UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL EXPERIMENTAL “FRANCISCO DE MIRANDA” ÁREA TECNOLOGÍA DEPARTAMENTO DE ESTRUCTURA
MECANICA RACIONAL GUIA UNIDAD I y II
PROFESORES:
José Contreras Giovanny Galoti
Joan Gil
ABRIL 2010 EJERCICIOS RESUELTOS
1. Una partícula se mueve en el espacio de tal forma que: 2
r =2 a t
;
θ= πt ;
2
z =5 t
Donde r y z están en metros, θ en radianes y t en seg. Determine los vectores velocidad y aceleración en el instante en que la componente radial de la aceleración {a} rsub {r} es 0 v⃗ =? a⃗ =? −−−− →Parat =? cuan cuandoa doa r =0 v´ =v r e r^ + v θ e θ^ + v z e z^ θ= πt θ´ = π θ´ = 0
r !a t 2 ´r "at "a ´r #
2
z =5 t z =10 t z =10
v r =´r = 4 at v θ =r θ´ =( 2 a t ) . ( π )=2 πa t 2
2
v z = z´ =10 t ar =0 −−→ t =?
$ara cuando
ar =´r −θ ´r =0 4 a−( 2 a t ) . ( π ) = 0 4 a −2 π a t =0 2
t =
√
4a
t =
2
2 π a
2
√
2 2
π
t =
2
2
2
√ 2 π
%ustituyendo en las componentes de la velocidad: vr =
4
√ 2 a π 2
vθ
√ 2 =2 πa ( ) =4 a / π π
v z=10 √ 2 / π v⃗ =
4 √ 2 a
π
e r^ +
4a
π
e θ^ + 10
√ 2 e π
z^
a´ =ar e r^ + a θ eθ^ + a z e z^ ar =0
aθ =( r ´θ + 2 ´r θ´ )=2 a t .0 + 4 atπ =8 πat a z= z´ =10 2
&valuando
t =
a ⃗ para
√ 2 seg. π
ar =0 aθ =8 √ 2 a a z =10 a´ =0 e r^ + 8 √ 2 a eθ^ + 10 e z^
!. 'a ace acellera eración ión de un co(e co(ete te dur dura ante nte un inter interva vallo )rev )reve e la da la ecuac ecuació ión n a =45 −3 t + 2 t 2 . *l princ princip ipio io del del inte interv rval alo, o, la posi posici ción ón y la velo veloci cida dad d del del co(e co(ete te son son !+ !+ pies pies y --0 --0 pies piess; s; resp respec ecti tiva vame ment nte. e. Determine la posición, la velocidad y la aceleración del co(ete cuando t =4 seg.
Solución Datos: 2 a =45 −3 t + 2 t $ara t 0 seg s,v, a , / •
--0 piesseg
v
o
'a aceleración para el tiempo t " seg será: at =4= 45− 3 ( 4 ) + 2 ( 4 )
2
•
so !+ pies y t " seg
2
at =4= 65 pies / seg
piesseg!
'a velocidad se o)tiene integrando la ecuación de aceleración tf
∫¿
tf
v = a dt
tf
∫¿
∫¿ 45− 3 t + 2 t dt pies / seg 2
v = a dt v f −v o=
v t =4− v t =0 =45 t −3 / 2 t + 2 / 3 t 4 pies / seg 2
3
0
v t = 4−110= 45 ( 4 )−3 / 2 ( 4 ) + 2 / 3 ( 4 ) pies / seg 2
3
v t =4=110 +180− 24 + 42.67 pies / segv t =4= 308,67 pies / seg
•
'a posición del co(ete para t " seg puede o)tenerse integrando la ecuación de velocidad tf
tf
∫¿ v dt
tf
∫¿ v d t s −s =∫¿ 45 t −3 / 2 t +2 / 3 t dt pies
s=
2
s=
f
3
o
2 3 4 s t = 4− st =0=45 / 2 t −1 / 2 t + 1 / 6 t 4 pies
0
2
3
4
s t = 4−275 =45 /2 ( 4 ) −1 / 2 ( t ) + 1 / 6 ( t ) pies
s t = 4=275 + 360 −32 + 42.67 pies pies s t =4 =645,67 pies
. 'a acel aceler erac ació ión n de una una partíc rtícul ula a en movi movim mient iento o recti ectillíneo íneo est esta 2 ! e1presada por la ecuación a =−0.15 v pulgseg . %i % o 0 y 2 o 3 pulgseg cuando t 0 seg, determine la posición, la velocidad y la aceleración de la partícula cuando t seg.
