CURSO: PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
TEMA: MEDIDAS DE DISPERSION SEMANA 04 1. Hubo cinco representantes de servicio al cliente trabajando en Electronic Super Store durante la pasada venta de fin de semana. Las cantidades de TV que vendieron estos representantes son: 5, 8, 4, 10 y 3. a) Hallar e interpretar el promedio.
Interpretación. La Store es de 6
∑ 5+8+4+10+3 = 5 6
cantidad promedio de TV vendidos por Electronic Super
56 86 46 106 36 ∑= 5 34 4 8.5 .
b) Determinar la varianza e interpretarla. Xi
5 8 4 10 3 30
Interpretación. La Super Store es de 8.5
.
=1 = 4 = 4 = 16 = 9
34
variabilidad de la cantidad de TV vendidos por Electronic
S √ √ 8.8.5.2.92
c) Halla la desviación estándar e interpretarla.
Interpretación. La Super Store es de 2.92
. CV CV S .1 00 2.692 .10048.7%
variabilidad de la cantidad de TV vendidos por Electronic
d) Determinar el coeficiente de variación.
Interpretación. Los datos son Heterogéneos. e) Hallar el rango e interpretarlo.
RIMARACHÍN DÍAZ MARVIL
103 7
1
2. En un ensayo de cada probeta de un material particular para la construcción, construcción, se determinó la duración en horas hasta que falla cada uno de las 50 probetas bajo estudio; obteniéndose los siguientes datos: Cuadro N° 01: Duración en horas de 50 probetas
Tiemp o (hs * 10) Li
Ls
Xi
fi
Fi
Xi.Fi
((Xi-X)^ ((Xi-X)^ 2)*fi
[ 200
<
220)
210
3
3
630
9408
[220
<
240)
230
8
11
1840
10368
[240
<
260)
250
10
21
2500
2560
[260
<
280)
270
13
34
3510
208
[280
<
300)
290
9
43
2610
5184
[300
<
320)
310
5
48
1550
9680
[320
<
340)
330
2
50
660
8192
13300
45600
TOTAL
50
Fuente: Base de Datos Práctica 4 Elaboración: Ing. Marvil Rimarachín Díaz
a)
∑ = ∗ ∗ 1350300 266
Hallar e interpretar el promedio.
Interpretación. El tiempo de duración promedio hasta que falla una de las 50 probetas es de 266 (hs * 10)
b) DISPERSIÓN:
f + +13103 ⇒260+203 +3 4268.57 1394 f + 2 −⇒260+202521 266.15 13 2 502 25 ∗ ∑= 1
Interpretación. El tiempo de duración más frecuente hasta que falla una de las 50 probetas es de 268.57 (hs * 10)
Interpretación. El
50% de Probetas tienen un tiempo de duración mayor o igual a 266.15 (hs * 10)
RIMARACHÍN DÍAZ MARVIL
2
2. En un ensayo de cada probeta de un material particular para la construcción, construcción, se determinó la duración en horas hasta que falla cada uno de las 50 probetas bajo estudio; obteniéndose los siguientes datos: Cuadro N° 01: Duración en horas de 50 probetas
Tiemp o (hs * 10) Li
Ls
Xi
fi
Fi
Xi.Fi
((Xi-X)^ ((Xi-X)^ 2)*fi
[ 200
<
220)
210
3
3
630
9408
[220
<
240)
230
8
11
1840
10368
[240
<
260)
250
10
21
2500
2560
[260
<
280)
270
13
34
3510
208
[280
<
300)
290
9
43
2610
5184
[300
<
320)
310
5
48
1550
9680
[320
<
340)
330
2
50
660
8192
13300
45600
TOTAL
50
Fuente: Base de Datos Práctica 4 Elaboración: Ing. Marvil Rimarachín Díaz
a)
∑ = ∗ ∗ 1350300 266
Hallar e interpretar el promedio.
Interpretación. El tiempo de duración promedio hasta que falla una de las 50 probetas es de 266 (hs * 10)
b) DISPERSIÓN:
f + +13103 ⇒260+203 +3 4268.57 1394 f + 2 −⇒260+202521 266.15 13 2 502 25 ∗ ∑= 1
Interpretación. El tiempo de duración más frecuente hasta que falla una de las 50 probetas es de 268.57 (hs * 10)
Interpretación. El
50% de Probetas tienen un tiempo de duración mayor o igual a 266.15 (hs * 10)
RIMARACHÍN DÍAZ MARVIL
2
45600 930. 6 1 hs ∗ 10 . 49 930.6161 hs ∗ 10. S √ √ 930. 930.6130.51hs ∗ 10 30.51hs ∗ 10 CV CV S .1 00 30.26651 .10011.47%
Interpretación. La que falla una es de
Interpretación. La que falla una es de
c)
variabilidad del tiempo de duración de las probetas hasta
variabilidad del tiempo de duración de las probetas hasta
Determinar el coeficiente de variación.
Interpretación. Los datos son Homogéneos.
3. En el estado de Nueva York, las cajas de ahorro están autorizadas para vender una especie de seguro de vida llamado Savings Bank Life Insurance. El proceso de aprobación está integrado por los siguientes puntos: revisión de la solicitud, verificación por parte de una agencia de información médica, una posible petición de información y la realización de exámenes médicos adicionales, además se incluye la etapa de compilación de la póliza para generar las páginas de la misma y enviarlas al banco para su entrega. La entrega oportuna de las pólizas aprobadas a los clientes es crítica para la rentabilidad de este servicio de la caja de ahorros. Durante un mes, se seleccionó una muestra aleatoria de 26 pólizas aprobadas y el tiempo total de procesamiento en días. Los resultados fueron los siguientes: 19 16 64 28 28 31 90 60 56 31 56 22 18 45 48 17 17 17 91 92 63 50 51 69 16 17.
9216 76 1+3.5.3 ∗log26 ∗log7 26 6 / 76/6 76/6 13 12.6
Cuadro N° 02: Tiempo de procesamiento de 26 pólizas aprobadas
Tiem po (días ) Li
16 29 42 55 68 81
Ls
Xi
fi
hi%
< < < < <
29 22.5 11 42.3 42 35.5 2 7.7 55 48.5 4 15.4 68 61.5 5 19.2 81 74.5 1 3.8 94 87.5 3 11.5 TOTAL 26 100.0 Fuente: Base de Datos Práctica 4 Elaboración: Ing. Marvil Rimarachín Díaz
Fi
Hi% Hi%
Xi.fi
((Xi-X) ((Xi-X)^^ 2)*fi 2)*fi
11 13 17 22 23 26
42.3 50.0 65.4 84.6 88.5 88. 5 100.0
247.5 71 194 307.5 74.5 262.5 1 157
5 324 162 64 1 445 900 5 547 13 442
∑ = ∗ ∗ 126157 44.5
a) Calcule e interprete la media aritmética
Interpretación. El 44.5 días.
RIMARACHÍN DÍAZ MARVIL
tiempo de Procesamiento promedio de las 26 pólizas es de
3
b) Calcule e interprete la mediana
f + 2 −⇒42+131313 42 4 2 262 13
Interpretación. El 50% de Pólizas tienen un tiempo de procesamiento mayor o igual a 42 días.
∗ ⇒ 13 442 537. ∑= 53 7. 6 8 í . 1 25
c) Calcule e interprete la varianza
Interpretación. La variabilidad del tiempo de procesamiento de las pólizas es de
537.68 í.
d) Calcule e interprete la desviación estándar
S √ √ 537. 537.6823.19 í
Interpretación. . La variabilidad del tiempo de procesamiento de las pólizas es de
23.19 í
CV CV S .1 00 23.44.159 .10052.11%
e) Calcule e interprete el coeficiente de variación Interpretación. Los datos son Heterogéneos.
4. El número de días necesarios por 10 equipos de trabajadores para terminar 10 instalaciones de iguales características han sido: 21, 32, 15, 59, 60, 61, 64, 60, 71, y 80 días. Calcular la varianza y desviación típica.
8015 65 1+3.4.3 ∗log10 ∗log 10 3 22 4 / 16.25 65/4 65/4 16
Cuadro N° 03: Número de días necesarios por 10 equipos de trabajadores para terminar 10 instalaciones
Tiem po (días) Li
< < < <
Xi
fi
31 23 2 47 39 1 63 55 4 79 71 2 95 87 1 TOTAL 10 Fuente: Base de Datos Práctica 4 Elaboración: Ing. Marvil Rimarachín Díaz
RIMARACHÍN DÍAZ MARVIL
15 31 47 63 79
Ls
hi%
Fi
Hi%
Xi.fi
((Xi-X) ((Xi-X)^^ 2)*fi 2)*fi
20.0 10.0 40.0 20.0 10.0 100.0
2 3 7 9 10
20.0 30.0 70.0 90.0 100.0
46 39 220 142 87 534
924.5 30.25 441 1404.5 1806.25 4606.5
4
∗ ⇒ 4606.5 511. ∑= 51 1. 8 í . 1 9
a) Calcule e interprete la varianza
Interpretación.
trabajadores es de
511.8 í S √ √ 511. 511.8 22.22.62 í 22.62 í
La variabilidad de días necesarios por 10 equipos de
b) Calcule e interprete la desviación estándar Interpretación. trabajadores es de
La variabilidad de días necesarios por 10 equipos de
5. La asistencia de espectadores a las 4 salas de un cine un determinado día fue de 200, 500, 300 y 1000 personas.
a) Calcular la dispersión del número de asistentes. Hallar e interpretar el promedio.
∑ 200+500+300+1000 = 4 500
Interpretación. La asistencia promedio de espectadores a las 4 salas de un cine es de 500 personas.
200500 500500 300500 1000500 ∑= 4 380 000 3 126 666.67 . 126 666.67 . S √ √ 126126 666.67355.9
Determinar la varianza e interpretarla. Xi
200 500 300 1000 2000
= 90 000 = 0 = 40 000 = 250 000
380 000
Interpretación. La variabilidad de la asistencia de espectadores a las 4 salas de un cine es de
Halla la desviación estándar e interpretarla.
