Practica 2 Cinematica 1-2016 Fisica 100

´ 1 , 1–27, 2016 U NIVERSIDAD M AYOR DE S AN A NDR ES F ACU LTAD

´ CA DE C IENCIAS P URAS Y N N ATU RAL ES —C ARR ERA DE M ATE M ATI

´ CINEM ATICA DEL PUNTO ´ PR ACTICA 2

L IC . E VARI STO M AMA NI C ARL O† Universidad Mayor de San Andr es e´ s Facultad de Ciencias Puras y Naturales - Carrera de F ´ısica ısica

L A P P AZ , 10 DE F EBRERO DEL 2016

RESUMEN ´ Se presenta una serie de ejercicios de la cinem atica del punto a velocidad constante y a velocidad variable a fin de evaluar la capacidad que tiene el estudiante de aplicar los conocimientos te´ teoricos o´ ricos aprendidos en clases de Fısica ´ısica Basica ´ I de nivel avanzado. Keywor Keywords: ds: Movim Movimien iento to Unifor Uniforme— me—Mov Movim imien iento to Unifor Uniforme me Parabolico—Movimiento o´ lico—Movimiento Relativo—Movimiento Relativo—Movimiento Curvil ´ıneo ıneo

1. Si el bloque A est a´ moviendo moviendo extendiend extendiendose ose hacia cia abaj abajo o a 6 ft/s mientra mientrass el bloque bloque C esta´ bajand bajando o a 18 ft/s, determ determine ine la veloci velocidad dad del bloque B.

Aceler Acelerado ado—Mo —Movim vimien iento to

Circul Circular— ar—Mov Movim imien iento to

con con la mism misma a velo veloci cida dad d con con rela relaci ción o´ n a la corr corrie ient nte e del agua y alcanzo´ las balsas a una distancia de S = 7.5 km del punto de su primer encuentro. Determinar la velocidad de la corriente del r´ r ´ıo, ıo, ´ considerandola constante. Resp. v = v = 3 km/h

3. El autom´ automovil o´ vil esta´ viajando a una velocidad constante de 100 km/h. Si la lluvia est a´ cayendo a o´ n mostrada, determine la ve6 m/s en la direccion locidad de la lluvia visto por el chfer.

F IG . 2.— Para la pregunta 2


Resp. v B = 12 ft/s 12 ft/s

↑

2. Una Una lancha lancha a moto motorr que que va r´ r ´ıo ı o arri arriba ba se enencontr´ contro´ con unas balsas que flotaban aguas abajo. Pasada una hora despu´ despues e´ s de este encuentro el motor de la lancha par o. o´ . La reparaci on o´ n de este e´ ste dur´ duro´ 30 minutos y durante todo este tiempo la ´ıo. Arlancha segu´ segu´ıa ıa libremente la corriente del r´ rıo. reglad reglado o el moto motorr , la lancha lancha comenz comenzó´ a ir r´ıo ı o abaj abajo o † Email:

[email protected] [email protected]

Resp. vr/c = 31. 31.2 m/s, θ = θ = 9.580

4. Dos ciclistas A y B viajan a la misma velocidad constante v . Determine la velocidad de A con respecto a B si A viaja a lo largo de la huella re´ donda, mientras B viaja a lo largo del di ametro del crculo. Resp. v A/B = v

 2(1 − sen θ)

5. Los contadores A y B (que registran el momento de la llegada del rayo gamma) distan 2 m. Entre

2

Lic. Evaristo Mamani Carlo al encontrarse con el entrenador , da la vuelta y correhacia atrás as con la misma velocidad v . Que longitud tendra´ la columna cuando todos los deportistas den la vuelta?. Resp. l  = l

v u v + u + u

−

´ ulo 2α y se 8. Dos Dos barr barras as se cruz cruzan an bajo bajo el angulo ang mueven con igual velocidad v y perpendicularp erpendicularmente a s´ı mismas. mismas. Cual será la velocidad del punto de cruce de las barras?


