

1000

1200

14QQ

X¡


FIGURA 2.4

Soluciones factibles para la restricción de corte y teñido (C. y T.) representadas mediante la región sombreada

soluciones factibles, o bien región factible. Cualquier punto que se encuentre en la frontera o límite de la región factible, o dentro de ella, es un punto solución factible. Ahora que se ha identificado la región factible, es posible continuar con el método gráfico de solución y obtener la solución óptima del problema de la compañía Par, lnc. Recuérdese que la solución óptima para un problema de programación lineal es la solución factible que ofrece el mejor valor posible de la función objetivo. Se inicia la etapa de optimización del procedimiento gráfico de solución volviendo a ubicar la región factible en otra gráfica; se muestra en la Fig. 2.7. Una forma de encontrar la solución óptima sería evaluar la función objetivo para cada solución factible; en este caso, la solución óptima sería la que produce el mayor valor. La dificultad con este método es que existen demasiadas soluciones factibles (que son, de hecho, en número infinito), y, por ello, no sería posible evaluar todas las soluciones factibles. Por tanto no se puede utilizar este procedimiento de ensayo y error para identificar la solución óptima. En vez de intentar el cálculo de la contribución a las utilidades para cada solución factible, se elige un valor arbitrario para la aportación a las utilidades y se identifican todas las soluciones factibles (xl' x 2 ) que producen el valor seleccionado. Por ejemplo, ¿qué soluciones factibles producen una contribución a las utilidades de $1 800? Estas soluciones están dadas por los valores x, y x 2 que se encuentran en la región factible y que hacen que la función objetivo 10x 1

+ 9x2

=

1800

PROGRAMACIÓN LINEAL: MÉTODO GRÁFICO

39

1200

1000-

Restricció n pa ra

la costura

o

400

600

1200 Rest ricción pa ra el terminado

o

E "' -;:

HlOO

800

~

Restri cc ión pa ra la inspecció n y em ba laje

o

~ 600 v

(708,0)

co .s40 )

,¡

"O

~--~~~~~~~~~8~0~--~ 0 IOL 0~ 0 ---1~20_0___1_4LOO- -x

"' :"9

;:: u"'


(1 350,0)

~

1400

FIGURA 2.5

X¡

Soluciones para las restricciones de costura (C.), terminado (T.) e inspección y embalaje (1. y E.), representadas mediante las regiones sombreadas.

La expresión anterior es simplemente la ecuación de una recta, por ello, todos los puntos de solución factibles (xp x 2 ) que producen una contribución a las utilidades de $1 800 debe caer en esa recta. Ya se aprendió antes en esta sección la forma de trazar una recta de restricción. El procedimiento que se usa para la recta de la función objetivo o la de las utilidades, es el mismo. Fijando x 1 = O, se observa que x 2 puede ser 200; por ello, el punto de solución (x 1 = O, x 2 = 200) se encuentra en la recta. De manera similar, fijando

40

CAPÍTULO DOS x2

1200

1000 o

2 800 Q)

-o

"'~

o

.o

600

Q)

-o -o

"' :9 ;:: u"'

400

200


FIGURA 2.6

Una gráfica con la combinación de las restricciones y que muestra la región de soluciones factibles para el problema de Par, Inc.

"' "'"' o .o Q)

-o -o

"' :9 ;:: u"'

o Cantidad de bolsas estándares

FIGURA 2.7

Región de soluciones factibles para el problema de Par, lnc.



FIGURA 2.8

Recta de utilidades de $1 800 para el problema de Par, Inc.

x 2 = O, se observa que estos dos puntos identifican a todas las soluciones que tendrían una contribución a las utilidades de $1 800. En la Fig. 2.8 se presenta esa recta de utilidades. Como el objetivo es obtener la solución factible que produzca la mayor contribución a las utilidades, se continúa seleccionando mayores contribuciones a las utilidades determinando las soluciones que producen los valores que se han seleccionado. Por ejemplo, se procede a hallar soluciones que produzcan aportes a las utilidades de $3 600 y $5 400. Para esto se deben evaluar x 1 y x 2 que están sobre las siguientes rectas: 10x 1

+ 9x2 = 3600

y

10x 1 + 9x2

=

5400

Las rectas de utilidades de $3 600 y $5 400 que aparecen en la Fig. 2. 9 se trazaron haciendo uso del procedimiento visto antes para las rectas de utilidades y de restricciones. Aunque no todos ·los puntos solución de la recta de utilidades de $5 400 se encuentran en la región factible, cuando menos algunos puntos de la recta sí lo están, y por ello es posible obtener una solución factible que produzca una contribución de $5 400 a las utilidades. ¿Se puede encontrar una solución factible que produzca una contribución aún mayor a las utilidades? Obsérvese la Fig. 2.9 y véase qué observaciones generales puede formular acerca de las rectas de utilidades que ya se han trazado. Obsérvese lo siguiente: (1) las rectas de utilidades son paralelas entre sí y (2) se obtienen rectas de mayores utilidades conforme se alejan del origen. Puede visualizarse esto también en forma algebraica. Si z representa la utilidad total, la función objetivo es z

=

10x 1

+

9x2

42

CAPÍTULO DOS

o

~

"'"'"'~

o

.o

"'"' "':::!"'

=

u"'


FIGURA 2.9

Despejando

Rectas de utilidades seleccionadas para el problema de Par, lnc.

x2 en términos de x 1 y z, se obtiene 9x2

-10x 1

+ z (2.8)

La expresión (2.8) es la forma pendiente-intersección de la ecuación lineal que relaciona a x 1 y x 2 • El coeficiente de x" - I0/ 9, es la pendiente de la recta, y el término t 19Z es la intersección vertical (u ordenada al origen, es decir, el valor de x 2 para el que la gráfica de la ecuación (2.8) corta al eje x 2 ). Sustituyendo las contribuciones a las utilidades de z = 1 800, z = 3 600, y z = 5 400 en la ecuación (2.8) se obtienen las ecuaciones siguientes de forma pendiente e intersección vertical para las rectas de utilidad que se muestran en la Fig. 2.9: Para z = 1 800,

Para z

3 600

z

5 400

Para

La pendiente (-¡o¡g) es la misma para todas las rectas de utilidades, puesto que son paralelas. Además, se observa que la ordenada al origen, x2 , aumenta conforme lo hacen los aportes a las utilidades. Por ello, las rectas correspondientes a mayores utilidades están más lejos del origen.


Como las líneas de utilidades son paralelas, y como cuanto mayores son las utilidades tanto más lejos del origen están las rectas, se pueden obtener soluciones que producen valores cada vez mayores de la función objetivo desplazando las rectas de utilidades a cada vez mayor alejamiento del origen, de manera que sigan siendo paralelas entre sí. Sin embargo, llegará un momento en el que continuar el movimiento alejándose del origen hará que la recta de utilidades quede completamente fuera de la región factible. Como las soluciones fuera de la región factible no son aceptables, el punto de la región factible que se encuentra en la recta de utilidades más altas es la solución óptima para el programa lineal. Ya se estará en posibilidades ahora de identi~icar el punto solución óptima para el problema de Par, Inc. Utilice una regla o la orilla de una hoja de papel para desplazar la recta de utilidades tan lejos del origen como sea posible. ¿Cuál es el último punto de la región factible que se alcanza? Este punto, que es la solución óptima, se muestra en la Fig. 2.10. Los valores óptimos de las variables de decisión son los valores de x 1 y x 2 en la solución óptima. Es posible que se pueda o no determinar los valores exactos de x 1 y x 2 dependiendo de la precisión de la gráfica. Con referencia a la Fig. 2.10, lo mejor que puede lograrse es concluir que la combinación óptima de producción implica aproximadamente 550 bolsas estándares (x,) y aproximadamente 250 bolsas de lujo (x). Una inspección más cuidadosa de las Figs. 2.6 y 2.10 muestra que el punto solución óptima se encuentra en la intersección de la recta de restricción de corte y teñido, y la de terminado. Es decir, el punto solución óptima se encuentra tanto sobre la recta de restricción de corte y teñido 7/wx

1

+ 1x2

=

630

(2.9)

como sobre la recta de restricción de acabado (2.10)

600

Solución óptima

/ Cantidad de bolsas estándares

FIGURA 2.10

Solución óptima para el problema de Par, Inc.

44

CAPÍTULO DOS

De modo que los valores óptimos de las variables de decisión x 1 y x2 deben satisfacer ambas ecuaciones (2. 9) y (2.1 0), de manera simultánea. Utilizando la ecuación (2. 9) y despejando x 1, se obtiene 7f10 x 1 =

630 - 1x2

o bien (2.11)

Sustituyendo esta expresión de x 1 en la ecuación (2.10) y despejando x 2 se obtiene lo siguiente: ·

+ ~3X2 = 900+ ~3X2 = 900- 30/21X2 + 1o/21X2 =

1(900 -

Utilizando x 2

10f7X2)

708

10/1X2

708

16/21X2

=

x2

=

708 -192 192 o/21

=

252

1

252 en la ecuación (2.11) y despejando xl' resulta X¡

=

900 - 10f7(252)

=

900 - 360

=

540

La ubicación exacta del punto óptimo de solución es x 1 = 540 y x 2 = 252. Por ello, las cantidades óptimas de producción para Par, Inc., son 540 bolsas estándares y 252 bolsas de lujo, con una aportación a las utilidades resultante de 10(540) + 9(252) = $7 668. Para un problema de programación lineal con dos variables de decisión es posible determinar los valores exactos de dichas variables en la solución óptima utilizando en primer lugar el procedimiento gráfico de solución para identificar el punto óptimo; después se resuelven en forma simultánea las dos ecuaciones de restricción correspondientes a ese punto.

Comentarios sobre la graficación de rectas Como puede observarse en la solución gráfica del problema de Par, Inc., un aspecto importante del método gráfico es la aptitud para graficar rectas que muestren las restricciones y la función objetivo del programa lineal. El procedimiento que se ha utilizado para graficar la ecuación de una recta es encontrar cualesquiera dos puntos que satisfagan la ecuación y después trazar la recta sobre esos puntos. Fue fácil localizar los dos puntos para las restricciones fijando x 1 = O y despejando x 2 en la ecuación de restricción. Después se tomó x 2 O y se despejó x 1 • Para la recta de restricción de corte y teñido 7f¡oX 1

+ lx2 = 630

se identificaron dos puntos mediante este procedimiento (x 1 = O, x 2 = 630) y (x 1 = 900, x 2 = 0). Después se trazó la recta de restricción de corte y teñido pasando una recta sobre estos dos puntos. Si es posible identificar dos puntos de la recta, es posible el trazo de todas las rectas de restricción y de función objetivo en programas lineales de dos variables. Sin embargo,


encontrar dos puntos sobre la recta no siempre es tan sencillo como se vio en el problema de Par, Inc. Por ejemplo, considérese la siguiente restricción.

Utilizando la forma de igualdad y considerando x 1 = O, se encuentra que el punto (x 1 O, x" = - 100) cae sobre la recta de restricción. Si x" = O, se encuentra un segundo punto (x 1 = 50, x 2 = 0), que también cae sobre la recta de restricción. Si se hubiera dibujado sólo la porción no negativa (x 1 ~ O, x 2 ~ O) de la gráfica, no hubiera sido posible trazar el primer punto (x 1 = O, x 2 = - 100), porque x 2 = - 100 no forma parte de la gráfica. Los casos en los que se tienen dos puntos de la recta, pero no es posible ubicar alguno o ambos de ellos en la porción no negativa de la gráfica, el método más simple consiste en ampliar el tamaño de la representación para incluir la parte negativa de los ejes x 1 y/ o x". En este ejemplo puede ubicarse el punto (x 1 = O, x 2 = - 100) ampliando la gráfica para incluir la parte negativa del eje x 1 • Se puede trazar la recta una vez que se localizan los dos puntos que satisfacen la ecuación de restricción. En la Fig. 2.11 se muestran la recta de restricción y las soluciones factibles para la restricción 2x 1 1x" :5 1OO. Como otro ejemplo, considérese una restricción de la forma

Para encontrar todas las soluciones que satisfacen la parte de igualdad de la restricción, se considera en primer Jugar x 1 = O y se despeja x". Esto muestra que el origen (x 1 = O, X:

FIGURA 2.11

Soluciones factibles para la restricción 2x 1

-::-

1x2

:5

100.

46

CAPÍTULO DOS

x,

FIGURA 2.12

Soluciones factibles para la restricción lx 1

-

lx 2

::::

O

x 2 = O) cae en la recta de restricción si x 2 = O y despejando x 1 se obtiene el mismo punto. Sin embargo, se puede obtener un segundo punto de la recta igualando x 2 a cualquier valor que no sea cero, y despejando después x 1 • Por ejemplo, si x 2 = 100 y se despeja xl' se encuentra que el punto (x 1 = 100, x 2 = 100 es parte de la recta. Una vez teniendo los dos puntos (x 1 = O, x 2 = 0) y (x1 = 100, x 2 = 100), puede trazarse la recta de restricción 1x1 - 1x2 = Oy las soluciones factibles para 1x1 - 1x2 :::: O, como se muestra en la Fig. 2.12.

Resumen del procedimiento gráfico de solución para problemas de maximización Como se ha visto, el procedimiento gráfico de solución es un método para resolver problemas de programación lineal con dos variables, tales como el problema de Par, Inc. En seguida se resumen los pasos del procedimiento gráfico de solución para problemas de maximización. l. Elaborar una gráfica de los puntos solución factible para cada una de las restricciones . 2. Determinar la región factible identificando los puntos solución que satisfacen en forma simultánea todas las restricciones. 3. Trazar una recta de la función objetivo que muestre los valores de las variables x 1 y x 2 que proporcionan un valor específico para la función objetivo. 4. Desplazar rectas de función objetivo paralelas en dirección de los valores más altos de la función objetivo hasta que llegue el momento en el que un mayor alejamiento haga que la recta quede por completo fuera de la región factible. S. Un punto solución factible que se encuentre sobre la recta de la función objetivo y que tenga el mayor valor, es una solución óptima.


Variables de holgura Además de la solución óptima de x 1 = 540 bolsas estándares y x 2 = 252 bolsas de lujo, y de la utilidad esperada de $7 668, es probable que los administradores de la compañía Par, In c., deseen obtener información con respecto a los requisitos de tiempo de producción para cada una de las operaciones. Puede obtenerse esta información sustituyendo los valores óptimos de x 1 y x 2 en las funciones de restricción para el programa lineal. Los requisitos de tiempo de producción para el problema de Par, Inc., son los siguientes: 7110(540) 112(540) 1(540) 1110(540)

+ + + +

1(252) 516(252) 213(252) 114(252)

630 480 708 117

horas horas horas horas

para para para para

corte y teñido costura terminado inspección y embalaje

Los resultados anteriores muestran a los administradores que la producción de 540 bolsas estándares y 252 bolsas de lujo requeriría de todo el tiempo disponible de corte y teñido (630 horas) y de todo el tiempo disponible de acabado (708 horas), y que dejarán de utilizarse 120 horas del tiempo de costura, (600- 480) y 18 horas del tiempo de inspección y embalaje (135- 117). A las 120 horas del tiempo no utilizado de costura y a las 18 horas de tiempo no utilizado de inspección y embalaje se les denomina holgura de los dos departamentos. En terminología de programación lineal, a cualquier capacidad no utilizada, u ociosa, para una restricción de s se la denomina holgura correspondiente a la restricción. Con frecuencia se añaden variables a los planteamientos de los problemas de programación lineal para representar la capacidad de holgura. A esas variables se las llama variables de holgura y, como la capacidad no utilizada no contribuye a las utilidades, tienen coeficientes cero en la función objetivo. Después de añadir variables de holgura al planteamiento matemático del problema de Par, Inc., la forma del modelo matemático es la siguiente: max

10x 1

+

9x2

+ Os 1 +

Os 2

+ Os 3 +

Os4

sujeta a 7j10 x 1

1/2X¡ IX¡

1/wX¡

+ lx2 + ls 1 + Sf6X2 + 2f3X2 + 1/4X2

=

630

= 600

= +

708

1s4 = 135

En los casos en que los programas lineales están formulados de manera que todas las restricciones se expresan como igualdades, se dice que está escrito en forma estándar. En la solución óptima, x 1 = 540 y x 2 = 252, los valores de las variables de holgura son los siguientes:

Restricción Corte y teftido Costura Terminado Inspección y embalaje

Valor de la variable de holgura S1 = 52 S

3

s.

0

= 120

=

0

=

18

CAPÍTULO DOS

48

¿Se hubiera podido utilizar la solución gráfica para obtener parte de esta información? La respuesta es sí. Al encontrar el punto de solución óptimo de la Fig. 2.6, puede observarse que las restricciones de corte y teñido y de terminado limitan, o acotan la región factible en ese punto. Por ello, esta solución requiere del uso de todo el tiempo disponible para esas dos operaciones. En otras palabras, la gráfica muestra que los departamentos de corte y teñido y de terminado tendrán holgura cero. Por otro lado, como las restricciones de inspección y de embalaje no son límites de la región factible en la solución óptima, puede observarse algún tiempo no utilizado o de holgura para esas dos operaciones. Como comentario final sobre el análisis gráfico del problema de la empresa Par, Inc., hay que insistir en la restricción de la capacidad de costura, como se muestra en la Fig. 2.6. Obsérvese, en particular, que tal restricción no afecta a la región factible. Es decir, la región factible sería la misma ya sea que se incluya la restricción sobre la capacidad de costura o no. Esto indica que existe tiempo de costura disponible suficiente para dar cabida a cualquier nivel de producción que pueda alcanzarse en los otros tres departamentos. Como la restricción de costura no afecta a la región factible ni, por ello, puede afectar la solución óptima, se le denomina restricción redundante.

NOTAS Y COMENTARIOS l. En la forma estándar de representación de un modelo de programación lineal,

los coeficientes de la función objetivo para las variables de holgura son cero. Esto implica que las variables de holgura representan recursos no utilizados que no afectan el valor de la función objetivo. Sin embargo, en algunas aplicaciones, es posible vender los recursos no utilizados para que contribuyan a las utilidades. En casos como estos, las variables comunes del holgura se convierten en variables de decisión que representan la cantidad de recursos que se deben vender. Un coeficiente diferente de cero en la función objetivo reflejaría la utilidad correspondiente a la venta de una unidad de este recurso. 2. Las restricciones redundantes no afectan a la región factible y, como resultado, se les puede eliminar del modelo de programación lineal sin afectar la solución óptima. Sin embargo, si se va a resolver después el modelo de programación lineal, los cambios en algunos de los datos pueden ocasionar que posteriormente una restricción redundante se convierta en una restricción limitante crítica. Por ello, se recomienda conservar todas las restricciones de los modelos de programación lineal, aun cuando en algún momento alguna o varias de las restricciones resulten ser redundantes.

2.6

PUNTOS EN LOS EXTREMOS Y LA SOLUCIÓN ÓPTIMA Supóngase que se reduce la contribución a las utilidades de las bolsas estándares de Par, Inc., de $10 a $5 por bolsa, al mismo tiempo que la contribución a las utilidades de las bolsas de lujo y todas las restricciones permanecen constantes. El modelo de programación lineal completo para este problema es idéntico al modelo matemático de la Secc. 2.4, excepto por la nueva forma de la función objetivo: max z

=

5x 1 + 9x 2


6 Solución óptima (x 1

o

E .,

= 300 , x 2 = 420)

~

"O

"'

"'"' o .D

.,

"O "O

"' e: u"'

:'S!


FIGURA 2.13

Solución óptima para el problema de Par, In c., con una función objetivo de 5x 1 + 9x2 •

¿Cómo afecta este cambio en la función objetivo la solución óptima para el problema de Par, Inc .? En la Fig. 2.13 se muestra la solución gráfica del problema de Par, Inc., con la función objetivo modificada. Obsérvese que las restricciones no han cambiado, y, por ello, la región factible tampoco ha variado. Sin embargo, las rectas de utilidades se han modificado para reflejar la nueva función objetivo. Desplazando la recta de utilidades en forma paralela hacia los valores más altos de las utilidades, se encuentra la solución óptima que se muestra en la Fig. 2.13 . En este punto, las variables de decisión son x 1 = 300 y x 2 = 420. La menor contribución a las utilidades para las bolsas estándares ha ocasionado un cambio en la solución óptima. De hecho, tal como podía sospecharse, ahora se reduce la producción de las bolsas estándares, que aportan menos utilidades, y se aumenta la producción de las bolsas de lujo que producen mayores ganancias. ¿Qué ha observado usted respecto a la ubicación de las soluciones óptimas de los dos problemas de programación lineal que se han resuelto hasta este momento? Obsérvese cuidadosamente las soluciones gráficas de las Figs . 2.10 y 2. 13. Una observación importante que se debe estar en posibilidades de realizar es que las soluciones óptimas ocurren en uno de los vértices o "esquinas" de la región factible . En terminología de programación lineal, a estos vérrices se les denomina puntos extremos de la región factible. El problema de Par, lnc., tiene 5 vértices, o 5 puntos extremos, para su región factible (Fig. 2.14). Ahora puede plantearse de manera formal la observación con respecto al lugar en el que se encuentra la solución óptima, de la siguiente manera: 2 2

Se verá en la Secc. 2.8 que existen dos casos especiales (no factibilidad y no acotamiento) en programación lineal en los que no existe solución óptima . Así, la anterior afirmación no es aplicable a estos casos .

50

CAPÍTULO DOS

o

E "'

"O

400

"' ¡:¡

o

.o

"'

"O "O

"' :S!

;:: 200

Región factible

u"'


FIGURA 2.14

Los cinco puntos extremos de la región factible (o de factibilidad) para el problema de Par, In c.

En un punto extremo de la región factible de un problema de programación lineal se puede encontrar una solución óptima.

Esta propiedad significa que si se está buscando la solución óptima de un problema de programación lineal no es necesario evaluar todos los puntos de solución factibles. De hecho, sólo se necesita considerar las soluciones factibles que ocurran en los puntos extremos de la región factible. Por ello, para el problema de la Par, In c., en vez de calcular y comparar las contribuciones a las utilidades de todas las soluciones factibles, se puede obtener la solución óptima evaluando las soluciones en los cinco putos extremos y eligiendo aquella que ofrezca la mayor contribución a las utilidades. En realidad, el procedimiento gráfico de solución no es otra cosa que una manera conveniente de identificar un punto extremo óptimo para problemas con dos variables.

2. 7 UN PROBLEMA SENCILLO DE MINIMIZACIÓN El problema de Par, Inc., era de maximización; muchos problemas de programación lineal son de minimización. Por ejemplo, considérese el caso de la M&D Chemicals. Esta empresa manufactura dos productos que se venden como materia prima a compañías que fabrican jabones para baño, detergentes y otros productos de jabón. Con base en un análisis de los niveles actuales de inventario y de la demanda potencial para el siguiente mes, los administradores de M&D Chemicals han especificado que la pro-


ducción total combinada de los productos l y 2 puede ser cuando menos 350 galones. Por otro lado, se debe satisfacer también un pedido de un cliente importante de 125 galones de producto l. El producto l requiere de 2 horas de tiempo de procesamiento por galón, en tanto que el producto 2 requiere de una hora de procesamiento por galón, y existen disponibles 600 horas de tiempo de procesamiento para el siguiente mes. El objetivo de la M&D es satisfacer los requisitos anteriores incurriendo en un costo de producción mínimo. Los costos de producción son de $2 por galón de producto l y de $3 por galón del producto 2. Para encontrar el programa de producción de costos mínimos, se plantea el problema de M&D Chemicals como programa lineal. Siguiendo un procedimiento similar al que se utilizó para el problema de Par, Inc., se definen en primer lugar las variables de decisión y la función objetivo para el problema. Sean

x1

=

número de galones del prod. l fabricados

x 2 = número de galones del prod. 2 fabricados Como los costos de operación son de $2 (dólares) por galón del producto l, y $3 por galón del producto 2, la minimización de la función objetivo de costos totales se puede plantear de la siguiente manera. min 2x 1 + 3x2 En seguida, considérense las restricciones que tiene el problema de la M&D Chemicals. Para satisfacer el pedido de 125 galones del producto l que hizo el cliente importante, se sabe que x 1 debe ser cuando menos 125. Por ello, se plantea la restricción lx 1 ::::= 125 Como la producción total combinada de ambos productos debe ser de cuando menos 350 galones, se puede plantear la restricción lx 1

+ lx2

::::= 350

Finalmente, como la limitación del tiempo disponible de procesamiento es 600 horas, se añade la restricción, 2x 1

+

lxi ::; 600

Después de agregar las restricciones de no negatividad (x 1, x 1 ::::= 0), se tiene el siguiente programa lineal para el problema de M&D Chemicals: min

2xl

+ 3x2

sujeta a lx 1 lx 1 2xl

+ lx2 + lx2

X 1 , Xz

::::= 125

Demanda del producto

::::= 350

Producción total

::;

600

Tiempo de procesamiento

::::= Ü

Como el modelo de programación lineal tiene sólo dos variables de decisión, puede utilizarse el procedimiento gráfico de solución para encontrar las cantidades óptimas de solución. El método gráfico para este problema, al igual que para el problema de Par, exige

52

CAPÍTULO DOS

x,

N

o

ü

:::1 "'CI

2

o. -.;

300

"'CI

"'e

o"'

~

o

o

100

200

300

400

500

600

Galones del producto 1

FIGURA 2.15

La región factible para el problema de M&D Chemicals.

primero el trazo de las rectas de restricción para determinar la región factible. Pueden identifi~arse las soluciones factibles para cada restricción trazando en forma separada cada recta de restricción, y verificando después puntos en ambos lados de la misma. Combinando las soluciones factibles para cada restricción en la misma gráfica, se obtiene la región factible que se muestra en la Fig. 2.15. Ahora, para encontrar la solución de costo mínimo, se traza la recta de la función objetivo correspondiente a un valor determinado de los costos totales. Por ejemplo, se podría comenzar trazando la recta 2x1 + 3x2 = 1 200. Esta recta se muestra en la Fig. 2.16. Resulta evidente que existen puntos de la región factible que arrojaría costos totales de $1 200. Para encontrar los valores de x 1 y x 2 que ofrecen menores valores para los costos totales, se desplaza la recta de la función objetivo hacia la parte inferior izquierda hasta que, si se siguiera desplazando, quedara enteramente fuera de la región factible. Obsérvese que la recta de la función objetivo 2x1 + 3x2 = 800 corta a la región factible en el punto extremo x 1 = 250 y x2 = 100. Este punto ofrece la solución de costos mínimos, con un valor de 800 para la función objetivo . En las Figs. 2.15 y 2.16 puede observarse que son cruciales la restricción del volumen total de producción y la restricción del tiempo de procesamiento. Al igual que con cualquier problema de programación lineal, la solución óptima ocurre en un punto extremo de la región factible.

Resumen del procedimiento gráfico de solución para problemas de minimización En seguida se resumen los pasos para el procedimiento gráfico de solución para problemas de minimización:


x,

"' e

"'o

"¡;j

o 200

100

400

500

600

Galones del producto 1

FIGURA 2.16

Resolución gráfica para el problema de M&D Chemicals.

l. Elaborar una gráfica de los puntos solución factibles para cada una de las restricciones. 2. Determinar la región factible identificando los puntos solución que satisfacen en forma simultánea todas las restricciones. 3. Trazar una recta de la función objetivo que muestre los valores de las variables x 1 y x 2 que producen un valor específico de la función objetivo. 4. Desplazar rectas paralelas de funciones objetivo hacia valores cada vez menores de la función objetivo hasta que la continuación del movimiento implique que la recta se sale completamente de la región factible . S. Un punto de solución factible que se encuentre en la recta de la función objetivo que tenga el menor valor es una solución óptima.

Variables de excedente Un análisis completo de la solución de costo mínimo del problema de M&D Chemicals muestra que se logra que la producción total de 1x1 + 1x2 = 350 galones que se desea, utilizando todo el tiempo disponible de procesamiento, o sea 2x 1 + 1x2 = 2(250) + 1 (100) = 600 horas . Además, obsérvese que se satisface la restricción que exige satisfacer la demanda del producto 1, con x 1 = 250 galones. De hecho, la elaboración del productor excede su nivel mínimo en 250- 125 = 125 galones. A este exceso de producción para el producto l se le denomina excedente. En terminología de programación lineal, cualquier cantidad en exceso que corresponda a una restricción de 2:!: se le denomina execedente. Recuérdese que con una restricción ::5 , puede agregar una variable de holgura al lado izquierdo de la desigualdad para convertirla en igualdad. Con las restricciones de 2:!: se

54

CAPÍTULO DOS

puede restar una variable de excedente del lado izquierdo de la desigualdad para convertirla en igualdad. Al igual que se hace con variables de holgura, a las variables de excedentes se les asigna coeficiente cero en la función objetivo porque no tienen ningún efecto sobre su valor. Después de incluir dos variables de excedente para las restricciones de 2: y una variable de holgura para las restricciones de ::s , el modelo de programación lineal para el problema de M&D Chemicals es el siguiente: min

2x¡

+ 3x 2 + Os 1 +

Os 2

+ Os 3

sujeta a - ls 1

1x 1 lx 1 2x¡ X¡,

+ + Xz,

1x2

125

+

lx2 S¡,

350

- lsz

600

ls3

Sz , s3 :2: 0

Ahora todas las restricciones son igualdades. Por ello, el planteamiento anterior es la representación en forma estándar del problema de M&D Chemicals . En la solución óptima de x 1 = 250 y x 2 = 100, los valores de las variables de holgura y de excedente son los siguientes: Valor de las variables de excedente u holgura

Restricción

s,

Demanda del producto 1 Producción total Tiempo de procesamiento

=

125

52 =

o

S3 =

0

Con referencia a las Figs. 2.15 y 2. 16, obsérvese que las variables de holgura y de excedente que valen cero están asociadas a las restricciones limitan tes en la solución óptima. Es decir, las restricciones del total de la producción y del tiempo de procesamiento. El excedente de 125 unidades corresponde a la restricción no limitante de la demanda del producto l. Obsérvese que ·en el problema de Par, In c., todas las restricciones fueron del tipo ::s y que en el problema de M&D Chemicals las restricciones eran una combinación de los tipos 2: y ::s. El número y el tipo de restricciones que se encuentran en los problemas específicos de programación lineal dependen de las condiciones específicas del problema. Los problemas de programación lineal pueden tener algunas restricciones de ::s, algunas restricciones de 2:, y algunas restricciones de =. Para las restricciones de igualdad, las soluciones factibles deben caer exactamente en la recta de restricción. En seguida se presenta un ejemplo de un programa lineal que contiene las tres formas de restricción (en el Problema 35 del final del capítulo se pide resolver este mismo problema utilizando el procedimiento gráfico): min 2x¡ sujeta a lx 1

+

2x2

+ 3x2 ::s 12 3x 1 + lx2 :::: 13 lx2 =

lx 1 X¡,

Xz

:2:

0

3


La representación en forma estándar para este problema es min

2xl

+

2x2

+

Os 1

+ Os2

sujeta a

lx 1 + 3x2 + ls 1 3x 1 + lx2 - ls2 lx 1

13

= 3

lx2

XI> X z , SI> Sz 2:

12

Ü

Este planteamiento requiere de una variable de holgura para la restricción de :;; y una variable de excedente para la restricción de 2:. Sin embargo, no se requiere variable de holgura ni de excedente para la tercera restricción, puesto que ya se encuentra en forma de igualdad. El procedimiento gráfico de resolución es una forma conveniente de encontrar soluciones en puntos extremos para problemas de programación lineal en dos variables. Cuando se resuelven programas lineales en forma gráfica no es necesario plantear el problema en su forma estándar. No obstante, se debe estar en posibilidades de calcular los valores de las variables de holgura y de excedente, y de comprender qué es lo que significan. En el Cap. 3 se verá que los valores de las variables de holgura y de excedente se incluyen en las soluciones de programas lineales por computadora. En el Cap . 5 se presenta un procedimiento algebraico de solución, el método símplex, que se puede utilizar para encontrar soluciones óptimas en puntos extremos para problemas de programación lineal que tiene hasta millares de variables de decisión. Los pasos matemáticos del método símplex implican la resoluCión simultánea de las ecuaciones que representan las restricciones del programa lineal. Por ello, al plantear un programa lineal para resolverlo mediante el método símplex, debe tenerse una ecuación lineal para cada restricción del problema; por lo tanto, el problema debe estar planteado en forma estándar . Como punto final, es importante darse cuenta de que la forma estándar de los problemas de programación lineal equivale al planteamiento original del problema. Es decir, la solución óptima de cualquier problema de programación lineal es la misma que la solución óptima para la forma estándar del problema. Tal forma no cambia el problema básico; sólo modifica la forma en que se plantean las restricciones para el problema.

2.8

CASOS ESPECIALES En esta sección se analizan tres situaciones especiales que pueden surgir cuando se intenta resolver problemas de programación lineal.

Soluciones óptimas alternativas A partir del análisis que se hizo del procedimienro gráfico de solución, se sabe que pueden encontrarse las soluciones óptimas en los puntos extremos de la región factible. Considérese ahora el caso especial en el que la recta de la función objetivo óptima coincide con la de algunas de las restricciones limitantes que se encuentran en el extremo de la región factible. Como se verá, esto puede conducir al caso de soluciones óptimas alternas; en estos casos, el valor óptimo de la función objetivo se obtiene a partir de más de una solución. Como ejemplo del caso de las soluciones óptimas alternativas, se regresa al problema de Par, Inc., que tiene cuatro restricciones y la región factible que se definió antes. Sin

56

CAPÍTULO DOS

embargo, ahora se supone que la utilidad proveniente de la bolsa estándar (x 1) ha disminuido a $6.30. La función objetivo modificada se convierte en 6.3x 1 + 9x2 • En la Fig. 2.17 se muestra la solución gráfica de este problema. Obsérvese que la solución óptima sigue ocurriendo en un punto extremo. De hecho, ocurre en dos extremos: el @) (x 1 = 300, x 2 = 420) y el G) (x 1 = 540, x 2 = 252). Los valores de la función objetivo en estos dos puntos extremos son idénticos; es decir, 6.3(300) + 9(420)

=

6.3x 1 + 9x 2

=

6.3x 1 + 9x2

= 6.3(540) + 9(252) = 5670

5670

y

Además, cualquier punto que se encuentra sobre la recta que une a los dos puntos extremos óptimos también ofrece una solución óptima. Por ejemplo, el punto de solución (x 1 = 420, x 2 = 336), que se halla a la mitad entre los dos puntos extremos, también proporciona el valor óptimo de la función objetivo de 6.3x 1 + 9x2

=

6.3(420) + 9(336)

=

5670

Por lo general, un problema de programación lineal que tiene óptimos alternativos es una buena situación para el administrador o para quien toma las decisiones. Significa que

800


FIGURA 2.17

El problema de Par, lnc., con una función objetivo de 6.3x 1 + 9x2 (óptimos alternos).


varias combinaciones de las variables de decisión son óptimas y que el administrador puede elegir la solución óptima específica que le resulte más deseable.

No factibilidad Ocurre la no factibilidad cuando no existe ninguna solución de un problema de programación lineal que satisfaga todas las restricciones, incluyendo las condiciones de no negatividad xl' x 2 ~ O. Gráficamente, la no factibilidad significa que no existe una región factible; es decir, no existen puntos que satisfagan todas las restricciones y todas las condiciones de no negatividad en forma simultánea. Para ilustrar esta situación, se regresará de nueva cuenta al problema de Par, lnc. Supóngase que los administradores han especificado que se deben fabricar cuando menos 500 bolsas estándares y cuando menos 360 de lujo. La gráfica de la región de soluciones puede construirse ahora para ilustrar estos nuevos requerimientos (Fig. 2.18). El área sombreada de la porción inferior izquierda de la gráfica ilustra los puntos que satisfacen las restricciones que tienen los departamentos sobre la disponibilidad de tiempo. El área sombreada de la porción superior derecha ilustra los puntos que satisfacen los requerimientos mínimos de producción de 500 bolsas estándares y 360 de lujo. Pero no existen puntos que satisfagan ambos conjuntos de restricciones. Por ello, se observa que si los administra-

800


FIGURA 2.18

No existe región factible para el problema de Par, Inc., con requisitos mínimos de producción de 500 bolsas estándares y 360 de lujo.

58

CAPÍTULO DOS

TABLA 2.2

Recursos que se requieren para fabricar 500 bolsas estándares y 360 bolsas de lujo

Operación Corte y teñido Costura Terminado Inspección y embalaje

Recursos mínimos que se requieren (horas) 7/ 10(500) 1/2(500) 1(500) 1/ 10(500)

+ 1(360) + 516(360) + 213(360) + 1/4(360)

= = = =

Recursos disponibles (horas) 710 550 740 140

630 600 708 135

Recursos adicionales que se necesitan (horas) 80 Ningunos 32 5

dores imponen esos requisitos mínimos de producción, no habrá ninguna solución factible para el modelo de programación lineal. ¿Cómo debe interpretarse la no factibilidad en términos de este último problema? En primer lugar, se debe señalar a los administradores que, dados los recursos disponibles (es decir, tiempos de corte y teñido, de costura, de terminado, y de inspección y embalaje), no es posible fabricar 500 bolsas estándares y 360 de lujo. Además, puede señalarse a los administradores exactamente qué cantidad adicional se debe obtener de cada uno de los recursos para hacer que resulte posible fabricar esa cantidad de bolsas. En la Tabla 2.2 se muestran las cantidades mínimas de recursos que se deben tener disponibles, las cantidades que están disponibles en la actualidad, y las cantidades adicionales que se requieren. Por ello, para satisfacer los requerimientos mínimos de producción que han fijado los administradores, se requieren 80 horas más para corte y teñido, 32 horas para terminado y 5 horas más para inspección y embalaje. Si, después de observar la información anterior, los administradores aún desean manufacturar las 500 bolsas estándares y las 360 bolsas de lujo, deben proporcionar los recursos adicionales. Es posible que esto signifique contratar a otro operario para que tabaje en el departamento de corte y teñido, transferir a alguna otra persona de alguna otra parte de la fábrica para que labore tiempo parcial en el departamento de terminado, o hacer que los operarios de costura ayuden periódicamente en las labores de inspección y embalaje. Como puede observarse existen muchas posibilidades para que los administradores emprendan acciones correctivas, una vez que se descubre que no existe solución factible. Lo que es importante observar es que el análisis de programación lineal puede ayudar a determinar si los planes de los administradores son factibles o no. Analizando el problema con programación lineal, con frecuencia pueden identificarse condiciones de no factibilidad y emprender acciones correctivas .

No acotamiento La solución de un problema de programación lineal es no acotada si el valor de la solución puede ser infinitamente grande, sin violar ninguna de las restricciones. A esta condición se la podría denominar "utopía gerencial". Si ocurriera tal condición en un problema de maximización de utilidades, sería un hecho que los administradores pudieran lograr utilidades ilimitadas. En los modelos de programación lineal de problemas reales, la ocurrencia de una solución no acotada significa que el problema se ha planteado en forma inapropiada. Se sabe que no es posible aumentar las utilidades en forma indefinida. Por lo tanto, debe concluirse


que, si un problema de maximización de utilidades da como resultado una solución no acotada, el modelo matemático no es una representación lo suficientemente precisa deL problema real. Por lo general, lo que sucede es que se omite, sin darse cuenta, una restricción en el planteamiento del problema. Como ilustración, considérese el sencillo ejemplo numérico:

max

20x 1 + 10x2

sujeta a lx 1 lx2 x 1, x2

~

2

:5

5

~O

En la Fig. 2.19 se grafica la región factible correspondiente a este problema. Obsérvese que sólo puede señalarse una parte de la región factible, puesto que se extiende en forma indefinida en la dirección del eje x,. Observando las rectas de la función objetivo de la figura 2.19, se aprecia que la solución a este problema puede hacerse tan grande como se desee. Es decir, sin que importe cuál sea la solución que se elija siempre existe alguna

20

15

10

La función objetivo aumenta sin límite

5

Región factible ....

FIGURA 2.19

Ejemplo de un problema no acotado.

60

CAPÍTULO DOS

solución factible con un valor mayor. Por ello, se dice que la solución a este programa lineal es no acotada.

NOTAS Y COMENTARIOS l. La no factibilidad es independiente de la función objetivo. Existe porque las restricciones son tan limitantes que no hay región factible para el modelo de programación lineal. Por ello, cuando se encuentran condiciones de no factibilidad, hacer cambios en los coeficientes de la función objetivo no es de ninguna utilidad; el problema sigue siendo factible. 2. El no acotamiento es con frecuencia resultado de una restricción que se omite. Sin embargo, un cambio en la función objetivo puede ocasionar que un problema que antes era no acotado se convierta en acotado y que, por ello, tenga una solución óptima. Por ejemplo, la gráfica de la Fig. 2.19 muestra una solución no acotada para la función objetivo 20x1 + 10x2 • Si embargo, cambiar la función objetivo a -20x 1 -10x2 ofrece la solución óptima x 1 = 2 y x 2 = O, aun cuando no se hacen cambios en las restricciones.

RESUMEN Se plantearon dos problemas, el de la compañía Par, Inc., y el de la empresa M&D Chemicals, como programas lineales, y se resolvieron utilizando un procedimiento gráfico. Se hizo notar, al estudiar el procedimiento gráfico de resolución, que si existe una solución óptima para un problema de programación lineal, se la puede encontrar en un punto extremo de la región factible. En el proceso de planteamiento de modelos matemáticos de problemas que se expuso en este capítulo, se desarrolló la siguiente definición general de un programa lineal. Un programa lineal es un modelo matemático que tiene las siguientes propiedades: l. Una función objetivo lineal que se debe maximizar o minimizar 2. Un conjunto de restricciones lineales 3. Variables que están todas restringidas a valores no negativos

Se vio cómo pueden utilizarse variables de holgura para plantear restricciones de menor que o igual a, en forma de igualdad, y la forma en la que pueden utilizarse variables de excedente para formular restricciones de mayor que o igual a, en forma de igualdad. Por lo general, puede interpretarse el valor de una variable de holgura como la cantidad no utilizada de un recurso, mientras que el valor de una variable de excedente señala la cantidad en la que se sobrepasa algún requisito mínimo planteado. Una vez que se han expresado todas las restricciones como igualdades, el programa lineal ha quedado planteado en su forma estándar. Se mostró que, en los casos de no factibilidad y no acotamiento, no existe solución óptima para el problema. En el caso de la no factibilidad, no existen soluciones factibles, mientras que en el caso del no acotamiento, puede hacerse que la función objetivo sea infinitamente grande para un problema de maximización, e infinitamente pequeña para un problema de minimización. Además, se analizó un tercer caso especial, el de óptimos alternativos. En este caso, se tenían dos puntos extremos óptimos alternos, y todos los puntos que caían sobre el segmento de unión eran también óptimos.


