Interes Compuesto - Problemas Resueltos I

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Operaciones Financieras a Interés Compuesto - Problemas resueltos Fórmulas: Monto

Capital inicial

Tasa de interés

Tiempo

Donde M=Monto; C=Capital inicial, i=tasa de interés (generalmente es anual), n= períodos de capitalización., log = logaritmo en base 10.(puede usarse también ln, logaritmo natural). Cálculo del Interés: Para el caso del tiempo, trabajaremos con una fórmula simplificada que nos permite reducir la cantidad de cálculos. El desarrollo es el siguiente:

M M M = (1 + i ) n − > ln = ln(1 + i) n − > ln = n ⋅ ln(1 + i)− > C C C M M ln log C ⇔n= C n= ln(1 + i) log(1 + i) M = C (1 + i) n − >

Nota: En algunos casos es muy bueno utilizar la fórmula de interés compuesto donde se incluye la frecuencia de capitalización, con el objetivo de transformar la tasas y plazos anuales en las tasas proporcionales y los períodos de capitalización correspondientes. Para mayor información consultar el apunte que tiene la fotocopia del libro. M Donde el valor i corresponde al interés anual, el valor de n es en años y el i np (1 + ) p valor de p es la frecuencia de capitalización, por ejemplo: C=

Ejercicios: a) Calcular el monto y los intereses obtenidos al invertir $200.- al 5% de interés anual durante 10 años en régimen de capitalización compuesta. C=$200, i= 5% anual (0,05), n=10 años. M = C (1 + i ) n = $200(1 + 0,05)10 = $325,78 I= M – C = $325,78 - $ 200,00 = $ 125,75 b) ¿Qué suma de dinero mínima se debe invertir si en 2 años se desea disponer de $1.500.y se consigue una tasa de interés compuesto del 6% anual? C=

M $1.500 = = $1.334,99 n (1 + i ) (1 + 0,06) 2

c) ¿Qué intereses producirán $300.- invertidos 4 años al 7% de interés compuesto anual? M = C (1 + i ) n = $300(1 + 0,07) 4 = $393,24 I= M – C = $393,24 - $ 30000 = $ 93,24 Elaborado por Prof. Roberto Rado

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d) Determine la tasa de interés anual a la que deben invertirse $1.000.- para que, en 12 años, se obtenga un monto de $1.601,03.-.

i=n

M $1601,03 − 1 = 12 − 1 = 12 1,60103 − 1 = 1,039999 − 1 = 0,039999 *100 ≅ 4% C $1000

e) Un capital de $2.000.- colocado al 4% de interés compuesto anual asciende a $3.202. Determine el tiempo que estuvo impuesto. $3202 M log log $2000 = log 0.204391 = 12años C = n= log(1 + i ) log(1 + 0,04) log 1,017033 f) Hallar el monto obtenido tras depositar $3.000.- durante 6 años y 3 meses al 5% de interés compuesto anual. C=$3000, i= 5% anual (0,05), n=6 años y 3 meses. Antes de utilizar la ecuación debemos transformar el tiempo en años. Para hacerlo debemos expresar los 3 meses como fracción de años. 3 meses = 3 meses/12 meses/año = 0,25 años -> n=6 años + 0,25 años = 6,25 años

M = C (1 + i ) n = $3000(1 + 0,05) 6, 25 =

$3000.1.356541 = $4.069,63

Mas Problemas de Interés Compuesto Nota: las soluciones cuando se trabaje con días consideran el año con 360 días. 1. Determine el valor de un capital que, colocado a una tasa de interés compuesto del 10% anual, produjo $24.310.-, luego de 2 años, siendo semestral la capitalización de intereses. M $24.310 = = $20.000 i 0,1 2 2 (1 + ) n p (1 + ) p 2 Nota: El valor pude darles 19.999,987. ¡Redondeen por favor! 2. Calcule el monto al que asciende el depósito de un capital de $12.000.- colocados al 4% mensual, con capitalización semanal, durante 343 días. C=

343 .52 0, 04.12 360 ) = $ 18.918,53 52 Aclaraciones: La tasa la multiplicamos por 12 para obtener el valor anual. La frecuencia de capitalización mensual es igual a p=52 semanas en un año. Transformamos los días en años dividiendo por 365 días. Luego multiplicamos por p.

M = C (1 + i ) n = $12.000(1 +

3. Determine cuanto tiempo debe transcurrir para que un capital de $6.209.- colocado al 10% anual de interés con capitalización cuatrimestral, produzca un monto de $10.000.-.

