Integrantes: Alex Ochoa Diego Vásquez Raúl Paguay Vicente Tacuri Fabian Puchaicela Docente: Ing. Tania Orellana Materia: Laboratorio de Estática
2014 - 2014
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA SALESIANA Laboratorio de Física DESCOMPOSICIÓN DE FUERZAS EN TRES DIMENSIONES
1. OBJETIVO: 1. Descomponer rectángulamente diferentes clases de fuerzas en tres dimensiones. 2. Construir un sistema dinámico en equilibrio estático, formado por Tensione, Pesos y Fuerzas elásticas y caracterizarlos completamente.
2. MÉTODO: 1. Tomar la longitud del resorte con el que se trabaja en la posición de equilibrio con el calibrador. 2. Construir un sistema en Equilibrio estático con dos tensione, una fuerza elástica como indica la Fig. 1 3. Caracterizar el sistema tomando los ángulos y las distancias principales del sistema, comprobar los principales conceptos utilizados: ángulos directores, Ley de Hooke, y las principales transformaciones trigonométricas.
3. EQUIPO UTILIZADO 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
Sistema de Referencia Rectangular Soportes universales con nuez Porta masas con gancho Hilo Diferentes masas Resorte Calibrador Dinamómetros Flexómetros Tijeras
Fig. 1 Estructura dinámica de dos tensiones, una Fuerza Elástica y un peso en equilibrio
4.TEORÍA:
4.1 DESCOMPOSICIÓN RECTANGULAR DE LOS VECTORES EN TRES DIMENSIONES CON COSENOS DIRECTORES: A diferencia de la descomposición vectorial en dos dimensiones, el trabajo en tres dimensiones puede mostrar más dificultad, sin embargo, el método de los cosenos directores nos permiten facilitar mucho los procedimientos. Todo vector puede presentarse en función de los cosenos directores, de la siguiente manera:
´ =|F|( cos ∝∙ ´i + cos β ∙ ´j+cos γ ∙ k´ ) F (1) Donde
|F´ |
a α, β y
γ
se los llama ángulos directores, y se los define como
“los menores ángulos formado con los ejes positivos de x, y e z respetivamente”. Tal como muestra la Fig. 2
Fig. 2. Vector con sus componentes rectangulares y cosenos directores
Es decir que cada componente rectangular del vector F será:
Fx=|F|cos ∝ Fy=|F|cos β
Fz=|F|cos γ (2)
4.2 EQUILIBRIO Se conoce que cuando un sistema está en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme, es decir que tiene una aceleración nula, está en equilibrio. Debido a la segunda ley de Newton que afirma F = ma, si la aceleración neta sobre el sistema es cero, la fuerza neta, es decir la suma vectorial de todas las fuerzas del sistema, también lo será: n
´ ∑ F=0 i=1
(3) Al descomponer cada esta sumatoria en sus componentes rectangulares, la suma de cada una de las componentes en x, y e z también deberá ser nula:
n
Fx=0 ∑⃗ i=1
n
Fy=0 ∑⃗ i=1
n
Fz=0 ∑⃗ i−1
(4) A estas fórmulas se las conoce como ecuaciones del equilibrio estático y al estar en dos dimensiones se analizan únicamente las componentes x e y, la componente z se utiliza cuando se trabaja en tres dimensiones.
4.3 LEY DE HOOKE: Revisemos nuevamente los conceptos referentes a esta Ley: al estirar un resorte se genera una fuerza llamada Fuerza Elástica, la Ley de Hooke es la que describe su comportamiento:
F=−kx (5) Donde x es la elongación del resorte, k depende de las características de construcción del resorte y F es la Fuerza Elástica, siempre en sentido contrario a la elongación, como muestra la fig. 6
Fig. 6. Fuerza elástica sobre un resorte F, siempre es de sentido contrario a la elongación de éste.
5. PROCEDIMIENTO Y TABLA DE DATOS: 1. Tomar la longitud inicial del resorte (en su posición de equilibrio) con el flexómetro y anotarlo en la Tabla 1. 2. Colocando un resorte en soporte universal, someta al primer resorte a un peso conocido, utilizando una masa de 100g anote la longitud final del resorte producto del peso, y la magnitud del peso utilizando el dinamómetro. Calcule la elongación. Repita la operación con dos masas más de 150g y 200g. Anote los resultados en la Tabla 1. Tabla 1. Elongaciones del resorte producto de tres pesos diferentes.
POSICIÓN DE EQUILIBRIO =
PESO [N]
LONGITUD [m]
ELONGACIÓN [m]
W1 =
x1=
Δx1=
W2 =
x2=
Δx2=
W3 =
x3=
Δx3=
3. Se prepara el equipo de Laboratorio tal como se describe en la Fig. 1. 4. Coloque los dinamómetros en sus soportes asegurándose que estén a la misma altura. 5. Prepare dos hilos de igual longitud (10cm) para unir los dinamómetros al portamasas. 6. Utilice otro hilo más pequeño (5cm) para el resorte. 7. Utilice una masa de 200g. Determine su peso y anótelo en la Tabla 2. 8. Coloque el portamasas en el punto de unión entre el resorte y los dinamómetros. 9. Asegúrese que los hilos y la varilla de los dinamómetros estén en línea recta. 10. Mida la altura desde la mesa al punto de sujeción del portamasas. 11. Los dos hilos que forman el sistema de referencia deben formar un ángulo recto. 12. Mida la longitud final del resorte y calcule la elongación. Anote esos datos en la Tabla 2.
Tabla 2. Elongación del resorte y el peso del sistema.