Aunque el procedimiento gráfico no se utiliza para resolver programas lineales grandes, la intuición que se desarrolla en este capítulo es útil para comprender la solución de cualquier programa lineal.

GLOSARIO Función objetivo Todos los programas lineales tienen una función objetivo lineal que debe maximizarse o minimizarse. En muchos problemas de programación lineal, la función objetivo se utiliza para medir utilidades o costos de una solución específica. Restricción Es una ecuación o desigualdad que elimina ciertas combinaciones de las variables de decisión como soluciones factibles. Función de restricción El lado izquierdo de una restricción (es decir, la porción de la restricción que contiene las variables). Solución Cualquier conjunto de valores para las variables. Solución óptima Una solución factible que maximiza o minimiza el valor de la función objetivo. Restricciones de no negatividad Conjunto de restricciones que exigen que todas las variables sean no negativas. Modelo matemático Representación de un problema en la que el objetivo y todas las condiciones de restricción se describen mediante expresiones matemáticas. Programa lineal Modelo matemático que tiene una función objetivo lineal, un conjunto de restricciones lineales y variables no negativas. Ecuaciones o funciones lineales Expresiones matemáticas en las que las variables aparecen en términos separados y están elevadas a la primera potencia. Solución factible Una solución que sarisface todas las restricciones. Región factible El conjunto de todas las soluciones factibles. Restricción redundante Restricción que no afecta a la región factible. Si una restricción es redundante, se la puede eliminar del problema sin afectar la región factible. Punto extremo Gráficamente hablando, los puntos extremos son puntos de solución factibles y ocurren en los vértices o "esquinas" de la región factible. En problemas con dos variables, los puntos extremos se determinan mediante la intersección de las rectas de restricción. Variable de holgura Es una variable que se añade al lado izquierdo de una restricción de menor que o igual a, para convertirla en una igualdad. El valor de esta variable puede, por lo general, interpretarse como la cantidad que no se utiliza de un recurso . Variable de excedente Una variable que se resta dellaé ")izquierdo de una restricción de mayor que o igual a, para convertirla en una igualdad. Por lo general, puede interpretarse el valor de esta variable como la cantidad en la que se sobrepasa algún nivel mínimo requerido. Forma estándar Un programa lineal en el que todas las restricciones se plantean como desigualdades. La solución óptima de la forma estándar de un programa lineal es la misma que la solución óptima del planteamiento original. Óptimos alternos La situación en la que un programa lineal tiene dos o más soluciones óptimas. No factibilidad El caso en el que no existen soluciones para el problema de programación lineal que satisfagan todas las restricciones. No acotamiento Se dice que un problema de maximización de programación lineal es no acotado, si el valor de la solución puede ser infinitamente grande sin infringir ningu-

62

CAPÍTULO DOS

na de las restricciones. Un problema de minimización es no acotado si puede hacerse que el valor de la solución sea infinitamente pequeño.

PROBLEMAS l. ¿Cuáles de las siguientes relaciones matemáticas se podrían encontrar en un modelo de programación lineal y cuáles no? Para las relaciones que son inaceptables para programas lineales, especifique las razones.

a. - Ix 1 + 2x 2 b. 2x¡ c. lx 1 -

2x~

d. 3~ +2x 2 e. 1x 1

f. 2x 1

+

Ix 3

-

70

:5

2x3 = 50

+ 4x 3 -

:5

Ix3

10

2:

15

+ 1x3 = 6 + 5x2 + 1x 1x 2 :5 25 Ix 2

2. Determine los puntos de solución factibles para las siguientes restricciones: a. 4x 1 + 2x2 :5 16 b. 4x 1 + 2x 2 2: 16 c. 4x 1 + 2x 2 = 16 3. Trazar las rectas de restricción es un paso esencial del método gráfico. Muestre una gráfica separada de las rectas de restricción y de las soluciones factibles para cada una de las siguientes restricciones: a. 3x 1 + 2x2 :5 18 b. 12x 1 + 8x2 2: 480 c. 5x 1 + 10x2 = 200 4. Muestre una gráfica separada de las rectas de restricción y de las soluciones factibles para cada una de las siguientes restricciones: a. 3x 1 - 4x 2 2: 60 b. -6x 1 + 5x2 :5 60 c. 5x 1 - 2x2 :5 O 5. En seguida se presentan las tres funciones objetivo de tres problemas de programación lineal: z = 7x 1 + 10x2

z = 6x 1 + 4x 2 z = -4x 1 + 7x2 Determine la pendiente de cada función objetivo. Muestre la gráfica de cada una de esas tres funciones objetivo para z = 420. 6. Resuelva el siguiente programa lineal: max

5x 1

+

5x2

sujeta a 1x 1 2x 1

:5

100

1x2

:5

80

+ 4x2

:5

400


7. Identifique la región factible para el siguiente conjunto de restricciones: Y2Xl

lx 1 V4Xl

+ l/4X2 ~ 30 + 5x2 ~ 250 + Y2X2 :5 50

x 1, x2

~O

8. Identifique la región factible para el siguiente conjunto de restricciones: 2x 1

lx2

:5

O

- lx 1

+ l.5x 2

:5

200

9. Identifique la región factible para el siguiente conjunto de restricciones:

3x 1

2x2 ~

2x 1

1x2

1x 1 x 1, x 2

O

:5

200

:5

150

~O

10. Considérese el siguiente problema de programación lineal: max 2x, sujeta a 1x 1

+ 3x2

+ 2x2 5x 1 + 3x2 x 1, x2

:5

6

:5

15

~O

Obtenga la solución óptima. ¿Cuál es el valor de la función objetivo de la solución óptima? 11. Considérese el siguiente problema de programación lineal: max 3x 1 sujeta a 2x 1

6x 1

+ 3x2

+ +

4x2

:5

12

4x2

:5

24

a. Encontrar la solución óptima. b. Si se cambia la función objetivo a 2x 1 + 6x2 , ¿cuál sería la solución óptima? c. ¿Cuántos puntos extremos existen? ¿Cuáles son los valores de x 1 y x 2 en cada punto extremo? 12. Considérese el siguiente problema de programación lineal: max 3x 1 sujeta a 2x,

+

2x2

+ 2x2 3x 1 + 2x2 1x 1 + .5x2 x 1, x 2

~O

:5

8

:5

12

:5

3

64

CAPÍTULO DOS

a. Obtener la solución óptima. ¿Cuál es el valor de b. ¿Tiene este problema una restricción redundante? solución si se elimina del problema la restricción 13. Considérese el siguiente probl ema de programación min x, + sujeta a x, +

la función objetivo? Si es así, ¿cuál es? ¿Cambia la redundante? Explique. lineal:

2x2 4x2 ::5 21

x2 2: 7 + 3x 1 + 1.5x2 ::5 21 2x 1 + 6x2 2: O

2x,

14.

15.

16.

17.

a. Halle la solución óptima y el valor de la función objetivo. b. Determine la cantidad de holgura o de excedente para cada restricción. c. Suponiendo que se cambia la función. objetivo a 5x 1 + 2x2 , halle la solución óptima y el valor de la función objetivo. ¿Qué rectas de restricción se combinan para formar el punto extremo@) para el problema de Par, Inc. (véanse las Figs. 2.6 y 2.14)? Resuelva las ecuaciones lineales simultáneas para mostrar que los valores exactos de x 1 y x 2 en este punto extremo son x 1 = 300 y x 2 = 420. Supóngase que los administradores de Par, In c., enfrentan cada una de las siguientes situaciones: a. El departamento de contabilidad modifica su estimación de la contribución que hace a las utilidades la bolsa de lujo y la fija en $18 por bolsa. b. Se encuentra ahora disponible un nuevo material de costo reducido para la bolsa estándar, y puede aumentarse la contribución a las utilidades por cada bolsa estándar, a $20 por bolsa. (Supóngase que la contribución a las utilidades de la bolsa de lujo es el valor original de $9). c. Ahora hay disponible un nuevo equipo de costura que aumentaría la capacidad de la operación de costura a 150 horas. (Supóngase que 10x1 + 9x2 es la función objetivo apropiada). Si se encontrara por separado cada una de estas condiciones, ¿cuál sería la solución óptima y la contribución a las utilidades para cada situación? Con referencia a la región factible para el problema de Par, lnc ., de la Fig. 2.14, a. Desarrolle una función objetivo que haga que el punto extremo 5 sea el punto extremo óptimo. b. ¿Cuál es la situación óptima utilizando la función objetivo que se seleccionó en la parte (a)? c. ¿Cuáles son los valores de las variables de holgura correspondientes a esta solución? La firma Kelson Sporting Equipment, In c., fabrica dos tipos de guantes para béisbol: un modelo normal y el modelo para catcher. La empresa tiene 900 horas de tiempo Tiempo de producción (horas)

Corte Modelo Modelo normal Modelo para catcher

y costura

3/2

Terminado V2 VJ

Empaque y envio

Utilidad por guante

'/s

$5 $8

v.


de producción disponibles en su departamento de corte y costura, 300 horas disponibles en su departamento de terminado, y 100 horas disponibles en su departamento de empaque y envíos. Los requisitos de tiempo de producción y las utilidades por guante son las que se presentan en la tabla de la página anterior. a. Suponiendo que la compañía desea maximizar las utilidades, ¿cuántos guantes de cada modelo debe fabricar? b. ¿Cuál es la utilidad que la Kelson puede obtener con las anteriores cantidades de producción? c. ¿Cuántas horas de producción se programarán en cada departamento? d. ¿Cuál es el tiempo de holgura en cada departamento? 18. La firma Erlanger Manufacturing Company fabrica dos productos. Las estimaciones de las utilidades son de $25 (dólares) por cada unidad que se venda del producto 1, y $30 por cada unidad que se venda del producto 2. En seguida se resumen los requerimientos de mano de obra por hora para los productos en cada uno de tres departamentos:

Departamento A Departamento B Departamento C

Producto 1

Producto 2

1.50 2.00 .25

3.00 1.00 .25

Los supervisores de producción de cada departamento han estimado que estarán disponibles las siguientes cantidades de mano de obra para el siguiente mes: 450 horas en el departamento A, 350 horas en el departamento B, y 50 horas en el departamento C. Suponiendo que a la empresa le interesa maximizar las utilidades, responda lo siguiente: a. ¿Cuál es el modelo de programación lineal para este problema? b. Obtenga la solución óptima. ¿Qué cantidad se debe fabricar de cada producto, y cuál es la utilidad que se proyecta? c. ¿Cuál es el tiempo programado de producción y el tiempo de holgura en cada departamento? 19. La Yard Care, In c., fabrica diversos productos para jardín, incluyendo dos fertilizantes muy conocidos. Cada uno de los fertilizantes es una mezcla de dos materias primas conocidas como K40 y K50. Durante el periodo de fabricación actual existen disponibles 900 libras de K40 y 400 libras de K50. Cada libra del producto llamado "Jardín Verde" utiliza 3/ 5 de libra de K40 y 2/ 5 de K50. Cada libra del producto designado como "Atención al Jardín" utiliza J / 4 de libra de K40 y 1/ 4 de libra de K50. Además, un determinado límite sobre la disponibilidad en materiales de empaque restringe la producción de "Atención al jardín" a un máximo de 500 libras. a. Si la contribución a las utiliddes para ambos productos es de $3 (dólares) por libra, ¿cuántas libras debe fabricar la compañía de cada producto? b. Debe preocuparle a la compañía que la disponibilidad de materiales de empaque esté restringiendo la producción de "Atención al jardín"? ¿Qué sucedería con las cantidades de producción y con las utilidades esperadas si la empresa pudiera eliminar la restricción sobre la cantidad de Atención al jardín que se puede fabricar? 20. lnvestment Advisors, Inc., es una empresa de corretaje que administra carteras de acciones para diversos clientes. Un nuevo cliente ha solicitado a la empresa manejar una cartera de inversiones de $80 000. Como estrategia inicial de inversión, al cliente le gustaría restringir la cartera a una mezcla de las siguientes acciones:

66

CAPÍTULO DOS

Acción

Rendimiento Anual Estimado por Acción

Precio por Acción

U.S. Oil Hub Properties

$25 $50

lndice de Riesgo por Acción

.50 .25

$3 $5

El índice de riesgo para las acciones es una calificación sobre el riesgo relativo de las dos alternativas de inversión. Para los datos que se proporcionan, se considera que la inversión en U.S. Oil es la más riesgosa. Al limitar el riesgo total de la cartera, la empresa de inversiones evita colocar cantidades excesivas de la cartera en inversiones que pudieran potencialmente producir altos rendimientos, pero que también implican altos riesgos. Para esta cartera se ha fijado un límite superior de 700 para el índice de riesgo total de todas las inversiones. Además, la empresa ha fijado un límite superior de 1000 acciones pertenecientes a la U .S. Oil, que son las más riesgosas. ¿Cuántas acciones de cada tipo se deben comprar con objeto de maximizar el rendimiento anual total? 21. Considérese el siguiente programa lineal: min

3x 1

+

4x2

sujeta a

+ 3x2 lx 1 + lx2 lx 1

X¡, Xz ~

~

6

~

4

Ü

Identifique la región factible y obtenga la solución óptima. ¿Cuál es el valor de la función objetivo? 22. Identifique las tres soluciones de puntos extremos para el problema de la M&D Chemical (véase la Secc. 2. 7). Identifique el valor de la función objetivo y los valores de las variables de holgura y de excedente en cada punto extremo. 23. La firma Greentree Kennels, lnc., ofrece alojamiento nocturno para diversos tipos de mascotas. Una característica especial de Greentree es la calidad de la atención que se da a las mascotas, incluyendo excelentes alimentos. El alimento para perros del albergue se hace mezclando dos productos alimenticios caninos de alta calidad para obtener lo que en el albergue se denomina "dieta bien balanceada para perros". Los datos de los dos alimentos son los siguientes:

Alimento para perros

Bark Bits Canine Chow

Costo por onza

$.06 $.05

Proteínas (OTo)

30

20

Grasas (Olo)

15 30

Si Greentree desea asegurarse de que los canes reciben cuando menos 5 onzas de proteínas y cuando menos 3 onzas de grasas por día, ¿cuál es la mezcla de costo mínimo de los dos productos alimenticios para perros?


24. J ack Kammer ha estado tratando de determinar la cantidad correcta de fertilizante que debe aplicar a su jardín. Después de hacer que la agencia agrícola local analizara el suelo, se le aconsejó poner cuando menos 60 libras de nitógeno, 24libras de compuestos de fósforo y 40 libras de compuestos de potasio durante la es.tación. Se debe aplicar en mayo un tercio de la mezcla, otro tercio en julio y otro tercio a finales de septiembre. Después de verificar en las tiendas locales de descuento, Jack encuentra que en esos momentos una tienda tiene una venta especial de fertilizante empacado . Un tipo de los que están en venta es la mezcla 20-5-20 que contiene 200Jo de nitrógeno, 5% de compuestos de fósforo y 20% de compuestos de potasio, y se vende a $4 (dólares) la bolsa de 20 libras . El otro tipo que está en venta es una mezcla de 10-10-5 que se vende en $5 (dólares) la bolsa de 40 libras. A Jack le gustaría saber cuántas bolsas de cada tipo debe comprar de manera que pueda combinar los ingredientes y formar una mezcla que satisfaga los requerimientos mínimos aconsejados por la agencia agrícola. Al igual que todos los propietarios de casas con jardínes grandes, le gustaría gastar lo menos que fuera posible para mantener a su jardín en buen estado. ¿Qué es lo que debe hacer nuestro amigo? 25. Car Phones, In c., vende dos modelos de teléfono para automóvil: el x y el y. Los registros muestran que se invierten 3 horas de tiempo de ventas para cada modelo de teléfono x, que se vende, y 5 horas para cada modelo y. Para el siguiente periodo de cuatro semanas existe un total disponible de 600 horas de tiempo de ventas. Además, las políticas de planeación de la empresa exigen objetivos de venta de 25 unidades cuando menos para ambos modelos. a. Muestre la región factible para el problema de Car Phones, Inc . b. Suponiendo que la compañía obtiene una contribución a las utilidades de $40 (dólares) por cada modelo x que se vende, y una de $50 por cada modelo y vendido , ¿cuál es la meta óptima de ventas para la compañía, para el siguiente periodo de cuatro semanas? c. Elabore una restricción y muestre la región factible, si los administradores incluyen la restricción de que Car Phones debe vender la misma cantidad de modelos y que de modelos x d. ¿Cuál es la nueva solución óptima si se incluye en el problema la restricción planteada en el inciso (e)? 26. Cats es un nuevo producto alimenticio para mascotas. Cada bote de 16 onzas de Cats es una mezcla, o combinación, de dos ingredientes alimenticios para mascotas. Sean

x1 x2

núm. de onzas del ingrediente A en lata de 16 Oz. núm. de onzas del ingrediente B en lata de 16 Oz.

Cada onza del ingrediente A contiene 112 onzas de proteínas y 11s de onza de grasas. Cada onza del ingrediente B contiene IIIo de onza de proteínas y I/3 de onza de grasas. Las restrricciones implican que un bote de 16 onzas de Cats debe contener cuando menos 4 onzas de proteínas y 2.5 onzas de grasas. Si el ingrediente A cuesta $.04 (dólares) por onza y el ingrediente B cuesta $0.3 la onza, ¿cuál es la mezcla de costo mínimo de los ingredientes A y B para cada lata de 16 onzas? Identifique e interprete Jos valores de las variables de excedente para este problema. 27. La empresa Innis Investments administra los fondos de diversas compañías y clientes de alto poder económico. La estrategia de inversión se diseña en especial para las necesidades de cada cliente. Un cliente nuevo ha autorizado a la Innis invertir hasta 1.2 millones de dólares en dos fondos de inversión: uno de acciones y uno de mercado de dinero.

68

CAPÍTULO DOS

Cada unidad del fondo de acciones cuesta $50 (dólares) y ofrece una tasa anual de rendimiento de 100Jo; cada unidad del fondo de mercado de dinero cuesta $100 y ofrece una tasa de rendimiento anual de 40Jo. El cliente desea minimizar el riesgo, sujeto al requisito de que los ingresos anuales de la inversión sean de cuando menos $60 000. De acuerdo con el sistema de medición de Innis, cada unidad invertida en el fondo de acciones tiene un índice de riesgo de 8, y cada unidad que se invierte en el fondo de mercado de dinero tiene un índice de riesgo de 3. El índice mayor asociado al fondo de acciones simplemente señala que el riesgo de la inversión es mayor . El cliente de Innis también ha especificado que se deben invertir cuando menos $300 000 en el fondo de mercado de dinero. a. Determine cuántas unidades de cada fondo debe adquirir Innis para que el cliente pueda minimizar el índice de riesgo total de la cartera. b. ¿Cuántos ingresos anuales se generarán en esta estrategia de inverión? c. Supóngase que el cliente desea maximizar el rendimiento anual. ¿Cómo se deben invertir los fondos? 28. Bryant's Pizza lnc . fabrica pizzas congeladas . La compañía obtiene una utilidad de $1.00 (dólares) por cada pizza normal que fabrica y $1.50 por cada pizza de lujo. Cada artículo incluye una combinación de mezcla de masa y de mezcla de aderezo. En estos momentos, la empresa tiene 150 libras de masa y 50 libras de aderezo. Cada piza regular utiliza una libra de masa y 4 onzas de aderezo . Con base en demandas pasadas, Bryant estima que puede vender cuando menos 50 pizzas regulares y cuando menos 25 pizzas de lujo. ¿Cuántas pizzas regulares y de lujo debe fabricar la compañía con objeto de maximizar las utilidades? a. Exprese el problema anterior en forma estándar. b. ¿Cuáles son los valores y las interpretaciones de todas las variables de holgura y de excedente? c. ¿Qué restricciones acotan la solución óptima? 29. Wilkinson Motors, Inc. vende automóviles estándares y camionetas. La empresa obtiene una utilidad de $400 (dólares) por cada automóvil que vende y $500 por cada camioneta. La compañía está planeando el pedido para el siguiente trimestre, del cual el fabricante manifiesta que no puede exceder de 300 automóviles y de 150 camionetas . El tiempo de preparación que requiere el distribuidor es de 2 horas por cada automóvil y de 3 horas por cada camioneta. Para el siguiente trimestre, la compañía dispone de 900 horas de tiempo de taller para la preparación de los automóviles. ¿Cuántos automóviles y cuántas camionetas se deben pedir para maximizar las utilidades? a. Mostrar el modelo de programación lineal para el problema anterior. b. Mostrar la forma estándar e identificar las variables de holgura. c. Identificar los puntos extremos de la región factible. d. Encontrar la solución óptima. e. ¿Qué restricciones son acatantes? 30. En Ryland Farms, en el noroeste del estado de Indiana, se cultiva frijol de soya y maíz en 500 acres de terreno. Un acre de frijol de soya produce utilidades de $100 (dólares) y un acre de maíz produce utilidades de $200. Debido a un programa gubernamental, no se pueden plantar más de 200 acres de frijol de soya. Durante la época de siembra, se dispondrá de 1200 horas de tiempo para sembrar. Cada acre de frijol de soya requiere de dos horas mientras que cada acre de maíz requiere de 6 horas. ¿Cuántos acres de frijol de soya y cuántos acres de maíz se deben plantar con el objeto de maximizar las utildades? a. Muestre el modelo de programación lineal para el problema anterior.


b. c. d. e.

Muestre la forma estándar e identifique todas las variables de holgura. Obtenga la solución óptima. Identifique los puntos extremos de la región factible. Si la granja pudiera obtener más horas de mano de obra para plantar, o bien terrenos adicionales, qué es lo que debería primordialmente intentar obtener, ¿por qué? 31. RMC es una empresa pequeña que fabrica diversos productos químicos. En un determinado proceso de producción, se mezclan o combinan tres materias primas para fabricar dos productos: un aditivo para combustible y una base disolvente. Cada tonelada de aditivo para combustible es una mezcla de 215 de tonelada del material 1, y 315 de tonelada del material 3. Una tonelada de base disolvente es una mezcla de 112 tonelada del material 1, 1/ 5 de tonelada del material 2, y 3/ 10 de tonelada del material 3. Después de deducir los costos correspondientes, la compañía obtiene $40 (dólares) por cada tonelada de aditivo de combustible que se fabrica y $30 por cada tonelada de base disolvente que se produce. La producción de RMC está limitada por una disponibilidad restringida de las tres materias primas. Para el periodo de producción actual, la RMC tiene a disposición las siguientes cantidades de cada una de las materias primas.

Materia prima

Cantidad disponible para producción

Materia 1 Materia 2 Materia 3

20 toneladas 5 toneladas 21 toneladas

a. Dada la limitada disponibilidad de materias primas, ¿cuántas toneladas de cada producto se deben fabricar con objeto de maximizar las utilidades? ¿Cuál es la utilidad máxima? b. ¿Existe material que no se utiliza? Si es así, ¿cuánto? c. ¿Existen cualesquiera restricciones redundantes? Si es así, ¿cuáles son? 32. Reconsidérese la situación de la RMC que se planteó en el problema 31. a. Identifique todos los puntos extremos de la región factible. b. Supóngase que RMC descubre una nueva manera de incrementar las utilidades de la base disolvente a $60 por tonelada. ¿Modifica esto la solución óptima? Si así fuera, ¿de qué modo? c. Supóngase que la utilidad para la base disolvente es de $50 por tonelada. ¿Cuál es ahora la solución óptima? Comentar sobre cualquier característica especial que pudiera existir para la base solvente con estas utilidades. 33. Reconsidérese la situación de la RMC que se presentó en el problema 31. Supóngase que los administradores añaden los requisitos de que se deben fabricar cuando menos 30 toneladas de aditivos para combustibles y cuado menos 15 toneladas de la base solvente. a. Grafique las restricciones para este problema modificado de la RMC. ¿Qué sucede con la región factible? Explique. b. Si no existen soluciones factibles, explique lo que se requiere para fabricar 30 toneladas de aditivo de combustible y 15 toneladas de base disolvente.

70

CAPÍTULO DOS

34. Considérese el siguiente problema lineal:

max

+

1x 1

2.x2

sujeta a 1x 1 1x2

+

2.xl

::5

5

::5

4 12

2.x2

x 1, x 2

~O

a. Muestre la región factible b. ¿Cuáles son los puntos extremos de la región factible? c. Encuentre la solución óptima utilizando el procedimiento gráfico. 35. Considérese el siguiente programa lineal: m in

+

2xl

2.x2

sujeta a

+ 3x2 3x 1 + 1x2

::5

12

~

13

1x 1

=

3

1x 1

1x2

xt> x 2 ~ O

a. Muestre la región factible. b. ¿Cuáles son los puntos extremos de la región factible? c. Encuentre la solución ópitma utilizando el procedimiento gráfico. 36. Plantee el siguiente programa lineal en forma estándar:

max

2.x2

+ 8x3

lx 1

2.x2

+ Y2x 3

::5

420

2x 1

+ 3x2

1x3

::5

610

6x 1

1x2

+ 3x3

::5

125

5x 1

+

sujeta a

X 1, X2 ,

x3

-

~

0

37. Para el programa lineal

max

4x 1

+ 1x2

sujeta a

+ 3x 1 + 2xt +

lOx 1

2.x2 ::5

30

2x 2 ::5

12

2.x2 ::5

10

x 1 , x2

~O

a. Plantee este problema en forma estándar. b. Resuelva el problema.

c. ¿Cuáles son los valores de las tres variables de holgura en la solución óptima?


38. Dado el programa lineal max

3x 1 + 4x2

sujeta a -1x 1 + 2x2

:S

8

1x 1 + 2x2

:S

12

2x¡ + 1x2 ::s 16 x 1, x2

;::::

O

a. Plantee el problema en forma estándar. b. Resuelva el problema. c. ¿Cuáles son los valores de las tres variables de holgura en la solución óptima? 39. Para el programa lineal min

6x 1 + 4x 2

sujeta a

2x¡ + lx2 ;:::: 12 1x 1 + 1x2

;::::

lO

1x2

:S

4

x 1 , x2

O

;::::

a. Escriba el problema en forma estándar. b. Resuelva el problema utilizando el procedimiento gráfico de solución. c. ¿Cuáles son Jos valores de las variables de holgura y de excedente? 40. ¿Existen no factibilidad, no acotamiento y1o soluciones óptimas alternas en el siguiente programa lineal? Explique. max

4x 1

+

2x¡

+ 2x2 :S 10 + lx2 ;:::: 8

8x2

sujeta a -1x 1

0

X¡, Xz;::::

41. ¿Existen no factibilidad, no acotamiento y/o soluciones óptimas alternas en el siguiente programa lineal? Explique. max

Ix 1

+

lx2

sujeta a 8x 1 4x 1

+ 6x2 + 6x2

;::::

24

;::::

-12

2xz;::::

4

X¡, Xz;::::

0

72

CAPÍTULO DOS

42. Considérese el siguiente programa lineal: max

1x 1 + 1x2

sujeta a

5x 1 + 3x2 :s 15 3x 1 + 5x2 :s 15 X¡, Xz;::::: Ü

a. ¿Cuál es la solución óptima para este problema? b. Supóngase que se cambia la función objetivo a lx 1 + 2x2 • Obtenga la nueva solución óptima. c. Ajustando el coeficiente de x 2 en la función objetivo, desarrolle una nueva función objetivo que haga que las soluciones que se encontraron en la parte (a) y (b) anteriores, se conviertan en soluciones óptimas alternas. 43. Considérese el siguiente programa lineal:

1x 1

max

-

2x2

sujeta a -4x 1 lx 1

a. b. c. d.

44. 45.

46.

47.

+ 3x2

:S

3

lx 2 :s 3

Grafique la región factible para el problema. ¿La región factible es no acotada? Explique. Halle la solución óptima. ¿Una región factible no acotada implica que la solución óptima para el programa lineal es no acotada? Analice lo que sucedería con el problema de M&D Chemicals (véase la Secc. 2. 7) si se aumenta a $3.00 el costo por galón del producto l. ¿Qué recomendaría? Explique. Para el problema de M&D Chemicals de la Secc. 2. 7, analice el efecto que tendría una solicitud de los administradores de que la producción total de los dos productos fuera de 500 galones. Ennumere dos o tres acciones que M&D pudiera considerar para corregir la situación que se enfrenta. Reconsidere el ejemplo Kelson Sporting Equipment, Inc. (Prob. 17). Comente los conceptos de no factibilidad, no acotamiento y óptimos alternos, según se presentan en cada una de las siguientes situaciones: a. Los administradores han determinado la producción de guantes de béisbol (modelos normal y para catcher) sea tal que el número total de guantes que se fabriquen sea de cuando menos 750. Es decir, lx 1 + lx2 ~ 750. b. Se debe resolver de nueva cuenta el problema original porque se deben ajustar las utilidades para el modelo normal, que ahora son de $4 por guante. c. ¿Qué tendría que suceder en este problema para que fuera no acotado? A los administradores de la firma High Tech Services (HTS) les gustaría elaborar un modelo que ayudara a asignar el tiempo del que disponen los técnicos entre llamadas de servicio para atender a los clientes con contratos regulares y a los clientes nuevos. Para el periodo de planeación de dos semanas se tiene disponible un máximo de 80 horas de tiempo de los técnicos. Con objeto de satisfacer los requisitos de flujo de

PROGRAMACIÓN LINEAL: MÉTODO GRÁFICO

73

efectivo, deben generarse, durante ese periodo de dos semanas, cuando menos $800 (dólares) de ingresos por técnico. El tiempo de los técnicos con clientes regulares genera $25 por hora. Sin embargo, el tiempo dedicado a clientes nuevos genera solamente un promedio de $8 por hora porque, en muchos casos, los contactos con clientes nuevos no implican servicios gravables. Para asegurar que se conservan la comunicación con los clientes nuevos, el tiempo que los técnicos invierten en los contactos con nuevos clientes debe ser de cuando menos 60 0Jo del tiempo que invierten en el trato con los clientes regulares. Considerando los requerimientos anteriores de ingresos y de política, a HTS le gustaría determinar la forma de asignar el tiempo de los técnicos entre clientes regulares y clientes nuevos, de manera que se maximice el tiempo total en que se atiende a los clientes durante el periodo de dos semanas . Los técnicos requieren un promedio de 50 minutos para cada trato o contacto con clientes regulares, y de una hora para cada comunicación con clientes nuevos. a. Elabore un modelo de programación lineal que permita a HTS determinar la forma en la que debe asignar el tiempo de los técnicos entre clientes regulares y clientes nuevos . b. Grafique la región factible. c. Resuelva las ecuaciones lineales simultáneas apropiadas para determinar los valores de x 1 y x 2 en cada punto extremo de la región factible. d. Obtenga la solución óptima .

CASO DE APLICACIÓN PRÁCTICA

ESTRATEGIA DE PUBLICIDAD La empresa Midtown Motors, Inc . ha contratado a una empresa de servicios de mercadotecnia para que elabore una estrategia de publicidad destinada a promover la venta de los automóviles usados de la Midtown. La empresa de mercadotecnia ha recomendado a Midtown utilizar anuncios tanto en la televisión como en la radio, como los medios de publicidad idóneos para la campaña promociona! que se propone. Los lineamientos de la estrategia de publicidad se expresan de la siguiente manera: l.

2. 3.

Utilizar anuncios para la cobertura combinada en radio y televisión. No emplear más de 25 anuncios por radio. El número de anuncios radiofónicos no puede ser menor que el número de anuncios por televisión.

La estación televisara ha cotizado un costo de $1 200 (dólares) por anuncio, y la radiodifusora ha cotizado uno de $300 por anuncio. Se ha determinado que el presupuesto publicitario de Midtown es de $25 500. La empresa de servicios de mercadotecnia ha evaluado diversos medios de publicidad en términos de la radio y tele audiencia que cubren y de la capacidad de recordación del anuncio. Para los medios de publicidad alternos de los que dispone Midtown, se ha calificado el anuncio por televisión con 600 y el anuncio por radio con 200. Al presidente de la firma le gustaría saber cuántos anuncios por radio y cuántos por televisión se deben utilizar para maximizar la calificación global de la campaña de publicidad . El funcionario estima que la estación televisara consideraría la exhibición de sus anuncios en su programa nocturno de noticias de calificación elevada (al mismo costo), si Midtown considerara contratar una mayor cantidad de anuncios por televisión.

74

CAPÍTULO DOS

REPORTE GERENCIAL Analice la estrategia de publicidad de Midtown Motors y elabore un reporte para el presidente de la empresa en el que exponga su análisis y sus recomendaciones . Incluya (pero no limite la conclusión a esto) una consideración de lo siguiente: a. b. c.

El número de anuncios en radio y televisión que son de recomendar . Los méritos relativos de cada medio de difusión . La calificación que sería necesaria para el programa de noticias, a fin de que tuviera sentido aumentar el número de anuncios por televisión. d. El número de anuncios en la televisión que se contratarían si la calificación del programa de noticias es lo suficientemente alta para hacer que resulte aconsejable incrementar el número de anuncios televisivos. e. Las restricciones sobre la estrategia de publicidad que Midtown podría relajar o alterar. f. El mejor uso que pueda hacerse de cualquier aumento posible en el prsupuesto de publicidad. g. Cualquier otra información que pueda ayudar al presidente de Midtown a tomar su decisión sobre la estrategia de publicidad. Incluya en el reporte una copia del modelo de programación lineal y de la solución gráfica.

3 _____ Programación lineal: Análisis de sensibilidad y resolución pór computadora

En este capítulo se ofrece una introducción al análisis de sensibilidad y al uso de las computadoras para resolver problemas de programación lineal. El análisis de sensibilidad que se realiza sobre la solución óptima ofrece información complementaria que es valiosa para quien toma las decisiones. Después de mostrar cómo se puede llevar a cabo el análisis de sensibilidad utilizando un método gráfico, se ilustra cómo puede utilizarse The Management Scientist, un paquete de programas (software) para microcomputadora que resuelve problemas de programación lineal, a fin de dar solución a los problemas de las empresas Par, Inc., y M&D Chemicals, que se presentaron en el Cap. 2. Al analizar la resolución por computadora de estos problemas, se destacará la interpretación de los resultados por computadora, que incluyen la solución óptima e información acerca del análisis de sensibilidad. El capítulo termina con un análisis del planteamiento, de la solución por computadora y del análisis de sensibilidad de un problema de programación lineal que tiene más de dos variables de decisión. En un apéndice del capítulo se describe la forma en que puede emplearse para resolver problemas de programación lineal el bien conocido paquete para microcomputadora Lindo/PC, elaborado por Linus Scharge, de la Universidad de Chicago.

3.1

INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD El análisis de sensibilidad es el estudio de la forma en la que afectan a la solución óptima los cambios en los coeficientes de un programa lineal. Utilizando análisis de sensibilidad puede responderse a preguntas como las siguientes: l. ¿Cómo afectará a la solución óptima un cambio en un coeficiente de la función objetivo? 2. ¿Cómo afectará a la solución óptima un cambio en el valor del segundo miembro de una restricción?

Como el análisis de sensibilidad se ocupa de la forma en que los cambios anteriores afectan a la solución óptima, el análisis no comienza sino hasta que se obtiene tal solución al proble75

76

CAPÍTULO TRES

ma de programación lineal original. Por este motivo, al análisis de sensibilidad con frecuencia se le denomina análisis de post-optimidad. La principal razón de la importancia del análisis mencionado para quienes toman las decisiones es que los problemas reales ocurren en un medio ambiente dinámico . Los precios de las materias primas varían, la demanda fluctúa, las compañías adquieren máquinas nuevas para reemplazar a las antiguas, los mercados globales de mano de obra ocasionan cambios en los costos de producción, se tiene rotación en los empleos, etcétera. Si se ha utilizado un modelo de programación lineal en un entorno con estas características, puede esperarse que cambien en el tiempo algunos de los coeficientes. Los administradores desearán determinar la forma en que esos cambios afectan a la solución óptima del problema primitivo de programación lineal. El análisis de sensibilidad ofrece la información que se requiere para responder a esos cambios, sin que sea necesario obtener la solución completa de un programa lineal modificado. Recuérdese el problema de la compañía Par, In c., que se presentó en el capítulo 2. max 10 x 1 + sujeto a (s .a.)

9x2

+ 1x2 5 + s16X2 5 1 1x1 + uJX 2 5 11 1UX + 114X2 5 1

11 1UX

1

112X

xl' x 2

~

630 600 708 135


O

La solución óptima x 1 = 540 bolsas de tipo estándar y x 2 = 252 bolsas de lujo, se basa en cifras de utilidades de $10 por bolsa estándar y $39 por bolsa de lujo . Sin embargo, supóngase que se sabe -posteriormente- que debido a una reducción en el precio, la contribución a las utiliddes de las bolsas estándares se reduce a $7. Puede utilizarse el análisis de sensibilidad para determinar si el programa de producción de 540 bolsas estándares y 252 bolsas de lujo sigue siendo la mejor solución. Si lo es, no habrá necesidad de resolver un programa lineal modificado que tenga 7x 1 + 9x2 como función objetivo. Se puede utilizar también el análisis de sensibilidad para determinar cuáles de los coeficientes de un modelo de programación lineal son más críticos. Por ejemplo, supóngase que los administradores de la multicitada Par, Inc., consideran que una contribución a las utilidades de $9 para la bolsa de lujo es sólo una estimación burda de la contribución que realmente se obtendrá. Si el análisis de sensibilidad muestra que la solución óptima son 540 bolsas estándares y 252 bolsas de lujo, siempre y cuando la contribución a las utilidades de las bolsas de lujo sea de entre $5 y $13, los administradores deben quedar acordes con la estimación aproximada de $9 por bolsa y con las cantidades de producción que se recomiendan. Sin embargo, si el análisis de sensibilidad muestra que es óptima la solución óptima de 540 bolsas de tipo estándar y 252 bolsas de lujo sólo si la contribución a las utilidades para la bolsa de lujo se encuentra entre $8.90 y $9.25, es posible que deseen revisar la precisión de la utilidad esperada de $9 por bolsa. Otro aspecto del análisis de sensibilidad se refiere a los cambios en los lados derechos de las restricciones. Recuérdese que en el problema de Par, Inc., la solución óptima utilizaba todo el tiempo de corte y teñido y todo el tiempo de terminado. ¿De qué manera cambiaría la solución óptima y la utilidad total si la empresa pudiera obtener tiempo adicional para cualquiera de esas operaciones? El análisis de sensibilidad puede ayudar a determinar cuánto vale cada hora adicional y cuántas horas se pueden adicionar antes de que comiencen a ocurrir los rendimientos decrecientes .

PROGRAMACIÓN LINEAL: ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Y RESOLUCIÓN POR COMPUTADORA 77

3.2

ANÁLISIS GRÁFICO DE SENSIBILIDAD Se pueden utilizar métodos gráfi cos de solución para problemas de programación lineal con dos variables de decisión con el objeto de realizar análisis de sensibilidad sobre los coeficientes de la función objetivo y sobre los valores en el seg· .,d0 miembro de las restricciones.

Coeficientes de la función objetivo Considérese cómo podrían afectarse los cambios de los coeficientes de la función objetivo a la solución óptima para el problema de Par, Inc. La actual contribución a las utilidades es $10 por unidad de la bolsa estándar y $9 por unidad para la bolsa de lujo . Parece evidente que un aumento en la contribución a las utilidades por parte de una de las bolsas para golf podría hacer que los administradores aumentaran la producción de ese artículo, y que una disminución en el aporte a las utilidades de una de las bolsas podría ocasionar que los administradores disminuyeran la producción de ese adminículo. Pero no resulta tan evidente cuánto tendría que cambiar la contribución a las utilidades para que los administradores desearan cambiar las cantidades de producción. La actual solución óptima para el problema de Par, Inc., indica la fabricación de 540 bolsas estándares y 252 bolsas de lujo. El intervalo de optimidad para cada coeficiente de la función objetivo muestra la gama de valores sobre los cuales la solución del momento sigue siendo óptima. La atención de los administradores se debe concentrar en los coeficientes de la función objetivo que tienen un intervalo de optimidad estrecho y en los coeficientes que se encuentran cerca de los extremos de dicho intervalo. Son éstos los coeficientes en donde un cambio pequeño puede implicar la necesidad de modificar la solución óptima. Se procederá ahora a calcular los márgenes de optimidad para el problema de Par , In c. En la Fig. 3.1 se muestra la solución gráfica del problema. Una inspección cuidadosa de la gráfica indica que mientras la pendiente de la función objetivo se encuentra entre la pendiente de la recta A (la cual coincide con la recta de restricción de corte y teñido) y la pendiente de la recta B (que coincide con la recta de restricción de acabado) el punto extremo G) con x 1 = 540 y x 2 = 252 será el óptimo. Cambiar un coeficiente de la función objetivo para x, o x2 tt:ndrá como resultado variar la pendiente de la función objetivo . En la Fig. 3.1, se observa que estos cambios ocasionan que la recta de la función objetivo gire sobre el punto extremo(}). Sin embargo, en tanto que la recta mencionada permanezca dentro de la región sombreada, el punto extremo G) seguirá siendo óptimo. Girar la recta de la función objetivo en sentido contrario al del reloj ocasiona que la pendiente se vuelva menos negativa y que, por ello, aumente la pendiente. Cuando dicha recta ha girado lo suficiente en sentido contrario al del reloj (aumento en la pendiente) para que coincida con la recta A, se obtienen óptimos alternos entre los puntos extremos G) y @). Si prosi~ue el gir~ de la recta de la función ot;ietivo en senti.do.contrari.o a las mane~illas del reloJ, se ocaswna que el punto extremo (1) ya no sea opumo. As1 que la pend1ente de la recta A fija un límite superior para la pendiente de la recta de la función objetivo. Girar tal recta en el sentido de las manecillas del reloj hace que la pendiente se vuel va cada vez más negativa y que, por tanto, disminuya. Cuando se ha girado la recta de la función objetivo lo suficiente en el sentido del reloj (disminución de la pendiente) para que coincida con la recta B, se obtienen óptimos alternos entre los puntos extremos G) y @ . Continuar el giro de la recta de la función objetivo en el sentido d~>xtro rso ocasio na

78

CAPÍTULO TRES

Recta B (coincide con la recta de restricción de terminado .

