MATEMÁTI CAS CAS PAR PARA A ECO ECONOMI STAS
Car l os Or i huel a Romer o, MSc
Cuando los sistemas de ecuaciones lineales son extensos, mayormente se utiliza matrices por su facilidad de manejo. Las matrices son ordenamientos de datos y se usan no solo en la resolución de sistemas de ecuaciones (lineales), sino además en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales y de derivadas parciales. Además las matrices también aparecen de forma natural en geometría, estadística, economía, informática, física, etc.
El álgebra matricial puede ser aplicada a sistema de ecuaciones lineales. Sin embargo, puesto que muchas relaciones económicas pueden ser aproximadas mediante ecuaciones lineales y otras pueden ser convertidas a relaciones lineales, esta limitación puede ser en parte evitada.
Se llama matriz de orden m×n a todo conjunto rectangular rectangular de elementos a ij di dispuestos en m líneas horizontales (filas) y n verticales (columnas) de la forma:
⎡ a11 a12 ⎢a a 22 ⎢ 21 . A = ⎢ . ⎢ . ⎢ . ⎢⎣am1 am2
a13 a 23 . . am3
a1n ⎤ . .. a 2 n ⎥ . ..
⎥
. ..
. ⎥
⎥ . .. . ⎥ ... amn ⎥⎦
Filas de la matriz A
Columnas de la matriz A
Abreviadamente Abreviadamente suele expresarse en la forma A =[aij], con i =1, 2,..., m; j =1, 2, ..., n. Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila (i) y el segundo la columna (j). Por ejemplo el elemento a 25 será el elemento de la fila 2 y columna 5.
CAPITULO 2: MATRICES Y DETERMINANTES
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Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas son iguales. Sean las matrices A y B, donde:
⎡9
A(2x2)= ⎢ ⎣ −3
a⎤
⎡9
B(2x2)= ⎢ ⎣ −3
2 ⎥⎦
a⎤
Entonces
2 ⎥⎦
A=B
Análogamente Análogamente Entonces, C = D (Note que
⎡ 3 −2 0 ⎤ z 2 ⎦⎥
⎡ 3 −2 0 ⎤ z 2 ⎥⎦
C(2x3) = ⎢ ⎣4
D(2x3) = ⎢ ⎣4
C y D no necesitan tener una
forma
cuadrada
o
simétrica).
Vamos a describir algunos tipos de matrices que aparecen con frecuencia debido a su utilidad, y de los que es conveniente recordar su nombre.
Es una matriz que solo tiene una columna, es decir, n =1 y por tanto es de orden
.
A ( 3x1)
Ejemplo:
⎡3⎤ = ⎢⎢ 4 ⎥⎥ ⎢⎣ −a ⎥⎦
Es una matriz que solo tiene una fila, es decir m =1 y por tanto es de orden . Es decir, A= (a11 a12 ... a1n). Por ejemplo: A (1x3 ) = [1 2
−3]
Es aquella que tiene el mismo número de filas que de columnas, es decir m
n. En estos casos se dice que la matriz cuadrada es de orden n, y no n x n
(aunque es lo mismo). Los elementos aij con i j, o sea a ij forman la llamada diagonal principal de la matriz cuadrada, y los elementos a ij con i + j
n +1 la diagonal
secundaria.
CAPITULO 2: MATRICES Y DETERMINANTES
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Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas son iguales. Sean las matrices A y B, donde:
⎡9
A(2x2)= ⎢ ⎣ −3
a⎤
⎡9
B(2x2)= ⎢ ⎣ −3
2 ⎥⎦
a⎤
Entonces
2 ⎥⎦
A=B
Análogamente Análogamente Entonces, C = D (Note que
⎡ 3 −2 0 ⎤ z 2 ⎦⎥
⎡ 3 −2 0 ⎤ z 2 ⎥⎦
C(2x3) = ⎢ ⎣4
D(2x3) = ⎢ ⎣4
C y D no necesitan tener una
forma
cuadrada
o
simétrica).
Vamos a describir algunos tipos de matrices que aparecen con frecuencia debido a su utilidad, y de los que es conveniente recordar su nombre.
Es una matriz que solo tiene una columna, es decir, n =1 y por tanto es de orden
.
A ( 3x1)
Ejemplo:
⎡3⎤ = ⎢⎢ 4 ⎥⎥ ⎢⎣ −a ⎥⎦
Es una matriz que solo tiene una fila, es decir m =1 y por tanto es de orden . Es decir, A= (a11 a12 ... a1n). Por ejemplo: A (1x3 ) = [1 2
−3]
Es aquella que tiene el mismo número de filas que de columnas, es decir m
n. En estos casos se dice que la matriz cuadrada es de orden n, y no n x n
(aunque es lo mismo). Los elementos aij con i j, o sea a ij forman la llamada diagonal principal de la matriz cuadrada, y los elementos a ij con i + j
n +1 la diagonal
secundaria.
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En la matriz
A ( 3x 3 )
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⎡ 1 3 0⎤ = ⎢⎢−2 1 4 ⎥⎥ ⎢⎣ 3 7 9 ⎥⎦
La diagonal principal principal está formada por [ 1 1 9 ] y la diagonal secundaria secundaria por [ 0 1 3 ]
Dada una matriz A, su matriz se representa por At, la cual se obtiene cambiando filas por columnas. La primera fila de A es la primera columna de At, la segunda fila de A es la segunda columna de A t y así sucesivamente. De la definición se deduce que si A es de orden m x n, entonces At es de orden n x m.
⎡3 8 9 ⎤ A ( 2x 3 ) = ⎢ ⎥ ⎣1 0 4⎦
Ejemplo:
entonces
A (t 3x 2 )
⎡3 1 ⎤ = ⎢⎢8 0 ⎥⎥ ⎢⎣9 4 ⎥⎦
Una matriz cuadrada A es simétrica si A = At, es decir, si a j= a j
⎡2 1 3 ⎤ ⎢ ⎥ A = ⎢ 1 0 −2 ⎥ ⎢3 −2 7 ⎥⎦ ⎣
Ejemplo:
(Comprobar que A = A t )
Una matriz cuadrada se dice que es antisimétrica si A = –A t, es decir aij= -a ji.
Ejemplo:
⎡0 1 3⎤ A = ⎢ −1 0 −2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ −3 2 0 ⎥⎦
(comprobar que A = –At)
es aquella que todos sus elementos son 0 y se representa por 0.
Ejemplo:
⎡0 0 ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣0 0 ⎦
CAPITULO 2: MATRICES Y DETERMINANTES
⎡0 0 0 ⎤ ⎥ ⎣0 0 0 ⎦
0 = ⎢
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Es una matriz cuadrada, en la que todos los elementos no pertenecientes a la diagonal principal son nulos.
⎡2 0 0 ⎤ A = ⎢0 −3 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣0 0 4 ⎥⎦ Es una matriz diagonal (y en consecuencia, una matriz cuadrada) con todos los elementos de la diagonal iguales.
A
Ejemplo:
o
⎡3 0 0 ⎤ ⎢0 3 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣0 0 3 ⎥⎦
⎡1 0 0⎤ ⎢ ⎥ 3 0 1 0 = 3 I ⎢ ⎥ ⎢⎣0 0 1⎥⎦
Es una matriz escalar con los elementos de la diagonal
principal iguales a 1. Se denota por el símbolo I o In.
Ejemplo:
⎡1 0⎤ I2 = ⎢ ⎥ ⎣ 0 1⎦
⎡1 0 0⎤ I3 = ⎢0 1 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣0 0 1⎥⎦
Es una matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos que están a un mismo lado de la diagonal principal. Las matrices triangulares pueden ser de dos tipos:
Triangular Superior: Si los elementos que están por debajo de la diagonal principal son todos nulos. Es decir, a j =0, i < j.