Elongación [m]
12.5 m
Peso: W [N]
15 g
13. Mida las fuerzas F1 y F2 en los dinamómetros y anote los valores obtenidos en la Tabla 3.
Tabla 3. Magnitudes experimentales de las Fuerzas F 1 y F2 F1= F2 =
0.2 0.1
[N] [N]
14. Fije el nombre de cada uno de los ejes coordenados. 15. Tome cuidadosamente los ángulos directores de cada fuerza con un graduador. Recuerde que para medir el ángulo la fuerza y el eje respecto al cual hacemos la medición deben formar un mismo plano. Se anotan los datos en la Tabla 4. Tabla 4. Ángulos directores de las fuerzas F1
1 = 0
1 = 110
1 = 70
F2
2 = 110
2 = 0
2 = 110
F3
3 = 70
3 = 110
3 = 0
W
4 = 110
4 = 110
4 = 100
6. TRABAJOS 1. Con los datos de la Tabla 1 realice una gráfica en papel milimetrado del peso vs. la elongación. Determine la relación, grafíquela y halle la pendiente de la curva. (Adjunte gráfico) 2. Con los gráficos anteriores y la Ley de Hooke Ec. (5). Calcule la constante del resorte, y con el dato de la Elongación de la Tabla 2. determine la magnitud de F3:
3. 3. 0.1 0.05 3. 3. 3. Con los datos de la Tabla 4 compruebe la relación que debe existir entre la suma de los cosenos directores para cada fuerza. Constante del resorte [N/m]
cos 2 α
+
Fuerza Elástica F3
cos 2 β +cos2 γ =1
2
2
2
F1;
cos 0 + cos 110+ cos 70=1.23 ≠ 1
F2;
cos 2 110 + cos 2 0+cos 2 110=1.23 ≠ 1
F3;
cos 2 70 + cos 2 110+ cos2 0=1.23 ≠ 1
4. Con las ecuaciones de equilibrio estático (4) y los datos de la Tabla 4, genere un sistema de ecuaciones en x, y e z, donde se conoce la Fuerza Elástica F3, el peso y los ángulos directores de cada fuerza y permanecen como incógnitas únicamente F 1 y F2. Resuelva el sistema de ecuaciones y halle las magnitudes teóricas de F 1 y F2.
cos α =
Wx W
cos ( 110 )=
Wx 0.147
Wx=cos (110 ) ( 0.147 ) Wx=−0.05 N
Wy=cos ( 110 )( 0.147 )=−0.05 N Wz=cos ( 100 )( 0.147 )=−0.025 N
cos ( 0 )=
F 1x F1
F 1=cos ( 110 ) ∙ F 1
F 1 x =cos ( 0 ) ∙ F 1 cos ( 70 ) =
cos ( 110 )=
F1y F1
F1 z F1
F 1 z =cos ( 70 ) ∙ F 1
F 2 y=cos ( 0 ) ∙ F 2 cos 110=
F 2x F2
F 2 x=cos ( 110 ) ∙ F 2
cos ( 110 )=
F 2z Fz
F 2 z=cos ( 110 ) ∙ F 2 cos 0=
F2y F2
cos ( 70 ) =
F3 x F3
F 3 x=cos ( 70 ) ∙ F 3=0.017
cos ( 110 )=
F3y F3
F 3 y=cos (110 ) ∙ F 3=−0.017
cos ( 0 )=
F 3z F3
F 3 z=cos ( 0 ) ∙ F 3=0.05
∑ Fx=−0.05+ F 1−0.342 F 2+0.017=0 F 1−0.342 F 2=0.033
∑ Fy=−0.05−0.342 F 1+ F 2−0.017=0 F 2−0.342 F 1=0.067
∑ Fz=−0.025+0.342 F 1−0.342 F 2+0.05=0 0.342 F 1−0.342 F 2=−0.025
F 1−0,342 F 2=0.033 −0.342 F 1+ F 2=0.067 0.342 F 1−0,342 F 2=−0.025
−0.342 F 2=0.042 −F 2=0.122 N
F 1=0,033+ 0.342 (−0.122 )
F 1=0,075 N
7. PREGUNTAS:
1. Compare los valores teóricos obtenidos en el trabajo 4 con los valores experimentales obtenidos de la Tabla 4. ¿Deben ser iguales? Sí, no, por qué? Estos valores si deben ser iguales ya que se están obteniendo de datos recolectados desde la práctica, claro esta que estos valores saldrán con un mínimo margen de error al ser calculados analíticamente. 2. Indique un método alternativo al de los cosenos directores para descomponer fuerzas en tres dimensiones que se pueda utilizar en el laboratorio. Debemos tener las coordenadas de las fuerzas para así sacar el vector posición, y después multiplicar la magnitud de la fuerza por su unitario obtenido dividiendo el vector posición para su vector.
8. CONCLUSIONES Si conocemos dos de sus ángulos directores podemos calcular el siguiente ángulo director. Para poder aplicar el teorema de fuerzas en equilibrio se debe descomponer en sus coordenadas cada fuerza tomando en cuenta también el peso aplicado. Hemos comprobado los valores de la fuerza también analíticamente utilizando el método de fuerzas en equilibrio.
9. RECOMENDACIONES Asegurar bien los soportes para que los dinamómetros y el resorte no se tiendan a caer. Tener en cuenta el margen de error de los dinamómetros. Recordar que los ángulos directores van desde los ejes positivos x, y, z.
10. BIBLIOGRAFÍA Hibbeler. R.C. (2010.). Mecánica Estática. U.S.A. Decima segunda edición http://es.wikipedia.org/wiki/Equilibrio_mec %C3%A1nico#V.C3.A9ase_tambi.C3.A9n
ANEXOS