800

\ lx 1 + 2¡rc 2 = 708 )

'/ \

\ \

\

o

\

E

\

\

O)

'O

\

"'

\

o"'"'

\

.D O)

\

\

'O

2

\

O)

E

\

·::>

z

Recta A ~

Región factible

200

CD

0~--------~2~0~0---------4~0~0----------~~~~~~~----X¡

\

Número de bolsas estándares

FIGURA 3.1

Solución gráfica del problema de Par, Inc., en donde la pendiente de la función objetivo está entre las pendientes de las rectas A y B; el punto extremo G) es óptimo.

que el punto extremo G) ya no sea óptimo. Por ello, la pendiente de la recta B fija un límite inferior para la pendiente de la recta citada. Del análisis anterior, debe resultar evidente que el punto extremo G) será la solución óptima siempre y cuando Pendiente de la recta B la recta A

::5

pendiente de la recta de la función objetivo

::5

pendiente de

En la Fig. 3.1 se observa que la ecuación de la recta A, la recta de la restricción de corte y teñido, es la siguiente: 7/ IOX 1

+ 1X2

=

630

Despejando x 2 en la ecuación anterior, se puede escribir la ecuación de la recta A en su forma de pendiente y ordenada en el origen. Esto da como resultado x2 =

-1¡10 x 1

i

Pendiente de la recta A

+ 630

i Intersección de la recta A con el eje x 2


Por ello, la pendiente de la recta A vale 7/ to, y su intersección con el eje x 2 está en 630. La ecuación de la recta B de la Fig. 3.1 es 1x 1

+

= 708

213x2

Despejando x 2 se obtiene la forma pendiente-intersección para la recta B. Haciendo esto, se obtiene 213X2 = -1x 1

x2 =

-3 12X 1

+ 708 + 1062

Por ello, la pendiente de la recta B es - 312 , y su intersección con el eje x 2 es 1062. Ahora que se han calculado las pendientes de las rectas A y B, se observa que para que el punto extremo (] siga siendo óptimo, se debe cumplir que -312

::s pendiente de la función objetivo ::s

- 71 10

(3 .1)

Considérese ahora la forma general de la pendiente de la función objetivo. Se utiliza c 1 para representar la utilidad para una bolsa estándar, c2 para la utilidad de una bolsa de lujo, y z para el valor de la función objetivo. Con esta notación, puede escribirse la función objetivo de la siguiente manera Z

=

+

C¡X¡

C:¡Xz

Escribiendo esta ecuación en su forma de pendiente y ordenada al origen, se obtiene c2x 2 = -c 1x 1

+ z

y C¡

x 2 = --x + Cz

t

l._ c2

Por ello se observa que la pendiente de la función objetivo está dada por -c/c2 • Sustituyendo -c/c2 en la expresión (3.1), se observa que el punto extremo G) seguirá siendo óptimo siempre y cuando se satisfaga la siguiente expresión C¡

- Yz :S - -

(3.2)

:S - 7/10

c2

Para calcular el intervalo de optimidad para la contribución a las utilidades por las bolsas estándares, se mantiene fija la contribución a las utilidades de las bolsas de lujo, en su valor inicial c2 = 9. Haciendo esto en (3.2), -312

C¡

: S - - :S - 7/10

9

Utilizando la desigualdad del lado izquierdo, -y2 -<

C¡

--

9

o

C¡

Y2

~

9

Por ello, 27/2 ~ C¡

o

C¡ :S 27/2

13.5

80

CAPÍTULO TRES

Haciendo uso de la desigualdad del lado derecho resulta Cl - ::::; -7/lo

Cl

9

or

9

:2: 7/10

Por ello, or

Cl :2: 63/10

C 1 :2:

6.3

Combinando los límites anteriores para e 1 se obtiene el siguiente intervalo de optimidad para la contribución a las utilidades de la bolsa estándar: 6.3

:S

e1

:S

13 .5

En el problema original de Par, Inc., la bolsa estándar tenía una contribución a las utilidades de $10. La solución óptima resultante fue 540 bolsas de tipo estándar y 252 bolsas de lujo. El intervalo de optimidad para e 1 indica a los administradores de la empresa que si no se cambian los demás coeficientes, la contribución a las utilidades de la bolsa estándar puede encontrarse en cualquier punto entre $6.30 y $13 .50, y las cantidades de producción de 540 bolsas estándares y 252 bolsas de lujo seguirán siendo óptimas. Sin embargo, nótese que, -aunque las cantidades de producción no varían-, la contribución total a las utilidades (el valor de la función objetivo) tendrá otro valor debido al cambio en la contribución a las utilidades de la bolsa estándar. Se pueden repetir los cambios anteriores, manteniendo constante en e 1 = 10 la contribución a las utilidades de las bolsas estándar. En este caso, es posible determinar el rango de optimidad para la contribución a las utilidades de las bolsas de lujo, e2 • Verifique el lector que este rango es 6.67 ::5 e2 ::5 14.29. En los casos en los que el giro de la recta de la función objetivo sobre un punto extremo óptimo ocasiona que la recta citada adopte una posición vertical, puede darse el caso de que exista límite superior o que no exista límite inferior para la pendiente, según se puede apreciar en la forma de la expresión (3.2). A fin de observar la forma en la que puede presentarse esta situación especial en un análisis gráfico de sensibilidad, supóngase que la función objetivo para el problema de Par, Inc., hubiera sido 18x1 + 9x2 ; en este caso, el punto extremo @, Fig. 3.2, es el que ofrece la solución objetivo. Haciendo girar la recta de la función objetivo en sentido contrario al del reloj sobre el punto extremo @ se obtiene un límite superior para la pendiente cuando la recta de la función objetivo coincide con la recta B. Como ya se había visto antes que la pendiente de la recta B es - 312, el límite superior para la pendiente de la recta de la función objetivo debe ser también - 312 . Sin embargo, girando la recta citada en el sentido del reloj se obtiene como resultado que la pendiente se vuelva cada vez más negativa, aproximándose a un valor de menos infinito, conforme la función objetivo tiende a la verticalidad. En este caso, no existe límite inferior para la pendiente de la función objetivo. Utilizando el límite superior de - 312 , se puede escribir Cl

- -

/ Cz

::S-3j2

Pendiente de la recta de la función objetivo

=

Siguiendo el procedimiento anterior de mantener a e2 constante en su valor original, e2 9, se tiene Cl

- -

9 -<

- 3 /2

o bien

PROGRAMACIÓN LINEAL: ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Y RESOLUCIÓN POR COMPUTADORA 81 Recta B (coincide con la recta de restricción de terminado lx, + 2!Jx, = 708)

¡

_ _ __,Recta de la función objetivo para !8x, + 9x 2

"'~

o

.n

"'

~

"O

Recta vertical

2

"'6 ·:::> z

200

Región factible


FIGURA 3.2

Solución gráfica del problema de Par, Inc., con la solución óptima en el punto extremo @ .

Despejando e, se obtiene el siguiente resultado: e1

2: 2112

= 13 .5

Al revisar la Fig. 3.2 se observa que el punto extremo @ sigue siendo óptimo para todos los valores de e, que se encuentran por encima de 13.5. Por ello, se obtiene el siguiente intervalo de optimidad para e, en el punto extremo Q): 13.5

1

::5

e, <

oo

Cambios simultáneos El intervalo de optimidad para los coeficientes de la función objetivo es sólo aplicable para cambios que se hacen a un coeficiente a la vez. Se supone que todos los demás coeficientes permanecen fijos en sus valores iniciales. Si se varían en forma simultánea dos o más coeficientes de la función objetivo, es necesario realizar un análisis más detallado para determinar si cambia la solución óptima. Sin embargo, cuando se resuelven en forma gráfica problemas con dos variables, la desigualdad (3 .2) indica una forma sencilla de determinar si cambios simultáneos en ambos coeficientes de la función objetivo ocasionan alteraciones en la solución óptima. Simplemente debe calcularse la pendiente de la función objetivo (-e/ e2) para los nuevos valores de los coeficientes. Si este coeficiente es mayor que o igual al límite inferior de la pendiente de la función objetivo y menor que o igual al límite superior, entonces los cambios que se realicen no ocasionarán variaciones en la solución óptima.

82

CAPÍTULO TRES

En seguida se ilustra este procedimiento considerando cambios en ambos coeficientes de la función objetivo para el problema de Par, Inc. Supóngase que se aumenta la contribución a las utilidades según las bolsas estándares hasta $13 y que, simultáneamente, se reduce a $8 la contribución a las utilidades de las bolsas de lujo. Recuérdese que los intervalos de optimidad para c 1 y c2 (ambos calculados en forma aislada) son 6.3 6.67

::5 C 1 ::5 ::5

c2

::5

13.5 14.29

(3.3) (3.4)

Dados estos intervalos de optimidad, puede concluirse que cambiar c 1 hasta $13, o c2 hasta $8 (pero no ambas cosas) no ocasionaría ningún cambio en la solución óptima de x 1 = 540 y x 2 = 252. Pero no se puede concluir, a partir de los márgenes de optimidad, que cambiar ambos coeficientes en forma simultánea no da como resultado un cambio en la solución óptima. En la expresión (3.2) se mostró que el punto extremo Q) sigue siendo óptimo siempre y cuando

Si se cambia c 1 a 13 y, simultáneamente, se cambia c2 a 8, la pendiente de la nueva función objetivo estará dada por C¡

13

c2

8

-- = - - = -1.625 Como este valor es menor que el límite inferior de -312, la solución actual de x 1 = 540 y x 2 = 252 ya no será óptima. Resolviendo el problema con c 1 = 13 y c2 = 8, se encuentra que el punto extremo es la nueva solución óptima. Observando los intervalos de optimidad, se concluye que cambiar c 1 a $13, o bien c2 a $8 (pero no ambas cosas) no ocasiona cambios en la solución óptima. Pero, al recalcular la pendiente de la función objetivo, con cambios simultáneos en c 1 y c2 , se observó que la solución óptima sí se alteró. Esto enfatiza el hecho de que el intervalo de optimidad en sí sólo puede ser utilizado para obtener conclusiones respecto a cambios que se realicen en los coeficientes de la función objetivo, de uno en uno.

W

Lados derechos (o segundos miembros) Se considera ahora la forma en que un cambio en el lado derecho de una restricción puede afectar a la región factible y, posiblemente, ocasionar cambios en la solución óptima del problema. Por ejemplo, supóngase que se disponen de 10 horas adicionales de tiempo de producción en el departamento de corte y teñido de Par, In c. El lado derecho de la restricción de corte y teñido cambia de 630 a 640, y reescribiendo la ecuación, queda de la siguiente manera:

Al obtener 10 horas adicionales de corte y teñido, se amplía la región factible para el problema, como se muestra en la Fig. 3.3. Como se ha ampliado la región de factibilidad, se


800

600 o

La nueva región factible incluye esta área sombreada

E "O "' "' ~

o ..D 400 "O "'

Solución óptima

e

"' E

·:::>

z

200


FIGURA 3.3

Efecto de un cambio de 10 unidades en el valor del lado derecho de la restricción de corte y teñido.

sabe ahora que la solución actual sigue siendo factible. Pero es posible que ya no sea óptima. Se determinará si alguna de las nuevas soluciones factibles ofrece un mejoramiento en el valor de la función objetivo. Aplicando un procedimiento gráfico de resolución al problema con la región factible más amplia, se muestra que el punto extremo que se encuentra en x 1 = 527.5 y x 2 = 270.75 es ahora la solución óptima. El nuevo valor para la función objetivo es 10(527.5) + 9(270.75) = $7711.75; esto produce un aumento en las utilidades de $7711.75 - $7668.00 = $43.75. Por ello, el aumento en las utilidades se da a una tasa de $43.75/10 horas = $4.375 por hora adicional. Al cambio en el valor de la función objetivo por aumento unitario en el valor del lado derecho se le denomina precio sombra (o de sombra). Por ello, el precio de sombra para el tiempo de producción de corte y teñido es $4.375 por hora. Se consideran importantes los precios de sombra de las restricciones porque puede ser posible adquirir u obtener unidades adicionales de los recursos. Si no se ha deducido el costo del tiempo de corte y teñido al calcular los coeficientes de utilidad, puede mostrarse que los administradores deberían estar dispuestos a pagar hasta $4.375 por hora adicional de este recurso. Se debe tener cuidado porque el valor del precio de sombra puede ser aplicable solamente para cambios pequeños en el lado derecho. Conforme se obtienen cada vez más recursos, y conforme continúa aumentando el lado derecho, las demás restricciones se vuelven acotadoras o acotantes y se reduce la tasa de variación en el valor de la función objetivo . Por ejemplo, en algún momento en el problema de Par, Inc., se pueden añadir suficientes horas

84

CAPÍTULO TRES

al departamento de corte y teñido de manera que la restricción ya no sea acatante. En este caso, la solución óptima se encontraría en la intersección de la recta restrictiva de inspección y embalaje, y la de terminado. En este punto, otras horas adicionales para el departamento de corte y teñido ya no tendrían ningún valor. En la siguiente sección se analiza con mayor detalle el tema de cuánto puede cambiarse un lado derecho antes de que ya no sea deseable continuar haciéndolo. Se define el precio de sombra como el cambio unitario en el valor de la función objetivo por aumento unitario en el lado derecho. Una restricción no limitante, la que tiene una cantidad positiva de holgura o de excedente. Resulta claro, entonces, que un aumento pequeño en el lado derecho de las restricciones de este tipo sólo cambia la cantidad de holgura o de excedente y no afecta el valor de la función objetivo. Por ello, el precio de sombra para las restricciones no limitantes siempre será cero.

Advertencia sobre la interpretación de los precios de sombra Como se expresó antes, el precio de sombra es el cambio en el valor de la función objetivo por aumento unitario en el lado derecho de una restricción. Cuando el lado derecho de la restricción representa la cantidad disponible de un recurso, con frecuencia se interpreta el correspondiente precio sombra como la cantidad que se debería estar dispuesto a pagar por una unidad adicional del recurso. Sin embargo, esa interpretación no siempre es correcta. Para ver por qué, es necesario comprender la diferencia entre costo irrelevante y costo relevante. El costo irrelevante (en inglés, sunk cost) es aquél que no resulta afectado por la decisión que se tome. Se incurrirá en él sin importar los valores que asuman las variables de decisión. Un costo relevante es el que depende de la solución adoptada. El monto de un costo relevante variará según los valores de las variables de decisión. Reconsidérese el problema de Par, Inc. El tiempo disponible de corte y teñido es de 630 horas. El costo del tiempo disponible es un costo irrelevante, si es que se debe solventar sin que importe el número de bolsas estándares y de lujo que se fabriquen. Sería un costo relevante sólo si la firma tuviera que pagar únicamente el número de horas de corte y teñido qe~e en realidad se utilizaran para fabricar las bolsas de golf. En la función objetivo de un programa lineal deben deducirse todos los costos relevantes. Los costos irrelevantes no deben reflejarse en la función objetivo. Para la compañía Par, In c., se ha supuesto que debe pagar a sus empleados por el tiempo de la mano de obra, sin importar si es utilizado o no. Por lo tanto el costo del recurso de mano de obra para Par, In c., es un costo irrelevante y no se ha reflejado en la función objetivo. Cuando el costo de un recurso es irrelevante, el precio de sombra se puede interpretar como el valor de una unidad adicional del recurso. Sería la cantidad que la compañía debe estar dispuesta a pagar por una unidad adicional del recurso. Cuando el costo de un recurso utilizado es relevante, puede interpretarse el precio de sombra como el monto en que el valor del recurso excede a su costo. Por ello, cuando el costo del recurso es relevante, se interpreta el precio de sombra como el sobreprecio máximo, con respecto al costo normal, que la compañía debe estar dispuesta a pagar por una unidad del recurso.

NOTAS Y COMENTARIOS l. Si cambian simultáneamente dos coeficientes de la función objetivo es posible que

ambos salgan de sus respectivos intervalos de optimidad y que no afecten a la sol u-


ción óptima. Por ejemplo, en un programa lineal con dos variables, ambos coeficientes pueden duplicar su valor sin alterar la pendiente de la función objetivo. 2. El precio sombra da el cambio de valor de la función objetivo por cada aumento unitario en el lado derecho de una restricción. Un precio sombra positivo significa que aumentar el lado derecho ocasionará que se incremente el valor de la función objetivo. Por lo contrario un precio sombra negativo indica que disminuir el lado derecho ocasionará un aumento en el valor de la función objetivo. 3. Frecuentemente se solicita a los administradores una justificación económica para tecnologías nuevas. A menudo también se desarrollan o adquieren tecnologías nuevas para conservar recursos. Los precios sombra pueden ser útiles en estos casos porque se les puede utilizar para determinar los ahorros que se pueden atribuir a tecnologías nuevas, al mostrar los ahorros por unidad de recurso que se conserva.

3.3

RESOLUCIÓN DE PROGRAMAS LINEALES EN COMPUTADORA En la actualidad están ampliamente disponibles diversos programas de computación diseñados para resolver problemas de programación lineal. La mayoría de las grandes compañías, al igual que las universidades, tienen acceso a estos programas de cómputo. El desarrollo de "paquetes de programación" en gran escala proviene principalmente de los fabricantes de computadoras y/o de las compañías de servicio programático, tales como IBM, Control Data y Ketron. Por lo general, después de un periodo breve de familiarización con las características específicas del paquete, los usuarios pueden resolver problemas de programación lineal con no muchas dificultades. Ahora pueden resolverse en forma rutinaria problemas en que intervienen millares de variables y millares de restricciones utilizando paquetes computacionales. La mayor parte de los programas lineales se pueden resolver con sólo unos cuantos minutos de cómputo; los programas lineales pequeños por lo general requieren sólo unos cuantos segundos. En tiempos más recientes ha habido una virtual "explosión" de programas para microcomputadoras. Ahora se dispone de un gran número de programas de cómputo "amistosos" que pueden utilizarse para resolver programas lineales en microcomputadoras. Dichos programas, desarrollados por personal académico y por pequeñas compañías de programación, generalmente son fáciles de utilizar. La mayor parte de estos programas están diseñados para resolver programas lineales pequeños (con - cuando mucho- unos cientos de variables). Por lo general se requieren paquetes programáticos diseñados para computadoras grandes, en la resolución de programas lineales en gran escala, que involucran varios millares de variables y de restricciones. The Management Scientist (TMS), un paquete de programas para microcomputadoras elaborado por los autores de este libro*, contiene un módulo de programación lineal. En seguida se ilustra la forma que puede utilizarse el módulo de programación lineal para resolver el problema de la compañía Par, In c. Como la introducción de datos a la computa-

*(N. del R.) Para facilidad de lenguaje, en esta versión se usará la abreviatura "TMS" .

86

CAPÍTULO TRES MENÚ DE SELECCIÓN DE PROBLEMAS Operaciones

l

Crear un problema nuevo

2

Recuperar un problema almacenado anteriormente

3

Continuar con el problema actual

4

Eliminar el problema almacenado anteriormente

5

Volver al menú principal

HAGA SU SELECCIÓN Y OPRIMA RETURN

FIGURA 3.4

l

Menú de programación lineal de The Management Scientist {TMS) (las respuestas del usuario se presenten en tono gris) .

dora debe ser en valores con decimales, y no como fracciones, en seguida se replantea el problema de Par, Inc., con coeficientes decimales : max

10x 1 +

9x 2

sujeta a 0.7x 1 +

1x2

:5

630 Corte y teñido

0.5x 1 + .83333x2

:5

600

1.0x 1 + .66667x2

:5

708

Terminado

0.25x2

:5

135

Inspección y embalaje

0. 1x 1 +

Costur~

Obsérvese que en la forma anterior, el coeficiente de x2 de la restricción de costura se escribe como .83333, que es el valor decimal de cinco posiciones más cercano a la fracción s16. Se da un redondeo similar para el coeficiente de x en la restricción de terminado, en 2 la que se utiliza el decimal .66667 como valor a cinco cifras más cercano a la fracción 213. Cuando se requiere este redondeo de los datos de entrada, puede esperarse que la solución obtenida por computadora sea ligeramente distinta que la solución obtenida manualmente con base en los valores fraccionarios exactos . Sin embargo -tal como se verá- las dos soluciones están muy estrechamente cercanas y el ligero redondeo en los datos de entrada no ocasiona ningún problema grave. Después de que el usuario elige el módulo de programación lineal de The Management Scientist, aparece el menú de selección de problemas que se muestra en la Fig. 3.4. En las siguientes figuras se muestran en tono gris las respuestas del usuario; la información que la computadora imprime aparece en negro. Obsérvese que el usuario ha seleccionado la opción 16 "Crear un problema nuevo".* Después de hacer esta selección, se pide al usuario teclear la función objetivo y las restricciones.

*(N. del R.) Aunque es posible que todos los enunciados aparezcan en inglés, la traducción no es difícil. En esta versión se presentan las indicaciones en español a fin de facilitar el estudio (F.P .)

PROGRAMACIÓN LINEAL: ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Y RESOLUCIÓN POR COMPUTADORA 87 FUNCIÓN OBJETIVO: MAX 10X1 + 9X2 RESTRICCIÓN

FIGURA 3.5

1:

.7X1 + 1X2 < 630

RESTRICCIÓN

2:

.5X1 + .83333X2 < 600

RESTRICCIÓN

3:

1X1 + .66667X2 < 708

RESTRICCIÓN

4:

1X1 + .25X2 < 135

RESTRICCIÓN

5:

FIN

Entrada de datos del usuario para el problema de Par, Inc. con el paquete TMS (o sea, The Management Scientist).

MENÚ DE DISPOSICIÓN DE PROBLEMAS

Opciones 1

Resolver el problema

2

Almacenar el problema

3

Visualizar/ revisar y corregir el problema

4

Volver al menú de selección de problemas

HAGA SU SELECCIÓN Y OPRIMA RETURN

FIGURA 3.6

El usuario adopta la opción 1 dando instrucciones a TMS para que resuelva el problema de Par, Inc.

En la Fig. 3.5 se muestran las indicaciones de la computadora y la forma en la que el usuario teclea el problema. La computadora imprime "FUNCIÓN OBJETIVO:". Después, el usuario ha de teclear la función objetivo según se muestra ahí. Después oprimirá la tecla de "retorno" o "entrada", y la máquina imprime "RESTRICCIÓN 1:". Luego el usuario ingresa la restricción y vuelve a pulsar la tecla de "retorno". Obsérvese que al símbolo < lo interpreta TMS como ::5 • La computadora continúa solicitando las restricciones hasta que el usuario teclea FIN. La Fig. 3.5 muestra que el usuario ya ha tecleado las cuatro restricciones y también FIN cuando se le pide la restricción 5. Teclear FIN señala a TMS que ya se ha introducido el problema completo. En este punto, la computadora imprime el menú de resoluciones para el problema, como se ve en la Fig. 3 .6. En este punto, el usuario puede elegir: 1, para resolver el problema; 2, guardarlo para utilizarlo en el futuro; 3, mostrar o modificar el problema, o bien 4 para resolver el menú de selección de problemas. Se elige el 1 y la solución que genera TMS es la que se muestra en la Fig. 3.7.

Interpretación de los resultados obtenidos por computadora Ahora se procederá a examinar el listado que produjo TMS (The Management Scientist) y que se presenta en la Fig. 3. 7; se interpreta la solución por computadora que se ofrece ahí para el problema de Par, Inc. En primer lugar, obsérvese el número 7667 .994100 que

88

CAPÍTULO TRES 7667.994100

Valor de la función objetivo =

Costos reducidos

Variable

Valor

X1 X2

539.998410 252.001099

0.000000 0.000000

Holgura/Excedente

Precios duales

0.000000 120.000702 0.000000 17.999870

4.374956 0.000000 6.937531 0.000000

Restricción 1

2 3 4

INTERVALOS DE COEFICIENTES DE LA FUNCIÓN OBJETIVO

Variable

Límite inferior

Valor actual

Límite superior

X1 X2

6.300000 6.666700

10.000000 9.000000

13.499931 14.285715

INTERVALOS DE LOS LADOS DERECHOS Restricción 1 2 3 4

FIGURA 3.7

Límite inferior 495.600010 479.999300 580.001460 117.000130

Valor actual 630.000000 600.000000 708.000000 13 5 . OOOOOO

Límite superior 682.363160 No hay límite superior 900.000000 No hay límite superior

Solución del problema de Par, Inc., utilizando TMS (The Management Scientist).

aparece a la derecha de "Valor de la función objetivo". Redondeando este valor, se puede concluir que la solución óptima para el problema de Par, Inc., ofrece una utilidad de $7,668. Directamente abajo del valor de la función objetivo se encuentran los valores de las variables de decisión y de la solución óptima. Por ello, después de redondear, se tiene que las cantidades óptimas de producción son x 1 = 540 bolsas estándares y x 2 = 252 bolsas de lujo. La información en la columna que tiene como encabezado "Costos reducidos" indica cuánto tendría que mejorar el coeficiente de la función objetivo de cada variable de decisión 1 antes de que sea posible que tal variable asuma un valor positivo en la solución óptima. Si una variable de decisión ya es positiva en la solución óptima, su costo reducido es cero. Para el problema de Par, Inc., la solución es x 1 = 540 y x 2 = 252. Siendo que ambas variables tienen ya valores positivos, sus correspondientes costos reducidos son cero. En la Secc. 3.4 se interpreta el costo reducido de una variable de decisión que no tiene un valor positivo en la solución óptima. Inmediatamente después de los valores óptimos de x 1 y x 2 , y de la información acerca de los costos reducidos, el listado de computadora ofrece información con respecto al estado de las restricciones. Recuérdese que el problema de Par, Inc., tiene cuatro restricciones de menor que o igual a, correspondientes a las horas disponibles en cada uno de cuatro 'En un problema de maximización, mejorar significa aumentar; en un problema de minimización, mejorar significa disminuir.


departamentos de producción. La información que se presenta en la columna con encabezado "Holgura/ Excedente" proporciona el valor de la variable de holgura para cada uno de los departamentos. En seguida se resume esta información:

Número de restricción

1 2 3 4

Nombre de la restricción


Holgura

o 120

o 18

Se puede observar de la información anterior que las restricciones limitantes (las de corte y teñido, y de terminado) tienen holgura cero en la solución óptima. El departamento de costura tiene 120 horas de holgura o de capacidad no utilizada, y el departamento de inspección y embalaje tiene 18 horas de holgura o de capacidad no utilizada. La columna con el encabezado "Precios duales" contiene información respecto al valor de cada uno de los recursos en la solución óptima. Los precios duales se definen de la siguiente manera: El precio dual correspondiente a una restricción es el mejoramiento en el valor óptimo de la función objetivo por cada aumento unitario en el lado derecho de la restricción. De ahí se observa que los precios duales diferentes de cero 4.374956 para la restricción 1 (restricción de corte y teñido) y 6.937531 para la restricción 3 (terminado), señalan que una hora adicional de tiempo de corte y teñido mejora (aumenta) el valor de la funciÓn objetivo en $4.37, y que una hora adicional de tiempo de terminado mejora (aumenta) el valor de la función objetivo en $6.94. Por ello, si se aumentara el tiempo de corte y teñido de 630 a 631 horas, manteniendo constantes todos los demás coeficientes del problema, las utilidades de Par aumentarían en $4.37, para pasar de $7,668 a $7668 + $4.37 = $7672.37. Una interpretación similar para la restricción de terminado implica que un aumento en el tiempo disponible de acabado, de 708 a 709 horas -manteniendo constantes todos los demás coeficientes del problema- aumentaría las utilidades de la compañía Par a $7668 + 6.94 = $7674.94. Como tanto la restricción de costura como la de inspección y embalaje tienen holgura o capacidad no utilizada disponible, los precios duales de cero señalan que aumentar las horas disponibles de estos dos recursos no mejora el valor de la función objetivo. Como se recordará del análisis sobre los precios de sombra de la Secc. 3.2, la información que a.parece en la columna de "Precios duales" da los precios sombra para los cuatro recursos de la Par. De hecho, en el caso de un programa lineal de maximización, el precio dual es el mismo que el precio de sombra. Sin embargo, y según se verá más tarde, en los programas lineales de minimización, el precio dual es el negativo del correspondiente precio sombra. Haciendo referencia de nuevo al listado o salida de computadora de la Fig. 3. 7 se observa que después de la información referente a las variables de holgura/ excedente, y a los precios duales de las restricciones, The Management Scientist imprime los intervalos de los coeficientes de la función objetivo y de los segundos miembros de las restricciones.

90

CAPÍTULO TRES

Considerando la información que se ofrece bajo el encabezamiento del listado "INTERVALOS DE LOS COEFICIENTES OBJETIVOS", se observa que la variable x i' que tiene un coeficiente de utilidad actual de 10, tiene el siguiente intervalo de optimidad para e 1: 6.30

~

e1

~

13.50

Esto indica que mientras se mantenga la contribución a las utilidades de las bolsas estándares entre $6.30 y $13 .50, la producción de x 1 = 540 bolsas estándares y x 2 = 252 bolsas de lujo, seguirá siendo la solución óptima. Obsérvese que este es el intervalo de optimidad que se obtuvo para el' en la Secc. 3.2, mediante el análisis gráfico de sensibilidad. Utilizando la información sobre los intervalos de los coeficientes de la función objetivo, y para las bolsas de lujo, se observa que The Management Scientist (TMS) ha calculado el siguiente intervalo de optimidad: 6.67

~

e2

~

14.29

Esto indica que mientras se conserve la contribución a las utilidades de las bolsas de lujo entre $6.67 y $14.29, la fabricación de x 1 = 540 bolsas estándares y x 2 = 252 bolsas de lujo seguirá siendo la solución óptima. La sección final del listado de computadora ("INTERVALOS DEL LADO DERECHO") contiene la información de los márgenes para los segundos miembros de las restricciones. Mientras los lados derechos de las restricciones se mantengan dentro de esos intervalos, el precio dual correspondiente da el mejoramiento del valor de la función objetivo por aumento unitario en el valor del lado derecho . Por ejemplo, considérese la restricción de corte y teñido, que en estos momentos tiene un valor en el lado derecho de 630. Como el precio dual para esta restricción es $4.37, puede concluirse que las horas adicionales aumentarían la función objetivo en $4.37 por hora. También resulta cierto que una reducción en las horas disponibles, reduciría el valor de la función objetivo en la misma cantidad. A partir de la información sobre intervalos, se observa que el precio dual de $4.37 es válido para aumentos de hasta 682.363160 y para disminuciones de hasta 495.600010. Una interpretación similar para el lado derecho de la restricción de acabado (restricción 3), muestra que el precio real de $6.94 es aplicable para aumentos de hasta 600 horas y para disminuciones de hasta 580.001460 horas. Como se mencionaba antes, los intervalos en los lados derechos dan los límites dentro de los cuales los precios duales son aplicables. Para cambios que quedan fuera de los márgenes, es necesario volver a resolver el problema para encontrar la nueva solución óptima y el nuevo precio real. Al intervalo sobre el cual es aplicable el precio dual se le denomina intervalo dejaetibilidad. En seguida se da un resumen de los márgenes de factibilidad para el problema de Par, In c.

Restricción


LD Mío

LD Máx

495.6 480.0 580.0 117.0

682.4 Sin límite superior 900.0 Sin límite superior


En tanto los valores en los segundos miembros se mantengan dentro de los márgenes anteriores, no varían los precios duales que se muestran en el listado de computadora. Los valores en los lados derechos que se encuentren fuera de estos límites darán como resultado cambios en la información sobre los precios duales. En este punto es importante observar que el análisis de sensibilidad que se presenta en el listado o salida de computadora se basa en la suposición de que los coeficientes se varían sólo uno a la vez, y que se mantienen todos los demás coeficientes del problema según se plantearon en la forma original. La información sobre análisis de sensibilidad que se ofrece en el listado de computadora no se aplica a dos o más cambios simultáneos en el problema. Cambios simultáneos Como se expresó antes, los intervalos de los coeficientes de la función objetivo y de los lados derechos de las restricciones sólo son aplicables para cambios en un solo coeficiente. Sin embargo, con el auxilio de la regla del1000Jo 2 , es posible realizar ciertos análisis sobre cambios simultáneos. Si se realizan dichos cambios en dos o más coeficientes de la función objetivo, la solución óptima no varía siempre y cuando se satisfaga la "regla del ciento por ciento". Para aplicar la regla del 1OOOJo, se debe calcular, para cada coeficiente que se modifica, el porcentaje de aumento o de decremento permisible que el cambio representa. Para un coeficiente de función objetivo, el aumento permisible es la cantidad máxima en que puede aumentarse el coeficiente sin exceder el límite superior del intervalo de optimidad. De manera similar, la disminución permisible es la cantidad máxima en que puede disminuirse el coeficiente sin caer por debajo del límite inferior del intervalo de optimidad. Para el lado derecho de una restricción, el aumento permisible es la cantidad máxima en que se puede incrementar el valor del lado derecho sin exceder el límite superior de su intervalo de factibilidad, y la disminución permisible es la cantidad máxima en que puede disminuirse el valor del lado derecho sin infringir el límite inferior del intervalo de factibilidad. En seguida se plantea la regla del lOO OJo, según se aplica a cambios simultáneos en los coeficientes de la función objetivo y a cambios simultáneos en los segundos miembros de las restricciones.

Regla del lOOOJo para coeficientes de la función objetivo Para todos los coeficientes de la función objetivo que cambian, súmense los porcentajes de los aumentos y las disminuciones permisibles . Si la suma de los porcentajes no excede el 1000Jo, entonces la solución óptima no cambiará.

Regla del 100% para los lados derechos de las restricciones Para todos los lados derechos que cambian, súmence los porcentajes de los aumentos y las disminuciones permisibles . Si la suma de los porcentajes no excede el 1000Jo entonces los precios duales no cambiarán.

Ahora se procede a ilustrar la regla del lOOOJo considerando cambios simultáneos en los lados derechos para el problema de Par, Inc. Supóngase, por ejemplo, que se pudieran obtener 20 horas adicionales de tiempo de corte y teñido, y 100 horas adicionales de tiempo de terminado. El aumento permisible para el tiempo de corte y teñido es 52.36316 = 682.36316 2

Véase S. P . Bradley, A .C. Hax y T .L. Magnanti (Reading, Mass.: Addison-Wesley, 1977).

92

CAPÍTULO TRES

-630.0, y el incremento permisible para el tiempo de terminado es 192.0 = 900.0- 708.0 (véase la Fig. 3.7). Las 20 horas adicionales de tiempo de corte y teñido son el (20/52.363130)(100) = 38.190Jo del aumento permisible en el lado derecho de la restricción. Las 100 horas adicionales de tiempo de terminado son el (100/192)(100) = 52.08% del incremento permisible en el lado derecho de la restricción del tiempo de terminado. El porcentaje acumulado de cambios es 38.19% + 52.08% = 90.27%. Como el porcentaje acumulado de cambio no excede el1 00%, puede concluirse que los precios duales son aplicables, y que la función objetivo mejorará en (20)(4.37) + (100)(6.94) = 781.40.

Interpretación de los resultados por computadora-Un segundo ejemplo Como otro ejemplo de la interpretación de los resultados por computadora, considérese el problema de minimización de la empresa M&D Chemicals que se presentó en la Sec. 2. 7. En seguida se plantea de nuevo el modelo de programación lineal para este problema, en donde x 1 = número de galones del producto 1, y x 2 = número de galones del producto 2, y se desea minimizar el costo de producción. m in

2xl

+ 3x 2

sujeta a lx 1

2:

125

Demanda del producto 1

+ lx 2 2xl + lx 2

2:

350

Requisito de la producción total

:5

600

Limitación del tiempo de procesamiento

lx 1

X 1 , X 2 2:

Ü

En la Fig. 3.8 se presenta la solución que se obtiene utilizando The Management Scientist. El listado de la computadora muestra que la solución de costo mínimo arroja un valor de la función objetivo de $800. Los valores de las variables de decisión señalan que la solución de costo mínimo se da con 250 galones del producto 1 (x 1 = 250) y 100 galones del producto 2 (x2 = 100). La información sobre "Holgura/Excedente" muestra que la restricción del 2: para la demanda del producto 1 (véase la restricción 1) tiene un excedente de 125 unidades. Esto indica que la fabricación del producto 1 en la solución óptima excede la demanda en 125 galones. Los valores de "Holgura/Excedente" son cero para el requerimiento total de producción (restricción 2) y para la limitación del tiempo de procesamiento (restricción 3); esto indica que estas restricciones son limitantes en la solución óptima. De nueva cuenta, la columna "Precios Duales" muestra el mejoramiento que se da en la función objetivo por cada incremento unitario en el lado derecho de la restricción. Recalcando en primer lugar en el precio dual de 1.00 para la restricción del tiempo de procesamiento (restricción 3), se observa que si se puede incrementar el tiempo de procesamiento de 600 horas a 601, el valor de la función objetivo mejorará en $1. Como el objetivo es minimizar costos, en este caso mejoramiento significa reducción de costo. Por ello, si existen disponibles 601 horas de procesamiento, el valor de la solución óptima mejoraría, para quedar en $800- $1 = $799. La sección de "INTERVALOS DEL LADO DERECHO" del listado, muestra que el límite superior para la restricción del tiempo de procesamiento (restricción 3) es 700 horas. Por ello, el precio dual de $1 por unidad sería aplicable para cada hora adicional de tiempo de procesamiento hasta un total de 700 horas.

PROGRAMACIÓN LINEAL: ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Y RESOLUCIÓN POR COMPUTADORA 93 800.000000

Valor de la función objetivo Variable X1 X2 Restricción 1 2

3

Valor

Costos reducidos

250 . 000000 100 . 000000

0.000000 0 . 000000

Holgura / Excedente

Precios duales

12 5 . 000000 0 . 000000 0 . 000000

0 . 000000 - 4 . 000000 1 . 000000

INTERVALOS DE COEFICIENTES DE LA FUNCIÓN OBJETIVO Variable

Límite inferior No hay límite inferior 2 . 000000

X1 X2

Valor actual 2 . 000000 3 . 000000

Límite su per ior 3 . 000000 No hay límite superior

INTERVALOS DE LOS LADOS DERECHOS Restricción 1 2 3

FIGURA 3.8

Límite inferior No hay límite superior

3 00 . 000000 4 75 . 000000

Valor actual 125. 000000 35 0 . 000000 600 . 000000

Lí mite superior 250 . 000000 475 . 000000 700 . 000000

Solución del problema de M&D Chemicals obtenida mediante TMS (The Management Scientist) .

Volviendo de nuevo a la sección de "Precios duales" del listado, y considerando el precio dual para la restricción de la producción total (restricción 2), el precio dual negativo indica que la función objetivo no mejorarla si se aumenta en una unidad el valor del segundo miembro . De hecho el precio dual de -4.00 indica que si se aumenta el lado derecho de la restricción de producción total de 350 a 351 unidades, el valor de la función objetivo empeorará en la cantidad de $4. Como empeorar significa un aumento en los costos, el valor de la función objetivo se convertiría en $800 + $4 = $804, si se realiza el aumento de una unidad en el requerimiento de la producción total. Como el precio dual se refiere a un mejoramiento en el valor de la función objetivo por cada incremento unitario en el lado derecho, no debe aumentarse el lado derecho de una restricción que tenga un precio dual negativo. De hecho, si el precio dual fuera negativo, deben hacerse esfuerzos para reducir el lado derecho de la restricción. Si se disminuyera el lado derecho de la restricción de producción total de 350 unidades a 349 unidades, el precio dual señala que se podría reducir el costo total en $4, para pasar a $800- $4 = $796. La inerpretación del precio dual es el mejoramiento que se da en la f•mción objetivo por cada incremento unitario er.. el lado derecho de una restricción. Sin embargo, como se ha visto, la interpretación de un mejoramiento en el valor de una función objetivo depende de si se está resolviendo un problema de maximización o de minimización . El precio dual de una restricción de :5 siempre será mayor que o igual a O, porque aumentar el segundo miembro no puede hacer que empeore el valor de la función objetivo. De manera similar, el precio dual para una restricción de ~ siempre será menor que o igual a O, porque el incremento en el lado derecho no puede mejorar el valor de la función objetivo .

94

CAPÍTULO TRES

Debe advertirse que la interpretación de los precios duales significa que para problemas de maximización, tales precios y los precios de sombra son la misma cosa; en problemas de minimización, tienen signos opuestos. Si se está utilizando un paquete de computación distinto, se debe verificar qué tipo de convención y terminología se está aplicando para este tipo de información sobre análisis de sensibilidad. Finalmente, considérense los intervalos para el lado derecho que se presentan en la Fig. 3.8. En seguida se resumen los intervalos de factibilidad para el problema de M&D Chemicals. Restricción

LDMín

LD Máx

Demanda del producto 1 Requisito de la producción total Limitación del tiempo de procesamiento

Ninguno

250 475

300 475

700

En tanto se mantengan los lados derechos dentro de los intervalos anteriores, son aplicables los precios duales que se muestran en la lista de computadora. Se procederá ahora a revisar la solución por computadora y la interpretación de los listados (o salida) para un programa lineal con más de dos variables de decisión.