Solución Datos: 2 a =−0.15 v $ara t 0 seg s,v, a , /
so 0 pies y v t seg
3 pulgseg
o
a4 5alculo 5alculo de de la veloci velocidad dad de de la partíc partícula ula Si a =
dv entoncesdv =a dt dt
Sustituyendo Sustituyendo y agrupando agrupando dv =( −0.15 v ) dt = ¿ 2
v f
dv
dv v
2
=−0.15 dt
t f
∫ v =∫−0.15 dt
Integrando amboslados ambos lados de la ecuación
2
vo
t o
−1 v f =−0.15 t t f v vo
t o
1
1
v f
− = 0.15 t + 0.15 t o =¿
v f =
vo
f
1
v f
=0.15 t + 0.15 t o + f
1
vo
1 1
0.15 t f + 0.15 t o+
vo
&valuando en t seg
1
v t =5=
( )+ 0.15 ( 0 ) +
0.15 5
1
1
pulg / seg v t =5 =
( )+
0.15 5
(36 )
1
pulg / seg
36
v t =5=1.29 pulg / seg )4 5alculo 5alculo de la posic posición ión de de la partícula partícula para t = seg Si a =v
dv v dv entonces entoncesdx dx = dx a
Sustituye Sustituyendo ndo dx=
v dv
−0.15 v
2
x f
∫
v f
−1 dv ∫ 0.15 v
Integrando amboslados ambos lados de la ecuación dx = x o
vo
− 1 v ln ( v ) f x x f = x o 0.15 vo
x f − x i=
−1 0.15
ln ( v f ) +
1 1 −1 ln ( v i )=¿ x t =5 = ln ( v 5 ) + ln ( v 0 ) pulg 0.15 0.15 0.15
&valuando en t seg
x t =5=
− 1 0.15
ln ( 1.29 )+
1 ln ( 36 ) pulg pulg v t = 4=22.19 pulg 0.15
c4 'a acel aceler erac ació ión n de la part partíc ícul ula a a los los seg seg se o)ti o)tien ene e al sust sustit itui uirr el valo valorr o)tenido de velocidad a los seg en la ecuación a =−0.15 v 2
2
2
a =−0.15 ( 1.29 ) pulg / seg a =−0.25 pulg / seg
2
". &l movimiento nto curvilíneo de una par partícula se descr scri)e por las ecuaciones: x =2−7 t 2 y =−4 t + 5 t 3 en las cuelas 1 e y están en pies y t en segundos. Determine las magnitudes y direcciones de los vectores de posición, velocidad y aceleración cuando t = "seg.
Solución Datos: 2
x =2−7 t 3 y =−4 t + 5 t 6agnitudes y direcciones de
´r , v´ y a´ =?
t = 4 seg
==7
Se !"#$e%e% &'s (e)$*'('s (e &'s e+,'+$!%es-
•
2
3
x =2−7 t
y =−4 t + 5 t
x´ =−14 t
y´ =−4 + 15 t
x´ =−14
y´ =30 t
2
•
r = √ x + y r =√ ( 2−7 t ) +(−4 t + 5 t ) pies
'a magnitud de r´ será:
2
2
2 2
3 2
Parat Para t = 4 segr = √ ( 2−7 ( 4 ) ) +(−4 ( 4 )+5 ( 4 ) ) r =323.28 pies 2 2
•
'a dirección de r´ y θ= tan
−1
θ= tan
−1
puede darse a trav8s del ángulo que forman 1 e
(
()
3 2
3
y − 1 − 4 t + 5 t θ= tan 2 x 2 −7 t
(
)
)
−4 ( 4 )+ 5 ( 4 )3 θ=−70,10 2 2− 7 ( 4 )
´r =323,28 pies 70,10
•
'a magnitud de v´ será: v =√ x´ 2 + y´ 2 v = √ (− (−14 t )2+(−4 + 15 t 2 )2 pies / seg Parat = 4 segr = √ (− (−14 ( 4 )) +(−4 + 15 ( 4 ) ) v =242,55 pies / seg 2
•
'a dirección de v´ e y´ θ= tan
−1
θ= tan
−1
2 2
puede darse a trav8s del ángulo que forman x´
( ) − + ( ) ( − ( ) ) =− ()
´ y −1 −4 + 15 t θ= tan x´ −14 t
2
4 15 4
2
14 4
θ
76,65
v´ =242,55 pies / seg 76,65
•
'a magnitud de a´ será: a =√ x´ 2 + y´ 2 a= √ (− (−14 )2 +( 30 t )2 pies / seg 2 Parat Para t = 4 sega =√ (− (−14 ) +( 30 ( 4 )) a =120,81 pies / seg 2
•
'a dirección de a´ x´ e y´
2
2
puede darse a trav8s del ángulo que forman
θ= tan
−1
θ= tan
−1
() ( ) ( ) ( − ) =− y ´ −1 30 t θ= tan x´ −14 30 4 14
θ
83.35
a´ =120,81 pies / seg 83,35 2
