I N S T IT U T O P O L I TÉ C N I C O N A C I O NA L
C EN TR O D E E ST UD IO S C IE NT ÍF IC OS Y T EC NO LÓ GI CO S N o. 11
“ W I LF R I D O M A S SI E U ” A C A DE M IA D E M A TE M ÁT IC A S UNIDAD DE APRENDIZAJE DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA ESTADÍSTICA
COMPETENCIA GENERAL Resuelve problemas referentes a estadística descriptiva y probabilidad en su entorno académico, social y global. COMPETENCIA PARTICULAR Emplea la estadística descriptiva en la solución de problemas que se presentan en su ámbito académico, social y global. UNIDAD 1 ESTADÍSTICA DESCRIPTI!A. "P#$# %&' ()$*+ ,# P$o-#-),)# / ,# E(0#(0)2#3 La probabilidad y la estadística son parte importante de la vida. A cada momento elaboramos uicios y tomamos decisiones y, consciente o inconscientemente, utili!amos sus conceptos y técnicas" por eemplo, decidimos a que #ora salir de casa, basados en el tiempo promedio necesario para trasladarnos al lugar que deseamos" escogemos el medio de trasporte en función de su disponibilidad, su costo y rapide! relativa a nuestra prisa, anali!amos y decidimos respecto a cualquier proyecto considerando sus probabilidades de é$ito en diferentes condiciones" la e$periencia es una forma de estudiar la tendencia de los fenómenos y decidir en consecuencia% &llevaré paraguas'" &compraré otro cuaderno'" &no le prestaré mi calculadora'" etc. A pesar de que los conceptos básicos de la probabilidad y la estadística son conocidos en general por el #ombre moderno, es necesario el estudio sistemático de ellos a fin de disponer de las técnicas adecuadas para resolver con mayor precisión los problemas de la vida actual. (or eemplo, )cuál es la probabilidad de é$ito de este proyecto*" )qué tan seguro puedo estar de la calidad de cierto artículo, si al tomar + de ellos - eran defectuosos*" )cuál es el volumen esperado de ventas para mi empresa durante los pró$imos +- meses, a fin de elaborar el programa de producción*" )qué relación e$iste entre el presupuesto de publicidad y el nmero de clientes de mi empresa*" )cuál es el lugar más conveniente para vacacionar si e$isten opiniones encontradas respecto al meor lugar, pero es posible clasificar las preferencias de los integrantes de un grupo de vacacionistas*" )qué resistencia debe tener un perno de metal para soportar la carga a la que será sometido*" etc. Las respuestas a estas preguntas pregu ntas se obtienen por medio de técnicas cuyo estudio se inicia en este curso y se e$tiende #asta cursos avan!ados y tesis post/ doctorales. +
A0A1E23A 1E 1E 2A4E25460A7 2A4E25460A7 48R9: 48R9: 2A48469: 2A48469:
6ng. ;.
La estadística es el lenguae universal de la ciencia. 0omo usuarios potenciales de la estadística, necesitamos dominar la &ciencia' y el &arte' de utili!ar correctamente su metodología. El empleo cuidadoso de los métodos estadísticos permite obtener información precisa de los datos, que incluyen%
14 54 64 74
1efinir cuidadosamente la situación. Recolectar datos. Resumir con precisión los datos. :btener y comunicar las conclusiones significativas.
La estadística implica información, nmeros para resumir esta información y su interpretación. El término estadístico posee varios significados para personas de diversos entornos e intereses. (ara algunos" es un campo de &magia' en el que una persona con conocimientos supera a los demás. (ara otros, se trata de un medio para recolectar y representar grandes cantidades de información. > todavía para otro grupo, g rupo, se trata de un medio para &tomar decisiones de frente a la incertidumbre'. Entre otros. (ara su estudio se divide en dos grandes áreas% Estadística 1escriptiva y Estadística 6nferencial. La (robabilidad y la Estadística están llenas de nmeros, pero también es verdad que no se requiere conocimientos avan!ados de 2atemáticas para iniciarse en su estudio. Es importante, manear fracciones, determinar porcentaes, operaciones básicas de aritmética y, ra!ones y proporciones.
8 Co92+:0o( B;()2o(. E(0#(0)2# D+(2$):0)*#. Es la rama de la Estadística que incluye la recolección, presentación y descripción de los datos maestrales. E(0#(0)2# I9<+$+92)#,. 7e refiere a la técnica de interpretación de los valores resultantes de las técnicas descriptivas y a la toma de decisiones y obtención de conclusiones sobre la población muestreada. Po-,#2)=9. Es la colección o conunto de individuos, obetos o eventos cuyas propiedades serán anali!adas. M&+(0$#. Es un subconunto de la población. P#$;>+0$o. Es un valor que describe a toda la población, pe., la edad promedio al momento de la admisión de todos los estudiantes que #ayan asistido a la &?ilfredo 2assieu'. @
A0A1E23A 1E 1E 2A4E25460A7 2A4E25460A7 48R9: 48R9: 2A48469: 2A48469:
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La estadística es el lenguae universal de la ciencia. 0omo usuarios potenciales de la estadística, necesitamos dominar la &ciencia' y el &arte' de utili!ar correctamente su metodología. El empleo cuidadoso de los métodos estadísticos permite obtener información precisa de los datos, que incluyen%
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1efinir cuidadosamente la situación. Recolectar datos. Resumir con precisión los datos. :btener y comunicar las conclusiones significativas.
La estadística implica información, nmeros para resumir esta información y su interpretación. El término estadístico posee varios significados para personas de diversos entornos e intereses. (ara algunos" es un campo de &magia' en el que una persona con conocimientos supera a los demás. (ara otros, se trata de un medio para recolectar y representar grandes cantidades de información. > todavía para otro grupo, g rupo, se trata de un medio para &tomar decisiones de frente a la incertidumbre'. Entre otros. (ara su estudio se divide en dos grandes áreas% Estadística 1escriptiva y Estadística 6nferencial. La (robabilidad y la Estadística están llenas de nmeros, pero también es verdad que no se requiere conocimientos avan!ados de 2atemáticas para iniciarse en su estudio. Es importante, manear fracciones, determinar porcentaes, operaciones básicas de aritmética y, ra!ones y proporciones.
8 Co92+:0o( B;()2o(. E(0#(0)2# D+(2$):0)*#. Es la rama de la Estadística que incluye la recolección, presentación y descripción de los datos maestrales. E(0#(0)2# I9<+$+92)#,. 7e refiere a la técnica de interpretación de los valores resultantes de las técnicas descriptivas y a la toma de decisiones y obtención de conclusiones sobre la población muestreada. Po-,#2)=9. Es la colección o conunto de individuos, obetos o eventos cuyas propiedades serán anali!adas. M&+(0$#. Es un subconunto de la población. P#$;>+0$o. Es un valor que describe a toda la población, pe., la edad promedio al momento de la admisión de todos los estudiantes que #ayan asistido a la &?ilfredo 2assieu'. @
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D#0o.
+90o. Actividad reali!ada segn un plan definido cuyos resultados producen un conunto de datos. !#$)#-,+. 0aracterística de interés a cerca de cada elemento de una población o una muestra, pe., son variables las edades, el color de sus cabellos u oos de los estudiantes, su estatura, su peso, etc. !#,o$ E(0#(0)2o. Es la característica numérica de una muestra, pe., la estatura promedio calculada a partir de un conunto c onunto de medidas de estatura. D#0o C&#,)0#0)*o o A0$)-&0o. Es el resultado de un proceso que caracteri!a o describe un elemento de una población. D#0o CZ)0#0)*o o N&>'$)2o. Es el resultado de un proceso que cuantifica, es decir, que cuenta o mide Clongitud, peso, etc.D
M+)-),)# / !#$)#-),)#. 7iempre se espera que ocurra variabilidad en un conunto de datos e$perimentales. 7i aparece muy poca o ninguna variación, se conetura que el instrumento de medición no es suficientemente preciso. 9o importa de qué variable se trate, siempre e$istirá variabilidad en la respuesta numérica si el instrumento de medición es suficientemente preciso. (or eemplo. En una caa con @ barras de c#ocolate, anote el peso de cada una. 7e observa que cada barra pesa F gr., redondeado a enteros. )7ignifica esto que las barras tienen un peso idéntico* Realmente no, si se pesa en una balan!a F
A0A1E23A 1E 1E 2A4E25460A7 2A4E25460A7 48R9: 48R9: 2A48469: 2A48469:
6ng. ;.
analítica que mide miligramos, los pesos de las barras de c#ocolate presentarán variabilidad. Los cuatro conceptos indispensables en la descripción de conuntos de datos univariados, son%
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4ipos de 1istribución. 2edidas de 4endencia 0entral. 2edidas de 1ispersión o
RAP 1: Organizar los datos obtenidos de una muestra muestra o población en forma tabular y gráfica.
14 T):o( T):o( + D)(0$)-&2) D)(0$)-&2)=9. =9. P$+(+90#2)=9 T#,,o@o#. Es una técnica para compendiar datos numéricos, y consiste en combinar dos procedimientos" uno gráfico y el otro de ordenación. El tallo se forma con el o los primeros dígitos del dato, mientras que la #oa se forma con los demás dígitos. 7in embargo, una simple lista de un conunto de datos, no le dice gran cosa al lector. Algunas veces se desea condensar los datos en una forma más maneable. Esto puede lograrse con la ayuda de una distribución de frecuencias.
F$+2&+92)# <4. Es el nmero de veces que ocurre el valor ? en la muestra. E$isten distribuciones de frecuencias agrupadas y los no agrupadas, no agrupada significa que los valores de ? no se combinan para formar grupos, sino que cada ? es un grupo en sí. La suma de las frecuencias debe ser e$actamente igual al nmero de datos. 9 <.
)(0o$#>#. Es una gráfica de barras, que representa a un conunto de datos, la cual esta compuesta por un titulo, que identifica la población de interés, una escala vertical que identifica las frecuencias en las distintas clases y, una escala #ori!ontal que identifica a la variable ? Cindicando las fronteras, límites o marca de claseD. Po,o9o + F$+2&+92)#. F$+2&+92)#. Es la unión de las marcas de clase, de la misma gráfica del #istograma. O)*#. 8na distribución de frecuencias puede convertirse fácilmente en una distribución de frecuencias acumuladas, reempla!ando las frecuencias simples con las frecuencias acumuladas, que es la suma de frecuencias de esa clase y la suma de frecuencias de todas las clases precedentes. 4oda 4oda oiva comien!a con A0A1E23A 1E 2A4E25460A7 2A4E25460A7 48R9: 2A48 2A48469: 469:
6ng. ;.
una frecuencia relativa igual a cero, asociada a la frontera inferior de la primera clase y termina con una frecuencia relativa del +G asociada a la frontera superior de la ltima clase.
M#$2# + C,#(+ 4. Llamada algunas veces punto medio de clase, puesto que es el valor numérico situado e$actamente en la parte central de cada clase. A92Ho + C,#(+ 24. Es la diferencia entre un límite inferior de clase y el límite inferior de la siguiente clase. La frontera de clase, son nmeros que no están presentes en los datos muestrales, sino que se locali!an en medio del límite superior de una clase y el límite inferior de la clase siguiente.
P$o2+)>)+90o. 14 6dentifique el puntae má$imo y mínimo y obtenga la amplitud A@L en donde, es el valor má$imo y L el valor mínimo. 54 7eleccione un nmero de clase >14 y un anc#o de clase <34 de manera que el producto >2A04 A0 amplitud teórica, la cual debe ser un poco mayor que la amplitud real A4. 64 Elia un valor inicial, este valor debe ser un poco más pequeBo que el puntae mínimo. No0#. El límite inferior de clase, es el valor más pequeBo que puede asignarse a cada clase. Los límites superiores de clase son los valores de mayor magnitud que puede asignarse a cada clase. Ejemplo.