ellos ellos tuvo tuvo la desint desintegr egraci ación o´ n de lapart lapart´ıcula ıcula mes´ meson o´ n

π 0 en dos rayos gamma. En que lugar sucedi o´ la desintegraci´ desintegracion o´ n si el contador A registr o´ el rayo ´ tarde que el contador B?. La gamma 10 9 s mas velocidad de la luz adoptese o´ ptese igual a 3 108 m/s. −

F IG . 6.— Para el problema 8

×

Resp. u = u =

v sen α

9. Un automovil se aleja a la velocidad v de una pared larga bajo cierto angulo ´ α respecto a ella. Cuando la distancia hasta la pared era l el automovil tomovil dio una seal sonora sonora corta. corta. Que distancia distancia recorrer´ recorrera´ el automovil hasta el momento en que el chofer oiga el eco?. La velocidad en el aire del sonido es c .


Resp. x = x = 1.15 m

6. Tres micr microfonos o´ fonos,, situad situados os en una recta en los puntos A, B y C, registraron en los momentos de tiempo t A > tB > tC el sonido de cierta explosi on o´ n que ocurri ocurrió´ en el punt punto o O, yace yacent nte e en el segm segmen ento to ´ AB = BC B C = = L. El AC. Hallese la distancia AO, si AB = momento de la puesta en marcha del reloj no corresponde al momento de la explosi on. o´ n.


√ − −

v sen α + c2 v 2 cos2 α Resp. x = x = 2lv c2 v 2


Resp. AO = AO = L L

3tA 2t 2tB tC 2(t 2(tA tB )

− − −

7. Unos deportistas corren formando una columna de longitud l con la misma velovidad v . Al encuentro de la columna corre el entrenador a la velocidad u ( u < v ). Cada uno de los deportistas,

´ 10. Al chocar elasticamente una bola contra cierta ´ pared inmovil lisa, el angulo de incidencia de la bola es igual al de reflexion. o´ n. En que angulo ´ cambiara´ la direccion o´ n de la velocidad de la bola despu´ spues e´ s de chocar dos veces contra dos paredes, el ´ angulo entre las cuales es igual a α ?. En uqe direcci´ reccion o´ n volara´ la bola si el angulo ´ α = π/2 π/2?. El movimiento tiene lugar en el plano perpendicular a las paredes. paredes.

´ CINEM ATICA DEL PUNTO

3

Resp. β = 2α. En direcci o´ n contraria a la inicial

11. En un billar con las barandas a y b se lanza una ´ bola desde el centro del lado b . Para que angulos ϕ ella vuelve al mismo punto de la baranda del que empezó el movimiento?

F IG . 10.— Respuesta para el problema 12

a lo largo de la misma l´ınea recta son y 0A = 0 m ´ y y 0B = 0 m, respectivamente. En el gr afico ad junto se muestra la dependencia con el tiempo de la rapidez de cada móvil


Resp. tan ϕ =

2ma , donde m , n cualesquiera n umeros ´ nb enteros

12. Una part´ıcula se mueve por un plano. Aplicando las graficas ´ que uestran la dependencia de las proyecciones de la velocidad vx y vy con respecto al tiempo, construyase la trayectoria de la part´ıcula si x(0) = 2m, y(0) = 1m.

(a) Determine el tiempo que tarda en encontrarse y la posici o´ n respectiva de cada uno en ese instante. (b) Ilustre en un gráfico apropiado la dependencia con el tiempo de la posición para ambos móviles.


14. Una part´ıcula se mueve a lo largo de una linea recta con la velocidad mostrada en la figura 40, sabiendo que x = 540 m en t = 0:

−


´ (a) Construir las gr aficas de a 0 t 50 s.

