CALCULO DE AREAS Y VOLUMENES POR INTEGRALES DOBLES
Definición 1.
Consi Consider deremo emoss la funci función ón
2
f : : D ⊂ R → R
volumen del solido S bajo la superficie
, continua sobre la región cerrada D. El
z = f ( x , y )
, que tiene como base la región D
es dado por la expresión:
∬ f ( x , y ) dA
V ( ( S )=
D
Definición 2.
Consideremos la función f ( ( x , y ) =1, ∀ ( x , y ) ϵD , ❑
f ( ( x , y ) dA =¿
∬ dA D
❑
∬¿
A ( D D )=
D
2
f : : D ⊂ R → R
, continua en la región cerrada D, tal que:
entonces el área plana D es dado por:
. !allar !allar el "rea "rea de de la región región acotada acotada por las las l#neas l#neas::
2
y = x + 2 ; y = x + 4
Resolción!
$gualando los valores de %: 2
x + 2 = x + 4 2
x − x −2= 0
( x −2 ) ( x + 1)= 0 x =2 v x =−1
Le"o!
2 x + 4
A =
∫ ∫ dydx −1 x 2+ 2 2
A =
∫ ( y ) ++ dx x 4 2 x 2
−1 2
A =
( x + 4 − x −2 ) dx ∫ − 2
1
2
∫
2
A =− ( x − x −2) dx −1
x 3
3
2
x
− −2 x 2
¿ ¿ A=−¿ =−¿ 8
A =−( −2− 4− 3
A =−(
−10 3
7
− ) 6
(
−1 3
1
)
− +2 ) 2
( ) −27
A =−
6
9
2
A = u 2
&. Calcular el "rea de la región limitada por las l#neas: Resolción I"#l#n$o l#s ec#ciones! 2
y −2 y =− y 2
y − y = 0 y ( y −1 )=0 y =0 v y =1
Le"o!
2
1 y
− 2 y
∫∫
A =
dxdy
− y
0 1
∫
y
2
−2 y
A = ( x )− y
dy
0 1
∫
2
A = ( y −2 y + y ) dy 0 1
∫
2
A =− ( y − y ) dy 0
y 3
3
−
y
2
2
¿ ¿ A =¿ 1
1
3
2
A = − 1
2
A = u 6
2
x = y −2 y ; x + y =0
%.
Calcular el volumen del cuerpo limitado por las superficies 2
2
2
z = x + y y = x ; y =1 ; z =0
Resolción! I"#l#n$o los &! 2
x =1 x =± 1
Le"o! 1
1
∫ ∫ zdxdy
V =
−1 x
1
1
∫ ∫ x + y dydx 2
V =
2
−1 x 2 1
y
3 1
∫− ( y x + 3 ) 2
V =
x
1
1
∫
6
1
2
dx 2
4
V = x + − x − 3
−1
x
3
5
3
5
1
1
1
1
1
3
3
5
21
−(
2
1
1
3
5
21
V = + − − V = − − V =
6
+ − −
3
x
dx
3
x
V =(
x
x
70−21 −5 105
−(
)
21 −1
−2
−(
3
−1 3
1
1
1
3
5
21
− + +
1
1
5
21
− +
−70 + 21 + 5 105
) )
)
2
V =
44 105
( )
−
−44
=
105
88 105
u
3
'. Encontrar el volumen de la región acotada por los tres planos coordenados % el x + 2 y + 3 z =6
plano
Resolción
{
2
D= ( x , y ) ∈ R / 0 ≤ x ≤ 6 ; 0 ≤ y ≤
6 − x 2
}
(sando integrales dobles % pro%ectando la región sobre el plano )* tenemos: 6
− x
6
2
∫∫
V =
0
V =
0
6
− x −2 3
dydx
6
1
∫ [ ( 6 − x ) y − y ] 3
6− x
2
2 0
0
V =
V =
1 3
6
∫ 0
1
[
2
4
6
∫( 6− x ) dx 12 2
0
V =(
1 36
]
( 6− x )2 (6− x )2 − dx
6 3
( 6− x ) ) 0
V =6 u
3
∬ ( xy+ 2 x ) dA 2
+. Calcular el área usando integrales dobles. y =√ x ; y =− x ; x = 0 ; x = 4
Resolción!
∬ ( xy +2 x ) dxd y 2
A ( R )=
R
4
√ x
∫ ∫ ( xy +2 x ) dydx 2
A =
0
− x
4
[
]
∫ xy2 +2 x y −√ xx dx
A =
0
4
∫
A =
0
(
2
3 2
3
x
5
2
2
5
A = 96 +8 + 2 ( 4 ) 2 ∴ A
)
x + + 2 x 2 dx
( R ) =179.81 u2
R
siendo :
∬ x y dA 2
-. Calcular el área utiliando integral doble por
D
2
y =2 x + 1 ; y = x +1
Resolción!
