INDICE
I.
Objetivos 1
II.
Fundamento Teórico 3
III.
Hoja de Datos 8
IV.. IV
V.
Cálculos !esultados
Conclusiones 11
VI.
!ecomendaciones 1#
VII.
$iblio%ra&'a
"
13
VIII.
()*ndice 1+
Movimiento Oscilatorio Amortiguado Si un muelle o péndulo oscilan libremente, siempre acaban parándose porque las fuerzas de rozamiento disipan su energía mecánica. n mo!imiento con estas características se denomina mo!imiento amortiguado. Si el amortiguamiento es mu" grande, como por e#emplo en el caso de un péndulo que oscila en melaza, el oscilador ni tan solo e#ecuta una oscilaci$n completa, sino que se mue!e %acia la posici$n posici$n de equilibrio equilibrio con una !elocidad !elocidad que se apro&ima a cero cuando el ob#eto ob#eto se acerca a dic%a posici$n de equilibrio. Este tipo de mo!imiento se denomina Sobreamortiguado . Si, en cambio, el amortiguamiento del mo!imiento es débil, de modo que la amplitud decrece lentamente con el tiempo, como le ocurre a un ni'o que se di!ierte en un columpio de un parque cuando su madre de#a de empu#a empu#are, re, el mo!imi mo!imient ento o result resultant ante e se denomi denomina na subamortiguado. Cuando se tien tiene e el amort amortig igua uami mien ento to míni mínimo mo para para que que se produ produzca zca un mo!i mo!imi mient ento o no oscilatorio se dice que el sistema esta amortiguado críticamente . Movimiento Subamortiguado
(a fuerza de amortiguamiento e#ercida por un oscilador como el que se muestra en la figura ), puede representarse mediante la e&presi$n empírica.
*igura ) *d+ bv En donde b es una constante. n sistema que cumple la ecuaci$n anterior se dice que esta amortiguado linealmente. El análisis siguiente corresponde a este tipo de mo!imiento. (a fuerza de amortiguamiento se opone a la direcci$n del mo!imiento. -or lo tanto, realiza un traba#o negati!o " %ace que la energía mecánica del sistema disminu"a. Esta energía es proporcional al cuadrado de la amplitud " el cuadrado de la amplitud disminu"e e&ponencialmente a medida que aumente el tiempo. -or lo tanto, /+/0 et12 En donde es la amplitud, 0 es la amplitud cuando t+0, " 2 es el tiempo de extinción o constante de tiempo . (a constante de tiempo es el tiempo necesario para que la energía disminu"a en un factor e. El mo!imiento de un sistema amortiguado puede deducirse de la segunda le" de Ne3ton. -ara un ob#eto de masa m ligado a un muelle de constante de fuera k , la fuerza neta es 45&b6d&1dt7.Igualando la fuerza neta con el producto de la masa por la aceleraci$n d/&1dt/, se obtiene 5&bd&1dt +m d /&1dt/ (a soluci$n e&acta de esta ecuaci$n puede determinarse utilizando los métodos cono conoci cido doss de las las ecuac cuaciiones ones dif diferen erenci cial ales es.. (a solu soluci ci$n $n par para el caso caso subamoritguado es 8+0e6b1/m7tcos69:t;ϴ7 En donde 0 es la amplitud má&ima. (a frecuencia 9: !iene dada por 9:+ 90