Triangular Inferior: Si los elementos que están por encima de la diagonal principal son todos nulos. Es decir, a j = 0, j < i. Ejemplos:
A ( 4x 4 )
⎡3 0 0 ⎢ 4 −3 0 =⎢ ⎢ 0 2 −8 ⎢ ⎣1 6 y
0⎤ 0⎥
⎥ 0⎥ ⎥ 1⎦
CAPITULO 2: MATRICES Y DETERMINANTES
A ( 4x 4 )
⎡3 0 3 ⎢0 −3 −9 =⎢ ⎢0 0 −8 ⎢ ⎣0 0 0
1⎤
z⎥
⎥ 0⎥ ⎥ 1⎦ 26
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Dada una matriz de orden mxn, A = [ a ij ], se llama matriz traspuesta de A y se representa por At, a la matriz que se obtiene cambiando las filas por las columnas (o viceversa) en la matriz A. Es decir:
⎡ a11 A = ⎢ ⎢ ⎢⎣am1
…
a1n ⎤
⎡ a11 ⎥ ⇒ At = ⎢ ⎥ ⎢ ⎢⎣a1n amn ⎥⎦
…
a m1 ⎤
⎥ ⎥ a mn ⎥⎦
1. Dada una matriz A, siempre existe su traspuesta y además es única. 2. (At)t = A.
La suma de dos matrices A = [ a ij ], B = [ bij ] de la misma dimensión, es ot ra matriz S = [ sij ] de la misma dimensión que los sumandos y con término genérico s ij = aij + bij. Por tanto, para poder sumar dos matrices estas deben tener la misma dimensión. La suma de las matrices A y B se denota por A+B.
Ejemplo:
Entonces
⎡ −2 f ⎤ A = ⎢ ⎥ ⎣ 3 4⎦
⎡ 4 d⎤ ⎥ ⎣ −3 1⎦
B = ⎢
⎡( −2 + 4 ) ( f + d )⎤ ⎥ = 3 3 4 1 − + ( ) ( ) ⎣ ⎦
A+B = ⎢
⎡ 2 f + d ⎤ ⎢0 5 ⎥⎦ ⎣
1. A + (B + C) = (A + B) + C (propiedad asociativa) 2. A + B = B + A (propiedad conmutativa) 3. A + 0 = A (0 es la matriz nula) 4. La matriz –A, que se obtiene cambiando de signo todos los elementos de A, recibe el nombre de matriz opuesta de A, ya que A + (–A) = 0. 5. La diferencia de matrices A y B se representa y se define como: A – B.
CAPITULO 2: MATRICES Y DETERMINANTES
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El producto de una matriz A = [ aij ] por un número real k es otra matriz B = [ bij ] de la misma dimensión que A y tal que cada elemento b ij de B se obtiene multiplicando aij por k, es decir, bij = kaij.
Ejemplo: k=2 entonces
⎡ −2 g −3 ⎤ A = ⎢ ⎥ ⎣4 5 1⎦
⎡ −2 g −3 ⎤ ⎡2 ( −2 ) 2 ( g ) 2 ( −3 ) ⎤ ⎡ −4 2g −6 ⎤ ⎥ = ⎢ 2 ( 4 ) 2 ( 5 ) 2 (1) ⎥ = ⎢ 8 10 2 ⎥ 4 5 1 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎦ ⎣
kA = 2 ⎢
El producto de la matriz A por el número real k se designa por k·A. Al número real k se le llama también escalar, y a este producto, producto de escalares por matrices.
1. k (A + B) = k A + k B (propiedad distributiva 1ª) 2. (k + h)A = k A + h A (propiedad distributiva 2ª) 3. k (h A) = (k h) A (propiedad asociativa mixta) 4. 1·A = A (elemento unidad)
1. A + C = B + C ⇒ A = B. 2. k A = k B ⇒ A = B si k es distinto de 0. 3. k A = h A ⇒ h = k si A es distinto de 0.
Dadas dos matrices A y B, su producto es otra matriz P cuyos elementos se obtienen multiplicando las filas de A por las columna s de B. De manera más formal, los elementos de P son de la forma:
Pij = ∑ aij . bij
CAPITULO 2: MATRICES Y DETERMINANTES
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Se requiere que el número de columnas de A debe coincidir con el número de filas de B para que esta multiplicación sea posible. Así, si A tiene dimensión dimensión x , la matriz P será de orden:
Pij =
x
y B
x . Es decir: n
∑a
ik
.b kj
k −1
En otras palabras, el elemento que se encuentra en la fila i y la columna j de la matriz C=AB se obtiene multiplicando los elementos de la fila i de A por la columna j de B y sumando los resultados.
: Obtener C = AB
Siendo:
⎡ −3 2 1 4 ⎤ A = ⎢ ⎥ ⎣ 2 5 3 −2 ⎦
⎡0 −4 ⎢ 1 −2 B=⎢ ⎢2 0 ⎢ ⎣3 2
1⎤ 1⎥
⎥
2⎥
⎥
1⎦
Solución. Primero, se comprueba que se pueda realizar el producto AB. Puesto que el número de columnas de A es igual al número de filas de B, entonces la operación es factible. La matriz resultante tendrá la dimensión 2x3, es decir, 2 filas y 3 columnas.
⎡ −3 2 1 4 ⎤ C= ⎢ ⎥ ⎣ 2 5 3 −2 ⎦
⎡ 0 −4 ⎢ 1 −2 ⎢ ⎢2 0 ⎢ ⎣3 2
1⎤ 1⎥
⎥ = 2⎥ ⎥ 1⎦
⎡ c11 c12 ⎢c ⎣ 21 c22
c13 ⎤
c23 ⎥⎦
Luego, el elemento de la fila 1 y columna 1 de AB (es decir, c11 ) proviene de la sumatoria del producto de un elemento de la fila 1 de A por otro elemento de la columna 1 de B, de la multiplicación:
c11 = a11.b11 + a12 .b 21 + a13b 31 + a14b 41 c11 = ( −3 ) ⋅ 0 + 2 ⋅1 + 1⋅ 2 + 4 ⋅ 3 = 0 + 2 + 2 + 12 = 16 El elemento de la fila 1 y la columna 2 de AB (o lo cual es igual, C) será igual a la sumatoria del producto de un elemento de la fila 1 de A con otro elemento de la columna 2 de B: CAPITULO 2: MATRICES Y DETERMINANTES
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c12 = a11.b12 + a12 .b 22 + a 13.b 32 + a 14b 4 2 c12 = ( −3 ) ⋅ ( −4 ) + 2 ⋅ ( −2 ) + 1⋅ 0 + 4 ⋅ 2 = 12 − 4 + 0 + 8 = 16 El elemento de la fila 1 y la columna 3 de C proviene de la sumatoria del producto de un elemento de la fila 1 de A con otro elemento de la columna 3 de B:
c13 = a11.b13 + a12 .b 23 + a 13.b 33 + a 14.b 43 c13 = ( −3 ) ⋅ 1 + 2 ⋅ 1 + 1⋅ 2 + 4 ⋅ 1 = −3 + 2 + 2 + 4 = 5 Así, sucesivamente se obtiene:
⎡16 16 5 ⎤ C = ⎢ ⎥ ⎣ 5 −22 11⎦
1. A·(B·C) = (A·B)·C 2. El producto de matrices en general no es conmutativo (AB no necesariamente es igual a BA). 3. Si A es una matriz cuadrada de orden se tiene A·In = In·A = A. 4. Dada una matriz cuadrada A de orden n, no siempre existe otra matriz B tal que A·B
B·A
In. Si existe dicha matriz B, se dice que es la matriz inversa de
A y se representa por A –1. 5. El producto de matrices es distributivo respecto de la suma de matrices, es decir: A·(B + C) A·B + A·C
1. Si A·B= 0 no implica que A=0 ó B=0. 2. Si A·B=A·C no implica que B = C. 3. En general (A+B)2=A2 + B2 +2AB, ya que A·B ≠ B·A. 4. En general (A+B)·(A–B) = A2 –B2, ya que A·B ≠ B·A.
Ejemplo: Una compañía tiene 4 fábricas, cada una emplea administradores (A), supervisores (S) y trabajadores calificados (T) en la forma siguiente:
CAPITULO 2: MATRICES Y DETERMINANTES
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Administradores (A)
1
2
1
1
Supervisores (S)
4
6
3
4
Trabajadores (T)
80
96
67
75
Si los administradores ganan S/. 350 (P A) a la semana, los supervisores S/. 275 (PB) y los trabajadores S/. 200 (PT). ¿Cuál es la nómina de cada fábrica?
Solución. Lo que se pide es el monto pagado por cada fábrica el cual es igual al número de cada empleado por su respectivo ingreso salarial. En general, será: Ii = P A Ai + PSSi + P TTi , donde Ii es el monto de la fabrica i. Por ejemplo, el monto de la fábrica 1 será: I1 = P A A1 + PSS1 + PTT1 = 350*1 + 4*275 + 80*200 = 17450.