:rdena los datos seleccionados de los pesos Cen lbs.D de cincuenta estudiantes, para die! clases. 4ra!ando las graficas correspondientes. H+JJ +-++ +
+ +-I +JI +F +-
++H+ +++ +@
++@+I++J
A0A1E23A 1E 2A4E25460A7 48R9: 2A48469:
+I@ +F ++ + +H
++@ +H ++ ++ +F@
+++FJ +I@ + +@H
+IJ @ +J ++I @+
6ng. ;.
+J +H + +I+ +JI
+@ +@ ++I +-F
5
09
8
10
8
1
8
11
2
8
8
12
0
5
5
8
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5
0
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7
2
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8
3
5
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0
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2
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5
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0
7
6
2
1
5
18
6
8
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0
6
19
1
5
0
3
20
5
21
5
06
D51K
LD
AD@L
() >1 +90o92+( 215. A01415415 DA0@AI
5
15@116 :o$ ,o 0#90o (+ ,+ %&)0#
5 # L / (+ ,+ #$+# 1 # . L@5Q1.
> + @ F I J H +
A11
AD51K@
2 HJ +H +@+ +FF + +J +IH +-+ +HF @
++@ +F@ + +I +I+- +H@ @ @+I
< + F F J I @ @
<# + +J @ @J F I
/
51K151Q.
<# @F J - H@ HI +
? +@. ++. +@I. +F-. +. +I@. +J. +-I. +H-. @+.
Ejercicio.
Koy en día muc#os estudiantes laboran durante I #rs., en diferentes tipos de trabao. 7e tomó una muestra de F óvenes y se les preguntó el salario que perciben a la quincena, los datos son% + - -I + + +I +I- +J+ @+ @@ @FJ @FH 7i se tiene un anc#o de clase de frecuencia*
+J +H +++ ++ +F +JI +-+ +-I +HJ @+ @I @I+ @J FJ FH@ JFJ, )cómo serán las distribuciones de
+ @@ +H
So,. 1 1 5 6 7
K1 K 1 7 1
K 5 5
Q 1
11 57
1K 6
6K 6
7K 7Q
K Q1
KQ 7
Q
1
Q
1
Q
71 LK1 A@L A71@K1 A6Q () 26 +90o92+( >K A064K46QK A0@A Q6K@6Q K :o$ ,o 0#90o (+ ,+ $+(0# 6 # L / 5 # . LK1@6 LK1K 715 715. > + @ F
2 +@ +H-@ @J+H FI
+@ +H-+ @J+F +H@
< + + F
<# +@I @J F
<# @J I -J H +
? -JI +I+F @F F-J F-@
RAP : !alcular e interpretar las medidas de tendencia central y de dispersión" de datos obtenidos de una muestra o de población" para resol#er problemas de di#ersas áreas del conocimiento.
54 M+)#( + T+9+92)# C+90$#,. 7on valores numéricos que tienden a locali!ar, en algn sentido, la parte central de un conunto de datos. eneralmente, el término promedio se asocia a estas mediciones. 0ada una de las diferentes medidas de tendencia central puede recibir el nombre de valor promedio. M+)# x 4. Es el promedio con el que probablemente se está más familiari!ado, se suman todos los valores de la variable ? y se dividen entre 9 el nmero de esos valores x
?9 I9)*)&#,
x ?<<
G$&:#,.
M+)#9# M4. Es el valor ocupado por la posición central cuando los datos se ordenan de acuerdo con su magnitud. Eemplo. 6 6 K Q /
I
:o()2)=9 + ,# M+)#9#.
:M K145 :M6
:MDC9R145
MK.
No0#. L# mediana será e$actamente el valor central del conunto de datos cuando “9” sea un nmero impar. (ero, cuando “9” es par, la posición de la mediana será siempre la mitad de algn nmero. :M6.K
:MDCQR145
:MK145 :M6.
Mo#. Es el valor de ? que ocurre con mayor frecuencia. Eemplo. 6 6 K Q / ,# >o# +( 6. 7i sucede que dos o más valores tienen la misma frecuencia más alta, se dice que no e$iste la moda. C+90$o + A>:,)0& CA4. 8n conunto de datos siempre tienen un e$tremo inferior L y otro superior . el punto medio o centro de la amplitud es el nmero situado entre ellos, e$actamente en la parte central. Eemplo. Q / 1
CAL45
CAQ145 I CA.
Ejemplo.
0alcular las medidas de tendencia central del primer eemplo Cel de los pesos en libras de los estudiantesD. > + @ F I J H +
? +@. ++. +@I. +F-. +. +I@. +J. +-I. +H-. @+.
< + F F J I @ @
?< + ++ FJH. +. +F. +F -J@. +++H FHJ @+ J+F
#4 ?MJ+FN" ?M+.@I -4 :MCO+DN@" :M@. @M+ UM+A
@IM+
24 Mo M+@ 4 CAMC@+OH-DN@" CAM+I.
Ejercicios.
14 1eterminar las medidas de tendencia central del primer eercicio Cla de los salarios de los F estudiantesD. #4 ?16.566 -4 1K 24 M o9o +?)(0+ / 4 CA56K. 54 En una muestra de mts. 1.461.59 1.581.66 1.661.73 1.721.50 1.501.60
empleados, se obtuvieron las siguientes estaturas en
1.67 1.74 1.52 1.60 1.67
1.76 1.52 1.61 1.68 1.77
1.53 1.62 1.68 1.80 1.55
1.62 1.68 1.81 1.55 1.62
1.68 1.84 1.56 1.64 1.70
1.90 1.58 1.66 1.72 1.67
7i en la cuarta clase los límites son +.IH y +.JI, )cómo serán las distribuciones de frecuencia y las medidas de tendencia central* >Q ?1.Q71 -4 1.QQ 24 Mo1.Q / 4 CA1.Q.
So, 5. 14 >
?
<
+ @ F
-JI +I+F @F F-J F-@
+ + F
?< J+I+F +-- F-J ++J@
#4 ?MIHJNF" ?M+--F.@FF -4 :MCFO+DN@" :M+. +M+JI
M+J- +IM+-+
IHJ
24 Mo Mno e$iste
4 CAMC+O+HDN@" CAM@F
54 14
6
15
8
0
9
02
2
3
5
5
68
16
6
6
0
70
7
1
8
2
82
17
2
3
4
67
0
2
18
0
1
4
19
0
8
28
4
1. L1.7Q A@L A1.@1.7Q A.77 21.[email protected]..1. +90o92+( >Q A0.4Q4.7 A0@A .7@.77 .7 :o$ ,o 0#90o (+ ,+ $+(0# 5 # L / 5 # . L1.7Q@.5 L1.77.11.7K 1..5 1.5.
> + @ F I
2 +. +.F +.I+ +.IH +.JJ +.-
+.@ +.I +.I+.JI +.- +.H@
< H + I + 7
F# + @H F FH
<# +@. F J@. -J. HJ. +
? +.- +.I +.I +.J@ +.- +.--
?< J.@ +.- @.IJ +.F J.@@ +.-- QK.Q7
67
64 M+)#( + D)(:+$()=9 o !#$)#-),)#. Esta medida nos da una idea del grado de indeterminación que se afronta en una situación donde está presente el a!ar. En estos casos aun sabiendo que no se tiene la total certidumbre sobre un posible resultado de la estimación de los datos, las medidas de dispersión ofrecen menores posibilidades de un equívoco cuando la dispersión de una distribución es pequeBa en medida. Estas medidas abarcan la magnitud Co rangoD, la varian!a y la desviación estándar. Los cuales describen el grado de dispersión o variabilidad, de los datos. Los valores de estas medidas, serán mayores cuando los datos es tén muy disgregados y, serán menores cuando los datos estén más cercanamente agrupados.
A>:,)0&. Es la medida de dispersión más sencilla y es la diferencia entre el dato de mayor valor y el de menor valor L. A@L. !#$)#9V#. Es la medida de separación con respecto a la medida y, su valor numérico se obtiene con la siguiente fórmula. (5?@ x 45 9@14
(5?5@?45 949@14
No0#. 7e utili!a la +P fórmula, si se conoce la media o si se tienen nmeros enteros y" se utili!a la @P fórmula, si la media no se conoce o si se tienen cifras decimales. D+(*)#2)=9 E(0;9#$. Es la medida de separación con respecto a la media y, su valor numérico es la raí! cuadrada positiva de la varian!a. ((5. I90+$:$+0#2)=9 / Co>:$+9()=9 + ,# D+(*)#2)=9 E(0;9#$. La desviación estándar es una medida de fluctuación CvariabilidadD en los datos, se le #a definido como un valor que se calcula con fórmulas específicas. (ero, )cuál es su significado* Es una especie de &criterio de medición' mediante el cual puede compararse un conunto de datos con otro. Esta medida particular puede ser comprendida meor e$aminando dos enunciados" el 4eorema de 0#ebys#ev y la Regla Empírica. RAP $: Aplicar la regla emp%rica de la distribución normal" teorema de !&ebys&e#" para determinar el comportamiento de la distribución de frecuencias de un conjunto de datos de una población.
T+o$+># + CH+-/(H+* o T2H+-/2H+<<. La proporción de cualquier distribución situada dentro de X desviaciones estándar de la media es, :o$ ,o >+9o( 1@1X 54" en donde X es cualquier nmero positivo mayor que +. Este teorema es aplicable a cualquier distribución de datos.
+F
A0A1E23A 1E 2A4E25460A7 48R9: 2A48469:
6ng. ;.
E, 0+o$+># +(0#-,+2+ %&+ ()+>:$+ H#-$; #, >+9o( &9 K + ,o( #0o( +( +2)$ K o >;(4 +90$o + o( +(*)#2)o9+( +(0;9#$+( + ,# >+)# X54. 5
5
1@1X D1@15 D1@17D67DJ.NK
= K.
R+,# E>:$)2#. 7i una variable está distribuida normalmente, entonces #ay un Q de los datos, apro$imadamente dentro de &9# +(*)#2)=9 +(0;9#$ de la media. (ara o( +(*)#2)o9+( +(0;9#$ #abrá un K de la media. > para 0$+( +(*)#2)o9+( +(0;9#$ de la media #abrá un . de los datos. Esta regla es aplicable específicamente a una distribución normal Cen forma de campana o de aussD, aunque con frecuencia se aplica como guía a cualquier distribución. En caso contrario, el conunto de datos no esta distribuido en forma normal.
A0A1E23A 1E 2A4E25460A7 48R9: 2A48469:
6ng. ;.
Ejemplo.
0alcular las medidas de dispersión para dos desviaciones estándares del primer eemplo Cel de los pesos en libras de los estudiantesD. 5
>
?
<
?@ 4
+ @ F I J H +
+@. ++. +@I. +F-. +. +I@. +J. +-I. +H-. @+.
+ F F J I @ @
@@-+.+JI [email protected] I.FJI +F-.@HJI .JI +H.-+JI -J.JJI +F+F.FFJI @F@J.HJI [email protected]JI +@@IH.FJI
5
( M@.FH" (M+.-@ (M++-.I+@"
5(M+-+.H-"
+@./++-.I+@M+.---" $M+QC+.---DN+@" $M+.J@ +-+.H-/+-.M+.-" $MIQC+.-DN+@" $M.J+ @OFOFOJO-OO+M@H ?514K 2(K
no cumple para ninguno de los dos
Ejercicios.
14 0alcular las medidas de dispersión para dos desviaciones estándares del primer eercicio Cel, de los salarios de los F estudiantesD. (5557 Q6.QK (77.1 5( 9o 2&>:,+ 2o9 9)9&9o + ,o( o(. 54 1eterminar las medidas de dispersión para tres desviaciones estándares del segundo eercicio Cla, de la estatura de los empleadosD. (5.65 (.K 6(5.K 9o 2&>:,+ 2o9 ,# $+,#. 64 1e las @ calificaciones que se indican, construye una tabla que agrupe los datos con un anc#o de clase de H y tra!a las gráficas correspondientes. 0alcula las medidas de tendencia central y la confiabilidad para dos desviaciones estándares.