RIMARACHÍN DÍAZ MARVIL
5
355.9 . CV S .1 00 355.5009 .10071.18%
Interpretación. La variabilidad de la asistencia de espectadores a las 4 salas de un cine es de
Determinar el coeficiente de variación.
Interpretación. Los datos son Heterogéneos.
6. El siguiente cuadro distribuye a 30 Fábricas de Harina de Pescado del Perú según su producción mensual en toneladas métricas en el año 2012 Cuadro N° 04: Producción mensual del Perú en toneladas métricas en el año 2012
Producción mensual [ To ne lad as m é tri cas > Li Ls
fi
54 58 4 62 66 8 70 74 2 78 82 6 86 90 5 94 98 5 TOTAL 30 Fuente: Base de Datos Práctica 4 Elaboración: Ing. Marvil Rimarachín Díaz 50 58 66 74 82 90
< < < < <
Xi
hi%
Fi
Hi%
Xi.fi
((Xi-X)^ 2)*fi
13.3 26.7 6.7 20.0 16.7 16.7 100.0
4 12 14 20 25 30
13.3 40.0 46.7 66.7 83.3 100.0
216 496 140 468 430 470 2220
1600 1152 32 96 720 2000 5600
Tomando como base los datos del cuadro anterior, calcule e interprete:
∑ = ∗ ⇒ 230220 74 74 é ∗ ⇒ 5 600 193.1 é . ∑= 1 29 193.1 é CV S .1 00 13.74896 .10018.78%
a) La media o promedio. Interpretación:
La producción promedio mensual de harina de pescado del
Perú es de
b) La varianza
Interpretación.
La variabilidad de la producción mensual de harina de pescado del Perú es de
c) Calcule e interprete el coeficiente de variación Interpretación. Los datos son Homogéneos.
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6
7. A continuación se presentan los pesos en kilogramos de 84 artículos de la Empresa “MAKEL”. Cuadro N° 04: Pesos en kilogramos de 84 artículos de la Empresa “MAKEL”. Pesos en Kg Li
Ls
Xi
fi ar tícu lo s
7.5 9 8 10.5 12 20 13.5 15 35 16.5 18 10 19.5 21 4 22.5 24 6 25.5 27 1 TOTAL 84 Fuente: Base de Datos Práctica 4 Elaboración: Ing. Marvil Rimarachín Díaz 6 9 12 15 18 21 24
< < < < < <
hi%
Fi
Hi%
Xi.fi
((Xi-X)^ 2)*fi
9.5 23.8 41.7 11.9 4.8 7.1 1.2 100.0
8 28 63 73 77 83 84
9.5 33.3 75.0 86.9 91.7 98.8 100.0
60 210 472.5 165 78 135 25.5 1146
301.6 197.2 0.7 81.8 137.4 471.0 140.7 1330.3
a) Determinar la varianza de los pesos.
∗ ⇒ 1330.3 16.03 . ∑= 1 83
Interpretación. La
16.03 .
variabilidad de los pesos en kg de 84 artículos Empresa “MAKEL” es de
de la
∑ = ∗ ⇒ 114684 13.64
b) Determinar el peso promedio.
Interpretación. El peso promedio en kilogramos de 84 artículos de la Empresa “MAKEL” es de 13.64.
CV S .1 00 13.464 .10029.48%
c) Determinar e interpretar el coeficiente de variación Interpretación. Los datos son Homogéneos.
RIMARACHÍN DÍAZ MARVIL
7
8. Las alturas de los jugadores de un equipo de baloncesto vienen dadas por la tabla: Cuadro N° 05: Alturas de los jugadores de un equipo de baloncesto Altu ra (m) Li
Xi
Ls
fi N° Ju ga do res
1.7 1 1.75 1.8 3 1.80 1.8 4 1.85 1.9 8 1.90 1.9 5 1.95 2.0 2 2.00 TOTAL 23 Fuente: Base de Datos Práctica 4 Elaboración: Ing. Marvil Rimarachín Díaz 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90 1.95
< < < < <
hi%
Fi
Hi%
Xi.fi
((Xi-X)^ 2)*fi
4.3 13.0 17.4 34.8 21.7 8.7 100.0
1 4 8 16 21 23
4.3 17.4 34.8 69.6 91.3 100.0
1.7 5.3 7.3 15.0 9.6 4.0 42.9
0.02 0.03 0.01 0.00 0.02 0.02 0.1
a) Calcular: Promedio
∑ = ∗ ⇒ 42.239 1.87
Interpretación.
La altura promedio de los jugadores de un equipo de
baloncesto es de 1.87 m.
La desviación estándar.
∗ ⇒ 0.1 0.00454 . ∑= 1 22
S√ √ 0.004540.067 . 0.067 .
Interpretación. La variabilidad de la altura de los jugadores de un equipo de baloncesto es de
RIMARACHÍN DÍAZ MARVIL
8
9. A través de una tabla de distribución de frecuencias halle la distribución de las notas o calificaciones de un examen en una clase con 28 alumnos: 3,0; 3,5; 5,2; 6,1; 6,5; 6,8; 7,0; 7,2; 7,2; 7,3; 7,5; 7,5; 7,6; 7,7; 7,8; 7,8; 8,0; 8,3; 8,5; 8,8; 9,0; 9,1; 9,6; 9,1; 9,6; 9,7; 10 y 10. Hallar e interpretar la desviación estándar, la varianza y el coeficiente de variación. Cuadro N° 06: Calificaciones de un examen en una clase con 28 alum nos Calificación (Punto s) Li
3.0 4.2 5.4 6.6 7.8 9.0
Ls
< < < < <
4.2 5.4 6.6 7.8 9.0 10.2
Xi
fi
hi%
Fi
Hi%
Xi.fi
((Xi-X)^2)*fi
3.6 4.8 6.0 7.2 8.4 9.6
2 1 2 9 6 8
7.1 3.6 7.1 32.1 21.4 28.6
2 3 5 14 20 28
7.1 10.7 17.9 50.0 71.4 100.0
7.2 4.8 12.0 64.8 50.4 76.8
33.8 8.5 5.8 2.3 2.9 28.6 81.9
TOTAL 28 Fuente: Base de Datos Práctica 4 Elaboración: Ing. Marvil Rimarachín Díaz
Promedio Varianza
100.0
216
∑ = ∗ ⇒ 21628 7.7 ∗ ⇒ 81.9 3. 03 . ∑= 1 27
Interpretación. La
3.03
variabilidad de las Calificaciones de un examen es de
Interpretación. La
variabilidad de las Calificaciones de un examen es de
La desviación estándar
1.74
S√ √ 3.031.74
CV S .1 00 1.7.774 .10022.6%
El coeficiente de variación
Interpretación. Los datos son Homogéneos.
RIMARACHÍN DÍAZ MARVIL
9
10.De esta distribución de frecuencias absolutas acumuladas Calcular e interpretar la desviación estándar. os d e 40 alum no s d e Educ ación Prim aria Cuadro N° 07: Edad en añ Edad Li
Ls
< < < <
0 2 4 6 8
2 4 6 8 10
Xi
fi
hi%
Fi
Hi%
Xi.fi
((Xi-X)^2)*fi
1 3 5 7 9
4 7 13 10 6
10.0 17.5 32.5 25.0 15.0
4 11 24 34 40
10.0 27.5 60.0 85.0 100.0
4.0 21.0 65.0 70.0 54.0
75.69 38.66 1.59 27.23 79.94 223.1
214
TOTAL 40 100.0 Fuente: Base de Datos Práctica 4 Elaboración: Ing. Marvil Rimarachín Díaz
∑ = ∗ ⇒ 21440 5.35 ∗ ⇒ 223.1 5.72 ñ. ∑= 1 39 S√ √ 5.722.39 ñ 2.39 ñ
La desviación estándar Interpretación. La primaria es de
variabilidad de la edad de 40 alumnos de educación
11. Hallar la desviación estándar y la varianza para la siguiente distribución de frecuencias.
Cuadro N° 08: Tiemp o de Serv icio d e los trab ajador es de Puc aláS.A.C Tiempo de Servicio Li
10 15 20 25 30
Ls
< < < <
15 20 25 30 35
Xi
fi
hi%
Fi
Hi%
Xi.fi
((Xi-X)^ 2)*fi
12.5 17.5 22.5 27.5 32.5
2 8 13 10 6
5.1 20.5 33.3 25.6 15.4
2 10 23 33 39
5.1 25.6 59.0 84.6 100.0
25.0 140.0 292.5 275.0 195.0
254.5 315.5 21.3 138.4 456.2 1185.9
TOTAL 39 100.0 Fuente: Base de Datos Práctica 4 Elaboración: Ing. Marvil Rimarachín Díaz
RIMARACHÍN DÍAZ MARVIL
927.5
10
∑ = ∗ ⇒ 927.395 23.78 ∗ ⇒ 1185.9 31.2 ñ. ∑= 1 38 S√ √ 31.2 5.59 ñ 5.59 ñ
La desviación estándar Interpretación. La
variabilidad del tiempo de servicio de los Trabajadores de
Pucalá S.A.C es de
12. Dada la siguiente tabla del tamaño de un conjunto de empresas medidas en números de empleados. Cuadro N° 09: Tiemp o de Servic io d e los trab ajador es de Puc aláS.A.C Número d e Emp leados
Xi
fi N°em p res as
hi%
Fi
Hi%
Xi.fi
((Xi-X)^ 2)*fi
255 265 275 285 295 305 315
8 10 16 14 10 5 2
12.3 15.4 24.6 21.5 15.4 7.7 3.1
8 18 34 48 58 63 65
12.3 27.7 52.3 73.8 89.2 96.9 100.0
2040 2650 4400 3990 2950 1525 630
TOTAL 65 Fuente: Base de Datos Práctica 4 Elaboración: Ing. Marvil Rimarachín Díaz
100.0
4908.4 2181.5 364.0 382.9 2319.5 3182.8 2482.3 15821.5
Li
250 260 270 280 290 300 310
Ls
< < < < < <
260 270 280 290 300 310 320
18185
∑ = ∗ ⇒ 1865185 279.77 ∗ ⇒ 15 821.5 247.21 . ∑= 1 64 247.21 S√ √ 247.2115.72 15.72
Interpretación. La
variabilidad del tamaño de un conjunto de empresas medidas en números de empleados es de
La desviación estándar Interpretación. La
variabilidad del tamaño de un conjunto de empresas medidas en números de empleados es de
RIMARACHÍN DÍAZ MARVIL
11
13. En dos pruebas de conocimiento A y B, la prueba A se calificó sobre 100 puntos; la media aritmética de las calificaciones fue de 72 puntos con una desviación típica de 9 puntos. La prueba B se calificó sobre 80 puntos y los resultados dieron una media de 52 puntos con una desviación típica de 6. Halle en cuál de las dos pruebas hubo mayor variación. PARA “A”:
∑−− ⇒ − 81 .
