14.7 En un parque de diversiones están los “carritos chocones” de 200 kg A, A, ! ", los cuales tienen conductores con #asas de 40, $0 ! %& kg, respectiva#ente co#o se #uestra en la 'igura 7. El carrito A se #ueve a la derecha con una velocidad v A =2 #(s ! el carrito " tiene una
V C =1.5 #(s hacia la i)quierda, pero el carrito está inicial#ente en reposo. El
velocidad
coe'iciente de restituci*n entre cada carrito es de 0.+. eter#ine la velocidad 'inal de cada carrito, despu-s de todos los i#pactos, si se supone que a los carritos A ! " golpean al carrito al #is#o tie#po, / el carrito A golpea al carrito antes que al carrito ". Desarrollo Datos:
m A= 200+ 40 =240 kg ,
v A =2
m s ,
v B=0
m , s
mB =200 + 60=260 kg ,
v C =1.5
e =.8
Formula n
m r =∑ m i ∙ r i i =1
onde
r = vector vector de posición. posición.
Procedimiento:
m . s
mC =200 + 3 5 =235 kg .
m A ∙ v A + m B ∙ v B + mC ∙ v C = m A ∙ V A + m B ∙ V B + mC ∙V C
a)
240 ∙ 2 + 260 ∙ 0 + 235 ∙−1.5 =240 ∙ V A + 260 ∙ V B + 235 ∙ V C
480
−352.2=240 ∙ V A +260 ∙V B + 235 ∙V C
127.5
e=
e=
e=
=240 ∙ V A + 260 ∙V B + 235 ∙V C
V 2−V 1
¿ .8
v 1− v 2
V B −V A 2
−0
V C −V B
+
0 1.5
∴
e =V 2−V 1 =.8 ( 2 ) ∴ V 2−V 1=1.6
Ec.2
∴
e =V 2−V 1 =.8 ( 1.5 ) ∴ V 2−V 1=1.2
Ec.%
127.5=240 V A
26 0 V B
235 V C
1.6=−V A
V B V B
0
1.2 = 0
V C
−
esolviendo el siste#a o/tene#os
b)
Ec. 1
V A =−.520 ;V B=1.079 ; V C =.120
m A ∙ v A + mB ∙ v B =m A ∙V A + mB ∙V B
240 ∙ 2 + 260 ∙ 0=240 ∙ V A + 260 ∙ V B
480
=240 ∙V A + 260 ∙ V B
Ec. 4
e=
e=
V 2−V 1
¿ .8
v 1− v 2
V B −V A 2
−0
e =V 2−V 1 =.8 ( 2 ) ∴ V 2−V 1=1.6
∴
480 =240 ∙V A
260 ∙V B
1.6=−V A
V B
esolviendo el siste#a de ecuaciones o/tene#os
Ec.&
V A =.128 ;V B=1.728
v B=1.728
3sando
mB ∙ v B + mC ∙ v C =mB ∙ V B + mC ∙V C
260 ∙ 1.728
447.2
94.7
e=
+ 235 ∙−1.5 =260 ∙V B + 235 ∙V C
−352.2=260 ∙V B + 235 ∙V C
=260 ∙V B + 235 ∙V C V C −V B
1.72
−(−1.5 )
∴
Ec.$
e =V C −V B=.8 ( 3.22 ) ∴ V C −V B =2.576
94.7 =260 ∙V B + 235 ∙V C 2.576=−V B + V c
esolviendo el siste#a o/tene#os
V B =−1.031 ;V C =1.544
Ec.7
igura 7.1 Esque#a del pro/le#a 14.7 ! 14.+
14.+ En un parque de diversiones están los “carritos chocones” de 2 00 kg A, ! ", los cuales tienen conductores con #asas de 40, $0 ! %& kg, respectiva#ente 5v-ase 'igura 7.1. El carrito A se #ueve a la derecha con una velocidad v A =2 #(s cuando golpea al carrito que está inicial#ente en reposo. El coe'iciente de restituci*n entre cad a carrito es de 0.+. eter#ine la velocidad del carrito " de #odo que despu-s de que el carrito choque con el ", la velocidad de sea cero. Desarrollo Datos
m A= 200+ 40 =240 kg ,
v A =2
m s ,
v B=0
m , s
mB =200 + 60=260 kg ,
v C =?
e =.8
Formula n
mr =∑ m i ∙ r i i =1
onde
r = vector de posición.