2 2 x
+1
∬ x y dA =∫ ∫ x y dxdy
A ( R )=
2
2
D
0
2
x
+1
2 2 x + 1
∫ ∫ x y dydx 2
A =
0 x 2+ 1
2
∫
A =
0
2
[ ] 2
2
x y 2 x + 1 dx 2 2 x + 1
2
∫ 2 [ ( 2 x+1 ) − ( x +1 ) ] dx
A =
0
x
2
2
2
donde D esta limitado
2
(
x
6
∫ 2 x + x − 2
A =
0
∴ A
3
4
)
dx
( R ) = 184 u2 35
/. !allar el volumen del cuerpo limitado por el paraboloide planos coordenados % el plano Resolción!
∬ z dxdy =∬ ( x + y ) dxdy 2
V =
D
D
1 1 − x
∫ ∫ ( x + y ) dxdy 2
V =
0
2
0
1 1− x
∫ ∫ ( x + y ) dydx 2
V =
0
0
2
2
x + y =1
2
2
z = x + y ,
los
1
[
y
3
∫ x y + 3
V =
0
1
∫
V =
2
1− x dx 0
−4 x 3 + 6 x 2−3 x + 1 3
0
∴ V
]
dx
1
= u3 6
0. !allar el volumen limitado por las superficies Resolción!
∬ z dxdy =∬ ( 1− x ) dxdy
V =
D
D
2
y = x ; z + x =1 ; z =0
1
√ x
0
−√ x
∫ ∫ (1 − x ) dy dx
V =
1
∫ [ ( 1− x ) y ]−√ √ x x dx
V =
0
1
V =2
∫ ( 1− x ) √ x dx 0
V =∫ ( x − x ) dx 1
1
3
2
2
0
V =2
[
V =2
[ ]
∴ V
2 3
2 3
=
3
2
5
]
x − x 2 1 2
5
0
− 2 −0
8 15
5
u
3
1. !allar el área por integración doble de la región limitada por las parábolas y =√ x , y =2 √ x
Resolción!
% la recta
x =4
∬ dxdy
A ( R )=
R
4
( ) 2 √ x
∫ ∫ dy
A ( R )=
0
dx
√ x
4
A ( R )= y 2 √ x d x √ x 0
∫
4
∫ ( 2 √ x−√ x ) d x
A ( R )=
0
4
∫
A ( R )= √ x d x 0
2
3
A ( R )= x 2 4 3
∴ A
0
( R ) = 16 u
2
3
2. !allar el volumen del cuerpo limitado por los planos coordenados % los planos x y z + + =1 a b c
Resolción!
∬ z dxdy
V =
D
∬ c (1− xa − yb ) dxdy
V =
D
(
a
b
(− ) x a
1
∫ ∫
V =
0
0
c
(
1
x a
− −
)( )
(
∫
V =
0
0
[
a
V =
]
∫ b ( 1− xa ) 1 − xa − 12 (1 − xa ) dx 0
V =
)
2 x xy y b 1− c y − − a dx a 2b
a
V = c
)
y dy dx b
2
a
∫ (
bc
0
[ ( ) ]
bc −a 2
)
2
x dx 1− a
3
1−
x a a 0
V =
−abc 6
∴ V
=
[ 0−1 ]
abc 6
3
u
. !allar el área por integración doble. Siendo la región limitada por las curvas 3
1
2
2
2
y = x , y = x
Resolción!
∬ dy dx
A =
R
( ) 3
2
2
x
∫ ∫ dy
A =
1 2
2
∫
A =
1
1 2
[
dx
x
3 2
1
2
]
x − x dx 2
2
A =
3
2
1
2
∫ x dx− 2 ∫ x dx 2 2
1
1
2
2
% las rectas
x =
1 2
%
x =2
A =
[] [ ]
3 x
2
2
1
2 2
2
( 2) −
[
( 4 )− 1
A =
3 1
2 2
2 2
2
3
2 3
[
A =
3 1
∴ A
−
1 x
2 1 2
( ) ]−
1 1
2
2 2
( )] 1
2 4
−
[
1 1 2 3
[
1 1 2 3
3
2
−
( )]
1 1
3
3 2
( 8) − 1
( )] 1
3 8
3
= u2 2
&. Calcular el volumen de un sólido que esta limitado por la superficie 2
2
z = x − y ,
el plano
Resolción!
(¿ x 2− y 2) dxdy V =∬ ¿ R
3
(
x
( x − y ) dy ∫∫ −
V =
1
2
x
2
)
dx
xy
% los planos
x =1
%
x =3
[
2
x y −
y
]
3
3
x
(¿ ) dx − x 3
∫
V = ¿ 1
3
∫
V =
1
3
∫
V =
1
([
x . ( x )−
(
3
∫
V =
2 x
V =
3
3
4 x
+
3
)
2 x 3
3
x
][
− x . (− x )− 2
(− x )3 3
])
dx
3
dx
3
dx
3
1
4
2
3
∫ x 3
3
dx
1
[ ]
V =
4 x
V =
4 3
V =
80
3
3
3
4
3 4 1
(
4
4
u
−
1 4
)
3
3. !allar el volumen del cuerpo limitado por los planos coordenados, los planos x =4 e y = 4
Resolción!