Cuadro N° 10: Alumnos clasificados según el número de palabras Grupo A
fi
43 12 56 9 69 8 82 10 TOTAL 39 Fuente: Base de Datos Práctica 4 Elaboración: Ing. Marvil Rimarachín Díaz
PARA “B”:
hi%
Fi
Hi%
30.8 23.1 20.5 25.6 100.0
12 21 29 39
30.8 53.8 74.4 100.0
S√ √ 819 ∑−− ⇒ − 36 . S√ √ 366
14. Las siguientes tablas muestran a dos grupos de alumnos clasificados según el número de palabras que han memorizado. a. Determine e interprete las medidas de dispersión para cada grupo. b. ¿Cuál de los grupos presenta mayor homogeneidad? Cuadro N° 11: Alumnos clasificados según el número de palabras Grupo B Li
Ls
Xi
fi
hi%
Fi
Hi%
Xi.fi
((Xi-X)^2)*fi
30
<
45
37.5
5
5.3
5
5.3
187.5
5392.3
45
<
60
52.5
14
14.7
19
20.0
735.0
4455.7
60
<
75
67.5
34
35.8
53
55.8
2295.0
274.2
90
82.5
42
44.2
95
100.0
3465.0
6210.4
TOTAL 95 Fuente: Base de Datos Práctica 4 Elaboración: Ing. Marvil Rimarachín Díaz
100.0
6682.5
16332.6
75
RIMARACHÍN DÍAZ MARVIL
12
PARA “A”:
Promedio.
Varianza
∑ 43+56+69+82 = 4 62.5 4362. 5 5662. 5 6962. 5 8262.5 ∑=1 380.325 281.67 . S√ √ 281.6716.78 CV S .1 00 16.62.758 .10026.85% ∑ 6682.=5 ∗ 95 70.34 ∗ ⇒ 16332.6 173.75 . ∑= 1 94 S√ √ 173.7513.18 CV S .1 00 13.70.1384 .10018.74% Xi 43
= 380.25 = 42.25 = 42.25 = 380.25
56 69 82
X= 62.5
845
Desviación estándar.
Coeficiente de variación.
Interpretación: Los datos son Homogéneos PARA “B”:
Promedio.
Varianza.
Desviación Estándar.
Coeficiente de variación.
Interpretación. Los datos son Homogéneos.
POR TANTO: Los datos del grupo B presenta mayor homogeneidad. RIMARACHÍN DÍAZ MARVIL
13
CURSO: PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
TEMA: MEDIDAS DE DISPERSION SEMANA 05 1. Dé 4 ejemplos de experimento que es de interés para su carrera profesional, con su respectivo espacio muestral
Ensayo de probetas Tipos de Suelos Ensayo de granulometría Grado de compactación del suelo En una empresa existe una grúa que tiene un sistema de guayas, las cuales requieren ser reemplazadas cada cierto tiempo de uso. Para probar si se debe cambiar, se somete el sistema a una tensión exagerada, si se rompen 2 o más hilos, se dice que la guaya no sobrevive y por lo tanto debe ser reemplazada. Se sabe por experiencia, que en cada tensión exagerada, se rompe a lo más un hilo y que la probabilidad de que se rompan más de uno es despreciable. Codifiquemos como cero (0) si no se rompe algún hilo y uno (1) si se rompe un hilo S={{0,0,0},{0,0,1},{0,1,0},{0,1,1},{1,0,0},{1,0,1},{1,1,0},{1,1,1}}.
2. Indique el espacio muestral para los siguientes experimentos: (Utilice el diagrama del árbol) a. Lanzar 2 monedas: C
CC
S
CS
C
SC
S
SS
C
S= {CC, CS, SC, SS}
S
b. Lanzar 3 monedas C
CCC
S
CCS
C
CSC
S
CSS
C
SCC
S
SCS
C
SSC
S
SSS
C C S
S= {CCC, CCS, CSC, CSS, SCC, SCS, SSC, SSS}
C S S
RIMARACHÍN DÍAZ MARVIL
14
c. Lanzar 1 dado y una moneda C
1C
S
1S
C
2C
S
2S
C
3C
S
3S
C
4C
S
4S
C
5C
S
5S
C
6C
S
6S
1
2
3
S= {1C, 1S, 2C, 2S, 3C, 3S, 4C, 4S, 5C, 5S, 6C, 6S}
4
5
6
d. Anotar el sexo de un recién nacido M
RN. M
S= {RN. M, RN. F}
RN F
RN. F
RIMARACHÍN DÍAZ MARVIL
15
e. Lanzar 2 dados 1
2
3
4
5
6
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
11 12 13 14 15 16 21 22 23 24 25 26 31 32 33 34 35 36 41 42 43 44 45 46
S= {11, 12, 13, 14, 15, 16, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 61, 62, 63, 64, 65, 66}
51 52 53 54 55 56 61 62 63 64 65 66
f. Jugar un partido de fútbol
1
G
1G
P
1P
E
1E
RIMARACHÍN DÍAZ MARVIL
S= {1G, 1P, 1E}
16
3. En cada uno de los siguientes casos realizar lo que se pide: A. Una familia tiene 3 hijos, examinar su sexo. H HHH H M HHM a. Determinar su espacio muestral: H S= {HHH, HHM, HMH, HMM, MHH, MHM, MMH, MMM} H HMH M M HMM b. Determinar el evento A: Los 3 sean masculinos H MHH A = {MMM} H M MHM M c. Determinar el evento B: Por lo menos uno sea femenino H MMH B = {HHM, HMH, HMM, MHH, MHM, MMH, MMM } M M MMM
B. Si un investigador de mercados entrevista a una ama d e casa y a su esposo para determinar la “aceptación” o “no aceptación” de un cierto producto. Asigne el valor 1 si acepta el producto. Asigne el valor 2 si rechaza el producto. Ea1 Eo1Ea1 Construya el espacio muestral para este experimento: S= {Eo1Ea1, Eo1Ea2, Ea2Eo1, Ea2E02} Eo1 Ea2
Eo1Ea2
Determine el evento A: ambos acepten el producto.
A = {Eo1Ea1} Eo1
Ea2Eo1
Eo2
Ea2E02
Ea2
Determine el evento B: Por lo menos uno de ellos acepte el producto. B= {Eo1Ea1, Eo1Ea2, Ea2Eo1 }
CALCULAR LAS SIGUIENTES PROBABILIDADES: 1.
Si el experimento consiste en E: Lanzar 2 monedas, calcular: C CC C S CS
S= {CC, CS, SC, SS}
C
SC
S
SS
S a. La probabilidad de que ambas sean cara. Rpta:
0.25 0. 5 0. 5
b. La probabilidad de que la primera sea cara. Rpta: c. La probabilidad de que la segunda sea sell o. Rpta:
RIMARACHÍN DÍAZ MARVIL
17
2. Si el experimento cosiste en E: Lanzar 3 monedas, calcular: C CCC C S CCS C C CSC S S CSS
S= {CCC, CCS, CSC, CSS, SCC, SCS, SSC, SSS}
C
SCC
S
SCS
C
SSC
S
SSS
C S S
a. La probabilidad de que las tres sean cara. Rpta:
0.125 0. 5 0. 5
b. La probabilidad de que la primera sea cara. Rpta: c. La probabilidad de que la segunda sea sell o. Rpta:
3. Si el experimento consiste en E: Lanzar 1 dado y una moneda, calcular: C 1C 1 S 1S C
2C
S
2S
C
3C
S
3S
C
4C
S
4S
C
5C
S
5S
C
6C
S
6S
2
3
S= {1C, 1S, 2C, 2S, 3C, 3S, 4C, 4S, 5C, 5S, 6C, 6S}
4
5
6
0. 0833 0. 0 833 0.0833
a. La probabilidad que caiga el número 1 y sello. Rpta:
b. La probabilidad de que caiga el número 6 y cara. Rpta: c. La probabilidad de que caiga el 3 y sello. Rpta:
RIMARACHÍN DÍAZ MARVIL
18
4. Si el experimento consiste en E: Jugar 3 partidos de fútbol, calcular:
G
P
E
G
G P E
GGG GGP GGE
P
G P E
GPG GPP GPE
E
G P E
GEG GEP GEE
G
G P E
PGG PGP PGE
P
G P E
PPG PPP PPE
E
G P E
PEG PEP PEE
G
G P E
EGG EGP EGE
P
G P E
EPG EPP EPE
E
G P E
EEG EEP EEE
S= {GGG, GGP, GGE, GPG, GPP, GPE, GEG, GEP, GEE, PGG, PGP, PGE, PPG, PPP, PPE, PEG, PEP, PEE, EGG, EGP, EGE, EPG, EPP, EPE, EEG, EEP, EEE}
a. La probabilidad de que todos los partidos se ganen. Rpta:
0.037 0. 7 037 0.444
b. La probabilidad de que por lo menos un partido se empate. Rpta: c. La probabilidad de que a lo más un partido se pierda. Rpta:
5. Si el experimento consiste en E: lanzar dos dados simultáneamente, calcular:
S= {11, 12, 13, 14, 15, 16, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 61, 62, 63, 64, 65, 66} a. La probabilidad de que el puntaje obtenido sea 5.