NOTAS Y COMENTARIOS l. Hay muchos paquetes de programas computacionales disponibles para resolver programas lineales, La mayoría de ellos proporcionan la solución óptima, información sobre precios duales o precios sombra, el intervalo de optimidad para los coeficientes de la función objetivo y el intervalo de factibilidad para los lados derechos. Los encabezados que se utilizan para los citados intervalos de optimidad y factibilidad pueden variar, pero el significado es el mismo que se ha descrito aquí. 2. En los casos en que los segundos miembros sean el punto final de su intervalo de factibilidad, los precios duales y los precios sombra sólo ofrecen información unilateral. En este caso, solamente pronostican los cambios en el valor óptimo de la función objetivo para cambios hacia el interior del intervalo. 3. Una condición a la que se denomina degradación (o degeneración) puede ocasionar una sutil diferencia en la forma en que se interpretan los cambios en los coeficientes de la función objetivo, más allá de los extremos de los intervalos de optimidad. Ocurre la degradación cuando el precio dual es igual a cero para una de las restricciones limitantes. La degradación no afecta la interpretación de los cambios hacia el interior del intervalo de optimidad. Sin embargo, cuando se presenta la degeneración, los cambios más allá de los extremos del intervalo no necesariamente significan que la solución óptima será distinta. Desde un punto de vista práctico, es necesario resolver el problema cuando se dan cambios más allá de los extremos del intervalo de optimidad. 4. La regla del lOOUJo permite realizar análisis sobre cambios múltiples en los lados derechos o sobre cambios múltiples en los coeficientes de la función objetivo. Pero esta regla del lOOUJo no puede aplicarse a cambios simultáneos en los coeficientes de la función objetivo y en los lados derechos. Con el objeto de considerar cambios simultáneos tanto en los valores de segundo miembro como en los coeficientes de la función objetivo, es necesario volver a resolver el problema.


3.4

MÁS DE DOS VARIABLES DE DECISIÓN El procedimiento gráfico de resolución es útil sólo para programas lineales que tienen dos variables de decisión. Los paquetes de programas de computación están diseñados para manejar programas lineales que contienen numerosas variables y restricciones. En esta sección se analiza el planteamiento y la solución por computadora de un programa lineal con cuatro variables de decisión. Como se verá, el método para el planteamiento del problema y para la solución en computadora es esencialmente el mismo que el utilizado en problemas con dos variables de decisión. Después de obtener un planteamiento verbal del problema, se definen las variables de decisión que permiten expresar la función objetivo y las restricciones correspondientes al problema en forma de un programa lineal. Una vez que se ha planteado el problema, puede utilizarse un paquete de computación para obtener la solución óptima.

EL PROBLEMA DE LA EMPRESA ELECTRONIC COMMUNICATIONS, INC. Esta firma fabrica sistemas portátiles de radio-comunicación que pueden utilizarse en comunicaciones en dos sentidos. El nuevo producto de la compañía, que tiene un alcance de hasta 25 millas, es particularmente apropiado para diversas aplicaciones personales y de negocios. Los canales de distribución para el nuevo equipo de radio son: l. Distribuidores de equipos marinos 2. Distribuidores de equipos para negocios 3. Cadenas nacionales de tiendas al menudeo 4. Pedidos por correo

Debido a las diferencias en los costos de distribución y de promoción, la redituabilidad del producto varía según el canal de distribución. Además, los costos de publicidad y los esfuerzos personales de ventas que se requieren varían también según los canales de distribución. En la Tabla 3.1 se resumen los datos de utilidades, de costos de publicidad y de esfuerzos personales de ventas para el problema de Electronic Communications. Otros datos adicionales son que la empresa ha determinado que su presupuesto de publicidad debe ser $5,000 y que hay un máximo de 1800 horas de tiempo disponible en el personal vendedor para asignarlo al esfuerzo de ventas. Los administradores han decidido también fabricar

TABLA 3.1

Datos de utilidades, costo de publicidad y tiempo del personal de ventas para el problema de Electronic Communications, Inc.

Canal de distribución

Distribuidores de equipo marino Distribuidores de equipos para negocios Cadena nacional de tiendas de menudeo Pedidos por correo

Utilidad por unidad vendida

Costo de publicidad por unidad vendida

Labor del personal de ventas por unidad vendida

$90 $84 $70 $60

$10 $ 8 $ 9 $15

2 horas 3 horas 3 horas Ninguna

96

CAPÍTULO TRES

exactamente 600 unidades para el periodo actual de producción. Finalmente, un contrato vigente con una cadena nacional de tiendas de menudeo exige que se distribuyan cuando menos 150 unidades a través de este canal. La Electronic Communications, Inc. enfrenta ahora el problema de establecer la estrategia que maneje la distribución de sus equipos de manera que se maximice la redituabilidad global de la fabricación de los nuevos aparatos. Deben tomarse decisiones con respecto a cuántas unidades deberán asignarse a cada uno de los cuatro canales de distribución, así como también sobre la forma de asignar el presupuesto de publicidad y la fuerza de ventas a cada uno de los cuatro canales de distribución.

Planteamiento del problema de la Electronic Communications, lnc. Para formular un modelo de programación lineal para el problema se introducen las siguientes cuatro variables de decisión:

x1

=

número de unidades fabricadas para el canal de distribución de equipo marino

x 2 = número de unidades fabricadas para el canal de distribución del equipo de negocios

x3

= número de unidades fabricadas para el canal de distribución de la cadena nacional

x4

= número de unidades fabricadas para el canal de distribución de pedidos por correo •

de tiendas de menudeo

Utilizando los datos de la Tabla 3.1, puede escribirse de la siguiente manera la función objetivo para maximizar la utilidad correspondiente a los radios:

Se procederá a plantear las restricciones del problema. Como se ha fijado el presupuesto de publicidad en $5,000, la restricción que limita la cantidad de gastos de publicidad puede escribirse de la siguiente manera:

De manera similar, como el tiempo de ventas está limitado a 1800 horas, se obtiene la restricción

La decisión de los administradores de fabricar exactamente 600 unidades durante el actual periodo de producción se expresa como

Finalmente, para tomar en consideración el hecho de que el número de unidades que se distribuyan a través de la cadena nacional de tiendas al menudeo debe ser de cuando menos 150, se añade la restricción

PROGRAMACIÓN LINEAL: ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Y RESOLUCIÓN POR COMP:JTADORA 97

Combinando todas las restricciones con los requisitos de no negatividad se está en posibilidades de escribir el modelo completo de programación lineal para el problema de Electronic Communications, Inc., de la siguiente manera: max 90x 1 + 84x2 + 70x3 + 60x4 sujeta a IOX¡ 2x¡ IX¡

+ 8x2 + + 3x 2 + + lx 2 +

9x 3

+ 15x4 + lx4

Ix 3 X¡ , X z,

x3 ,

X 4 2=

5000 Presupuesto de publicidad

::::: 1800 Disponibilidad de la fuerza de ventas

3x 3 Ix 3

:::=:

=

600 Nivel de producción

2=

150 Requisito de las tiendas de menudeo

0

Solución por computadora e interpretación del problema de Electronic Communications, lnc. Se muestra en la Fig. 3.9 una porción de los resultados que se obtuvieron utilizando TMS, o sea, The Management Scientist, para resolver el problema de Electronic Communications. La sección de "Valor de la función objetivo" muestra que la solución óptima para el problema arroja una utilidad máxima de $48,450. Los valores óptimos de las variables de decisión están dados por x 1 = 25, x 2 = 425, x 3 = 150, y x 4 = O. Por ello, la estrategia óptima para la empresa consiste en concentarse en el canal de distribución de equipo para negocios, con x 2 = 425 unidades. Además, la empresa debe asignar 25 unidades al canal de distribuidores de equipo marino (x 1 = 25) y satisfacer su compromiso de 150 unidades con el canal de distribución de la cadena nacional de tiendas de ventas al menudeo (x3 = 150). Con x 4 = O, la solución óptima indica que la empresa no debe utilizar el canal de distribución de pedidos por correo. Obsérvese ahora la información contenida en la columna que tiene el encabezado "Costos reducidos". Debe recordarse que los costos reducidos indican cuánto tendría que mejorar cada uno de los coeficientes de la función objetivo antes de que la correspondiente

Valor de la función objetivo Variable

X1 X2 X3 X4 Restricción 1 2 3 4

FIGURA 3.9

=

48450.000000

Valor

25 . 00003 1 424.99 99 7 0 15 0 . 000000 0 . 000000 . Holgura / Excedente

0 . 000000 24 . 999 542 0 . 000000 0 . 000000

Costos reducidos

0.000000 0.000000 0 . 000000 4 5 . 000000 Precios duales

3 . 000000 0 . 000000 60 . 000000 -1 7 . 000000

Una porción del listado de computación que se obtiene mediante TMS, o The Management Scientist, para el problema de Electronic Communications, Inc.

98

CAPÍTULO TRES

variable de decisión pueda tomar un valor positivo en la solución óptima. Como aparece en el listado de la computadora, los primeros tres costos reducidos son cero, puesto que las correspondientes variables de decisión ya tienen valores positivos en la solución óptima. Sin embargo, el costo reducido de 45 para la variable de decisión x 4 indica que tendría que aumentar la utilidad para los nuevos radios que se distribuyen a través de los pedidos por correo, de su valor actual de $60 por unidad, hasta cuando menos $60 + $45 = $105 por unidad, antes de que sea redituable utilizar este canal de distribución. La información del listado de la computadora para las variables de holgura/excedente, y los precios duales, se replantea en la siguiente tabla.

Número de restricción

1 2 3 4

Nombre de la restricción

Presupuesto de publicidad Disponibilidad de fuerza de ventas Nivel de producción Requerimiento de las tiendas de menudeo

Tipo de restricción :S :S ~

Holgura o excedente

o 25

o o

Precio dual

3

o 60 -17

Se observa que la restricción del presupuesto de publicidad tiene holgura nula, lo cual señala que se ha utilizado la totalidad del presupuesto: $5,000. El correspondiente precio dual de 3 indica que con un dólar que se añada al presupuesto de publicidad mejorará la función objetivo (aumentará las utilidades) en $3. Por ello, la empresa debe considerar seriamente la posibilidad de incrementar el presupuesto de publicidad. La holgura de 25 horas para la restricción sobre la disponibilidad de la fuerza de ventas muestra que las 1800 horas del tiempo de ventas que se asignaron, son adecuadas para distribuir los radios que se van a fabricar y que, aún así, habrá 25 horas de ese tiempo de la fuerza de ventas que no se utilizarán. Como la restricción del nivel de producción es una igualdad, eran de esperar los ceros, para holgura y excedente que se muestran en el listado. Sin embargo, el precio dual de 60 correspondiente a esta restricción indica que si la empresa aumenta el nivel de producción para los radios, mejoraría el valor de la función objetivo (las utilidades) a razón de $60 por radio que se fabrique. Finalmente, el excedente de cero correspondiente al compromiso con el canal de distribución de tiendas al menudeo es resultado de que la restricción es limitante. El precio dual negativo indica que aumentar el compromiso de 150 a 151 unidades en realidad hará que disminuyan las utilidades en $17. Por ello, es posible que la firma Electronic Communications desee evaluar la reducción de su compromiso con el canal de distribución de ventas al menudeo. De hecho, una disminución en este compromiso mejoraría las utilidades a razón de $17 por unidad. Considérese ahora la información adicional sobre análisis de sensibilidad que se presenta en el listado de computadora de la Fig. 3 .10. Los intervalos de optimidad para los coeficientes de la función objetivo son: 84 ::5 e, < No hay límite superior 50 ::5 c2 ::5 90 No hay límite inferior < cJ ::5 87 No hay límite inferior < c4 ::5 105

PROGRAMACIÓN LINEAL: ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Y RESOLUCIÓN POR COMPUTADORA 99 INTERVALOS DE COEFICIENTES DE LA FUNCIÓN OBJETIVO

Varia ble

Valor actual

Límite inferior

84.000000 50.000011

X1 X2 X3 X4

90.000000 84 . 000000 70.000000 60 . 000000

No hay límite inferior No hay límite superior

Límite superior No hay límite superior

90 . 000000 87.000000 105 . 000000

INTERVALOS DE LOS LADOS DERECHOS

Restricción

1 2 3 4

Límite inferior

Valor actual

4950 . 001000 177 5. 000490 515 . 000000 0 . 000000

5000.000000 1800 . 000000 600 . 000000 1 50 . 000000

Límite superior

5850 . 000000 No hay límite superior

603 . 571350 199 . 999100

FIGURA 3.1 O Intervalos de los coeficientes de la función objetivo y de los lados derechos que se obtienen mediante The Management Scientist para el problema de Electronic Communications, Inc.

La solución -o estrategia- actual sigue siendo óptima, siempre y cuando los coeficientes de la función objetivo permanezcan dentro de los intervalos anteriores de optimidad. Obsérvese en particular el intervalo de optimidad correspondiente al coeficiente del canal de distribución de pedidos por correo, c4 • Esta información es congruente con la anterior observación que se hizo para la parte " Costos reducidos" del listado. En ambos lados se observa que tendría que aumentar la utilidad por unidad hasta $105 antes de que el canal de distribución de ventas por correo pudiera aparecer con valor positivo en la solución óptima. Finalmente, la información de análisis de sensibilidad sobre "INTERVALOS DEL LADO DERECHO" que se presenta en la Fig. 3. 10, proporciona los intervalos de factibilidad para los valores del segundo miembro.

Restricción

LD Mío

Valor actual

Presupuesto de publicidad Fuerza de ventas Nivel de producción Requerimiento de las tiendas de menudeo

4950 1775 515

5000

5850

1800 600 150

No hay límite superior

o

LD Máx

603.57 200

Es posible formular varias interpretaciones de los intervalos anteriores. En particular, recuérdese que el precio dual para el presupuesto de publicidad permitió concluir que cada aumento de $1 en el presupuesto mejoraría la utilidad en $3. El anterior margen para el presupuesto de publicidad indica que este planteamiento acerca del valor de los aumentos en el presupuesto es apropiado hasta para un presupuesto de $5,850. Los incrementos por encima de este nivel no necesariamente serían provechosos. Nótese también que el precio dual de -17 para el requisito de las tiendas al menudeo sugería la deseabilidad de reducir

100

CAPÍTULO TRES

tal compromiso. El intervalo de factibilidad que se muestra en la tabla anterior para esta restricción, muestra que el compromiso se podría reducir a cero y el valor de la reducción se daría a razón de $17 por unidad. Es de indicar de nuevo que el análisis de sensibilidad o análisis de post-optimidad que se ofrece en los paquetes de programas de computadora para problemas de programación lineal, considera solamente un cambio a la vez, manteniendo todos los demás coeficientes del problema según se especifkan en su planteamiento original. Como se mencionó antes, en ocasiones pueden analizarse cambios simultáneos sin tener que volver a resolver el problema, suponiendo que los cambios acumulados no son suficientemente grandes para infringir la regla del 1OOOJo. Finalmente, conviene recordar que la solución completa para el problema de Electronic Communications requería información no sólo sobre el número de unidades que debían distribuirse a través de cada canal, sino también sobre la asignación del presupuesto de publicidad y sobre la fuerza de ventas a cada canal de distribución. Como la solución óptima es x 1 = 25, x 2 = 425, x 3 = 150 y X 4 = O, puede simplemente evaluarse cada uno de los términos para una constante determinada a fin de determinar qué proporción del recurso se asigna a cada canal de distribución. Por ejemplo, la restricción sobre el presupuesto de publicidad,

muestra que 10x1 = 10(25) = $250, 8x2 = 8(425) = $3400, 9x3 = 9(150) = $1350, y 15x4 = 15(0) = $0. Por ello, las asignaciones del presupuesto de publicidad son, respectivamente, $250, $3,400, $1,350 y $0 para cada uno de los cuatro canales de distribución. Haciendo cálculos similares para la restricción sobre la fuerza de ventas se obtienen los resultados que se presentan en el reporte gerencial de la solución óptima para el problema de Electronic Communications que se muestra en la Tabla 3.2.

TABLA 3.2

Estrategia de maximización de utilidades para el problema de Electronic Communications, Inc . Canal de distribución

Volumen

Distribuidores de equipo marino Distribuidores de equipo para negocios Cadena nacional de tiendas de menudeo Pedidos por correo Totales Utilidad total que se proyecta

25 425 150

$

250 3400 1350

$

5000

o 600

=

Asignación de Asignación de personal publicidad de ventas (horas)

o

50 1275 450

o 1775

$48,450

RESUMEN En este capítulo se presentaron los importantes conceptos de análisis de sensibilidad y se ilustró la forma en que pueden utilizarse paquetes de programas de computación (software) para resolver problemas de programación lineal. En primer lugar se llevó a cabo un análisis


gráfico de sensibilidad con objeto de ilustrar la forma en que un cambio en un coeficiente de la función objetivo, o en el lado derecho de una restricción, puede afectar a la solución óptima del problema. Se presentaron métodos para determinar los intervalos de optimidad para los coeficientes de la función objetivo y para los intervalos de optimidad de los lados derechos de las restricciones. Se expuso el concepto de precio sombra como medida del cambio en el valor de la función objetivo para un aumento unitario en el lado derecho de una restricción. En casos en los que la restricción implica un límite sobre un recurso disponible, el precio sombra ofrece una información importante que ayuda a determinar la deseabilidad de obtener unidades adicionales de ese recurso . El precio dual ofrece esencialmente la misma información sobre el mejoramiento que se obtiene en el valor óptimo de la función objetivo por cada incremento unitario en el lado derecho de una restricción. Los precios sombra y duales son iguales en los problemas de maximización; en el caso de problemas de minimización, son iguales en valor absoluto pero tienen signos opuestos . El análisis de sensibilidad se lleva a cabo después de que se obtiene la solución óptima para el problema original de programación lineal. Por esta razón, con frecuencia se denomina análisis de post-optimidad al análisis de sensibilidad. Los procedimientos normales del análisis de sensibilidad se basan en el supuesto de que sólo cambia uno de los coeficientes del problema; se supone que todos los demás coeficientes se mantienen constantes en su valor inicial. Es posible realizar un análisis limitado de sensibilidad sobre el efecto que se obtiene al variar más de un coeficiente a la vez. Puede determinarse el efecto de los cambios en ambos coeficientes de una función objetivo en un problema de dos variables volviendo a calcular la pendiente (-c/ c). En el caso de problemas más grandes, puede determinarse el efecto de los cambios simultáneos utilizando la regla del 10007o. Como los métodos gráficos y el análisis gráfico de sensibilidad se limitan a programas lineales con sólo dos variables de decisión, se presentó un procedimiento de solución mediante computadora, en calidad de método práctico para resolver problemas de programación lineal con cualquier número de variables de decisión. Aunque existen disponibles muchos paquetes de computación (software) para obtener soluciones computadorizadas, se utilizó The Management Scientist para mostrar las soluciones de programación lineal en microcomputadora. Se ilustró luego el aspecto "amistoso con el usuario" de la introducción de datos. Después se mostraron los resultados computadorizados para tres problemas de ejemplo con objeto de ilustrar el uso y la interpretación de los resultados . Además del valor de la función objetivo y de los valores óptimos de las variables de decisión, los listados de computadora presentan diversas informaciones adicionales referentes a holguras, excedentes y precios duales, así como también sobre los intervalos o márgenes de los coeficientes de la funcón objetivo y los intervalos de los lados derechos . En el apéndice de este capítulo se muestra la forma en que se utiliza el frecuente utilizado paquete de computación LINDO/ PC, elaborado por Linus E. Schrage, de la Universidad de Chicago .

GLOSARIO Análisis de post-optimidad Otro nombre para el análisis de sensibilidad, que indica que el análisis se lleva a cabo después de que se obtiene la solución óptima para el problema original de programación lineal. . Análisis de sensibilidad Evaluación de la forma en que los cambios en los coeficientes de un problema de programación lineal afectan a la solución óptima del problema.

102

CAPÍTULO TRES

Costo reducido Monto en que tendrían que mejorar un coeficiente de la función objetivo (aumentar para un problema de maximización, o disminuir en el caso de un problema de minimización) antes de que fuera posible que la correspondiente variable asumiera valores positivos en la solución óptima. Intervalo de optimidad El intervalo (o "rango") de valores sobre el que puede variar un coeficiente de la función objetivo sin ocasionar cambios en los valores de las variables de decisión en la solución óptima. Precio dual Mejoramiento en el valor de la función objetivo por cada incremento unitario en el lado derecho de una restricción. En un problema de maximización el precio dual es el mismo que el precio sombra. En un problema de minimización el precio dual es el negativo del precio sombra . Precio sombra (o de sombra) Cambio en el valor de la función objetivo por cada aumento unitario en el lado derecho de una restricción. Rango de factibilidad El rango de valores sobre los que puede variar el lado derecho de una restricción sin que cambie ni el valor ni la interpretación de los precios sombra o duales. Regla del lOO por ciento Una regla que señala los casos en los que cambios simultáneos en dos o más coeficientes de la función objetivo no ocasionan cambios en los valores óptimos de las variables de decisión . También se puede aplicar para señalar los casos en los que cambios en dos o más lados derechos no ocasionan cambios en ninguno de los precios duales.

PROBLEMAS l. Recuérdese el problema de la compañía RMC (Cap. 2, Probl. 31). Sean x1 x2

toneladas de aitivo de combustible producidas toneladas de base disolvente producidas

lo cual conduce al siguiente planteamiento del problema: max

40x 1

+

30x 2

+

l/zx2

~

20

Material 1

YsX2

~

5

Material 2

3fwx 2 ~ 21

Material 3

sujeta a 2/sx

1

3/sX 1

+

x 1, x 2

:2:

O

Utilice el método gráfico de análisis de sensibilidad para determinar qué intervalos de valores de las utilidades por tonelada de aditivo para combustibles y de base disolvente pueden existir sin que esto ocasione que se modifique la solución óptima actual de la RMC, que era de 25 toneladas de aditivo de combustible y 20 toneladas de base disolvente. 2. Utilice el método del análisis gráfico de sensibilidad en el caso de la RMC para determinar qué es lo que sucede si se tienen disponibles 3 toneladas adicionales del material 3. ¿Cuál es el correspondiente precio sombra?


3. Considérese el programa lineal que aparece en seguida 2x¡ + 3x2 sujeta a max

X¡ + 2x¡ +

Xz S

10

Xz :::::

4

X¡ + 3x2 s 24 2x¡ + x2 s 16 x 1 , x2 ::::: O

a. Resuelva este problema aplicando el procedimiento gráfico de solución. b. Determine el intervalo de optimidad para c 1 c. Determine el intervalo de optimidad para c2 d. Supóngase que se aumenta c 1 de 2 a 2.5. ¿Cuál es la nueva solución óptima? e. Supóngase que se reduce c2 de 3 a l. ¿Cuál es la nueva solución óptima? 4. Con referencia al problema 3. a. Calcule los precios sombra para las restricciones 1 y 2, e interprételos. b. ¿Cuáles son los precios duales para las restricciones 1 y 2? Interprételos. 5. Considérese el progral!la lineal que aparece en seguida: min

X¡

+ x2

sujeta a

+ 2x2 2x¡ + Xz X¡ + 6x 2 X¡

2:::

7

:::::

5

2:::

11

x 1,x2 2:0

a. Resuelva este problema utilizando el método gráfico de solución. b. Determine el intervalo de optimidad para c 1• c. Determine el intervalo de optimidad para cr d. Suponga que se aumenta c 1 a 1.5. Obtenga la nueva solución óptima. e. Supóngase que se disminuye c2 a 113. Obtenga la nueva solución óptima. 6. Con referencia al Problema 5, a. Calcular e interpretar los precios sombra para las constantes. b. ¿Cuáles son los precios duales? Interpretarlos. 7. Considérese el programa lineal que aparece en seguida:

max

5x 1 + 7x2

sujeta a 2x¡ + x2 2::: 3 -x¡ + 5x2 ::::: 4 2x 1 3x2 s 6 3x 1 + 2x2 s 35 3/7X¡ + X2 S lO x 1, x2

:::::

O

104

CAPÍTULO TRES

8.

9.

10.

11.

a. Resuelva este problema utilizando el método gráfico de solución. b. Determine el intervalo de optimidad para e 1• c. Determine el intervalo de optimidad para e2 • d. Supóngase que se disminuye e, a 2. ¿Cuál es la nueva solución óptima? e. Supóngase que se aumenta e2 a 10. ¿Cuál es la nueva solución óptima? Haciendo referencia de nuevo al Problema 7, y suponiendo que se reduce a 3 el coeficiente de e2 en la función objetivo: a. Resuélvalo utilizando el procedimiento gráfico de solución óptima. b. Calcule los precios duales para las restricciones 2 y 3. En referencia otra vez al problema 3. a. Considere que se aumentan e 1 a 3 y e2 a 4. Obtenga la nueva solución óptima. b. Supóngase que se aumenta e 1 a 3 y que se disminuye e2 a 2. Halle la nueva solución óptima. Haciendo referencia de nueva cuenta al Problema 7. a. Considere que se disminuye e 1 a 4 y que se aumenta e2 a 10. Obtenga la nueva solución óptima. b. Considere que se disminuye e, a 4 y que se aumenta e2 a 8. Obtenga la nueva solución óptima. c. Suponga que se aumentan e 1 a 20 y e2 a 28. Obtenga la nueva solución óptima. Recuérdese el problema de la empresa Kelson Sporting Equipment (Cap. 2 Probl. 17). Sean x1 cantidad de guantes normales x2 cantidad de guantes para eateher lo cual conduce al siguiente planteamiento : max

5x 1

+ 8x2

sujeta a

+ J/2 x 2 ::s 900 Corte y costura Y2x 1 + 1/J x2 ::s 300 Terminado 1/s x + 1/ 4x ::s 100 Empaque y embarque 1 2 x1

La solución por computadora que se obtuvo utilizando el paquete TMS o The Management Scientist, se muestra en la Fig. 3.11. a. ¿Cuál es la solución óptima y cuál es el valor de la contribución a las utilidades? b. ¿Qué restricciones son limitantes? c. ¿Cuáles son los precios duales para los recursos? Interprete cada uno. d. Si se puede programar tiempo extra para uno de los departamentos, ¿en dónde recomendaría que se hiciera? · 12. Con referencia de nuevo a la solución por computadora para el problema de la Kelson Sporting Equipment, de la Fig. 3.11 (véase el Problema 11 anterior). a. Determine los intervalos de optimidad para los coeficientes de la función objetivo. b. Interprete los márgenes de la parte {a) para el problema de la Kelson. c. Interprete el intervalo de factibilidad para los lados derechos. d. ¿Cuánto mejoraría de la solución óptima si se dispone de 20 horas de tiempo de empaque y embarque.


Valor de la función objetivo

Valor

Costos reducidos

X1 X2

500 . 001500 149 . 999298

0 . 000000 0 . 000000

Restricción

Holgura/ Excedente

Precios duales

1

174.99963 4 0.000000 0 . 000000

0 . 000000 2 . 999985 28 . 000061

Variable

2

3


Lí.:nite inferior

X1 X2

4 .000000 3 . 333300

Valor actual

Límite superior

5 . 000000 8 . 000000

12 . 000120 10.000000

INTERVALOS DE LOS LADOS DERECHOS Restricción

Límite inferior

1 2 3

FIGURA 3.11

Valor actual

725 . 000370 133 . 332016 7 4. 999992

900 . 000000 300 . 000000 100 . 000000


400 . 000000 134 . 999817

Solución de The Management Scientist para el problema de la compañía Kelson Sporting Equipment.

13. Recuérdese el problema del asesor de inversiones (Cap. 2, Probl. 20) . Sean

x1

= acciones de U.S. Oil x 2 = acciones de Hub Properties

lo cual conduce al siguiente planteamiento: max

3x 1 +

Rendimiento anual máximo

sujeta a

25x 1 +

50x 2 s 80,000 700

s

1000

Fondos disponibles Riesgo máximo Máximo en la U.S. Oil

En la Fig. 3.12 se muestra la solución por computadora de este problema. a. ¿Cuál es la solución óptima y cuál el valor del rendimiento anual total estimado? b. ¿Qué restricciones son limitantes? ¿Cuál es la interpretación de éstas en términos del problema? c. ¿Cuáles son los precios duales para las restricciones? Interprete uno. d. ¿Sería provechoso relajar la restricción sobre la cantidad que se invierte en la firma U.S. Oil? ¿Por qué sí o por qué no?

106

CAPÍTULO TRES Valor de la función objetivo

8399 .999000

Variable

Valor

Costos reducidos

Xl X2

800.000120 1199 . 999880

0 . 000000 0 . 000000

Restricción

Holgura/ Excedente

1

0.000000 0.000000 199.999878

2

3

Precios duales

0 . 093333 1. 333333 0 . 000000


Límite inferior

Valor actual

2 . 500000 l . 500000

3 . 000000 5. 000000

Lí_~ite

superior

-------------- ----- - ----------- ---------------- --------------Xl X2

10 . 000000 6 . 000000


Límite inferior

1 2 3

65000 . 008000 399 . 999970 800 . 000120

FIGURA 3.12

Valor actual

80000 . 000000 700.000 0 00 1000 . 000000

Límite superior

1 4 0000 . 0 1 6000 77 4. 9999 4 0 No hay límite superior

Solución de The Management Scientist para el problema de Investment Advisors.

14. Haciendo referencia de nueva cuenta a la Fig. 3 .12, que muestra la solución por computadora del problema 13. a. ¿Cuánto tendría que aumentar el rendimiento estimado para la U .S. Oil antes de que resultara provechoso aumentar la inversión en estas acciones? b. ¿Cuánto tendría que disminuir el rendimiento esperado por acción para Hub Porperties antes que resultara provechoso reducir la inversión en estas acciones? c. ¿Cuánto tendría que reducirse el rendimiento anual total si se redujera el máximo para la U.S. Oil, a 900 acciones? 15. Recuérdese el problema de la firma Wilkinson Motors (Cap. 2, Probl. 29). Sean

x1 x2

número de automóviles número de camionetas

lo cual conduce al siguiente planteamiento: max

400x 1 + 500x2

Contribución máxima de utilidades

sujeta a 3x2

::::;

900 Tiempo de preparación en la distribuidora

::::; 300 Ix 2

::::;

150

Límite de automóviles Límite de camionetas



Valor

Costos reducidos

X1 X2

300.000000 100.000000

0 . 000000 0.000000

Restricción

Holgura/ Excedente

1 2 3

0.000000 0.000000 50.000000

Precios duales

166 . 666672 66 . 666656 0 . 000000


Límite inferior

X1 X2

Valor actual

333 . 3333 40 0 . 000000

4 OO . OOOOOO


500 . 000000

600.000000


1 2 3

FIGURA 3.13

Límite inferior

Valor actual

600.000000 225.000000 100.000000

900.000000 300.000000 150.000000

Límite superior

1050.000000 450.000000 No hay límite superior

Solución de The Management Scientist para el problema de Wilkinson Motors.

En la Fig. 3.13 se muestra la solución por computadora de este problema. a. ¿Cuántos automóviles normales y cuántas camionetas debe pedir la Wilkinson? ¿Cuál será la contribución a las utilidades si se venden todas las unidades que se piden? b. ¿Cuánto tendría que disminuir la contribución a las utilidades de los automóviles normales antes de que la Wilkinson evaluara la posible modificación de su solución óptima? c. ¿Puede la empresa considerar un aumento en el límite de las camionetas que se piden, por encima de 150? d. Si se reduce en $30 la contribución a las utilidades de los automóviles normales y se aumenta en $50 la contribución a las utilidades de las camionetas, ¿debería la compañía evaluar la posibilidad de cambiar el pedido? Explique. 16. Recuérdese el problema de la compañía Innis Investments (Cap. 2, Probl. 27) . Sean

x1

= unidades compradas en el fondo de acciones x 2 = unidades compradas en el fondo de mercado de dinero

lo cual conduce al siguiente planteamiento: min

8x 1 +

3x2

sujeta a

+ 100x2 :s 1,200,000 Fondos disponibles 4x2 2= 5x 1 + 60,000 Ingreso anual

50x 1

x2 2= X 1 , x 2 2=

0

3,000

Mínimo de unidades en el mercado de dinero

108

CAPÍTULO TRES

En la Fig. 3.14 se muestra la solución por computadora. a. ¿Cuál es la solución óptima y cuál es el riesgo mínimo total? b. Especifique el intervalo de optimidad para los coeficientes de la función objetivo . c. ¿Cuál será el ingreso anual que se obtenga con esa cartera? d. ¿Cuál es la tasa de rendimiento de la cartera? e. ¿Cuál es el precio dual para la restricción de los fondos disponibles? f. ¿Cuál es la tasa marginal de rendimiento sobre los fondos extra que se incluyen en la cartera? 17. Con referencia de nuevo al Probl. 16 y a la solución por computadora que se muestra en la Fig. 3.14: a. Supóngase que aumenta el índice de riesgo para el fondo de acciones (el valor de c 1) , de su valor actual de 8, hasta 12. ¿De qué manera cambia la solución óptima, si es que cambia? b. Supóngase que aumenta el índice de riesgo para el fondo de mercado de dinero (el valor de c2) de su valor actual de 3, a 3.5. ¿De qué manera varía la solución óptima si es que lo hace? c. Supóngase que se aumenta c 1 a 12 y c2 a 3.3. ¿Como cambia la solución óptima, si es que lo hace?

62000.000000

Valor de la función objetivo = Variable

Costos reducidos

Valor

X1 X2

3999 . 998000 10000 . 002000

0 . 000000 0 . 000000

Restricción

Holgura/ Excedente

Precios duales

1 2 3

0 . 000000 0 . 000000 7000 . 002000

0 . 056667 - 2 . 166667 0 . 000000

INTERVALOS DE COEFICIENTES DE LA FUNCIÓN OBJETIVO Variable Xl X2

Límite inferior 3 . 750000 No hay límite sup13rior

Valor actual 8 . 000000 3. 000000

Límite superior No hay límite inferior 6 . 400000

INTERVALOS DE LOS LADOS DERECHOS Restricción 1 2 3

FIGURA 3. 14

Límite inferior 779999 . 880000 4 8000 . 008000 No hay límite superior

Valor actual 1200000 . 000000 6 0000.000000 3000 . 000000

Solución de The Management Scientist para el problema de Innis Investments.

Límite superior 14 99999 . 7 5 0000 102000 . 016000 1 0000 . 00 2 000


18. Supóngase que en un problema de mezcla de productos x 1 , x 2 , x 3 , y x 4 indican las unidades de los productos 1, 2, 3 y 4, respectivamente, y que el programa lineal es

max

4x 1 + 6x 2 + 3x3 + lx 4

sujeta a 1.5X¡ + 2x 2 + 4x 3 + 3x4 4x 1 + lx 2 +

+ 1x4 + 2x4

2x3

2x¡ + 3x2 + lx 3 x 1 , x2 , x 3 , x4

a. b. c. d.

2:

::5

550

Horas en la máquina A

::5

700

Horas en la máquina B

::5

200

Horas en la máquina C

O

En la Fig. 3. 15 se muestra la solución por computadora que se obtiene utilizando The Management Scientist. ¿Cuál es la solución óptima y cuál es el valor de la función objetivo? ¿Cuáles restricciones son limitantes? ¿Qué máquinas tienen disponible capacidad en exceso? ¿Qué tanta? Si se aumenta en 0.50 el coeficiente de c 1 de la función objetivo, ¿cambia la solución óptima?

525 .000000

Valor de ·1a función objetivo Variable

X1 X2 X3 X4 Restricción 1 2

3

Valor

Costos reducidos

0 . 000000 2 5. 00000 4 1 2 5. 000000 0 . 000000

0 . 0 5 0000 0.000000 0 . 000000 3 .5 00000

Holgura t Excedente

Precios duales

0.300000 0.000000 1 .800000

0 . 000000 425. 000000 0.000000

INTERVALOS DE COEFICIENTES DE LA FUNCIÓN OBJETIVO · variable

Límite inferior

X1 X2 X3 X4

No hay límite inferior

5.923 0 77 2.0 00 00 0 No hay límite inferior

Limite superior

Valor actual

4. 0 5 000 0 9.0 000 00 12.00 0 000 4.5 0000 0

4. 000000 6. 0 0 0000 3.000 000 1. 000 0 00

INTERVALOS DE LOS LADOS DERECHOS Restricción 1 2

3

FIGURA 3.15

Límite inferior

133.333344 2 7 5 .00 00 00 1 3 7.5 0 000 0

Límite superior

Valor actual

55 0 . 00 0 000 700 . 000000 2 00 . 000 0 00

800 . 000000 No hay límite superior

Solución para el problema 18 obtenido mediante The Management Scientist.

82 4. 9999 4 0

110

CAPÍTULO TRES

19. Con referencia de nuevo a la solución por computadora del Probl. 18 que aparece en la Fig. 3.15. a. Identifique el intervalo de optimidad para cada uno de los coeficientes de la función objetivo. b. Supóngase que se disminuye en 3 el coeficiente de x 1 en la función objetivo, que se aumenta en 1.5 el coeficiente de x2 en dicha función y que se aumenta en 1 el coeficiente de x4 en la misma función. ¿Cuál será la nueva solución óptima? c. Identifique el intervalo de factibilidad para los valores del lado derecho. d. Si se aumenta en 300 el número de horas disponibles en la máquina A, ¿cambia el precio real para la restricción? 20. Considérese el siguiente problema de programación lineal y la solución por computadora que se muestra en la Fig. 3.16 min

15x 1 + I5x2 + 16x3

sujeta a lx 1

0.5x 1 3x 1

Valor de la función objetivo =

Restricción 1

2 3

+

4x 2

Ix3

:::5

30

6x 3 :::=: 15 Ix 3 :::=: 20

139.729736 Valor

Costos reducidos

7.297298 0.000000 l. 891892

0.000001 0.675674 0.000001

Variable

Xl X2 X3

Ix 2

+ +

Holgura/Exc~dente

Precios duales

20.810810 0.000000 0.000000

0.000000 -3.405406 -4.432433

INTERVALOS DE LOS COEFICIENTES DE LA FUNCIÓN OBJETIVO Variable

!

Xl X2 X3

Límite inferior 1.333333 14.324326 13.500005

Valor actual

1e

15.000000 15 . OOOOOO 16.000000

Limite superior 15.543477 No hay límite superior 180.000000

INTERVALOS DE LOS LADOS DERECHOS Restricción 1

2 3

FIGURA 3.16

Límite inferior 9.189190 3.333333 -2.500000

Valor actual 30.000000 15.000000 20.000000

1e

Límite superior No hay límite superior 111.249992 89.999992

Solución del problema 20 obtenido mediante The Management Scientist.


a. b. c. d. e.

¿Cuál es la solución óptima y cuál el valor óptimo para la función objetivo? ¿Cuáles restricciones son limitantes? ¿Cuáles son los precios duales? Interprete cada uno. ¿Cuáles son los precios sombra? Si se pudiera modificar el segundo miembro de una restricción en una unidad, ¿cuál eligiría? ¿Cuál sería el nuevo valor del lado derecho? 21. Con referencia de nuevo a la solución por computadora del Probl. 20 que aparece en la Fig. 3.16, a. Interprete los rangos de optimidad para los coeficientes de la función objetivo. b. Supóngase que se incrementa c1 en 0.25. ¿Cuál es la nueva solución óptima? c. Supóngase que se aumenta c 1 en 0.25 y que se disminuye c2 en 0.25 ¿Cuál es la nueva solución óptima? 22. La firma Supersport Football, lnc., tiene el problema de determinar el mejor número de modelos de balones de fútbol americano que debe fabricar para maximizar sus utilidades. Los modelos son All-Pro (x1), College (x) y High School (x3); las restricciones incluyen limitaciones sobre la capacidad de producción (minutos de tiempo disponible) en cada uno de tres departamentos (corte y teñido, costura e inspección y empaque), así como también una restricción que exige que se fabriquen cuando menos 100 pelotas All-Pro. El modelo de programación lineal para el problema de la Supersport es el que se muestra en seguida: max

3x 1

+ 5x2 + 4x3

sujeta a 12x¡ + 10x2 + 8x3 $ 18,000 Corte y teñido 15x 1 + 15x2 + 12x3$ 18,000 Costura 3x 1

+ 4x2 + 2x3 $ 9,000 Inspección y embalaje

1x 1 X¡,

2::

1,000

Modelo All-Pro

Xz, x3 2:: Ü

En la Fig. 3.17 se muestra el listado de computadora con la solución para el problema de la Supersport. a. ¿Cuántos balones de cada tipo debe fabricar con objeto de maximizar la contribución a las utilidades? b. ¿Qué restricciones son limitantes? c. Interprete la holgura y/o el excedente en cada restricción. d. Interprete el intervalo de optimidad para la contribución a las utilidades de los tres balones. 23. Con referencia de nuevo a la solución por computadora del Probl. 22: (véase la figura 3.17) a. Las tarifas para el tiempo extra en el departamento de costura son de $12 hora. ¿Recomendaría usted que la compañía evalúe la posibilidad de utilizar el tiempo extra en ese departamento? Explicar b. ¿Cuál es el precio sombra para la cuarta restricción? Interpretar su valor para la administración. c. Obsérvese que el costo reducido para x 3 es cero, pero x 3 no se encuentra en la solución con valor positivo. ¿Qué interpretación se da a esto? d. Supóngase que se aumenta en $1la contribución a las utilidades del balón tipo College. ¿Cómo se esperaría que cambie la solución?

112

CAPÍTULO TRES 4000.000000


Valor

Costos reducidos

X1 X2 X3

1000 . 000000 200.000122 0 . 000000

0.000000 0.000000 0 . 000000

Restricción

Holgura/ Excedente

1

4000.000000 0.000000 5199 . 999 5 00 0 . 000000

2

3 4

Precios duales 0 0 0 -2

. 000000 . 333333 . 000000 . 000000

INTERVALOS DE LOS COEFICIENTES DE LA FUNCIÓN OBJETIVO Variable X1 X2 X3

Límite inferior

Valor actual 1e

No hay límite inferior 5. 000000 No hay límite superior

3 . 000000 5 . 000 00 0 4. 0 0 0000

Límite superior 5. 000000 No hay límite superior 4. 000000

INTERVALOS DE LOS LADOS DERECHOS Restricción 1 2 3 4

FIGURA 3.17

Límite inferior

Valor actual

te

1800 0 .00 0000 18 000 .00 00 0 0 900 0 .000 0 0 0 10 0 0. 0 0 0000

1 4 000 . 000000 1 4999 . 998000 3800 . 000500 0 . 000000

Límite superior No hay límite superior 2 4 000 . 000000 No hay límite inferior 1 200 . 000 1 20

Solución del problema de Supersport Footballs obtenido mediante The Management Scientist.