√ −( 1
b 2 m ω0
2
)
En donde
ω0
es la frecuencia cuando no %a" amortiguamiento 6
ω0
+ √ k / m
para una masa ligado a un muelle7. -ara un amortiguamiento débil, b1/ m z<<) " 9: es apro&imadamente igual a
ω0
ω0
. !iene !iene dado por
+0 e6b1/m712
Cálculos y esultados Calcular la frecuencia angular natura 9 n promedio del sistema. N= de !eces de )0 >scilaciones ) / ? @ A B )0
t6s7 de )0 oscilaciones m);m / A.@A A./ A.? A.?) A.? A.@) A.? A.?B A./ A.@A
m);m ? B.A? B.A B.A) B.AA B.) B.A B.A) B. B.A@ B.A
m);m @ .A .A ./ . ./ . . . .@ .A
t6s7 de ) oscilaci$n m);m / 0.A@A 0.A/ 0.A? 0.A?) 0.A? 0.A@) 0.A? 0.A?B 0.A/ 0.A@A
m);m ? 0.BA? 0.BA 0.BA) 0.BAA 0.B) 0.BA 0.BA) 0.B 0.BA@ 0.BA
m);m@ 0.A 0.A 0./ 0. 0./ 0. 0. 0. 0.@ 0.A
F2
´= T
∑ T 10
ω n=
2 π ´ T
-ara m);m/ ´= T
6.365 10
´ =0.6365 T
ω n=
2 π 0.6365
ω n=9.871
-ara m);m? ´= T
7.636 10
´ =0.7636 T ω n=
2 π 0.7636
ω n=8.228
-ara m);m@ ´= T
9.871 10
´ =0.9871 T
ω n=
2 π 0.9871
A.?A
B.A?A
.B)
ω n=6.365
Grafique la cur!a amplitud 67 !s tiempo " luego determine la frecuencia angular 9d del
mo!imiento amortiguador de la masa Hm. $%"e& "e $s#i#io &es 1% 2" 3% 4t 5t 6t 7t 8v 9& 10m
'%ime% &s*o
e,!&"o &s*o
e%#e% e%#e% &s*o
(#m)
(#m)
(#m)
(#m)
4.1 3.7
4.3 3.9
4.2 3.8
3.3
3.4
3.3
3.2
3
3.3
2.5 2.3
2.6 2.3
2.7 2
2.1
2
1.8
1.5
1.6
1.8
1.3
1
1.2
4.2 3.8 3.33333 33 3.16666 67 2.6 2.2 1.96666 67 1.63333 33 1.16666 67
iempo '%ome"i o (s) 1.51 2.45 3.08 4.1 4.93 5.78 6.65 7.44 8.34
A vs tiempo 4.5 4 3.5 3 2.5 Ampit!" (#m) 2 1.5 1 0.5 0
f(x) = - 0.4 0.44x 4x + 4.82 R² = 0.99
1
2
3
4
5
tiempo (s)
CO!C"#SIO!$S
6
7
8
9
•
•
•
l e!aluar la constante del resorte podemos notar que cumple con la le" de Joo5e por ende el mo!imiento del e&perimento es oscilatorio. Siemp iempre re e&is e&isttirán irán en la nat natural uralez eza a facto actore ress que que impid mpidan an que que las e&periencias como esta se den con muc%a e&actitud, tiene que !er tanto el error %umano en la medici$n medici$n de algunas algunas magnitudes como los factores del medio que pudiesen presentarse. Se conclu"e también que los errores en cálculo en las mediciones de las e&per e&perie ienc ncia iass nos nos a"ud a"udan an a darno darnoss cuent cuenta a lo impor importa tant nte e que que es tene tener r precisi$n " paciencia para lograr un resultado más e&acto " con un margen de error más peque'o.
$COM$!%ACIO!$S
2ratar de calcular con e&actitud el tiempo de las oscilaciones "a que con esto puede !ariar notablemente los resultados.
•
En el e&perimento realizado obser!amos que el !alor que marcaban las mplitudes no siempre eran las te$ricas, esto se debe a que por moti!o de la resistencia del aire %ace cambian su !alor.