0.11
b. La probabilidad de que el puntaje obtenido sea menor de 6. Rpta:
0.28 0.56
c. La probabilidad de que el puntaje obtenido sea mayor de 4 o menor de 9. Rpta:
RIMARACHÍN DÍAZ MARVIL
19
6. Quince amigos juegan ajedrez una vez a la semana. Este grupo está formado por 5 parejas de casados, 4 jóvenes y una joven. Antes del juego cada uno coloca S/. 10 en una bolsa cuyo contenido ganará el que obtenga mayor puntuación. Se le pide encontrar:
ESTADO CIVIL Y SEXO
FEMENINO
CASADO SOLTERO
5 1 6
TOTAL
MASCULINO 5 4 9
TOTAL 10 5 15
∩ 154 0.27 ∩ 155 0.33 ∩ 151 0.067 ∩ 155 0.33
a. ¿Cuál es la probabilidad que un h ombre soltero gane?
b. ¿Cuál es la probabilidad que una mujer casada g ane?
c. ¿Cuál es la probabilidad que una mujer soltera gane?
d. ¿Cuál es la probabilidad que un h ombre casado gane?
RESOLVER LAS PROBABILIDADES DE LOS SIGUIENTES CASOS: 1.
Si un investigador de mercados entrevista a un ama de casa y a su esposo para determinar la “aceptación” o “no aceptación” de un cierto producto (asigne el valor 1 si acepta el producto y el valor 2 si rechaza el producto. Calcular la probabilidad de que: Asigne el valor 2 si rechaza el producto. Ea1 Eo1Ea1 Eo1
a. Ambos acepten el producto. Rpta: Ea2
Eo1Ea2
Eo1
Ea2Eo1
Eo2
Ea2E02
0.25 0. 5 0.25 0.25
b. Uno de ellos acepte el producto. Rpta:
e. El esposo rechace el producto. Rpta:
Ea2
d. La esposa rechace el producto. Rpta:
2.
Un comerciante tiene en su bolsillo cheques de 10 (D), 20 (V), 30 (T) y 50 (C) dólares. Si saca dos cheques de su bolsillo, uno tras otro. Calcular la probabilidad de que:
∗ ∩ ∩ ∗
a.
El primer Cheque sea de 10 y el siguiente sea de 20:
b.
El primer Cheque haya sido de 20:
c.
El primero sea de 20 y el segundo de 50:
∩ 141 ∗ 131 1211 ∩ 4 ∗ 3 12
RIMARACHÍN DÍAZ MARVIL
∩ ∗ 20
3.
Tres personas A, B, C solicitan empleo a una empresa. Si el experimento consiste en ordenar las solicitudes de acuerdo a sus habilidades para el trabajo. Calcular la probabilidad de que: Bp
ApBp
Ap Cp
ApCp
Ap
BpAp
Cp
BpCp
Ap
CpAp
Bp
CpBp
Bp
Cp
4.
0.67
A.
B ocupe el primer lugar. Rpta:
B.
A y B ocupen los primeros lugares. Rpta:
C.
C ocupe el primer lugar. Rpta:
0.33
0.6725
El cuadro siguiente contiene la clasificación de 558 obreros de un sindicato respecto a dos características: a. El número de años de pertenencia de cada uno al si ndicato b. Su respuesta a la pregunta: “Desea Ud. Ir a la huelga para obtener un aumento de salarios”
RESPUESTA A LA PREGUNTA
NÚMERO DE AÑOS EN EL SINDICATO Menos de 1 De 1 a 3 De 4 a 10 Más de 10 (A) (B) (C) (D)
Si (S) No (N) No sé (NS)
57 64 137 39 58 26 65 26 26 14 16 30 141 104 218 95 TOTAL Describa y Encuentre la probabilidad de cada uno de los siguientes eventos:
TOTAL 297 175 86 558
+∩⇒ + 0.52 ⇒ 0.11 +∩⇒ + 0.60 ∩ ⇒ 0.615 ∩ ⇒ 0.615 ∩ ⇒ 0. 3 0.12 ∩ [+∩]⇒ + 0.03 ⇒ +[∅]0.53 ⇒ + 0.52
NSUC: S ∩ B: S U B:
S / B:
NS / A:
A / NS:
N ∩ C:
S ∩ (C U D):
S U (C ∩ D): NS U C:
RIMARACHÍN DÍAZ MARVIL
21
5.
Un contratista minero tiene 500 clientes clasificados en la siguiente tabla según si realizan pedidos regularmente o de forma esporádica y según si efectúan el pago al contado o a través de crédito.
∩∩ ∩∩ ; ∪⇒ + ∩⇒ 185500 + 395500 120500 460500 0.92 120 ∩ /⇒ ⇒ 500395500 120395 0.3 120 ∩ / ⇒ ⇒ 500185500 120185 0.65 ∩ ∩ Forma de Pago B Al contado Crédito
Tipo de Pedido A
Total
185 315 105 395 500 Total En el marco de la campaña publicitaria, el mayorista decide sortear un paquete turístico entre sus clientes eligiendo uno de ellos al azar. Regular Esporádico
65 40
120 275
;
a. ¿Cuál es la probabilidad de que el cliente afortunado con el viaje realice pedidos regularmente o bien utilice créditos para efectuar sus pagos?
b. Calcule la probabilidad de que el cliente afortunado con el viaje realice pedidos regularmente si sabemos que el elegido efectúa sus pagos mediante crédito
c. Calcule la probabilidad de que el cliente afortunado con el viaje realice los pagos mediante crédito si sabemos que realiza pedidos regularmente.
d. ¿Son independientes los sucesos “ comprar a crédito” y “ comprar regularmente”. No existe Intersección por tanto son INDEPENDIENTES 6.
Si la probabilidad de que un proyecto de investigación sea correctamente planeado es de 0.80 y la probabilidad de que sea planeado y correctamente ejecutado es de 0.72, ¿qué probabilidad hay de que un proyecto de investiga ción correctamente planeado, sea correctamente ejecutado?
.. / ∩ .. . P
7.
En un grupo de 200 estudiantes graduados de ingeniería, 98 se inscriben en un curso avanzado de estadística, 73 en un curso de investigación de operaciones; y 50 en ambos. ¿Cuántos de estos estudiantes no se inscriben en ningún curso? E=98
E=73 E=48
200
8.
50
O=23 79
48+50+2320079
Si la probabilidad de que u n sistema de comunicación tenga alta fidelidad es de 0.81 y la probabilidad de que tenga alta fidelidad y alta selectividad es de 0.18. ¿Cuál es la probabilidad de que un sistema con alta fidelidad, tenga alta selectividad?
Datos:
→0. 8 1 ∩ →∩0.18
RIMARACHÍN DÍAZ MARVIL
22
9.
0. 1 8 ∩ ∩→∩ 0.81 0.22 1 +0. 10.290.29+0.71 430.72 ∪
Si A y B son eventos mutuamente excluyentes, p(A)= 0.29 y p(B)=0.43, determine,
a. b.
10. De un grupo de ingenieros, el 30% practica futbol y el 40% juega ajedrez. De los futbolistas el 20% juega ajedrez. Si se elige aleatoriamente a un ingeniero. ¿ Cuál es la probabilidad de que: F=30%
A=40% 20% 20%
10%
100% a. Sea futbolista: 0. 1 b. Juegue Ajedrez: 0. 2
, ̅ 1 0.5
c. No practique ni futbol ni ajedrez:
11. En una encuesta pública se determina la probabilidad que una persona consuma el producto A es 0.50, que consuma el producto B es 0.37 que consuma el producto C es 0.30, que consuma A y B es 0.12, que consuma solamente A y C es 0.08, que consuma solamente B y C es 0.05 y que consuma solamente C es 0.15. Calcular la probabilidad que una persona consuma
0. 0.5 ; 0. 3 7 ; 3 0; ∩0. 1 2 ∩0. 0 8 ∩0. 0.1505 A=0.5
B=0.37
0.3 0.08
1
0.1 0.02
0.2 0.05
0.15
C=0.30
∪..+..+. . ∩0.3+0.1+0.20.6 0.3
a. A o B pero no C b. Solamente A
RIMARACHÍN DÍAZ MARVIL
23
∩∩ ∩∩ ∩ ∩
12. A una muestra aleatoria de 200 personas se clasifica según su sexo y su nivel de educación: Total Educación (A) Hombre Mujer 83 38 45 Primaria 78 28 50 Secundaria 22 17 39 Superior Total 88 112 200 Si se escoge una persona al azar de este grupo, calcular la probabilidad de que: a. La persona sea hombre.
20088 0.44 ∩ 20028 0.14
b. La persona sea hombre dado que tiene educación secundaria
∩ 3920017 0.4359 ó 200 ∴:10.4359 0.5641 ó
c. La persona no tiene educación superior dado que es mujer.
13. Una compañía que concierta citas por computadoras tiene en sus archivos los nombres y direcciones de 200 chicos. De estos 200, un total de 35 miden 1.75 mts. o menos de estatura; 60 son de cabello negro; 12 de los chicos de cabello negro miden 1.75 mts. o menos. Andreína Grossi envía su solicitud por correo, ¿Cuál es la probabilidad de que : Estatura (A) Color de Cabello (B) Total
<175 >175 Total
12 48 60
23 117 140
35 165 n=200
a. En función al cuadro anterior, dé un ejemplo de eventos mutuamente excluyentes. En el lanzamiento de un dado: Lanzamientos pares y lanzamientos impares Color de cabello negro o no negro. En el lanzamiento de una moneda: lanzamientos cara y lanzamientos Sello. Que el personal sea hombre o que el personal sea mujer
∪ + → ∩ 20060 + 165200 20048 0.885 ∩ 20012 0.06 ∩ 20023 0.115
b. Reciba el nombre de un chico de cabello negro o estatura mayor a 1.75mts?
c. Reciba el nombre de un chico de cabello negro y que su estatura menor ó igual a 1.75mts? d. Reciba el nombre de un chico de estatura máxima de 1.75 y tenga cabello no negro.
RIMARACHÍN DÍAZ MARVIL
24
CURSO: PROBABILIDAD Y ESTADISTICA Tema: VARIABLE ALEATORIA - DISTRIBUCION BINOMIAL Y POISSON SEMANA: 6 I. VARIABLE ALEATORIA DISCRETA 1. Sea X el número de defectos diarios de artículos industriales que produce la Fabrica “EDELSA SAC”. La funci ón de probabilidad para X es:
Calcule: a. El valor de la constante K sabiendo que la distribución es de probabilidad.