Nota: Los Problemas 24 y 25 y el caso del final requieren de una solución por computadora y de la interpretación de los resultados . 24. Un fabricante elabora tres componentes que vende a compañías de refrigeración, los cuales se procesan en dos máquinas: una cepilladora y una rectificadora. Los tiempos (en minutos) que se requieren en cada máquina son los que se presentan en seguida:

Componente 1 2 3

Máquina-herramienta Cepilladora Rectificadora

6 4 4

4 5 2

La cepilladora está disponible durante 120 horas y la rectificadora lo está durante 110 horas . No se pueden vender más de 200 unidades del componente 3, pero pueden venderse hasta 1000 unidades de cada uno de los otros componentes. De hecho, la compañía ya tiene pedidos para 600 unidades del componente 1 que debe satisfacer. Las contribuciones a las utilidades de los componentes 1, 2 y 3 son $8, $6 y $9, respectivamente.


a. Plantee el problema y determine las cantidades de producción que se recomiendan. Utilice cualquier programa de computación disponible. b. ¿Cuáles son los intervalos de optimidad para las contribuciones a las utilidades de los 3 componentes? Interprete estos márgenes para los administradores de la compañía c. ¿Cuáles son los intervalos de factibilidad para los lados derechos? Interprete estos intervalos para los administradores de la compañía. d. Si se pudiera tener a disposició.n más tiempo en la cepilladora, ¿cuánto valdría? e. Si se pudieran vender más unidades del componente 3 reduciendo su precio de venta en $4, ¿debería la compañía reducir el precio? 25. La firma Pfeiffer Company administra aproximadamente 15 millones de dólares para sus clientes . La empresa elige, para cada cliente, una mezcla de tres tipos de inversión: un fondo de acciones de crecimiento, un fondo líquido y un fondo de mercado de dinero. Cada uno de los clientes tiene diferentes objetivos de inversión y distinta tolerancia para los riesgos. Con objeto de ajustarse a estas diferencias, Pfeiffer limita el porcentaje de cada cartera que se pueda invertir en los tres fondos y le asigna un índice de riesgo de cartera a cada cliente. En seguida se plantea la forma en que funciona el sistema para Dennis Hartmann, uno de los clientes de la empresa. Con base en la evaluación que se hace sobre la tolerancia al riesgo de Hartmann, la Pfeiffer le ha asignado a su cartera un índice de riesgo de .05 . Además, para mantener la diversidad, la fracción de la cartera de Hartmann que se invierte en los fondos de crecimiento y líquido debe ser de cuando menos 100Jo de cada uno, y se debe invertir cuando menos 20% en el fondo de mercado de dinero. Las calificaciones de riesgo para los fondos de crecimiento, líquido y de mercado de dinero son 0.10, 0.05 y 0.01, respectivamente. Se calcula un índice de riesgo de cartera como promedio ponderado de las calificaciones de riesgo para los tres fondos, en donde los pesos son las fracciones de la cartera que se invierten en cada uno de los fondos. Hartmann ha depositado con Pfeiffer $300,000 para que los administre. La Pfeiffer pronostica en esos momentos un rendimiento de 20% para el fondo de crecimiento, de 10% sobre el fondo líquido, y de 6% sobre el fondo de mercado de dinero . a. Desarrolle un modelo de programación lineal para elegir la mejor mezcla de inversiones para la cartera de Hartmann. b. Utilice cualquier programa de programación para resolver el modelo que se desarrolló en la parte (a). c. ¿Cuánto pueden variar los rendimientos de los tres fondos antes de que sea necesario que Pfeiffer modifique la cartera de Hartmann? d. Si Hartmann tolerara mejor el riesgo, ¿qué incremento en los rendimientos se podría esperar? Por ejemplo, ¿qué sucedería si se aumenta a 0.06 su índice de riesgo de cartera? e. Si Pfeiffer modificara su estimación de los rendimientos para el fondo de crecimiento, para colocarlo en 0.10, ¿de qué manera recomendaría que se modificara la cartera de Hartmann? f. ¿Qué información debe mantener Pfeiffer sobre cada cliente con objeto de utilizar este sistema para administrar las carteras de sus clientes? g. La Pfeiffer revisa semanalmente sus estimaciones de rendimiento para los tres fondos. Supóngase que la firma tiene 50 clientes . Describa la forma en la que considera que la Pfeiffer hace modificaciones semanales a la cartera de cada cliente y sobre la forma en que decide cómo asignar los fondos totales que administra entre los tres fondos de inversión.

114

CAPÍTULO TRES

CASO DE APLICACIÓN PRÁCTICA

MEZCLA DE PRODUCTOS La compañía TJ's, loe. produce tres mezclas de nueces para venderlas a cadenas de tiendas de abarrotes. Las tres clases, a las que denomina Mezcla Regular, Mezcla de Lujo y Mezcla Holiday, se producen mezclando diferentes porcentajes de 5 tipos de nueces. Al prepararse para la temporada de otoño, la firma acaba de adquirir las siguientes cantidades de nueces, a los precios que se indican:

Tipo de nuez

Cantidad en el envío (libras)

Costo por remesa

6000 7500 7500 6000 7500

$7500 $7125 $6750 $7200 $7875

Almendra Nuez del Brasil Avellana Nuez común Nuez de Castilla

La Mezcla Regular consiste en 150Jo de almendras, 25% de nueces de Brasil, 25% de avellanas, 10% de nueces comunes y 25% de nueces de Castilla. La Mezcla de Lujo consiste en 20% de cada tipo y la Mezcla Holiday consiste en 25% de almendras, 15% de nueces de Brasil, 15% de avellanas, 25% de nueces comunes y 20% de nueces de Castilla. El contador de TJ's ha analizado el costo de los materiales de empaque, el precio de venta por libra, etc., y determinado que la contribución a las utilidades es de $1.65 (dólares) por libra de la Mezcla Regular, $2.00 por libra de la Mezcla de Lujo y $2.25 por libra de la Mezcla Holiday. Estas cifras no incluyen el costo de las nueces que se tienen en las diferentes combinaciones, porque los costos pueden variar en gran medida en el mercado de productos perecederos. Ya se han recibido los siguientes pedidos de clientes:

Tipo de mezcla

Normal De lujo Holiday

Pedido (libras)

10,000 3,000 5,000

Como la demanda está siendo alta, se espera que la empresa reciba muchos más pedidos de los que puede satisfacer. El compromiso de la TJ's es utilizar las nueces disponibles para maximizar las utilidades en la temporada de otoño. Las que no se utilizan se regalan a una Tienda Gratuita. Pero, aun cuando no es redituable hacerlo, el presidente de TJ's ha dado órdenes de que se satisfagan todos los pedidos que ya se han recibido.


REPORTE DE ADMINISTRACIÓN Realice un análisis del problema de mezcla de productos para TJ's y elabore un reporte para el presidente de la compafiía en el que se resuman los resultados. Es importante aseguarse de incluir la información y los análisis sobre lo siguiente: l. El costo por libra de las nueces que se incluyen en cada una de las mezclas. 2. La mezcla óptima de productos y su contribución a las utilidades. 3. Recomendaciones sobre la forma en que pueden aumentarse las contribuciones a las utilidades si es posible adquirir cantidades adicionales de nueces. 4. Una recomendación con respecto a si TJ's debe adquirir mil libras adicionales de almendras en $1,000, a un proveedor que tiene excedentes. S. Recomendaciones con respecto a la forma en que pueden aumentarse las contribuciones a las utilidades (si es que fuera posible) en caso de que T J's no satisfaga todos los pedidos existentes.

t

t t

~

1

t

APÉNDICE Resolución de programas lineales con el paquete LINDO/PC LINDO/PC, elaborado por el investigador Linus E. Schrage, de la Universidad de Chicago, es una versión para microcomputadoras del paquete de computación LINDO que está ampliamente disponible para maxicomputadoras (mainjrames). El paquete permite al usuario interactuar con la computadora a manera de conversación. Esto señala que una vez que se ha cargado el programa en la computadora, el usuario introduce la función objetivo y las restricciones según lo solicita tal programa. Una vez que el usuario está seguro de que los datos ingresados son correctos, da la instrucción GO, y el sistema LINDO/ PC resuelve el problema. La solución óptima y la información correlativa se presentan al usuario en el monitor de la computadora. Se utilizará el problema de la compañía a fin de ilustrar el uso de LINDO/PC. En la Fig. 3.18 se muestra la porción de datos de entrada de una sesión de LINDO/PC en una Computadora Personal de IBM. La información que el usuario teclea se muestra en tono gris, y la respuesta del paquete de computación aparece en negro. Obsérvese en particular la naturaleza interactiva del sistema, ya que se alternan las entradas del usuario y las respuestas de LINDO/PC. En seguida se describen algunas instrucciones* y símbolos específicos de la Fig. 3.18: l. El "A>" es la indicación (prompt) de la PC de IBM que indica que está lista para recibir

2. 3. 4. 5. 6.

7. 8.

datos. La instrucción (comando) tecleada por el usuario, "LINDO", hace que se cargue el programa LINDO/PC: LINDO/PC comienza por enviar el símbolo'':" para indicar que espera instrucciones del usuario: El usuario teclea la función objetivo, tal como aparece en el planteamiento matemático del problema. Después, LINDO/PC manda el símbolo "?" para indicar que espera datos adicionales con respecto al programa lineal que ha de resolverse. El usuario ingresa ST, que quiere decir "sujeto a" (del inglés, "subject to") para notificar al programa que lo que sigue son las restricciones. Después que se introduce cada una de las restricciones con el símbolo < que LINDO/PC interpreta como :5, el usuario ingresa END (fin), lo cual indica que se ha terminado la introducción de los datos . De nueva cuenta, LINDO/PC responde con ":" para indicar que espera una instrucción. El usuario introduce la instrucción optativa LOOK ALL ("ver todo"), lo cual da como resultado que la computadora imprima el problema de programación lineal que LINDO/PC está listo para resolver. LOOK ALL no es una instrucción que se requiera, pero su uso permite realizar una verificación sencilla sobre la exactitud de los datos de entrada. Con *N. del T. Comúnmente se traduce "command" en la jerga de la computación cuando debiera ser "instrucción" u "orden". Creo que el uso de "instrucción" aquí no choca demasiado con el uso en el medio y sí favorece una mejor comprensión de lo que se está haciendo .

116

i

1

PROGRAMACIÓN LINEAL: ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Y RESOLUCIÓN POR COMPUTADORA 117 A> LINDO LINDO / PC

El comando o instrucción del usuario carga el programa LINDO/ PC a partir de un disco flexible

MAX 10X1 + 9X2 ST . 7X1 + 1X2 < 630 ? . 5X1 + . 83333X2 < 600 ? 1Xl T . 66667X2 < 708 .1X1 + . 25X2 < 135

El usuario introduce el problema

? END

VEA TODO MAX

10 X1 + 9 X2

SUJETA A 2) 3) 4)

5)

0.7 X1 + X2 <= 630 0 . 5 X1 + 0.83333 X2 X1 + 0 .66667 X2 <= 0 .1 X1 + 0 . 25 X2 <=

Resultado del comando LOOK ALL

<= 708 135

FIN

FIGURA 3.18

Sesión de introducción de datos con LINDO/ PC. (Las respuestas del usuario se muestran en tono gris.)

LINDO/PC, la función objetivo se identifica como el renglón l. Por ello, se observa bajo el encabezado de "SUBJECT TO" ("sujeta a") la restricción de corte y teñido, identificada como renglón 2, la restricción de costura como renglón 3, la restricción de terminado como renglón 4, y la restricción de inspección y embalaje como renglón 5.

Una vez que los datos de entrada están completos, el paquete procede a obtener la solución del problema cuando se le da la instrucción GO ("proceda"). En la Fig. 3.19 se muestran los resultados obtenidos de LINDO/PC. La primera sección del listado se explica por sí sola. Después de imprimir los valores de las variables de holgura y de los precios duales, LINDO/PC hace al usuario la siguiente pregunta: "DO RANGE (SENSITIVITY) ANALYSIS?" Es decir, "¿Se realizará análisis de intervalos (sensibilidad)?". La respuesta YES del usuario es para solicitar los intervalos de coeficientes de la función objetivo y los valores del lado derecho de las restricciones. La información que se ofrece bajo el encabezado "OBJ COEFFICIENT RANGES" permite observar que la variable x" que tiene en esos momentos un coeficiente de utilidad de 10, tiene aumento permisible de 3.5 y una disminución permisible de 3.7. Sumando 3.5 o restando 3.7 del actual coeficiente de 1O, ofrece el siguiente intervalo de optimidad para c 1: 6.3

:5

c1

:5

13.5

De manera similar, se encuentra que el intervalo de optimidad para c2 es 6.67

:5

c2

:5

14.29

La información que aparece bajo el encabezado "RIGHT AND SIDE RANGES" permite calcular el intervalo de factibilidad para cada uno de los lados derechos. Simplemente se resta

118

CAPÍTULO TRES

el decremento permisible del valor actual para obtener el límite inferior, y se suma el incremento permisible al valor actual para obtener el límite superior. Haciendo esto resulta

Restricción

Corte y teñ.ido Costura Terminado Inspección y embalaje

LD Mío

LD Máx

495 .6 480.0 580.0 117.0

682.4 No hay límite superior 900.0 No hay límite superior

Obsérvese en la Fig. 3.19 que, al terminar el análisis de sensibilidad, el paquete LINDO/PC sefiala " :"y espera otra instrucción. En este caso , el usuario eligió "QUIT" ("salir") para indicar el fin de la sesión. Una instrucción optativa en este punto sería ALT, lo cual permitiría al usuario alterar o modificar uno o más aspectos del problema y buscar información adicional acerca de la solución.

:GO

El usuario solicita la solución 1

VALOR DE LA FUNCIÓN OBJETIVO 1)

7667.99400

VARIABLE X1 X2

RENGLÓN 2) 3)

VALOR 539 . 998400 252 . 00 11 00

HOLGURA O EXCEDENTE .000000 120.000700 .000000 1 7.999870

4)

5)

COSTO REDUCIDO · 000000 · 000000

:-----

Información correspondiente a la solución óptima

PRECIOS DUALES 4.374956 .000000 6.937531 .000000

¡REALIZAR ANÁLISIS DE INTERVALOS (SENSIBILIDAD)?

COEF ACTUAL

El usuario solicita análisis de sensibilidad

?SI

INTERVALOS EN LOS QUE LA BASE NO CAMBIA AUMENTO PERMISIBLE

VARIABLE Xl

X2

RENGLÓN 2 3 4 5

COEF ACTUAL 10.000000 9 . 000000

AUMENTO PERMISIBLE

3.499932 5 . 2857 1 5

DISMINUCIÓN PERMISIBLE

3 . 700000 2.333000

INTERVALOS DE LADOS DERECHOS LD AUMENTO DISMINUCION ACTUAL PERMISIBLE PERMISIBLE

630.000000 600.000000 708.000000 135.000000

52.363 1 30 INF I NI TY 192.000000 INFINITY

>--

Información sobre el ¡análisis de sensibilidad

134 . 400000 1 20 . 000700 127 . 998600 17.999870

:QUIT - - - - - - - - - - - - - + El usuario indica que ha terminado la sesión Stop - Prog r am terminated

FIGURA 3.19

Solución del problema de Par, Inc. , utilizando el paquete LINDO/ PC.

~-------4

_________

Aplicaciones de la programación lineal

Hasta estos momentos el estudio se ha orientado a la comprensión de la programación lineal en términos del método gráfico de solución, del análisis de sensibilidad y de la interpretación de las soluciones computadorizadas para problemas de programación lineal. Estos antecedentes son esenciales para saber cuándo la programación lineal es una herramienta apropiada para resolver problemas y, también, para interpretar los resultados que la solución de programación lineal da para un problema. En la práctica, la programación lineal ha probado ser uno de los enfoques cuantitativos más exitosos para la toma de decisiones en la administración. Se han reportado numerosas aplicaciones en las industrias·química, del aerotransporte, del acero, del papel, del petróleo y en otras. Los problemas específicos que han sido estudiados son diversos e incluyen programación de la producción, selección de medios publicitarios, planeación financiera, presupuestos de capital, transporte, ubicación de plantas, mezcla de productos, asignación de personal, mezclados y muchas otras. Tal como sugiere la variedad de las aplicaciones que se menciona, la programación lineal es una herramienta flexible para resolver problemas, con aplicaciones en muchas disciplinas. En este capítulo, se exponen aplicaciones en las áreas de mercadotecnia, finanzas y administración de la producción. En la sección final se presenta una aplicación en el campo relativamente nuevo del análisis global de datos. En muchos de los ejemplos se presentan soluciones por computadora que se obtienen utilizando el paquete de programas denominado The Management Scientist.

4.1

ALGUNOS LINEAMIENTOS PARA LA FORMULACIÓN DE MODELOS En las aplicaciones que siguen se verá la forma en la que se pueden plantear diversos problemas como programas lineales. Aunque el proceso de formulación o planteamiento de modelos de programación lineal es un arte que se aprende con la práctica y la experiencia, los

r

119

-

1 CAPÍTULO CUATRO

120

~

1

siguientes lineamientos o casos generales pueden ser útiles al comenzar a formular los propios modelos de programación lineal.

l. Entender por completo el problema. 2. Plantear el problema en forma tan concisa como sea posible, formulando enunciados verbales de lo siguiente: a. Objetivo. El propósito del problema, tal como maximizar utilidades, minimizar costos, minimizar tiempo, etcétera. b. Variables de decisión. Los aspectos del problema que se pueden controlar o determinar y que ayudan a alcanzar el objetivo que se plantea. c. Restricciones. Las limitaciones o condiciones que se deben satisfacer para que la solución sea factible. 3. Utilizando las variables de decisión como incógnitas (por ejemplo x 1, x2 , etcétera), formular expresiones matemáticas que describan el objetivo y cada una de las restricciones. Se debe recordar que como el método es de programación lineal, las expresiones que se utilizan para el objetivo y para las restricciones deben ser relaciones lineales. 1 4. Añadir los requisitos de no negatividad (x; ;?: O) para cada una de las variables de decisión. En este punto debe tenerse un modelo de programación lineal que represente el problema o aplicación que se estudia. La solución del modelo proporcionará los valores óptimos de las variables de decisión, así como también información acerca del análisis de sensibilidad. La interpretación adecuada puede ofrecer información valiosa sobre la toma de decisiones para los administradores.

j

j

1

1

1

1

4.2

APLICACIONES EN MERCADOTECNIA Selección de medios de publicidad Las aplicaciones de programación lineal para la selección de medios publicitarios están diseñadas para ayudar a los gerentes de mercadotecnia a asignar presupuestos fijos de publicidad a diversos medios. Los medios potenciales incluyen periódicos, revistas, radio, televisión y correo directo. En la mayor parte de estas aplicaciones el objetivo es maximizar la exposición a la audiencia. Las restricciones sobre las asignaciones permisibles usualmente se producen por consideraciones como políticas de la compañía, requisitos contractuales y disponibilidad de los medios. En la aplicación que se presenta enseguida, se ilustra la forma en que podría plantearse un problema de selección de medios, y su solución utilizando un modelo de programación lineal. Considérese el caso de la empresa Relax-and-Enjoy Lake Development Corporation. La Relax-and-Enjoy está realizando el proceso de desarrollo de un centro habitacional que se ubicará en las riberas de un lago de propiedad privada, y el negocio consiste en la venta de inmuebles para vacaciones o de albergues para retiro. El principal mercado para estos lotes en las orillas del lago incluye a todas las familias de ingresos medios y altos dentro

l

1

1

1

1

-4

\

1 Las relaciones lineales, según se describen en el Cap. 2, son expresiones matemáticas en las que las variables aparecen en términos separados, y están elevadas sólo a la primera potencia. Por ejemplo, 3x 1 + 2x2 :S 50 es una relación lineal.

1

APLICACIONES DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL 121

de un radio de aproximadamente 100 millas desde tal centro . La Relax-and-Enjoy ha utilizado los servicios de la firma de publicidad Boone Phillips and Jackson para el proyecto de la campaña promociona!. Después de considerar los posibles medios publicitarios y el mercado que se debe cubrir, la Boone ha hecho la recomendación preliminar de restringir la publicidad del primer mes a cinco fuentes. Al final del mes, la empresa reevaluará su estrategia, con base en los resultados del mes. La Boone ha recopilado datos acerca del número de familias potencialmente compradoras a las que se llega, el costo por publicidad, el número máximo de veces que está disponible cada medio, y la disposición esperada para cada uno de los cinco medios publicitarios. La exposición esperada se mide en términos de una unidad de exposición, que es una medida del valor relativo de un anuncio en cada uno de los medios. Tales medidas, con base en la experiencia que la compañía tiene en el negocio de la publicidad, toman en consideración factores tales como perfil de la audiencia (edad, ingresos y grado de educación), imagen que se presenta y calidad del anuncio. En la Tabla 4.1 se presenta la información recopilada. La firma Relax-and-Enjoy ha proporcionado a la Boone un presupuesto de publicidad de $30,000 (dólares) para la campaña del primer mes . Además, ha impuesto las siguientes restricciones sobre la forma en que la Boone puede asignar esos fondos: se deben utilizar cuando menos 10 anuncios (o comerciales) de televisión, y se debe llegar cuando menos a 50 000 compradores potenciales durante el mes. Además, no pueden invertirse más de $18,000 en anuncios por televisión. ¿Qué plan de selección de medios debe recomendar la empresa publicitaria?

TABLA 4.1

Alternativas de medios de publicidad para la Relax-and-Enjoy Lake Development Corporation

Medios de publicidad

l. TV diurna (1 min), estación WKLA 2. TV nocturna (30 seg), estación WKLA 3. Periódico diario (página completa) The

Morning Journal 1

...

Costo por anuncio

Máximo de ocasiones que están disponibles por mes*

Unidades de exposición esperadas

1000

$ 1500

15

65

2000

$ 3000

10

90

1500

$ 400

25

40

2500

$ 1000

4

60

100

30

20

4. Suplemento de periódico dominical ( Y2 pág. a colores)

The Sunday Press ~·

Número de familias potencialmente compradoras que se alcanzan

5. Radio: noticias 8:00A .M. o5:00P.M. (30 seg) estación KNOP

300

$

• El número máximo de ocasiones que está disponible el medio es el número máximo de ocasiones en que se presenta el medio de publicidad (por ejemplo, cuatro domingos para el medio número 4) o el número máximo de ocasiones en que Boone permitirá que se utilice el medio.

122

CAPÍTULO CUATRO

Se comienza definiendo las variables de decisión de la siguiente manera:

x1 x2 x3

número de ocasiones en que se utiliza la TV diurna

x4

número de ocasiones en que se emplea el periódico dominical

x5

número de ocasiones en que se utiliza la radio

número de ocasiones en que se utiliza la TV nocturna número de ocasiones en que se emplea el periódico diario

Con el objetivo de maximizar la exposición esperada, la función objetivo se convierte en

Ahora pueden plantearse las restricciones para el modelo a partir de la información dada: X¡

1500x 1

+ 3000x2 +

400x3

+ 1000x4 + 100x5

:S

:S

15

:S

lO

:S

25

Disponibilidad de los medios

30,000 Presupuesto

~ 10 } Restricciones de ::::; 18,000 televisión

1000x 1

+ 2000x2 + 1500x3 +

2500x4

+

300x5

~

50,000 Cobertura de audiencia

En la Tabla 4.2 se presenta la solución para este modelo de programación lineal con nueve restricciones y cinco variables.

TABLA 4.2

Plan de publicidad para la Relax-and-Enjoy Lake Development Corporation Medio publicitario

TV diurna Periódico diario Periódico dominical Radio

Frecuencia 10

25 2

30

Presupuesto (dólares)

$ 15,000 10,000 2,000 3,000 $30,000

Total de audiencia alcanzada = 61,500 Exposición esperada = 2370

1

1 )


Un posible defecto de este modelo es que, aun cuando la medida de la exposición esperada no estuviera sujeta a error, no existe garantía de que maximizar la exposición esperada total conducirá a la maximización de las utilidades o las ventas (un sustituto común para las utilidades). Sin embargo este no es un defecto de la programación lineal; más bien es una desventaja de utilizar la exposición como criterio. Ciertamente, si fuera posible medir en forma directa el efecto que la publicidad tiene sobre las utilidades, se utilizarían las utilidades totales como el objetivo a maximizar. Además, se debe estar consciente de que el modelo de selección de medios, tal como se planteó en esta sección, no incluye consideraciones como las siguientes: l. 2. 3. 4.

El valor de la exposición se reduce con la repetición en el uso de los medios. Descuentos en costos por utilización repetida de los medios. Traslape de la audiencia en los distintos medios. Recomendaciones de tiempo para los anuncios.

Con frecuencia es posible utilizar un planteamiento más complejo (más variables y restricciones) para vencer estas limitaciones, pero no siempre será posible superarlas todas con un modelo de programación lineal. Sin embargo, aun en estos casos, con frecuencia puede utilizarse un modelo de programación lineal para llegar a una aproximación de la mejor decisión. La evaluación de los administradores, combinada con la solución de la programación lineal, debe hacer posible entonces la elección de una estrategia global efectiva para la publicidad.

NOTAS Y COMENTARIOS l. En general, se utilizan xi' x 2 , etc., para denotar las variables de decisión en un

modelo de programación lineal. Al comenzar el planteamiento del modelo, se expone en forma cuidadosa la notación utilizada y la definición de cada variable de decisión. Al mismo tiempo que se puede utilizar la notación xi' x 2 , etc., en cualquier modelo de programación lineal, algunos científicos de la administración prefieren hacer uso de un esquema de notación más descriptivo para cada variable de decisión. Por ejemplo, el modelo de selección de medios podría haber sido formulado como DTV para denotar "televisión durante el día"; por NTV, para "televisión durante la noche"; por P, para periódicos; por PD, para publicacioneli domésticas; por R, para revistas. En este caso, la función objetivo quedaría expresada de la siguiente manera: max 65DTV + 90NTV + 40P + 60PD + 20R Las restricciones se plantearían en términos de la notación ideada: DTV, NTV, P, PD, R. En cualquier caso, es importante observar que el modelo se puede formular"Con cualquier notación o combinación de notaciones para las variables de decisión. Sin importar cuál sea la decisión, siempre es conveniente definir con cuidado las variables de decisión y la notación que se utiliza desde el principio del planteamiento del modelo. 2. Debe observarse que el modelo de selección de medios, quizá más que la mayoría de los demás modelos de programación lineal, requiere de evaluaciones subjetivas críticas para las calificaciones sobre la exposición de los diversos medios alternos. Aun cuando los gerentes de mercadotecnia pueden contar con considerables datos acerca de la exposición a la publicidad, los coeficientes finales que se utilizan en

124

CAPÍTULO CUATRO

la función objetivo incluyen consideraciones que se basan primordialmente en el criterio de los administradores. Sin embargo, la introducción de juicios es una forma aceptable de obtener datos para un modelo de programación lineal.

Investigación de mercadotecnia Diversas organizaciones llevan a cabo investigaciones mercadotécnicas para determinar características de los consumidores, actitudes y preferencias con respecto a productos o servicios que las organizaciones ofrecen. Con frecuencia, las investigaciones reales las lleva a cabo una empresa de investigación de mercadotecnia que se especializa en ofrecer a sus clientes la información que desean sobre el mercado. Los servicios que las empresas de investigación mercadotécnica ofrecen por lo común incluyen el diseño del estudio, la realización de las encuestas de mercado, el análisis de los datos recopilados y reportes resumidos y recomendaciones para el cliente. En la fase de diseño de la investigación, es posible que se establezcan objetivos o cuotas para el número y tipos de entrevistados que la investigación debe alcanzar. Cuando se establecen lineamientos sobre cuotas, el objetivo de la empresa investigadora es llevar a cabo la encuesta de manera que se satisfagan las necesidades de los clientes a un costo mínimo . La firma Market Survey, Inc. (MSI), es una empresa de investigación de mercadotecnia que se especializa en evaluar la reacción de los consumidores ante productos, servicios y campañas de publicidad nuevos. Una empresa cliente ha solicitado que le ayude a determinar la reacción de consumidores ante un producto recientemente comercializado para uso doméstico. En el curso de algunas reuniones con el cliente, se acordó que se utilizarían entrevistas personales de puerta en puerta para obtener información tanto de hogares con niños como de hogares sin ellos. Además, se acordó que sería necesario realizar entrevistas tanto diurnas como nocturnas, con objeto de incluir diversos horarios de trabajo en los hogares. Específicamente, el contrato de este cliente exigía a la SMI realizar 1000 entrevistas con los siguientes lineamientos sobre cuotas: l. Se entrevistarían cuando menos 400 hogares con niños. 2. Se entrevistarían cuando menos 400 hogares sin niños. 3. El número total de hogares entrevistados durante la noche sería cuando menos igual al número de hogares entrevistados durante el día. 4. Cuando menos el 400Jo de las entrevistas para hogares con niños se realizarían durante la noche. S. Cuando menos el 60% de las entrevistas para hogares sin niños se realizarían durante la noche.

Como las entrevistas en hogares con niños requieren de tiempo adicional del entrevistador, y como a los entrevistadores nocturnos se les paga más que a los que trabajan de día, el costo de las entrevistas varía según su tipo. Con base en estudios previos, las estimaciones sobre los costos de las entrevistas son:

Hogar

Niños No niños

Costo de la entrevista Diurna Nocturna

$20 $18

$25 $20


¿Cuál es el plan de entrevistas, por hogar y por parte del día, que satisface los requerimientos contractuales a un costo mínimo total para las entrevistas? El planteamiento de un modelo de programación lineal para el problema de la Market Survey es buena oportunidad para introducir el uso de variables de decisión con doble subíndice. Utilizando x para representar las variables decisorias, se utilizan dos subíndices para x, en donde el primer subíndice señala si la entrevista implica a niños o no, y el segundo indica si la entrevista se realiza durante el día o durante la noche. Utilizando 1 para niños, y 2 para no niños, y 1 para día y 2 para noche, se pueden utilizar subíndices dobles para identificar las siguientes variables de decisión:

x 11

número de entrevistas en hogares con niños a realizar durante el día

x 12

número de entrevistas en hogares con niños a realizar durante la noche

x 21

número de entrevistas en hogares sin niños a llevar a cabo durante el día número de entrevistas en hogares sin niños a llevar a cabo durante la noche

Se comienza el planteamiento del modelo de programación lineal utilizando los datos de costos por entrevista para elaborar la siguiente función objetivo: min 20x,,

+ 25x 12 + 18x21 + 20x22

La restricción que exige un total de 1000 entrevistas se expresa como

(

Las cinco especificaciones que se refieren a los tipos de entrevistas son las siguientes:

l. Hogares con niños

2. Hogares sin niños:

r

3. Cuando menos tantas entrevistas nocturnas como diurnas:

El formato normal para el planteamiento del modelo de programación lineal y para la introducción de datos en la computadora hace que se coloquen todas las variables de decisión en el lado izquierdo de la desigualdad, y una constante (posiblemente cero) en el lado derecho. Por ello, se reescribiría esta restricción como

126

CAPÍTULO CUATRO

4. Cuando menos 400Jo de las entrevistas en hogares con niños durante la noche:

o

5. Al menos 60% de las entrevistas en hogares sin niños, durante la noche:

o

Añadiendo los requisitos de no negatividad, el modelo de programación lineal de cuatro variables y seis restricciones se convierte en min

20X¡¡

+

25x 12

+

18x21

+

+ +

X¡z

+

Xz¡

+

20x 22

sujeta a X¡¡ X¡¡

X¡z Xz¡

-x¡¡ -.4x¡¡

+ +

X¡z-

Xz¡

+ +

.6x 12

1000

Total de entrevistas

~

400

Hogares con niños

Xzz ~

400

Hogares sin niños

Xzz =

Xzz ~ ~

- .6x21 X¡¡,X¡z,Xz¡,X 22 ~

+

.4Xzz ~

o o o

Más entrevistas nocturnas Hogares con niños, noche Hogares sin niños, noche

0

En la Fig. 4.1 se muestra la solución por computadora del programa lineal anterior. Utilizando los resultados de la solución por computadora, se observa que el costo mínimo de $20,320 se presenta con el siguiente programa de entrevistas:

Hogar

Niños No niños Totales

Número de entrevistas Nocturnas Diurnas

240 240 480

160 360 520

Totales

400 600 1000

Como se puede observar, se programan 480 entrevistas durante el día y 520 durante la noche. Los hogares con niños se cubren mediante 400 entrevistas, y los hogares sin niños, mediante 600 entrevistas. Una información seleccionada sobre el análisis de sensibilidad de la Fig. 4.1 muestra un precio dual de -19.2 para la restricción l. Esto indica que la función objetivo empeoraría

APLICACIONES DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL 127 Valor de la función objetivo Variable

X1 1 X1 2 X2 1 X22 Restricción

1 2 3 4 5 6

FIGURA 4.1

=

2 0 32 0. 000000 Valor

Costos reducidos

240 . 000015 159.999985 240 . 000000 360.0000 0 0

0 . 000001 0.000001 0 . 000002 0 . 000000

Holgura / Excedente

0 . 000000 0.000000 200 . 00000 0 40.000000 0 . 000000 0 . 000000

Precios duales

- 19 . 200001 - 2 .7 99999 0 . 000000 0 . 000000 - 4 . 999998 -1 .999998

Solución por computadora del problema de investigación de mercados utilizando The Management Scientist.

(el costo aumentaría) en $19.20 si se aumenta el número de entrevistas de 1000 a 1001. Por ello, $19.20 es el incremento en los costos al obtener entrevistas adicionales. También representa los ahorros que se podrían lograr al reducir el número de entrevistas de 1000 a 999. El precio dual para el requisito de 400 hogares con niños (restricción 2) indica que solicitar entrevistas adicionales en hogares con niños no mejora la función objetivo . De hecho, las entrevistas adicionales en hogares con' niños aumentarían el costo total a razón de aproximadamente $2.80 por entrevista. La variable de excedente que tiene un valor de 200 para la restricción 3, muestra que se van a entrevistar 200 más hogares con niños que los que se requieren. De manera similar, la variable de excedente que tiene un valor de 40 para la restricción 4 muestra que el número de entrevistas nocturnas excede al número de entrevistas diurnas en 40. Los valores nulos para las variables de excedente de las restricciones 5 y 6 indican que se mantienen en un mínimo las entrevistas nocturnas, que son las más costosas.

t

4.3

APLICACIONES FINANCIERAS Selección de cartera Los problemas de selección de cartera implican situaciones en las que los gerentes financieros deben elegir inversiones específicas (por ejemplo, acciones, bonos) a partir de diversas alternativas de inversión. Los administradores de fondos mutualistas, de uniones de crédito, de compañías de seguros y de bancos, encuentran frecuentemente este tipo de problemas . La función objetivo para los problemas de selección de cartera es por lo común la maximización del rendimiento esperado o la minimización de los riesgos. Las restricciones asumen, por lo general, la forma de restricciones sobre el tiempo de inversiones permisibles, leyes estatales, políticas de la compañía, máximo riesgo permisible, etcétera. Se han planteado y resuelto problemas de este tipo utilizando diversas técnicas de programación matemática. Sin embargo, si es posible plantear una función objetivo lineal y restricciones lineales en un problema específico de selección de cartera, entonces puede utilizarse

128

CAPÍTULO CUATRO

la programación lineal para resolverlo. En esta sección se muestra la forma en la que puede plantearse un problema de selección de cartera y el modo en que se puede resolver como programa lineal. Considérese el caso de la firma Welte Mutual Funds, lnc., ubicada en la ciudad de Nueva York. La empresa acaba de obtener $100,000 al convertir bonos industriales en efectivo, y ahora está en busca de otras oportunidades de inversión para esos fondos. Considerando las inversiones de la Welte en esos momentos , el principal analista financiero de la empresa recomienda que se hagan todas las nuevas inversiones en la industria petrolera, en la industria del acero o en bonos gubernamentales. Específicamente, el analista ha identificado cinco oportunidades de inversión y proyectado sus tasas anuales de rendimiento. Las inversiones y las tasas de rendimiento son las que se muestran en la Tabla 4.3. La dirección de la Welte ha impuesto los siguientes lineamientos sobre la inversión: l. Ninguna de las industrias (petróleo o acero) debe recibir más de 500Jo de la inversión nueva total. 2. Los bonos de gobierno deben ser de cuando menos 25% de las inversiones en la industria siderúrgica. 3. Las inversiones en la Pacific Oil, la inversión con altos rendimientos pero también altos riesgos, no puede ser más de 60% del total de las inversiones en la industria petrolera.

¿Qué recomendaciones de cartera (inversiones y montos) se deben hacer para los $100,000 disponibles? Dado el objetivo de maximizar los rendimientos proyectados, sujeto a las restricciones presupuestales y administrativas que se han impuesto, puede contestarse esta pregunta planteando un modelo de programación lineal para el problema. La solución para este modelo de programación lineal ofrecerá, entonces, recomendaciones sobre inversión para los administradores de la Welte Mutual Funds. Sean, x1 dólares invertidos en Atlantic Oil

x2

dólares invertidos en Pacific Oil

x3

dólares invertidos en Midwest Steel

x4 x5

dólares invertidos en Huber Steel dólares invertidos en bonos gubernamentales

Utilizando las tasas de rendimiento proyectadas que se muestran en la Tabla 4.3, la función objetivo para maximizar el rendimiento total sobre la cartera puede escribirse como max 0.073x1 + 0.103x2 + 0.064x3 + 0.075x4 + 0.045x5 TABLA 4.3

Oportunidades de inversión para Welte Mutual Funds Inversión

Tasa de rendimiento proyectada (O!o)

Atlantic Oil Pacific Oil Midwest Steel Huber Steel Bonos gubernamentales

7.3

10.3 6.4

7.5 4.5

1

j

í

1

1


La restricción que especifica la inversión de los $100,000 se expresa como

x 1 + x2 + x3 + x4 + x5

=

100,000

Los requisitos de que ni la industria del petróleo ni la industria del acero reciban más de 500Jo de la inversión de $100,000, se escribe de la siguiente manera:

x 1 + x2

::5

50,000

Industria petrolera

x3 +

::5

50,000

Industria siderúrgica

X4

El requisito de que los bonos de gobierno sean de cuando menos 25% de la inversión en la industria siderúrgica se expresa de la siguiente manera:

o bien

Finalmente, la restricción de que la inversión en Pacific Oil no puede ser más de 60% de la inversión total en la industria petrolera se convierte en:

o bien

-0.60x1 + 0.40x2

::5

O

Sumando las restricciones de no negatividad, el modelo completo de programación lineal para el problema de inversión de la Welte Mutual Funds es el siguiente: max

0.073x 1 + 0.103x2 + 0.064x 3 + 0.075x4 + 0.045x 5

sujeta a XI

+

x2

XI

+

x2

+

x3

-

•

~~

+

x4

+

Xs

= ::5

x3

-0.6x 1

+

+

0.25x 3 -

::5

x4

0.25x4

+

0.4x2

Xs:::::

::5

x 1 ,x2,x3,x4 ,x5

:2::

0

100,000

Fondos disponibles 50,000 Máximo de la industria petrolera 50,000 Máximo de la industria del acero

o

Mínimo de bonos gubernamentales o Restricción de la Pacific Oil

130

CAPÍTULO CUATRO 8000.000000

Valor de la función objetivo = Valor

Costos reducidos

xs

19999.998000 30000.002000 0.000000 40000.000000 10000.000000

0.000000 0.000000 0.011000 0.000000 0.000000

Restricción

Holgura/ Excedente

Variable

X1 X2 X3 X4

0.000000 0.000000 10000.000000 0.000000 0.000000

1 2 3 4 5

FIGURA 4.2

Precios duales

0.069000 0.022000 0.000000 -0.024000 0.030000

Solución por computadora del problema de Welte Mutual Funds utilizando The Management Scientist.

Se resuelve este problema utilizando The Management Scientist y el listado se muestra en la Fig. 4.2. En la Tabla 4.4 se muestra la forma en la que se dividen los fondos entre los valores. Obsérvese que la solución óptima señala que la cartera se debe diversificar entre todas las oportunidades de inversión, exceptuando a Midwest Steel. El rendimiento anual proyectado para esta cartera es $8,000, lo cual significa una tasa global de rendimiento del 80Jo. Utilizando el listado de la computadora para el problema de inversión de la Welte que se muestra en la Fig. 4.2, se observa que es cero el precio dual para la restricción 3. Esto es así porque el máximo de la industria del acero no es una restricción limitante; aumentos en el límite de la industria siderúrgica de $50,000 no mejorarían el valor de la función objetivo. De hecho, la variable de holgura para esta restricción muestra que la inversión actual en la industria del acero está $10,000 por debajo de su límite de $50,000. Los precios duales de las demás restricciones son diferentes de cero, lo cual señala que son restricciones limitantes en la solución óptima.

TABLA 4.4

Selección óptima de cartera para Welte Mutual Funds Inversión

Monto

Rendimiento anual esperado

Atlantic Oil Pacific Oil Huber Steel Bonos gubernamentales

$ 20,000 30,000 40,000 10,000

$1460 3090 3000 450

$100,000 $8000 Rendimiento anual esperado de $8000 = 807o


,'

El precio dual de 0.069 para la restricción 1 muestra que es posible aumentar la función objetivo en 0.069 si se puede tener a disposición un dólar más para inversión en la cartera. Si es posible obtener fondos a un costo inferior a 6.90Jo, los administradores deberían considerar obtenerlos. Por otro lado, si puede adquirirse un rendimiento superior a 6.9% invirtiendo los fondos en alguna otra parte (que no sean estos cinco títulos-valor) los administradores deben considerar cuán conveniente será invertir la totalidad de los $100,000 en esta cartera. Se pueden dar interpretaciones similares para los otros precios duales. Sin embargo, nótese que es negativo el precio dual para la restricción 4; su valor es -0.024. Esto indica que aumentar en una unidad el valor en el lado derecho de una restricción puede ocasionar, posiblemente, un cambio en la función objetivo de -0.024. En términos de la cartera óptima, esto significa que si la Welte invierte un dólar más en bonos del gobierno, su rendimiento total disminuirá en 2.4 centavos. Para ver por qué sucede esto, obsérvese de nueva cuenta en el precio dual de la restricción 1 que el rendimiento marginal de los fondos invertidos en la cartera es 6.9% (el rendimiento promedio es 85). La tasa de rendimiento de los bonos gubernamentales es 4.5%. Por ello, el costo de invertir un dólar más en bonos de gobierno es la diferencia entre el rendimiento marginal de la cartera y el rendimiento marginal de los bonos gubernamentales: 6.9% - 4.5% = 2.4%. Obsérvese que la solución óptima con x 3 = O muestra que la Midwest Steel no debe incluirse en la cartera. El costo reducido correspondiente a x 3, 0.011, indica que el coeficiente de la función objetivo para la Midwest Steel tendría que aumentar en 0.011 antes de que fuera deseable considerar a esta empresa como alternativa de inversión. Con este aumento, el rendimiento de la Midwest Steel sería 0.064 + 0.011 = 0.75, haciendo que esta inversión fuera justamente tan deseable como la alternativa de inversión que actualmente se utiliza, la de Huber Steel. Finalmente, una modificación sencilla sobre el modelo de programación lineal de la W el te permite determinar la fracción de los fondos disponibles que se invierten en cada alternativa. Es decir, se dividen entre 100,000 los valores del lado derecho. Entonces, los valores óptimos para las variables proporcionan la fracción de los fondos que deben invertirse en cada título, para una cartera de cualquier tamaño.