78 58
76 92
82 66
96 72
76 82
84 62
52 74
78 68
76 88
>K Q K.6K ( 576.1115 (Q.KQQ 65 P7Q 5( 9o 2&>:,+ 2o9 9)9&9o + ,o( o(.
74 86
74 M+)#( + Po()2)=9. Estas medidas sirven para describir la locali!ación de un dato específico en relación con el resto de la muestra. C&#$0),+(. 7on nmeros que dividen a los datos ordenados en cuatro partes iguales" cada conunto de datos tiene tres cuarteles. 97. D+2),+(. 7on nmeros que dividen a los datos ordenados en die! partes iguales" cada conunto de datos tienen nueve deciles. D91. C+90),+( o Po$2+90),+(. 7on nmeros que dividen en cien partes iguales a un conunto de datos ordenados" tal conunto tiene noventa y nueve centiles. CP91. No0#. El primer 1P5K" el 6P5K y" la mediana, el 5 y CK son iguales, es decir, M5CK. (or tanto, utilícese este método para obtener la mediana cuando se trata de encontrar PK o 5. Ejemplo. 0alcular el segundo cuartil, el octavo decil y el F- porcentil, del eemplo
de los pesos en libras de los estudiantes. Además%
#4 )Sué porcentae de los estudiantes pesan más de +J lbs* -4 )Sué porcentae de los pesos debe disminuirse o incrementarse para tener una media de + lbs* 24 )0uántos estudiantes tienen mayor peso, si el @-G de ellos son los más pesados* 4 )Sué porcentae de los estudiantes tienen menor peso, si +J de ellos son los más pesados* Si n = 50
∴ Q= D =
50
=5 ;
10
50 4
= 12.5 ;
Q2 = 2 *
;
(12.5) = 25
D8 = 8 * (5) = 40 ; D8 = 177 lbs.
50 P = 100 = 0.5
; P 3 = 38 * (0.5) = 19 ; P 3 = 137 lbs.
a) 50 → 100
x = 44%
22 → x
Q2 = 154 lbs.
8
8
;
x = 103.15
b) 150.26 → 100 155 → x
∴
3.15% debe incrementa rse .
c) 50 → 100 x → 28
x = 14 estudiante s
;
d ) 17 → x x = 3466% tienen 50 ∴ menor → 100
peso.
Ejercicios.
14 0alcular el tercer cuartil, el séptimo decil y el @- porcentil, del eercicio de los salarios de los F estudiantes. Además% Q3 = 2305 ; D7 = 2100 ; P 28 = 1230 #4 )Sué porcentae de los estudiantes ganan más de T@. a la quincena* 40% -4 )Sué porcentae de los salarios debe disminuirse o incrementarse para tener una media de T+.* 20.35% debe disminuirs e 24 )0uántos estudiantes tienen mayor salario, si el +G de ellos son los que más ganan* 4 estudiante s 4 )Sué porcentae de los estudiantes tienen menor salario, si + de ellos son los que más ganan* 46.67% 54 0alcular el primer cuartil, el se$to decil y el JI porcentil, del eercicio de las estaturas de los empleados. Además% Q1 = 1.58 ; D6 = 1.67 ; P 76 = 1.708 )Sué porcentae de los empleados miden más de +.JI* 12.5% )Sué porcentae de las estaturas debe disminuirse o incrementarse para tener una media de +.IJ* 1.767% debe incrementa rse c) )0uántos empleados tienen mayor estatura, si el @G de ellos son los que más c#aparros* 10 empleados 4 )Sué porcentae de los empleados tienen menor estatura*, si ++ de ellos son los más altos. a) b)
64 0alcular el tercer cuartil, el cuarto decil y el J porcentil, del eercicio de las @ calificaciones. Además% Q3 = 82 ; D4 = 74 ; P 47 = 76
#4 )Sué porcentae de los alumnos tienen más de JI de c alificación* 45% b) )Sué porcentae de las calificaciones debe disminuirse o incrementarse para tener una media de -* 6.17% debe incrementa rse c) )Sué porcentae de los alumnos tienen menor calificación, si nicamente @ de ellos tienen la calificación más alta* 90% son los de menor estatura 4 )Sué porcentae de los alumnos tienen menor calificación*, si J de ellos tienen mayor promedio. 74 8na estación de radar midió en Uilómetros por #ora la velocidad de automóviles en una de las principales calles del 1. =., las velocidades son% F I IF I
IJ I IH
J J@ IJH
I + J -
A0A1E23A 1E 2A4E25460A7 48R9: 2A48469:
F I I
I F I I@
I@ I J I
I H J I I
6ng. ;.
IJ I+ I I+ J
J I@ I+ I -
#4 0onstruye el #istograma, el polígono de frecuencia y la oiva. (ara cinco intervalos de clase. -4 )0uál es la confiabilidad para F desviaciones estándares* 24 )0uál es el valor del segundo cuartil, el cuarto decil y el JF porcentil* 4 )Sué porcentae de los autos debe incrementar o disminuir su velocidad para tener una media de I Vm.N#* K4 Los salarios quincenales, en miles de pesos, de obreros de una fábrica son% +.+H +.@ +.@+ +.@
+.@ +.F +.F +.F
+.FI +.FJ +.FH +.
+.F +. +.J +.-
+. +. +. +.+
+.F +. +. +.-
+.H +.I +.IF +.IF
+.I +.J +.J +.J
+.J +.J +.- +.-
+.H +.H +.H @.J
#4 =orma una distribución de frecuencias cuya cuarta clase sea de +.I a+.J-4 0onstruye el #istograma, el polígono de frecuencia y la oiva. 24 0ompara y decide, si los datos recabados son confiables para dos desviaciones estándares. 4 )0uál es el valor del primer cuartil, el octavo decil y el I- porcentil* +4 7i el @G de los obreros son los que más ganan, )cuántos obreros serán los que perciben menor salario* <4 )Sué porcentae del salario debe incrementarse o disminuirse, para obtener una media de F. mensual* Q4 Los datos siguientes corresponden a la duración real de acumuladores Cbaterías eléctricasD para automóvil. La garantía que ofrece el fabricante es de F aBos y la notación utili!ada, especifica los aBos y los meses, así F%@ quiere decir, que la batería duró F aBos y @ meses. F%@ F%F% @%J
F%+ F%+ %F%-
@%++ F% @%++ F%+
F%@ %+ +%++ F%
F%++ F% %@ F%I
@%@ %+ F%I %I
F% +%J F%+ F%
F% % F% F%J
@%I F%+ F%%
%F%H F%@ @%J
#4 0onstruye una tabla que agrupe los datos en intervalos de I meses. -4 4ra!a el #istograma, el polígono de frecuencias y la oiva 24 0alcula la media y la desviación estándar. 4 )Sué porcentae de los acumuladores duró menos que la gara ntía ofrecida por el fabricante* +4 En un lote de acumuladores que provienen del mismo proceso de fabricación, )cuántos acumuladores crees que duraran menos que la garantía ofrecida por el fabricante* <4 )(or qué crees que el fabricante ofrece una garantía menor que la duración promedio de los acumuladores*
SEGUNDO PERIODO COMPETENCIA PARTICULAR Resuelve problemas referentes a teoría de conuntos, técnicas de conteo y probabilidad, en su ámbito académico, social y global UNIDAD 5. PROBABILIDAD. R+,# + ,# P$o-#-),)#. En un espacio muestral que contiene puntos muéstrales que son igualmente probables de ocurrir" la probabilidad P A4 de un evento A, es la ra!ón del nmero de puntos que satisfacen la definición del evento A" 9A4 con respecto al nmero de puntos muéstrales que #ay en todo el espacio muestral" 9S4. Es decir. n( A ) P ( A) = . n(S ) Ejemplos .
14 7i se lan!an @ dados, )cuál será la probabilidad de que la suma de las caras que quedan #acia arriba sean de% #4 I" -4 H y" 24 ++.
a) P (6) =
5
ó
13.89 %.
36 b) P (9) =
4
=
1
36 9 2 1 = c) P (11) = 36 18
11.11 %.
ó ó
5.56 %.
54 )0uál es la probabilidad de obtener @A y un sol, al lan!ar tres veces una moneda*
n(2 AyS
) = 3;
P (2 AyS ) =
n (S
3
ó
37.50 %.
8
) = 8;
64 8na caa contiene tres canicas" una roa, una blanca y una verde. 1os de ellas se e$traen con reempla!amiento, es decir, una ve! que se #a elegido una canica se observa su color y luego vuelve a introducirse en la caa, las canicas son revueltas antes de e$traer una segunda canica y observar su color. #4 )0uál es la probabilidad de que las canicas e$traídas sea una verde y una blanca*
n(VyB ) = 2
P (VyB ) =
∴
2
ó
22.22%
9
-4 7i no #ay reempla!amiento, )cuál será la probabilidad de que las canicas e$traídas sea una verde y una blanca*
n(VyB ) = 2 ∴
P (VyB ) = 1 = 6
ó
2
3
33.33%
@,
A0A1E23A 1E 2A4E25460A7 48R9: 2A48469:
6ng. ;.
Ejercicios.
14 7e lan!an monedas simultáneamente, )cuál será la probabilidad de que ocurra% #4 @A y -4 al menos @A. S ⇒ a) 37.5% y b) 68.75% 54 1iana tiene F blusas, faldas y @ pantalones que más le gustan. )1e cuántas formas puede combinarse sus vestimentas* S ⇒18 formas. 64 En una caa se tiene igual nmero de canicas a!ules que amarillas y el doble de verdes que de a!ules. 7i se e$trae una canica" #4 )0uál es la probabilidad de que sea amarilla* S ⇒ 25% -4 )0uál es la probabilidad de que sea verde* S ⇒ 50 % 74 4res competidores olímpicos C0orea, 2é$ico y RumaniaD participaron en una prueba de natación. 0orea tiene
5
Rumania, mientras que 2é$ico tiene
2 3
de probabilidad de ganar que de probabilidad que Rumania.
2
0alcula las
probabilidades de S ⇒ C = 50%; M = 30% y R = 20%.
uno de
cada
los
competidores.
K4 7e lan!an dos dados, uno blanco y otro verde, encuentre la probabilidad de alcan!ar un total de% #4 -" -4 ++ y" 24 . 5 1 1 S⇒ ó 13.89 " S ⇒ ó 5.56 y" S ⇒ ó 11.11% %
9
% 36
18
Q4 0omo pitc#er Clan!adorD de las ligas mayores, =ernando
@+
A0A1E23A 1E 2A4E25460A7 48R9: 2A48469:
6ng. ;.
T'29)2#( + Co90+o. Las técnicas de conteo se usan para encontrar el nmero de resultados posibles de que suceda un evento, cuando es difícil controlarlos mediante diagramas de árbol o por ser muy grande el nmero de posibilidades. P$)92):)o F&9#>+90#,. 7i una decisión, operación o acción puede tomarse de 91 formas diferentes y si después que #a sido efectuada, una de estas formas, una segunda decisión puede tomarse de 95 formas distintas, y una tercera acción puede tomarse de 96 formas distintas, entonces el nmero total de acciones o decisiones que puedan formarse será igual a 91?95?96 que es lo que se conoce como Principio Fundamental de Conteo. Ejemplos.
14 8n estudiante tiene que seleccionar una de las cuatro materias optativas" una actividad e$traescolar de entre dan!a, teatro, msica y guitarra, y entre uno de los siguientes idiomas" inglés, francés e italiano. )0uántas maneras distintas tiene que escoger*
(4)(4)(3) = 48 maneras diferentes . 14 8na placa de automóvil en el 1. =., consta de cuatro dígitos y tres letras. #4 )0uántas placas se pueden #acer sin restricción* -4 7i la primera letra puede ser A, W, 0, 1, E, = y el primer dígito diferente de cero. 24 )0uántas, si letras y nmeros deben ser diferentes y la primera letra sólo puede ser la A* díitos
letras
a) (10 )(10 )(10 )(10 )
(26 )(26 )(26 ) ⇒ 175760000 b) (9 )(10)(10)(10) (6)(26 )(26 ) ⇒ 36504000 c) (10 )(9 )(8 )(7 ) (1)(25)(24 ) ⇒ 3024000
placas diferentes .
placas diferentes . placas diferentes .