++++0. 2+0.2+++1 6+0. 4 1 10.6 4 0.1 >45+ 60.1+0.10.20 ≥22+ 3+ 4+ 5+ 60. 4 +0. 4 0. 8 >21+ 020. 2 ≤33+2+1+0 ≤30.6 5≤≥22+3+4+5 5≤≥20.7 +10. +20. +30. +40. +50. +60. 00. 1 1 1 3 2 1 1 3. 1 00.1+10.1+20.1+30.3+40.2+50.1+60.112.5 12. 5 3.1 2.89 b. La probabilidad de que el número de defectos diarios en los artículos sea superior a 4.
c. La probabilidad de que el número de defectos diarios en los artículos sea por lo menos 2. d. La probabilidad de que el número de defectos diarios en los artículos sea menos de 2. e. La probabilidad de que el número de defectos diarios en los artículos sea a lo más 3.
f. La probabilidad de que el número de defectos diarios en los artículos sea por lo menos 2 y a lo más 5. g. Determine el número esperado de defectos diarios y su desviación estándar.
RIMARACHÍN DÍAZ MARVIL
25
2. Se lanza una moneda tres veces y definimos a la v ariable X como el número de caras. C
CCC
C S
CCS
C
CSC
S
CSS
C
SCC
S
SCS
C
SSC
S= {CCC, CCS, CSC, CSS, SCC, SCS, SSC, SSS}
3
C
2
S
1
C
Probabilidad Puntual P(X=0) = 0.125 P(X=1) = 0.375 P(X=2) = 0.375 P(X=3) = 0.125
Probabilidad Acumulada P(X≤0) = 0.125 P(X≤1) = 0.5 P(X≤2) = 0.875 P(X≤3) = 1
S S
0
S SSS Calcule: a) Su distribución de probabilidad. b) La probabilidad de que el número de caras sea 1.
c) d) e) f) g) h)
1 18 0.125 ≤20.875 >1 2+ 30.375+0.1250.5 ≥11 010.1250.875 ≤31 20.375 1<≤3 2+ 30.375+0.1250.5 . 0+0. 00.375+0. 125+1x0.75+0.375+2x 0. 3 75+3x0. 1 25 3 751. 5 x0.375+2x 0.375+3x0.125 00.0+0.125+1 3 75+1. 5 +1.1 253 31.5 0.75 La probabilidad de que el número de caras sea lo más 2
La probabilidad de que el número de caras sea más de 1.
La probabilidad de que el número de caras sea por lo menos 1 La probabilidad de que el número de caras sea a l o más 3 La probabilidad de que el número de caras sea 2 Calcular la probabilidad
Determine el número esperado de caras y su desviación estándar.
3. Sea X el número de accidentes mensuales en una empresa procesadora de alimentos. La función de probabilidad para X es:
Calcule: a) El valor de a.
0. 0 1++0.+0.81 4 +0. 2 +0. 1 +0. 0 91 0. 2 30.2 ≤40+ 1+ 2+ 3+ 40.91
b)
La probabilidad de que el número de accidentes mensuales es 3.
c)
La probabilidad de que el número de accidentes mensuales es a lo más 4
RIMARACHÍN DÍAZ MARVIL
26
4.
≥2 2+ 3+ 4+ 50.79 ≤3 3+ 2+ 1+ 00.81 . 0+0. 00.01+10. 2 +20. 4 +30. 2 +40. 1 +50. 0 9 2 +0. 8 +0. 6 +0. 4 +0. 4 52. 4 5 0 0.0+0.01+12+1.0.6+1.2+28+1.0.64+2.+3 20.57.2+4450.1+50.09 7.452.45 1.45
d)
La probabilidad de que el número de accidentes mensuales es por lo menos 2.
e)
La probabilidad de que el número de accidentes mensuales como máximo es 3.
f)
Hallar el nº esperado de accidentes mensuales y su desviación estándar.
Una variable aleatoria X puede tomar los valores 30, 40, 50 y 60 con probabilidades 0.40; 0.20; 0.10 y 0.30. Represente en una tabla su función de probabilidad y determine las siguientes probabilidades. Valores
30
40
50
60
Probabilidades
0,40
0.20
0.10
0.30
a) P (X≥60) = 0.30 b) P (X<40) = 0.40 c) P (30≤X) = P (X≥30) = 1 d) P (40 ≤ X ≤ 60) = 0.60
5. Una muestra aleatoria con reposición de tamaño n=2 se selecciona del conjunto 1,2,3 , produciendo el espacio de 9 elementos: = ( 1,1); ( 1,2); ( 1,3); ( 2,1); ( 2,2); ( 2,3); (3,1); ( 3,2); ( 3,3). Se define a X como la suma de los dos números: a)
1
2
3
Encuentre la distribución de probabilidad de X. 1 2 3
1 2 3
1 2 3
6
1,1 1,2 1,3
S= {1,1; 1,2; 1,3; 2,1; 2,2; 2,3; 3,1; 3,2, 3,3}
5
2,1 2,2 2,3
4
3,1 3,2 3,3
3
Probabilidad Puntual P(X=2) = 1/9=0.11 P(X=3) = 2/9=0.22 P(X=4) = 3/9=0.33 P(X=5) = 2/9=0.22 P(X=6) = 1/9=0.11
2 b)
Encuentre el valor esperado y la varianza de X
. 0. 20.22+0. 11+30. 2 2+40. 3 3+50. 2 2+60. 1 1 6 6+1. 3 2+1. 1 +0. 6 63. 9 6 2 0.11+30.22+40.33+50.22+60.11 0.44+1.98+5. 28+5.5+3.9617.16 17. 1 63.96 1.48
RIMARACHÍN DÍAZ MARVIL
27
6. Un trabajador recibirá un premio de 300, 200 o 100 soles, según el tiempo que tarde en realizar un trabajo en menos de 10 horas, entre 10 y 15 horas y más de 15 horas respectivamente. La probabilidad de realizar el trabajo en cada uno de estos casos es de 0.5; 0.4 y 0.1. Horas Premio (x) P(x) 150 300 0.5
.
<10
10 - 15
200
0.4
80
>15
100
0.1
10
140 .0.5300+0.4x200+100x 0.1S/140
Total
1
a)
Determine la esperanza y la función de probabilidad de la variable aleatoria X = Premio recibido.
b)
Defina una nueva variable aleatoria Y, con valor 1 si tarda menos de 10 horas y v alor 0, en caso contrario. Obtenga su distribución de probabilidad, esperanza y varianza.
. <10 300 . 300 1×300+0×100300 ×1+100 ×090 000 90 000300 0
Horas
Premio (y)
P(y)
>15
300 100
1 0
Total
300 0
1
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL 7. El 20% de los trabajadores de una empresa irá a la huelga. Se seleccionan 5 trabajadores de dicha empresa. Obtenga la probabilidad:
º 5 0.20 ℎ ≥33+4+50.05792 50.00032 00.32768 . 50. 2 1 ..50.20.80.8→: 10.20.8 º 30 0.20 40.13252 00.00124 ≤30.12271
a)
De que al menos tres vayan a la huelga.
b)
De que todos vayan a la huelga.
c)
De que ninguno vaya a la huelga.
d)
Hallar media y varianza
8. El almacenero del laboratorio reporta que de las treinta puntas de un dosificador electrónico de reactivos, el 20% están malogradas, él desea saber la probabilidad de que:
a)
Estén malogradas 4 puntas de prueba.
b)
Ninguna punta esté malograda
c)
A lo más 3 puntas están malogradas
d)
Más de 2 puntas estén malogradas
RIMARACHÍN DÍAZ MARVIL
28
e)
>20.95582 . 300. 2 68 .→: .300. 2 0. 8 4. 10.20.8 º 0. 03 2097899 0.03 ≤20. 10 0. 0 3 ≥11 ≤010.737420.26258
Hallar la media y Varianza
9. Una cadena grande de tiendas compra cierto tipo de dispositivo electrónico de un fabricante. El fabricante indica que el porcentaje de defectuosos es de 3%.
a)
El inspector de la cadena elige 20 artículos al azar de un cargamento ¿Cuál es la probabilidad de que haya a lo más dos artículo defectuoso?
b)
El inspector de la cadena elige 10 artículos al azar de un cargamento ¿Cuál es la probabilidad de que haya al menos un artículo defectuoso?
10. En la empresa SAVA S.A. se realiza la producción de tornillos para motores diesel por parte de una máquina automática italiana. Esta máquina dependiendo de factores externos produce el 1% de tornillos defectuosos. El Ingeniero jefe del área de Control de Calidad selecciona en forma aleatoria 18 tornillos al azar de la producción:
º 18 0. 01 á á ≤30.99997 ≥31 ≤210.999270.00073 2≤≥4≥4≤20.01376 . 180. 0 10. 1 8 .→: .180.10. 010.0910. 90.919782 º 25 . 0.05 a)
Cuál es la probabilidad de que exista a los más 3 defectuosos.
b)
Cuál es la probabilidad de que exista por lo menos 3 defectuosos.
c)
Cuál es la probabilidad de que haya entre 2 y 4 defectuosos inclusive.
d)
Hallar la media y Varianza
11. Cuando se prueban tarjetas de circuitos empleados en la manufactura de reproductores de discos compactos, a la larga el porcentaje de partes defectuosas es de 5%. Sea X = número de tarjetas defectuosas en una muestra aleatoria de tamaño 25. Determine:
a) b) c) d)
P ( X ≤ 2) = 0.87289 P ( X ≥ 5) = 0.998787 P ( 1 ≤ X ≤ 4) = 0.71545 ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna de las 25 tarjetas esté defectuosa?
e)
Calcule el valor esperado y desviación estándar de X.