. 'a rot rotac ació ión n de la la )arr )arra a 9* con con resp respec ecto to de de 9 está está de deni nida da por por la la relación relación θ= 2 t 2 , donde θ se e1presa en radianes y t en segundos. &l collarín res)ala por la )arra de tal forma que su distancia desde 9 es 2 3 donde e r se e1presa en pulgadas y t en segundos. r =60 t −20 t , dond 5uando t =¿ - s determínense a4 su velocidad, )4 su aceleración total. Utilice sistema de coordenadas tangenciales y normales
Solución Datos 2
3
r =60 t −20 t 2 θ= 2 t v´ y ´a=? parat =1 seg
Del 6ov. 5urvilineo : s =r θ ´s= r θ´ ´s =r θ´ ! =θ´ " =θ´
*dop doptan tando sist siste ema coordenadas tangenciales normales v´ =´s et
de y
a´ =√ ( ´s et ) +( ´s / # e n) 2
2
2
a4 'a velo velocid cidad ad ser será: á: v´ =´s et ´v =r ´θ e t ´v =( 60 t −20 t ) . ( 4 t ) e t 2
3
$ara t =1 seg v´ =( 60 ( 1 ) −20 ( 1 ) ) . ( 4 ( 1 ) ) e t ´v =160 e t pulg / seg 2
3
)4 a´t =´s e t ´at =r ´θ et ´at =( 60 t − 20 t ) ( 4 ) et ´ a t =160 e t pulg / seg 2
3
a´n =´s / # en 2
2
θ´ r¿
; donde
¿
#= r a´n= ¿
4 t 2
3
(60 t −20 t )(¿ )( ¿ ) ¿ ¿2 ¿ 4 ( 1) ¿ ¿ ¿2 (60 (1 )−20 ( 1) )¿ ¿ ´an=¿ 3
a´n =640 en pulg / seg
2
a´ =(160 e t , 640 en ) pulg / seg
'a *celeración total será:
a =√ ( 160 et ) +( 640 e n) pulg / seg a =659.69 pulg / seg 2
2
2
2
3. 'a tra traye yect ctor oria ia de de una una part partíc ícul ula a $ es un un cara caraco col. l. &l &l movi movimi mien ento to de de la partícula está denido por las relaciones r )esolver utilizando sistema de coordenadas radiales y transversales
Solución Datos: r )
t = ! seg
a4 $ara $ara o)tener la velocidad velocidad y aceleració aceleración n mediante coorden coordenadas adas polares polares se de)e diferenciar r y θ en función del tiempo r = b ( 2+ cos ( t ) )
¿ t
´r =−bπ sen ( πt )
´ =¿ ❑
´r =−b π cos ( πt )
´ =0 ❑
2
$ara t = ! seg
cos t =1
sent = 0
y
$or tanto: r =3 b
¿ 2 π
´r = 0
´=¿ ´=¿
´r =−b π 2
´= 0
v r =´r = 0 v θ=r ´θ =3 bπ v =3 bπ eθ ar =´r −r θ´ =−b π −3 b π vθ =r ´θ + 2 ´r θ´ =0 2
2
2
2
ar =−4 π b 2
a =−4 π b er )4 2alor alores es de de θ cuando
v =¿ má1imo
v r =´r =−bπ senπt v θ= r θ´ =bπ ( 2 + cos t ) t 2+ cos ( ¿ )
¿
bπ ¿
¿
2
2
v =(−bπ sen ( πt )) + ¿
t
+
2 cos
¿
(¿ )
bπ ¿ 2
¿
2
v =(−bπ sen sen ( πt )) + ¿
t 2 + cos ( ¿)
¿ ¿ 2 )+ ¿ sen ( πt )+¿ 2 2 2 v = π b ¿ 2
2
2
2
2
v = π b ( sen ( πt ) +4 + 4 cos ( πt ) + cos ( πt ) ) v = π b ( 5 + 4cos ( πt )) 2
2
2
2
cos
v esun maximo maximo cuando cuando : θ= πt por lo que
Pero
( πt ) =1
Siendo
πt = 2 π , 4 π , 6 π
2 v esun maxim maximo o cuan cuando do θ = 2 %π , donde N es
0,1,2,3,4…
+. 5onf 5onfor orme me gir gira a la la lev leva a *, *, la la rued rueda a del del segu seguid idor or gira gira sin sin res res)a )ala larr so)re la cara de la leva. %a)iendo que las coordenadas normales de la aceleración en el punto de contacto 5 de la leva * y de la rueda r ueda son !3 ! ! inseg y !3+ inseg respectivamente. Determine el diámetro de la rueda del seguidor.
Datos: 2 an ( &) =26 ∈ ¿ seg 2
an ( ' )=267 ∈ ¿ seg ∅=? #=2.6 ∈¿ v t =ctte =¿ > at =0
2
2
a = at + a n
2
2
an =v / #
$ara la leva 2
2
v = an∗ # v =26 •
¿ ∗2.6 ∈ v = 2
seg
√
67.6
¿ 2 v =8.22 ∈ ¿ seg 2
seg
'a velocidad tangencial de la leva es la misma que la rueda del seguidor en el punto de contacto.