Elaborado por Prof. Roberto Rado

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$10.000 M log $6.209 = log 0.206978 = 14,53cuatrimestres C = n= log(1 + i ) log(1 + 0,10 ) log1, 014240 3 log

La tasa la dividimos por 3 para trasformarla en una tasa proporcional cuatrimestral. Para transformar el tiempo en años hacemos lo siguiente: 14,53 cuatrimestres . 4 meses/cuatrimestres = 58,12 meses 58,12 meses / 12 meses/año = 4,8433 meses Transformamos la fracción decimal en días y luego en meses: 0,8433 años . 360 días/años = 303,6 días 303,6 días/30 días /mes = 10,12 meses Transformamos la fracción decimal en días: 0,12 meses . 30 días/mes = 3,6 días (aproximadamente 4 días) Respuesta: 4 años , 10 meses y 4 días. 4

¿En cuánto tiempo se duplica un capital, si la tasa es del 16% anual con capitalización semestral? Partimos de la premisa que como no conocemos el capital inicial pero si el monto, podemos escribir que Monto es el doble del Capital. M = 2 C y usamos esto para reemplazar n y con estos datos podemos cancelar a ambos lados de la ecuación el valor de C. La tasa se divide por 2 para transformarla en una tasa semestre.

2C = C (1 + i ) n=

log 2 log 2 log 0.30103 = = = 9semestres log(1 + i ) log(1 + 0,16 ) log 0, 033423 2

5. ¿A qué tasa anual se triplica un capital en 5 años? Al igual que el problema anterior, hacemos M = 3 C

i=

n

M 3C −1 = 5 − 1 = 5 3 − 1 = 1, 2457 − 1 = 0, 2457 *100 ≅ 24,57% C C

7. Calcule el saldo final de un capital de $25.000.- colocados durante 5 años al 15% anual de interés compuesto en los primeros 3 años y, en los restantes, al 18% anual, siempre con capitalización anual. Debemos aplicar dos capitalizaciones:

M 1 = C (1 + i ) n = $25000(1 + 0,15)3 = $38021,88 M 2 = M 1 (1 + i) n = $38021,88(1 + 0,18) 2 = $52941, 66



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8. Una cierta suma de dinero se deposita el 1/7/01 en un banco que capitaliza semestralmente los intereses a razón del 42% anual. A partir del 1/1/02 los intereses disminuyen al 33% anual, con igual capitalización. Determine la suma depositada sabiendo que los intereses ganados al 31/12/03 fueron de $1.394,80. Los plazos son los siguientes: Fechas 1/7/01 1/1/02 31/12/03 Tiempo transcurrido Deposito 6 meses = 1 semestre 24 meses = 4 semestres inicial Debemos plantear dos actualizaciones. El primer miembro de la siguiente ecuación calcula la primer capitalización y a dicho valor le aplicamos la segunda actualización.

0, 42 1 0,33 4 ) (1 + ) 2 2 C1 + 1394,80 = C1 (1, 21) (1,8421) = C1 + I = C1 (1 +

C1 + 1394,80 = C1.2, 2289 1394,80 = C1.2, 2289 − C1 = C1 (2, 2289 − 1) 1394,80 = C1.1, 2289 C1 =

1394,80 = $1135 1, 2289

9. Averigüe el monto obtenido al depositar $16.500.- durante 6 meses, a la misma tasa que estuvieron colocados $13.450.- los que en 3 meses produjeron un monto de $16.500.-. Para ambas operaciones considere capitalización mensual. En primer lugar deberemos averiguar la tasa de la segunda operación y utilizar dicho dato en la primera.

i=

3

$16500 −1 $13450

= 3 1, 22677 − 1 = 1, 07050 − 1 = 0, 07050*100 ≅ 7, 05% Con esta tasa calculamos la primera operación:

M = $16500(1 + 0, 0705)6 = $24831,55 13. El 1/1/2002 se depositan $8.000.- al 33% anual, con capitalización cuatrimestral y el 30/8/2003 se retiran $2.400.-. Determine el saldo de la cuenta al 31/12/03 si las condiciones del depósito no varían. Fechas 1/1/2002 30/08/2002 31/12/03 Tasa 33% anual 33% anual Tiempo Deposito Se retiran $ 2.400 Monto:¿? transcurrido inicial=$8000 Elaborado por Prof. Roberto Rado


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Calculamos el monto al 30/08/2002

0,33 5 ) = $13480, 46 3 M = $13480, 46 − $2400 = $11080, 46 0,33 1 M al 31/12/2003 = $11080, 46(1 + ) = $12299,32 3 M al 30/08/2002 = $8000(1 +

14. ¿Qué intereses producirá un capital de $6.250.- si se deja por 3 años a una tasa de interés compuesto del 14% semestral, con capitalización trimestral?