≤ ≤

− t y x − t para

(b) La distancia total recorrida por la part´ıcula para t = 50 s . ´ Resp. El grafico que se obtiene es el siguiente

13. Suponga que las posiciones iniciales de dos móviles A y B que se mueven en el mismo sentido

(c) Los instantes en que x = 0. Resp. (b) d = 1383 m , (c) t = 9 s y t = 49.5 s

4

Lic. Evaristo Mamani Carlo



17. La aceleración de una part´ıcula esta´ definida por a = 0.4(1 kv), siendo k una constante. Sabiendo que cuando t = 0 la part´ıcula parte del reposo desde x = 4 m y que cuando t = 15 s, v = 4 m/s, hallar (a) la constante k , (b) la posici o´ n de la part´ıcula cuando v = 6 m/S, (c) su velocidad maxima. ´

−

F IG . 13.— Respuesta para la pregunta 14a

Resp. (a) 0.1457 s/m, (b) 145.2 m, (c) 6.86 m/s

18. Un cuerpo se mueve durante un tiempo τ a una velocidad cosntante v0 . Luego, su velocidad crece con el tiempo linealmente de manera que en el momento de tiempo 2τ es igual a 2v0 . Determinese el camino que recorri o´ el cuerpo durante el tiempo t > τ .

F IG . 14.— Respuesta para la pregunta 14a

15. Una part´ıcula que parte del reposo en x = 1 m es acelerada de modo que su velocidad se duplica entre x = 2 m y x = 8 m. Sabiendo que su aceleración esta´ definida por a = k(x A/x), hallar los valores de las constantes A y k si la velocidad de lapart´ıcula es de 29 m/s cuando x = 16 m.

−

Resp. A =

2

−36.8 m , k = 1.832 s

−2

16. En la figura 15 se muestra la dependencia con el tiempo de la aceleración de una part´ıcula que se mueve a lo largo del eje x. Suponga que parte del reposo y que su posicio´ n inicial es x = 15 m. (a) Determinar su rapidez en t = 5 s y en t = 18 s. ´ (b) Construye las gr aficas de v(t) y x(t).


Resp. L = v 0 t +

v0 (t 2τ

2

− τ )

19. Una part´ı cula se mueve sobre una l´ı nea recta con la aceleració n que var´ıa en funcio´ n del tiempo como se muestra en la figura 17. Sabiendo que parte del origen con v 0 = 2 m/s, hallar:

−

´ CINEM ATICA DEL PUNTO (a) Construir la gr afica ´ de v t < 18 s.

5

− t y x − t para 0 <

(b) La posición, la velocidad y la distancia total que recorre cuando t = 18 s.



Resp. x = 52 m, v = 36 m/s, 164 m

20. El cuerpo comienza su movimiento desde el punto A. Primero el cuerpo se mueve durante el tiempo τ de manera uniformemente acelerado, despué s con la misma aceleració n seg ún el módulo, de manera uniformemente desacelerado. Dentro de cuanto tiempo desde el comienzo del movimiento el cuerpo regresar a´ al punto A?. Resp. t = (2 +

√ 2)τ

21. Un avión aterriza en una pista recta, viajando originalmente a 110 pies/s cuando x = 0. Si esta´ sujeto a las desaceleraciones que se muestran en la figura 18, determine:

23. Sobre una placa elastica ´ caen libremente dos bolas de acero. La primera cae desde una altura h1 = 44 cm y la segunda, transcurrido un lapso τ después de la primera, siendo la altura h 2 = 11 cm. Al pasar cierto tiempo , las velocidades de las bolas coinciden tanto por su valor como por la dirección. Determinar el lapso τ y el intervalo de tiempo, durante el cual las velocidades de ambas bolas seran ´ iguales. Las bolas no chocan. Resp. τ = 0.3 s, t = 0.3 s

24. ¿Durante que tiempo un cuerpo que cae libremente sin velocidad inicial, pasa el enésimo cent´ımetro de su trayecto? Resp. τ =

 2 √ g

( n

− √ n − 1)

25. De una torre alta se lanzan dos cuerpos uno tras otro, con velocidades v0 de igual valor. El primer cuerpo se lanza verticalmente hacia arriba; pasado cierto tiempo τ , se tira el segundo verticalmente hacia abajo. Determine la velocidad de los cuerpos uno respecto del otro y la distancia entre ellos en el momento t > τ .