Con este sencillo cálculo puede obtenerse fácilmente los 3 montos restantes. Sin embargo, si hubiera más tipos de empleados o un mayor número de fábrica s el cálculo se complicaría. Existe otra forma para calcular directamente los montos de todas las fábricas. El cuadro anterior equivale a cantidades de especialistas de cada fábrica. Entonces, si estas cantidades son multiplicadas por su salario respectivo debería entonces obtenerse la nomina de cada fábrica. Llevando esto a matrices:
⎡ 1 2 1 1 ⎤ ⎡350 ⎤ ⎢ 4 6 3 4 ⎥ ⎢275 ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎣80 96 67 75 ⎥⎦ ⎢⎣200 ⎥⎦ Si se multiplica ambas matrices (en ese orden) debería obtenerse lo solicitado. Sin embargo, esta multiplicación matricial no esta definida. Note que la primera matriz es de orden 3x mientras la segunda es x1 (las cifras de negro debería ser iguales). La solución es transponer la primera matriz a fin de obtener una matriz de orden 4x
y
así, poderla multiplicar por la segunda ( x1), con lo cual es posible multiplicar ambas matrices y la matriz resultante sería del orden 4x1, la cual brindaría los 4 montos solicitados.
⎡1 ⎢2 ⎢ ⎢1 ⎢ ⎣1 CAPITULO 2: MATRICES Y DETERMINANTES
4 80 ⎤
⎡17450 ⎤ 350 ⎡ ⎤ ⎢21550 ⎥ 6 96 ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ 275 = ⎢ ⎥ ⎥ ⎢14575 ⎥ 3 67 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢200 ⎥⎦ ⎢ ⎥ 4 75 ⎦ ⎣ ⎣16450 ⎦ 31
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Así, los montos de la fábrica 1, 2, 3 y 4 son: S/. 17450, S/. 21550, S/. 14575, y S/. 16450, respectivamente.
Una matriz cuadrada que posee inversa se dice que es inversible o regular; en caso contrario recibe el nombre de singular.
1. La matriz inversa, si existe, es única 2. A-1 A=A·A-1=I 3. (A·B) -1=B-1 A-1 4. (A-1)-1=A 5. (kA)-1=(1/k·A)-1 6. (At) –1=(A-1)t
Se puede encontrar matrices que cumplen A·B = I, pero que B·A ≠ I, en tal caso, podemos decir que A es la inversa de B "por la izquierda" o que B es la inversa de A "por la derecha". Hay varios métodos para calcular la matriz inversa de una matriz dada: •
Directamente:
⎡2 −1⎤ buscar una matriz que cumpla A·A-1 = I, es decir: ⎥ 1⎦
Dada la matriz A = ⎢ ⎣1
⎡ 2 −1⎤ ⎡ a b ⎤ ⎡ 1 0 ⎤ ⎢ 1 1 ⎥ ⎢ c d ⎥ = ⎢0 1 ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Para ello planteamos el sistema de ecuaciones:
2a – c = 1 …(1) 2b – d = 0 …(2) a + c = 0 …(3) b + d = 1 …(4)
CAPITULO 2: MATRICES Y DETERMINANTES
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De la ecuación (3) despejar a en función de c (a = -c ) y luego reemplazar en (1) y así encontrar el valor de a y c.
2 ( -c ) – c = 1 → c = −
1 1 y luego de reemplazar en (1) obtenemos a = 3 3
De la ecuación (4) despejar b en función de d ( b = 1 – d) y luego reemplazar en (2) y así encontrar el valor de b y d.
2(1-d)–d=0→d=
2 1 y luego reemplazando en (2) obtenemos b = 3 3
A − 1
⎡ 1 ⎢ 3 =⎢ ⎢− 1 ⎢⎣ 3
1⎤ 3⎥ ⎥ 2⎥ 3 ⎥⎦
La matriz que se ha calculado realmente sería la inversa por la "derecha", pero es fácil comprobar que también cumple A-1·A = I, con lo cual es realmente la inversa de A. •
Usando determinantes (lo cual se verá mas adelante)
•
Por el método de Gauss-Jordan (el cual no será tratado aquí)
Un determinante es un número real o escalar asociado a una ma triz, y su cálculo depende del orden de la matriz cuadrada en análisis.
Es fácil comprobar que aplicando la definición: A = a 11 ⇒ det (A) = a11.
se toma el producto de los dos elementos de la diagonal principal y se substrae del producto de los dos elementos de la diagonal secundaria.
a11 a12 ⎡ a11 a12 ⎤ A = ⎢ det(A ) ⇒ = = a11a22 − a12 a21 ⎥ a a a a 22 ⎦ 21 22 ⎣ 21
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solo para matrices de orden 3x3 se suele usar la Regla de Sarrus, que consiste en un esquema gráfico para los productos positivos y otro para los negativos:
⎡ a11 a12 ⎢ Sea la matriz A = a21 a 22 ⎢ ⎢⎣ a31 a32
a13 ⎤
a 23 ⎥ , la multiplicación de diagonales es:
⎥ a 33 ⎥⎦
⎛ a11 ⎜a ⎜ 21 det ( A ) = ⎜ a31 ⎜ ⎜ a11 ⎜a ⎝ 21
a12 a 22 a 32 a12 a 22
a13 ⎞ ⎛ a11 a 12 ⎟ ⎜ a 23 ⎟ ⎜ a 21 a 22 a 33 ⎟ − ⎜ a 31 a 32
⎟ a13 ⎟ a 23 ⎟⎠
a 13 ⎞
⎟
a 23 ⎟
a 33 ⎟ ⎜ ⎟ a a a 12 13 ⎟ ⎜ 11 ⎜a ⎟ ⎝ 21 a 22 a 23 ⎠
o lo que es igual:
det(A) = (a11a22 a33 + a12 a 23 a 31 + a13a 21a32 ) − (a13a 22a 31 + a12a 21a33 + a 11a 23a 32 )
: Usando Sarros, obtener el determinante de la matriz
⎡ −3 1 4 ⎤ B = ⎢ 2 −2 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ −z 6 2 ⎥⎦ Solución. Primero, se grafica la matriz/determinante, en la cual las dos primeras filas se repiten en la parte inferior de tal matriz,
⎡ −3 1 ⎢ 2 −2 ⎢ ⎢−z 6 det(B) = ⎣ −3 1 2 −2
CAPITULO 2: MATRICES Y DETERMINANTES
4⎤
0⎥
⎥ 2 ⎥⎦ 4
0
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Luego, se procede a obtener los productos positivos (diagonales del medio hacia abajo). En este caso, por tratarse de una matriz 3x3, serán 3 productos:
((-3).2.2) + (2.6.4) + ((-z) .1.0) = 60.
Luego, los tres productos negativos:
-[((-z).(-2).4) + ((-3).6.0) + (2.1.2)] = -4 – 8z
Así, el determinante será ∣ A ∣ = 60 - 4 - 8z = 56 – 8z
Otra forma es utilizando el método de Sarrus por columnas.
⎡ −3 1 4 ⎤ −3 1 det(B) = ⎢ 2 −2 0 ⎥ 2 −2 ⎢ ⎥ ⎢⎣ −z 6 2 ⎥⎦ − z 6
Sea una matriz de orden 3 x 3 como
⎡ a11 a12 A = ⎡⎣aij ⎤⎦ = ⎢a 21 a 22 ⎢ ⎢⎣ a31 a32
a13 ⎤
a 23 ⎥
⎥ a 33 ⎥⎦
Contiene otras submatrices tales como:
⎡ a22 A11 = ⎢ ⎣ a32
a 23 ⎤
⎡ a12 A 21 = ⎢ ⎣ a32
a13 ⎤
⎡ a12 A 31 = ⎢ ⎣ a22
a 33 ⎥⎦
a 33 ⎥⎦ a13 ⎤
a 23 ⎦⎥
(matriz obtenida al eliminar la primera fila y la primera columna)
(matriz obtenida al eliminar la segunda fila y la primera columna)
(matriz obtenida al eliminar la tercera fila y la primera columna)
CAPITULO 2: MATRICES Y DETERMINANTES
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Ahora bien, se define el determinante de la matriz A mediante la formula:
det(A) = a11
a 22
a 23
a32
a33
− a21
a12
a13
a 32
a 33
+ a31
a12
a13
a 22
a 23
o lo que es igual
det (A) = a11det(A11) – a21det(A21) + a31det(A31)
(2.1)
En realidad, la expresión (2.1) tiene múltiples generalizaciones por lo que es necesario formalizarlas. Finalmente, para el caso de una matriz (cuadrada) de orden n x n el determinante será: n
det(A) = ∑ (−1)i+ j (aij ) Mij j=1
(2.3)
: Esta regla rebaja el orden del determinante que se pretende calcular en una unidad. Para evitar el cálculo de muchos determinantes conviene elegir la fila o columna con mayor número de ceros.