RIMARACHÍN DÍAZ MARVIL
00.27738957 . 250. 0 50. 2 5 .→: .250.10. 050.0950. 50.915875
29
12. Se conjetura que hay impurezas en 30% de los pozos de agua potable de cierta comunidad aledaña a una actividad minera. Para obtener algún conocimiento del problema se determina que debería realizarse algún tipo de prueba. Es muy costos probar todos los pozos del área por lo que se eligieron 10 aleatoriamente para la prueba.
º 10 0. 3 30.26683 >30.35039 2<>50.46695 º 15 ó 0.28 00.007244 150.00000 20.11503
a)
¿Cuál es la probabilidad de que exactamente tres pozos tengan impurezas, considerando que la conjetura es cierta?
b)
¿Cuál es la probabilidad de que más de tres pozos tengan impurezas?
c)
¿Cuál es la probabilidad de que más de dos pozos pero menos o igual a 5 pozos tengan impurezas?
13. La probabilidad de error de un determinado programa de automatización industrial es 0,28. Calcular la probabilidad de que una vez instalado en 15 máquinas:
a)
Ninguna tenga error
b)
Todos tengan un error
c)
Dos de ellas tengan error
14. Un ingeniero se presenta a un examen de selección múltiple que contiene 8 preguntas cada una con tres respuestas opcionales. Si el ingeniero está adivinando al responder cada pregunta y además se sabe que para aprobar el examen debe responder correctamente 6 o más preguntas. ¿ Cuál es la probabilidad de aprobar el examen?.
8
º 0.33 0. 6 7 ≥6 ≥61≤5 ≥610.981340.01866 º 0.1 0.354291 6 10. 8 0.1813100.18690 ≥21≤110. 5 0. 1 ≤40.9999
15. Una compañía que produce cristal fino sabe por experiencia que 10% de sus copas tienen imperfecciones y deben clasificar como “de segunda”
a)
Entre seis copas seleccionadas al azar ¿Qué tan probable es que sólo una sea de segunda?
b)
Entre ocho copas seleccionadas al azar ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos dos sean de segunda?
c)
Entre 5 copas seleccionadas al azar ¿Cuál es la probabilidad de que a lo más 4 sean de segunda?
DISTRIBUCIÓN POISSON
16. En un almacén particular los clientes llegan al mostrador de la caja, en promedio de 7 por hora. En una hora dada, ¿cuál es la probabilidad de que:
a)
º 7 ℎ ℎ 3 ⇒ >3 0,97036
¿No lleguen más de 3 clientes?
RIMARACHÍN DÍAZ MARVIL
30
3 ⇒1 >31 0,970360,02964 ≥21 ≤110,0072950,99270 50,127717 º ℎℎ 6 2∪ 40,04462+0,133850,17847 1 00,36788
b)
¿Lleguen al menos 2 clientes?
c)
¿Lleguen exactamente 5 clientes?
17. El cajero automático ubicado dentro de una tienda por departamentos, en promedio es utilizado por seis personas en una hora.
a)
¿Cuál es la probabilidad de que dos o cuatro personas utilicen el cajero durante una hora?
b)
¿Cuál es la probabilidad de que nadie utilice el cajero durante diez minutos? 60 min 6 clientes 10 min X clientes
c)
¿Cuál es la probabilidad de que en dos horas el número de personas que utilicen el cajero sea mayor o igual a tres y menor a seis? 1 hora 6 clientes 2 horas X clientes
12 3≤<60 3+ 4+ 501982 3≤<600, 0 0177+0, 0 0531+0, 0 12740, ≥3∩<60,01982
18. Suponga que una compañía de seguros asegura las vidas de 5000 hombres de 42 años de edad. Si los estudios actuales muestran que la probabilidad de que un hombre muera en cierto año es 0.001, entonces la probabilidad de que la empresa pague exactamente 4 indemnizaciones en un cierto año es? 5 000 x 0.001
5
hombres por año
5 000 x X = 4 hombres
X= 0.0008
P (X=4) en un cierto año
19. Una planta tiene 200 máquinas, si la probabilidad de que falla una en cierto día es 0.005. Encuentre la probabilidad de que durante un día determinado fallen dos máquinas. 200 x 0.005
1
maquina en un día
200 x X = 2 maquina en un día
X= 0.01
P (X=2) en un cierto día
º 2 1 30 1 ℎ 2.30, 5 21376 5 2.00, 5 082085
20. En la Universidad Privada del Norte las llamadas entran cada 2 minutos
a)
¿Cuál es la cantidad esperada de llamadas en u na hora? 2 min 1 llamada 60 min X llamadas
b)
¿Cuál es la probabilidad de 3 llamadas en los sig. 5 minutos? 2 min 1 llamada 5 min X llamadas
c)
¿Cuál es la probabilidad de no llamadas en los sig. 5 minutos?
d)
¿Cuál es la probabilidad de recibir 10 llamadas en l os sig. 15 minutos? 2 min 1 llamada 15 min X llamadas
7.100, 5 08583 5
RIMARACHÍN DÍAZ MARVIL
31
21. El número medio de personas que llegan a un cierto comercio es de 2 personas cada 5 minutos, y admitimos que el número X de personas que llegan a ese comercio cada 5 minutos sigue una distribución de Poisson. Obtener:
º 2 5 00,13534 10,27067 20,27067 >20,32332 º801%0. 0 1 ≥31 ≤210.953450.04655 º 10 1, 5 ≤10. 55783 º 2.3 20.26518 11. 100.5 1129
a)
La probabilidad de que en el periodo de 5 minutos no llegue ninguna persona.
b)
Que llegue una persona
c)
Que lleguen dos personas
d)
Que lleguen más de dos personas.
22. Se sabe que el 1% de los artículos importados de un determinado país tienen algún defecto. Si tomamos una muestra de tamaño 80 artículos, determinar la probabilidad de que tres o más de ellos tengan algún defecto.
23. El número de nudos en un tipo particular de madera tiene una distribución de Poisson con una media de 1,5 nudos por 10 pies3 de madera. Encuentre la probabilidad de que un bloque de madera de 10 pies3 tenga a lo más un nudo.
24. Supongamos que el número de imperfecciones en un alambre delgado de cobre sigue una distribución Poisson con una media de 2.3 imperfecciones por milímetro.
a)
Determine la probabilidad de 2 imperfecciones en un milímetro de alambre.
b)
Determine la probabilidad de 10 imperfecciones en 5 milímetros de alambre. 2.3 imperf 1 mm x 5 mm
c)
Determine la probabilidad de al menos una imperfección en 2mm de alambre. 2.3 imperf 1 mm x 2 mm
4. 6 ≥11≤00.98995 º ℎ á 0.3 ℎ 50 000
25. El número de pinchazos en los neumáticos de cierto vehículo industrial tiene una media 0.3 por cada 50 000 kilómetros. Si el vehículo recorre 100 000 km, se pide:
50 000 km
0.3 pinchazos
100 000 km
x
0.6 ℎ 100 000 00.54881 <30.97688
a)
Probabilidad de que no tenga pinchazos
b)
Probabilidad de que tenga menos de tres pinchazos
c)
Número de km recorridos para que la probabilidad de que no tenga ningún pinchazo sea 0.4066.
RIMARACHÍN DÍAZ MARVIL
32
50 000 km X km
0.3 pinchazos 0.4066 pinchazos
67 766.67 º 0. ℎ2 á 0. 2 7 ≥31≤210.8519680.14803 . 250. 0 50. 2 5 ..0. 32 ⇒ →:20.810. 20.8 200 º ℎ 6 ℎ 40.13385 6 ℎ ℎ ⇒05 ⇒01 30 >301≤300.45165
26. Un operador elige al azar entre “n” chips de una caja. La probabilidad de que sea defectuoso es 0,2.
a)
Si n = 7, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 3 chips sean defectuosos?
27. ¿Cuántos chips hay en la caja si la varianza es 32?
28. Un banco recibe en promedio 6 cheques falsos al día, hal lar:
a)
Probabilidad de que se reciban cuatro cheques falsos en un día.
b)
Probabilidad de que se reciban más de 30 cheques falsos en 5 días.
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33
CURSO: PROBABILIDAD Y ESTADISTICA Tema: VARIABLE ALEATORIA CONTINUA – DISTRIBUCIÓN NORMAL SEMANA: 07 Y 8
1. Sea Z una variable aleatoria normal estándar; calcular las siguientes probabilidades empleando graficas cuando sea apropiado: a)
0 ≤ ≤ 2 ≤2≤00.97720.50000.4772 ≤2
b)
≤0
0 ≤ ≤ 20.4772 1 ≤ ≤ 1≤1≤10.84130.15870.6826 ≤1
RIMARACHÍN DÍAZ MARVIL
≤1
34
c)
≤1.650.9505
d)
e)
1 ≤ ≤ 10.6826
≤1.960.0250
0 ≤ ≤ 2.32 ≤2.32≤00.98980.50000.4898 ≤2.32
RIMARACHÍN DÍAZ MARVIL
≤0 35
f)
0 ≤ ≤ 2.320.4898 || > 1.51≤1. 510.93320.0668
g)
>1. 50.0668 1.9 ≤ ≤ 2 ≤ 2≤1.90.97720.02870.9485 ≤1.9
≤ 2 1.9 ≤ ≤ 20.9485 RIMARACHÍN DÍAZ MARVIL
36
h)
i)
2. Sea
≤1.370.9147
≤1.370.9147 || > 2.571≤2.5710.99490.0051
>2.57 ~,. ~80, 1 0 ≤80≤−≤ −≤00.500 Determinar:
a)
≤00.5000 RIMARACHÍN DÍAZ MARVIL
37
b)
c)
≥100≥ −≥20.0228 ≥20.0228 75≤≤100 ≤100 ≤75
≤ 10080 10 ≤ 7580 10 ≤2≤0. 5 0.97720.30850.6687 ≤2
≤0.5
≤2≤0. 50.6687
d)
75≤ ≥75≥ −≥0.50.6915 ≥0.5
RIMARACHÍN DÍAZ MARVIL
38
e)
| 80|≤19.6 80≤19. 6 ⇒≤99. 6 ≤99.6≤ 99.61080≤1.960.9750 ≤0.1960.9750 80≤19. 6 ≤60. 4 ≤60.4≤ 60.41080≤1.960.0250 ≤1.960.0250 ||≤0. 9 5 || ≤≤⇒1. 6 4
3. En cada uno de los siguientes casos, determinar el valor de "c" que hace verdadero el enunciado de probabilidad. a)
≤1.640.9495 RIMARACHÍN DÍAZ MARVIL
39
b)
c)
||≤0.99⟹2. 3 3 ≤2.330.9901 ≤0.05⟹1.64 ≤1.640.0505
4. El gerente de personal de una gran compañía requiere que los solicitantes a un puesto efectúen cierta prueba y alcancen una calificación de 500. Si las calificaciones de la prueba se distribuyen normalmente con media de 485 y una desviación estándar de 30, ¿Qué porcentaje de los solicitantes pasará la prueba?