2
2
2
8.22 v v an = =¿ = ¿ #= # = #=0.253 ∈ ¿ 267 # an ∅'
=2 r r = #
∅'
=2 ( 0.253 )∈∅ '=0.506 ∈¿
?. 'a velo veloci cida dad d de de las las lanc lanc(a (as s * y 5 son son las las ind indic icad adas as y la velo veloci cida dad d relativa de la lanc(a ) respecto de * es v '/ & =4 pies ∢s Determinase: a. v & / ( =¿ / ). v ( / '=? c. &l cam)io cam)io en la la posición posición de de con respec respecto to a 5 durante durante un interva intervalo lo de -0 seg. Demu8strese tam)i8n que para cualquier movimiento v '/ & + v ( / ' + v & /( = 0
Datos: v '/ & =4 pies / seg ∡50 ) v ( =5 pies / seg v ' =? v & =6 pies / seg •
5alculo de
* & /( ( +ovimiento de & respecto respecto a( )
Suma vectorial vectorial =¿ v´ & =v´( + v &´ /( v c, =5cos30 ) = 4.33 v ci =5 sen 30 ) =−2.5
v´c =−2.5 i + 4.33 Pies / seg v´ & =6 i Pies Pies / seg v &´ / ( =6 i + 2.5 i−4.33 pies / seg v &´ /( =8.5 i −4.33 pies / seg 4.33
−¿ ¿ ¿2 (8.5 )2+ ¿ |v &´ /( |= √ ¿ θ= tan
•
−1
(
−4.33 8.5
5alculo de
)=
27 )
* ( /' ( +ovimiento de ( respecto respecto a ')
Suma vectorial vectorial =¿ v´( = v´' + v ( ´ /'
v´ '=? $ara determinar determinar la velocidad velocidad de podemos analizar analizar el movimiento de respecto a *
•
5alculo de la 2elocidad de v '/ & =4 P ies / seg ∡50 ) v '´/ & =4 cos 50) i + 4 sen 50 ) , v '´/ & =2.57 i+ 3.06 , pies / seg v´'= v´ & + v '´ / & v´'=6 i + 2.57 i + 3.06 , pies / seg v´'=8.57 i + 3.06 , pies / seg
2
3.06 ¿
¿ (8.57 )2 + ¿ |v´'|=√ ¿ −1
- '= tan
( )= 3.06 8.57
19.65 )
v ( ´ / ' ya conocida
*(ora calculamos
v´'
v ( ´ / '=(−2.5 i + 4.33 , )−( 8.57 i + 3.06 , ) v ( ´ / '=−11.07 i + 1.27 , 2
1.27 ¿
¿
(−11.07 )2+ ¿ |v '´ /( |= √ ¿ −1
= tan
•
( − )= 1.27 11.07
6.54 )
5am)io de la posición de respecto a 5 /r pies v = v / t = / r / r =( 11.143 )( ) ( 10 seg ) / t seg / r =111.43 pies / seg
@. &n el el instante mo mostrado, lo los au automóviles * y están viaAando con velocidades de y "0 mi(, respectivamente. %i está incrementando su rapidez en -!00
mi
, mientras que * mantiene 2 0 una rapidez constante, determine la velocidad y la aceleración de con respecto a *. &l automóvil se mueve por una curva que tiene un radio de curvatura de 0. millas.
Solución: $aso nB -: U)icar sistema Ao y sistema móvil. &l enunciado del pro)lema nos indica que el auto o)servado es el , mientras que en el auto * (ay un o)servador que en este caso es un o)servador móvil. &n cuanto al sistema Ao, lo más adecuado es u)icarlo siempre que sea posi)le en el mismo punto que el sistema móvil, por lo tanto, el sistema móvil quedara u)icado so)re el auto * y el sistema Ao por de)aAo del auto * coincidiendo en posición en el instante de tiempo estudiado. $aso nB!: *grupar datos e incógnitas segCn el elemento al que pertenecen.
Sistema móvil (auto A) r & 0
#' 0, mi
⃗
v & ⃗
Partícula (auto B)
v ' < "0 cos 0B mi(
i^ mi(
⃗
at' < -!00 cos 0B ⃗
a & 0 <2elocidad constante4 ⃗
2
( ) 2
40 v an' = = =3200 0,5 #
i^
,^ ) mi 2
0
mi 2
0
= "0 sen 0B 0B i^
,^ 4
= -!00 -!00 sen 0B 0B
a ⃗
n'
a ' < -!00 cos 0B ⃗
i^
i^
< !00 sen 0B
= !00 cos 0B 0B
= !00 !00 cos 0B
i^
= -!00 -!00 sen 0B 0B
,^ 4
mi
,^ )
mi
2
0
0
2
= < !00 sen 0B
mi
,^ 4
2
0
$aso nB: *plicar las ecuaciones y resolver las incógnitas.
v '= v & + v ' ⃗
⃗
⃗
&
v ' =¿ ⃗
&
!?. mi(,
θ "".B
a '=a & + a ' ⃗
⃗
⃗
&
a'
⃗
&
"-?
mi 2
0
,
θ ?0.3B
Ejercicios Propuestos
1. Una partíc partícula ula está está restri restringi ngida da a movers moverse e (acia (acia arri)a arri)a y (acia (acia la derec(a a lo largo de la trayectoria: 2 y
2
1 3
= x 3 +160 x e y en cms
'a coordenada coordenada 1 de la partícula en cualquier cualquier momento es: 2
5 t x = 2
5 2
− t +10
&ncuentre la componente EyF de la velocidad y la aceleración cuando 1 - cms
2. Un automóvil recorre a velocidad constante la curva para)ólica *5, 2 con ao constante. y = ao x co Determine la aceleración total para cuando s -,!0m; ' 30m y v !+mseg; en la posición mostrada:
cuya cuya ecuac ecuació ión n es de la forma forma
3. 'a mec(a de un co(ete que se lanza verticalmente (acia arri)a está siendo segu seguid ida a por por medi medio o de un rada radarr situ situad ado o a una distan distanci cia a de -.! -.! Gm de la plataf platafor orma ma de lanzam lanzamient iento. o. 'os 'os datos datos de rastre rastreo o indica indican n que la veloci velocida dad d ! angular angular es de 0.! radseg y la aceleración aceleración angular angular es de 0.- radseg radseg cuando θ "° Determine la velocidad y la aceleración del co(ete en esta posición:
. &l vector posición de una partícula se mueve a lo largo de una curva que se θ 2
2 t cos
¿
desar desarro rolla lla en tres tres dimens dimension iones es esta esta dado dado por
¿
θ 2 t sen ¿ 2
en don donde de
2
θ= π t
¿ ¿ r´ =¿
rad. Descri)ir su posición, velocidad y aceleración en coordenadas cilíndricas.