Procedimiento
m A ∙ v A + m B ∙ v B =m A ∙V A + mB ∙V B
m . s
mC =200 + 3 5 =235 kg .
240 ∙ 2 + 260 ∙ 0=240 ∙ V A + 260 ∙ V B
480
=240 ∙V A + 260 ∙ V B
480
=240 ∙V A + 260 ∙ V B
e=
e=
V 2−V 1
¿ .8
v 1− v 2
V B −V A 2
−0
e =V 2−V 1 =.8 ( 2 ) ∴ V B−V A=1.6
∴
480 =240 ∙V A
260 ∙V B
1.6=−V A
V B
esolviendo el siste#a de ecuaciones o/tene#os
3sando
v B=1.728
mB ∙ v B + mC ∙ v C =0
260 ∙ 1.728
+ 235 ∙ v C = 0
v C =1.911
260 ∙ 1.728
.195
+ 235 ∙ 1.911=260 ∙ V B +235 ∙ V C
=260 ∙ V B + 235 ∙ V C
Ec.1
V A =.128 ;V B=1.728
e=
V C −V B 1.72
−(−1.5 )
∴
e =V C −V B=.8 ( 3.22 ) ∴ V C −V B =2.576
.195=260 ∙ V B + 235 ∙ V C 2.576 =−V B + V C
esolviendo el siste#a tene#os
V B =0.747 m / s ; V C =.828 m / s .
igura 7.1 Esque#a del pro/le#a 14.7 ! 14.+
14.6 3n siste#a consta de tres partculas A, ! ". 8e sa/e que m A=3 kg ,
mB =4 kg !
mC =5 kg ! que las velocidades de las partculas, e9presadas en #(s son, respectiva#ente,
v A =−4 i + 4 j + 6 ,
v B=−6 i + 8 j + 4 k !
v C =2 i −6 j − 4 k eter#ine la cantidad de
#ovi#iento angular H: del siste#a con respecto a :. Desarrollo: Datos
m A=3 kg ,
m B =4 kg ,
mC =5 kg .
v A =¿−4 i + 4 j + 6 k > m / s , A =¿ 1.2,0,1.5> m
v B=¿−6 i + 8 j + 4 k > m / s ,
B =¿ .9, 1.2,1.2 > m
v C =¿ 2 i−6 j− 4 k > m / s ,
C =¿ 0, 2.4,1.8 > m
Formula n
H o=
(r ×m ∙ v ) ∑ = i
i
i
i
1
Procedimiento
r A × m A ∙ v A =3
[
i
j
k
1.2
0
1.5
−4
4
6
]
i<−( 4 × 1.5 ) >− j < ( 1.2 × 6 )−(−4 × 1.5 ) >+ k < ( 1.2 × 4 ) >¿ ¿ 3¿
2
¿<−18 i , −39.6 j ,+ 14.4 k > kg∙m / s
r B × m B ∙ v B= 3
[
i
j
k
.9
1.2
1.2
−6
8
4
]
i < ( 1.2 × 4 )−( 8 × 1.2 ) >− j < ( .9 × 4 ) −(−6 × 1.2 )>+ k < ( .9 × 8 ) − (−6 × 1.2 ) >¿ ¿4¿
r B × m B ∙ v B= 5
2
¿<−19.2 i ,− 4 3 . 2 j ,+ 57.6 k > kg∙m / s
[
i
j
k
0
2.4
1.8
2
− 6 −4
i< ( 2.4 ×−4 )−(−6 × 1.8 )>− j <−( 2 × 1.8 ) >+ k <−(2 × 2.4 ) >¿
] 2
¿<−6 i, 18 j ,−24 k > kg∙m / s
¿5¿
2
∴ H o
=¿(−18− 19.2+ 6) i , (−39.6 − 43.2+ 18 ) j , ( 14.4 + 57.6−24 ) k > kg∙m / s
∴ H o
=¿−31.2 kg∙m / s > i −¿ 64.8 kg∙m / s > j +¿ 48.6 kg∙m / s >k
2
2
2
igura 6.1 Esque#a del pro/le#a 14.6
