PROBLEMAS RESUELTOS DE INTERES COMPUESTO
1.
¿Cuál es la tasa de interés por periodo de:
a)
30% anual capitalizable mensualmente?
b)
16% anual capitalizable trimestralmente?
c)
2% trimestral?
d)
15% anual?
SOLUCIONES
SOLUCION Para conocer la tasa de interès por periodo se divide la tasa anual entre la frecuencia de conversión: a) 30% anual capitalizable mensualmente Tasa anual = 30% Frecuencia de conversión = 12 i
=
tasa de interès anual frecuencia de conversiòn
=
0.30 12
= 0.025 025
i = 2.50% mensual
b) 16% anual capitalizable trimestralmente Tasa anual = 16% Frecuencia de conversión = 4 i
=
tasa de interès anual frecuencia de conversiòn
i = 4% trimestral
c) 2% trimestral
=
0.16 4
= 0.04
periodo = trimestre Tasa anual = 2% x 4 = 8% Frecuencia de conversión = 4 i
=
tasa de interès anual frecuencia de conversiòn
=
0.08 4
= 0.02
i = 2% trimestral
d) 15% anual Tasa anual = 15% Frecuencia de conversión = 1 i
=
tasa de interès anual frecuencia de conversiòn
=
0.15 1
= 0.15
i = 15% anual 2.
¿Cuál es la frecuencia de conversión de los ejemplos del
problema anterior?
a)
30% anual capitalizable mensualmente?
SOLUCION Periodo = mes Frecuencia de conversión = 12
b)
16% anual capitalizable trimestralmente?
SOLUCION Periodo = trimestre Frecuencia de conversión = 4
c)
2% trimestral?
SOLUCION Periodo = trimestre Frecuencia de conversión = 4
4. Determine el interés que gana en un año un depósito de $1 000 en:
a) Una cuenta de ahorros que paga 20% de interés anual simple. b) Una cuenta de ahorros que paga 10% de interés semestral simple. c) Una cuenta de ahorros que paga 20% de interés anual compuesto semestralmente.
d) Una cuenta de valores que paga 20% de interés anual convertible trimestralmente. SOLUCION DATOS I ? Plazo = 1 año C = $1,000.00 a) i = 20% anual simple La fórmula que se utiliza es I=Cit porque pide calcular el interés simple: Como el plazo es 1 año, t = 1. I
=Cit
I
=
I
=
(1,000)(0.
200.00
I = $200.00
20)(1)
b) Una cuenta de ahorros que paga 10% de interés semestral simple. SOLUCION Se utiliza la fórmula de interés simple, con I = 10% semestral simple y t = 2 semestres: I
=Cit
I
=
I
(1,000)(0.
=
10)( 2)
200.00
I = $200.00 c) Una cuenta de ahorros que paga 20% de interés anual compuesto semestralmente. SOLUCION Se utiliza la fórmula de monto a interés compuesto, y luego el resultado se resta del capital: j = 20% m =2 n = (1) (2) = 2 semestres i=
j m
=
20% 2
= 10% − semestral = 0.10 − semestral
1,000 (1 + i )
M
=
M
=
M
=
M
=
M
=
n
1,000 (1 + 0.10 ) 1,000 (1.10 )
2
2
1,000 (1.21 ) 1,210 .00
I
=
I
=
M
C
−
1, 210 .00
1,000 .00
−
I = $210.00
d) Una cuenta de valores que paga 20% de interés anual convertible trimestralmente. SOLUCION Se utiliza la fórmula de monto a interés compuesto, y luego el resultado se resta del capital: j = 20% m=4 n = (1) (4) = 4 trimestres
i=
j m
=
20% 4
= 5% − trimestral = 0.05 − trimestral
(1 + i ) 4 M =1,000 (1 + 0.05 ) 4 M =1,000 (1.05 ) M =1,000 (1.21550625 ) n
M =1,000
M =1,215
I
=
I
=
M
.51
C
−
1,215 .51
1,000 .00
−
I = $215.51 5. Determine el monto acumulado de $50 000 que se depositan en una cuenta de valores que paga 15% anual convertible mensualmente:
a) Al cabo de un año b) Al cabo de dos años SOLUCION Se utiliza la fórmula de monto a interés compuesto:
DATOS C = $50 000.00 j = 15% m = 12 La tasa de interés compuesto para cada inciso es: i
j =
m
15% =
=
12
1.25% _ mensual 0.0125 _ mensual =
El número de periodos “n” depende del plazo, y se obtiene multiplicando el número de años por ñla frecuencia de conversión.
a) Al cabo de un año n = 1(12) = 12 meses n
M
=
C (1 + i )
M
=
50 ,000 (1 + 0.0125 .)