54 0alcula el nmero posible de resultados en partidos que puede #aber al llenar una boleta de pronósticos deportivos, si #ay trece partidos y en cada uno #ay tres opciones de ganar, empatar o perder. 13
nt = (3)(3)(3)(3)(3)(3)(3)(3)(3)(3)(3)(3)(3) = 3 = 1594323 opciones .
@@
A0A1E23A 1E 2A4E25460A7 48R9: 2A48469:
6ng. ;.
Ejercicios.
14 En un restaurante se puede servir cinco diferentes sopas, siete diferentes guisados y cuatro diferentes bebidas. )1e cuántas maneras puede servirse el men* S ⇒ 140 . 54 8na persona tiene tres pantalones diferentes, dos camisas diferentes y dos pares de !apatos distintos. )1e cuántas maneras se puede vestir* S ⇒ 12 . 64 Las placas de los automóviles que circulan constan de tres letras diferentes, seguidas de tres dígitos distintos, de los cuales el primer nmero no debe ser cero Cno se repite ninguna letra ni un nmeroD. )0uántas placas diferentes se pueden fabricar* y )0uántas se repiten* S ⇒ 11372400 y 17714700 . 74 7i se tiene en el librero dos libros de matemáticas distintos, dos de física diferentes y dos de química diferentes, )de cuántas formas se pueden arreglar estos libros en el estante, considerando que deben quedar las dos de la misma materia untas* S ⇒ 48. No0#2)=9 F#20o$)#,. 7e define al factorial de un nmero al resultado de multiplicar ese nmero por todos los nmeros enteros positivos menores que dic#o nmero y se denota por n!= n(n − 1)(n − 2).....3.2.1 y se define al XM+. Ejemplos. 0alcular yNo simplificar las siguientes e$presiones.
a)
18!
=
18.17.16! b)
= 306. 16!
c
16!
n! )
(n
− 3)!
=
6! 14!
n(n − 1)(n − 2 )(n − 3)!
=
6!
1
=
14.13.12.11.10.9.8.7.6!
.
121080960
= n(n − 1)(n − 2 ) = n − 3n + 2n. 3
2
(n − 3)!
A9;,)()( Co>-)9#0o$)o. :rientado al estudio de las probabilidades, el análisis combinatorio o análisis del nmero de formas en las que pueden presentarse los resultados de un proceso, ayuda a cuantificar la probabilidad de que ocurra un resultado en particular. > tiene como elementos fundamentales las (ermutaciones y las 0ombinaciones. P+$>&0#2)o9+(. 8na permutación es una forma en la que pueden presentarse los obetos o eventos, y en la cual el orden de aparición es muy importante. Permutacio nes de"n"ob!etos tomados de"r "en"r ". =n P r
=
n!
(n − r . )!
En donde" 9 es el nmero total de obetos o eventos y, $ el nmero de obetos que se desea considerar y puede ser desde 1 #asta 9.
@F
A0A1E23A 1E 2A4E25460A7 48R9: 2A48469:
6ng. ;.
Ejemplos.
14 Los tres dígitos @, y - pueden formar los nmeros @-, @-, @-, -@, -@ y -@. 0ada uno de ellos es una permutación de los dígitos @, y -, y reflea valores muy importantes entre sí. 54 Las letras A, <, E" forman% A
P$)>+$o. (ermutar algunos obetos de todos diferentes. (e. En una caa #ay canicas CA!ul, Wlanca,
p2 =
4!
(4 − 2)!
= 4.3.2!
= 12.
2!
S+&9o. (ermutar todos los obetos, de todos diferentes. (e. En una caa #ay un billete de T+., otro de T. y uno más de T@.. 4res personas van a tomar cada una un billete, sin ver. 1etermine las formas en que pueden distribuirse los billetes. p3 =
3
3!
(3 − 3)!
= 3.2.1 = 6. ! 1!
@
A0A1E23A 1E 2A4E25460A7 48R9: 2A48469:
6ng. ;.
T+$2+$o.
(ermutar
todos
"ormas " = (# + # + ... + # )! 2 1 . n
los
obetos,
de
algunos
repetidos.
(e. En una caa #ay @ canicas a!ules y verdes.
# 1!# 2 !.....# n !
7i se e$traen una por una de la caa, )en qué orden pueden aparecer*
(2 + 5)!
" =
= 504 0 2! 5! 240
= 21.
C&#$0o. (ermutar algunos obetos, de algunos repetidos. 9o e$iste una fórmula fácil para determinar el nmero de permutaciones cuando se toman algunos obetos de un conunto que contiene varios artículos iguales entre sí. (e. En una caa #ay @ canicas a!ules y verdes. 7i se e$traen de ellas de la caa, )en qué orden pueden aparecer*
&)90o. (ermutar con reempla!o. Esto es cuando el nmero de obetos sea limitado, pero el nmero de veces que se presenten sea infinito, (e., cuando los obetos seleccionados pueden ser elegidos de nuevo. En las permutaciones anteriores, el nmero de obetos estaba perfectamente definido C canicas, F billetes, etc.D. La diferencia entre una y otra se conoce como reempla!o. m "ormas = n . (e. Los resultados posibles de un uego son perder o ganar. 7i se uegan uegos, )cuáles son los resultados posibles* Lista ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( m
4
"ormas = n = 2 = 16.
@A
A0A1E23A 1E 2A4E25460A7 48R9: 2A48469:
6ng. ;.
S+?0o. (ermutar con Repetición. 0on frecuencia se encuentran conuntos de obetos iguales, si queremos saber el nmero de permutaciones, la fórmula esta dada por. n! P = n !n !n !...n ; donde ! n1 1
2
3
son iuales , n2
son iuales , ... , son iuales. nr
r
(e. )0uántas palabras diferentes se pueden formar con la palabra &E74A137460A'* 11! P = 2!2!2!2! = 2 494 800.
S':0)>o. (ermutación 0ircular. 4oda permutación de &n' obetos en la que el sucesor del ltimo es el primero, se llama permutaciones circulares y está dada por la e$presión. P = (n (e. )1e cuántas maneras se puede acomodar − 1)!
doce personas en una mesa circular* P = (12 − 1)!= 39 916800.
Ejercicios.
14 0alcular yNo simplificar las siguientes e$presiones. a)
14! .
S ⇒ 17297280;
7!
b)
15! .
1
S ⇒
18!
;
d
) 4896
x
x
n −2
c)
−
(n − r
( 2
2) !
.
+
1) ;
)(
1
)(
)( +
− r
1
S⇒
n
+2
(n − r + 2 )!
! .
x
.
4n+2
! e )
y
2n+3
!
−
14 n
y
. S
.
⇒ y
2 n−4
!
54 La mesa directiva Cpresidente, secretario y tesoreroD de una asociación va a elegir de entre candidatos, identificados con las letras A, W, 0, 1 y 1. 7uponga que cualquiera de ellos es apto para cualquier puesto y determine el nmero de formas diferentes en que puede quedar integrada la mesa directiva. S ⇒ 60. 64 En una caa #ay canicas CA!ul, Wlanca,
96! .
9 1
!
S⇒7 334 887 27! 680; 25! . b) (n S ⇒ (n + 2)(n + 1)(n); d + 2 )! c) ) (n . − 1)!
S ⇒ 702;
(n
S⇒
− 2 )!
(n + 3)!
1
.
(n + 3)(n + 2)(n + 1)(n)(n − 1)
.
@I
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6ng. ;.
Q4 7i @ corredores compiten en una carrera de Um., )cuántos competentes se pueden ganar los F primeros premios* S ⇒ 13800. palabras diferentes se 4 )0uántas &78(ER74606:7:'* S ⇒ 259 459 200.
pueden
formar con
la
palabra
4 7e tienen I eemplares de un libro y - de otro. Kalle el nmero total de formas distintas en que pueden arreglarse todos en un librero. S ⇒ 3003. 4 En un !oológico se e$#ibirán en - aulas leones numerados del + al y F tigres numerados del + al F. #4 )1e cuántas formas diferentes pueden colocarse* S ⇒ 40320. -4 7i los tigres deben estar en aulas contiguas, )de cuántas formas podrán e$#ibirse los leones y los tigres* S ⇒ 720. 14 Encuentre el nmero de seBales diferentes que se pueden #acer con banderas verdes, @ a!ules y + blanca, si todas son del mismo tamaBo y tomamos todas a la ve!. S ⇒ 105. Co>-)9#2)o9+(. 8na combinación es una forma en la que pueden presentarse los obetos o eventos, y en la cual el orden de aparición no importa. (e, la multiplicación de los dígitos @, y - puede #acerse de muc#as formas diferentes. @QQ-, @Q-Q, Q@Q-, etc., pero en todos los casos el resultado será el mismo. Permutacio nes de "n"ob!etos tomados de "r "en "r ".=n C r
=
n! r !*(n − r . )!
En donde" 9 es el nmero total de obetos o eventos y, $ el nmero de obetos que se desea considerar.
No0#. (ara cualquier parea de nmeros enteros positivos &n' y &r', e$ceptuando rM+. El nmero de permutaciones es mayor que el nmero de combinaciones. Ejemplos.
14 Kay un grupo de cinco personas, las que pueden identificarse con las letras A, W, 0, 1 y E. 1e ellas se van a seleccionar tres para una misión especial. )1e cuántas formas diferentes se pueden seleccionar las tres personas* 5! = 5.4.3! = 10. C = 5 3 3! (5 − 3 ! 3!2
@J
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6ng. ;.
LISTA BBBCCDCCDD A C AAAAABBBC DEDEEDEEE
54 8na preselección de ftbol está formada por @ ugadores. )1e cuántas formas diferentes puede el entrenador integrar un equipo de ++ ugadores*
25
C 11 =
25!
=
5.23.2.19.2.17.2.15.14! 25.24.23.22.21.20.19.18.17.16.15.14! = 4 457 400. = 11.10.9.8.7.6.5.4.3.2.14! 14!
11!(25 −11 !
64 0alcular la probabilidad de obtener en una mano de naipes, tomados de una baraa de @ cartas. 52!
26.17.10.49.12.47! = 52.51.50.49.48.47! = 2 598 960. = 5! (52 − 5 ! 5.4.3.2.47! 47! 13! = 1 287. = 13.12.11.10.9.8! 13.11.9.8! C = 13 5 5! (13 − 5 ! 8! = 5.4.3.2.8! 52 C 5 =
P (5 $ ) =
13
C 5
1 287 = 4.95 % 10 −4 = 0.0005 ó 0.05% C = 52 5 2 598 960
M&,0):,)2#2)=9 + Co>-)9#2)o9+(. Esto sucede en las combinaciones y es una forma de lo más comn, en la cual es necesario multiplicar los resultados parciales de dos o más combinaciones. (e. 74 1e un total de #ombres y mueres se va a formar un comité de F #ombres y @ mueres. )1e cuántas formas puede quedar integrado* 5 C 3 =
=
5!
( 3! 5 − 3 !
5.4. 3 = 10 ! . 2.3!
4 C 2 =
4!
4.3.2 = = 6 "ormas = (10 )(6) = 60. 2!( 4 − 2 ! ! . 2.2!
@-
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6ng. ;.
Ejercicios.