!. Un avión recorre una trayectoria para)ólica vertical. 5uando se encuentra en el punto * va con una rapidez de !00 mseg que se incrementa a un ritmo de 0.? mseg!. Dete Determ rmin ine e la magn magnit itud ud de la acel aceler erac ació ión n del del avió avión n cuan cuando do se encu encuen entr tra a en el punt punto o *. >esol esolve verr medi median ante te sist sistem ema a de coor coorde dena nada das s tangenciales y normales.
". 'a aceler aceleraci ación ón de una partíc partícula ula esta esta e1pr e1presa esada da por la ecuac ecuación ión 2 ! a =4 −3 s en el cual a está en ms y s e m. %i % o 0 y v o 0 cuando cuando t 0 seg, determine determine a4 la posición posición % en donde la velocida velocidad d es má1ima y )4 la velocidad cuando % = ! m.
#. Un automóvil y un camión viaAan a una velocidad constante de " Gm(; el automóvil está 0 m por detrás detrás del camión. camión. &l conductor del del automóvil quiere re)asar al camión, esto es, desea colocar su auto en , 0 m por delante del camión, y despu8s regresar a la velocidad de
" Gm(. 'a aceleración má1ima del automóvil es de ! ms ! y la má1ima má1ima desaceleraci desaceleración ón o)tenida o)tenida al aplicar aplicar los frenos frenos es de ? ms ! H5uál es el tiempo más corto en el que el conductor del automóvil pued puede e comp comple leta tarr la oper operac ació ión n de re)a re)ase se si en ning ningCn Cn mome moment nto o so)repasa la velocidad de @0 Gm(/ Irace la curva vt.
$. 'a acel acelera eraci ción ón de una part partíc ícul ula a en movi movimi mien ento to rect rectil ilín íneo eo esta esta e1presada por la ecuación a =−0.15 v 2 pulgseg!. %i % o 0 y v o 3 pulgseg cuando t 0 seg, determine la posición, la velocidad y la aceleración de la partícula cuando t seg.
%. Una niJa lanza una pelota desde el punto * con velocidad inicial 2o a un ángulo ° con la (orizontal. %i una pelota golpea la pared en el punto determine, a4 a4 la magnitud de la velocidad inicial, )4 &l radio de curvatura mínimo de la trayectoria
1&.
'a rotación de la varilla 9* alrededor de 9 se dene por medio d la relación relación θ 0.e0.?t sen πt, donde θ se e1presa en radianes y t en segundos, respectivamente. &l collarín se desliza a lo largo de la varilla de manera que su distancia desde 9 es r - = !t 3t! = ?t , donde r esta en pies y t en segundos . &n t 0. seg determine a4 la
velocidad del collarín )4 la aceleración del collarín c4 la aceleración del colla collarín rín relat relativa iva a la varill varilla. a. Utilic Utilice e sistema sistema de coord coordena enadas das radiales y transversales.
11.
'as velocidades de los trenes * y son como se indican en la gura. %i la velocidad de cada tren es constante y alcanza el cruce -0 minutos despu8s de que * lo (izo, determine: a4 'a velocidad relativa de respecto a *, )4 la distancia entre los frentes de las maquinas minutos despu8s de (a)er ( a)er pasado * por el cruce.
12.
&n el instante mostrado, los automóviles * y están viaAando con rapidez de 0 y !0 mi(, respectivamente. %i * está incrementando
su rapidez a "00
mi 2
0
, mientr ntras que la rap rapidez de está
disminuyendo a ?0
mi 2
0
, determine la velocidad y la aceleración de
respecto a *.
13.
&n el instante mostrado, el ciclista en * está viaAando a + ms alrededor de la curva de la pista mientras incrementa su rapidez en
0,
m s
2
. &l ciclista en está viaAando a ?, ms a lo largo de una
porció porción n recta recta de la pista pista e incre incremen menta ta en 0,+
m
. Determine la 2 s velocidad relativa y la aceleración relativa de * con respecto a en este instante.
