INDICE
I.
Objetivos 1
II.
Fundamento Teórico 3
III.
Hoja de Datos 8
IV.
V.
Cálculos y Resultados
Conclusiones 11
VI.
Recomendaciones 12
VII.
Bibliografía
9
13
VIII.
Apéndice 14
Movimiento Oscilatorio Amortiguado Si un muelle o péndulo oscilan libremente, siempre acaban parándose porque las fuerzas de rozamiento disipan su energía mecánica. Un movimiento con estas características se denomina movimiento amortiguado. Si el amortiguamiento es muy grande, como por ejemplo en el caso de un péndulo que oscila en melaza, el oscilador ni tan solo ejecuta una oscilación completa, sino que se mueve hacia la posición de equilibrio con una velocidad que se aproxima a cero cuando el objeto se acerca a dicha posición de equilibrio. Este tipo de movimiento se denomina Sobreamortiguado. Si, en cambio, el amortiguamiento del movimiento es débil, de modo que la amplitud decrece lentamente con el tiempo, como le ocurre a un niño que se divierte en un columpio de un parque cuando su madre deja de empujare, el movimiento resultante se denomina subamortiguado. Cuando se tiene el amortiguamiento mínimo para que se produzca un movimiento no oscilatorio se dice que el sistema esta amortiguado críticamente. Movimiento Subamortiguado La fuerza de amortiguamiento ejercida por un oscilador como el que se muestra en la figura 1, puede representarse mediante la expresión empírica.
Figura 1 Fd= -bv En donde b es una constante. Un sistema que cumple la ecuación anterior se dice que esta amortiguado linealmente. El análisis siguiente corresponde a este tipo de movimiento. La fuerza de amortiguamiento se opone a la dirección del movimiento. Por lo tanto, realiza un trabajo negativo y hace que la energía mecánica del sistema disminuya. Esta energía es proporcional al cuadrado de la amplitud y el cuadrado de la amplitud disminuye exponencialmente a medida que aumente el tiempo. Por lo tanto,
A2=A20 e-t/T En donde A es la amplitud, A0 es la amplitud cuando t=0, y T es el tiempo de extinción o constante de tiempo. La constante de tiempo es el tiempo necesario para que la energía disminuya en un factor e. El movimiento de un sistema amortiguado puede deducirse de la segunda ley de Newton. Para un objeto de masa m ligado a un muelle de constante de fuera k, la fuerza neta es –kx-b(dx/dt). Igualando la fuerza neta con el producto de la masa por la aceleración d2x/dt2, se obtiene
-kx-bdx/dt =m d2x/dt2 La solución exacta de esta ecuación puede determinarse utilizando los métodos conocidos de las ecuaciones diferenciales. La solución para el caso subamoritguado es
X=A0e-(b/2m)tcos(ω´t+ϴ) En donde A0 es la amplitud máxima. La frecuencia ω´ viene dada por
ω´= ω0 En donde
√
b 2 1−( ) 2 mω 0
ω0 es la frecuencia cuando no hay amortiguamiento ( ω0
=
√ k /m
para una masa ligado a un muelle). Para un amortiguamiento débil, b/2 m ω0 z<<1 y ω´ es aproximadamente igual a
ω0 . A viene dado por
A=A0 e-(b/2m)/T
Cálculos y Resultados Calcular la frecuencia angular natural ωn promedio del sistema. Nº de veces de 10 Oscilaciones 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
∑T T´ = 10
t(s) de 10 oscilaciones m1+m 2 6.46 6.28 6.35 6.31 6.38 6.41 6.38 6.37 6.25 6.46
m1+m 3 7.63 7.56 7.61 7.66 7.81 7.56 7.61 7.59 7.64 7.69
m1+m 4 9.68 9.86 9.92 9.9 9.92 9.85 9.98 9.8 9.84 9.96 ΣT
t(s) de 1 oscilación m1+m 2 0.646 0.628 0.635 0.631 0.638 0.641 0.638 0.637 0.625 0.646 6.365
m1+m 3 0.763 0.756 0.761 0.766 0.781 0.756 0.761 0.759 0.764 0.769 7.636
m1+m4 0.968 0.986 0.992 0.99 0.992 0.985 0.998 0.98 0.984 0.996 9.871
ω n=
2π T´
Para m1+m2 6.365 T´ = 10 T´ =0.6365
ω n=
2π 0.6365
ω n=9.871 Para m1+m3 7.636 T´ = 10 T´ =0.7636 ω n=
2π 0.7636
ω n=8.228 Para m1+m4
Grafique la curva amplitud (A) vs tiempo y luego determine la frecuencia angular ωd del movimiento amortiguador de la masa “m”.
Orden de
Primer Ensayo
Segundo Ensayo
Tercer Ensayo
Ã
(cm)
(cm)
(cm)
(cm)
4.1 3.7
4.3 3.9
4.2 3.8
3.3
3.4
3.3
3.2
3
3.3
2.5 2.3
2.6 2.3
2.7 2
2.1
2
1.8
1.5
1.6
1.8
1.3
1
1.2
4.2 3.8 3.333333 3 3.166666 7 2.6 2.2 1.966666 7 1.633333 3 1.166666 7
Oscilacione s 1ra 2da 3ra 4ta 5ta 6ta 7ta 8va 9na 10ma
Tiempo Promedi o (s) 1.51 2.45 3.08 4.1 4.93 5.78 6.65 7.44 8.34
A vs tiempo 7 6
f(x) = 5.97 exp( -0.18 x ) R² = 0.98
5 4
Amplitud (cm)
3 2 1 0
0
1
2
3
4
5
tiempo(s)
−(
y=5.9692 e−0.178t y =6 e b =0.178 2m
b t) 2m
6
7
8
9
b=3.649
b ω d =ω n + 2m 2
2
2
( )
ω d2=6.3652 +0.1782 ω d=6.367
CONCLUSIONES
Al evaluar la constante del resorte podemos notar que cumple con la ley de Hooke por ende el movimiento del experimento es oscilatorio. ❑ ❑ Del experimento se concluye que ω n y ω d tienen valores muy cercanos El valor de b es 3.649 g.s El valor de la Amplitud inicial, teórica y experimental, casi coinciden. El valor teórico es 5.9692 cm y el valor experimental es 6 cm Siempre existirán en la naturaleza factores que impidan que las experiencias como esta se den con mucha exactitud, tiene que ver tanto el error humano en la medición de algunas magnitudes como los factores del medio que pudiesen presentarse. Se observa que el periodo se mantiene casi constante en cada oscilación del resorte Se concluye también que los errores en cálculo en las mediciones de las experiencias nos ayudan a darnos cuenta lo importante que es tener
precisión y paciencia para lograr un resultado más exacto y con un margen de error más pequeño.
