Fundación Universitaria Konrad Lorenz, Villalobos Paula. Aplicaciones integrales
APLICACIÓN DE LAS INTEGRALES DOBLES Villalobos, Paula
[email protected] Fundación Universitaria Konrad Lorenz Resumen :
dobles.
en este documento se mostrará a través de un ejercicio la aplicación de integrales
Índice de términos: densidad, masa, coordenadas. I.
INTRODUCCIÓN
La aplicación de las integrales dobles tiene como tiene un objetivo geométrico principalmente, calcular volúmenes bajo superficies, áreas de superficies y aplicaciones aplicaciones físicas. El problema que a continuación se planteará tiene una aplicación de conceptos físicos físic os tales como densidad y masa. II. FORMULACIÓN La frontera de una lámina está formada por los semicírculos
y = 1 − x 2
con las porciones del eje x que las une. Encuentre el centro de masa de la lámina si la densidad en cualquier punto es proporcional a su distancia desde el origen. y =
4 − x 2 junto
y
Gráfica 1. Lámina formada por los semicírculos y = 1 − x 2 y y = 4 − x 2
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III. SOLUCIÓN DEL PROBLEMA Las coordenadas
( x, y )
del centro de masa de la lámina que ocupa una región
D y con una función de densidad x=
My m
=
1
x ρ ( x, m ∫∫
ρ ( x, y )
son:1
y) dA
y=
Mx
D
m
=
1
m
∫∫ y ρ ( x,
y) dA
D
Donde la masa m está dada por: m=
∫∫ ρ ( x, y )dA D
2
Se coloca la lámina como la mitad superior del círculo x 2 + y = a 2 .Como la densidad en cualquier punto es proporcional a su distancia desde el origen, entonces la distancia de un punto ( x, y ) al centro del círculo (el origen) es x 2 + y 2
, por lo tanto la función de la densidad es: ρ ( x, y) = K x2
+
y2
Donde K es alguna constante. Tanto la función de densidad como la forma de la lámina permiten que se convierta a coordenadas polares. Entonces 2 2 x + y = r y la región está dada por 0 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ π - Convertimos a coordenadas polares: ρ ( x, y) = K x2 + y2 ⇒ ρ ( r , θ ) = Kr
- Hallamos m: m=
∫∫ ρ ( x, y)dA = ∫∫ K D
x
+
2
y dA =
∫∫ 0 1
π 2
r drdθ
=
K
∫ ∫ (K r )rdrd θ 0 1
D
π 2
m=K
π 2 2
r 3
∫3 0
2
π
= 1
K
7
∫3 0
dθ
=
7 3
π
θ
= 0
7π K 3
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Gráfica 2. Relación del θ con respecto a r y
y
- Hallamos y partiendo de la Gráfica 2., donde tomamos el ángulo entonces: Senθ = y=
y
r rSenθ θ
- Hallamos y=
y =
1
y :
∫∫ y ρ ( x, y) dA
m
D
π 2
3
7π K ∫ ∫
rSeθn( K)r rdrθd =
0 1
=y
θ ,
3
π
7π ∫ 0
3
π
r 7π K ∫
3
Seθn Kdrθd
0
42
Sθenr 41
=
3 7π
π
∫ 0
π
π
1 3 15 45 45 Sθen 4 − θd= Sθen θd= ( Cθos) = ∫ 4 7π 4 0 28π 28π 0
Observando la Gráfica 2. encontramos que lámina es ( 0,0.5115)
x = 0 ,
=
luego el centro de masa de la
0.5115
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REFERENCIAS
1
Stewart J. Calculo de varias variables 6ª Edición
