Ejercicios resueltos integrales dobles paso a pasoDescripción completa
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Ejercicios resueltos integrales dobles paso a pasoDescripción completa
Descripción: Compendio de ejercicios de la integracion Triple y doble de la funciones con variables vectoriales.
Descripción: En este documento se muestra a través de un ejercicio la aplicación de integrales dobles.
Integrales Dobles en La IngenieriaFull description
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Descripción: Integrales Dobles en La Ingenieria
ANÁLISIS MATEMÁTICO II (Ingeniería) Segundo Cuatrimestre 2005 TRABAJO PRÁCTICO N ro 10 Integrales Triples y sus aplicaciones
1. Calcular las siguientes integrales triples: 1
a)
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ −3
0
p
b)
1
2
−1
p
2
xz
2
z
0
xyz + x 2 y 2 z 2 dx dydz
0
y dydxdz z
cos
(Rta. :
p 2
− 1)
2. Dibujar el sólido cuyo volumen volumen representa representa la integral triple y reescribir ésta en el orden de integración que se especifica. 4− x 2
4
a)
∫ ∫ ∫ 0
b)
(12 −3x −6y) 4
0
0
1
1
1− y2
0
y 0
∫ ∫ ∫
dz dydx
dzdxdy
Reescribir usando el orden dydxdz.
Reescribir usando el orden dzdydx.
3.- Usar integrales triples para calcular el volumen del sólido limitado por las gráficas de las 2
ecuaciones dadas: z = 4 – x , y = 4 – x
2
(1º octante.) (Rta.: 256/15 u.v.)
CAMBIO DE VARIABLES 4.- Calcular el área D , D = { 1 1 (x,y) = (u + v), (u − v) . 2 2 5.-
Calcular
la
siguiente
( x, y) ∈ R 2 / x
integral
+
y
= 2 } usando el cambio de variables
proponiendo
∫∫
e ( x − y ) ( x + y ) dx dy con D descripto por x + y < 2, x
una
transformación
≥ 0 , y ≥ 0.
D
COORDENADAS POLARES 6.- Calcular las siguientes integrales cambiando a coordenadas polares: a
∫ ∫ c) ∫∫ a)
−a
a2 −x2
y dy dx
0
2 2 e x + y dx dy siendo R
R
b)
2
x
∫ ∫ ( 1
0
x
= { ( x , y) ∈ R 2
1 2
+ y2 )
dy dx
/ 1 ≤ x 2
+ y2 ≤ 4 }
adecuada
d)
∫∫
x2
+ y2
dx dy siendo R
= { ( x , y) ∈ R 2
/ x 2
+ y2 ≤ 1
, y≥x
}
R
7.- Hallar las siguientes áreas: a) La región limitada por r = 2 cos f b) La región comprendida entre la circunferencia r = 2 y r cos ϕ = 1, y no contiene al origen. c) La región exterior a r = 2 e interior a
d) La región descripta por
x2
+ y2 ≤ 4 ,
r
x2
= 2 + 2 cos ϕ + y 2 ≥ 2x
8.- Calcular los siguientes volúmenes en coordenadas polares: a) Volumen limitado por la superficie z = 4 - x 2 + y 2 y el plano z = 0 b) Volumen del sólido que está fuera del cilindro x2 + y2 = 9 y dentro de la esfera x2 + y2 +z2 = 25.
c) Calcular el volumen del sólido acotado por el paraboloide z = 4 r 2 , el cilindro r = 3 senϕ y el plano z = 0
COORDENADAS CILÍNDRICAS Y ESFÉRICAS 9.- Escribir las siguientes ecuaciones en coordenadas cilíndricas y en coordenadas esféricas. Graficar.
a) c) e)
b) x 2 + y 2 = 25 d) 4x 2 + 4y 2 = z 2 f) z = 2
+ y 2 + z 2 − 2z = 0 x 2 + y 2 + z 2 = 16 x2 + y2 = z x2
10) a) Hallar la ecuación en coordenadas rectangulares de las regiones del espacio dadas en coordenadas cilíndricas. Graficar.
i) r ≤ 1
ii)
z2
≥ 2r 2
iii) r = 2 cos θ
b) Hallar la ecuación en coordenadas rectangulares de las regiones del espacio dadas en coordenadas esféricas. Graficar.
ii) φ ≤
i) ? ≤ 2
p 4
11.- Utilizando los 3 sistemas de coordenadas plantear las integrales triples que permiten calcular el volumen V limitado por el cono cuya ecuación dada en coordenadas esféricas es
φ=
π 3
y una esfera de radio 2 cuyo centro está en el vértice del cono.
12. Usando las coordenadas más apropiadas en cada caso calcular el volumen de los siguientes sólidos:
a) La parte inferior de la esfera x 2 + y 2 + z 2 ≤ x . (Rta.: b) El volumen exterior al cono z
= x 2 + y2 .
(Rta.:
π 6
p 12
= x2 + y2
z2
) e
interior
al
paraboloide
)
c) El sólido limitado por las superficies x 2 + y 2 + z 2 = 2az y x 2 + y 2 = z 2 que contiene el punto (0,0,a) . (Rta:
πa 3 )
d) El sólido limitado superiormente por la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 25 e inferiormente por el plano z=4. (Rta: 14/3 π)
e) La región sólida limitada por x + y = 2
(Rta:
2
z2 3
y los planos z = 1 y z = 3.
)
f) El sólido limitado por z = 4 – x2 –y2, z = 1, z = -2. (Rta.:
27 2
π)
g) El sólido limitado inferiormente por z = 0 lateralmente por la porción de cilindro x2
+ y2 = 4
y superiormente por el cono z = 6 − x
h) El sólido comprendido entre las esferas al semicono x 2 + y 2 = z .
x2
2
+ y2
. (Rta.:
+ y2 + z2 = 9 y
x2
56 3
π)
+ y 2 + z 2 = 25 e interior
12. Para los siguientes sólidos calcular la masa del cuerpo su centro de masa. a) El sólido limitado por
z + y + z =1
en el primer octante cuya densidad se supone
constante.
b) Un sólido en forma de cilindro circular recto de altura h y base circular de radio a, con densidad proporcional a la distancia a su base inferior en cualquier punto.