NOTAS Y COMENTARIOS La solución óptima para el problema de la Welte Mutual Funds indicaba que se debían invertir $20,000 en acciones de la Atlantic Oil. Si la Atlantic Oil se vende en $75 por acción, se tendrían que comprar exactamente 266 2/3 acciones para invertir exactamente $20,000. Por lo general, la dificultad para adquirir acciones fraccionarias se maneja adquiriendo el mayor número entero posible de acciones con los fondos asignados (por ejemplo, 266 acciones para la Atlantic Oil). Este método garantiza que no se infringe la restricción presupuesta!. Por supuesto, lo anterior introduce la posibilidad de que la solución ya no sea la óptima, pero el peligro es reducido si se trata de un número grande de acciones. En los casos en que el analista considere que es crucial que las variables de decisión tengan valores enteros, el problema debe plantearse como modelo de programación lineal según enteros. Esta programación lineal es la materia del Cap. 8.

132

CAPÍTULO CUATRO

Estrategia de Combinación Financiera Las estrategias de mezcla o combinación financiera implican la selección de medios para financiar proyectos de la compañía, inventarios, operaciones de producción y otras actividades . En esta sección se ilustra la forma en que puede utilizarse la programación lineal para resolver problemas de este tipo, planteando y resolviendo un problema que implique el financiamiento de operaciones de producción. En esta aplicación específica, se debe tomar una decisión financiera con respecto a cuánta producción se debe financiar mediante fondos generados internamente, y qué tanta producción se debe financiar mediante fondos externos. La Jefferson Adding Machine Company va a comenzar la fabricación de dos nuevos modelos de calculadoras electrónicas en los tres meses próximos. Como la fabricación de estos modelos exige ampliar la operación de producción que se tiene en esos momentos, la compañía necesitará fondos de operación para cubrir los costos de materiales, mano de obra y otros gastos, durante el periodo inicial de producción. Los ingresos provenientes de este periodo inicial de producción no estarán disponibles sino hasta después del final del periodo . Así, la compañía debe obtener financiamiento para estos gastos de operación, antes de que pueda empezar a fabricar . La Jefferson ha apartado $3,000 de fondos internos para cubrir los gastos de la operación. Si se requieren fondos adicionales, tendrán que ser generados en el exterior. Un banco local ha ofrecido una línea de crédito a corto plazo para una cantidad que no exceda de $10,000. La tasa de interés para la vigencia del préstamo será de 120Jo anual sobre la cantidad que se tenga a crédito. Una estipulación fijada por el banco exige que la parte restante del efectivo que la compañía apartó para esa operación, más las cuentas por cobrar provenientes de esta línea de productos, sean de cuando menos el doble del crédito pendiente de pagar, más los intereses al final del periodo inicial de producción. Además de las restricciones financieras sobre la operación, la capacidad de la mano de obra es también un factor que la Jefferson debe tomar en consideración. Sólo se tienen disponibles 2500 horas de tiempo de ensamble y 150 horas de tiempo de empaque y envío para la nueva línea de productos, durante el periodo inicial de producción de tres meses. En la Tabla 4.5 se muestran los datos relevantes sobre costos, precios y requisitos de tiempos de producción para los dos niveles, a los que se denomina Y y Z. Los administradores de la compañía han impuesto restricciones adicionales con objeto de garantizar que es posible probar la reacción del mercado ante ambos productos; es decir, deben fabricarse cuando menos 50 unidades del modelo Y y cuando menos 25 unidades del modelo Z en ese primer periodo de producción.

TABLA 4.5

Modelo

y

z

Datos de costos, precios y mano de obra para Jefferson Adding Machine Company Costo unitario (materiales y otros gastos variables)

Precio de venta

Margen de utilidad

$ 50 $100

$ 58 $120

$ 8 $20

Horas de mano de obra que se requieren Empaque y env(o Ensamblado

12 25

1 2


Como el costo de las unidades que se fabrican utilizando fondos crediticios sufrirá, en efecto, un cargo por interés, se reducen las contribuciones a las utilidades para los modelos Y y Z que se fabrican con fondos obtenidos a crédito. Por ello, se adopta la siguiente notación para las variables de decisión del problema:

x1

unidades del modelo Y fabricadas con fondos de la compañía

x2

unidades del modelo Y fabricadas con fondos obtenidos a crédito

x3

unidades del modelo Z fabricadas con fondos de la compañía

x4

unidades del modelo Z fabricadas con fondos obtenidos a crédito

¿Qué tanto se reduce la contribución a las utilidades de las unidades que se fabrican con fondos obtenidos a crédito? Para resolver esta pregunta, debe saberse durante cuánto tiempo estará vigente el préstamo . Se supone que todas las unidades de cada modelo se venden, conforme se fabrican, a distribuidores independientes, y que la tasa promedio de rotación de las cuentas por cobrar es de tres meses. Como los administradores de la compañía han especificado que el crédito debe pagarse con los fondos generados por las unidades que se fabrican mediante fondos crediticios, los fondos que se obtienen a crédito para fabricar una unidad del modelo Y o una unidad del modelo Z se pagarán aproximadamente tres meses después. Por ello, la contribución a las utilidades para cada unidad del modelo Y que se fabrica con fondos crediticios se reduce de $8 a $8- ($50 x 0.12 x Y! yr) = $6.50, y la contribución a las utilidades para cada unidad del modelo Z que se fabrica con fondos crediticios se reduce de $20 a $20- ($100 x 0.12 x Y! yr) = $17. Con esta información se puede ahora plantear la función objetivo para la mezcla financiera de la Jefferson:

Pueden también especificarse las siguientes restricciones para el modelo:

12.x¡ + 12.xz + 25x 3 + 25x4 :5 2,500 150 X¡ + Xz + 2.x3 + 2.x4 :5

+ 100x3

50x 1

50x2

X¡+

Xz

:5

3,000

Capacidad de ensamble Capacidad de empaque y envío Fondos internos disponibles

+ 100x4 :5 10,000 Fondos externos disponibles :2:: 50 Requerimiento del modelo Y XJ +

x4

:2::

25

Requerimiento del modelo Z

Además, se debe incluir la siguiente restricción para satisfacer el requisito bancario sobre el crédito: Efectivo + cuentas por cobrar ::; 2(crédito + intereses) Esta restricción debe satisfacerse al final del periodo. Recordando que las cuentas por cobrar se mantienen vigentes para un promedio de tres meses, puede utilizarse la siguiente

134

CAPÍTULO CUATRO

relación para deducir una expresión matemática para la desigualdad anterior, al final del periodo: Efectivo = 3000 - 50x1 Cuentas por cobrar Crédito Intereses

-

100x3

58x1 + 58x2 + 120x3 + 120x4 50x2 + 100x4

(0.12 x Y4 yr)(50x2 + 100x4)

=

1.5x2 + 3x4

Por lo tanto, la restricción que resulta por la limitación del banco se puede expresar como 3000 - 50x 1

-

100x3 + 58x 1 + 58x2 + 120x3 + 120x4 ;:::: 2(51.5x2 + 103x4)

o bien 3000 ;:::: - 8x 1 + 45x 2 - 20x3 lo cual es equivalente a - 8x 1 + 45x 2 - 20x3 + 86x4 :s: 3000 Añadiendo las restricciones de no negatividad, el modelo completo de programación lineal para la J efferson Adding Machine Company puede plantearse de la siguiente manera: max

8x 1 + 6.5x2 +

sujeto a 12x¡ + 12x2 + X¡ +

x2 +

20x3

25x3 + 2x3

+

100x3

50x 1 +

x2 x3 +

-8x 1 + 45x2

25x4 :s: 2,500

2x4:S:

150

:::;

3,000

+ 100x4 :S: 10,000

50x2

X¡+

+ 17x4

20x3 +

-

x 1 , x 2, x 3 , x 4

;::::

;::::

50

x4;::::

25

86x4 :s: 3,000

O

En la Fig. 4.3 se muestra la solución por computadora para este problema de combinación financiera con cuatro variables y siete restricciones. Se obtiene la utilidad de $1,191.86 con la solución óptima de x 1 = 50, x 2 = O, x 3 = 5, y X 4 = 40.7. Obsérvese que el costo reducido de cero para x 2 indica que no es necesario que aumente el coeficiente de la función objetivo para que se pueda evaluar la inclusión de x 2 con la solución óptima. Esto es una indicación de que existe una solución óptima alternativa para el problema. En la Fig. 4.4 se muestra una solución por computadora que ofrece una solución óptima alternativa. La utilidad de $1,191.86 corresponde ahora a la solución x 1 = O, x 2 = 50, x 3 = 30, yx4 = 15.7. Evidentemente, los administradores podrían poner en práctica cualquiera de las soluciones que se muestran en esas figuras, y maximizar las utilidades. La solución de la Fig. 4.4 se resume en la Tabla 4.6, junto con la utilidad esperada y los fondos obtenidos a crédito para cada modelo de calculadora. Esta solución exige que la compañía emplee todos

APLICACIONES DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL 135 Valor de la función objetivo

=

Variable

Valor

Costos reducidos

X1 X2 X3 X4

so.oooooo 0.000000 s.oooooo

0.000001 0.000000 0.000001 0.000000

40.697674

Restricción 1 2 3 4 S

6 7

FIGURA 4.3

..

Holgura/ Excedente

Precios duales

7S7.SS8230 8.604660 0.000000 S930.232400 0.000000 20.697670 0.000000

0.000000 0.000000 0.239S3S 0.000000 -2.39S349 0.000000 0.197674

Solución por computadora del problema de Jefferson Adding Machines, utilizando The Management Scientist.

Valor de la función objetivo

=

Variable

..

1191.8603SO

X1 X2 X3 X4

1191. 8603SO

0.000000

30.000000 1S.697672

0.000001 0.000000 0.000001 0.000000

Restricción

Holgura/ Excedente

Precios duales

1

7S7.SS8230 8.604660 0.000000 S930.232400 0.000000 20.697670 0.000000

0.000000 0.000000 0.239S3S 0.000000 -2.39S3SO 0.000000 0.197674

t

2

3 4 S

6 7

FIGURA 4.4

TABLA 4.6

so.oooooo

Solución óptima alternativa para el problema de Jefferson Adding Machines, utilizando The Management Scientist.

Combinación financiera óptima para la producción en la Jefferson Adding Machine

r

r• ·-

t

Costos reducidos

Valor

Modelo

Modelo Y Fondos obtenidos a crédito (x2) Modelo Z Fondos de la compañía (x3) Fondos obtenidos a crédito (x.J Totales

Unidades

50 30 15.7

Utilidad esperada

Monto de los fondos obtenidos a crédito

$ 325

$2500

600 267 -$1192

1570 $4070

CAPÍTULO CUATRO

136

sus fondos internos ($3,000), pero sólo un poco más de $4,000 de los $10,000 disponibles en la línea de crédito. Algunas interpretaciones adicionales sobre el listado de computadora de la Fig. 4.4 muestran que la capacidad de ensamblado (restricción 1, holgura = 757.6 horas) y la capacidad de empaque y envío (restricción 2, holgura = 8.6 horas) son adecuadas para satisfacer los requisitos de producción . Asignar horas adicionales a estos recursos no mejora el valor de la solución óptima. El precio dual correspondiente a la restricción de los fondos internos (restricción 3) muestra que se puede obtener un mejoramiento de las utilidades de aproximadamente $0.24 si se invierte un dólar adicional de fondos internos. Con este elevado rendimiento sobre la inversión de fondos internos, es posible que la Jefferson desee seriamente considerar la asignación de fondos internos adicionales para este producto. El precio dual negativo para la restricción 5 indica que los aumentos en el requisito de producción del modelo Y reducirían el margen de utilidad. De hecho, el precio dual negativo indica que reducir el requerimiento actual de 50 unidades para el modelo Y, produciría en realidad aumentos en las utilidades a razón de aproximadamente $2.40 por unidad que se reduzca en el requisito .

NOTAS Y COMENTARIOS Las contribuciones a las utilidades para los dos productos de la Jefferson Adding Machine se basaron en la diferencia entre el precio unitario por unidad y el "costo" por unidad. Una consideración interesante al determinar el costo por unidad es la diferencia entre los costos irrelevantes (sunk) y los costos relevantes. Costos irrelevantes son aquéllos que ya se han realizado, tales como compras previas de materiales, gastos generales, mano de obra indirecta, etcétera. Como son costos en los que ya se ha incurrido, o costos que se realizarán sin importar las decisiones que se tomen, tales conceptos carecen de relevancia; es decir, no son afectados por los valores de las variables de decisión. Los costos irrelevantes no deben considerarse cuando se desarrolla la función objetivo para un modelo de programación lineal. Obsérvese que la Tabla 4.5 muestra que los costos unitarios se basan en los costos relevantes variables para los materiales, así como también en otros gastos variables. En el caso referente a la protección ambiental que aparece al final del capítulo se da oportunidad de identificar los costos relevantes al desarrollar un modelo de programación lineal.

4.4

APLICACIONES EN ADMINISTRACIÓN DE LA PRODUCCIÓN Programación de la producción Una de las áreas más importantes de la programación lineal trata de las aplicaciones en periodos múltiples de planeación, tales como la programación de la producción. La resolución de un problema de esta clase permite a los administradores establecer un programa de producción eficiente y a costos reducidos, para uno o más productos, a lo largo de diversos periodos, como semanas, meses, etcétera. En esencia, se puede contemplar un problema de programación de la producción como uno de combinación o mezcla de productos para


cada uno de diversos lapsos hacia el futuro. El administrador debe determinar los niveles de producción que permitirán a una compañía satisfacer los requisitos de demanda del producto, considerando limitaciones sobre la capacidad de producción, la capacidad de mano de obra y el espacio de almacenamiento. Al mismo tiempo, se desea minimizar el costo total para llevar a cabo esa labor. · Un motivo importante de la generalizada aplicación de la programación lineal en problemas de programación de la producción, es que éstos son de naturaleza recurrente. Se debe establecer un programa de producción para el mes en curso, después para el mes siguiente, luego para el que sigue, y así sucesivamente. Cuando el gerente de producción considera el problema cada vez, se encuentra con que, aunque la demanda de los productos varía, las limitaciones sobre el tiempo y las capacidades de producción, y sobre el espacio de almacenamiento, son básicamente las mismas . Por ello, el gerente de producción resuelve en esencia el mismo problema que se ha manejado en meses anteriores . Por tanto es posible aplicar con frecuencia un modelo general de programación lineal para el procedimiento de programado de la producción. Una vez que se planteó el modelo, el administrador puede simplemente proporcionar los datos (demanda, capacidades, etc.) para el periodo de producción dado, y puede entonces utilizarse el modelo de programación lineal para desarrollar el programa de producción. De modo que un planteamiento de programación lineal puede tener muchas aplicaciones sucesivas. Considere el caso de la empresa Bollinger Electronics Co., que fabrica dos componentes electrónicos distintos para un importante fabricante de motores de avión. Tal fabricante notifica a la oficina de ventas de la Bollinger, cada trimestre, cuáles serán los requerimientos de componentes para los tres meses siguientes . Las demandas mensuales de los componentes pueden variar considerablemente dependiendo del tipo de motor que produce el fabricante . El pedido que se muestra en la Tabla 4.7 acaba de ser recibido, y corresponde al siguiente lapso de tres meses. Después de que se procesa el pedido, se envía una constancia de demanda al departamento de control de la producción. A su vez, este departamento debe elaborar un plan de producción a tres meses para los componentes. Conociendo la preferencia del gerente del departamento de producción, por niveles constantes de demanda que den como resultado cargas de trabajo equilibradas y utilización constante de las máquinas y la mano de obra, la persona encargada del programa de producción debe tomar en consideración la alternativa de fabricar a una tasa constante durante los tres meses. Esto fijaría cuotas de producción de 3000 unidades por mes para el componente 322A y 1500 unidades al mes para el componente 802B. ¿Por qué no adoptar este programa? Aunque tal programa resultaría atractivo para el departamento de producción, puede resultar indebido desde el punto de vista de los costos totales. En particular, omite los costos de inventarios. Considérense los niveles proyectados de inventario que se producirían

TABLA 4. 7

Programa de la demanda a tres meses para Bollinger Electronic Company

Componente 322A Componente 802B

Abril

Mayo

Junio

1000 1000

3000 500

5000 3000

138

CAPÍTULO CUATRO 30 de abril

31 de mayo

Componente 322A

2000 unidades

Componente 802B

FIGURA 4.5

500

1500

unidades

unidades

Niveles proyectados de inventario con un programa de producción a tasa constante.

con este programa que exige producción constante (Fig. 4.5). Se observa que el programa de producción conduciría a niveles elevados de inventarios. Cuando se considera el costo del capital y del espacio de almacenamiento comprometidos, un programa que produzca menores niveles de inventarios puede resultar más deseable en términos económicos. En el otro extremo del programa de producción a tasas constantes se encuentra el método de "fabricar para satisfacer la demanda". Aunque este tipo de programas elimina el problema de los costos de mantener inventario, las amplias fluctuaciones mensuales en los niveles de producción pueden ocasionar algunas dificultades y costos de producción considerables. Por ejemplo, tendría que haber capacidad de producción disponible para satisfacer la demanda pico de 8000 unidades en junio. También, y a menos que se pudieran programar otros componentes para el mismo equipo de producción en abril y mayo, habría una cantidad considerable de capacidad no utilizada y, por ello, una subutilización importante en esos meses. Tales importantes variaciones en la producción podrían también exigir ajustes considerables en la mano de obra que, a su vez, conducirían mayores problemas de rotación y de capacitación del personal. Por ello, parece que el mejor programa de producción sería aquel que equilibrara las dos alternativas. Al gerente de producción le agradaría identificar y considerar los siguientes costos l. Costos de producción 2. Costos de almacenamiento 3. Costos por cambios en el nivel de producción

En la parte restante de esta sección se muestra la forma en la que puede plantearse un modelo de programación lineal para el proceso de producción e inventarios de la firma Bollinger Electronics, que toma en consideración esos costos de manera que se minimicen los costos totales. Para desarrollar el modelo se utiliza una notación con doble subíndice para las variables de decisión. El primer subíndice indica el número del producto, y el segundo, el mes. Así, en general, se utiliza X ;m para denotar el volumen de producción en unidades para el producto i en el mes m. Aquí, i = 1, 2, y m = 1, 2, 3; se tiene que i = 1 se refiere al componente 322A, i = 2 se refiere al componente 802B, m = 1 corresponde a abril, m = 2 se refiere a mayo y m = 3 corresponde a junio. El propósito del doble subíndice es ofrecer una notación más descriptiva. Se podía simplemente utilizar x 6 para representar el número de unidades del producto 2 que se fabrica en el mes 3, pero x 23 es más descriptiva en cuanto a que señala directamente el mes y el producto que la variable representa.


Si cuesta $20 (dólares) cada unidad que se fabrica del componente 322A, y $10 cada componente 802B, la parte de los costos de producción de la función objetivo se convierte en Costo de producción = 20x11 + 20x, 2 + 20x13 + 10x2 , + 10x22 + 10x23 Se debe observar que en este problema el costo por unidad de producción es el mismo en todos los meses. Por ello, no es necesario incluir los costos de producción en la función objetivo, es decir; independientemente de cuál sea el programa de producción que se elija, los costos totales de producción seguirán siendo los mismos. En otras palabras, los costos de producción son costos no relevantes para la decisión sobre el programa de producción que se considera. En casos en que se espera que el costo unitario varíe cada mes, los costos unitarios variables de producción deben incluirse en la función objetivo. Como la solución para el problema de la Bollinger Electronics será la misma independientemente de si se incluyen estos costos o no, se ha decidido elegirlos para que el valor de la función objetivo de programación lineal incluya todos los costos correspondientes al problema. Para incluir los costos relevantes de inventarios en el modelo, se introduce una variable de decisión con doble subíndice que indica el número de unidades de inventario para cada producto y para cada mes. Se utiliza s;m para representar el nivel de inventario para el producto i al final del mes m. La Bollinger ha determinado que, sobre una base mensual, los costos de mantener el inventario son de 1.50Jo del costo del producto; es decir, (0.015)($20) = $0.30 por unidad del componente 322Ay (0.015)($10) = $0.15 por unidad para el componente 802B. Enseguida se comenta un supuesto que comúnmente se hace al utilizar el método de la programación lineal para programar producción. Se supone que los inventarios de fin de mes son una aproximación aceptable de los niveles promedio de inventarios durante el propio mes. Dado este supuesto, la porción del costo del mantenimiento de inventarios de la función objetivo se puede expresar de la siguiente manera: Costo de mantenimiento de inventarios

=

0.30s 11 + 0.30s 12 + 0.30s13 + 0.15s21 + 0.15s22 + 0.15s23

Con objeto de incluir los costos que se producen por las fluctuaciones en los niveles de producción de un mes a otro, es necesario definir las dos variables de decisión adicionales que siguen: 1m = aumento en el nivel total de producción durante el mes m en comparación con el mes m D m = disminución en el nivel total de producción durante

el mes m en comparación con el mes m - 1 Después de estimar los efectos de los despidos temporales de los empleados, de la rotación de personal, de los costos de asignaciones a capacitación, y de otros costos asociados a los niveles fluctuantes de producción, la Bollinger estima que el costo correspondiente a un aumento en el nivel de la producción para cualquier mes es $0.50 (de dólar) por aumento unitario. A una disminución en el nivel de producción le corresponde un costo similar, para cualquier mes, y es de $0.20 por unidad. Así, la tercera porción de la función objetivo puede escribirse de la siguiente manera: Costos por fluctuaciones en la producción = 0.5011 + 0.5012 + 0.50/3 + 0.20D 1 + 0.20D2 + 0.20D3

140

CAPÍTULO CUATRO

Se debe observar aquí que la Bollinger ha decidido medir los costos correspondientes a las fluctuaciones en la producción como función del cambio en el número total de unidades que se fabrican en el mes m, en comparación con el número total de unidades fabricadas en el mes m - l. En otras aplicaciones a programas de producción, pueden medirse las fluctuaciones en la producción en términos de horas-máquina o de horas-trabajo que se requieren, en vez de hacerlo en términos del número total de unidades que se fabrican. Combinando todos estos tres costos, la función objetivo completa se convierte en min 20x 11 + 20x 12 + 20x 13 + 10x2 1 + 10x22 + 10x23 + 0.30s 11 + 0.30s 12 + 0 .30s 13 + 0.15s2 1 + 0.15s22 + O. l5s 23 + 0.50/ 1 + 0.50/2 + 0.50/3 + 0.20D 1 + 0.20D 2 + 0.20D 3 Considérense ahora las restricciones . En primer lugar, debe garantizarse que el programa satisface la demanda del cliente. Como las unidades que se envían pueden provenir de la producción del mes en curso, o de los inventarios de periodos previos, se tienen los siguientes requerimientos básicos: Inventario) final ( del mes anterior

+

Producción) ( en curso

(

Demanda del ) mes

La diferencia entre el lado izquierdo y el lado derecho será la cantidad del inventario final, al final de ese mes. Por ello, el requerimiento de la demanda asume la forma

In;~::~rio) ( del mes anterior

+

Inventario ) final de este ( mes

Producción) ( en curso

Demanda~

1

de este mes

Supóngase que los inventarios al principio del periodo del programa de tres meses fueran de 500 unidades para el componente 322A y 200 unidades para el componente 802B. Recordando que la demanda para ambos productos en el primer mes (abril) es de 1000 unidades, las restricciones para satisfacer la demanda en el primer mes se convierten en 500

+X¡¡ -

200 +

x 21

-

S¡¡

1000

s21

1000

Pasando las constantes al lado derecho, se tiene X¡¡

500

S¡¡

800 De manera similar, se requieren restricciones de demanda para ambos productos en los meses segundo y tercero. Esas pueden escribirse de la siguiente manera: Mes 2: ·s 11 + x 12

3000 500

Mes 3: s 12 + x 13 s 22

+

-

s 13

5000

x 23 -

s 23

3000


Si la compañía especifica un nivel mínimo de inventario al final del periodo de tres meses de cuando menos 400 unidades del componente 322A y cuando menos 200 unidades del componente 802B, pueden entonces incluirse las restricciones S ¡3 2::

400

s23

200

2::

Supóngase que se tiene información adicional disponible sobre la capacidad de producción, de mano de obra y almacenamiento, y es la que se presenta en la Tabla 4.8. En la Tabla 4.9 se presentan los requerimientos de maquinaria, mano de obra y almacenamiento. Las siguientes restricciones son necesarias para reflejar esas limitaciones: Capacidad de las máquinas 0. 10x 11 + 0.08x 21

::;

400

Mes 1

0. 10x 12 + 0.08x 22

::;

500

Mes2

0. 10x 13 + 0.08x 23

::;

600

Mes3

0 .05x 11 + 0 .07x 21

::;

300

Mes 1

0 .05x 12 + 0 .07x 22

::;

300

Mes2

0 .05x 13 + 0.07x 23

::;

300

Mes3

Capacidad de mano de obra:

Capacidad de almacenamiento: 2s 11 + 3s 21

TABLA 4.8

Mes 1

2s 12 + 3s 22 :s 10,000

Mes2

2s 13 + 3s 23

Mes3

::;

10,000

Capacidades de maquinaria, mano de obra y almacenamiento para la Bollinger Electronics

Abril Mayo Junio

TABLA 4.9

10,000

::;

Capacidad de máquinas (horas)

Capacidad de mano de obra (horas)

Capacidad de almacenamiento (pies cuadrados)

400 500 600

300 300 300

10,000 10,000 10,000

Requerimientos de maquinaria, mano de obra y almacenamiento para los componentes 322A y 802B

Componente 322A Componente 802B

Máquina (horas/ unidad)

Mano de obra (horas/ unidad)

Almacenamiento pie 2/ unidad)

0.10 0.08

0.05 0.07

2 3

142

CAPÍTULO CUATRO

Se debe incluir un conjunto final de restricciones. Estas se requieren para garantizar que Jm y Dm reflejarán el aumento o la disminución en el nivel total de producción en el mes m. Supóngase que los niveles de producción para marzo (el mes anterior al inicio del problema de la programación de la producción que se est.á trabajando) hubiera sido de 1200 unidades del componente 322A y 1000 unidades del componente 802B, para un nivel total de producción de 1500 + 1000 = 2500 unidades. Puede determinarse la magnitud del cambio en la producción para abril, a partir de la relación: Producción en abril - producción en marzo = cambio Utilizando las variables de decisión para la producción de abril x 11 y x2 1' y la producción de marzo de 1500 unidades, se puede reescribir la relación anterior como sigue: X

11

+

X

21

-

2500 = cambio

Obsérvese que el cambio puede ser positivo o negativo. Un cambio positivo refleja un aumento en el nivel total de producción, y uno negativo refleja una disminución. Utilizando la relación anterior, pueden utilizarse el aumento en la variable de producción para abril JI' y la disminución en la variable de producción para abril DI' para especificar la siguiente restricción que corresponde al cambio en la producción total para el mes de abril:

Por supuesto, no puede tenerse un aumento en la producción y una disminución en el mismo periodo de un mes; por ello, J1 o bien D 1 será cero . Si en abril se requieren 3000 unidades de producción, se tendría J 1 = 500 y D 1 = O. Si en abril se requieren 2200 unidades de producción, se tendrá J1 = O y D 1 = 300. Esta forma de denotar el cambio en el nivel de producción como la diferencia entre dos variables no negativas J1 y DI' permite considerar cambios tanto positivos como negativos en el nivel total de producción. Si se hubiera utilizado una sola variable, por ejemplo cm, para representar el cambio en el nivel de producción, entonces sólo serían posibles los cambios positivos debido al requerimiento de no negatividad. Aplicando el mismo método para mayo y junio (siempre restando la producción total del mes anterior, de la producción total de mes en curso), se tendrían las siguientes restricciones para los meses segundo y tercero del periodo de programación de la producción: (x¡2

(x 13

+ xn) + x 23 )

(X¡¡

+

X2¡) = /2 -

D2

(x¡2

+

x22) =

D3

/3 -

Colocando las variables en el lado izquierdo y las restricciones en el lado derecho, el conjunto completo de lo que comúnmente se denominan restricciones de suavización de la producción, puede expresarse de la siguente manera: xu + - x 11 -

2500

X21 x 21

+

x 12

+ x 22

o

El problema de programación inicial, relativamente reducido con dos productos y tres meses, se ha convertido ahora en un problema de programación lineal con 18 variables

APLICACIONES DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL 143 TABLA 4.1 O Información sobre el programa de producción de costos

mínimos para Bollinger Electronics Actividad

Abril

Mayo

Junio

500 2,500

3,200 2,000

5,200

3,000

5,200

5,200

o 1,700

200 3,200

400 200

Utilización de la maquinaria Horas programadas Horas de holgura en capacidad

250 150

480 20

520 80

Utilización de mano de obra Horas programadas Horas de holgura en capacidad

200 100

300

260 40

5,100 4,900

10,000

1,400 8,600

Producción Componente 322A Componente 802B Totales Inventario final Componente 322A Componente 802B

Utilización del almacenamiento Almacenamiento programado Capacidad de holgura

o o

o

Costo total del programa (incluyendo producción, inventarios y alisado de la producción) = $225,295

y 20 restricciones. Obsérvese que lo que importaba en el problema era solamente un tipo de proceso en máquinas, un solo tipo de mano de obra y un solo tipo de área de almacenamiento. En los problemas reales de programación de la producción pueden encontrarse varios tipos de máquinas, varios tipos de mano de obra y/o varios espacios de almacenamiento. Por ello, es posible que el lector esté comenzando a darse cuenta de la forma en la que se presentan los sistemas de programas lineales de producción en gran escala. Una aplicación típica podría implicar el desarrollo de un programa de producción para 100 artículos y un horizonte de tiempo de 12 meses. Un problema como éste podría tener más de 1000 variables y restricciones. En la Fig. 4.6 se presenta la solución computadorizada del problema de programación de la producción de la Bollinger Electronics. En la Tabla 4.10 se muestra una parte del reporte para los administradores que se basa en esta solución por computadora. Se procederá ahora a considerar la variación mensual en el programa de producción de inventarios que se muestra en la Tabla 4.10. Recuérdese que el costo de los inventarios para el componente 802B es la mitad del costo de inventario para el componente 322A. Por lo tanto, tal como podría esperarse, el componente 802B se fabrica en gran cantidad en el primer mes (abril) y después se mantiene en inventario para la demanda que se presente en los meses siguientes. Se tiende a fabricar el componente 322A cuando se le necesita y sólo se mantiene en cantidades pequeñas en los inventarios. Los costos por los aumentos o disminuciones en el volumen total de producción tienden a suavizar las variaciones mensuales. De hecho, un programa de costo mínimo exige un aumento de 500 unidades en la producción total de abril y un aumento de 2200 unidades

144

CAPÍTULO CUATRO

en la producción de mayo. El nivel de producción de 5200 unidades se mantiene después durante junio. La sección del reporte sobre utilización de las máquinas muestra que existe considerable capacidad disponible en los tres meses. Sin embargo, se observa también que las capacidades de mano de obra y almacenamiento se utilizan en su totalidad (holgura = Opara la restricción 13 y para la restricción 16 de la Fig. 4.6) en el mes de mayo. El precio dual muestra que una hora adicional de capacidad de mano de obra en mayo mejoraría la función objetivo (menores costos) en aproximadamente $2.14. Esta información podría ayudar al gerente de producción a decidir si debe añadir tiempo extra de la mano de obra durante el mes de mayo. Una interpretación similar para el precio dual de la restricción 16 muestra que cada pie cuadrado adicional de espacio de almacenamiento que se tenga desponible durante mayo mejorará la función objetivo en poco menos de 5 centavos por pie cuadrado. Valor de la función objetivo Variable

=

225294.953000 Valor

Costos reducidos

-------------------- ------------------- ----------------------Xll X12 X13 X21 X22 X23 Sll S12 S13 S21 S22 S23 I1

I2 I3 D1 D2 D3 Restricción

500.000000 3199.999000 5199.999500 2499.999500 2000.000980 0.000000 0.000000 200.000977 400.000000 1699.999510 3200.000000 200.000000 500.001460 2199.998800 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000

Holgura/Excedente

0.000002 0.000003 0.000004 0.000002 0.000001 0.060719 0.192860 0.000000 0.000000 0.000000 0.000003 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.700000 0.700000 0.700000

Precios duales

-------------------- ------------------- ----------------------1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

12 13 14 15 16 17 18 19 20

FIGURA 4.6

0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 149.999939 20.000015 80.000000 100.000061 0.000000 39.999985 4899.997100 0.000000 8600.000000 0.000000 0.000000 0.000000

-20.000002 -10.000002 -20.107142 -10.150002 -20.499996 -10.439282 -20.799995 -10.589281 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 2.142897 0.000000 0.000000 0.046428 0.000000 0.500000 0.500000 0.500000

Solución por computadora del problema de programación de la producción para Bollinger Electronics utilizando The Management Scientist.

.'


Ya se ha visto en esta ilustración que un modelo de programación lineal para un sistema de producción de dos artículos y tres meses ofrece alguna información valiosa en términos de identificar un programa de costo mínimo. En sistemas de producción más grandes, en los que el número de variables y restricciones es demasiado grande para seguirlo en forma manual, los modelos de programación lineal pueden ofrecer una ventaja importante en la elaboración de programas de producción para ahorrar costos.

NOTAS Y COMENTARIOS Al revisar la adecuación de un modelo de programación lineal, siempre resulta conveniente revisar las unidades de medición para la función objetivo y para las restricciones. Por ejemplo, las capacidades de las máquinas para el problema de la Bollinger Electronics se plantearon en unidades de horas. Como el componente 322A requería 0.10 horas (6 minutos) por unidad y el componente 802B requería 0.08 (4.8 minutos) por unidad, la restricción para las 400 horas disponibles en el mes se planteó, correctamente, de la siguiente manera: 0.10x 11 + 0.08x 12

~

400

La unidad de medición es consistente, ya que se utilizan horas tanto para el lado izquierdo como para el lado derecho . La restricción 6x 11

+ 4.8x12

~

400

no sería un planteamiento correcto porque el uso de minutos en el lado izquierdo sería inconsistente con el uso de horas en el lado derecho. Esta incongruencia podría corregirse convirtiendo la capacidad del lado derecho a (400 horas) X (60 minutos por hora) = 24,000 minutos . Por ello, aunque exista flexibilidad al elegir la unidad de medición que se utiliza, es necesario verificar la consistencia.

Planeación de la mano de obra Con frecuencia se presentan problemas de planeación o de programación de la mano de obra cuando los administradores deben tomar decisiones que implican requerimientos departamentales de mano de obra para un periodo dado de tiempo. Esto es particularmente cierto cuando las asignaciones de mano de obra tienen cierta flexibilidad y en los casos en los que cuando menos cierta parte de la mano de obra puede asignarse a más de un departamento o centro de trabajo. Este es con frecuencia el caso cuando se ha capacitado a los empleados para realizar dos o más tareas. En el siguiente ejemplo se muestra la forma en la que puede utilizarse la programación lineal para determinar no sólo una mezcla óptima de productos sino también una asignación óptima de mano de obra para los diversos departamentos . La firma McCarthy's Everyday Glass, Co., está planeando fabricar dos estilos de vasos para el siguiente mes. Los vasos se procesan en cuatro departamentos distintos. Existe capacidad de equipo en exceso, y no resultará ser un factor limitan te. Sin embargo, los recursos de mano de obra de la compañía son limitados y es posible que restrinjan el volumen de producción para los dos artículos . Los requerimientos de mano de obra por cada caja que se fabrica (una docena de vasos) son los que se muestran en la Tabla 4.11.

146

CAPÍTULO CUATRO

TABLA 4.11

Horas de mano de obra por caja de productos Departamento

Producto 1

Producto 2

2 3 4

O.o70 0.050 0.100 0.010

0.100 0.084 0.067 0.025

La compañía obtiene utilidades de $1.00 (dólar) por cada caja del producto 1 y $0.90 (de dólar) por cada caja del producto 2. Si el número de horas disponibles en cada departamento es fijo, se puede plantear el problema de la McCarthy como un programa lineal estándar de mezcla de productos. Se utiliza la notación común:

x1

cajas del producto 1 quese fabrican

x2

cajas del producto 2 que se fabrican

1

horas de mano de obra disponibles en el departamento i,

1, 2, 3, 4

El programa lineal puede escribirse de la siguiente manera: max

1

1.00x 1 + 0.90x2

sujeta a 0.070x 1 + 0.100x2

+ 0.084x2 0.100x 1 + 0.067x2 0.010x 1 + 0.025x2

0.050x 1

:::;

b1

:5

b2

:5

b3

:5

b4

Para resolver este problema de combinación de productos, se pediría al gerente de producción que especificara las horas disponibles en cada departamento (bp b2 , b 3 , y b4); después, podría .resolverse para obtener la mezcla de productos que maximiza las utilidades. Sin embargo, en este caso se supone que el administrador tiene cierta flexibilidad para asignar los recursos de mano de obra y sería conveniente hacer una recomendación para esa asignación, al igual que para determinar la cumbirtación óptima de productos. Supóngase que, después de considerar las calificaciones de capacitación y experiencia de los trabajadores, se tiene la siguiente información adicional: Posibles asignaciones de mano de obra

Sólo en el departamento Sólo en el departamento Sólo en el departamento Sólo en el departamento Departamentos 1 o 2 Departamentos 3 o 4 Total disponible

Horas de mano de obra disponibles

1 2 3 4

430 400 500 135 570 300 2335

1.

,

1

.

..1'


Se observa que, de las 2,335 horas disponibles para la producción del mes, pueden asignarse 870 de ellas a discreción del administrador. Las restricciones para las horas disponibles en cada departamento son las siguientes:

+ 400 + 500 + 135 +

b¡ ::::; 430

570 = 1000

b2

570 = 970

:S

b3 ::::;

b4 ::::;

300

800

300

435

Como no es posible asignar en forma simultánea a ambos departamentos las 570 horas que pueden asignarse con flexibilidad entre los departamentos 1 y 2, es necesaria la siguiente restricción adicional: bl + b2 ::::; 430 + 400 + 570

=

1400

De manera similar, para las 300 horas que es posible asignar entre los departamentos 3 y 4, se requiere la restricción

b3 + b4 ::::; 500 + 135 + 300

=

935

En este planteamiento se están manejando como variables las horas de mano de obra que se asignan a los departamentos. Los coeficientes de la función objetivo para estas variables serán cero, porque las variables b; no afectan las utilidades en forma directa. Después de colocar todas las variables del lado izquierdo de las restricciones, se obtiene el siguiente programa lineal max 1.00x 1 + 0.90x 2 + Ob 1 + Ob 2 + Ob 3 + Ob4 sujeta a 0.070x 1 + 0.100x 2 -

+ 0.084x2 0.100x 1 + 0.067x 2 0.010x 1 + 0.025x 2

-

0.050x 1

b4::::;

o o o o

::::;

1000

::::;

970

::::;

800

::::;

b¡

::::;

bz

-

::::;

b3

b¡ bz b3

b4::::; 435 b¡

+

bz b3

x 1 , x 2 , b 1 , b 2 , b 3, b 4

2::

+

::::;

1400

b4::::;

935

O

Este modelo de programación lineal resolverá en realidad dos problemas: (1) permitirá encontrar la mezcla óptima de productos para el periodo de planeación y (2) permitirá asignar las horas disponibles de mano de obra a los departamentos, de manera que se maxi-

CAPÍTULO CUATRO

148

TABLA 4.12

Plan óptimo de producción y asignación de mano de obra para McCarthy's Everyday Glass Company Plan de producción : Producto 1 = 4700 cajas Producto 2 = 4543 cajas Asignación de mano de obra Departamento 1 783 horas Departamento 2 617 horas Departamento 3 774 horas Departamento 4 161 horas Total Utilidad

2335 horas =

$8789

micen las utilidades . En la Tabla 4.12 se muestra la solución para este modelo de 10 restricciones y 6 variables. Obsérvese que el plan óptimo de mano de obra utiliza todas las 2,335 horas disponibles. En esta solución, no existe tiempo ocioso en ninguno de los departamentos. No es este siempre el caso en los problemas de este tipo. Sin embargo, si el administrador tiene de hecho la libertad de asignar a ciertos empleados a distintos departamentos, el efecto será probablemente una reducción en el tiempo ocioso global. El modelo de programación asigna automáticamente a los empleados a los departamentos de la manera más redituable. Si el administrador hubiera efectuado una asignación, según su juicio, de las horas a los departamentos, y si hubiera después resuelto el problema de mezcla de productos utilizando unas b; fijas, es probable que hubiera tenido holgura en algunos departamentos, al mismo tiempo que otros departamentos hubieran representado congestionamientos debido a recursos insuficientes. Pueden utilizarse variantes en el planteamiento básico de esta sección en casos como la asignación de materias primas a productos, en la asignación de tiempo de máquina a productos y en la asignación de tiempo de fuerza de ventas a líneas de productos o a territorios de ventas.