RECOMENDACIONES
Tratar de calcular con exactitud el tiempo de las oscilaciones ya que con esto puede variar notablemente los resultados. En el experimento realizado observamos que el valor que marcaban las Amplitudes no siempre eran las teóricas, esto se debe a que por motivo de la resistencia del aire hace cambian su valor. Medir el tiempo dejando que pase una oscilación, y desde ahí contar las 10 oscilaciones. Ya que al momento de soltar el resorte y apretar el botón del cronometro no es muy precisa la medición inicial, debido a que estamos haciendo dos funciones diferentes que no podemos sincronizar. Por más que la gráfica A vs tiempo parezca una recta, es una función exponencial, así que debemos ajustarla a tal y de ahí comparando la ecuación teórica hallamos el valor de b.
BIBLIOGRAFIA
Física Universitaria -Francisco Ugarte P. Movimiento Armónico
Física para la ciencia y la tecnología – Tipler Mosca Volumen 1 (paginas 413-415)
Manual de laboratorio de física general. Por Universidad Nacional de Ingeniería
Física para Ciencias e Ingeniería – Serway y Jewett Volumen 1 (paginas 418-437
ANEXOS Ecuaciones Diferenciales de segundo orden: Caso aplicado al movimiento vibratorio amortiguado
Movimiento vibratorio amortiguado Una masa m1 está sujeta al extremo de un resorte flexible suspendida de un soporte rígido (el techo o cualquier otro). Cuando se cambia la masa m1 por una masa diferente, pues el alargamiento será obviamente distinto. Por la ley de Hooke, el resorte en sí ejerce una fuerza F opuesta al alargamiento y que es proporcional a su magnitud s. La ecuación F = ks en donde k es la constante de proporcionalidad que en diferentes resortes puede o no ser el mismo; el resorte elástico está caracterizado por el número k. Por ejemplo, si un cuerpo de 10 lb alarga un resorte en ½ ft, entonces: 10 = k (1/2) implica que k = 20lb/ft.
Segunda ley de newton Después de que m1 se sujeta al resorte, lo alargara en una magnitud s, éste alcanzará la posición de equilibrio en la cual el peso W es equilibrado por la fuerza de restitución ks.
Ecuación del peso W = mg Donde g es la gravedad La masa m puede medirse en kg, g, o slugs El equilibrio es mg = ks o mg – ks = 0 Ahora si la masa m se desplaza de su posición de equilibrio en una magnitud x y después se suelta, la fuerza correspondiente al movimiento está dada por la segunda ley de newton, F = ma
Donde a es la aceleración
Y en el caso del movimiento vibratorio amortiguado, actúan fuerzas de amortiguación que actúan sobre el cuerpo y son proporcionales a una potencia de la velocidad instantánea. Esto se debe a que el sistema puede estar sumergido en un medio viscoso o conectado a un mecanismo de amortiguación.
Ésta fuerza está múltiplo constante Cuando no actúen otras fuerzas sobre el sistema se obtiene que
dado por un de .
En donde es una constante de amortiguación positiva y el signo negativo se debe a que la fuerza amortiguadora está opuesta al movimiento. De igual manera el signo negativo en la fuerza de restitución k actuará opuesta al movimiento.
Ahora consideraremos la siguiente convención para querer resolver un problema de éste tipo:
Cuando el desplazamiento a partir de la posición de reposo es hacia arriba se considera un signo negativo. Cuando el desplazamiento a partir de la posición de reposo es hacía abajo se considera
un signo positivo.
Dada una ecuación diferencial: Donde a y b son constantes. Y las raíces correspondientes a D serían:
En donde a/2 se usa por conveniencia algebraica en la que no afecta al resultado; y según el signo algebraico
Podemos distinguir 3 casos posibles
Caso I:
El movimiento está sobre-amortiguado puesto que el coeficiente de amortiguación es grande en comparación de la constante k del resorte. La solución quedaría de éste modo:
Ésta ecuación representa un movimiento suave y no oscilatorio. Nótese que cuando se obtiene la ecuación de la forma
Es un binomio cuadrado no perfecto.
Caso II:
El sistema está críticamente amortiguado ya que una pequeña disminución de la fuerza de amortiguación causaría un movimiento oscilatorio o bien el coeficiente de amortiguación es igual a la constante del resorte. La solución sería.
Nótese que cuando se obtiene la ecuación de la forma
Es un binomio al cuadrado.
Caso III:
El sistema está subamortiguado, ya que la constante de amortiguación es pequeña a comparación del resorte Las raíces D1 y D2 son complejas.
Y la solución general será de éste modo:
Éste movimiento describe una oscilación que disminuye conforme pasa el tiempo.