% el paraboloide de revolución
2
2
z = x + y + 1
∬ z dxdy
V =
D
4
4
∫∫ ( x + y +1 ) dy dx 2
V =
0
4
2
0
[
y
3
∫ x y+ 3 + y
V =
0
2
]
4 dx 0
4
∫ (4 x + 643 +4 )dx 2
V =
0
4
∫
2
V = 4 x dx + 0
V = 4
V =
[] x
256
∴ V
3
+
3
4
3
3
76
0
+
76 3
304 3
=186,67 u3
4
∫ dx 0
[ x ] 4 0
'.Calcular el volumen del cuerpo limitado por las superficies 4 5 x& 6 %&, % 5 x&, % 5 , 52 Resolción!
Y = x2 ……..1 Y = 1……….2 → x2 = 1 X2-1 = 0 (x+1)(x-1) = 0 X =-1 v x = 1
7ro%ectamos el plano x%
∬ Zdzdy =∬ ( x + y ) .dy.dx
V = 1
1
∫ ∫ ( x + y ) dydx 2
V =
2
−1 x 2
1
∫
V =
−1
1
∫
V =
−1
[
3
]
y 1 x y + dx 3 x2 2
([ ] [ ]) 2
x +
1 3
4
− x +
x
6
3
dx
2
2
1
(
x
6
∫− − x + x + 3 + 13
V =
1
V =
4
−2 5
2
2
2
3
21
+ +
)
dx
2
+ =1,03 u3 3
+. !allar el área de la región acotada por las l#neas Resolción.
$gualando las x: 2
y =2 y − y
2
2
y − y = 0 y ( y − 1 )=0 y =0 v y =1
8uego: 1 2 y − y
2
∫∫
A =
0
dx dy
2
y
1
∫
2
A = ( 2 y −2 y ) d y 0
2 y 2
2
−
2 y
3
3
¿ ¿ A=−¿
2
A =( 1− ) 3
1
A = u 3
2
2
x = y , x =2 y − y
2
-. Calcular el área por integrales dobles la región acotada por las l#neas : 2
y = x ; y = x + 2
Resolción!
2 x + 2
A =
∫ ∫ dxdy −1 x 2
2 x + 2
A =
dydx ∫ ∫ − 1 x 2
2
A =
∫ [ y ] x x+2 dx −1
2
2
A =
∫ ( x+2 − x ) dx 2
−1
A =
[]
2 2 3 [ x ] x 2 −1 + 2 −1 + 3
x
2
[]
2 −1
3
A = + 3 2
∴ A
9
= u2 2
E'e(cicios P(o)es*os . !allar el "rea de la región acotada por las l#neas:
2
y = x + 2 ; y = x + 4 2
&. Calcular el "rea de la región limitada por las l#neas: x = y −2 y ; x + y =0 3. Calcular el volumen del cuerpo limitado por las superficie 2
2
2
z = x + y y = x ; y =1 ; z =0
'. Encontrar el volumen de la región acotada por los tres planos coordenados % el plano
x + 2 y + 3 z =6
∬ ( xy+ 2 x ) dA 2
+. Calcular el área usando integrales dobles.
R
siendo :
y =√ x ; y =− x ; x = 0 ; x = 4
∬ x y dA 2
-. Calcular el área utiliando integral doble por
D
donde D esta limitado
2
y =2 x + 1 ; y = x +1
/. !allar el volumen del cuerpo limitado por el paraboloide planos coordenados % el plano
x + y =1
2
2
z = x + y ,
los
2
0. !allar el volumen limitado por las superficies y = x ; z + x =1 ; z=0 1. !allar el área por integración doble de la región limitada por las parábolas % la recta x =4 2. !allar el volumen del cuerpo limitado por los planos coordenados % los planos y =√ x , y =2 √ x
x y z + + =1 a b c
. !allar el área por integración doble. Siendo la región limitada por las curvas 3
1
2
2
2
y = x , y = x
% las rectas
x =
1 2
%
x =2
&. Calcular el volumen de un sólido que esta limitado por la superficie el plano xy % los planos x =1 % x =3 3. !allar el volumen del cuerpo limitado por los planos coordenados, los planos 2
2
z = x − y ,
x =4 e y = 4
2
2
z = x + y + 1
% el paraboloide de revolución '. Calcular el volumen del cuerpo limitado por las superficies 2 2 +. !allar el área de la región acotada por las l#neas x = y , x =2 y − y -. Calcular el área por integrales dobles la región acotada por las l#neas : 2
y = x ; y = x + 2