M
=
50 ,000 (1.025 )
M
=
50 ,000 (1.160754518
12
12
)
M = $58,037.73 b) Al cabo de dos años n = 2(12) = 24 meses n
M
=
C (1 + i )
M
=
50 ,000 (1 + 0.0125 .)
M
=
50 ,000 (1.0125
M
=
50 ,000 (1.34735105
24
) 12 )
M = $67,367.55 9. Cuánto dinero debe pagarse a un banco que hizo un préstamo de $300 000 si se reembolsa al año capital e interés y la tasa aplicada es de 0.24 anual convertible trimestralmente? DATOS
C=$300 000.00 (cantidad prestada por el banco) Tasa nominal anual = 0.24 = 24% Plazo = 1 año Periodo de capitalización = trimestre Frecuencia de conversión = 4 (un año tiene 4 trimestres) M=? SOLUCION i= i=
tasa nominal anual frecuencia de conversión 0.24 4
= 6% trimestral
n = ( frecuencia de conversión n = 4(1)
= 4 trimestres n
M
=
C (1 +i )
M
=
300 ,000 (1 + 0.06 )
M
=
300 ,000 (1.06 )
M
=
300 ,000 (1.26247696
4
4
M = $378,743.09 26.
)( plazo en años )
)
(dinero que se le debe pagar al banco)
¿Cuánto dinero debe depositarse en el banco si se desea
acumular un monto de $250 000 en un plazo de 2 años, y la tasa de interés es de 9% convertible mensualmente? DATOS C = ? (La cantidad que se debe depositar es un valor actual) M = $250 000 (La cantidad a acumular es valor futuro) Plazo = 2 años j = 9% m = 12 SOLUCION
Entonces, se busca el valor actual a interés compuesto conociendo el monto. n = 2(12) = 24 meses j
=
i
= 0.75% = 0.0075
m
=
9%
i
12
C = M (1 + i )
n
−
C = 250000 (1 + 0.0075 C = 250000 (1.0075 C = 250000
)
)
24
−
24
−
( 0.8358314 )
C = 208 957.85
C = $208 957.85 (Cantidad a depositar para acumular $250 000.00 en dos años)
27.
¿Qué cantidad de dinero recibe una empresa en calidad de
préstamo si ha firmado un documento por $650 000 que incluye capital e intereses a 18% convertible trimestralmente, y tiene vencimiento en 18 meses? DATOS C = ? (La cantidad que recibe en préstamo es un valor actual) M = $650 000 (valor nominal del documento o valor futuro) Plazo = 18 meses j = 18% m=4
SOLUCION Entonces, se busca el valor actual a interés compuesto conociendo el monto. j
=
i
= 4.50% = 0.45
m
=
18%
i
4
n = (18/12)(4) = 6 trimestres C = M (1 + i )
n
−
C = 650 000 (1 + 0.045 C = 650 000 (1.045 )
)
6
−
6
−
C = 650 000 ( 0.76789574
)
C = 499 132.229881
C = $499 132.23 es la cantidad que se recibe en préstamo 30.
Una deuda de $50 000 se documenta mediante un pagaré que
incluye intereses a razón de 3% trimestral, y que será pagadero al cabo de un año. ¿Qué cantidad puede obtenerse por él si se descuenta al cabo de 4 meses a una tasa de interés de 12% convertible mensualmente?
DATOS M = $50 000 (valor futuro de la deuda o del pagaré) i = 3% trimestral (Tasa de interés por periodo de la deuda) plazo = 1 año (Tiempo en que se pagará la deuda) plazo = 4 meses (tiempo transcurrido desde que se documentó la deuda) plazo = 12 – 4 = 8 meses (plazo que se anticipa el pago)
j = 12% m = 12 SOLUCION Se busca el valor actual considerando el descuento y transcurridos 4 meses después de que se firmó el pagaré. j
i
=
i
=
m %
12% =
=
12 0.01
C = M (1 + i )
n = 8 meses
n
−
C = 50 000 (1 + 0.01)
8
−
C = 50 000 ( 0.92348322 C = 46174.1611
2)
24
C = $46 174.16 (Cantidad que se puede obtener si se descuenta) 34.
