entrenamiento onem 2017

Olimpiad Olim piadas as Mate Matem´ m´ atic as en el Per´ aticas u Entrenamiento - ONEM 2017 John Cuya Barrios

octubre de 2017

Nivel 1 1. Sea n  un entero positivo y p  un n´ umero primo. Se sabe que los n´ umeros 5n + 1 y n + 10 son m´ ultiplos de p. Probar que n + 3 tambi´en es m´ultiplo de p.

2. Marcar seis puntos en el plano de tal modo que cualesquiera tres de los puntos marcados sean los v´ertices de un tri´ angulo is´osceles.

3. ¿Para qu´e enteros positivos n  se cumple que la suma de los d´ıgitos de n! es igual a 9?

4. Un tablero de m × n   es cubierto completamente, sin superposiciones y sin salirse del tablero, con fichas de la forma

tipo a

 

tipo b

 

tipo c

 

tipo d

Probar que la diferencia entre el n´ umero de fichas del tipo a  y el n´ umeros de fichas del tipo b  es divisible por 3.

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Nivel 2 1. Encontrar el menor entero n ≥  9 con la siguiente propiedad: Es posible elegir nueve n´ umeros del conjunto {1, 2, 3, . . . , n}  y distribuirlos en las casillas de un tablero de 3 × 3, uno por casilla, de tal modo que los n´ umeros de cualesquiera dos casillas vecinas cumplan que uno de ellos es divisible por el otro. Aclaraci´on: dos casillas son vecinas si tienen un lado en com´ un.

2. Sea   ABCD   un cuadril´ atero convexo tal que AB =  C B . Probar que AD  =  C D.

∠CBD

= 2∠ADB ,

∠ABD

= 2∠CDB y

 1 3. En cada operaci´ on, un polinomio cuadr´atico  f (x) puede ser reemplazado por x 2 · f (1 + ) x 1 o por (x − 1)2 · f ( ). Comenzando con el polinomio x2 + 4x + 3, ¿es posible obtener x−1 2 el polinomio x + 10x + 9, despu´es de un n´ umero finito de tales operaciones?

4. Para cada entero positivo n, sea S (n) la suma de los d´ıgitos de n. Probar que existen infinitos enteros positivos k  tales que S (3k ) ≥ S (3k+1).

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Nivel 3 1. Encontrar todas las funciones f  : R → R  tales que f (x)f (y ) +  f (x +  y ) =  xy  para todos los reales x, y .

2. Sea n  un entero positivo. Se tiene un tablero de 2n × 2n, donde 3n  de sus casillas est´an marcadas. Probar que es posible eliminar todas las casillas marcadas, eliminando n  filas y n  columnas.

3. Determine todos los enteros positivos   a,b,c   tales que a2 + 1 y b2 + 1 son primos y (a2 + 1)(b2 + 1) =  c 2 + 1.

4. Sea O  el circuncentro de un tri´ angulo acut´ angulo ABC . Sea P  un punto del lado AB tal que ∠BOP  = ∠ABC , y sea Q  un punto del lado AC   tal que ∠COQ = ∠ACB . Probar que la reflexi´on de  B C   respecto a la recta  P Q  es tangente a la circunferencia circunscrita del tri´angulo AP Q.

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