0,14 3.4 ) = $14076,19 2 I = M − C = $14076,19 − $6250 = $7826,19

M = $6250(1 +

19. Calcule los intereses acumulados en 27 días al 22% de interés anual, con capitalización mensual, para un capital de $20.000.-

0, 22 27 M = $20000(1 + ) 30 = $20330 12 I = M − C = $20330 − $20000 = $330 Nota: este resultado no coincide con el publicado en el apunte, aunque la resolución anterior es correcta. 24. El 1/3/02 se ha depositado $8.000.- al 9,6% anual con capitalización trimestral. El 1/9/02 la tasa baja al 8,8% anual (con igual capitalización) por lo que se decide retirar $6.000.-. El 1/3/03 la tasa sube al 12% anual, con capitalización trimestral, por lo que se decide depositar $10.000.- más. ¿En que fecha se reunirá $14.485.-? Fechas 1/3/2002 1/09/2002 1/3/03 Fecha: ¿? Tasa 9,6% anual 8,8% anual 12% anual Monto obtenido: Acciones Deposito Se retiran $ Se depositan $ 14.485 inicial=$8000 6.000 $10.000 Capitalización Trimestral Trimestral Trimestral

0, 096 2 ) = $8388, 61 4 M = $8388, 61 − $6000 = $2388, 61 0, 088 2 M al 1/ 3 / 2003 = $2388, 61(1 + ) = $2494, 86 4 M = $2494, 86 + $10000 = $12494, 86 0,12 n M al 1/ 3 / 2003 = $14485 = 12494, 86(1 + ) 4 M al 1/ 8 / 2002 = $8000(1 +



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Se deberá ahora obtener el valor de n.

$14485 M log $12494,86 log1,159277 C = n= = = 5trimestres 0,12 log(1 + i ) log1, 03 log(1 + ) 4 log

Por lo tanto la fecha será: 1/3/2003 + 5 trimestres (15 meses) = 1/06/2004 25. Un capital que es colocado durante 20 meses al 2% mensual, produce $430.- más con el régimen compuesto que con el régimen de capitalización simple. Se pide: a) ¿Cuál es el valor del capital? b) ¿Qué tasa se debería usar en capitalización simple para que los montos fueses iguales? Es un problema interesante, digno de ser incluido en un examen final. Nos dice que el monto obtenido por interés simple es menor en $ 430 respecto del mismo capital, igual tasa e igual cantidad de meses que el obtenido por régimen compuesto. Podemos plantear la siguiente igualdad y luego de reemplazar, determinar el Capital.

C0 (1 + 0, 02.20) = C0 (1 + 0, 02) 20 − $430 C0 .1, 4 = C0 .1, 48595 − $430 $430 = C0 .1, 48595 − C0 .1, 4 = C0 .(1, 48595 − 1, 4) $430 = C0 .0, 08595 ⇒ C0 =

$430 = $5003, 06 0, 08595

Obtenemos ahora el monto de la operación compuesta, ya que la información sólo nos dice que es $430 mayor que la operación a interés simple:

M = $5003, 06(1 + 0, 20) 20 = $7434, 28 Con este dato de monto, obtenemos en la ecuación de interés simple, la tasa necesaria para obtenerlo.

$7434, 28 = $5003, 06(1 + i.20) = $7434, 28 1, 48595 − 1 = 1 + i.20 ⇒ = i ⇒ i = 0, 02430.100 = 2, 43%mensual $5003, 06 20 26. Se ha abierto una cuenta el 1/6/02 con $8.000.- al 30 % anual con capitalización trimestral. El 1/3/03 se retira $2.000.-. El resto que da depositado hasta producir un monto de $8.533,75. ¿En qué fecha se reúne dicho monto? Fechas 1/6/2002 1/3/2003 Fecha: ¿? Tasa 30% anual Monto Acciones Deposito Se retiran $ obtenido: $ 8533,75 inicial=$8000 2.000 Capitalización Trimestral Trimestral



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Debemos averiguar cuantos trimestres pasaron entre el 1/6/2002 y el 1/3/2003. Son 9 meses equivalentes a 3 trimestres.

M = $8000(1 +

0,30 3 ) = $15337,91 4

El nuevo monto a considerar a partir del 1/3/2003 es: M2= $ 15337,91 - $ 2000 = 13337,91

$8533, 75 = $7938,38(1 +

0,30 n ) 4

$8533, 75 = 1, 075n ⇒ 1, 075 = 1, 075n $7938,38 log1, 075 = n ⇒ n = 1(trimestre) log1, 075 Tomando como fecha el 1/3/2003, la fecha en que se reúne con dicho monto es el 1/6/2003.


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