Por la venta de una casa, una compañía inmobiliaria recibe un
pagaré por $140 000 con vencimiento a 5 años que devenga intereses a razón de 10% anual convertible semestralmente. ¿Qué cantidad recibirá la empresa si al cabo de un año descuenta el documento en su banco y éste le cobra 16% de interés anual?
SOLUCION
El pagaré produce intereses, por lo que es necesario calcular el valor del mismo en la fecha de su vencimiento, es decir, se debe calcular el monto con los siguientes: DATOS C = $140 000 (importe de la venta de la casa a valor actual) Plazo = 5 años (tiempo en que vencerá el pagaré) j = 10% m=2 M = ? (valor nominal del pagaré)
n
M
=
C (1 + i )
M
=
140000 (1 + 0.05 )
M
=
140000 (1.628894627
M
=
228045 .2477
10
)
M = $228 045.25 (valor del pagaré cuando venza) Con este valor futuro se calcula su valor actual con las condiciones del descuento que aplica el banco: M = 228 045.25 Plazo = 4 años j = 16% m=1 C=?
C
=
228045 .25 (1 +0.16 )
C
=
228045 .25 ( 0.552291097
C
=
4
−
)
125947 .3615
C = $125 947.36 (valor que recibe la empresa un año
después)
¿En cuánto tiempo se duplica un capital si la tasa de interés
36.
efectiva anual es de:
a)
10%?
b)
20%?
DATOS Plazo = ? C=C
(el capital puede ser cualquier cantidad)
M = 2C
(el monto será el doble del capital)
De la fórmula del monto a interés compuesto se despeja el plazo (n): 10%?
a) M
=
C (1 + i )
n
2C = C (1 + 0.10 ) 2C
1.10 n
=
C
2
1.10 n
=
log 2
=
log 1.10 n
log 2
=
n log 1.10
log 2
=
log 1.10 n
n
=
n = 7.272540897 años es el tiempo que tarda en duplicarse un capital al 10% efectivo anual
n
0.301029995 0.041392685
=
7.272540
a) 20%?
(
M = C 1 + i
)n
2C = C (1 + 0.20 ) 2C C
1.20
=
2 =1.20
n
n = 3.8018 años es el tiempo que tarda en duplicarse un capital al 20% efectivo anual
n
n
log 2 = log 1.20
n
log 2 = n log 1.20 log 2 log 1.20 n =
=n
0.301029995 0.079181246
=
3.8
Una inversión duplica su valor en 18 meses a una determinada
39.
tasa de interés. ¿En cuánto tiempo lo triplicará?
SOLUCION La inversión inicial puede ser cualquier cantidad, la condición es que 18 meses después será el doble de esa cantidad. Con estos datos se calcula la tasa de interés con la que se duplica: C=C M = 2C n = 18 meses n=? aplicando la fórmula de la tasa de interés compuesto, que se despeja de la fórmula del monto a interés compuesto: M
=
C(1 + i )
n
Despejando, tenemos:
i
=n
M
1
−
C
Sustituyendo los datos, se tiene: M
1
i
=n
i
= 18
i
=
i
= 0.03925922
18
C
−
2C C
2
1
−
1 =1.039259226
−
6
1
−
A esta tasa se duplica el capital
Para conocer el tiempo en que se triplica el capital, los datos son: C=C M = 3C i = 3.9259226% mensual n=? Ahora, de la fórmula del monto a interés compuesto se despeja otra para calcular el plazo:
M C n= log ( 1 + i) log
3C C
log n= n=
log(1 + 0.03925922 6 ) log( 3 )
=
log(1.03925922 6 )
0.47712125 4 0.01672388 8
n = 28.52932504
La inversión se triplica en 28.53 meses
n = 28.53 meses
40.
Se realiza una inversión de $50 000 en un banco el día 1º de
febrero. ¿En qué fecha valdrá $55 000 si la tasa de interés es de 15% compuesta mensualmente?