4.5

PROBLEMA DE MEZCLAS Los problemas de mezclas se presentan cuando los administradores deciden la forma en que deben combinarse dos o más recursos para fabricar uno o más productos. En estos casos, los recursos contienen uno o más ingredientes esenciales que deben mezclarse de manera que los productos finales contengan porcentajes específicos de los ingredientes esenciales . E-or ello, en la mayor parte de estas aplicaciones, los administradores deben decidir qué tanto de cada recurso deben adquirir para satisfacer las especificaciones de los prodcutos y las demandas de los productos a un costo mínimo . Con frecuencia se presentan problemas de mezclas en la industria del petróleo (problemas como la combinación de petróleos crudos para fabricar gasolinas con octanajes diferentes), en la industria química (tales como la mezcla de productos químicos para fabricar fertilizantes o para controlar hierbas, etc.) y en la industria de los alimentos (como mezcla de ingre-

APLICACIONES DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL

TABLA 4.13

Costos y ofertas de petróleo para el problema de mezclado en la Grand Strand

Componente de petróleo

Costo por galón

Máximo disponible

Componente 1 Componente 2 Componente 3

$0 .25 $0.30 $0.42

5,000 galones 10,000 galones 10,000 galones

TABLA 4.14

149

Especificaciones de los productos para el problema de mezclado de la Grand Strand Producto

Gasolina normal

Gasolina extra

Especificaciones

Cuando mucho 300Jo del componente 1 Al menos 40% del componente 2 Cuando mucho 20% del componente 3 Al menos 25% del componente 1 Cuando mucho 40% del componente 2 Al menos 30% del componente 3

dientes para fabricar bebidas, sopas, etc.). Debido a la extensa aplicación de los problemas de mezclas, el objetivo de esta sección es ilustrar la forma en que se puede aplicar la programación lineal para resolver este tipo de problemas. La empresa Grand Strand Oil, Co., fabrica gasolinas de grado normal y de grado extra, que se venden en gasolinerías independientes en el sureste de Estados Unidos. La refinería de la Grand Strand fabrica las gasolinas mezclando tres componentes de petróleo. Las gasolinas se venden a precios distintos, y los componentes de petróleo tienen costo diferente. La empresa pretende determinar cómo mezclar o combinar los tres componentes para obtener las dos gasolinas, de manera que se maximicen las utilidades. Los datos disponibles muestran que la gasolina de grado normal se puede vender en $0.50 (de dólar) por galón y la gasolina de grado extra en $0.54 por galón. Para el periodo en curso de la planeación de la producción, la Grand Strand puede obtener los tres componentes de petróleo a los costos por galón y en las cantidades que se muestran en la Tabla 4.13. Las especificaciones de los productos para las gasolinas restringen las cantidades de cada componente que se pueden utilizar en cada gasolina. Las especificaciones de los productos se listan en la Tabla 4.14. Los compromisos actuales con los distribuidores requieren que la Grand Strand fabrique cuando menos 10,000 galones de la gasolina de grado normal. El problema de mezcla de la Grand Strand consiste en determinar cuántos galones de cada componente se deben util;zar en la mezcla de la gasolina de grado normal, y cuántos galones de cada componente en la mezcla de la gasolina de grado extra. La solución de la mezcla óptima debe maximizar las utilidades de la empresa, sujeta a las restricciones que se tienen sobre la disponibilidad de componentes de petróleo que se muestra en la Tabla 4.13, y sujeta a las especificaciones de los productos que se muestran en la Tabla 4.14 y a los 10,000 galones que se requieren de gasolina de grado normal.

150

CAPÍTULO CUATRO

1 ¡

Se puede utilizar la siguiente notación para definir a las variables de decisión: Sean

xu

galones del componente i que se utilizan en la gasolina j, en donde i

=

1, 2 o 3, para los componentes 1, 2 o 3;

se tiene que j

= r si es normal o j = p si es extra

Las seis variables de decisión se convierten en

x 1,

galones del componente 1 en la gasolina normal

x 2, x 3,

galones del componente 2 en la gasolina normal galones del componente 3 en la gasolina normal

x 1P

galones del componente 1 en la gasolina extra

x 2P


x 3P


Obsérvese que antes se habían utilizado siempre números como subíndices para las variables de decisión. Continuando con el uso de subíndices numéricos, se hubiera podido fijar j = 1 para la gasolina normal y j = 2 para la gasolina extra. Sin embargo, el uso de los subíndices r y p resulta descriptivo y permite identificar con facilidad la gasolina a la que se refiere la variable de decisión. Utilizando las seis variables decisorias, puede expresarse el número total de galones de cada tipo de gasolina que se fabrica sumando el número de galones que se fabrican utilizando cada uno de los tres componentes de petróleo. Es decir,

Total de galones que se producen Gasolina normal =

X 1,

+

Gasolina extra = x 1P +

X 2, X 2P

+

+

X 3, X 3P

De manera similar, es posible expresar el total de galones de cada componente de petróleo que se utilizan mediante las siguientes sumas:

Utilizaci6n total de los componentes de petr6leo Componente 1

x 1,

Componente 2

x2,

Componente 3

x3,

+ x 1P + X2p + XJp

Puede desarrollarse la función objetivo para maximizar la contribución a las utilidades identificando la diferencia entre los ingresos totales provenientes de los dos tipos de gasolina y el costo total de los tres componentes de petróleo. La función objetivo puede escribirse de la siguiente manera; multiplicando el precio por galón de $0.50 por el total de galones de gasolina normal; el precio por galón de $0.54, por el total de galones de gasolina extra; y las cifras de costo por galón de cada componente de la Tabla 4.13, por el total de galones de cada componente que se utilizan: max

+ x2, + x3,) + 0.54(x 1P + x 2P + x 3p) -0.25(:c 1, + x 1p) - 0.30(x2, + x2p) - 0.42(x3, + 0.50(x 1,

x 3P)


Combinando términos semejantes, puede escribirse la función objetivo como sigue: max

0 .25x 1r

+

+

0.20x2r

+

0 .08x3r

0.29x 1P

+

0 .24x2P

+ 0.12x3P

Las limitaciones sobre la disponibilidad de los tres componentes de petróleo se pueden expresar mediante las siguientes tres restricciones:

+ xlp X 2r + X 2P x 3r + x 3P

xlr

:5

5,000

Componente 1

:5

10,000

Componente 2

:5

10,000

Componente 3

Ahora se requieren seis restricciones para satisfacer las especificaciones de los productos que se listan en la Tabla 4.14. La primera especificación plantea que el componente 1 puede constituir cuando mucho 300Jo del total de galones que se fabrican de gasolina normal. Es decir,

o bien

Replanteando esta restricción con las variables en el lado izquierdo y una constante en el lado derecho, la restricción sobre la especificación del primer producto se convierte en 0 .70x 1r - 0 .30xzr - 0 .30x3r:::; O

La especificación para el segundo producto que se lista en la Tabla 4.14 puede escribirse como

o bien y así

De manera similar, pueden escribirse de la siguiente manera las cuatro especificaciones adicionales sobre las mezclas, que se muestran en la Tabla 4.14: -0 .20x 1r - 0.20Xzr

O. 75x 1P

+ 0 .80x3r:::; O

0 .25x2P

0 .25x3P

~

O

- 0.40x 1P

+

0.60x2P

O.40x3P

:::;

O

- 0.30x 1P

-

0.30x2P

+ O.70x3P

~

O

La restricción para el mínimo de 10,000 galones de la gasolina de grado normal se escribe:

Por ello, el modelo completo de programación lineal con seis variables de decisión y dos restricciones se puede escribir de la siguiente manera:

152

CAPÍTULO CUATRO

0.25x 1, + 0.20x2, + 0.08x3, + 0.29x 1P + 0.24x2P + 0.12x3P

max sujeta a

X¡,

+

X¡p

+

Xzr

Xzp

+

X3r

::;

5,000

::;

10,000

x3p ::; 10,000

0.30x2P + 0.70x3P::::

o o o o o o

2:

10,000

0.70x 1, - 0.30x 2,

-

0.30x3,

::;

-0.40x 1, + 0.60x 2 ,

-

0.40x 3,

2:

-0.20x 1, - 0.20x 2 , + 0.80x3,

::;

0.75x 1P - 0.25x2P

0.25x 3P

::::

0.40x 1P + 0.60x 2P

0.40x 3P

::;

0.30x 1P

X¡,+

Xzr +

X3r

x 1,, x 2 ,, x 3,, x 1P' x 2P' x 3P

2:

O

En la Fig. 4. 7 se muestra la solución por computadora para el problema de las mezclas de la Grand Strand. La solución de mezclado que ofrece una utilidad de $4,650 se resume en la Tabla 4.15. La estrategia óptima de mezclado señala que se deben fabricar 10,000 galones de gasolina normal. La gasolina normal consistirá en una mezcla del componente 1 (1 ,250 galones) y el componente 2 (8,750 galones). Los 15,000 galones de la gasolina extra se deben elaborar con una combinación de los tres componentes de petróleo: 3, 750 galones del componente 1, 1,250 galones del componente 2 y 10,000 galones del componente 3.

Valor de la función objetivo = Variable

X1R X2R X3R X1P X2P X3P Restricción 1 2 3 4

5 6 7 8 9 10

FIGURA 4. 7

4650.000500 Valor

Costos reducidos

1249.999020 8749.997100 0.000000 3750.001000 1250.005860 10000.000000

0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000

Holgura/Excedente

0.000000 0.000000 0.000000 1750.000490 4"149. 999000 1999.999390 0.000000 4749.998000 5499.997100 0.000000

Precios duales

0.290000 0.240000 0.120000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 -0.040000

Solución por computadora del problema de mezclado de la Grand Strand utilizando The Management Scientist.


TABLA 4.15

Estrategia de mezclado de gasolina de la firma Grand Strand

Gasolina

Componentes de los galones (porcentaje) Componente 1 Componente 2 Componente 3

Total

Normal Extra

1250 (12.50Jo) 3750 (25.0%)

8750 (87.5%) 1250 ( 8.3%)

10,000 15,000

10,000 (66. 7%)

Es necesario aclarar un poco la interpretación de las variables de holgura y de excedente correspondientes a las restricciones de especificación de los productos (restricciones 4 a 9) de la Fig. 4. 7. Si la restricción es del tipo :5, el valor de la holgura se puede interpretar como los galones del componente utilizado por debajo de la cantidad máxima especificada por la restricción. Por ejemplo, la holgura de 1, 750 para la restricción 4, muestra que el uso del componente 1 se encuentra 1, 750 galones por debajo de la cantidad máxima del componente 1 que se hubiera podido utilizar en la producción de los 10,000 galones de la gasolina normal. Si la restricción de especificación del producto es del tipo ~ una variable de excedente muestra los galones del componente que se utilizan por encima de la cantidad mínima especificada por la restricción de mezclado. Por ejemplo, el excedente de 4, 750 para la restricción 5 muestra que el componente 2 se utiliza en 4,750 galones por encima de la cantidad mínima de ese componente 2 que se hubiera podido utilizar en la producción de los 10,000 galones de gasolina normal.

NOTAS Y COMENTARIOS Una forma conveniente de definir las variables de decisión en un problema de mezclas es utilizar una matriz en la que los renglones correspondan a las materias y las columnas correspondan a los productos finales. Por ejemplo, en el problema de mezclado de la Grand Strand se podrían definir las variables de decisión de la siguiente manera; Materias Primas

Componente 1 Componente 2 Componente 3

Productos Finales

Gasolina normal

Gasolina extra

Existen dos ventajas con este método: (1) ofrece una forma sistemática de definir las variables de decisión para cualquier problema de mezcla, (2) es una imagen visual de las variables de decisión en términos de la forma en la que se relacionan con las materias primas, los productos, y entre sí.

4.6

ANÁLISIS GLOBAL DE DATOS El análisis global de datos (AGD) (DEA, en inglés, de data envelopment analysis) es una nueva aplicación de la programación lineal que se ha estado utilizando para medir la eficiencia relativa de unidades de operación con las mismas metas y objetivos. Por ejemplo, el

154

CAPÍTULO CUATRO

AGD se ha utilizado para medir la eficiencia relativa de expendios de ''comida instantánea'' (jast food) pertenecientes a la misma cadena. En este caso, la meta del AGD consistía en identificar los expendios ineficientes que debían programarse para realizar mayores estudios y, si fuera necesario, emprender acciones correctivas. Mediante otras aplicaciones del AGD se han medido las eficiencias relativas en hospitales, bancos, tribunales, escuelas, etcétera. En estas aplicaciones se midió el desempeño de cada hospital, banco, tribunal o escuela, en relación con el desempeño de todas las unidades operativas pertenecientes al mismo sistema. Las unidades de operación de la mayor parte de las organizaciones tienen insumas múltiples, tales como cantidad de personal, monto de sueldos, horas de operación y presupuestos de publicidad, así como también productos múltiples, como utilidades, participación en el mercado y tasa de crecimiento . En estos casos con frecuencia resulta difícil a los administradores determinar qué unidades operativas son ineficientes para convertir sus insumas múltiples en productos múltiples. Es aquí donde el análisis global de datos ha probado ser una útil herramienta administrativa. El método del AGD utiliza un modelo de programación lineal para constituir una unidad operativa compuesta e hipotética, con base en todas las unidades del grupo de referencia. Se determinan los resultados de tal unidad calculando un promedio ponderado de los resultados de todas las unidades de grupo de referencia. Las restricciones del modelo de programación lineal requieren que todos los resultados de la unidad compuesta sean mayores que o iguales a los resultados de la unidad que se evalúa. Si se puede probar que los insumas para la unidad compuesta son inferiores a los insumas para la unidad que se evalúa, se tiene que la unidad citada obtiene el mismo resultado (o mayor) con menos insumos. En este caso, el modelo señala que la unidad compuesta es más eficiente que la unidad evaluada. En otras palabras, la unidad que se evalúa es menos eficiente que la unidad compuesta. Como la unidad en cuestión se basa en todas las unidades del grupo de referencia, puede calificarse a la unidad en evaluación como relativamente ineficiente cuando se la compara con las otras unidades del grupo.

Evaluación del desempeño en hospitales Se procede a evaluar la ilustración del análisis global de datos para valorar el desempeño de un grupo de cuatro hospitales. En el ejemplo se consideran tres medidas de insumas y cuatro medidas de resultados. Tales medidas son las siguientes: Medidas de insumas: l. El número de elementos del personal, equivalentes, de tiempo completo y que no son médicos 2. La cantidad que se invierte en suministros 3. El número de días-cama disponibles Medidas de los resultados: l. 2. 3. 4.

Días-paciente de servicio según Medicare* Días-paciente de servicios que no están bajo Medicare Número de enfermeras en capacitación Número de médicos internos en capacitación

• N. del T. Medicare es un seguro de gastos médicos patrocinado en parte por el gobierno de Estados Unidos.


TABLA 4.16

Recursos anuales que se consumen (insumas) en los cuatro hospitales

Medida del insumo

General

Personal no médico equivalente de tiempo completo Gastos en suministros (miles) Días-cama disponibles (miles)

285.20 123.80 106.72

TABLA 4.17

Hospital Universitario Distrito/

162.30 128.70 64.21

275.70 348.50 104.10

Estatal

210.40 154.10 104.04

Servicios anuales que ofrecen (resultados) los cuatro hospitales General

Medida del resultado

Días-paciente con Medicare (miles) Días-paciente sin Medicare (miles) Enfermeras en capacitación Médicos internos en capacitación

48.14 43.10 253 41

Hospital Universitario Distrito/

34.62 27.11 148 27

36.72 45.98 175 23

Estatal

33.16 56.46 160 84

En las Tablas 4.16 y 4.17 se presentan resúmenes de las medidas de los insumas y de los resultados para un periodo de cuatro años en cada hospital. Enseguida se muestra la forma en la que puede utilizarse el AGD con estos datos para identificar cualquier hospital relativamente ineficiente. Al aplicar el AGD, será necesario desarrollar un modelo de programación lineal para cada hospital cuya eficiencia se desee evaluar. En el análisis que sigue, se desarrolla un modelo que puede emplearse para valorar la eficiencia relativa del Hospital Distrital (en el Problema 26 del final del capítulo se pide desarrollar un modelo para evaluar la eficiencia relativa del Hospital General). Al elaborar el modelo de programación lineal para el Hospital Distrital, las ponderaciones que se utilizan para construir al hospital compuesto son las variables. Estas se definen de la siguiente manera: wg

ponderación aplicada a insumas y resultados del Hospital General

wu

ponderación aplicada a insumas y resultados del Hospital Universitario

wc = ponderación aplicada a insumas y resultados del Hospital de Distrito ws = ponderación aplicada a insumas y resultados del Hospital Estatal

Como se mencionaba, se utilizarán los pesos para determinar los insumas y los resultados para el hospital compuesto hipotético. Las relaciones de insumas/resultados que se incluyen en el modelo tendrán la siguiente forma general: Insumas/ insumas/ ) insumas/ ) resultados en resultados en wg + resultados en = . l wu el hospital ( el hospital ( el Hosp1ta Unive¡_:sitario General compueso

+

insumas/ ) ( · insumas/ ' ) resultados en wc + resultados en ws el Hospital el Hospital ( Distrital Estatal

156

CAPÍTULO CUATRO

Al plantear el modelo de programación lineal de AGD, se utiliza la expresión anterior para desarrollar una restricción para cada medida de los insumos y para cada medida de los resultados. El calcular los pesos para los cuatro hospitales que conforman el hospital compuesto, el modelo de programación lineal de AGD requerirá que la suma de las ponderaciones sea igual a la unidad. Por ello, para el ejemplo de los cuatro hospitales, la primera restricción será: wg

+

WU

+

WC

+

WS =

1

Utilizando la relación general de insumos/ resultados para cada una de las cuatro medidas de los resultados, las cuatro restricciones de resultados para el modelo de AGD se escriben de la siguiente manera: 48.14wg 43 .10wg 253wg 4lwg

+ 34.62wu + 27.llwu + 148wu + 27wu

+ 36.72wc + 33 .16ws + 45.98wc + 56.46ws + 175wc + 160ws 84ws + 23wc +

2: 2: 2: 2:

36.72 45.98 175 23

Resultados para el Hospital Compuesto

Con Medicare Sin Medicare Enfermeras Médicos internos

"\ Resultados para el Hospital Distrital

Las restricciones anteriores requieren que la solución de programación lineal proporcione ponderaciones, de manera que cada resultado para el hospital compuesto sea mayor que o igual a cada uno de los cuatro resultados del Hospital Distrital. Si se puede obtener una solución que satisfaga las restricciones de los resultados, entonces el hospital compuesto produce cuando menos la misma cantidad de cada resultado que el Hospital Distrital. Después es necesario considerar las tres medidas de insumos. El modelo de programación lineal de AGD contiene la variable E, que determina la fracción de los insumos del Hospital de Distrito que el hospital compuesto requiere. El uso de E, a la cual se denomina lndice de eficiencia, se muestra en la siguiente tabla.

Medida de los insumas

Personal no médico, tiempo completo equiv. Suministros (miles) Días cama (miles)

Recursos de entrada (insumos) Utilizados por el Disponibles para el Hospital Distrital Hospital Compuesto

275.70 348.50 104.10

275.70E 348 .50E 104.10E

Como se muestra antes, los recursos disponibles para el hospital compuesto son simplemente un múltiplo de los recursos que se utilizan en el Hospital Distrital. Si E = 1, los recursos disponibles para el hospital compuesto son los mismos que se emplean en el Hospital Distrital. Si E es mayor que 1, el hospital compuesto tendría a su disposición proporcionalmente


más recursos, mientras que si E es menor que 1, el hospital compuesto tendría a su disposición una cantidad proporcionalmente menor de recursos. Las restricciones de programación lineal para las tres medidas de insumos se expresan de la siguiente manera:

+ 162.30wu + 275 .70wc + 210.40ws

:S

275.70E Personal no médico de

+ 128 .70wu + 348.50wc + 154.10ws 106.72wg + 64 .2lwu + 104.10wc + 104.04ws

:S

348 .50E Suministros

:S

104.10E Días-cama

285 .20wg

tiempo completo equivalente 123 .80wg

'

Capacidades de insumos para el hospital compuesto

Insumos para el hospital compuesto

Si se puede encontrar una solución con E < 1, el hospital compuesto no requiere tantos recursos como los que necesita el Hospital de Distrito. La función objetivo para el modelo de AGD consiste en minimizar el valor de E, que equivale a minimizar los recursos disponibles como insumos para el hospital compuesto . Por ello, la función objetivo es min

E

La conclusión sobre eficiencia en el AGD se basa en el valor óptimo de la función objetivo para E. La regla de decisión es la siguiente: Si E= 1,

el hospital compuesto requiere tantos insumas como el Hospital Distrital. No hay evidencia de que este Hospital es ineficiente.

Si E< 1,

el hospital compuesto requiere de menos insumas para obtener los resultados que se logran en el Hospital Distrital. El hospital compuesto es más eficiente. Por ello, se puede decir que el Hospital de Distrito es relativamente ineficiente.

El modelo de programación lineal de AGD para evaluar la eficiencia en el Hospital de Distrito tiene cinco variables de decisión y ocho restricciones. En seguida se expresa de nuevo el modelo completo: M in

E

sujeta a

+ wu + wc + ws = 48.14wg + 34.62wu + 36 .72wc + 33.16ws :2: 36.72 43.10wg + 27 . 1lwu + 45 .98wc + 56.46ws :2:45.98 253wg + 148wu + 175wc + 160ws :2: 175 wg

27wu + 23wc 41wg + + 285 .20 wg + 162.30wu + 275 .70wc -348.50E + 123 .80wg + 128 .70wu + 348.50wc -104.10E + 106.72wg + 64 .2lwu + 104.10wc -275 .50E

wg,

WU, WC, WS

:2: 0

+ 84ws :2: + 210.40ws :S + 154. 10ws :S + 104.04ws :S

23

o o O

158

CAPÍTULO CUATRO SOLUCIÓN ÓPTIMA

Valor de la función objetivo = Variable E

WG

wu wc ws

Restricción 1 2

3 4 5 6 7 8

FIGURA 4.8

0 . 905238 Valor

Costos reducidos

0 . 905238 0.212266 0 . 260447 0.000000 0.527286

0 . 000000 0 . 000000 0 . 000000 0 . 09 4 762 0 . 000000

H olgura/ Excedente

Precios duales

0 . 000000 0 . 000000 0 . 000000 1 . 615387 37 . 027027 35 . 642986 174422 . 297000 0.000000

0.238886 - 0 . 000014 - 0.000014 0.000000 0 . 000000 0 . 000000 0 . 000000 0 . 0000 1 0

Solución por computadora del análisis global de datos para el problema del modelo del Hospital de Distrito, utilizando The Management Scientist.

Obsérvese que en el planteamiento anterior del modelo, se han pasado aliado izquierdo de las tres restricciones de insumas los términos que incluyen a E, porque ésta es una variable de decisión. Se resolvió el programa lineal anterior utilizando el paquete de computación The Management Scientist. En la Fig. 4.8 se muestra un listado de computadora con la solución. En primer lugar, se observa que la función objetivo muestra que la calificación de la eficiencia para el Hospital Distrital es 0.905. Esto indica que el hospital compuesto puede obtener cuando menos el mismo nivel de cada resultado que lo que obtiene el Hospital de Distrito, teniendo a su disposición no más del 90.507o de los recursos de insumas que requiere el Hospital Distrital. El hospital compuesto es más eficiente, y el análisis de AGD ha identificado que el Hospital de Distrito es relativamente ineficiente. A partir de la solución de la Fig. 4.8, se observa que el hospital compuesto está formado a partir del promedio ponderado del Hospital General (wg = 0.212), Hospital Universitario (wu = 0.260) y Hospital Estatal (ws = 0.527) . Se determina cada insumo y cada resultado para el hospital compuesto mediante el mismo promedio ponderado de los insumos y los resultados de estos tres hospitales . La columna "Holgura/ Excedente" ofrece información adicional sobre la eficiencia del Hospital de Distrito, en comparación con el hospital compuesto. Específicamente, el hospital compuesto tiene cuando menos la misma cantidad de resultados que el Hospital de Distrito (restricciones 2-5) y ofrece 1.6 más enfermeras en capacitación (el excedente de la restricción 4) y 37 médicos internos más en capacitación (excedente de la restricción 5) . La holgura de O para la restricción 8 muestra que el hospital compuesto emplea aproximadamente 90.50Jo de los días-cama que utiliza el Hospital de Distrito . Los valores de holgura para las restricciones 6 y 7 muestran que el hospital compuesto utiliza menos de 90.507o de los recursos de suministros y del personal de tiempo completo que no sean médicos en el Hospital de Distrito .


Resulta evidente que el hospital compuesto es más eficiente que el Hospital Distrital, y que se justifica concluir que este Hospital es relativamente ineficiente en comparación con los hospitales del grupo . Con los resultados del análisis de AGD, los administradores del hospital deben examinar sus operaciones para determinar la forma en la que se pueden utilizar de manera más efectiva los recursos del Hospital de Distrito.

NOTAS Y COMENTARIOS l. Se debe recordar que el propósito del análisis global de datos consiste en identificar unidades operativas que son relativamente ineficientes. El método no necesariamente identifica las unidades operativas que son relativamente eficientes. El simple hecho de que el índice de eficiencia sea E = 1, no permite concluir que la unidad que se analiza es relativamente eficiente. De hecho, no puede decidirse que cualquier unidad que tenga los mayores resultados en cualquiera de las medidas correspondientes es relativamente ineficiente. Por ello, sigue siendo posible mejorar la eficiencia absoluta de las unidades que no son relativamente ineficientes. 2. Si existe alguna unidad que sea supereficiente, el AGD mostrará que todas las demás unidades son relativamente ineficientes. Este sería el caso si la unidad que produce la mayor parte de los resultados consume también la menor cantidad de insumos. En la práctica, estos casos son extremadamente raros. 3. Al aplicar el análisis global de datos a problemas que implican grupos grandes de unidades operativas, los practicantes han encontrado que aproximadamente 50% de las unidades operativas pueden clasificarse como ineficientes. Comparar cada unidad relativamente ineficiente con las unidades que contribuyen a la unidad compuesta puede resultar útil para comprender la forma en la que se puede mejorar la operación de cada unidad relativamente ineficiente.

RESUMEN En este capítulo se expuso una amplia gama de aplicaciones para ilustrar la forma en que la programación lineal puede ayudar en el proceso de toma de decisiones. Utilizando situaciones, se plantearon y resolvieron problemas en las áreas de mercadotecnica, finanzas y administración de la producción. Además, se mostró la forma en que puede aplicarse la programación lineal a problemas de mezclas, y al área relativamente nueva del análisis global de datos. Muchas de las ilustraciones que se presentaron en este capítulo son versiones en pequeña escala de situaciones reales en las que se ha aplicado la programación lineal. En dichas aplicaciones, el problema puede no estar planteado en forma tan concisa, los datos para el problema pueden no estar tan fácilmente disponibles, y es muy probable que el problema implique más variables de decisión y/o restricciones. Sin embargo, un estudio exhaustivo de las aplicaciones de este capítulo es un buen comienzo para una persona que espera en algún momento dado estar en posibilidades de aplicar la programación lineal a problemas reales. Se incluyó un listado del paquete de computación The Management Scientist (o TMS) para muchas de las aplicaciones que se presentaron en el capítulo. Los resultados por computadora ofrecen una oportunidad para analizar la información correspondiente y para hacer interpretaciones con base en el análisis de sensibilidad.

160

CAPÍTULO CUATRO

PROBLEMAS Nota para el estudiante: Los siguientes problemas se han diseñado para ofrecer una comprensión y una apreciación de la amplia gama de problemas que se pueden plantear como programas lineales . El lector debe estar en posibilidades de formular un modelo de programación lineal para cada problema. Sin embargo, será necesario tener acceso a un paquete de computación de programación lineal para llegar a la solución y efectuar las interpretaciones que se solicitan.

l.

Mezcla de productos. La firma Better Products, Inc., fabrica tres productos en dos máquinas. En una semana típica hay disponibles 40 horas de tiempo en cada máquina. La contribución a las utilidades y el tiempo de producción en horas por unidad, son los siguientes:

Utilidad por unidad Tiempo por unidad en máquina 1 Tiempo por unidad en máquina 2

2.

Producto 1

Producto 2

Producto 3

$30 0.5

$50 2.0

1.0

1.0

$20 0.75 0.5

Se requieren dos operadores para la máquina l. Por ello, deben programarse dos horas de mano de obra para cada hora del tiempo de la máquina l. En la máquina sólo se requiere un operario. Existe un total de 100 horas de mano de obra disponibles para asignarlas a las máquinas en la semana siguiente. Otros requerimientos de producción son que el producto 1 no puede constituir más de 500Jo de las unidades que se fabrican y que el producto 3 debe constituir cuando menos el20% de las unidades que se fabrican. a. ¿Cuántas unidades de cada producto deben fabricarse con objeto de maximizar la contribución a las utilidades? ¿Cuál es la utilidad semanal proyectada correspondiente a la solución? b. ¿Cuántas horas de producción se programarán en cada máquina? c. ¿Cuál es el valor de una hora adicional de mano de obra? d. Supóngase que se puede aumentar la capacidad de la mano de obra hasta 120 horas. ¿Habría interés en utilizar las 20 horas adicionales disponibles de este recurso? Desarrolle la mezcla óptima de productos suponiendo que se tienen a disposición las horas extras. Selección de medios de publicidad. La empresa W estchester Chamber of Commerce patrocina periódicamente seminarios y programas sobre servicios públicos. En esos momentos se están realizando planes promocionales para el programa de este año . Las alternativas de publicidad incluyen televisión, radio y periódicos. En seguida se muestran las estimaciones de audiencia, los costos y las limitaciones sobre el uso máximo de los medios: Televisión

Audiencia por anuncio Costo por anuncio Utilización máxima del medio

100,000 $2,000 10

Radio

18,000 $300 20

Periódico

40,000 $600 10


Para asegurar una utilización equilibrada de los medios publicitarios, los anuncios por radio no deben rebasar el500Jo del número total de anuncios que se autoricen. Además, se requiere que la televisión constituya cuando menos ellO% del número total de anuncios autorizados. a. Si el presupuesto de publicidad está limitado a $18,200 (dólares), ¿cuántos mensajes comerciales deben colocarse en cada medio con objeto de maximizar el contacto total con la audiencia? ¿Cuál es la asignación del presupuesto entre los tres medios y cuál la audiencia total que se alcanza? b. ¿Cuál es el contacto que se estima con Vt audiencia y que se obtendría asignando $100 adicionales al presupuesto de publicidad? 3. Problema de dieta. La compañía Bluegrass Farms, lnc., de Lexington, Kentucky, está experimentando una dieta especial para sus caballos de carreras. Los componentes disponibles para la dieta son un producto alimenticio común para caballos, un producto de avena enriquecido con vitaminas y un nuevo aditivo con vitaminas y minerales. Los valores nutritivos, en unidades por libra, y los costos para los tres componentes alimenticios son los siguientes:

Ingrediente A Ingrediente B Ingrediente C Costo por libra

4.

Alimento estándar

Avena enriquecida

Aditivo

0.8 l. O 0. 1 $0.25

0.2 1.5 0.6 $0.50

3.0 2.0 $3.00

o

a. Supóngase que el entrenador de los caballos fija los requerimientos diarios de dieta en 3 unidades del ingrediente A, 6 unidades del ingrediente B y 4 unidades del ingrediente C. Para efectos de control de peso, el entrenador no desea que el alimento \ total diario de un caballo exceda de 6 libras. ¿Cuál es mezcla óptima diaria de los tres componentes alimenticios? b. ¿Cuál es el costo por libra para la mezcla diaria? c. Utilizando los precios duales, determine ¿qué sucedería con los costos totales si se aumentara la ración alimenticia diaria de seis a siete libras? Explique por qué ocurre esto. Planeación del tiempo extra. La firma Hartman Company está tratando de determinar qué tanto de cada uno de dos productos puede fabricar para el siguiente periodo de planeación. En seguida se muestra la información referente a disponibilidad de mano de obra, utilización de la misma y redituabilidad de los productos.

Producto 1

Utilidad por unidad Horas por unidad en Depto. A Horas por unidad en Depto. B Horas por unidad en Depto . C

$30.00 1.00 0.30 0.20

Producto 2 Mano de obra disponible

$15.00 0.35 0.20 0.50

100 horas 36 horas 50 horas

162

CAPÍTULO CUATRO

a. Elabore un modelo de programación lineal para el problema de Hartman Co. Resuelva el modelo para determinar las cantidades óptimas de producción de los artículos 1 y 2. b. Al calcular la utilidad por unidad, la Hartman no reduce los costos de la mano de obra porque se consideran fijos para el siguiente periodo de planeación. Sin embargo, supóngase que puede programarse tiempo extra en algunos de los departamentos. ¿En cuáles se recomendaría programar tiempo extra? ¿Cuánto se estaría dispuesto a pagar por hora de tiempo extra en cada departamento? c. Supóngase que pueden programarse 10, 6 y 8 horas de tiempo extra en los departamentos A, By C, respectivamente. El costo del tiempo extra por hora es de $18 (dólares) en el departamento A; $22.50, en el departamento B, y $12 en el departamento C. Formule un modelo de programación lineal que pueda aplicarse para determinar las cantidades óptimas de producción si se tiene disponible el tiempo extra. ¿Cuáles son las cantidades óptimas de producción y cuáles las nuevas utilidades? ¿Cuánto tiempo se recomendaría emplear en cada departamento? ¿Cuál es el aumento en las utilidades si se utiliza el tiempo extra? S. Planeación de inversión y crédito. La organización de crédito (préstamos) de empleados en la Universidad Estatal está haciendo planes para el uso de sus fondos en el año próximo. Tal organización hace 4 tipos de préstamos a sus miembros. Además, invierte en valores libres de riesgo, con objeto de estabilizar los ingresos. Las diversas inversiones que producen ingresos, junto con las tasas anuales de rendimiento, son las siguientes:

Tipo de crédito sobre inversión

Créditos para automóvil Créditos para muebles Otros créditos garantizados Créditos quirografarios Valores sin riesgo

Tasa de rendimiento anual (OJo)

8 10 11 12

9

La empresa tendrá $2,000,000 (dólares) disponibles para invertirlos durante el año siguiente. Las leyes estatales y las políticas de la organización de crédito imponen las siguientes restricciones sobre la composición de los créditos y las inversiones de la unión: (1) Las inversiones en valores libres de riesgo no pueden exceder de 300Jo de los fon-

dos disponibles totales. (2) Los créditos quirografarios no pueden exceder de 10% de los fondos que se invierten en todos los créditos (automóviles, muebles y otros créditos quirografarios y garantizados). (3) Los créditos para adquisición de muebles, y otros créditos garantizados, no pueden exceder al monto para los créditos para automóvil. (4) Los otros créditos garantizados junto con los créditos quirografarios no pueden exceder el monto de los fondos que se invierten en valores libres de riesgo. ¿Cómo se deben asignar los $2,000,000 a cada una de las alternativas de inversión/ crédito con objeto de maximizar el rendimiento anual total? ¿Cuál es el rendimiento anual proyectado?

l


6.

Aseguramiento de la calidad. La firma Hilltop Coffee fabrica un producto de café mezclando tres tipos de granos. El peso por libra y las libras disponibles de cada grano son las siguientes : Grano

Costo por libra

Libras disponibles

1

$0.50 0.70 0.45

500 600 400

2 3

Se utilizan pruebas de lo~ productos de café con los consumidores para obtener evaluaciones en una escala de O a 100, en donde las calificaciones altas son señal de mayor calidad. Los estándares de calidad para los productos mezclados exigen una calificación del aroma, por parte de los consumidores, de cuando menos 75, y una calificación de los consumidores para el sabor, de cuando menos 80. Las calificaciones individuales para el aroma y para el sabor del café que se fabrica con el 10007o de cada grano son las siguientes: Grano

Calificación de aroma

Calificación de sabor

1

75

2 3

85

86 88 75

1

,~

r

r

¡

r ~-

'

60

Puede suponerse que los atributos de aroma y de sabor de la mezcla de café son un promedio ponderado de los atributos de los granos que se utilizan en la mezcla. a. ¿Cuál es la mezcla de costo mínimo que satisface los estándares de calidad y produce 1000 libras del producto de café mezclado? b. ¿Cuál es el costo por libra de la mezcla de café? c. Utilice variables de excedente para determinar las calificaciones de aroma y de sabor para la mezcla de café. d. Si se fuera a fabricar café adicional, ¿cuál sería el costo esperado por libra? 7. Problema de mezclado. La firma Ajax Fuels, In c., está desarrollando un nuevo aditivo para combustibles de aviones. El aditivo es una mezcla de tres ingredientes: A, By C. Para un desempeño adecuado, la cantidad total del aditivo (cantidad de A + cantidad de B + cantidad de C) debe ser de cuando menos 10 onzas por galón de combustible. Sin embargo, y debido a consideraciones de seguridad, la cantidad del aditivo no debe exceder de 15 onzas por galón de combustible. La mezcla o combinación de los tres ingredientes es crucial. Para cada onza del ingrediente B se debe utilizar cuando menos una onza del ingrediente A. La cantidad del ingrediente e debe ser mayor que la mitad de la cantidad del ingrediente A. Si el costo por onza de los ingredientes A, By e es $0.10, $0.03 y $0.09 (de dólar}, respectivamente, encontrar la mezcla de A, B y e que arroje el costo mínimo, para cada galón de combustible de avión. 8. Planeación de la mano de obra. La compañía G. Kunz and Sons, Inc., fabrica dos productos que se utilizan en la industria del equipo pesado. Ambos productos requieren

164

CAPÍTULO CUATRO

operaciones de manufactura en dos departamentos. El tiempo de producción en horas y las cifras de utilidades para los dos productos son las siguientes:

Utilidad por unidad Horas en Depto. A Horas en Depto. B

9.

Producto 1

Producto 2

$25

$20

6 12

8 10

Para el siguiente periodo de producción, la Kunz tiene un total de 900 horas disponibles de mano de obra, que se pueden asignar a cualquiera de los dos departamentos. Obtenga el plan de producción y la asignación de mano de obra (horas asignadas a cada departamento) que maximizan las utilidades. Transporte. La firma C&P Company tien..! dos plantas manufactureras. Una ubicada en la ciudad de Kansas, y otra, en Louisville. La producción de cada mes se envía a almacenes regionales, los cuales almacenan los productos hasta que reciben los pedidos de los clientes. Las capacidades de producción y las demandas de los almacenes para el siguiente mes son las siguientes:

Planta

Capacidad

Almacén

Demanda

Ciudad de Kansas Louisville

500 400

Región 1 Región 2 Región 3

200 250 300

Los costos de transporte, en dólares por unidad transportada, son:

Planta

Región 1

Almacenes Región 2

Región 3

Ciudad de Kansas Louisville

2.10 2.00

2.25 2.40

3.00 2.80

a. Elabore un programa de transporte que determine el número de unidades que se deben enviar desde cada planta a cada almacén, de manera que se satisfagan las demandas de los almacenes con un costo mínimo total de transporte. (Nota: al problema se le denomina problema de transporte; estos problemas se analizan con mayor detalle en el Cap. 7). b. Si los costos de producción son de 2.00 por unidad en la planta de la ciudad de Kansas y de 2.25 por unidad en la planta de Louisville, ¿cómo se modificaría el programa de transporte para minimizar el total de los costos de producción y transporte? 10. Programación de personal. El Departamento de Policía de un condado programa a los agentes policiales para turnos de 8 horas. Los inicios de los turnos son 8:00a.m., mediodía, 4:00p.m., 8:00p.m., medianoche y 4:00a.m. Los agentes que comienzan

..

1

1

1

1


en alguno de los horarios anteriores de inicio trabajan durante las siguientes 8 horas. Durante las operaciones normales entre semana, el número de oficiales que se requieren varía dependiendo del momento del día. Los lineamientos de asignación de personal del departamento fijan el número mínimo siguiente de oficiales de guardia: Hora del día

Número mínimo de agentes

8:00 A.M.-Mediodía Mediodía-4:00P .M. 4:00 P.M.-8:00 P.M. 8:00 P.M .-medianoche Medianoche-4:00 A.M. 4:00 A.M.-8:00 A.M.

5 6

10 7 4

6

Determine el número de agentes de policía que se deben programar para comenzar en los turnos de 8 horas, en cada uno de los horarios de inicio (8:00a.m., mediodía, 4:00p.m., 8:00p.m., medianoche y 4:00a.m.) de manera que se minimice el número total de oficiales que se requiere. (Sugerencia: Sea x 1 = número de agentes que comienzan a trabajar a las 8:00a.m., x 2 = número de agentes que comienzan a trabajar al mediodía, y así sucesivamente.) · 11. Selección de cartera. La Asociación Nacional de Seguros tiene una cartera de inversiones para acciones, bonos y otras alternativas de inversión. En estos momentos hay disponibles $200,000 (dólares) de los fondos y se deben evaluar las nuevas oportunidades de inversión. Las cuatro opciones de acciones que la Asociación está considerando, y los datos financieros relevantes son los siguientes:

Alternativa de inversión A

Precio por acción Tasa anual de rendimiento Medida de riesgo por dólar invertido (valores altos indican mayores riesgos)

e

B

D

$100 0.12

$50 0.08

$80 0.06

$40 0.10

0.10

0.07

0.05

0.08

La medida del riesgo indica la incertidumbre relativa correspondiente a la acción, en términos de la realización efectiva del rendimiento anual proyectado. Las medidas de riesgo son proporcionadas por el principal asesor financiero de la empresa. Los asesores del primer nivel de la Asociación han estipulado los siguientes lineamientos para la inversión: (1) La tasa anual de rendimiento para la cartera debe ser de cuando menos 90Jo. (2) Ninguna acción debe constituir más de 50% del total de la inversión en dólares. a. Utilice programación lineal para desarrollar una cartera de inversión que minimice el riesgo. b. Si la empresa ignora el riesgo y utiliza una estrategia de máximo rendimiento sobre la inversión, ¿cuál sería la cartera de inversión?