(a) El tiempo t necesario para detener el avi o´ n. (b) Las gráficas de v movimiento.

− t

y x

− t para dicho

Resp. (a) t = 33.3 s

22. La aceleraci o´ n de una part´ıcula es directamente proporcional al tiempo t . Cuando t = 0, su velocidad es v = 16cm/s. Sabiendo que v = 15 cm/s y que x = 20 cm cuando t = 1 s, hallar la volocidad, la posición y la distancia total recorrida cuando t = 7 s. Resp. v =

−33 cm/s, x = 2 cm, 87.7 cm

Resp. u = 2v0

− gτ velocidad del primer cuerpo con respecto al segundo. S = (2v − gτ )t − v τ + gτ /2 0

0

2

26. Dos automoviles salen de las ciudaddes A y B, el uno al encuentro del otro, con velocidades y aceleraciones a de iguales valores. La aceleraci o´ n del automovil que salió de la ciudad A todo el tiempo ten´ıa dirección hacia A, y la del automovil que salió de la ciudad B hacia b. ¿Cuanto tiempo mas tarde salió uno de estos automoviles si el tercer automovil que iba todo el tiempo con la velocidad constante v1 presenció ambos encuentros de los dos primeros automóviles?. Resp. t =

2v1 a

6


27. El bloque deslizante A se mueve hacia la izquierda con una velocidad de 6 m/s. Hallar:

Resp. g cot α

(a) La velocidad del bloque B (b) La velocidad de la parte D del bloque (c) La velocidad relativa de la parte C del cable respecto a la parte D

30. Una bobina rueda por un plano horizontal sin deslizamiento. Del hilo se tira bajo un angulo ´ α hacia el horizonte con una velocidad v . Hallar la velocidad del eje y la velocidad angular de rotación de la bobina. ¿Para que angulos α el eje se mueve hacia la derecha y para cuales hacia la izquierda?. El hilo es tan largo que α no cambia durante el movimiento.



Resp. (a) 2 m/s , (b) 2 m/s , (c) 8 m/s

↑

↓

↑

˜ forma con el soporte horizontal un 28. Una cuna ´ angulo de 300 , una barra vertical que baja a la velocidad v la empuja. ¿Que velocidad desarrollara´ la cuna?. ˜

Resp. u =

vR v ; ω = , a la derecha cuando R cos α r R cos α r cos α > r/R, a la izquierda cuando cos α < r/R

−

−

31. La figura 22 muestra cierta transmisi o´ n de engranajes de movimiento planetario. ¿Que cantidad de revoluciones alrededor de su eje efectuar a´ el engranaje A si la rueda dentada realiza n1 revoluciones y el engranaje central n2 revoluciiones?. El radio interior de la rueda dentada es R y del engranaje central r .


√

Resp. v 3

˜ con un angulo ´ α yace cierta mon29. En una cuna eda. ¿Con que aceleraci o´ n m´ınima debe moverse la cuna ˜ por un plano horizontal para que la moneda caiga libremente hacia abajo?


Resp. n A =

n1 R R

− n r − r 2

´ CINEM ATICA DEL PUNTO 32. Un abalorio puede moverse por cierta circunferencia de radio R, empujado por una aguja que gira de forma uniforme a la velocidad angular ω . El eje de rotacio´ n de la aguja pasa por el punto O de la circunferencia. ¿Cual sera´ la aceleración del abalorio?.

7 Resp. 18.17 m/s

35. En el punto A una tuberia horizontal descarga agua en un depo´ sito. Expresar el radio de curvatura del chorro en el punto B en funci o´ n de los módulos de las velocidades v A y v B .

F IG . 26.— Para el problema 35 F IG . 23.— Para el problema 32

Resp.