14 En una bolsa #ay seis monedas, marcadas con los nmeros +, @, F, , y I se van a tomar al a!ar cuatro monedas. )1e cuántas formas diferentes se pueden tomar las monedas* S ⇒ 15. 54 En un eército #ay @ soldados, y de ellos se van a seleccionar + para una misión especial. )1e cuántas formas diferentes se pueden seleccionar los + soldados* S ⇒ 1.0601 x10270. 64 En una caa #ay FH esferas, marcadas con los nmeros del + al FH. 7i se toman al a!ar I esferas, )de cuántas formas diferentes pueden resultar" #4 si se considera el orden de aparición* S ⇒ 2 349 088 560. -4 si no se considera el orden de aparición* S ⇒ 3 262 623. 74 1e una lista de @ donadores de sangre, #ay + individuos de tipo &W', si de esta lista F de ellos se eligen al a!ar, )cuál es la probabilidad de que" #4 Los tres sean de tipo &W'* S ⇒ 39.91%. -4 1os sean de tipo &W' y uno no lo sea* S ⇒ 46.05%. 24 Al menos uno de ellos sea de tipo &W'* S ⇒ 99.12%. K4 En una caa se tienen + focos, de los cuales I están fundidos. 7i se e$traen F focos al a!ar, )cuál es la probabilidad de que por lo menos uno de ellos este fundido* S ⇒ 81.53%. Q4 8na caa con @ refacciones automotrices, contiene @ en buen estado. 7i se toman refacciones al a!ar, )cuál es la probabilidad de que" #4 Ystas sean buenas refacciones* S ⇒ 38.3%. -4 4odas resulten defectuosas* S ⇒ 0.0395%. 24 F sean buenas y una mala* S ⇒ 45.05%. 4 @ por lo menos sean buenas* S ⇒ 98.35%. 4 En la estación (ino 7uáre! del metro, después de descender los pasaeros, quedan cuatro asientos vacíos. 7í por la puerta más pró$ima entran +H personas, )de cuántas formas distintas pueden ser ocupados los asientos* S ⇒ 3 876. 8)En
un e$amen de E. 4. 7., incluye un total de siete preguntas. 7i se deben responder sólo cinco, )cuántas formas distintas #ay de resolver el e$amen* S ⇒ 21.
@H
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6ng. ;.
P$o-#-),)#+( S&-+0)*#(. Esto sucede cuando el nico método disponible para asignar probabilidades es el uicio personal y la precisión de éstos depende de la #abilidad individual para valorar correctamente una situación. E*+90o( M&0&#>+90+ E?2,&/+90+(. 7on eventos definidos de manera que la ocurrencia de uno imposibilita la ocurrencia de los demás Csi alguno de ellos sucede, los restantes no pueden sucederD.
Eventos que no son mutuamente E$cluyentes
Eventos mutuamente e$cluyentes
No0#. 1ecir (CA y WD, es decir (CA ∩ WD y" decir (CA o WD, es decir (CA ∪ WD. R+,# + ,# A)2)=9. Es la (robabilidad 0ompuesta (CA o WD" en donde A y W son eventos mutuamente e$cluyentes y se aplica la siguiente regla. (ero, si los eventos A y W no son mutuamente e$cluyentes P ( A o B ) = P ( A) + P ( B ).
se aplica la siguiente regla general.
P ( A o B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A ∩ B ).
Ejemplos.
14 7e lan!an dos dados y se definen tres eventos% A es la suma de los nmeros en los dados igual a J" B es la suma de los nmeros en los dados igual a + y" C cada dado muestra el mismo nmero. #4 )cómo son los eventos A y W" W y 0 y" A y 0* -4 )cuál es la probabilidad del evento A, W y 0* 24 )cuál es la probabilidad de A o W* 4 )cuál es la probabilidad de W o 0*
A0A1E23A 1E 2A4E25460A7 48R9: 2A48469:
6ng. ;.
#4 A y W son eventos mutuamente e$cluyentes" W y 0 no son eventos mutuamente e$cluyentes y" A y 0 son eventos mutuamente e$cluyentes.
n(S
-4
n( A) = 6;
) = 36;
n( B)
P ( B ) =
n(S )
n( B) = 3
3
P ( A) =
n(C
y;
n(S )
) = 6. n(C y P (C ) = ) 6
1
= = = 8.3 36 12 %
=
1
6 1 = = = 16.67% 36 6
= 16.67%
6
=
n(S )
n ( A)
36
1 6 3 9 = = 25% 36 + 36 = 36 4
P ( A o B ) = P ( A ) + P ( B ) =
2 P ( B o C ) = P ( B ) + P (C ) − P ( B ∩ C 3 6 1 8 = = 22.22% 36 + 36 − 36 = 36 9 )=
54 En el grupo I62I, - mueres y I #ombres son estudiantes de tiempo completo y" @ #ombres y mueres son de tiempo parcial. 7i se selecciona un alumno aleatoriamente, en la cual, el evento A es el alumno elegido de tiempo completo y, W el alumno seleccionado de tiempo parcial y además es #ombre. #4 )cuál es la probabilidad de los eventos A o W* -4 )cuál es la probabilidad de que el alumno sea muer o de tiempo completo* 46E2(: 0:2(LE4: - I +
28;ERE7 K:2WRE7 4:4AL n( A) = 14 0;
n(S
) = 200; P ( A) =
n ( A)
=
140
=
n( B) = 20 ;
n( M
n(&C
) = 120;
) = 140
7
P ( B) = 0
= 70%;
46E2(: (AR06AL @ I
n( B)
=
2 =
1
y;
4:4AL +@ - @
n( M y &C ) = 80.
= 10%;
n(S )
n(S )
P ( M )
200 10 6 n( M ) 120 = = =
= 60%;
P (&C ) =
200 n(&C )
=
10 140
=
7
= 70%
y; P ( M y &C ) = ) 80 =
n( M y &C
=
4
= 40%.
n(S )
n(S )
200
n(S )
10
200
10
200
10
#4
A y B son e'entos mutuamente excluyente s, por tan to 7 1 8 = 80% P ( A o B ) = P ( A) + P ( B ) = + = 10 10 10
M y &C no son e'entos mutuamente excluyente s, por tan to
-4
P ( M o &C ) = P ( M ) + P (&C
) − P ( M
4 9 y &C 6 7 + 10 − 10 = )= 10 10
= 90%
Ejercicios.
14 7e lan!a un dado blanco y otro verde. #4 Kallar la probabilidad de que el dado blanco sea un nmer o menor que F, o bien que la suma de los dados sea mayor que H. S ⇒ 50%. -4 )cuál es la probabilidad de que los dados sumen + u ++, o bien que los dados sean nmeros dobles* S ⇒ 27.78%. 54 1e la siguiente tabla, determine lo que se indica. DÍA
AMANECER NUBLADO SOLEADO SUBTOTAL
LLUVIOSO 44 29
SECO 95 197
SUBTOTAL
#4 )cuál es la probabilidad de que llueva un día cualquiera* S ⇒ 20%. -4 Kallar la probabilidad de que un día cualquiera éste soleado al S ⇒ 53.97%. amanecer y seco durante el día. 24 )cuál es la probabilidad de que un día cualquiera este nublado o soleado lluvioso* S ⇒ 46.03%. 4 )cuál es la probabilidad de que un día cualquiera este nublado al S ⇒ 46.03%. amanecer o lluvioso durante el día* 64 Los empleados del 0E0y4 9o. ++ &?2' fueron clasificados de acuerdo con su edad y adscripción a la administración, cuerpo docente y personal e apoyo. GRUPO DE EDADES EN AÑOS TOTAL ADSCRIPCIN
@/F
F+/
+/
+ : 257
A1269674RA06Z9
@
@
+I
@
R8(: 1:0E94E
+
FI
@-
(ER7:9AL 1E A(:>:
+I
@
+
+J
4:4AL
0onsiderando que se selecciona un empleado en forma aleatoria, obtenga la probabilidad de que el elegido% #4 Este en la administración o tenga + o más aBos. -4 9o sea miembro del cuerpo docente. 24 7ea miembro del cuerpo docente dado que el individuo tiene + o más aBos.
74 7e lan!an dos dados, en donde A y F denotan los eventos de alcan!ar una puntuación de J y ++, respectivamente. S ⇒ 22.22%. #4 )0uál es la probabilidad de alcan!ar un total de J u ++* -4 )0uál es la probabilidad de obtener un total de al menos + puntos al
tirar los dos dados*
S ⇒ 16.67%.
24 )0uál es la probabilidad de que al tirar los dos dados la suma total de puntos mostrados sea e$actamente J siempre y cuando los dados muestren por lo menos tres puntos cada uno* S ⇒ 12.50%. COMPETENCIA PARTICULAR Emplea distribuciones de probabilidad en la solución de problemas en los ámbitos académico, social y global. UNIDAD 6. PROBABILIDAD CONDICIONAL. P$o-#-),)# Co9)2)o9#,. El símbolo PAB4 representa la probabilidad de que ocurra A, dado que B ya #a ocurrido. (or lo tanto, los eventos A y B son independientes si% PAB4PA4 o si PBA4PB4, y" la probabilidad condicional P ( A ∩ B ) P ( A / B ) = ; en caso de ser dependientes. P ( B)
E*+90o( I9+:+9)+90+(. 1os eventos A y B son independientes si la ocurrencia o no ocurrencia de uno no afecta la probabilidad asignada a la ocurrencia del otro. La independencia es la propiedad necesaria para multiplicar probabilidades. (or lo tanto, si los eventos son independientes. P ( AyB ) = P ( A ∩ B ) = P ( A)* P ( B ).
> si los eventos no son independientes Ces decir, son dependientesD. P ( AyB) = P ( A ∩ B) = P ( A) * P ( B / A)
y / o
P ( ByA) = P ( B ∩ A) = P ( B ) * P ( A / B ).
No0#. E$isten varios casos cuyo resultado es el evento compuesto “/”, algunos de los más comunes son% #4 A seguido por B. -4 A y B ocurrieron simultáneamente. 24 4anto A como B. 4 A pero no B, equivalente a A y no B. Ejemplos.
14 7e lan!an un dado, el evento A indica si ocurre un 7 y el evento B si ocurre un par. #4 )0ómo son los eventos A y B* -4 )0uál es la probabilidad condicional de PAB4*
FF
A0A1E23A 1E 1E 2A4E25460A7 2A4E25460A7 48R9: 48R9: 2A48469: 2A48469:
6ng. ;.
Dado Dado ⇒ 1, 2, 3, 4, 5, 6 a)
n( A) = 1;
n( B ) = 3;
n( S ) = 6
los e'entos son dependient es. es . P ( A ∩ B ) =
n ( A) n( S )
P ( B) =
n ( B ) n( S )
=
3
6
=
1
; b) P ( A / B) =
2
P ( A ∩ B) P ( B)
=
1
;
6
1 (1)(6) 1 =6= = = 33.33% 3 (6)(3) 3 6
54 En una fábrica de enlatados, las líneas de ensamble 6, 66 y 666 representan el , F y @ G de la producción total. 7i se sella inadecuadamente . G de las latas de la línea de ensamble 6 y, .I y +.@ G de las líneas de ensamble 66 y 666. )0uál es la probabilidad de que% #4 8na lata producida en esta fábrica de conservas éste mal sellada* -4 8na lata mal sellada provenga de la línea de ensamble 6*
64 8na fábrica de lapiceros logra una producción de sólo el + G de defectuosos. )0uál es la probabilidad de tomar dos lapiceros al a!ar y que éstos sean% #4 1, 1" -4 1, W" 24 W, W*
F
A0A1E23A 1E 1E 2A4E25460A7 2A4E25460A7 48R9: 48R9: 2A48469: 2A48469:
6ng. ;.
Ejercicios.
14 7uponga que el -G de los compradores de automóviles usados son personas solventes. 7upóngase además que #ay una probabilidad del JG de que un individuo solvente sea portador de una tareta de crédito, pero que esta probabilidad es de sólo el G para una persona no solvente. 0alcular la probabilidad de que% #4 8n comprador elegido al a!ar tenga tareta de crédito.
S ⇒ 64%.
-4 8n comprador elegido al a!ar que tenga tareta de crédito sea una persona solvente. S ⇒ 87.50%. 24 8n comprador elegido al a!ar que no tenga tareta de crédito sea solvente. S ⇒ 66.50%. 54 8na persona normalmente sale de vacaciones a 2orelia el @G, el FG de las veces a
S ⇒ 26.37%. S ⇒ 2.20%.
S ⇒ 49.45%. S ⇒ 75.82%.