Parte '' inemtica *el uerpo +í,i*o Pro-lemas +esueltos
1 U% .!#!) .!#!) (' '& '& ($s+! ($s+! “A” “A” ,%' '+e&e '+e&e)'+$ )'+$/% /% '%g,&' '%g,&')) (e " &=( 0.6 t 2 + 0.75 ) )'(seg2 (!%(e # es#' e% seg,%(!s S$ &' *e&!+$('( '%g,&') $%$+$'& (e& ($s+! ! o=6 )'(seg De#e).$%e &'s .'g%$#,(es (e &' *e&!+$('( &' &' '+e&e)'+$/% (e& "&!,e “B” +,'%(! # 2 seg
D'#!s2 " &=( 0.6 t + 0.75 ) )'(seg2
! o=6 )'(seg v'
= 3
P')' # =2 seg a'
= 3
at & = at ' v & =v ' a t & =" &∗r &
at & =( 0.6 t + 0.75 )∗0.15 m 2
2
at & = 0.09 t + 0.113 m / seg
2
2
at & = 0.09 ( 2) +0.113 m / seg
2
2
at & = 0.473 m / seg
! & =! o + " c& ∗t
D!%(e " c& =¿ A+e&e)'+$/% C!%s#'%#e
" c& =( 0.6 t + 0.75 ) rad / seg 2
2
" c& =( 0.6 ( 2 ) + 0.75 ) rad / seg 2
" c& =3.153 rad / seg
2
2
2
! & =6 rad / seg + 3.153 rad / seg ∗2 seg ! & =12.30 rad / seg
v & =! &∗r & v & =12.30 rad / seg∗0.15 m v & =1.84 m / seg
2 E& e%g)'%e e%g)'%e A es#' es#' '+!&'(! '+!&'(! +!% e& e%g)'%e e%g)'%e B +!.! se .,es#) .,es#)'' e% &' 5$g,)' 5$g,)' S$ A ')#e ')#e (e& )e!s! #$e%e ,%' '+e&e)'+$/% '%g,&') +!%s#'%#e (e " &=2 )'(seg2 De#e).$%e e& #$e.! %e+es')$! ')' ,e B '&+'%+e ,%' *e&!+$('( '%g,&') (e ! ' 6 70 )'(seg
D'#!sr & =0.025 m r ' =0.1 m 2
" & & =2 rad / seg ! o'= 0
rad / seg 8 P')#e (e& )e!s!
! '=50 rad / seg
#63 at & = at ' v & =v ' a t & =" &∗r & ! '= !o' + " c' ∗t !' =" c'∗t
2
at & =2 rad / seg ∗0.025 m at & = at '=0.05 m / seg
2
v '=! '∗r ' v & =50 rad / seg∗0.1 m v & =5 m / seg at '= " '∗r '
" '=
2
a t'
0.05 m / seg 2 " '= " '=0.5 rad / seg 0.1 m r'
2
! '= " c' c' ∗t 50 rad / seg = 0.5 rad / seg ∗t
t =
/ seg t =100 seg 0.5 rad / seg 50 rad
2
9 E& +!&&') +!&&') C .!s#)' .!s#)'(! (! e% &' 5$g,)' 5$g,)' se .,e*e .,e*e :'+$' :'+$' '"';! '"';! +!% *e&!+$ *e&!+$('( ('( (e De#e).$%e &'s *e&!+$('(es '%g,&')es (e CB AB e% es#e $%s#'%#e
D'#!sV+ 6 2 .seg !(' =? ! &' =?
2 .seg .seg
v´ c =( 0 i−2 , + 0 1 )
´ '( =( 0 i + 0 + ! '( 1 ) ! v´ '= ´v c + v´ ' /(
v´ '= ´v c + ! ´ '( ∗´r '(
´r '( =' =( 0.2 i +0 ,+ 0 1 ) m r´ '( =(− =(−0.2 i+ 0.2 , + 0 1 ) ( =( 0 i + 0.2 + 0 1 ) m
|
v´ '=( 0 i−2 , + 0 1 )+
i
,
0
0
−0.2
0. 0 .2
|
1 r ad / seg ! '( m 0
v´ '=( 0 i−2 , + 0 1 )+ (−0.2 !'( i−0.2 !'( , + 0 1 ) m / seg
<'+$e%(! - v´ '=0 −2 −0.2 ! '(
! '( =
−2 0.2
60
m / seg |! '( |=10 rad / seg
v´ 'i=−0.2 ! '( i v´ 'i=−0.2 ( 10 rad / seg ) ´v 'i =−2 i
|´v '|= 2 m / seg
v '=! &'∗´r &'
´r &'= & =( 0.2 i + 0.2 + 0 1 ) ' =( 0.2 i + 0 + 0 1 )
´r &'=( 0 i+ 0.2 + 0 1 )
|
i
,
v '= 0
0
0
0. 0.2
|
1 rad / seg v '=(−0.2 ! &'+ 0 , + 0 1 ) ! &' m 0
v 'i =−0.2 ! &' i − 2 i =−0.2 ! &' i
! &' =
2 |! &'|=1 0 rad / seg 0.2
4 P')#$ P')#$e% e%(! (! (e& (e& )e!s! )e!s! s608 s608 &' !&e' !&e' A )e+$ )e+$"e "e ,%' '+e& '+e&e)' e)'+$ +$!% !% '%g,& '%g,&') ') " =6 θ )'(seg28 (!%(e θ es#' e% )'($'%es De#e).$%e &' )'$(e= (e& "&!,e B +,'%(! se :' &e*'%#'(! s 6 >. L' !&e' #$e%e ,% +,"! $%#e)$!) D ,e es#' 5$;! ' C g$)' +!% ?&
D'#!s" =6 θ )'(seg2
s 6 >. A y C estan unida unidass por por as !is!a !is!ass "orr "orrea eas# s# "o!ponentes de
v y
por por tanto tanto tiene tienen n as as !is!as !is!as
at
D y C estan so$re e !is!o e%e&
θ
" &∗dθ= ! &∗d!
!
∫ " dθ =∫ ! ∗d! &
&
0
θ
0
|
!