; ; 485;500; 30 500485 0.5 30 ó 500 <500<0. 50.6915
Calculando el valor de Z obtenemos:
≥0. 0. ≥500⟹≥0. 5 5 3 085 0.3085 10030.85% á .
El porcentaje pedido es
RIMARACHÍN DÍAZ MARVIL
40
≥0. 50.308530.85% 5. Un ciento de pequeños tornillos se empaca en una caja. Cada tornillo pesa 1 onza con desviación estándar de 0.01 onzas. Encuentre la probabilidad de que la caja pese más de 102 onzas.
100 → 100×0. 0 11 ~100 , 1 >102≤ 100102 1 >20.9772 >20.9772
6. Sea X una variable aleatoria N (5, 4) ¿Cuál es la probabilidad que X tome valores entre 3 y 8? ¿Cuál es la probabilidad que tome valores mayores a 8? Sea
~5,3≤≤8≤8≤3 4 a)
≤ 854≤ 354≤0. 7 5 ≤0.25 0.77340.40130.3710
≤0. 7 5≤0.250.3710 RIMARACHÍN DÍAZ MARVIL
41
b)
≥8≥ 854 ≥0.75 0.2266 ≤0. 7 5 0.2266
7. Para cierto examen la calificación media es de 11 y desviación estándar es igual a 2. Se desea desaprobar al 40% de los examinados. ¿Cuál debe ser la calificación máxima desaprobatoria? Sea X = calificación vigesimal de los examinados
~11,2 ≤ − 0. 4 <≤ −−⟹−. 0.400.25⇒10.5
Sea
, entonces:
~ N (0, 1).
Sea M la máxima nota desaprobatoria buscada, entonces:
8. La distribución de los salarios mensuales de los trabajadores de la Mina Yanacocha tiene un comportamiento normal cuya media es S/. 2100 y una varianza de S/. 62 500. Si el número de trabajadores es de 4250 ¿Cuántos de los trabajadores tienen salarios: a) Menores de S/. 2100?
~2100, 62 500 < 21002100 62 500 <00.5000
< 25002100 62 500 <0.00640.5026
b) Menores de S/. 2500?
RIMARACHÍN DÍAZ MARVIL
42
> 26002100 62 500 >0.00800.4968
c) Mayores de S/. 2600?
25002100 20002100 2000≤≤2500≤ ≤ 62 500 62 500 ≤0.0064≤0.00160.50260.49940.0030
d) Entre 2000 y 2500 soles?
≤0.0064≤0.00160.0030
9. El tiempo requerido para ensamblar una pieza mecánica es una variable aleatoria cuya distribución es aproximadamente normal con media 12.9 minutos y una desviación estándar de 2.0 minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que el ensamblado de una pieza mecánica cualquiera tarde
a) ¿Al menos 11.5 minutos?
12.9 2
9 ≥11.5≥ 11.512. 2 ≥0. 70.7580
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43
≥0. 70.7580 11≤≤14. 8 ≤14.8 ≤11 9 1112. 9 ≤ 14.812. ≤ 2 2 ≤0. 9 5 ≤0.95 0.82890.17110.6578
b) ¿Entre 11.0 y 14.8 minutos?
c) ¿A lo más 12 minutos?
≤0. 9 5 ≤0.95 0.6578 ≤12≤ 1212.2 9≤0.450.3264
≤0.45 0.3264 9 10. 9 12. 9 10.≤0. 9≤≤13.2 5≤10. 4 ≤ 13.412. ≤ 259870.15870.44002
d) ¿Entre 10.9 y 13.4 minutos?
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44
≤0. 2 5 ≤1 0.4400 10.Los salarios mensuales de los trabajadores de una empresa tiene un comportamiento normal cuya media es S/. 2100 y una desviación estándar de S/. 450. ¿Cuál es la probabilidad de que los trabajadores tengan salarios:
~2100,450 a) Menores de S/. 2150.
<2150 < 21502100 450 <0.1111 0.5442
b) Menos de S/. 2200.
c) Más de S/. 2180.
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<0.1111 0.5442 <2200 < 22002100 450 <0.22 0.5871 <0. 2 2 0.5871 >2180> 21802100 450 >0. 1 80.4286 45
>0. 1 80.4286
11.Los focos de alumbrado eléctrico producidos por una compañía eléctrica tienen una distribución normal con una media de 1000 horas y una desviación estándar de 50 horas. Determinar la probabilidad de que:
~1000,50
a) Un foco tomado al azar se queme en menos de 950 horas
<950 < 9501000 50 <1 0.1587
<10.1587 b) Un foco de que queme entre 900 y 1200 horas
12001000 9001000 900≤≤1200< < <4<2 50 50 <4 <2 10.02280.9772
<4 <2 0.9772 <990< 9901000 50 <0. 20.4207
c) Un foco se queme en no menos de 990 horas
RIMARACHÍN DÍAZ MARVIL
46
∴>0. 2 0.5793 ⟶ 990 ℎ ∴>0. 2 0.5793 12.El contenido de las botella de jugo de naranja llenadas por una máquina automática tiene una distribución aproximadamente normal con media 63.9 onzas y desviación estándar de 0.25. Encontrar la probabilidad de que:
~ 63.9 , 0.25 <64 < 640.263.5 9<0. 4 0.6554
a) Una botella contenga menos de 64 onzas de jugo de naranja.
<0. 4 0.6554 ≥63.75≥ 63.70.52563.9≥0. 60.7257
b) Una botella contenga al menos 63.75 onzas de jugo de naranja.
≥0. 6 0.7257
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47
13.Un análisis realizado al contenido de grasa en jamones determina que en cada corte de 5 onzas de jamón se tiene en promedio 12.34 gramos de grasa si se asume que la cantidad de grasa tiene distribución normal con desviación estándar de 0.8 gramos.
~ 12.34 , 0.8
a) ¿Qué porcentaje de cortes de jamón de 5 onzas tiene un contenido de grasa entre 10.2 gramos y 12.5 gramos?
12.512. 3 4 10. 2 12. 3 4 ≤2. 10.2≤≤12.5 ≤ ≤ ≤0. 2 6 75 0. 8 0. 8 ∴57.56% ≤0. ó 25≤2. 6750. 57930. 00370. 510.7562 12.5
≤0. 2 ≤2.675 0.5756 b) ¿Qué porcentaje de cortes de jamón de 5 onzas tienen más de 14 gramos de grasa?
>14 > 1412.0.8 34>2.075 0.0190
>2.075 0.0190∴1.9% ó 5 á 14
14.El concejo distrital de Cajamarca tiene en estudio elevar los impuestos sobre la propiedad para financiar una nueva biblioteca. El concejo considera que debe gravar a quienes tengan casas valoradas en el 40% superior. Si los valores de la propiedad se pueden expresar como normal con media S/.62000 y desviación estándar S/. 8250, ¿Cuál es el valor más alto que se puede atribuir a su propiedad sin que tenga que pagar el impuesto?
~ 6262000000, 8 250 >40% > 8 250 0.40 40% 0. 4 0 ⟶0. 2 5 ⇒64 062. 6 ∴64 062.6 sin
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15.Los salarios anuales de los ejecutivos de mandos medios de la compañía están distribuidos como una normal con desviación estándar de S/. 12000. Se tiene programado un recorte de personal que implica el despido de aquellos que ganen menos de S/. 18000. Si tal medida representa el 10% de los ejecutivos de mandos medios, ¿Cuál es actualmente el salario medio de este grupo de funcionarios?
~ 1818000 000, 12 000 10% 12 000 0.10 10% 0.10 ⟶1.28 ⇒33 360 ∴33 360
16.El contenido de nicotina de un cigarrillo de una marca en particular es una variable aleatoria con media 0.8 mg y una desviación estándar 0.1 mg. Si una persona fuma 5 cajetillas por semana, ¿Cuál es la probabilidad de que la cantidad total de nicotina consumida en una semana sea por lo menos de 82 mg?
100 5 5×210 20⟶ 20×0. 1 2
→~82100100 , 10 ≥82≥ 10 ≥1. 80.9641
≥1. 8 0.9641
17.El tiempo total necesario para procesar una solicitud de préstamo hipotecario en un banco local sigue una distribución normal con un promedio de 7 días y una desviación estándar de 3 días.
→~ 7 , 3
a) ¿Cuál es la probabilidad de que le tiempo promedio de procesamiento de una muestra de 20 solicitudes, elegidas al azar, sea superior a 9 días?
20 →20×360 →~ 20 ,602 >9 > 9760 >0.33333 0.3694 RIMARACHÍN DÍAZ MARVIL
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>0.333330.3694 ú →×3 →~ ( , 2) 87< 1.96 <8 < ×3 87 1.96→0.17 ×3 :0.17×10017
b) ¿Cuántas solicitudes de préstamos se deben seleccionar para encontrar un tiempo promedio de procesamiento inferior a 8 días, con 97.5 de probabilidad?