74 )0uál es la probabilidad de obtener dos bolas roas en dos e$tracciones consecutivas de una caa que tenga tres bolas roas, dos negras y una verde. 7uponiendo que la primera bola bola e$traída no se regresa a la caa antes de #acer la segunda e$tracción* S ⇒ 20.00%. K4 abriela tiene blusas, F faldas y pantalones. #4 )cuál es la probabilidad de que se ponga una blusa y un pantalón* S ⇒ 29.10%.
-4 )cuál es la probabilidad de que elia una blusa y una falda*
S ⇒ 21.80%.
Q4 8n aparato para probar circuitos de radio siempre detecta un circuito defectuoso, pero en el @G de las veces que indica que un circuito es malo se tiene que, en verdad, el circuito está en buen estado. 7i el HJG de los circuitos fabricados son buenos, )qué probabilidad #ay de que un circuito nuevo elegido al FA
A0A1E23A 1E 1E 2A4E25460A7 2A4E25460A7 48R9: 48R9: 2A48469: 2A48469:
6ng. ;.
a!ar y seBalado como defectuoso por el aparato detector sea en realidad un circuito en buenas condiciones* S ⇒ 39.75%. T+o$+># + B#/+(. 4#omas Wayes C2atemático ingles, +J@/+JI+D desarrollo una fórmula que puede simplificar el cálculo de las probabilidades condicionales. La fórmula de Wayes, en su forma más sencilla, permite calcular la probabilidad de que ocurra el evento B, si se sabe que ya ocurrió el evento A, esto es, PBA4. (ara ello se requiere conocer la probabilidad simple de que ocurra el evento A, o sea PA4" la probabilidad simple de que ocurra el evento B, es decir, PB4 y" la probabilidad de que ocurra el evento A, si se sabe que ya ocurrió el evento B, o sea, PAB4. (or lo tanto. P ( B / A) =
P ( A / B ) * P ( B ) P ( A)
.
Ejemplos .
14 El .@IG de los automóviles de un estacionamiento son de puertas, los automóviles blancos son el @+.@JG del total y, los automóviles de cuatro puertas escogidos de entre los blancos son el H.JJG. 1etermine el porcentae de los autos blancos escogidos de entre los de cuatro puertas. A ⇒ autos con 4 puertas 55.26% B ⇒ autos blan s 21.27%
de los blan s 59.77%
A / B ⇒ autos de 4 puertas escoidos P ( B / A) =
P ( A / B )* P ( B ) P ( A)
=
(0.5977 )* (0.2127 ) (0.5526 )
= 0.2301 ó 23.01%
54 8na fábrica produce lámparas eléctricas. En promedio, el @G de ellas tiene algn defecto. Antes de ser empacadas se revisa cada pie!a. El inspector clasifica erróneamente las lámparas el +G de los casos, es decir" pCsea clasificada erróneamenteNla lámpara buenaDMpCsea clasificada como buenoNla lámpara con algn defectoDM+G #4 )qué proporción de las lámparas será clasificada en buen estado* -4 A#ora, supóngase que solo se empacan las lámparas que pasan la inspección, los que no la pasan son destruidas, )cuál es la calidad de las lámparas empacadas*
FI
A0A1E23A 1E 2A4E25460A7 48R9: 2A48469:
6ng. ;.
Ejercicios.
14 La máquina A de una fábrica de alfileres produce el -G de la producción, mientras que la máquina B produce el resto. La máquina A produce el @G de alfileres defectuosos, en tanto que la máquina B el G. )0uál es la probabilidad de que, al tomar al a!ar un alfiler" #4 Yste sea defectuoso* S ⇒ 2.84%. -4 Yste sea defectuoso y provenga de la máquina B* S ⇒ 59.15%. 54 8na caa contiene I billetes de T@., F de T% y + de T+., determine la probabilidad de que, al e$traer al a!ar" S ⇒ 10%. #4 uno de éstos, éste sea de T+., -4 uno de éstos, éste sea de T. ó T+. y, S ⇒ 40%. 24 dos de estos, ambos sean de T@.. S ⇒ 33.33%. 64 7e tiene dos urnas" la urna + tiene ++ pelotas, - verdes y F blancas" la urna @ tiene H pelotas, J verdes y @ blancas. #4 0alcular la probabilidad de sacar una pelota verde de la urna +. S ⇒ 36.36%.
-4 Kallar la probabilidad de sacar una pelota verde. S ⇒ 75.25%. 24 7uponga que una persona ya saco una pelota verde, )cuál es la probabilidad de que proceda de la urna @* S ⇒ 51.68%. 74 En la ?2 el FG de los alumnos son de + er semestre, el @ del tercero y cuarto, del total de los primeros cuatro semestres. El HG del primer semestre cursan matemáticas, el JG del segundo, el G del tercero y solamente el FG del cuarto semestre. 7i se escoge al a!ar un alumno y éste cursa matemáticas, )cuál es la probabilidad de que sea de segundo semestre* S ⇒ 26.92%.
FJ
A0A1E23A 1E 2A4E25460A7 48R9: 2A48469:
6ng. ;.
TERCER PERIODO UNIDAD 6 DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD. RAP1. Aplicar las distribuciones de probabilidad de variables aleatorias discretas para predecir resultados en una población, en el contexto de la resolución de problemas en diversas áreas del conocimiento
E7(ERA9[A 2A4E25460A. 0on frecuencia es conveniente calcular el promedio de los resultados de un proceso o e$perimento, ponderado por la probabilidad de que suceda cada uno de los resultados posibles. A este promedio se le conoce como &Esperan!a 2atemática' y permite entre otras cosas, comparar dos o más alternativas. La esperan!a matemática es un concepto que se emplea muc#o en la teoría de decisiones, en la ciencia de la administración, en el análisis de sistemas, en la teoría de uegos y en otros muc#os campos intelectuales. $M = ∑ (cada e'ento por
probabilid ad ).
su n
Ejemplos .
$M = ∑ ( xi P i
). i=1
14 )Sué es meor" una probabilidad de .+ de ganar un contrato de TF, . o una probabilidad de .@ de ganar un contrato de T@, .* E2+MC.+DCF DM TF . E2@MC.@DC@ DM T . 'ol. ( )a segunda oferta.
54 En un sorteo se ofrecerán I premios" uno de T+ ., dos de T . y, F de TF ." suponiendo que se distribuyen los mil boletos del sorteo y sin considerar gastos de administración u otros, )cuánto debe costar el boleto para cubrir el costo de los premios* CB()*+*,,-,,,./+0,-,,,.1+1,-,,,23*,,, CB(4/5,6,,
No0# observa que la E2 es, en este caso, el costo unitario de los premios por cada boleto. A0A1E23A 1E 2A4E25460A7 48R9: 2A48469:
6ng. ;.
64 8na caa contiene + lapiceros, de ellos F son defectuosos. 7e e$trae una muestra de F de ellos al a!ar, si se tiene la variable aleatoria ? al nmero de defectuosos e$traídos . Elaborar una tabla de distribución de probabilidad Ccon la acumuladaD y calcular el valor esperado y la desviación estándar. 9S4 1C615 +*+90o(
?S4 1 5 /
6 0):o( + +*+90o( --- -- - / . 6C C6146K46K 1 6C1 C564514Q6 6C5 C164451 6C6 C14141 T#-,# + D)(0$)-&2)=9 + :$o-#-),)# ? + @ F
P?)4 FN+@M.@H IFN+@M.@ @+N+@M.++N+@M.+
?) P?)4 Q.@HM +Q.@M.@ @Q.+-M.FI FQ.+M.F .H+
E?4 .1" es decir, en + veces se espera un H+ defectuosos. (ara calcular la desviación estándar y varian!a, se toma la EC$D como la media" por tanto.
?)@E?4 /.H+ .H +.H @.H S5
?)@E?4 4 .-@-+ .-+ +.+--+ .FI-+ (
P?4 ?)@E?4 4 .-@-+Q.@HM.@+ .-+Q.@M.@ +.+--+Q.+-M.@+FH .FI-+Q.+M.FJ .+H .
Ejercicios.
14 8na caa contiene I billetes de T@., F de T. y + de T+.. 1eterminar la esperan!a matemática, al e$traer al a!ar un billete. S [ 6. 54 8n analista #a calculado los montos probables de ventas de una empresa, así como la confian!a que tiene de que se presenten dic#os montos. 1etermine el monto de ventas que puede esperar dic#a empresa. S [ \ Q.
M!"#! $%" &'(%) *% +%)!), C!"-"/ $,
680 17
750 28
820 45
950 10
FD 8n agricultor #a estimado el tonelae de maí! que espera cosec#ar de su cultivo, así como la probabilidad de que ocurra cada una de sus estimaciones. 1etermine el tonelae más probable que el agricultor cosec#e de su tierra. S [ 15 D La papelería de la ?2 adquiere cada aBo @ libretas. 7i los precios por pie!a, en cuatro aBos sucesivos fueron T+.-, T@+., T@J. y T@. #4 )cuál es el precio promedio que #a pagado la papelería por libreta* S [ \51.K -4 El 0AE dispone de un partida fia de T . para la compra anual de las libretas. )0uál es el precio promedio que #a pagado en los mismos cuatro aBos*, y )cuánto es la ganancia o la perdida* S [ \K7 K. / P\17 K.
K4 8n ugador lan!a dos monedas, gana T-. si caen dos águilas, T. si cae un águila, pero pierde TF. si no cae ninguna águila. Kallar la ganancia o la perdida. S [ G\6K. ID 7e #a determinado que el proyecto &A' tiene los siguientes resultados posibles, así como las probabilidades de que ocurran cada uno de ellos.
R%)(#*! $%" &'((!"%) *% +%)!), P!'('** $,
G" 50 15
G" 30 45
G" 10 15
G" 70 25
En tanto, que el proyecto &W' puede dar como resultado lo siguiente.
R%)(#*! $%" G" &'((!"%) *% +%)!), P!'('** $, 90 10
G" 50 25
G" 20 15
G" 10 15
G" 70 19
0alcule la Esperan!a 2atemática de cada puno de los proyectos y recomiende el meor. S [ A\7 . B\6 6 . :o$ 0#90o +, >+o$ +( +, :$o/+20o “A”.
RAP5. Aplicar las distribuciones Binomial y de Poisson para predecir resultados en una población, en el contexto de la resolución de problemas.
1674R6W806Z9 W69:26AL La distribución binomial fue planteada por el matemático sui!o ;aUob 6. Wernoulli C+I/+JD, es la más sencilla de todas las distribuciones, pues sólo estudia procesos en las cuales los resultados posibles son sólo dos% tienen probabilidades constantes, y son independientes entre sí. P ( x) =
n! x!
(n − x )!
x
p 7 n− x .
En donde% P?4 es la probabilidad de que sucedan e$actamente ? é$itos, en un total de 9 intentos" ? es el nmero de é$itos deseado" 9 es el nmero de veces que se reali!a la operación" : es la probabilidad de obtener un é$ito" % es la probabilidad de obtener un fracaso. Ejemplos.
14 8na fábrica produce lapiceros con @.G de defectuosos. 7i se toma una muestra de @ lapiceros, )cuál es la probabilidad de encontrar F ó más defectuosos. n = 200;
p = 2.5%;
200! P (0) =
P (2) =
0
0!200!
200!
P ( x) = 1 − P (0, 1 y
7 = 97.5%; x = 3 ó m8s; 200
2);
(0.025) (0.975)
P (1)
= 0.0060;
=
(0.025)2 (0.975)198
= 0.0827; 2!198!
P ( x) =
200!
1
199
(0.025) (0.975)
n! p x!(n − x )!
x
= 0.0324;
1!199!
P ( x) = 1
P ( x) = 0.8789 ó 87.89%
− 0.1211;
54 )0uál es la probabilidad de obtener F veces el nmero , en + lan!amientos de un dado de I caras*
7
n − x
.
+
A0A1E23A 1E 2A4E25460A7 48R9: 2A48469:
6ng. ;.
n = 10;
1
p(5) =
5
7=
x = 3;
;
;
x
p x!(n − x )!
6
6
n!