SOLUCION La cantidad invertida de $50 000 es el capital ( C) y el 1 de febrero la fecha inicial. Los $55 000 es el monto ( M)(o valor futuro de la inversión) y se busca la fecha final. Para encontrarla, primero calculamos el plazo de la inversión, determinando el valor de “ n” a interés compuesto: i
=
i
=
j m
=
15% 12
0.0125
j = 15% m = 12
M C n= log( 1 + i ) 55000 log 50000 n= log(1 + 0.0125 ) log
n=
log(1.1) log(1.0125 )
=
0.04139268 5 0.00539503 1887
n = 7.672370808 n = 7.67 meses n = 7 meses 20 días
= 21 de septiembre (considera ndo tiempo aproximado ) n = 7.67/12 x 365 = 233 días (tiempo exacto) fecha final = 22 de septiembre (considera ndo tiempo exacto) fecha final
42.
¿A qué tasa de interés un capital quintuplica su valor en 10
años? SOLUCION El capital (C) puede ser cualquier cantidad. Si se quintuplica, el monto (M) es 5 veces C, es decir, 5C. DATOS C=C M = 5C Plazo = 10 años m = 1 (la frecuencia de conversión es 1, pues el plazo se expresa en años) n = 10 años De la fórmula del monto a interés compuesto se despeja la tasa de interés compuesto, se sustituyen los datos, y se resuelve:
M
1
i
=n
i
= 10
i
=
−
i
= 17.4618943
% anual
C
−
5C C
1 =i
−
=
1.174618943
43.
10
5 −1
1 = 0.174618943
¿Qué tasa de interés nominal ha ganado un capital de $20 000
que se ha incrementado a $50 000 en 3 años, si dicho interés se capitaliza:
a)
mensualmente?
b)
trimestralmente?
SOLUCION Para encontrar la tasa nominal (j) primero se calcula la tasa de interés por periodo (i), con la fórmula que se despeja de la fórmula del monto a interés compuesto: DATOS j = ? C = $20 000 M = $50 000 Plazo = 3 años
a)
mensualmente?
La frecuencia de conversión es:
m = 12
Entonces:
n = 3 años x 12 = 36 meses i
=n
i
=
M C
−1
50000 36
20000
−1 = i =
36
2.5
−1
= 1.025779201 −1 = 0.025779201 i = 2.578% mensual (tasa por periodo) i
Ahora, calculamos la tasa nominal (j): i
j
=
m
i ( m) j
=
j
=
=
j
0.02577920 1(12 )
0.309350417
J = 30.94% anual convertible mensualmente
trimestralmente?
b)
La frecuencia de conversión es: m=4
Entonces:
n = 3 años x 4 = 12 trimestres i
=n
i
=
M C
−1
50000 12
20000
−1 = i =
12
2.5
−1
= 1.079348438 −1 = 0.079348438 i = 7.9348438% trimestral (tasa i
por periodo)
Ahora, calculamos la tasa nominal (j): i
=
j m
i ( m) j j
= j
= 0.07934843 8( 4 ) = 0.317393752 = 31.74%
anual convertibl e trimestral mente
Pablo Pérez depositó $100 000 en una cuenta bancaria hace 3
44.
años y 9 meses. Actualmente tiene $208 862, y desea saber cuál es la tasa de interés que ha ganado si la capitalización es trimestral. DATOS C = $100 000 (la cantidad depositada es el capital) M = $208 862 (la cantidad que ahora tiene es el valor futuro de su depósito) plazo = 3 años y 9 meses j = ? m = 4 (la frecuencia de conversión es trimestral, o sea, 4 por año) SOLUCION Se busca la tasa de interés por periodo y luego la tasa nominal: n = 15 trimestres
(3 años x 4) + 9/3 = 12 + 3 = 15
trimestres i
=n
i
=
M
−1
C
208862 15
100000
−1 = i =
15
2.08862
−1
= 1.050325627 −1 = 0.050325627 i = 5.03% trimestral (tasa por periodo) i
Ahora, calculamos la tasa nominal (j):
i
=
j m
i ( m) j
=
=
j
0.050325627
( 4) = 0.201302508
i = 20.13% anual convertibl e trimestral mente