∫ 6 θ dθ =∫ ! ∗d! 62 θ ¿θo = 12 ! &
0
0
2
! =2∗3 θ ! =√ 6 θ ! =2.45 θ ( 2cu 1 ) 2
2
2
s =θ 3∗r 3 6 m =θ 3∗0.075 m
θ 3=80 rad
Sustituye Sustituyendo ndo en ( 2cu 2cu 1 ) ! 3 =2.45∗80 rad ! 3=196 rag / seg v 'lo4ue= v 3 =196 rad / seg∗0.075 m v 'lo4ue =14.7 m / seg
7 De#e).$%e De#e).$%e &' *e&!+$('( *e&!+$('( (e& "&!,e (es&$='"&e (es&$='"&e ,"$+'(! ,"$+'(! e% C e% e& $%s#'%#e $%s#'%#e e& es&'"!% AB es#' g$)'%(! ' 4 )'(seg
6
45
o
8 s$
D'#!sv c =? paraθ = 45
o
! &' =4 rad / se g =¿ ´ ! &' =( 0 i + 0 , + 4 1 ) rad / seg v ( =v ' + v ' / ( v '= v & + v ' / & v'= v & + v ' / & v'= ! ´ &'∗´r &'
´r &'
De#e).$%'%(!@
o
cos cos 45
=
o
sen 45 =
xi 0.3 m
yi 0.3 m
x i=0.21 m
y i= 0.21 m
´r &'=( 0.21 i + 0.3 + 0 1 ) m
|
v '=
|
i
1
0
0
4
0.21
0.21
0
rad / seg v '=(−0.84 i + 0.84 + 0 1 ) m / seg m
o
cos cos 45
o
=
sen 45 =
xi 0.125 m
yi 0.125 m
x i=0.088 m
y i= 0.088 m
´r '( =(−0.088 i + 0.088 +0 1 ) m
|
i
0
0
−0.088
0.088
v ( =(−0.84 i + 0.84 + 0 1 ) rad / seg +
|
1 rad / seg !'( m 0
−0.84 −0.088 ! '( ¿ 0 1
v '= ¿
v ( , = 00.84 , − 0.088 !'( , =0 ! '( =
0.84 0.088
! '( =9.54 rad / seg v ( i=−0.84 , −0.088 ( 9.54 ) , v ( i=−1.68 m/ seg|´v ( |=1.68 m / seg
> S$ &' &' *e&!+$ *e&!+$('( ('( '%g,& '%g,&') ') (e& es&'"! es&'"!%% A AB B es ! &' =¿ 9 )'(seg De#e).$%e &' *e&!+$('( (e& "&!,e e% e& ,%#! C &' *e&!+$('( '%g,&') (e& es&'"!% +!%e+#!) CB e% e& $%s#'%#e o
θ= 45
=30 o
∅
$untos de U)icación
pies
D'#!s! &' =¿ 9 )'(seg
pies
v ( =?
pies
! &' =? o
θ= 45
=30 o
∅
v ( =v ' + v ' / ( v ( =! &'∗r &' + ! '( ∗r '(
cos ∅=
x x =1.73 pies 2 pies
sen ∅ =
y y =1 pie 2 pies
´r &'=(−1.73 i +−1 , +0 1 ) pies
|
v '=
|
i
1
0
0
3
−1.73 −1
0
rad / seg v ' =( 3 i −5.19 + 0 1 ) pies / seg m
cos θ =
x x =2.1 pies 3 pies
senθ =
y y =2.1 pies 3 pies
´r '( =( 2.1 i +2.1 , +0 1 ) pies
|
i
v c = (3 i−5.19 ,+ 0 1 ) + 0
, 0
2.1 2. 2 .1
|
1 rad / seg ! '( m 0
v '=( 3 i−5.19 , + 0 1 ) pies / seg + (−2.1 !'( i+ 2.1 ! '( , + 0 1 ) pies / seg
v c , = 0−5.19 , + 2.1 ! '( , =0 ! '( =
5.19 ! '( =2.47 rad / seg 2.1
v ( i=3 i −2.1 ( 2.47 ) pies / segv ( i=−2.19 pies / seg
|´v( |=2.19 m / seg +. &n el el instante mo mostrado, lo los au automóviles * y están viaAando con velocidades de y "0 mi(, respectivamente. %i está incrementando su rapidez en -!00
mi
, mientras que * mantiene 2 0 una rapidez constante, determine la velocidad y la aceleración de * con respecto a . &l automóvil se mueve por una curva que tiene un radio de curvatura de 0. millas y la posición relativa de * con respecto a en el instante estudiado es de < ,"! i^ @,"0 ,^ 4 mi
Solución: $aso nB -: U)icar sistema Ao y sistema móvil. &l enunciado del pro)lema nos indica que el auto o)servado es el *, mientras que en el auto (ay un o)servador que en este caso es un o)servador móvil. &n cuanto al sistema Ao, lo más adecuado es u)icarlo siempre que sea posi)le en el mismo punto que el sistema móvil, por lo tanto, el sistema móvil quedara u)icado so)re el auto y el sistema Ao por de)aAo del auto coincidiendo en posición en el instante de tiempo estudiado.
$aso nB!: *grupar datos e incógnitas segCn el elemento al que pertenecen.