Obtener el determinante de la matriz B.
⎡ −3 1 4 ⎤ ⎢ ⎥ B= 2 2 0 ⎢ ⎥ ⎢⎣ −z 6 2 ⎥⎦
Solución. Calcular la matriz A por medio de menores.
det(A) = −3
−2 0 6
2
−2
1 4 6 2
−z
1
4
−2 0
det (A) = 12 – 4 +48 -8z = 56 -8z
CAPITULO 2: MATRICES Y DETERMINANTES
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: Sea la matriz A, obtener su determinante.
⎡ 2 4 −3 ⎤ A = ⎢ 3 −5 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ −1 3 2 ⎥⎦
Solución. En teoría el determinante resultará de usar alguna fila o columna al azar, en este caso se usa la 3era fila (-1, 3, 2). Luego se forman los determinantes de las submatrices correspondientes:
A = −1( −1)
3 +1
4
−3
−5
2
+ 3 ( −1)
3+2
2 −3 3
2
+ 2 ( −1)
3 +3
2
4
3 −5
A = − ( 8 − 15 ) − 3 ( 4 + 9 ) + 2 ( −10 − 12 ) A = − 76
Una matriz de cofactores es una matriz donde cada elemento es un determinante, en la cual cada elemento aij es reemplazado por su cofactor ∣Cij∣. Una
es
la transpuesta de una matriz de cofactores. Para el caso de una matriz:
⎡ C11 ⎢ C = ⎢ C21 ⎢⎣ C31 y su adjunta será,
⎡ C11 ⎢ adj(A) = Ct = ⎢ C12 ⎢⎣ C13
C12
C13 ⎤
C22
C 23 ⎥ C33 ⎥⎦
C32
⎥
C21
C31 ⎤
C22
C32 ⎥ C33 ⎥⎦
C23
⎥
El cofactor de un componente aij denotado por Cij esta definido por:
∣Cij∣ = (-1)i+j ∣Mij∣
(2.2)
En otras palabras, el cofactor del componente Cij es el menor Mij con signo prefijado (-1)i+j. Por ejemplo, para el ca so de una matriz 3 x 3
CAPITULO 2: MATRICES Y DETERMINANTES
37
MATEMÁTI CAS PARA ECONOMI STAS
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C13 = M13 =
a 21
a 22
a31
a32
Si A es una matriz cuadrada de orden n x n, enton ces el
menor del elemento Cij
se
denota por Mij y se define como el determinante de la submatriz (n-1)(n-1) de A la cual se forma suprimiendo todos los elementos de la fila i y todos los elementos de la columna j. Para la matriz del ejercicio 16, los menores que se pueden formar son:
−2 0
2
0
2
−2
6
2
−z 2
−z
6
1 4
−3 4
6 2
z
−3 1 −z 6
1
−3 4
−3
1
2
2
−2
C=
4
−2 0
2 0
Sea la matriz A, hallar su matriz de cofactores:
⎡ 2 3 1⎤ A = ⎢ 4 1 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣5 3 4 ⎥⎦ Solución. Formar la matriz de menores para la matriz C (por ejemplo el menor C 11 se define como la determinante de la submatriz A que se forma suprimiendo todos los elementos de la fila 1 y de la columna 1) y resolver cada menor:
⎡ 1 ⎢+ 3 ⎢ ⎢ 3 C = ⎢− ⎢ 3 ⎢ ⎢+ 3 ⎢⎣ 1
2 4 1 4 1 2
− + −
4 2 5 4 2
1
5 4 2 1 4 2
+
4 1⎤
⎥
5 3⎥ 2 3⎥
⎡ −2 −6 7 ⎤ ⎥ = ⎢ −9 3 9 ⎥ − ⎥ 5 3⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 5 0 −10 ⎥⎦ 2 3⎥ + 4 1 ⎥⎦
La matriz adjunta adj(A) será la transpuesta de C:
CAPITULO 2: MATRICES Y DETERMINANTES
38
MATEMÁTI CAS PARA ECONOMI STAS
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⎡ −2 −9 5 ⎤ adj(A) = Ct = ⎢ −6 3 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 7 9 −10 ⎥⎦
Esta matriz será vista con mayor detalle en el punto 2.4.4
. Si se permuta dos líneas paralelas de una matriz cuadrada, su determinante cambia de signo con respecto al inicial:
a b c
d
c
d
a b
= ad - bc, pero con intercambiando las dos filas:
= cb – ad = - ( ad –bc )
Si una matriz cuadrada tiene una línea con todos los elementos nulos, su determinante vale cero.
La multiplicación de una fila (columna) por un escalar cambia el valor del determinante k veces .
ka kb c
d
= kad − kbc = k ( ad − bc ) = k
a b c
d
La suma (resta) de un múltiplo de una fila a otra fila dejará el valor del determinante inalterado. Esto también es valido en el caso de columnas. Por ejemplo. Si en el determinante anterior, se suma k veces la fila superior a su segunda fila, se obtiene el determinante original.
a
b
c + ka d + kb
= a ( d + kb ) − b ( c + ka ) = ad − bc =
CAPITULO 2: MATRICES Y DETERMINANTES
a b c
d
39
MATEMÁTI CAS PARA ECONOMI STAS
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. El intercambio de filas y columnas no afecta el valor del determinante. En otras palabras, el determinante de una matriz A tiene el mismo valor que el de su transpuesta: ∣A∣ = ∣At∣.Por ejemplo.
4 3 5 6
=
4 5 3 6
a b
=9
c
d
=
a c b d
= ad − bc
Dada una matriz cuadrada A, su inversa será igual a la expresión 2.4, la cual es fácil probarla ya que la suma de los productos de los elementos de una fila por sus adjuntos es el valor del determinante, y que la suma de los productos de los elementos de una fila por los adjuntos de otra fila diferente es 0 (esto sería el desarrollo de un determinante que tiene dos filas iguales por los adjuntos de una de ellas).