2

Resp. a = 4ω R

33. La varilla gira a la velocidad angular ω . No hay deslizamiento entre el cilindro y el plano horizontal . Hallese la velocidad angular del cilindro en ´ α . dependencia del angulo

3 vB gvA

36. Cuando el camió n de la figura 27 empieza a retroceder a la aceleraci o´ n constante de 1.2m/s2 , la porción exterior B de su pluma empieza a retraerse con una aceleraci o´ n constante de 0.5m/s2 relativa al veh´ıculo. Hallar: (a) La aceleracio´ n de la porcio´ n B (b) La aceleracio´ n de esta cuando t = 2s


Resp. ω  = ω/2sen2 (α/2)

˜ arroja una pelota con 34. Desde el punto A un nino una velocidad inicial de 20 m/s formando un angulo ´ de 25 0 con la horizontal. Hallar la velocidad de la pelota en los puntos de la trayectoria en que el radio de curvatura es igual a los tres cuartos de su valor en A.


Resp. (a) 0.958m/s2 , (b) 1.917m/s2

37. El movimiento de una part´ıcula esta´ definido por las ecuaciones x =

(t

3

− 2) 12

+t2 e y =

t3 12

2

− (t −2 1)

donde x, y se expresan en metros y t en segundos. Hallar: (a) El mó dulo de la menor velocidad que alcanza la part´ıcula (b) el instante, la posicio´ n y direccio´ n y sentido de la velocidad correspondiente F IG . 25.— Para el problema 34

Resp. (a) 1.41m/s, (b) t = 0, x =

−0.67m, y = −0.50m, 45

0

8


38. Sobre el punto A de un escal o´ n cae una bola que rebota con una velocidad inicial v 0 formando un ´ angulo de 150 con la vetical. Hallar v0 sabiendo que inmediatamente antes de que la bola rebote en el punto B su velocidad vB forma un angulo ´ 0 de 12 con la vertical.

α y β respecto al horizonte con una misma velocidad inicial v0 . ¿A que altura con respecto de la horizontal se intersecan?.


41. Un cuerpo se lanza hacia debajo de un plano inclinado, y choca con este a una distancia de S = 76m. Si el cuerpo sube a una altura mxima h = 19m, por encima del punto de salida, calcular ´ la velocidad inicial y el angulo de lanzamiento.


Resp. 8.84 pies/s

39. Un cazador intenta dispararle a un mono que se encuentra a una altura h y una distancia horizontal d de e´ l. Justo cuando el cazador dispara su rifle, el mono se suelta de la rama y cae bajo los efectos de la gravedad. Usando las ecuaciones de movimiento de la bala del rifle y del mono, demuestre que de todas formas la bala impactara´ al mono en alg ún punto de la ca´ıda. (Desprecie los efectos del roce con el aire tanto para la bala como para el mono)


Resp. v 0 = 24.2m/s, θ = 52.80

42. Un cazador de patos, dispara su arma desde una altura de 1.5 m, cuando un pato pasa justo encima del cazador a una altura de 15 m. La velocidad de salida de la bala es igual a 25m/s, si el pato vuela horizontalmente a una velocidad de 5m/s. Hallar el ángulo necesario para que la bala de en el blanco y la distancia que recorre el pato antes de ser alcanzado por la bala. Resp. θ = 78.50 , d = 3.15m


40. Del orificio de un manguera, obturado con el ´ dedo, brotan dos chorros de agua bajo los angulos

´ α menor 43. Una part´ıcula se proyecta en un angulo que 450 , y otra en un ángulo α mayor que 450 , ambas tocan tierra al nivel en que fueron lanzadas. Demuestre que la diferencia en sus tiempor que de vuelo es:

t2

−

√

2 2v0 sen α t1 = g


9

44. Un tren puede minimizar el tiempo t estre dos estaciones acelerando a razón de a1 = 0.1 m/s2 por un tiempo t1 y después experimenta una 0.5 m/s2 cuando aceleración negativa a2 = el maquinista usa los frenos durante un tiempo t2 . Puesto que las estaciones están separadas solo 1 km, el tren nunca alcanza su velocidad ´ maxima. Encuentre el tiempo m´ınimo de viaje t y el tiempo t 1 .

