MECANICA II: EJERCICIOS UNIDAD 2
12.10 Un paquete de 40 kg. Se encuentra sobre un plano inclinado cuando se le aplica una fuerza Los coeficientes de fricción P. estática y cinética entre el paquete y el plano son: 0.30 y 0.25 respectivamente. Determine: la magnitud de P si se requieren 4 s para que el paquete recorra 10 m al ascender por el plano.
↑0 50 20 0 2 1 50 20 3 2 50 20 3
De la ecuación
se se tiene:
Despejando N de la ecuación
→ Tomando la dirección del movimiento como eje x .
Sustituimos N en la ecuación
50 20 50 20 50 50 20 20 50 50 20 20 Despejando P de la ecuación:
20 20 50 50 4
Siendo la aceleración la única incógnita, la
→ 50 20 1
calculamos utilizando las ecuaciones de movimiento:
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⟹ Integramos con sus respectivos límites:
∫ ∫ ⟹ =
Sustituimos
e integramos
Evaluando en sus respectivos limites:
∫ ∫ =
12 Despejando la aceleración:
2 ⁄ Sustituyendo valores:
210 4 1.25
0 0. 3 0 20 20 50 50
Tomamos la ecuación [4] y considerando que
Así la fuerza necesaria para iniciar el movimiento es:
244.0.41346 591.91
La fuerza que se requiere para que el bloque se mueva a una aceleración de 1.25 m/s2 (considerando μ=0.25) es:
20 20 50 50 276.0.45102 612.01
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12.51 Una curva en una pista de carreras tiene un radio de 1000 ft y una rapidez máxima de 120 mi/h. (Vea en el problema resuelto 12.6 la definición de velocidad máxima.) Si se sabe que un automóvil de carreras comienza a derrapar sobre la curva cuando viaja a una rapidez de 180 mi/h, determine a) el ángulo del peralte, b) el coeficiente de fricción estática entre las llantas y la pista bajo las condiciones prevalecientes, c) la rapidez mínima a la cual el mismo automóvil podría pasar la curva sin dificultades.
cos0 1 2 + → 3 / − 177 − 1000 32.2 44.21 /
a) ángulo θ del peralte
Considerando que
Sustituimos [2] en [3]:
Despejando
El automóvil se traslada en una trayectoria circular de radio ρ = 1000 ft. La componente normal , la masa del auto es . Puesto que no se ejerce fuerza de fricción lateral sobre el auto, la reacción R de la pista se presenta perpendicular al mismo. Aplicando la segunda ley de Newton:
/ /
↑∑ 0
:
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177 1000 31.32 b) coeficiente de fricción estática entre las llantas y la pista bajo las condiciones prevalecientes.
Así que:
0.972 c) la rapidez mínima a la cual el mismo
Con
→ → 0
automóvil podría pasar la curva sin dificultades.
Pero:
↔ ↑0 0
Iniciamos el análisis de movimiento y plateamos las ecuaciones del mismo, en este caso Movimiento normal y tangencial.
→ 4
Sabiendo que
y
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↑ 0 cos 0 cos 5 De lo anterior deducimos por identidad trigonométrica:
cos 80.86
Y despejando la velocidad:
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12.5 Un bloque de 40 lb inicia su movimiento desde el reposo desplazándose hacia arriba cuando se aplican fuerzas constantes de 10 y 20 lb sobre las cuerdas que lo sostienen. Si se ignoran las masas de las poleas y el efecto de fricción, determine la velocidad del bloque después de que se ha movido 1.5 ft
∫0 ∫0
₀ 12
2 √28.05 1.5 4.91 Analizando por poleas se tiene:
322 / 40 8.05 /²
Por lo tanto
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La plomada de un péndulo de 2 m describe un arco de círculo en un plano vertical. Si la tensión de la cuerda de estos puntos es cinco veces el peso de la plomada en la posición que se indica, determine la velocidad y la aceleración de la plomada en esa posición. 12.5
DEL DCL SE TIENE QUE
∑ m 5 5 5 5 9.8 530
40.51 40.51 2 9. 0
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Determine la velocidad máxima de la curva de una autopista de radio que tiene un ángulo de peralte de =18 . La velocidad máxima de la curva peraltada de una autopista es aquella a la cual un automóvil debe viajar para que no exista fuerza de rozamiento lateral en sus neumáticos.
400 °
.
↑ 0 0 1 + ← 2 1 2
Al sustituir R de que
en
y recordando
32.2 400 18 64. 7 44.1 ℎ
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12.46 En el transcurso de una persecución a alta velocidad, un automóvil deportivo de 2400lb que viajaba a una rapidez de 100 mi/h apenas pierde contacto con el camino cuando alcanza la cresta A de una colina. a) Determine el radio de curvatura del perfil vertical del camino en A. b) utilizando el valor de . Que se encontró en el inciso anterior a), determine la fuerza que ejerce el asiento de un conductor de 160lb que conduce un automóvil de 3100lb, cuando este último, viajando a una rapidez constante de 50 mi/h, pasa por A.
un automóvil de 3100 lb, cuando este último, viajando a una rapidez constante de 50 mi/h, pasa por A.
Teniendo realizada las conversiones de la velocidad a pies por segundo. De acuerdo al diagrama de cuerpo libre, se procede analizar con la ecuación de la segundo ley Newton.
↓ ∑ ∴ 1 1 ∗ ∗ 1 ∗1 ∗ 146../66 ft/s 667.98 y
Despejando en la ecuación anterior se tiene:
Datos:
32. 2 / 2400
100/ℎ
=146.66 ft/s
a) Determine el radio de curvatura perfil vertical del camino en A.