A −1 =
1 adj(A) det(A)
(2.4)
Un sistema de ecuaciones lineales (s.e.l.) es un conjunto de m ecuaciones con n incógnitas de la forma:
a11x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n = b 1 ⎫ ⎪ a 21x1 + a 22 x 2 + ... + a 2n x n = b 2 ⎪
⎬ ⎪ ⎪ a m1 x1 + a m2 x 2 + ... + a mn x n = b m ⎭
Donde a j son los coeficientes, x i las incógnitas y bi son los términos independientes. El anterior sistema se puede expresar en forma matricial, usando el producto de matrices de la forma:
⎛ a11 a12 a1n ⎞⎛ x 1 ⎞ ⎛ b1 ⎞ ⎜a a 22 a 2n ⎟⎜ x 2 ⎟ ⎜ b 2 ⎟ 21 ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ am1 a m2 a mn ⎠⎝ x n ⎠ ⎝ b m ⎠
CAPITULO 2: MATRICES Y DETERMINANTES
40
MATEMÁTI CAS PARA ECONOMI STAS
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A
X
=
b
De modo simplificado suele escribirse A mxn Xnx1 = bmx1 , donde la matriz A se denomina
. También se usará la matriz ampliada, que se
representa por A', que es la matriz de coeficientes a la cual le hemos añadido la columna del término independiente:
⎛ a11 a12 ⎜a a 22 21 ' A = ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ am1 a m2
…
a1n
a 2n
a mn
b1 ⎞ b2 ⎟
⎟ ⎟ ⎟ a mn ⎠
Es aplicable si el sistema tiene igual número de ecuaciones que de incógnitas (n=m) y es compatible determinado (a un s.e .l. que cumple estas condiciones se le llama un sistema de Cramer). El valor de cada incógnita x i se obtiene de un cociente cuyo denominador es el determinante de la matriz de coeficientes, y cuyo numerador es el determinante que se obtiene al cambiar la columna i del determinante anterior por la columna de los términos independientes:
xi =
A i A
(2.5)
Obtener el valor de las incógnitas del siguiente sistema de ecuaciones lineales: 2x1 + 4x2 - 3x3 = 12 3x1 - 5x2 + 2x3 = 13 -x1 + 3x2 + 2x3 = 17
Solución. El primer paso es ordenar el sistema de ecuaciones: cada columna debe corresponder a una sola variable y todas las constantes deben pasar al lado derecho de la igualdad. Una vez ordenado el sistema, se procede a calcular el determinante de la matriz principal o matriz de coeficientes (A):
CAPITULO 2: MATRICES Y DETERMINANTES
41
MATEMÁTI CAS PARA ECONOMI STAS
2
4
−3
A = 3
−5
2
3
2
−1
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2( -10 – 6 ) – 4 ( 6 + 2 ) – 3 ( 9 - 5 ) = -76
Paso seguido, se obtienen las matrices especiales formadas del reemplazo de la columna de coeficientes xi con el vector c olumna de constantes. Para las tres variables, los determinantes de tales matrices son:
4
−3
A1 = 13 −5
2
12 17 2 A 2 = 3
3
2
12 −3 13
2
−1 17
2
2 A 3 = 3
−1
12( -10 – 6 ) – 4 ( 26 - 34 ) – 3 ( 39 + 85 ) = -532
4
12
−5 13 3
2( 26 – 34 ) – 12 ( 6 + 2 ) – 3 ( 51 + 13 ) = -304
-248 -256 -48 = -456
17
Una vez obtenidos los determinantes, se procede fácilmente a obtener el valor de las incógnitas:
x1 =
A1 A
=
−372 =7 −76
x2 =
A 2 A
=
−304 =4 −76
x3 =
A 3 A
=
−456 =6 −76
Si AX = b , entonces X será equivalente a:
A-1.(A.X)=A-1(b) X = A-1(b)
Pero, conforme a (2.4), A-1 =
(2.6)
1 [adj(A)]. Entonces X también será igual a: det(A)
X=
CAPITULO 2: MATRICES Y DETERMINANTES
1 [adj(A)]b det(A)
(2.7)
42
MATEMÁTI CAS PARA ECONOMI STAS
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Por ello es necesario calcular no solo el determinante de A, sino la transpuesta de su matriz de cofactores (llamada
). Esta forma de solución es aplicable si el
sistema tiene igual número de ecuaciones que de incógnitas (n=m). En el ejercicio anterior será: −5 2 ⎡ ⎢ + 3 2 ⎢ ⎢ 4 −3 C = ⎢ − 3 2 ⎢ ⎢ −3 ⎢+ 4 ⎢⎣ − 5 2
− +
3
2
−1
2
2
−3
−1
2
−
2
−3
3
2
−5 ⎤ ⎥ −1 3 ⎥ ⎡−16 2 4 ⎥ ⎥ = ⎢−17 − ⎢ −1 3 ⎥ ⎢⎣ − 7 ⎥ 2 4 ⎥ + 3 − 5 ⎥⎦
+
3
−8 1
−13
⎤ − 1 0 ⎥⎥ − 2 2 ⎥⎦ 4
Ahora la matriz adjunta es,
⎡ −16 −17 −7 ⎤ ⎢ ⎥ 1 −13 ⎥ adj (A) = Ct = ⎢ −8 ⎢⎣ 4 −10 −22 ⎥⎦ Ordenando los resultados conforme a (2.4),
⎡ −16 −17 −7 ⎤ 1 ⎢ ⎥ 8 1 13 − − A-1 = − ⎥ 76 ⎢ ⎢⎣ 4 −10 −22 ⎥⎦ Finalmente, poniendo los resultados según (2.6) ,
⎡ 192 + 221 + 119 ⎤ 17 7 ⎢ ⎥ ⎡ 16 ⎤ 76 76 76 7 6 12 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎡ 7 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎢ ⎥ 96 13 221 − + ⎥ = ⎢4⎥ = ⎢ x ⎥ X =⎢ 8 76 − 176 13 76 ⎥ ⎢13 ⎥ = ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 2⎥ ⎢ ⎥ 76 ⎢− 4 10 22 ⎥ ⎣⎢17 ⎦⎥ ⎢ −48 + 130 + 374 ⎥ ⎣⎢6 ⎦⎥ ⎣⎢ x 3 ⎦⎥ 76 76 ⎦ ⎣ 76 ⎢ ⎥ 76 ⎣ ⎦ Entonces, los valores del vector X serán: 7 ,4 y 6. Se debe tener en cuenta antes de realizar cualquier cálculo que la determinante de A deba ser diferente de cero para así garantizar una solución al problema, en caso que la determinante de una matriz resultará ser cero podría deberse a que alguna de las ecuaciones del sistema podrían ser múltiplos de uno de ellos por lo que no podríamos hallar la solución ya que hay solo n-1 ecuaciones para n incógnitas.
CAPITULO 2: MATRICES Y DETERMINANTES
43
MATEMÁTI CAS PARA ECONOMI STAS
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Es un determinante especial que sirve para testear la dependencia funcional, tanto lineal
como
no lineal .
Un determinante jacobiano esta compuesto por todas las
primeras derivadas parciales. Por ejemplo, dadas las siguientes funciones,
y1 = f 1 ( x1, x2… xn) y2 = f 2 ( x1, x2… xn)
yn = f 3 ( x1, x2… xn)
El (determinante) Jacobiano será igual a:
∂y1 ∂x1 ∂y 2 ∂y1, ∂y 2 , ∂yn J= = ∂x1 ∂x1, ∂x 2 , ∂x 3
∂y1 ∂x 2 ∂y 2 ∂x 2
∂y n ∂x1
∂y n ∂x 2
∂y n ∂xn
∂y1 ∂x n ∂y 2 ∂x n
Note que los elementos de cada fila son las primeras derivadas parciales de una función yi con respecto a cada una de las variables independientes (x 1, x2, x3), mientras que los elementos de cada columna son las primeras derivadas parciales de cada una de las funciones y 1, y2, y3 respecto a una de las variables independientes,
x j . Si J = 0 , las ecuaciones son funcionalmente dependientes. Caso contrario (a), son independientes.
: Usar el Jacobiano para testear la dependencia funcional de:
y1 = 5x1 + 3x2 y2 = 25x12 + 30 x1x2 + 9x22
Solución. Primero, se toma las derivadas parciales de primer orden:
∂y1 =5 ∂x1
∂y1 =3 ∂x 2
CAPITULO 2: MATRICES Y DETERMINANTES
∂y 2 = 50x1 + 30x 2 ∂x1
∂y 2 = 30x1 + 18x 2 ∂x 2
44
MATEMÁTI CAS PARA ECONOMI STAS
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Luego se plantea el Jacobiano,
J=
5
3
50x1 + 30x 2
30x1 + 18x 2
∣J∣ = 5 ( 30x1 + 18 x2)- 3 (50x1 + 30x2) = 0 Así, puesto que J = 0 , existe dependencia funcional entre ambas ecuaciones. Esto es fácil de corroborar ya que: (5x 1 + 3x2)2 = 25x12 + 30 x1x2 + 9x22.
Sean las matrices:
⎡ x 2 −1 1 ⎤ ⎢ 0 4 1 2a ⎥ ⎥ A = ⎢ ⎢ −1 − x 3x 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 0 −1 1 2 ⎦
⎡1 ⎢ −1 B = ⎢⎢ 2 ⎢ ⎣⎢ −1
1 0 1 0
1 1 1 1
0⎤ ⎥ 0⎥ −1⎥ ⎥ 0 ⎦⎥
y. Si C = ( 2AB)t, obtenga la suma S = c21 + c32 + c33
Solución. Multiplicar la matriz A y B y luego por el escalar 2.
2 ⎤ ⎡ 2x − 10 2x − 2 2x + 4 ⎢ −4a − 4 2 4a + 10 −2 ⎥ ⎥ 2AB = ⎢ ⎢14x − 2 6x − 2 4x − 2 −6x ⎥ ⎢ ⎥ 2 4 −2 ⎦ ⎣ 2
Entonces,
⎡2x − 10 −4a − 4 −14x − 2 2 ⎤ ⎢ 2x − 2 2 6x − 2 2⎥ t ⎥ (2AB) = ⎢ ⎢ 2x + 4 4a + 10 4x − 2 4⎥ ⎢ ⎥ −2 −6x −2 ⎦ ⎣ 2
c21 = 2x – 2, c32 = 4a +10, c33 = 4x - 2 Entonces S = 6x + 4a + 6
CAPITULO 2: MATRICES Y DETERMINANTES
45
MATEMÁTI CAS PARA ECONOMI STAS
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Se tienen las siguientes matrices:
⎡ −2a 3b ⎤ A = ⎢ 2 b⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ −5 8 ⎥⎦
⎡ 2 −4 2 −6 ⎤ ⎥ ⎣ −1 b −5 1 ⎦
B = ⎢
⎡3⎤ ⎢ −4 ⎥ C=⎢ ⎥ ⎢6a ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ −2 ⎦
Obtenga: a) D = ABC y b) si a = 0, ¿como cambia D en relación a la pregunta a?