P ( x) =
7
n − x
.
10! 3 7 P (3) = (0.167) (0.833) = 0.1550 ó 15.50%. 3!7!
64 8n beisbolista tiene un promedio de bateo del @G, )cuál es la probabilidad de que batee @ #its en cinco turnos al bat* n = 5;
p = 20%;
7 = 80%; x = 2; P ( x) =
P (2) = 5! 2! 3!
2
3
(0.20) (0.80)
n! x!
x
(n − x )! p 7
n − x
.
= 0.2048 ó 20.48%.
74 El gerente de un supermercado garanti!a que ninguna de sus caas con +@ #uevos contiene más de uno en mal estado, en caso contrario, él repondrá la docena y regalará la caa original al cliente. La probabilidad de que un #uevo en particular este descompuesto es del G. )0uál es la probabilidad de que el gerente tenga que reponer una caa de #uevos* n = 12;
p = 5%;
7 = 95%; x = m8s de 1;
12! (0.05)0 (0.95)12 P (0) =
0! 12!
P ( x) = 1
− 0.8817;
= 0.5404;
P ( x) = 1 − P (0 y 1);
P (1) 12! =
P ( x) = 0.1183 ó 11.83%
n! P ( x) = p x!(n − x )!
(0.05)1 (0.95)11 = 0.3413;
1!11!
x
7
n − x
.
@
A0A1E23A 1E 2A4E25460A7 48R9: 2A48469:
6ng. ;.
Ejercicios.
14 )0uál es la probabilidad de obtener cuando muc#o F veces el nmero I, en + lan!amientos de un dado* S ⇒ 93.02% 54 8n tirador bao ciertas condiciones, sabe que la probabilidad de dar en el blanco al disparar su rifle es del +G. Encontrar la probabilidad de dar en el blanco al menos una ve! si se disparan + balas, considerando que los resultados son independientes. S ⇒ 65.13% 64 7i el IG de los autos del 1. =. , producen e$ceso de gases en sus escapes, )qué probabilidad e$iste de que, al escoger autos al a!ar, tengamos F que no producen e$ceso de gases* S ⇒ 23.04% 74 En cierta área de la ciudad se da como ra!ón del JG de los rabos la necesidad de dinero para comprar drogas. Encuentre la probabilidad de que dentro de los pró$imos asaltos reportados en esa área% #4 E$actamente @ se debieron a la necesidad de dinero para comprar drogas. S ⇒ 8.79% -4 0uando muc#o F se debieron a la misma ra!ón. S ⇒ 36.72% 2 K4 8n agricultor que siembra fruta afirma de su cosec#a de dura!nos se que 3 contaminó por la mosca del mediterráneo. Encuentre la probabilidad de que al inspeccionar cuatro dura!nos% #4 Al menos uno esté contaminado por la mosca. S ⇒ 98.77% -4 0ualquier cantidad entre + y F esté contaminado. S ⇒ 79.02%
M+)# / D+(*)#2)=9 E(0;9#$ + ,# D)(0$)-&2)=9 B)9o>)#, :#$# &9# Po-,#2)=9 I9<)9)0#. La media y la desviación de una distribución binomial son dos medidas de gran utilidad, sobre todo si se considera que una aplicación típica de la distribución binomial puede resolverse por medio de otra distribución más general" &La distribución normal'. Las fórmulas que se utili!an, cuando la muestra proviene de una población infinita o cuando la muestra no e$cede del G de la población total, son% Media = µ = np σ =
la
"+
; $n donde; n es el no. de e'entos; p la y 7
probabilid ad de
fracaso.
probabilid ad de 9xito
F
A0A1E23A 1E 2A4E25460A7 48R9: 2A48469:
6ng. ;.
Ejemplos.
14 1eterminar la media y la desviación estándar de la distribución del nmero de alfileres defectuosos que podría contener una muestra de @ alfileres, si la fábrica tiene un G de defectuosos del @.G n = 200;
p = 0.025; µ = np; µ = (200)(0.025) = 5
σ = "+ =
(200)(0.025)(0.975)
= 2.208
54 1etermine la media y desviación estándar de la distribución del nmero de veces que se puede obtener el nmero F, en die! lan!amientos de un dado. n = 10;
p =
1
µ = np; µ = (10 )(0.16666 ) = 1.667
; 6
σ = "+ =
(10 )(0.16667 )(0.83333) = 1.179
M+)# / D+(*)#2)=9 E(0;9#$ + ,# D)(0$)-&2)=9 B)9o>)#, :#$# &9# Po-,#2)=9 F)9)0#. 0uando el tamaBo de la muestra e$cede del G de la población total. La media y la desviación estándar son% Media = µ = np
σ =
np7
( "c )
;
; $n donde; "c es un
"c =
N ] \" N ] \1
factor de corrección ; : el tama;o de la población
y n el tama;o de la muestra .
Ejemplos.
14 El @.G de alfileres de un paquete de @ esta defectuoso. 1eterminar la media y la desviación estándar de la distribución de probabilidad que resulta al tomar alfileres del paquete. : = 200; "c =
n = 50; p = 0.025; µ = np; µ = (50)(0.025) = 1.25
200 ] \50 200 ] \1
= 0.868;
σ =
np7
( "c) =
(50)(0.025)(0.975)(0.868) =
0.958
54 0alcula la media y la desviación estándar de la distribución de probabilidad, dadas las siguientes condiciones% #4 9M " nM@ " -4 9M@ " nM+ " 24 9M " nMF
A0A1E23A 1E 2A4E25460A7 48R9: 2A48469:
6ng. ;.
: = 50;
a)
"c =
b)
"c =
c)
"c =
50 ] \20 50 ] \1
: = 200;
n = 20; p = 0.40; µ = np; µ = (20)(0.40) = 8
= 0.7825
; σ =
np7
( "c) =
n = 150;
p = 0.75; µ = np;
= 0.5013
; σ =
(20)(0.40)(0.60)(0.7825) = 1.714
µ = (150)(0.75) = 112.5
200 ] \150 200 ] \1
: = 500;
np7
( "c) =
n = 300; p = 0.60; µ = np;
500 ] \300 500 ] \1 = 0.6331
; σ =
np7
( "c) =
(150)(0.75)(0.25)(0.5013) = 2.659
µ = (300)(0.60) = 180
(300)(0.60)(0.40)(0.6331) =
5.372
Ejercicios.
14 4abule la distribución de probabilidad del nmero de peces amarillos que resulta al tomar aleatoriamente una muestra de I peces de una pecera que contiene @ peces amarillos y F roos. 1etermine también la media y desviación estándar de la distribución de peces que resulta al tomar aleatoriamente I peces. aD +- peces amarillos. S ⇒ 8.44% bD @@ peces amarillos. S ⇒ 7.69% 54 0alcula la media y la desviación estándar de la distribución de probabilidad, dadas las siguientes condiciones% #4 9M " nMF " -4 9M@ " nM " 24 9M " nM+ 64 En base a la e$periencia se sabe que el @G de las llamadas que reciben en un conmutador son nmeros equivocados. 1etermine la probabilidad de que F de @ llamadas recibidas sean nmeros equivocados. S ⇒ 19.54% 1674R6W806Z9 1E (:677:9 Esta distribución se austa perfectamente a las necesidades de calcular, por eemplo" la probabilidad de que un día cualquiera se presenten más de un cierto nmero de reclamaciones por una póli!a de seguros, o la probabilidad de que la demanda de servicios a la #ora pico e$ceda la capacidad de los nuevos equipos, etc.
La distribución de (oisson puede también utili!arse para simplificar el cálculo que implica la distribución binomial, cuando 9 es grande y 9: pequeBo, del orden de np 〈 7 .
λ x
P ( x ) = . λ x!e A
A0A1E23A 1E 2A4E25460A7 48R9: 2A48469:
6ng. ;.
En donde" ? es el nmero de é$itos, λ la frecuencia de ocurrencia de los eventos y + la base de los logaritmos neperianos Co naturalesD. La µ y σ de la distribución de (oisson son tiles para convertir esta distribución en la binomial yNo la normal. µ
= no. de 'eces 7ue ocurre un e'ento " n".
σ"!. =
*% %%) % !% %( %%"#!. = n.
Ejemplos.
14 En un conmutador se tiene una demanda media de llamadas por minuto, )calcular la probabilidad de que en un minuto se reciban más de una llamada* λ = 4;
"( # ) =
λ x
x!e
x = 0;
;
P (0) =
λ
40
0!e
; P (0) = 0.0183 4
1
4 ; P (1) = 0.0733 1! 4 e
x = 1; P (1) =
P (m8s de 1) = 1 − P (0 y
P (m8s de 1) = 1
1);
− 0.0916;
P (m8s de 1) = 0.9084 ó 90.84%
54 8na fábrica produce folders con un promedio de defectuosos de por paquete. 1etermine la media y desviación estándar de la distribución de probabilidad correspondiente. nM"
µ = "
σ =5 "
σ = 2.236
64 En una carretera pasan en promedio @J automóviles por #ora. aD )0uál es la probabilidad de que durante los pró$imos F minutos el nmero de autos sea de +@* a)
λ=
27
x = 12;
= 13.5;
λ
;
x
x!e
2 P (12 )
"( #) =
12
13.5
= 13.5
12!e
λ
13
;
3.664419807 x10
P (12 ) = ; 14 3.493916082 x10
P (12 ) = 0.1049 ó 10.49%
bD )0uál es la probabilidad de que durante las pró$imas dos #oras el nmero de autos sea de -*
I
A0A1E23A 1E 2A4E25460A7 48R9: 2A48469:
6ng. ;.
x = 48;
b)
λ = 27(2) = 54;
" ( #) =
λ x
x!e P (48)
;
54
48!e
λ
83
48
54
=
;
P (48) =
1.428566532 x10
84
;
P (48) = 0.0407 ó 4.07%
3.514073256 x10
cD 1eterminar la media y la desviación estándar de la distribución de probabilidad resultante. µ = @J"
nM@J"
σ = 27 "
σ = 5.196
Ejercicios.
14 En una enorme pecera #ay peces amarillos por tonelada de agua. 1etermine la probabilidad de que, en una muestra aleatoria de toneladas, #aya e$actamente. cD +- peces amarillos. S ⇒ 8.44% dD @@ peces amarillos. S ⇒ 7.69% 54 En base a la e$periencia se sabe que el @G de las llamadas que reciben en un conmutador son nmeros equivocados. 1etermine la probabilidad de que F de @ llamadas recibidas sean nmeros equivocados. S ⇒ 19.54% 64 8na secretaria comete dos errores en promedio al escribir una página. 7i los errores son independientes, )cuál es la probabilidad de que cometa uno ó más errores en la siguiente página que escriba* S ⇒ 86.47% 74 4abule la distribución de probabilidad del nmero de peces amarillos que resulte al tomar aleatoriamente una muestra de I peces de una pecera que contiene @ peces amarillos y F roos. P (1) = 21.77%, P (2) = 26.13% P (3) = 20.90%
S
⇒ P (0) = 9.07%;
P (5) = 6.02% ;
P (4) = 12.54% y;
P (6) = 2.41
;
%
K4 En una carretera pasan en promedio @J automóviles por #ora. 1etermine la probabilidad de que" aD 1urante los pró$imos @ minutos el nmero de autos sea de +. S ⇒ 1.94%
bD 1urante las pró$imas F #oras el nmero de autos sea de -* S ⇒ 4.43%
J
A0A1E23A 1E 2A4E25460A7 48R9: 2A48469:
6ng. ;.
RAP6. Aplicar la distribución Normal para predecir resultados de una población, en el contexto de la resolución de problemas.
1674R6W806Z9 9:R2AL. La distribución de probabilidad normal, es aquella en la cual, a partir de un punto central de má$ima frecuencia Cla media de la distribuciónD, los valores mayores y menores que la media se distribuyen simétricamente a la derec#a e i!quierda, disminuyendo gradualmente #asta desaparecer.