−

 s t = 100 s

Resp. t = 120

5 3

,

1

5 3

´ 45. Durante el ultimo segundo de caida libre sin velocidad inicial, un cuerpo recorre las 3/4 prates de todo su camino. ¿Cuanto ´ tiempo tarda en caer el cuerpo?. 46. Un proyectil se dispara, desde una superficie in´ θ clinada a una velocidad inicial v 0 a un angulo respecto a la horizontal como se muestra en la figura 32. (a) Si el angulo ´ del declive es α respecto a la horizontal, demuestre que el alcance a lo largo de la superficie inclinada es:

R =


48. Un pato volaba por una recta horizontal a la velocidad constante u. Un “cazador ” inexperto le lanzó una piedra, con la peculiaridad de que el lanzamiento fue hecho sin correcci o´ n del avance, es decir, en el momento del lanzamiento la di´ α rección de la velocidad de la piedra (el angulo respecto al horizonte) estaba orientada precisamente hacia el pato. El mo´ dulo de la velocidad inicial de la piedra es igual a v . ¿A que´ altura volaba el pato, si la piedra a pesar de todo di o´ con e´ l?.

2v02 sen(θ α)cos θ g cos2 α

−

´ (b) Para qué valor de θ, es R maximo?. Demuestre que el valor maximo ´ de R es:

R =

v02 g(1 + sen α) F IG . 34.— Para el problema 48

49. El movimiento de una part´ıcula está definido por x = t 3 9t2 + 24t 8, donde x y t se expresan en cent´ımetros y segundos respectivamente. Hallar:

−

−

(a) Cuando es cero la velocidad (b) La posición y la distancia total recorrida cuando es cero la aceleracio´ n. 50. Un proyectil se lanza al aire con una rapidez de ´ 8 m/s y a un angulo de θ = 300 con respecto del plano horizontal. Determine la distancia (s) que debe recorrer para alcanzar el punto mas elevado B.


47. Un automovil viaja por un camino recto con la ´ v t (figura 33). rapidé z que indica la grafica Determine la distancia total que recorre hasta que se detiene cuando t=48 s. Asimismo, trace ´ x t y a t. las graficas

−

−

−

51. Un punto se desplaza por una l´ınea helicoidal de acuerdo con las ecuaciones x = 2cos4t, y = 2sen4t, z = 2t; por unidad de longitud se toma el metro. Determinar el radio de curvatura ρ de la trayectoria. Resp. ρ =

17 8

m

10



52. Unas gotas de agua salen del orificio de un tubo vertical con el intervalo de 0.1 s y caen con una aceleración de 981 cm/s2 . Determinar la distancia entre la primera y la segunda gota pasado 1 s después de salir la primera gota.


Resp. 93.2 cm

53. De acuerdo con las ecuaciones dadas del movimiento de un punto hallar las ecuaciones de su trayectoria en forma de coordenadas e indicar en el dibujo la dirección del movimiento. (a) x = 3t

− 5, y = 4 − 2t

(b) x = 2t, y = 8t2

(c) x = 5sen10t, y = 3 cos 10t (d) x = 2

− 3cos5t, y = 4cos 5t − 1 1 1 (e) x = (et + e t ), y = (et − e t ) 2 2 −

−

Resp. (a)La semirecta 2x + 3y 2 = 0 con origen en el punto ( 5, 4), (b) La rama derecha de la parábola y = 2x2 con el

−

−

2 x2 + y9 = 1 con el punto de 25 (x−2)2 (y+1)2 + = 1 con el punto 9 16


punto inicial (0, 0), (c) La elipse

(a) La cosntante k

origen (0, 3), (d) La elipse de origen ( 1, 1), (e) La parte superior de la rama derecha de la hipérbola x2 y 2 = 1 con el punto de origen (1, 0)

(b) La posició n de la part´ıcula cuando v = 6 m/s

54. Una motocicleta que viaja a lo largo de una pista el´ıptica con una rapidez constante v . Determine la m´ınima aceleracio´ n si a > b .