&I&"IO'A(IA
•
*ísica ni!ersitaria *rancisco garte -. -. Ko!imiento rm$nico rm$nico *ísica para la ciencia " la tecnología 4 2ipler Kosca Lolumen ) 6paginas @)?@)7
Kanual de laboratorio de física general. -or ni!ersidad Nacional de Ingeniería
A!$)OS $cuaciones %i*erenciales de segundo orden+ Caso aplicado al movimiento vibratorio amortiguado
Ko!imiento !ibratorio amortiguado
na masa m) está su#eta al e&tremo de un resorte fle&ible suspendida de un soporte rígido 6el tec%o o cualquier otro7. Cuando se cambia la masa m) por una masa diferente, pues el alargamiento será ob!iamente distinto. -or la le" de Joo5e, el resorte en sí e#erce una fuerza * opuesta al alargamiento " que es proporcional a su magnitud s. (a ecuaci$n * + 5s en donde 5 es la constante de proporcionalidad que en diferentes resortes puede o no ser el mismoM el resorte elástico está caracterizado por el nmero 5. -or e#emplo, si un cuerpo de )0 lb alarga un resorte en O ft, entoncesP )0 + 5 6)1/7 implica que 5 + /0lb1ft.
Segunda ley de ne,ton
Después de que m) se su#eta al resorte, lo alargara en una magnitud s, éste alcanzará la posici$n de equilibrio en la cual el peso Q es equilibrado por la fuerza de restituci$n 5s.
Ecuaci$n del peso Q + mg Donde g es la gra!edad (a masa m puede medirse en 5g, g, o slugs El equilibrio es mg + 5s o mg 4 5s + 0 %ora si la masa m se desplaza de su posici$n de equilibrio en una magnitud & " después se suelta, la fuerza correspondiente al mo!imiento está dada por la segunda le" de ne3ton, * + ma
Donde a es la aceleraci$n
R en el caso caso del del mo!i mo!imi mien ento to !ibr !ibrat ator orio io amor amortitigu guad ado, o, act actan an fuer fuerza zass de amortiguaci$n que actan sobre el cuerpo " son proporcionales a una potencia de la !elocidad instantánea. Esto se debe a que el sistema puede estar sumergido en un medio !iscoso o conectado a un mecanismo de amortiguaci$n.
sta
fuerza está dado por un
mltiplo const nstant ante de Cuando no acten otras fuerzas sobre el sistema se obtiene que
En donde
es una constante de amortiguaci$n positi!a " el signo negati!o se debe a que la fuerza fuerza amortig amortiguado uadora ra está está opuest opuesta a al mo!imi mo!imient ento. o. De igual igual manera manera el signo signo negati!o en la fuerza de restituci$n 5 actuará opuesta al mo!imiento. %ora consideraremos la siguiente con!enci$n para querer resol!er un problema de éste tipoP Cuando el desplazamiento a partir de la posici$n de reposo es %acia arriba se considera un signo negati!o. Cuando el desplazamiento a partir de la posici$n de reposo es %acía aba#o se considera un signo positi!o. Dada una ecuaci$n diferencialP
Donde a " b son constantes. R las raíces correspondientes a D seríanP
En donde a1/ se usa por con!eniencia algebraica en la que no afecta al resultadoM " segn el signo algebraico
-odemos distinguir ? casos posibles •
Caso IP
El mo!imiento está sobreamortiguado puesto que el coeficiente de amortiguaci$n es grande en comparaci$n comparaci$n de la constante constante 5 del resorte. (a soluci$n quedaría de éste modoP
sta ecuaci$n representa un mo!imiento sua!e " no oscilatorio. N$tese que cuando se obtiene la ecuaci$n de la forma
Es un binomio cuadrado no perfecto.
•
Caso IIP
El sistema está críticamente amortiguado "a que una peque'a disminuci$n de la fuerza de amortiguaci$n causaría un mo!imiento oscilatorio o bien el coeficiente de amortiguaci$n es igual a la constante del resorte. (a soluci$n sería.
N$tese que cuando se obtiene la ecuaci$n de la forma
Es un binomio al cuadrado.
•
Caso IIIP
El sist sistem ema a está está suba subamo mort rtig igua uado, do, "a que que la const constant ante e de amort amortig igua uaci ci$n $n es peque'a a comparaci$n del resorte (as raíces D) " D/ son comple#as.
R la soluci$n general será de éste modoP
ste mo!imiento describe una oscilaci$n que disminu"e conforme pasa el tiempo.
