MATRICES En matemáticas, una matriz es un arreglo bidimensional de números, y en su mayor generalidad de elementos de un anillo. Las matrices se usan generalmente para describir sistemas de ecuaciones lineales, sistemas de ecuaciones diferenciales o representar una aplicación lineal (dada una base). Las matrices se describen en el campo de la teoría de matrices. Las matrices se utilizan para múltiples aplicaciones y sirven, en particular, para representar los coeficientes de los sistemas de ecuaciones lineales o para representar las aplicaciones lineales; en este último caso las matrices desempeñan el mismo papel que los datos de un vector para las aplicaciones lineales. Pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas, lo que también las hace un concepto clave en el campo del álgebra lineal.
ÁLGEBRA DE MATRICES La matriz unidad de orden n ×n es la matriz I de orden n×n en la cual todas las entradas son cero excepto los de la diagonal principal, que son 1. En símbolos: I ij ij = 1 si i = j y I ij ij = 0 si i ≠ j .
Una matriz cero es una matriz O en la cual todas las entradas son cero.
Pregunta 4 Los renglones o filas horizontales de una matriz se numeran en forma consecutiva de arriba hacia abajo y las columnas o hileras verticales se numeran de izquierda a derecha. Así en la primera matriz que escribimos:
Columna 1
Columna 2
Columna 3
Fila 1 3
4
3
Fila 2 2
1
-1
Fila 3 9
-6
2
Pregunta 5 Comúnmente se dice que una matriz m-p m -por or-n -n tiene un orden de m × n ("orden" tiene el significado de tamaño). Dos matrices se dice que son iguales si son del mismo orden y tienen los mismos elementos.
MATRIZ RENGLON EJEMPLOS.- Las tres calificaciones obtenidas por el alumno 1 en la prueba pueden representarse por el vector renglón (1x3) A así A = (75 82 86) La matriz B que se da a continuación es un vector renglón (1 x 8) B = (3 4 7 -6 2 0 1 -2) La matriz de medidas obtenidas de los alumnos integrantes del equipo de fútbol, son 10 integrantes da un vector renglón (1 x 10) A = ( 90 92 91 90 89 88 94 87 80 86)
MATRIZ COLUMNA EJEMPLOS.- en la matriz anterior de las calificaciones conseguidas en la prueba obtenida por los cinco alumnos en el primer examen podrían representarse mediante el vector columna (5x1) 75 91 T= 65 59 75 La matriz de medidas obtenidas de los alumnos integrantes del equipo de fútbol, 1 alumno con las medidas de su cuerpo da un vector columna (3 x 1) 80 M = 71 85
IGUALDAD DE MATRICES Se dice que dos matrices A y B son iguales si tienen la misma dimensión y son iguales elemento a elemento, es decir, aij=bij i=1,...,n j=1,2,...,m.
TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ Sea
una matriz con
con
está dada por
filas y
En donde el elemento elemento
columnas. La matriz transpuesta, denotada
de la matriz original
de la matriz transpuesta
se convertirá en el
.
MATRICES ESPECIAELS 1. Una matriz a es simétrica si para todo par de índices i y j se cumple que a[i, j] == a[j, i]. Escriba la función es simétrica (a) que indique si la matriz a es simétrica o no. Cree algunas matrices simétricas y otras que no lo sean para probar su función. 2. Una matriz a es anti simétrica si para todo par de índices i y j se cumple que a[i, j] == -a[j,i] (note el signo menos). Escriba la función es antisimetrica (a) que indique si la matriz a es antisimétrica o no. Cree algunas matrices antisimétricas y otras que no lo sean para probar su función. 3. Una matriz a es diagonal si todos sus elementos que no están en la diagonal principal tienen el valor cero. Escriba la función es diagonal(a) que indique si la matriz a es diagonal o no. 4. Una matriz a es triangular superior si todos sus elementos que están bajo la diagonal principal tienen el valor cero.
MATRÍZ CUADRADA Se dice que una matriz A es cuadrada si tiene el mismo número de filas que de columnas. Ejemplos de matriz cuadrada: Puede ser una matriz con valores
O también una matríz con subíndices (Genérica)
Puede ser de otro tamaño e incluso con variables
SUMA DE MATRICES Proceso de combinar dos o más matrices en una matriz equivalente, representado por el símbolo +. La suma de matrices sólo se puede efectuar entre matrices con la misma dimensión, es decir, las que tienen el mismo número de filas y el mismo número de columnas. La matriz resultante tiene las mismas dimensiones, cada uno de cuyos elementos es la suma aritmética de los elementos en las posiciones correspondientes en las matrices originales.
RESTA DE MATRICES Para poder restar matrices debe de haber el mismo número de filas y columnas en ambas. Al primer elemento de la primera fila y la primera columna le restas el mismo elemento pero de la columna 2 y así. Ejemplo: (358 7 9 11) (241 6 12 15)
MULTIPLICACION DE MATRICES En matemática, la multiplicación o producto de matrices es la operación de composición efectuada entre dos matrices, o bien la multiplicación entre una matriz y un escalar según unas reglas. Al igual que la multiplicación aritmética, su definición es instrumental, es decir, viene dada por un algoritmo capaz de efectuarla. El algoritmo para la multiplicación matricial es diferente del que resuelve la multiplicación de dos números. La diferencia principal es que la multiplicación de matrices no cumple con la propiedad de conmutatividad.
PREGUNTA 17 Para designar una matriz se emplean letras mayúsculas. Cada uno de los elementos de la matriz (aij) tiene dos subíndices. El primero i indica la fila a la que pertenece y el segundo j la columna.