166

CAPÍTULO CUATRO

c. ¿Cuál es la diferencia (en dólares) entre las carteras que se recomiendan en las partes (a) y (b )? ¿Por qué podría la compañía preferir el modelo que se plantea en la parte (a)? 12. Encauzamiento de la producción. La firma Lurix Electronics fabrica dos productos que se pueden elaborar en dos líneas de producción. Ambos artículos logran sus menores costos cuando se fabrican en la línea de producción que es más moderna. Sin embargo, tal línea moderna no tiene capacidad para manejar el total de la producción. Como resultado, alguna parte de la producción tiene que manejarse a través de la línea de producción antigua. En seguida se muestran los datos sobre los requerimientos totales de producción, las capacidades de las líneas de producción y los costos: Costo unitario de producción Producción mínima L{nea moderna L{nea Antigua Requerimientos

Producto 1 Producto 2 Capacidad de línea de producción

$5.00 $4.00 600

$3.00 $2.50 800

500 unidades 700 unidades

Formule un modelo de programación lineal que pueda utilizarse para tomar decisiones acerca las rutas o cauces de la producción. ¿Cuál es la decisión que se recomienda y el costo total? 13. Compras. La compañía Edwards Manufacturing adquiere dos piezas de refacción de tres proveedores distintos. Los abastecedores tienen capacidad limitada y ninguno de ellos puede satisfacer todas las necesidades de la empresa. Además, los abastecimientos difieren en los precios que se cobran por los componentes. Los datos de precios de los repuestos son los siguientes:

Proveedor 2

Precio unitario, componente 1 Precio unitario, componente 2

$13 $11

$12 $10

3

$14 $10

La capacidad de los proveedores está limitada en términos del número total de componentes que pueden suministrar. Sin embargo, siempre y cuando la Edwards proporcione sus pedidos con la suficiente anticipación, cada uno de los proveedores puede dedicar su capacidad al componente 1, al componente 2 o a cualquier combinación de los dos componentes, en tanto que el número total de unidades que se soliciten esté dentro de su capacidad. Las capacidades de los proveedores son las siguientes:

Proveedor

Proveedor 1 Proveedor 2 Proveedor 3

Capacidad total de componentes

600 1000

800


Si el plan de producción de la Edwards para el siguiente periodo de producción incluye 1000 unidades del componente 1 y 800 unidades del componente 2, ¿qué compras se recomienda realizar? Es decir, ¿cuántas unidades de cada componente se deben ordenar a cada proveedor? ¿Cuál es el costo total de las compras de los componentes? 14. Fabricar o comprar. La firma Carlson Stapler Manufacturing Co. pronostica una demanda de 5000 unidades para su modelo Sure-Hold de engrapadoras, para el siguiente trimestre. Este artículo se ensambla utilizando tres componentes principales: base, cartucho para grapas y manija. Hasta ahora, la Carlson ha fabricado los tres componentes. Sin embargo, el pronóstico de 5000 unidades es un nuevo pico en el volumen de ventas y se duda que la empresa tenga suficiente capacidad de producción para fabricar todos los componentes. La empresa está considerando contratar a una empresa local para que fabrique cuando menos parte de los componentes. Los requerimientos de tiempo de producción por unidad son los siguientes:

Tiempo de producción (horas)

Departamento

Base

Cartucho

Manija

Total del tiempo disponibles en el departamento (horas)

A B

0.03 0.04 0.02

0.02 0.02 0.03

0.05 0.04 0.01

400 400 400

e

Después de considerar los gastos globales de la empresa y los costos de materiales y de mano de obra, el departamento de contabilidad ha determinado el costo unitario de fabricación para cada componente. Estos datos, junto con las cotizaciones de precio de compra para la empresa contratista, son los siguientes:

Componente

Base Cartucho Manija

Costo de fabricación

Costo de compra

$0.75 $0.40

$0.95 $0.55

$1.10

$1.40

a. Determine la decisión de fabricar o comprar que permitirá a la Carlson satisfacer la demanda de las 5000 unidades con un costo total mínimo. ¿Cuántas unidades de cada componente se deben fabricar, y cuántas se deben adquirir? b. ¿Qué departamentos están limitando el volumen de producción? Si se pudiera considerar el uso de tiempo extra con un costo adicional de $3 la hora, ¿a qué departamento o departamentos se debe asignar ese tiempo extra? Explique. c. Supóngase que se pueden programar en el departamento A hasta 80 horas de tiempo extra. ¿Qué se recomienda? 15. Problema de mezclado. La Seastrand Oil Company fabrica dos grados de gasolina, la normal y la de alto octanaje. Ambos tipos de gasolina se fabrican mezclando dos

168

CAPÍTULO CUATRO

tipos de petróleo crudo. Aunque los dos tipos de petróleo tienen los dos ingredientes imprtantes que se requieren para fabricar ambas gasolinas, el porcentaje de los ingredientes importantes en cada tipo de petróleo crudo difiere, al igual que difiere el costo por galón. Se muestra en seguida el porcentaje de los ingredientes A y B que cada tipo de petróleo crudo contiene y el costo por galón:

Tipo de petróleo crudo

Costo

Ingrediente A

2

$0.10 $0.15

200Jo 50 0Jo

Ingrediente B

-

__--- El crudo 1 es 600Jo del ingrediente

600Jo ...--300Jo

B

Cada galón de gasolina normal debe contener cuando menos 400Jo de A, mientras que cada galón de gasolina de octanaje elevado debe contener cuando mucho 50% de B. La demanda diaria de la gasolina de octanaje normal es de 800,000 galones, y la demanda diaria para la gasolina de alto octanaje es de 500,000 galones. ¿Cuántos galones de cada tipo de petróleo crudo se deben utilizar en las gasolina normal y de alto octanaje para satisfacer la demanda diaria a un costo mínimo? 16. Corte de papel. La Ferguson Paper Co. fabrica rollos de papel que se utilizan en máquinas sumadoras, calculadoras de escritorio y cajas registradoras. Los rollos, que tienen 200 pies de longitud, se fabrican en anchos de 1 Yz, 2 \12 y 3 \12 pulgadas. Mediante el proceso de producción se obtienen rollos de 200 pies en anchuras exclusivamente de 10 pulgadas. Por ello, la empresa debe cortar los rollos con las dimensiones que se desean en el producto final. Las 7 alternativas de corte y la cantidad de desperdicio que se genera con cada una de ellas son las siguientes:

Opción de corte

1 2 3 4

l Yí Plg

Número de rollos 2 Yí Plg

6

o

o

4

2

6 7

o o

o

2 2

3 2

o

o

5

3 Yí Plg

o

4

Desperdicio (pulgadas)

o o \tí

1

o V2

Los requerimientos mínimos para los tres productos son los siguientes : Ancho del rollo (pulgadas)

Unidades

1 Y2 2 Y2 3 Y2

1000 2000 4000


a. Si la compañía desea minimizar el número de unidades de rollos de 10 pulgadas que se deben fabricar, ¿cuántos rollos de 10 pulgadas se deben procesar en cada alternativa de corte? ¿Cuántos rollos se requieren y cuál es el total de desperdicios (pulgadas)? b. Si la compañía desea minimizar el desperdicio que se genera, ¿cuántas unidades de 10 pulgadas deben procesarse en cada alternativa de corte? ¿Cuántos rollos se requieren y cuál es el desperdicio total (pulgadas)? c. ¿Cuáles son las diferencias en los enfoques (a) y (b) para este problema de cortes? En este caso, ¿cuál es el objetivo que preferiría? Explique. ¿Cuáles son los tipos de casos que harían que el otro objetivo fuera más deseable? 17. Inspección. La Compañía Medicinal Get-Well inspecciona productos medicinales en cápsulas haciendo pasar éstas por una mesa con iluminación especial en la que los inspectores verifican visualmente las cápsulas rotas o llenadas parcialmente. En estos momentos, existen tres inspectores que pueden asignarse a esa tarea de inspección. Sin embargo, las aptitudes de precisión y de velocidad de los inspectores difieren y se les pagan sueldos ligeramente distintos. Las diferencias son las siguientes:

Velocidad (unidades por hora)

Precisión

Inspector

( OJo)

Salario por hora

Davis Wilson Lawson

300 200 350

98 99 96

$5.90 $5 .20 $5.50

Operando en un turno completo de 8 horas, la compañía requiere que se inspeccionen cuando menos 2000 cápsulas, sin que se supere en 20Jo los errores en las cápsulas inspeccionadas. Además, debido al factor de fatiga en el proceso de inspección, a ningún inspector se le puede asignar esa tarea durante más de 4 horas por día. ¿Cuántas horas debe asignarse cada inspector al proceso de inspección de cápsulas durante un día de 8 horas, si se desea minimizar el costo de inspección? ¿Qué volumen se inspeccionará por día y cuál es el costo diario de inspección de las cápsulas? 18. Adquisición de equipo. La Compañía Petrolera Dos Ríos, ubicada cerca de Pittsburgh transporta en camiones gasolina para sus distribuidores. La compañía recibió recientemente un contrato para comenzar a proveer a los distribuidores de gasolina del sur

de un estado y dispone de $600,000 (dólares) para invertirlos en la necesaria expansión de su flotilla de camiones tanques. Existen disponibles tres modelos de camiones para el transporte :

Modelo

d~

camión

Super Tanker Línea normal Eco no-Tanker

Capacidad (galones)

Costo de compra

Costo mensual de operación, incluyendo depreciación

5000 2500 1000

$67,000 $55,000 $46,000

$550 $425 $350

170

CAPÍTULO CUATRO

La firma estima que la demanda mensual para esa región será de 550 galones de gasolina. Debido a las diferencias en tamaño y en velocidad en los vehículos, los distintos modelos de camiones varían en términos del número de entregas o de viajes redondos que les sea posible realizar al mes. Se estima que las capacidades de viajes son de 15 viajes por mes para el Super Tanker, 20 viajes por mes para el Regular Line y 25 viajes por mes para el Eco no-Tanker. Con base en el mantenimiento y en la habilidad de los conductores, la empresa no desea añadir más de 15 vehículos nuevos a su flotilla. Además, la compañía ha dedicido adquirir tres de los nuevos Eco no-Tankers, para utilizarlos en sus rutas cortas con demanda reducida. Como restricción final, la compañía no desea que más de la mitad de los nuevos modelos sean Supertankers. a. Si la empresa desea satisfacer la demanda de gasolina con gastos de operación mensuales mínimos, ¿cuántos modelos debe comprar de cada camión? b. Si la compañía no requiriera cuando menos tres Econo-Tankers, y no se limitara el número de Super Tankers a cuando mucho la mitad de los modelos nuevos, ¿cuántos modelos de cada camión deberían comprarse? 19. Planeación en periodos múltiples. La firma Silver Star Bicycle Co. va a fabricar modelos tanto para hombres como para mujeres de sus nuevas bicicletas Easy-Pedal, de 10 velocidades, en los dos meses siguientes. La compañía pretende elaborar un programa de producción que indique cuántas bicicletas de cada modelo se deben fabricar cada mes. Los pronósticos actuales de la demanda sugieren 150 modelos para hombre y 125 para mujer, que deben enviarse durante el primer mes, y 200 modelos para hombre y 150 para mujer que deben enviarse durante el segundo mes. En seguida se muestran otros datos adicionales:

Modelo

Costo de producción

Mano de obra requerida para fabricar (horas)

Para hombres Para mujeres

$40 $30

10 8

Mano de obra requerida para ensamble (horas)

Inventario actual

3 2

20 30

El mes anterior, la compañía utilizó un total de 4000 horas de mano de obra. Su política de relaciones laborales no permite que el total combinado de horas de mano de obra (manufactura más ensamble) aumente o disminuya en más de 500 horas con respecto al mes anterior. Además, la compañía carga un inventario mensual a razón de 20Jo del costo de producción, con base en los niveles de inventario al final del mes. La firma pretende tener cuando menos 25 unidades de cada modelo en los inventarios al final de los dos meses. a. Establezca un programa de producción que minimice los costos de producción e inventarios y que satisfaga los requisitos de suavización de mano de obra, la demanda y los inventarios. ¿Qué inventarios se deben mantener, y cuáles son los requerimientos mensuales de mano de obra? b. Si la compañía modificara las restricciones de manera que los aumentos y las disminuciones de mano de obra no pudieran exceder de 250 horas, ¿qué sucedería con el programa de producción? ¿Cuánto aumentaría el costo? ¿Qué sería de recomendar?


20. Equilibrio de mano de obra. La empresa Williams Calculator Co. fabrica dos tipos de calculadoras: TWIOO y TW200. En el proceso de ensamble se requieren 3 personas. Los tiempos de ensamble son los siguientes:

Ensamblador 1 Ensamblador 2 Ensamblador 3

TW100 TW200 Número máximo de horas disponibles al día

4 min 3 min 8

2 min 4 min 8

3 Yz min 3 min 8

La política de la compañía consiste en equilibrar las cargas de trabajo en todas las labores de ensamble. De hecho, los administradores desean programar el trabajo de manera que ningún ensamblador tenga más de 30 minutos de trabajo por día que los otros ensambladores. Esto significa que, en un turno normal de 8 horas, a todos los operarios se les asignan cuando menos 7 Y2 horas de trabajo . Si la empresa obtiene una utilidad de $2.50 (dólares) por cada TW 100 y una utilidad de $3.50 por cada TW200, ¿cuántas unidades de cada calculadora se deben fabricar al día? ¿Cuánto tiempo se asignará a cada ensamblador por día? 21. Producción en periodos múltiples y planeación de inventarios. Los modelos de producción y de planeación de los inventarios, en periodos múltiples determinan un programa de producción y un programa de inventarios finales para cada uno de los diversos periodos, y que permite alcanzar la meta de maximizar las utilidades o minimizar los costos . Considerando el precio de venta, los costos normales de producción, los costos en tiempo extra, los costos de mantenimiento de los inventarios y los costos de las ventas perdidas, desarrolle un modelo de planeación de los inventarios y de producción para tres periodos, para la firma Allen Manufacturing Co. La información relevante es la siguiente:

1

( Precio de venta ($/ unid.)

Periodo

$5.00 $5 .00 $5.50

1

2 3

Periodo 1

2 3

¡. ¡

Costo de producción ($/ unid.)

$2.80 $2.90 $3 . 00

Demanda

Costo del inventario final ($/ unid.)

500 300 400

$0.50 $0 .50 $0.55

Capacidad normal de producción (unidades)

Capacidad de producción en tiempo extra (unidades)

250 300 300

100 100 125

172

CAPÍTULO CUATRO

El costo del tiempo extra por unidad en cada periodo es 200Jo mayor que el costo de producción por unidad que se muestra antes. El costo de las ventas perdidas, que es de $4 (dólares) por unidad en cualquier periodo, incluye la buena voluntad que se pierde con los clientes, pero no toma en consideración los costos asociados a los ingresos que no se obtienen. El inventario inicial para el periodo 1 es 100 unidades. Además, la empresa pretende tener cuando menos 50 unidades de inventarios finales para el periodo 3 con objeto de preparar las necesidades de los productos en el periodo 4. Para tomar en consideración los aspectos del problema que se refieren a los diversos periodos, cada uno de estos, t, requerirá ecuaciones o restricciones de equilibrio con base en las siguientes relaciones: Ventas perdidas (t) = demanda (t) - ventas (t) Inventario final (t) = inventario inicial (t) + producción (t) - ventas (t) Desarrolle un programa lineal que se pueda utilizar para determinar el programa óptimo de producción e inventarios para la firma Allen. Determine las ventas, la producción normal, la producción en tiempo extra, el inventario final y las ventas que se pierden para cada uno de los tres periodos. ¿Cuál es la utilidad neta correspondiente a la solución encontrada? 22. Planeación financiera en periodos múltiples. La firma Morton Financia! Institution debe decidir qué porcentaje de los fondos disponibles debe colocar en cada una de dos inversiones, a las que se denominan A y B, para los siguientes cuatro periodos. La tabla que aparece en seguida muestra la cantidad de fondos nuevos disponibles para cada uno de los cuatro periodos, así como también los gastos de efectivo que es necesario realizar para cada inversión (valores negativos) o los ingresos en efectivo provenientes de las inversiones (valores positivos). Los datos que se muestran están dados en millares de dólares, y reflejan la cantidad de los gastos o los ingresos si se invierte el 1000Jo en A o B. Por ejemplo, si la Morton decide invertir el 1000Jo en la alternativa A, incurrirá en gastos en efectivo de $1 ,000 en el mes 1, $800 en el mes 2, $200 en el mes 3 y obtendría ingresos de $200 en el mes 4. Obsérvese, sin embargo, que si la Morton toma la decisión de invertir el 800Jo en la alternativa A, las erogaciones o los ingresos en efectivo serían de 800Jo de los valores que ahí se muestran.

Periodo

Nuevos fondos disponibles para inversión Inversión A Inversión B

1

2

3

4

1500 -1000 -800

400 -800 -500

500 -200 -300

100 200 300

El monto de los fondos disponibles en cualquier periodo es la suma de los fondos nuevos para inversión correspondientes al periodo, los nuevos fondos crediticios, los ahorros provenientes del periodo anterior, el ingreso en efectivo proveniente de la inversión A Y el ingreso en efectivo proveniente de la inversión B. Pueden utilizarse los fondos disponibles en cualquier periodo para pagar el crédito y los intereses del periodo anterior, o se les puede colocar en cuentas de ahorros, utilizar para pagar los gastos en


efectivo de la inversión A o se les puede utilizar para pagar los gastos en efectivo para la inversión B. Suponiendo una tasa de interés de lOo/o por periodo para los ahorros y una tasa de interés de 18% por periodo sobre los fondos obtenidos a crédito, sean S (t - 1) denota los ahorros para el periodo t - 1 y

L(t - 1) denota los nuevos fondos crediticios para el periodo t - 1

Entonces, los ingresos por ahorro provenientes del periodo previo son, en cualquier periodo, l.lS(t- 1) los gastos del crédito y de intereses por el periodo anterior son I.lSL(t- 1). Al final del periodo 4, se espera que la inversión A tenga un valor en efectivo de $3,200 (suponiendo que se invierte el lOO% en esta alternativa), mientras que se espera que la inversión B tenga un valor en efectivo de $2,500 (suponiendo que se invierte 100% en B). Los ingresos y los gastos adicionales al final del periodo 4 se traducen en ingresos provenientes de los ahorros del periodo 4 menos el pago del crédito e intereses del periodo 4. Se utilizan las siguientes variables de decisión:

~ t ~

1

'

1

l

1'

•

x1

proporción de la inversión A que se realiza

x2

proporción de la inversión B que se realiza

Por ejemplo, si x 1 = .5, se invertirían $500 en la inversión A durante el primer periodo, y todos los flujos de efectivo restantes y los valores finales de la inversión A se multiplicarán por 0.5. Se aplica lo mismo para la inversión B. El modelo debe incluir restricciones x 1 ~ y x2 ~ 1 para asegurar que se invierte cuando mucho 100% de los recursos disponibles. Si se puede obtener a crédito cuando mucho $200 en cualquier periodo, determine la proporción de la inversión A, la proporción de la inversión B y la cantidad de los ahorros y los créditos para cada periodo que maximizan el valor en efectivo para la empresa al final de los cuatro periodos. 23. Programación de personal. La empresa Western Family Steakhouse ofrece diversas comidas y servicios rápidos de bajo costo. Aparte de los administradores el restaurante opera con 12 empleados de tiempo completo que trabajan 8 horas al día. El resto de los empleados trabajan tiempo parcial y se h!s programa para turnos de cuatro horas durante las horas de comida. El restaurante está abierto los sábados de 11 :00 a.m. hasta las 10:00 p.m. Los administradores pretenden desarrollar un programa para los empleados de tiempo parcial que minimice los costos de mano de obra y que permita ofrecer un excelente servicio a los clientes. La tasa promedio para los empleados de tiempo parcial es de $3.60 (dólares) la hora. El número total de empleados de tiempo completo y de tiempo parcial que se requieren varía con el momento del día, de la manera que se indica en la tabla de la página siguiente. Uno de los empleados de tiempo completo llega a trabajar a las 11:00 a.m., trabaja durante cuatro horas, se toma una hora libre, y regresa para trabajar otras cuatro horas. El otro empleado de tiempo completo llega a laborar a la 1:00 p.m. y trabaja con el ·mismo horario de cuatro horas de trabajo, una de descanso y cuatro horas de trabajo.

174

CAPÍTULO CUATRO

Número total de empleados

Hora

11:00 A.M.-mediodía Mediodía-1:00 P.M. 1:00 P.M.-2 :00P.M. 2 :00 P.M.-3 :00 P.M . 3:00 P.M.-4:00 P.M. 4:00 P.M.-5:00P.M. 5:00 P.M.-6:00 P.M. 6:00 P.M .-7:00 P.M. 7:00 P.M.-8:00 P.M . 8:00 P.M.-9:00 P.M. 9:00 P.M.-10:00 P.M.

9

9 9 3 3 3 6 12 12 7 7

a. Desarrolle un programa de costos mínimos para los empleados de tiempo parcial. b. ¿Cuál es la nómina total para los empleados de tiempo parcial? ¿Cuántos turnos de tiempo parcial se necesitan? Utilice las variables de excedente para comentar sobre la deseabilidad de programar cuando menos algunos de los empleados de tiempo parcial para que trabajen turnos de tres horas. c. Suponiendo que se pueden asignar a los empleados de tiempo parcial a turnos de cuatro o de tres horas, desarrolle un programa de costo mínimo para ellos. ¿Cuántos turnos de tiempo parcial se requieren, y cuál es el ahorro de costos en comparación con el programa anterior? 24. Interpretación de resultados de computadora. En seguida se muestra una parte de una solución computadorizada cuando se utiliza The Management Scientist para resolver el problema de selección de medios de la Relax-and-Enjoy Lake Development Corporation (véase la Secc. 4.2). Ob jeValor de la función objetivo: = Variable

2369.999500

Valor

Costos reducidos

X1 X2 X3 X4 X5

10.000000 0.000000 25.000000 1.999994 30.000000

0.000023 64.999969 0.000004 0.000004 0.000002

Restricción

Holgura/ Excedente

Precios duales

5.000000 10.000000 0.000000 2.000006 0.000000 0.000000 0.000000 2999.999000 11500.015600

0.000000 0.000000 15.999998 0.000000 13.999998 0.060000 -25.000015 0.000000 0.000000

"1

1

--------------~-1

2 3 4 5 6 7 8 9

Disponibilidad de los medios

~ Restriccione~ sobrelaTV-

Cobertura de audiencia


a. ¿Cuánto aumentaría al presupuesto la exposición esperada por dólar? Dado el presupuesto actual, ¿cuál es la exposición promedio por dólar de publicidad? El ingreso marginal que se obtiene al aumentar el presupuesto parece indicar que aumentar el presupuesto es una buena inversión. b. A partir de un análisis de los precios duales, comente si los anuncios o comerciales por televisión son una buena idea o no. 25. Análisis de eficiencia en hospitales. En la Secc. 4.6 se utilizó el análisis global de datos para evaluar las eficiencias relativas de cuatro hospitales. En las Tablas 4.16 y 4.17 se presentaron los datos para las tres medidas sobre insumas y para las cuatro medidas sobre resultados. a. Utilice esos datos para desarrollar un modelo de programación lineal que pueda utilizarse para evaluar el desempeño del Hospital General. b. En seguida se muestra la solución por computadora que se obtiene utilizando The Management Scientist. ¿Esta solución indica que el Hospital General fue relativamente ineficiente? c. ¿Qué hospital u hospitales conforman la unidad compu'esta que se utilizó para evaluar al Hospital General? Especifique por qué esto resulta ser cierto. Valor de la función objetivo

=

1.000000

Variable

Valor

Costos reducidos

E WG

1.000000 1.000000 0.000000 0.000000 0.000000

0.000000 0.000000 0.000000 0.330682 0.215189

wu wc ws

26. Análisis de eficiencia en hospitales. Se ha 'utilizado el análisis global de datos para medir la eficiencia relativa de un grupo de hospitales [H. David Sherman, "Hospital Efficiency Measurement and Evaluation'', Medica/ Care (octubre de 1984)]. El estudio de Sherman se ocupaba de siete hospitales-escuela; los datos sobre las tres medidas de insumas se presentan en la Tabla 4.18, y en la Tabla 4.19 los datos para las cuatro medidas sobre resultados. a. Formule un modelo de programación lineal que permita utilizar el análisis global de datos para evaluar el desempeño del Hospital D. b. Resuelva el modelo utilizando un paquete de programación de computadora.

~l

¡ l

TABLA 4.18

Recursos anuales que se consumen (insumas) en siete hospitales

Hospital

A B

e

D E F G

Personal no médico de tiempo completo equivalente

Gastos en suministros (en miles)

Días-cama disponibles (en miles)

310.0 278.5 165.6 250.0 206.4 384.0 530.1

134.60 114.30 131.30 316.00 151.20 217.00 770.80

116.00 106.80 65.52 94.40 102.10 153.70 215.00

176

CAPÍTULO CUATRO

TABLA 4.19

Hospital

Servicios anuales que ofrecen (resultados) siete hospitales Días-paciente (de 65 años o más) (en miles)

Días-paciente (menos de 65 años) (en miles)

55.31 37 .64 32.91 33.53 32.48 48 .78 58.41

49.52 55 .63 25 .77 41.99 55.30 81.92 119.70

A B

e

D E F G

Enfermeras en capacitación

Médicos internos en capacitación

291 156 141 160 157 285

47 3 26 21 82 92 89

111

c. ¿El hospital Des relativamente ineficiente? ¿Cuál es la interpretación del valor de la función objetivo? d. ¿Cuántos días-paciente de cada tipo se producen en el hospital compuesto? e. ¿Qué hospitales se recomendaría al hospital D que tratara de emular con objeto de mejorar la eficiencia de su operación? 27. Análisis de la eficiencia en hospitales. Hágase referencia de nuevo a los datos que se presentan para el Problema 26. a. Formule un modelo de programación lineal que pueda ser utilizado para realizar análisis global de datos para el hospital E. b. Resuelva el modelo utilizando un paquete computacional. c. ¿El hospital E es relativamente ineficiente? ¿Cuál es la interpretación del valor de la función objetivo? d. ¿Qué hospitales se incluyen en la conformación del hospital compuesto? ¿Puede hacerse un planteamiento general con respecto a qué hospitales conformarían la unidad compuesta correspondiente a una unidad que no es eficiente? 28. Eficiencia en restaurantes de comida rápida. La firma Ranch House, Inc., opera cinco restaurantes de fast-food. Las medidas de los insumos para los restaurantes incluyen horas semanales de operación, personal de tiempo completo equivalente y gastos semanales en abastecimientos. Las medidas de los resultados en términos de desempeño incluyen las utilidades semanales promedio, la participación en el mercado y la tasa anual de crecimiento. En las Tablas 4.20 y 4.21 se presentan datos sobre las medidas de insumos y resultados.

1

•

TABLA 4.20

Datos de entrada para cinco restaurantes de comida rápida

Restaurante

Horas de operación

Personal de tiempo completo

Suministros

Bardstown Clarksville Jeffersonville New Albany St. Matthews

96 110 100 125 120

16 22 18 25 24

850 1400 1200 1500 1600


TABLA 4.21

Datos de salida para cinco restaurantes de comida rápida

Restaurante

Utilidaa semanal

Participación de mercado

Tasa de crecimiento

Bardstown Clarksville Jeffersonville New Albany St. Matthews

$3800 $4600 $4400 $6500 $6000

250fo 32% 35% 30% 28%

8.0% 8.5% 8.0% lO.OOfo 9.0%

a. Desarrolle un modelo de programación lineal que pueda utilizarse para evaluar el desempeño del restaurante Clarksville Ranch House. b. Resuelva el modelo utilizando un paquete de computación. c. ¿El restaurante Clarksville Ranch House es relativamente ineficiente? Comente. d. ¿En qué renglones tiene más resultados el restaurante compuesto que el Clarksville? ¿Qué tanto menos de cada recurso de entrada (insumo) requiere el restaurante compuesto en comparación con el Clarksville? e. ¿Qué otros restaurantes se deben estudiar con objeto de encontrar formas que puedan sugerirse para que el restaurante Clarksville mejore su eficiencia?

CASO DE APLICACIÓN PRÁCTICA Protección ambiental La empresa Skillings Industrial Chemicals, Inc., opera una refinería en el suroeste del estado de Ohio, cerca del río Ohio. El principal producto de la compañía se fabrica a partir de un proceso químico que requiere del uso de dos maierias primas, a las que se identifica como material A y material B. La producción de una libra de producto terminado requiere del uso de 1libra de material A y 2libras del material B. El resultado del proceso químico es 1 libra del producto terminado, 1 libra de material líquido de desperdicio y 1 libra de un producto intermedio sólido. El producto intermedio sólido se entrega a una planta local de fertilizantes como pago por recogerlo y ocuparse de él. Como el material líquido de desperdicio no tiene valor de mercado, la refinería lo ha estado vertiendo directamente en el río. En la Fig. 4.9 se presenta en forma esquemática el proceso de manufactura de la Skillings. Algunos lineamientos gubernamentales recientemente puestos en-vigencia y establecidos por la Agencia de Protección Ambiental (EPA, Environment Protection Agency) no permiten la eliminación de desperdicios líquidos directamente en el río. El grupo de investigación de la refinería ha desarrollado el siguiente conjunto de usos alternos para ese material líquido de desperdicio: l. Fabricar libra del 2. Fabricar libra del

un producto secundario K, añadiendo 1 libra de la materia prima A a cada desperdicio líquido. un producto secundario M agregando 1 libra de la materia prima B a cada desperdicio líquido.

178

CAPÍTULO CUATRO Desechos sólidos por producto entregado a planta de fertilizantes

llb

8

Productos terminados

~ ......

~.............__

Desechos líquidos (al río)

FIGURA 4.9

Proceso de producción en Skillins Industrial Chemicals, Inc.

Alternativa 2

Alternativa 1

- ·u

lllb desecho

lllb desecho

A

llb

!2lb Producto K

B

~c-_J !21b Producto M

Alternativa 3

!

llb desecho

Tratamiento especial

l

~ ~

~

Río

FIGURA 4.1 O Alternativas para el manejo de líquidos de desecho de una refinería

3. Tratar de manera especial el desperdicio líquido para que cumpla con las medidas de protección contra la contaminación antes de verterlo en el río. Estas tres alternativas se ilustran en la Fig. 4.10 Los administradores de la compañía saben que los productos secundarios serán de baja calidad y que pueden no ser muy redituables. Sin embargo, están también conscientes del hecho de que el tratamiento especial alterno será una operación relativamente costosa. El problema de la firma consiste en determinar la forma de satisfacer la reglamentación anticontaminante y, aun así, conservar la utilidad más alta posible. ¿Cómo se deben manejar los materiales de desecho líquidos? ¿Debe la Skillings fabricar el producto K, fabricar el producto M, utilizar el tratamiento especial, o bien emplear alguna combinación de las tres opciones? El mes anterior se fabricaron 10,000 libras del producto principal de la compañía. El departamento de contabilidad ha preparado un reporte de costos que muestra la clasificación en gastos fijos y gastos variables para los gastos en los que se incurrió en ese mes.


Análisis de costos para 10,000 libras de producto primario Asignación de costos fijos

Gastos administrativos Gastos generales en refinería

$12,000 4,000

Costos variables

Materia prima A Materia prima B Mano de obra directa Total

15,000 16,000 5,000 $52,000

En el análisis anterior sobre los costos, la porción correspondiente a los costos fijos es la misma todos los meses, sin importar el nivel de producción. Se espera que los costos de mano de obra directa sean de $0.20 (dólares) por libra para el producto K, y $0.10 por libra para el producto M. El principal producto de la compañía se vende en $5.70 por libra. Los productos secundarios K y M se venden en $0.85 y $0.65 por libra, respectivamente. El tratamiento especial de los desechos líquidos costaría $0.25 por libra. Uno de los contadores de la firma considera que es demasiado costoso fabricar el producto K y que no se puede vender a un precio que permita recuperar sus costos de material y mano de obra. El contador recomienda eliminar el producto K como alternativa. Se tendrán disponibles para el siguiente periodo de producción 5,000 libras de la materia A, y 7,000 libras de la materia prima B. Desarrolle un plan de producción y de manejo de desperdicios para el periodo de producción.

REPORTE PARA LA ADMINISTRACIÓN Desarrolle un modo de manejar el problema que permita a la compañía determinar la cantidad del producto principal que debe fabricar, dadas las limitaciones que existen sobre las cantidades disponibles de materia prima. Inclúyanse recomendaciones sobre la forma en que la compañía debe manejar los desechos líquidos para satisfacer los lineamientos de protección al ambiente. ¿Cuántas libras se deben fabricar del producto K? ¿Cuántas libras se deben fabricar del producto M? ¿Cuántas libras de desechos sólidos se deben tratar en forma especial para arrojarlas al río? Incluya un comentario y un análisis sobre lo siguiente en el reporte: l. Un análisis de costos que muestre la contribución a las utilidades por libra del producto principal, del producto K y del producto M. 2. Las cantidades óptimas de producción y el plan de manejo de desperdicios, incluyendo la utilidad proyectada. 3. Un análisis sobre el valor de las libras adicionales de cada materia prima. 4. Un análisis de sensibilidad sobre los coeficientes de la función objetivo. S. Comentarios acerca de la recomendación que formula el contador de eliminar el producto K como alternativa. ¿Parece razonable la recomendación? ¿Qué opina de tal recomendación? ¿Cómo cambiaría la solución óptima si se elimina el producto K?

180

CAPÍTULO CUATRO

TABLA 4.22

Tela

Demanda (yardas)

Precio de venta ($/ yd)

Costo variable ($/ yd)

Precio de compra ($/yd)

1 2 3 4 5

16,500 22,000 62,000 7,500 62,000

0.99 0.86 1.10 1.24 0.70

0.66 0.55 0.49 0.51 0.50

0.80 0.70 0.60 0.70 0.70

TABLA 4.23

* Las

Datos de demanda mensual, precio, costo variable y precio de compra para las telas de la Scottsville

Tasas de producción de los telares Tela

Tasa dobbie (yd/ h)

Tasa regular (yd/ h)

2 3 4 5

4.63 4.63 5.23 5.23 4. 17

* * 5.23 5.23 4.17

telas 1 y 2 se pueden fabricar solamente en el telar tipo dobbie.

CASO DE APLICACIÓN PRÁCTICA Programación de una fábrica textil La firma Scottsville Textile MilP fabrica cinco telas diferentes. Se puede tejer cada tela en uno o más de sus 38 telares. El departamento de ventas ha pronosticado la demanda para el mes siguiente, y los datos de demanda se muestran en la Tabla 4.22, junto con los referentes al precio de venta por yarda y el costo variable también por yarda. La fábrica opera 24 horas al día y está programada para 30 días en el siguiente mes . En la fábrica existen dos tipos de telares: dobbie y normal. Los telares dobbie son más versátiles y se les puede utilizar para las cinco telas. Los telares normales pueden fabricar sólo tres de las telas. Existen en total 38 telares, ocho dobbie y treinta normales. En la Tabla 4.23 se expone la tasa de producción para cada tela en cada tipo de máquina. El tiempo que requiere hacer los cambios necesarios para pasar de fabricar una tela a producir otra es despreciable, y no es necesario tomarlo en consideración. La Scottsville satisface toda demanda con las telas que fabrica o con otras que adquiere de otra fuente. Es decir, las telas que no se pueden tejer en la Scottsville debido a limitaciones en la capacidad de los telares se adquieren de otras fábricas. También se muestra en la Tabla 4.22 el precio de compra para cada tela. 1 Este caso se basa en el Calhou11 Textile Mili Case por Jeffrey D. Camm, P .M . Dearing, y "Scrfésh K. Tadisina, 1987.

APLICACIONES DE LA PROGRAMACION LINEAL 181

REPORTE PARA LA ADMINISTRACIÓN Desarrolle un modelo que pueda utilizarse para programar la producción en la Scottsville Textile Mili y, al mismo tiempo, determinar cuántas yardas de cada tela deben adquirirse de otras fuentes. Incluya un análisis de lo siguiente en el reporte: l. El programa final de producción y las asignaciones de telares para cada tela. 2. La utilidad que se proyecta. 3. Un análisis del valor del tiempo adicional de telares. La fábrica está considerando la adquisición de un noveno telar dobbie. ¿Cuál sería su estimación para la contribución mensual a las utilidades de este telar adicional? 4. Un análisis de los intervalos de los coeficientes de la función objetivo. 5. Un análisis de la forma en que el objetivo de minimizar los costos totales podría conducir a un modelo distinto que el objetivo de maximizar las utilidades. ¿De qué manera diferiría la interpretación de los intervalos para la función objetivo en estos dos modelos?

182

CAPÍTULO CUATRO

LA CIENCIA DE LA ADMINISTRACIÓN EN LA PRÁCTICA

Marathon Oil Company* Findlay, Ohio La empresa Marathon Oil Company fue fundada en 1887, cuando catorce personas que se dedicaban a la extracción de petróleo reunieron sus propiedades para organizar una compañía productora de petróleo en los campos aceitíferos de Trenton Rock, en el estado de Ohio. En 1924, la Marathon pasó a la fase de refinación y comercialización de la industria petrolera. En la actualidad, la Marathon es una compañía completamente integrada, con importantes operaciones internacionales. Da empleo a más de 18,000 personas y sus actividades abarcan seis continentes. En Estados Unidos, la compañía vende productos de petróleo en 21 estados, primordialmente en el medio este y el sureste.

LA CIENCIA DE LA ADMINISTRACIÓN DE LA MARATHON OIL COMPANY La mayor parte de las aplicaciones de la ciencia administrativa en la Marathon implican la participación de su Departamento de Investigación de Operaciones. Tal departamento se formó en 1963 con el propósito de ayudar a todas las áreas de la compañía en la resolución de problemas y en la toma de decisiones. Aproximadamente, el 50 0Jo de las aplicaciones implican programación lineal. Los problemas típicos abarcan modelos de refinerías, modelos de distribución, modelos de mezclas de combustóleo y gasolina, y estudios de evaluación de petróleo crudo. Otro 300Jo de las aplicaciones implica modelos complejos de simulación de ingeniería química para las operaciones de procesos. El resto de las aplicaciones de la ciencia administrativa se desenvuelve alrededor de técnicas de solución que utilizan programación no lineal, algoritmos de flujo en redes, y técnicas estadísticas tales como análisis de regresión.

Un modelo de planeación de mercadotecnia La Marathon Oil Company posee cuatro refinerías en Estados Unidos, opera 50 terminales de productos ligeros y tiene demanda para sus productos en más de 100 lugares. La División de Operaciones de Mercadotecnia enfrenta el problema de determinar qué refinería debe abastecer qué terminal y, al mismo tiempo, decidir qué productos se deben transportar por oleoducto, en barcazas o en barcos petroleros, con objeto de lograr un costo mínimo. Debe satisfacerse la demanda de los productos y no se debe exceder la capacidad de abastecimiento de cada refinería. Para ayudar a resolver este difícil problema, el Departamento de Investigación de Operaciones de la Marathon desarrolló un modelo de programación mercadotécnica para la División de Operaciones de Mercadotecnia. El modelo de programación a usar es uno del tipo lineal en gran escala, que toma en consideración las ventas no sólo en las terminales de productos de la Marathon, sino también en todas las ubicaciones de intercambio. Un contrato de intercambio es un acuerdo con otros comercializa• Los autores agradecen a Jerry T. Ranney y Keith R. Weiss of Marathon Oil Company, Findlay, Ohio. el haber proporcionado es/a explicación .


dores de productos de petróleo, que implica el intercambio o la compra-venta de productos de la Marathon por los productos de las otras compañías, en lugares diferentes. Esto permite reducir algunos desequilibrios geográficos entre la oferta y la demanda. Están representados ambos lados de los intercambios, puesto que no sólo afectan los requisitos netos en una ubicación de demanda, sino que -además- se tienen importantes implicaciones financieras. También están representados en el modelo de programación lineal todos los oleoductos, las barcazas y los barcos tanques que están bajo el control del área de mercadotecnia de la firma. Se logra en el modelo la optimización de las mezclas de gasolina en cada refinería, con base en las disponibilidades de materias primas y en la estructura de la demanda de las gasolinas, mediante la inclusión de submodelos para mezcla de gasolina. Así, el modelo de programación lineal es una combinación de un modelo de mezclas y de un modelo de transporte. El objetivo del modelo de programación lineal es minimizar el costo de satisfacer una determinada estructura de demanda, tomando en consideración precios de venta, tarifas de oleoductos, costos de los contratos de intercambio, demanda de los productos, costos de las terminales operativas, costos de refinación y las adquisiciones de productos. El tamaño actual de la matriz de programación lineal es de aproximadamente 1,800 renglones por 6,000 columnas. Se utiliza el modelo de planeación de mercadotecnia para resolver una amplia gama de problemas de planeación. Estos varían desde evaluar económicamente las mezclas de gasolinas hasta analizar los conceptos económicos de una terminal o de un nuevo oleoducto. Aunque los tipos de problemas que pueden resolverse son casi ilimitados, el modelo es más efectivo para manejar los siguientes: l. Evaluar ubicaciones adicionales de demanda de productos, oleoductos, unidades de refinación y contratos de intercambio. 2. Determinar la redituabilidad de pasar las ventas de una ubicación de demanda de productos a otra. 3. Mostrar los efectos que se presentan en las mezclas de gasolina en las refinerías cuando se aumentan los requisitos de octanaje, cuando disminuyan las disponibilidades de materias primas, o cuando hay un cambio importante en la pauta de la demanda. 4. Determinar los efectos que tienen sobre la oferta y la distribución los aumentos en las tarifas de los oleoductos. 5. Optimizar la producción de los tres grados de gasolina en las cuatro refinerías.

El modelo de programación lineal no sólo resuelve estos problemas, sino que también proporciona el impacto financiero de cada solución.

Beneficios Con ventas diarias de aproximadamente 10 millones de galones de producto ligero refinado, un ahorro de un milésimo de centavo (de dólar) por galón puede dar como resultado ahorros importantes a largo plazo. Al mismo tiempo, lo que pudiera parecer un ahorro en una área, tal como refinación o transporte, puede en realidad aumentar los costos globales, cuando se evalúan en forma caballos efectos en todo el sistema. El modelo de planeación de mercadotecnia permite hacer un examen simultáneo de este efecto total.

Cuestionario l. ¿Cuál es el objetivo primordial del modelo de planeación de mercadotecnia de la Marathon?

184

CAPÍTULO CUATRO

Programacion Lineal - Metodo Grafico, Simplex y Dualidad

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