Solución.
a) Primer o multiplicamos las matrices A(3x2) y B(2x4) por que cumplen con las dimensiones, resultando la matriz AB (2x4) y luego multiplicarlo con la matiz C (4x1).
⎡ −4a − 3b 8a + 3b 2 AB = ⎢ 4 − b b2 − 8 ⎢ ⎢⎣ −18 8b + 20
−4a − 15b 12a + 3b ⎤ 4 − 5b b − 12 ⎥ ⎥ 38 ⎥⎦ −50
⎡ −24a 2 − 2a(45b + 34) − 3b(4b + 5) ⎤ ⎢ ⎥ ABxC = D = ⎢ 6a(4 − 5b) − 4b2 − 5b + 68 ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ −300a − 2(16b + 105) b) Simplemente, se reemplaza el valor 0 de a en la matriz resultante D,
⎡ −3b(4b + 5) ⎤ D = ⎢ −4b 2 − 5b + 68 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ −2(16b + 105) ⎥⎦ Dada la matriz H y H-1 = D, obtenga “ a ” sabiendo que d22=1
⎡ −3a −1 a ⎤ H= ⎢ 1 4 1⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ −2 −3 −1⎥⎦
CAPITULO 2: MATRICES Y DETERMINANTES
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MATEMÁTI CAS PARA ECONOMI STAS
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Solución. Hallar la inversa de la matriz H
1 3a + 1 4a + 1⎤ ⎡ − − − ⎢ 8a + 1 8a + 1 8a + 1⎥ ⎢ ⎥ 1 5a 4a −1 ⎥ H = D = ⎢− ⎢ 8a + 1 8a + 1 8a + 1 ⎥ ⎢ 5 2 − 9a 1 − 12a ⎥ ⎢ ⎥ 8a + 1 8a + 1 ⎦ ⎣ 8a + 1 Por condición:
d22 =
5a =1 8a + 1
entonces,
a =−
1 3
Una tienda vende 1000 hamburguers, 600 chessburguers, y 1200 milks en una semana. El precio de la hamburguer es 45 centavos (c), una chessburguer 60 c, y el milk 50 c. El costo de vender una hamburguer es 38c, una chessburguer es 42c y un milk es 32c. Encuentre el ingreso, costo y beneficio semanal de la firma.
Definiendo y ordenando:
⎡1000 ⎤ Q = ⎢ 600 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣1200 ⎥⎦
⎡0.45 ⎤ P = ⎢0.60 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣0.50 ⎥⎦
⎡0.38 ⎤ C = ⎢0.42 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣0.32 ⎥⎦
El ingreso total será: PQ, pero esta operación no esta definida. Entonces se aplica la transpuesta de P. Solo así es posible la multiplicación:
⎡1000 ⎤ ⎢ ⎥ I = PtQ = [ 0.45 0.60 0.50] = ⎢ 600 ⎥ =1410 ⎢⎣1200 ⎥⎦ Similarmente, el costo total será:
⎡1000⎤ ⎢ ⎥ C = CtQ = [ 0.38 0.42 0.32]= ⎢ 600 ⎥ =1016 ⎢⎣1200⎥⎦
CAPITULO 2: MATRICES Y DETERMINANTES
Entonces, B=1410 -1016 = 394
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En una página deteriorada de un libro se encuentra que la matriz
⎡1 x 0⎤ A = ⎢0 0 y ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣0 0 z ⎥⎦ y del producto A2 At solo se puede leer la última columna
⎡ ⎢ ⎢ ⎢⎣
−6 ⎤ 2 ⎥⎥ −1⎥⎦
Obtenga x + y + z.
Solución. Por condición, la matriz del producto
⎡ x 2 + 1 xy 2 xyz ⎤ ⎢ ⎥ A 2 A t = ⎢ 0 y 2 z yz 2 ⎥ ⎢⎣ 0 yz 2 z 3 ⎥⎦ Debe ser igual a una matriz cuyos datos visibles son
⎡ ⎢ ⎢ ⎢⎣
−6 ⎤ 2⎥ ⎥ −1⎥⎦
Esta última columna se puede igualar con la última columna de la primera matriz. De eso, se obtiene fácilmente que z = -1, x = 3, y = 2. Entonces, x + y + z = 4
Hallar a, b, c y d si se cumple que:
⎡1 ⎢ ⎡a b c d⎤ ⎢0 ⎢1 4 9 2⎥ ⎢0 ⎣ ⎦ ⎢ ⎣0
CAPITULO 2: MATRICES Y DETERMINANTES
0 2 0⎤
0 1 1⎥ ⎡1 0 6 6⎤ ⎥ = 1 0 0⎥ ⎢⎣1 9 8 4⎥⎦
⎥
0 1 0⎦
48
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Solución. El resultado de la multiplicación de las matrices del lado izquierdo es:
⎡a c 2a +b +d b⎤ ⎡1 0 6 6⎤ ⎢1 9 ⎥ = ⎢1 9 8 4⎥ 8 4 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ de donde, por igualdad de matrices: a = 1, b = 6, c = 0 y d = -2
Sea la matriz A y su determinante en función de y. Hallar:
⎡ −4 0 −5 4 ⎤ ⎢ −5 −3 −4 2y ⎥ ⎥ A = ⎢ ⎢ −2 −2 2 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 4 −y 1 −1⎦
det(A) = − 4(9y 2 − 2y − 43)
a) La det(At) b) Que valor(es) tomará y para que el sistema A t sea singular (es decir, para que NO tenga solución única)
Solución. a) Por propiedad, det(A) = det(At) b) Para que el sistema sea singular es necesario que det(A) = det(At) = 0.
det(A) = -4(9y2 - 2y – 43 ) -4(9y2 - 2y – 43 ) = 0 Resolvemos esta ecuación cuadrática
y=
−(−2) ± (−2)2 − 4x9x(−43)
y1 = 2.3
2x9 y2= -2.07
Conforme al modelo
-4x – 5y + 23z +11w = 0 31z +21y +4w = -23 69z – 12x +33w – 15y = 0 23y + 42w -21x -2z = -3
Determinar los valores CAPITULO 2: MATRICES Y DETERMINANTES
de x, y, z, w usando el método de Cramer . 49
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Solución. Claramente la 3era ecuación del sistema, es 3 veces la primera ecuación, es decir, una combinación lineal de la primera. Por ello, el sistema no tendrá solución única y se puede verificar porque la determinante de la matriz formada por las cuatro ecuaciones resulta ser cero.
Si, B=A-1 y la matriz A es la siguiente: 1 1⎤ ⎡3 A = ⎢⎢ −2 2 2 ⎥⎥ ⎢⎣ −1 (x − y) −1⎥⎦
a) Obtenga la matriz B b) Si b23=1/9 y además x = 3, obtenga el valor de y.
Solución. a) El primer paso es hallar la determinante de la matriz A eligiendo la fila 3 ya que sus menores serán números reales:
det(A) = −1
1 1 2 2
− (x − y)
3
1
−2 2
+ (−1)
3
1
−2 2
= −8(x − y + 1)
Después hallar la matriz de cofactores 2 2 ⎡ ⎢ + x − y −1 ⎢ ⎢ 1 1 C = ⎢− ⎢ x − y −1 ⎢ ⎢ + 1 1 ⎢⎣ 2 2
−
−2 −1
+ −
3
2
−1 1
−1 1 3
1
−2
2
−2 −1
⎤ ⎥ x −y ⎥ ⎡ − 2(x − y + 1) 3 1 ⎥ ⎢ ⎥= − x − y +1 −1 x − y ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢⎣ 3 1 ⎥ + − 2 2 ⎥⎦
+
2
−4 2
−8
− 2(x + y + 1) ⎤ − (3 x − 3y + 1) ⎥⎥ ⎥⎦ 8
Luego hallar la matriz adjunta que es la transpuesta de la matriz de cofactores:
x − y +1 0⎤ ⎡ −2(x − y + 1) −4 − 8⎥⎥ adj(A) = Ct = ⎢⎢ 2 ⎢⎣ −2(x + y + 1) −(3x − 3y + 1) 8 ⎥⎦ Por ultimo multiplicar la matriz adjunta por la inversa de la determinante de la matriz A.