160 3100 50/ℎ
=73.33 ft/s
del
Para el inciso b) se analiza el diagrama de cuerpo libre sig.:
b) utilizando el valor de . Que se encontró en el inciso anterior a), determine la fuerza que ejerce el asiento de un conductor de 160 lb que conduce
Como la velocidad entonces se tiene que
0
es
constante, , por lo
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tanto, solo se analizara la aceleración normal que ejerce el conductor.
↓∑ 2 ∗ ∗ 1 ∗ 73. 3 3 f t / s 1601 32.2/ ∗667.98 ft 119.984 Despejando n se tiene:
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12.44. Un niño que tiene una masa de 22 kg se sienta sobre un columpio y un segundo niño lo mantiene en la posición mostrada. Si se desprecia la masa del columpio, determine la tensión en la cuerda AB a) mientras el segundo niño sostiene el columpio con sus brazos extendidos de manera horizontal, b) inmediatamente después de soltar el columpio.
b)
Σ
El movimiento que hace el columpio es curvilíneo
Diagrama de cuerpo libre:
por
lo
tanto
tenemos
una
aceleración normal y tangencial
0 0 0 Σ 0 ° −35 0 −176.176.880 2 88.39 En
;
entonces
Hacemos una sumatoria de fuerzas normales
a)
Σ 0 35 0 35 22 9.81 0 215.82 263.4 35 263.2 4 131.7
La tensión se divide en dos cuerdas
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12.26 Un resorte AB de constante k se une a un soporte A y a un collarín de masa m. La longitud no alargada del resorte es l . Si se suelta el collarín desde el reposo en x = x 0 y se desprecia la fricción entre el collarín y la varilla horizontal, determine la magnitud de la velocidad del collarín cuando pasa por el punto C .
√ 22 √ 2 2 2 2 -
-
-
Diagrama de cuerpo libre
Como tenemos la integramos para obtener la velocidad
Sabemos que
Usamos esta ecuación porque necesitamos conocer la velocidad y las ecuaciones anteriores están en función de la posición y
0 ; 0
En
;
Integramos El movimiento del collarín es en el eje X por lo tanto hacemos el análisis de fuerzas en este eje
cos Donde:
cos √ +
La magnitud de la fuerza ejercida por un resorte sobre un cuerpo es proporcional a la deformación del resorte a partir de la posición inicial
∫ ∫ √ 12 [12 ] 0
12 [12 ]
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Problema 12.49 Una piloto de 54 kg vuela un jet de entrenamiento en una media vuelta vertical de 1 200 m de radio de manera que la velocidad del jet
disminuye a razón constante. Si se sabe que los pesos aparentes de la piloto en los puntos A y C son respectivamente de 1 680 N y 350 N, determine la fuerza que ejerce sobre ella el asiento del jet cuando éste se encuentra en el punto B.
DCL A
54 ; : = = ( (
El peso aparente del piloto es igual a la fuerza vertical que ella ejerce sobre el asiento del avión de entrenamiento.
. ↑Σ : → 1680
1200 54 9.81/25561.3/
159.87 ⁄
↓Σ : 1200 350 54 9.81/19549.7/
139.82 ⁄
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.
Desde teniendo desde Ecuación de MUA.
(54)0.797309.81/ =.↑
.
2Δ ↔ 2 2∆ 1954.7
/
=25561.3
/ 2 ∗1200
./− ./
+
(
=
)
/
= -0.79730
0.79730/ 2Δ
25561.3/ 20.79730/ 2 1200 22555.54 /
←Σ : 54/ 1014.98 ↓Σ : || =
1014.98 486.69 1126 1126 ∢25.6 (
=
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Problema 12.9. Un paquete de 20 kg se encuentra en reposo sobre un plano inclinado cuando se le aplica una fuerza P. Determine la magnitud de P si se requieren 10 s para que el paquete recorra 5 m hacia arriba por el plano inclinado. Los coeficientes de fricción estática y cinética entre el paquete y el plano inclinado son iguales a 0.3.
20 10 5
Usando la ecuación de movimiento se determina la aceleración
12 5210 0.1 0 20 500 20 50 1 ∗ 50 20 2
Haciendo sumatorias de fuerzas en
Despejando la ecuación 1 en 2
50 20 20 50
Resolviendo para P
5067.1 0.3184.36 502
500.3 50267.155.3 500.124.3450 301.22
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Problema 12.12 Los dos bloques que se muestran en la figura se encuentran originalmente en reposo. Si se desprecian las masas de las poleas y el efecto de fricción en éstas y se supone que los componentes de fricción entre el bloque A y la superficie horizontal son y , determine a) la aceleración de cada bloque, b) la tensión en el cable.
0.25 0.20
Haciendo sumatorias de fuerzas
Determinando si los bloques se moverán donde primero suponemos que no se mueven por lo tanto:
0
0 1 30 3 1 0 0 0 2 1 2: 13 25 9.81 81.75 0 0 3 ∗ 4 ∗ Despejando
y sustituyendo la ecuación
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3 4 0.25∗30 ∗9.81 73.575 0.2∗30∗9.813∗30∗0.2327 > 79.803 ∑ 0 0. 2 ∗ 0 ∗ 0. 2 ∗309. 8 1 79. 8 03 30 0. 2 ∗ 5 ∑ 6 0.698 5 6: 0.2∗3 7 ∑ 8 3 7 8 30.2∗3 245.25176.58270 25 68.29567 0.2327 Despejando ecuación
Despejando para T
Esto implica que el bloque se
moverá
Entonces se utilizara el coeficiente de fricción dinámico para resolverlo, entonces haciendo sumatorias de fuerzas
Para el bloque A
Para el bloque A
Despejando
y sustituyendo la ecuación
Para el bloque B
Sustituyendo la ecuación resolviendo para
y
Despejando para
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.