Esta distribución es la más utili!ada para variables aleatorias continuas, es decir, aquellas para las cuales es imposible enumerar todos los eventos posibles. Asimismo, esta distribución permite resolver en forma apro$imada los problemas propios de las distribuciones Winomial y de (oisson, por lo que su importancia en (robabilidad y Estadística es fundamental.
P$o:)+#+(. 14 Es simétrica en forma de campana. 54 La media, la mediana y la moda tienen el mismo valor, ubicado en el centro de la figura. 64 4eóricamente, la curva se e$tiende #asta el infinito en ambas direcciones, sin tocar nunca el ee #ori!ontal. ^ Á$+# B#o ,# C&$*# + ,# D)(0$)-&2)=9 No$>#,. La curva normal de cualquier distribución puede convertirse en una curva estandari!ada, en la que el valor central es cero, la σ Cdesviación estándarD es uno, y el área desde / ∞ #asta O ∞ es el +G. < =
x − µ σ
Valor menos la Media = Des'iación $s tan dar .
-
A0A1E23A 1E 2A4E25460A7 48R9: 2A48469:
6ng. ;.
La altura de la curva normal estandari!ada esta dada por la función. f $ x) =
0.3989422804 00 2 e
0.5 <
"
y su integración matemática entre dos puntos cualquiera, ! + y ! @ produce el área o probabilidad de que una variable tenga valores entre ! + y ! @. (or lo general, no es necesario reali!ar ninguna integración numérica para obtener el área bao la curva normal estandari!ada. Las tablas estadísticas están ya calculadas con esos valores. Ejemplos.
14 Al mover un vaso lleno de agua de un lugar a otro, se derrama en promedio I.@ mm., con una desviación estándar de .- mm. 7í se desea garanti!ar que, por lo menos, el HG de las veces que se mueva el vaso no se derrame, )cuánto debe dearse sin llenar*
A = 0.95 − .50; < =
x − µ σ
A = 0.45 ⇒ < = 1.64; x ; x = < σ + µ ; = (1.64 )(0.8) + 6.2;
x = 7.51 mm.
54 Los salarios anuales de los eecutivos de una compaBía están distribuidos normalmente, con una desviación estándar de +@ dólares. 7e tiene programado un recorte de personal que implica el despido de aquellos que ganan menos de +- dólares, si tal medida representa el +G de éstos eecutivos. )0uál es actualmente el salario medio de este grupo de eecutivos*
A = 0.50 − 0.10; x
< = − µ
;
σ
A = 0.40 ⇒ < = −1.28;
µ = x − < σ ;
µ = 18000 − (− 1.28 )(1200 );
µ = 19536 dolares .
H
A0A1E23A 1E 2A4E25460A7 48R9: 2A48469:
6ng. ;.
64 La estatura promedio de los empleados de una empresa es de +.I m., con una desviación estándar de I.@ cm. 7uponga una distribución normal, determine que porcentae de los empleados miden% #4 más de +.J m. -4 menos de +.- m. 24 entre +. y +. m.
< =
1.70 − 1.65
;1
0.062 A = 0.5 − 0.2910;
< =
1.80 − 1.65
;1
0.062 A = 0.5 + 0.4922;
< = ;1
1.45 − 1.65 0.062
< 1 = −3.23 ⇒ A1
< 1 = 0.81 ⇒ A1
= 0.2910;
= 0.2090 & 20.90%
< 1 = 2.42 ⇒ A1
= 0.4922;
= 0.9922 & 99.22%
= 0.4994; < = 1.55 − 1.65
∴ A = A1 − A2 ;
;2
0.062
A = 0.4994 − 0.4463;
< 2 = −1.61 ⇒ A2
= 0.4463
= 0.0531 & = 5.31%
A,
A0A1E23A 1E 2A4E25460A7 48R9: 2A48469:
6ng. ;.
Ejercicios.
14 8n automóvil consume .- lts., de combustible por Uilómetro y recorre diariamente una distancia promedio de F- Um., con una desviación estándar de @ Um. )0uántos litros de combustible debe tener el tanque al iniciar el día, si se desea asegurar que al menos el HH.HG de los días no le falte combustible* ' ( $* lts. 54 La profesora de un grupo, dice a sus estudiantes que para estar entre el +G superior de la clase, deben obtener la calificación 2W en un e$amen. 1e acuerdo con su e$periencia, la profesora estima que la media y desviación estándar en este e$amen serán J@ y +F, respectivamente. )0uál será la calificación mínima necesaria para obtener 2W* ' ( ++.,64 El coeficiente intelectual de los aspirantes aprobados para ingresar a la escuela 2edico 2ilitar tiene una distribución normal, una media de + y desviación estándar de +. calcular la proporción de reclutas que tienen un coeficiente intelectual% #4 superior a +.H ' ( $-.+$ -4 entre +F y + ' ( /.00 24 inferior a -.J ' ( 1/.$ 74 8n investigador informa que las ratas viven en promedio meses. 7uponiendo que la vida de tales ratas este normalmente distribuido con una desviación estándar de I.F meses, encuentre la probabilidad de que una rata determinada viva% #4 más de F@ meses. ' ( +.+0 -4 menos de @- meses. ' ( .+* 24 entre FJ y H meses. ' ( ,0.+0 K4 La vida til de una lámpara fluorescente utili!ada en invernaderos está distribuida normalmente con una media de I #rs., y una desviación estándar de @ minutos. 1eterminar la probabilidad de que% #4 8na lámpara elegida al a!ar, tenga una vida til entre I@ y I- #rs. ' ( +./*
-4 8na lámpara dure más de J #rs. ' ( 0.0
A+
A0A1E23A 1E 2A4E25460A7 48R9: 2A48469:
6ng. ;.
Q4 El tiempo de espera ? en cierto banco está distribuido en forma normal, apro$imadamente, con una media y desviación estándar de F.J y +. minutos respectivamente. Encuentre la probabilidad de que un cliente seleccionado aleatoriamente tenga que esperar% #4 @ minutos. ' (11.$1 -4 2ás de I minutos. ' ( /.0/ 24 :btenga el valor del J centil para ?. ' ( -.,- 4 8na unidad de radar es utili!ada para medir la velocidad de los automóviles en una vía rápida durante la #ora de mayor congestionamiento. La velocidad de los automóviles está distribuida normalmente con una media de I@ millasN#ora. #4 Encuentre la desviación de todos los automóviles si el FG d e ellos viaa a velocidades superiores a J@ millasN#oras. ' ( /.$ -4 0on la desviación estándar del inciso #4, obtenga el porcentae de esos ve#ículos que viaan a menos de millasN#ora. ' ( .$- 24 0on la desviación estándar del inciso #4, #alle el H centil para la variable velocidad. ' ( * 0.*$ 4 0onsiderando los valores del coeficiente de inteligencia C0. 6. ó 0. S.D C6ntelligence SuotientD en seres #umanos. Los 0. 6. están distribuidos normalmente con una media de + y una desviación estándar de +. 7i una persona es elegida al a!ar. #4 )0uál es la probabilidad de que su 0. 6. esté entre + y ++* ' (-.1*
-4 )Sué su 0. 6. sea mayor que H* ' ( ,.1/ 24 :btener el FF percentil de los puntaes de 0. 6. ' ( /.,0
A@
A0A1E23A 1E 2A4E25460A7 48R9: 2A48469:
6ng. ;.
] R+,#2)=9 +90$+ ,#( D)(0$)-&2)o9+( B)9o>)#, / No$>#,. 7i “9” es muy grande y ni “:” ni “%” están muy pró$imos a cero, la distribución binomial puede apro$imarse estrec#amente a la distribución normal con variable tipificada dada por < =
x − np . np7
En donde" “?” es la variable aleatoria que da el nmero de é$itos en “9” pruebas de Wernoulli y “:” es la probabilidad de é$itos. La apro$imación es tanto meor conforme aumenta “9”, y el límite es total. En la práctica la apro$imación es muy buena si ambos “9:” y “9%” son superiores a K. y n7 ≥ 5. Es decir" np ≥5
1ado que la distribución binomial es discreta Csólo acepta valores enterosD, mientras que la distribución normal es continua Cacepta cualquier valorD, la variable normali!ada “V” debe calcularse incluyendo un auste por continuidad. < =
x − µ ± 0.5
σ
;
+ 0.5 es, si la e#' resión buscada es del tipo "menor o iual 7ue" o "mayor7ue "; o − 0.5 es si la e#' resión buscada es del tipo "mayor o iual7ue" o "menor 7ue".
Ejemplos.
14 8na fábrica produce alfileres con @.G de defectuosos. 7i se toma una muestra de @ alfileres, )cuál es la probabilidad de encontrar F o más defectuosos* n = 200;
p = 2.5% ∴ 7 = 97.5%;
n7
= (200)(0.975) = 195;
σ = "+ =
np = (200)(0.025) = 5;
np ≥ 5; n7 ≥ 5;
(200)(0.025)(0.975) = 2.208;
por lo tanto . < =
2 − 5 + 0.5
= −1.13; 2.208
Si cumplen
∴ µ = 5;
decir 3 o m8s sinifica m8s de 2
A = 0.5 + 0.3708 = 0.8708
ó
87.08%
AF
A0A1E23A 1E 2A4E25460A7 48R9: 2A48469:
6ng. ;.
54 8n inspector de calidad toma una muestra de + artículos de una producción que tiene el IG de algn defecto. 1etermine la probabilidad de que la muestra contenga más de + artículos que tengan algn defecto. n = 150;
p = 6% ∴ 7 = 94%;
n7
= (150 )(0.94 ) = 141;
np = (150 )(0.06 ) = 9;
np ≥ 5; n7 ≥ 5;
σ = "+ = (150 )(0.06 )(0.94 ) = 2.90
Si cumplen
∴ µ = 9;
x = m8s de 10
9.
A = 0.4325
ó
43.25%
por lo tanto. < 10 − 9 − 0.5 =
= 0.17;2.909
L# D)(0$)-&2)=9 No$>#, 2o>o A:$o?)>#2)=9 # ,# + Po)((o9. Esta distribución, puede simplificarse por medio de la distribución normal si se cumple que la media sea mayor de +. En tanto que la media y la desviación estándar son% _Mn" `M µ . En donde" “9” es nmero de veces que ocurre el evento. 1ado que la distribución de (oisson es discreta Csólo acepta valores enterosD, mientras que la distribución normal es continua Cacepta cualquier valorD. La variable normali!ada debe calcularse incluyendo un auste por continuidad equivalente a O. si la e$presión buscada es del tipo &menor o igual que' o &mayor que', o / si la e$presión buscada es del tipo &mayor o igual que' o &menor que'.
A
A0A1E23A 1E 2A4E25460A7 48R9: 2A48469:
6ng. ;.
Ejemplo. 0ierta región sufre un promedio de I accidentes por aBo. 1etermine la
probabilidad de que, en un aBo cualquiera, ocurran%
#4 más de - accidentes. -4 2enos de accidentes. 24 Entre y J accidentes. a2 x = m8s de 80; µ = 65; σ =
por lo tanto. < =
65 = 8.062 .
< =
x − µ ± 0.5
σ o
A = 0.4641 ∴ 0.5 − 0.4641 = 0.0359
80 − 65 − 0.5
3.59%
= 1.80; 8.062
b2 x = menos de 45;
por lo tanto. < =
µ = 65; σ =
65
= 8.062 .
< =
x − µ ± 0.5
σ o
A = 0.4922 ∴ 0.5 − 0.4922 = 0.0078
45 − 65 + 0.5
0.78%
= −2.42;8.062
c2 x = entre 55 y 70;
µ = 65; σ =
65 < = −1.18;
A = 0.3810;
< =
70 − 65 − 0.5
= 0.56; 8.062 A = 0.5933
ó
59.33%
= 8.062 < = .
x − µ ± 0.5
σ
A = 0.2123;
; por lo tan to
es decir
< =
55 − 65 + 0.5 8.062
A = 0.3810 + 0.2123
AA
A0A1E23A 1E 2A4E25460A7 48R9: 2A48469:
6ng. ;.