<1. 9 6 0.9750
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CURSO: PROBABILIDAD Y ESTADISTICA Tema: MUESTREO Y TAMAÑO DE MUESTRA Semana: 09
1. El Gerente de planificación tiene interés en estimar el consumo de agua promedio por familia en una ciudad. Determine: a. Población: El número total de familias de la ciudad (N) b. Muestra: El subconjunto de familias determinados mediante muestreo probabilístico. c. Unidad de análisis: Una familia d. Marco muestral: Marco digital de viviendas (sectores o manzanas) e. Tipo de muestreo: Muestreo Probabilístico Estratificado. 2. Una empresa Industrial está constituida por muchas plantas o fábricas pequeñas localizadas a lo largo y ancho del país. Un ejecutivo quiere encuestar las opiniones de los empleados sobre la política vacacional de la empresa. ¿Qué sugeriría Ud. que el ejecutivo usará como unidad de muestreo? ¿Cuál sería su marco muestral? a. Unidad de análisis (muestreo): Un empleado b. Marco muestral: Planilla de empleados de las fábricas pequeñas de la empresa. 3. El ministerio de Salud-Cajamarca está realizando una investigación acerca del comportamiento del peso y estatura de niños en la ciudad de Cajamarca y ver si presenta un plan de salud para mejorar este factor latente de bajo peso. Además se sabe que han acudido a los Hospitales del MINSA de la ciudad, para tomar los pesos y estaturas de los niños. Identifique los siguientes elementos: a. Unidad de estudio: Un niño b. Marco muestral: Listado de niños que acudieron a hospitales del MINSA c. Población: Total de niños que acudieron a todos los hospitales del MINSA d. Tipo de muestreo: Muestreo probabilístico 4. En cierto barrio se quiere hacer un estudio para conocer mejor el tipo de actividades de ocio que gustan más a sus habitantes. Para ello van a ser encuestados 100 individuos elegidos al azar. Explicar qué tipo de muestreo sería más adecuado utilizar. Probabilístico por estratos por asignación proporcional; porque el tamaño de cada estrato en la muestra es proporcional a su tamaño en la población.
5. Supongamos que la población es de tamaño 1000 y deseamos sacar una muestra de tamaño 20, en este caso se divide a la población en 1000/20 = 50 partes. Luego de entre las observaciones 1 al 50 se elige una de ellas al azar, supongamos que salió la observación 37, ese sería el primer elemento de la muestra, los siguientes serían elegidos de 50 en 50. Determine las observaciones de la muestra e identifique el tipo de muestreo utilizado.
1000 ;20 RIMARACHÍN DÍAZ MARVIL
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100020 50 37
37 87 137 187 237
á 287
537
337
587
387
637
437
687
487
737
787 837 887 937 987
6. Si en una población existieran un 60% de mujeres y un 40% de hombres, ¿esta proporción se respetaría en el estrato?
; ó ñ ñ ó.
7. Supongamos que estamos interesados en conocer la afición al cine en una determinada ciudad. Podemos considerar que la edad es invariable relevante, por lo que podríamos establecer diversos estratos: de 18 a 25años, de 26 a 40, de 41 a 60 y mayores de 61, presuponiendo que los gustos cinematográficos de los sujetos que forman un estrato son más parecido entre sí que en lo que respecta al de otros estratos diferentes. ¿Qué tipo de afijación se usaría?
ó
8. Identifique el tipo de muestro que utilizaría en cada uno de los siguientes casos. a. Hacer un sorteo con papelitos que se sacan de un sombrero. b. Por ejemplo, mandando un encuestador a 850 ciudades o pueblos distintos para encuestar en total a 1000 personas. Para un estudio de opinión, puede resultar interesante estudiar por separado las opiniones de hombres y mujeres pues se estima que, dentro de cada uno de estos grupos, puede haber cierta homogeneidad. Así, si la población está compuesta de un 55% de mujeres y un 45% de hombres, se tomaría una muestra que contenga también esa misma proporción. c. Transeúntes que digan lo que opinan sobre un tema. d. Distintas especialidades médicas: oftalmólogos, cardiólogos, anestesistas.
e. Se extrae una muestra de una "población" de bombillas para estimar la vida media de las bombillas que la integran, no será posible medir más que una vez la bombilla seleccionada. f. En un I.E.S. hay 120 alumnos en 2º de Bachillerato provenientes de 4 zonas o pueblos.
Zona A: 20 alumnos
Zona B: 32 alumnos
Zona C: 60 alumnos
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Zona D: 8 alumnos
9. Sean los siguientes enunciados: A. La gerencia de mercadeo de una empresa de café, desea estimar el número de tazas de café que consumen al día los residentes de la Provincia de Cajamarca, a fin de colaborar con una campaña que está realizando el MINSA, para dar a conocer los pro y contra del consumo del café. B. Un perito de seguridad de una compañía está interesado en estimar la proporción de vehículos asegurados en la compañía que no tienen un sistema de frenos adecuado, los mismos que muchas veces causan los accidentes de tránsito. C. El departamento Sanitario de un Municipio quiere estimar la proporción de bodegas que funcionan bajo un estado sanitario defectuoso. D. El ministerio de Salud desea estimar la proporción de escolares que tienen problemas con las drogas y/o alcohol en la ciudad de Cajamarca.
De los enunciados anteriores, responda con una V (si es verdadero) o con una F (si es falso) y en algunos casos complete. 1. La unidad de estudio en B, es un vehículo con sistema de frenos malogrado. V 2. La unidad de estudio en B, es el sistema de frenos. F 3. La población en C, está formada por las bodegas que funcionan en toda la jurisdicción del Municipio. V 4. La unidad de estudio en D, es un niño en edad escolar que vive en la ciudad de Cajamarca. V 5. La población en B, es el conjunto de vehículos asegurados de la CIA. 6. El marco muestral en C, puede ser la relación de bodegas con licencia municipal. 7. El marco muestral en A es: 8. El marco muestral en B, puede ser la cartera de clientes asegurados en la CIA. 9. El marco muestral en D, será: 10. La técnica en C, es entrevista por teléfono. 11. La técnica en D, es entrevista personal. 12. La técnica en B, es observación e inspección directa. 13. El instrumento de medición en A, puede ser un cuestionario.
10.Se tienen la siguiente población hipotética de 30 sectores, donde Xi = Número de viviendas y Yi = Gasto mensual en energía eléctrica por vivienda. (Soles)
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a. Seleccionar una muestra aleatoria de tamaño n=10 sectores, sin reemplazo considerando como punto de arranque A (3,4) y con los datos sobre el número de viviendas y gasto mensual en energía eléctrica, estimar su promedio y varianza. b. Seleccionar una muestra aleatoria de tamaño n=8 sectores, sin reemplazo considerando como punto de arranque A (2,5) y con los datos sobre el número de viviendas y gasto mensual en energía eléctrica, estimar su promedio y varianza.
11.¿A cuántas familias tendríamos que estudiar para conocer la preferencia del mercado en cuanto a las marcas de shampoo para bebé, si se desconoce la población total? Teniendo una Seguridad = 95%; y una precisión (error) = 3%. 12.Queremos ajustar una máquina de refrescos de modo que el promedio del líquido dispensado quede dentro de cierto rango. La cantidad de líquido vertido por la máquina sigue una distribución normal con desviación estándar 0.15 decilitros. Deseamos que el valor estimado que se vaya a obtener tenga un error de estimación no mayor a 0.2 decilitros con una confianza del 95%. ¿De qué tamaño debemos escoger la muestra? 13.Una máquina llena cajas con cierto cereal. El supervisor desea conocer con un error de estimación de máximo 0.1 y un nivel de confianza del 90%, una media estimada del peso. Como la varianza era desconocida se procedió a escoger una muestra piloto. Los resultados fueron los siguientes: 11.02, 11.14, 10.78, 11.59, 11.58, 11.19, 11.71, 11.27, 10.93, 10.94. ¿Cuántas cajas debe escoger?
. 0. 1 014 0.10
190%0. 9 0 × 1. : 6 45 1014 27,44≈280.×0.10
14.Se desea hacer una encuesta para determinar la proporción de familias que carecen de medios económicos para atender los problemas de salud. Existe la impresión de que esta proporción está próxima a 0.35. Con un 95% de confianza y con un error de estimación de 0.05. ¿De qué tamaño debe tomarse la muestra?
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15.Un productor de semillas desea saber con un error de estimación del 1% el porcentaje de semillas que germinan en la granja de su competidor. ¿Qué tamaño de muestra debe tomarse con un nivel de confianza del 95%? 16.Se desea realizar una encuesta entre la población juvenil de una determinada localidad para determinar la proporción de jóvenes que estaría a favor de una nueva zona de ocio. El número de jóvenes de dicha población es N=2000. Determinar el tamaño de muestra necesario para estimar la proporción de estudiantes que están a favor con un error de estimación de 0.05 y un nivel de confianza del 95%. 17.Un analista desea estimar el sueldo promedio de los trabajadores de una compañía determinada, con un margen de error de 80 y una confianza del 90%. Se estima que la desviación estándar de los salarios no es mayor de 400 soles. ¿Cuál es el número de trabajadores que deben muestrearse, como mínimo, para satisfacer este objetivo de investigación si se conoce que en total son 1200 trabajadores? 18.Un centro médico quiere estimar la media del tiempo que se necesita para programar una cita de un paciente. ¿De qué tamaño deberá ser la muestra si se quiere que el margen de error sea de dos minutos y que el nivel de confianza sea del 95%? ¿De qué tamaño deberá tomarse la muestra si se quiere que el nivel de confianza sea de 99%? Para la desviación estándar poblacional use como valor planeado, 8 minutos. 19.Se desea estimar el peso promedio de ochocientas bolsas con cereales. Para ello se va a escoger aleatoriamente cierto número de ellas. Se desea que el error de estimación sea máximo de 3 gramos con una confianza del 90%. ¿Cuántas bolsas deben seleccionarse? Suponga que la varianza es aproximadamente de 144 gramos al cuadrado. 20.Para estimar la proporción de familias de una determinada ciudad que poseen microondas, se quiere realizar una muestra aleatoria de medida n. Calcula el valor mínimo de n para garantizar que, a un nivel de confianza del 95%, el error en la estimación sea menor que 0,05. 21.Se desea determinar una muestra representativa para conocer la opinión en contra de la población acerca de la explotación del Cerro Quilish-Cajamarca. Se aplicó una muestra piloto a 20 de los 12000 cajamarquinos, obteniéndose los siguientes datos. Cuál es el tamaño de muestra con un 95% de confianza y un error del 3%?
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