CAPITULO 2: MATRICES Y DETERMINANTES
50
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A-1=
B = A −1
⎡ − 2( x − y ⎢ − 8( x − y ⎢ −4 ⎢ =⎢ − − ⎢ 8( x y ⎢ − 2( x + y ⎢ − 8( x − y ⎣
1 adj(A) det(A)
+ 1) + 1) + 1) + 1) + 1)
⎡ 1 ⎢ 4 ⎢ ⎢ 1 B = ⎢ ⎢ 2( x − y + 1) ⎢ x − y −1 ⎢ 4( x − y + 1) ⎣
x − y +1 − 8( x − y + 1) 2 − 8( x − y + 1) − (3 x − 3 y + 1) − 8( x − y + 1)
1 8 1 4( x − y + 1) 3x − 3y + 1 8( x − y + 1)
−
⎤ ⎥ ⎥ −8 ⎥ −8( x − y + 1) ⎥ ⎥ 8 ⎥ − 8( x − y + 1) ⎥⎦ 0
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ 1 x − y +1 ⎥ ⎥ ⎥ 1 − x − y + 1 ⎥⎦ 0
b) Al igualar b23=1/9, se obtiene una ecuación con dos incógnitas (x e y), pero adicionalmente se tiene el valor que toma la variable x=3 por lo cual la variable y es -5.
b 23 =
1 1 = ⇒ x − y = 8 pero si x = 3 ⇒ y = -5 x−y+1 9
Dada la matriz A y B, obtenga el valor x, si AB-3B=D y además d32 = 13
⎡ 3 y −1⎤ A = ⎢⎢ −1 2 −2 ⎥⎥ ⎢⎣ x 1 −1⎥⎦
y
⎡ y x −2 ⎤ B = ⎢⎢ 3 0 −1⎥⎥ ⎢⎣ −1 −1 1 ⎥⎦
Solución: Primero procedemos a multiplicar la matriz A por B donde el primer elemento de la matriz AB se obtiene de la suma del producto de cada elemento de la primera fila de la matriz A por los elementos de la primera columna de la matriz B, obteniéndose 3y+3y+1=6y+1 y así para los demás elementos de la matriz AB.
⎡ 6y + 1 3x + 1 −y − 7 ⎤ ⎢ ⎥ −2 ⎥ AB = ⎢ 8 − y 2 − x ⎢ xy + 4 x 2 + 1 −2x − 2 ⎥ ⎣ ⎦
CAPITULO 2: MATRICES Y DETERMINANTES
51
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Luego procedemos a multiplicar la matriz B por un escalar que en este caso es 3 y por ultimo restamos la matriz 3B a la matriz AB, obteniéndose D.
⎡3y 3x −6 ⎤ 3B = ⎢⎢ 9 0 −3 ⎥⎥ ⎢⎣ −3 −3 3 ⎥⎦
⎡ 3y + 1 −y − 1 ⎤ 1 ⎢ ⎥ AB − 3B = ⎢ − y − 1 2 − x 1 ⎥ =D ⎢ ⎥ 2 ⎣ xy + 7 x + 4 −2x − 5 ⎦ De donde d32 = 13 = x2 + 4 ⇒ x = ± 3
Sea
⎡ 1 1 −1⎤ A = ⎢ −2 x −1⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ −1 3 1 ⎥⎦
⎡ x −1 1 ⎤ B=⎢3 2 x⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ −2 −1 −1⎥⎦
a) Obtenga AB b) Si det (AB)=0 calcule el valor de x c) Muestre que AB=BA, se cumple o no.
Solución. a) La matriz AB se obtiene de la suma del producto de cada elemento de la primera fila de la matriz A por los elementos de la primera columna de la matriz B, obteniéndose x+ 3 + 2 = x + 5 y así para los demás elementos de la matriz AB.
2 x+2 ⎤ ⎡x + 5 ⎢ ⎥ AB = ⎢ x + 2 2x + 3 x 2 − 1⎥ ⎢7 − x 6 3x − 2 ⎥⎦ ⎣ 2 b) La det(AB)=12x2-24 entonces, 12x − 24 = 0 ⇒ x ± 2
c) Bastará mostrar que un elemento de BA no es igual a AB, por ejemplo: AB11 ≠ BA11 . BA11 = x(1) – 1(x) – 1(1) = x - 1, pero AB11 = x + 5: por ello BA ≠ AB
CAPITULO 2: MATRICES Y DETERMINANTES
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Si C = AB y c33=m, obtenga el valor de z, si la menor solución de m es igual a 0, siendo:
⎡ 3 4 −q ⎢ −2 a e A = ⎢ ⎢3 z m ⎢ ⎣1 m 1
1 a⎤ ⎡ −4 3 ⎢ −3 2 −1 −1⎥ ⎥ B=⎢ ⎢ −2 −1 5m 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ −1 0 4 −2 ⎦
4⎤
3⎥
⎥
2⎥
⎥
1⎦
Solución. Al hallar el producto de la matriz AB se extraer el elemento c 33 de la matriz AB (en función de m y z).
C33 = 3 (1) – 1(z) + m(5m) + 2(4) = 3 – z +5m2 + 8
Por condición:
c33 = m ⇒ 5m2 – m + ( 11 – z ) = 0
m=
1 ± 1 − 20(11 − z) 10
de donde la menor solución será:
1 − 1 − 20(11 − z) 10
= 0 ⇒ z = 11
Si
⎡2 −4 ⎤ D =⎢ ⎥ ⎣t 2 ⎦
1 calcule D−
(
t
( )
t Solución. Por propiedad: D
−1
t
)
t
= ( D−1 ) , de donde (Dt )−1 =
⎡ 1/ 2 −1 ⎤ (t + 1) ⎢⎣ − t / 4 1/ 2 ⎥⎦ 1
Sea el sistema de ecuaciones:
ax + by = c a2 x + dy + ez = f hz + gx = i
CAPITULO 2: MATRICES Y DETERMINANTES
53
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¿Qué requisito(s) debe cumplir
“a” –si es posible- para que dicho sistema tenga
solución única?
Solución. Ordenando el sistema en términos matriciales:
⎡a ⎢ 2 ⎢a ⎢g ⎣
b 0 ⎤ ⎡ x ⎤ ⎡c ⎤ ⎥ d e ⎥ ⎢y ⎥ = ⎢ f ⎥
⎢ ⎥ ⎥ 0 h ⎦ ⎢⎣ z ⎥⎦
AX = b
o
⎢ ⎥ ⎢⎣ i ⎥⎦
Para que el sistema tenga solución única, bastará que el determinante del sistema sea 2 diferente de cero. Obteniendo det(A) ≠ −a bh + adh + beg . Haciendo “a” como 2
variable se tendrá que: a ≠
hd ± ( hd ) + 4 ( bh)( beg ) 2bh
Sea el sistema de ecuaciones:
-2x + 3y +w = t bx + 2w +4z = 5t w – 3y + x = -3 -2y – x +bz +4w = 9
Donde t es una constante, identifique formalmente la condición que debe reunir “ b ” para que el sistema tenga solución única.
Solución. Sea el sistema de ecuaciones matricialmente:
⎡ −2 3 ⎢b 0 ⎢ ⎢ 1 −3 ⎢ ⎣ −1 −2
⎡ t ⎤ 4 2 ⎥ ⎢ y ⎥ ⎢ 5t ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ 0 1⎥ ⎢ z ⎥ ⎢ −3 ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ b 4⎦ ⎣ w ⎦ ⎣ 9 ⎦
0
1⎤ ⎡ x ⎤
Bastará con que el determinante sea diferente de cero. Para ello, se elige la 3 era columna como pivote y se procede a usar la técnica de lo s menores (sección 2.4.2). b 1+ 3
det(A) = 0 ( −1)
1
3 0
−2
1 2 +3
2 + 4 ( −1)
−1 −2 4
CAPITULO 2: MATRICES Y DETERMINANTES
3
−2
1 3 +3
−3 1 + 0 ( − 1) −1 −2 4 1
b
3 0
1 4 +3
2 + b ( −1)
−1 −2 4
−2
3
1
b
0
2
1
−3 1
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−2 2+3
det(A) = 4 ( −1)
3
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1 4 +3
−3 1 + b ( −1) −1 −2 4 1
−2
3
1
b
0
2
1
−3 1
det(A) = −4(0) − b [−6b − 6] .... det(A) = 6b(b + 1) .