Sistema móvil (auto A)
Partícula (auto B)
r & 0
#' 0, mi
⃗
r &
⃗
'
< ,"!
i^
@,"0
i^
v ' < "0 cos 0B mi( ⃗
,^ 4 mi
= "0 sen 0B 0B
i^
at' < -!00 cos 0B ⃗
v & ⃗
i^ mi(
0
2
2
⃗
( ) 2
40 v an' = = =3200 # 0,5
mi
⃗
i^
0
an' < !00 sen 0B
⃗
i^
= !00 !00 cos 0B
K "00, ;
i^
2
= !00 !00 cos 0B
mi
,^ 4 a ' < -!00 cos 0B
= -!00 -!00 sen 0B
mi
,^ )
a & 0 <2elocidad constante4
2
0
,^ )
= -!00 -!00 sen 0B 0B
mi
= < !00 sen 0B
2
0
mi
,^ 4
0
2
^ radseg 5=−80 1
´ -!000, ; 5
^ ´ =−2400 1 5
rad ❑ seg
$aso nB: *plicar las ecuaciones y resolver las incógnitas. v & = v ' +( 5 x r & )+ v & ⃗
⃗
⃗
⃗
'
(
)( (
'
a & =a ' + ´ 5 x r & + 5 x 5 x r & + 2 5 x v & + a & ⃗
⃗
⃗
'
,^ 4
⃗
'
)) (
⃗
'
)
⃗
'
Pro$e!as Propuestos
1 'CIR( (e"$(! '& (es&'='.$e%#!8 &!s ,%#!s A B s!")e e& "!)(e (e& ($s+! #$e%e% &'s *e&!+$('(es .!s#)'('s De#e).$%e &'s *e&!+$('(es (e& ,%#! +e%#)'& C (e& P,%#! E e% ese $%s#'%#e Resp& )" * +&,- pies.se/ )e * 0&12 pies .se/
+& 'CIR(
L' &'+' +,'()'(' es#' +!%5$%'(' (e%#)! (e &'s )'%,)'s e% &!s ,%#!s A B
+,'%(! θ 6 908 e& ,%#! A se es#' .!*$e%(! ' V A 6 .seg De#e).$%e &' *e&!+$('( (e& ,%#! D e% ese $%s#'%#e Resp& )D * ,&0+ !.se/
9 E& +'))! +'))! (e ,%! ,%! (e &!s &!s ;,eg!s ;,eg!s (e ,% ,% '),e '),e (e ($*e)s ($*e)s$!% $!%es es g$)' g$)' '&)e(e( '&)e(e(!) !) (e& e;e e;e A Waf 8 &' +,'& es .e($(' )ese+#! '& seg.e%#! +!% ,%' *e&!+$('( '%g,&') +!%s#'%#e Waf A3 A& .$s.! #$e.! e& seg.e%#! A3 g$)' '&)e(e(!) (e& e;e )$%+$'& (e s!!)#e 3
+!% ,%' *e&!+$('( '%g,&') +!%s#'%#e Wf & De#e).$%e &' Ve&!+$('( A+e&e)'+$/% (e ,% 's';e)! ,e se e%+,e%#)' e% e& ,es#! C e% e& $%s#'%#e .!s#)'(! D'#!s'56 2)'(seg 56 1)'(seg a 6 17 . b6. 6 90
4 E& “S+'."& “S+'."&e)” e)” es ,% ;,eg! ,e +!%s$s# +!%s$s#ee e% #)es #)es ")'=!s )$%+$ )$%+$'& '&es es ,e g$)'% +!% +!% )'$(e= '%g,&') +!%s#'%#e L1 6 12 ). )ese+#! ' ,% e;e $*!#e +e%#)'& 5$;! e% #)es +!%;,%#!s +!%;,%#!s (e +,'#)! ")'=!s se+,%(')$!s se+,%(')$!s ,e g$)'% +!% )'$(e= '%g,&') '"s!&,#' +!%s#'%#e L2 6 17 ). )ese+#! ' ,% ,%#! $*!#e ./*$& O e% e& e#)e.! (e +'(' ")'=! )$%+$'& C'(' ")'=! se+,%(')$! &&e*' ,%' "'%+' ,e ,e(e '+!.!(') :'s#' #)es 's';e)!s L' +!%5$g,)'+$/% $%$+$'& e% e& #$e.! # 6 0 es 16 0 2 6 0 O"se)*e ,e 1 2 #$e%e% se%#$(!s !,es#!s S,!%g' ,e e& 's';e)! e% A es# e% e& e#)e.! e#e)$!) (e &' "'%+'8 +!% ) 6 19 $es8 ' 6 4 $es8 " 6 > $es De#e).$%e &' '+e&e)'+$/% ee)$.e%#'(' ee) $.e%#'(' !) e& 's';e)!
5. Una partícu partícula la de agua se está movien moviendo do hacia hacia afuera afuera y a lo largo del aspa impulsora de una bomba centrífuga de agua, con una velocidad tangencial de 5 m!seg" y una aceleraci#n tangencial de $ m!seg%, ambas relativas al e&tremo del aspa. 'l rotor del aspa tiene un radio de ( cm, mientras )ue las aspas tienen una longitud y un radio de * cm y +5 cm respectivamente. ado )ue el aspa gira con una aceleraci#n constante de 5 rpm% en el sentido de las manecillas del relo-, determinar la velocidad y la aceleraci#n de la partícula de agua en el instante en )ue abandona el aspa, cuando
ésta sta gir gira con con una rapid apide e de % % rpm en el sen sentido tido de las las manecillas del relo-.
$