Entonces, 6b ( b + 1 ) ≠ 0 ⇒ b ≠ 0 ⋀ b ≠ -1
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por Cramer y corroborar el resultado mediante el proceso X = A -1b, siendo X el vector solución.
3x – 4y – 6z = -16 4x – y – z = 5 x -3y – 2z = -2
Solución. Ordenando matricialmente:
⎡3 −4 −6⎤ ⎡ x ⎤ ⎡ −16 ⎤ ⎢ 4 −1 −1⎥ ⎢ y ⎥ = ⎢ 5 ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 1 −3 −2⎥⎦ ⎢⎣ z ⎥⎦ ⎢⎣ −2 ⎥⎦ El determinante general será: 35.
Aplicando Cramer:
x=
−16 −4 −6 5 −1 −1 −2 −3 −2 35
=
70 =2 35
3 −16 −6
y =
4
5
1
−2
−1 −2
35
=
−70 35
= −2
3 −4 −16
−1 1 −3
4 z=
CAPITULO 2: MATRICES Y DETERMINANTES
35
5
−2
=
175 =5 35 55
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Aplicando X = A-1b: La matriz de cofactores será:
⎡ −1 ⎢ + −3 ⎢ ⎢ −4 C = ⎢− ⎢ −3 ⎢ ⎢ + −4 ⎢⎣ −1
−1 −2
−
−6 −2
+
−6 −1
−
−1 1 −2
4
3 −6 1 −2 3 −6 4
−1
+ − +
4 1 3 1 3 4
−1 ⎤ −3 ⎥⎥ ⎡ −1 7 −11⎤ −4 ⎥ ⎥ , lo que es igual C = ⎢10 0 5 ⎥ ⎢ ⎥ −3 ⎥ ⎢⎣ −2 −21 13 ⎥⎦ ⎥ −4 ⎥ −1 ⎥⎦
⎡ −1 10 −2 ⎤ Ct = ⎢ 7 0 −21⎥ = Adj( A) ⎢ ⎥ ⎢⎣ −11 5 13 ⎥⎦
pero recordando que: X =
1 adj(A)b, entonces: det(A)
⎡ −1 10 −2 ⎤ ⎡ −16⎤ 1 ⎢ X= 7 0 −21⎥ ⎢ 5 ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ 35 ⎢⎣ −11 5 13 ⎥⎦ ⎢⎣ −2 ⎥⎦
⎡2⎤ ⎢ ⎥ lo cual operando apropiadamente: X = −2 ⎢ ⎥ ⎢⎣ 5 ⎥⎦
Obtenga la det(A) si
⎡1 ⎢2 A = ⎢ ⎢3 ⎢ ⎣4
1 1 1⎤
0 5 0⎥
⎥ 9 2 3⎥ ⎥ 6 5 6⎦
Solución. El determinante puede resolverse por diversas formas. La forma más sencilla es usar la segunda fila ya que tiene dos ceros y con ello los subdeterminantes respectivos también serán cero, reduciendo los cálculos. Así:
CAPITULO 2: MATRICES Y DETERMINANTES
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1 1 1
1 1 1
det(A) = −2 9 2 3 − 5 3 9 3 = − 2(− 6) − 5(12) = − 48 6 5 6
4 6 6
Los determinantes de 3x3 pueden resolverse por Sarrus o por cofactores.
Dado el siguiente modelo, donde T=impuestos y t=tasa impositiva sobre la renta, obtenga el ingreso de equilibrio, Ye usando determinantes (Cramer).
Y = C + I0 + G0 C =a +b (Y –T ) T= d + tY
(a > 0, 0 < b < 1) (d > 0, 0 < t < 1)
Solución. Es un sistema de 3 ecuaciones, pero se pueden reducir a 2 variables endógenas, entonces solo se requiere 2 ecuaciones. Si se dejan 3 ecuaciones, con variables endógenas, Y, C y T, el resultado es el mismo. Incorporando la tercera ecuación en la segunda se tiene:
btY – bY + C = a – bd Y – C = I0 + G0
En notación matricial:
⎡(bt − b) 1 ⎤ ⎡ Y ⎤ ⎡ (a − bd) ⎤ ⎢ 1 ⎥ ⎢C ⎥ = ⎢(I + G )⎥ 1 − 0 ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ 0 (a − bd) Y=
1
(I0 + G0 ) −1 b − bt − 1
=
(bd − a) − (I0 + G0 ) b(1 − t) − 1
Determine “a” (resolver para “a”) de tal forma que el sistema no tenga solución única, siendo:
⎡ −2 1 −4 −2 ⎤ ⎢ −1 a 0 −3 ⎥ ⎥ A = ⎢ ⎢ a −1 −2 1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 4 2 −1 4 ⎦
CAPITULO 2: MATRICES Y DETERMINANTES
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Solución Eligiendo la columna 3 como pivote:
1+ 3
det(A) = −4(−1)
⎡ −1 a −3 ⎤ ⎢ a − 1 1 ⎥ + 0(− 1)5 ... + (− 2)(− 1)3 + 3 [ ] ⎢ ⎥ ⎢⎣ 4 2 4 ⎥⎦
⎡ − 2 1 − 2⎤ ⎢− 1 a − 3⎥ + (− 1)(− 1)4 +3 ⎢ ⎥ ⎢⎣ 4 2 4 ⎥⎦
⎡− 2 1 − 2 ⎤ ⎢− 1 a − 3⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ a −1 1 ⎥⎦
det(A) = -4 [-2(2a2+ a + 3 ) ] + (-2)[-16] + [2a2 - 5a + 5] det (A) = 18 a2 + 3 a + 61
Se requiere que det(A)=0 entonces:
−b ± b 2 − 4ac
Usando:
se tiene que:
2a
a=
−3 ± 4383i 36
Usando inversión de matrices y Cra mer, resolver el siguiente sistema:
2x1 + 4x2 - 3x3 =12 3x1 - 5x2 + 2x3 =13 -x1 + 3x2 + 2x3 =17
Solución. El primer paso es averiguar si el determinante es diferente de cero. De ser así, existirá solución única y se puede proceder con los cálculos. ⎡ 2 4 −3 ⎤ det(A) = ⎢⎢ 3 −5 2 ⎥⎥ = − 76 ≠ 0 ⎢⎣ −1 3 2 ⎥⎦
Entonces, usando la inversa
X=
1 adj(A)b det(A)
A-1b
X= A-1b
Si:
A −1
17 7⎤ ⎡ 4 ⎢ 4 4⎥ ⎢ ⎥ 1 ⎢ 1 13 ⎥ 2 − = 19 ⎢ 4 4⎥ ⎢ ⎥ ⎢ −1 5 11 ⎥ ⎢⎣ 2 2 ⎥⎦
entonces
CAPITULO 2: MATRICES Y DETERMINANTES
17 7⎤ ⎡ 4 ⎢ 4 4 ⎥ ⎡12 ⎤ ⎡133⎤ ⎡ 7⎤ ⎢ ⎥ 1 ⎢ 1 13 ⎥ ⎢ ⎥ 1 ⎢ X= 2 − 13 ⎥ = 76 ⎥⎥ = ⎢⎢ 4⎥⎥ ⎢ ⎢ 19 ⎢ 4 4⎥ 19 ⎢17 ⎦⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎣⎢114⎦⎥ ⎣⎢ 6⎦⎥ 5 11 ⎢ −1 ⎥ ⎢⎣ 2 2 ⎥⎦
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MATEMÁTI CAS PARA ECONOMI STAS
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Usando Cramer: 4
−3
13 −5
2
17
2
12
x1 =
x2 =
x3 =
3 det(A)
2
12 −3
3
13
2
−1 17
2
det(A)
2
4
3
−5 13
−1
3
=
−532 =7 −76
=
−304 =4 −76
=
−456 =6 −76
12 17
det(A)
En el siguiente sistema, encontrar:
a) La condición para que el sistema tenga solución. b) Determine x2. 2x1 + ax2 - 3x3 =12 3x1 - ax2 + 2x3 = a -x1 + 3x2 + 2x3 =17 Solución. a) Para que el sistema tenga solución única debe cumplirse que la det(A) ≠ 0
2 det(A) = 3
−1
a
−3
−a
2 = −9a − 39
3
2
Si det (A) ≠ 0 ⇒ -9a -39 ≠ 0 ⇒ a ≠ -39/9. Esta es la condición.
b) Para encontrar x2, bastara aplicar CRAMER: x 2 =
CAPITULO 2: MATRICES Y DETERMINANTES
det(x 2 ) det(A)
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