Resp. (a) 0.1457 s/m, (b) 145.2 m, (c) 6.86 m/s

− −

−

2

Resp. a m´ın = a n =

v b a2

55. Los aviones A y B vuelan a la misma altutud. Si sus velocidad y el angulo entre sus trayectoria son la indicadas en la figura 37, determine la velocidad del avión A con respecto del B . Resp. 525 mi/h

56. La aceleración de una part´ıcula esta´ definida por a = 0.4(1 kv), siendo k una constante. Sabiendo que cuando t = 0 la part´ıcula parte del reposo desde x = 4m y que cuando t = 15s, v = 4 m/s, hallar:

−

(c) Su velocidad m axima. ´

57. El vector de posición de un cuerpo viene dado por

r = (t2 + t + 1)î + (1

− 3t) jˆ

(a) Obtener la ecuaci o´ on de la trayectoria. (b) La velocidad media entre los instantes t 1 = 2 s y t 2 = 4 s (c) Velocidad y aceleraci o´ n instantaneas ´ en t = 3 s . 1 2 (y 5y + 13), (b) ¯vx = 7 m/s; ¯ vy = 3 m/s, 9 2 (c) v x = 7 m/s; v y = 3 m/s; a x = 2 m/s ; a y = 0 m/s2

Resp. (a) x =

−

−

−

58. Considere el problema de tiro parab o´ lico con velocidad inicial v0 y angulo ´ de disparo con respecto ´ ˜ la a la horizontal θ0 . Para angulos muy pequenos

´ CINEM ATICA DEL PUNTO distancia entre el punto de disparo y el proyectil siempre aumenta, mientras que, por ejemplo, para el tiro vertical esta distancia primero aumenta y luego disminuye, pues el proyectil regresa al punto de disparo. Para angulos ´ intermedios la distancia entre el punto de disparo y el proyectil primero aumenta, luego disminuye y finalmente se aleja otra vez. Demuestre que el angulo ´ cr´ıtico de disparo θc para el cual este comportamiento de acercarse y alejarse comienza cumple que cos θc = 1/3. 59. Una moneda es soltada a partir del reposo dentro del pozo de los deseos (Ver figura 38). Determine la profundidad del pozo si se conoce el tiempo T entre el instante en que se suelta la moneda y el instante en que se escucha que la moneda golpea el fondo del pozo. Considere constante a la velocidad del sonido v s .

11

los comandos y se da cuenta que el avió n ha avanzado 560 km hacia el este y 80 km hacia el Norte debido a un viento constante. Se pide hallar: ´ fue la velocidad del viento durante ese (a) ¿Cual tiempo?. (b) ¿ A que angulo ´ respecto a la direcci’on Este debió el piloto colocar la brujula ´ del timón para mantener el rumbo hacia el Este?. 64. De una ducha caen gotas al piso que se encuentra 2.30 m debajo. Las gotas caen a intervalos de tiempo regulares, de tal menera que cuando la primera gota llega al piso la quinta comienza a caer. (a) ¿A qué intervalo de tiempo caen las gotas?. ´ es la posicio´ n de cada gota en el mo(b) ¿Cual mento en que la primera llega al piso?. 65. Determine la velocidad de B si A está movié ndose hacia abajo con una velocidad de vA = 4 m/s en el instante mostrado (ver figura 39).


60. Desde la terraza de un edificio alto de 50 m se deja caer una piedra y 0.5 s después otra piedra es dejada caer desde una ventana d metros mas ´ debajo de la terraza. Se observa que las dos piedras llegan al suelo al mismo tiempo. Hallar el valor de d , si la segunda piedra fuera lanzada desde la misma terraza 0.5 s despu e´ s que la primera, qué velocidad inicial deber´ıa tener para llegar al suelo al mismo tiempo que la primera. 61. Un hombre que corre a 14 km/h en direccio´ n Oeste observa el viento como si llegara de Noroeste. Cuando reduce su velocidad a 6 km/h observa el viento como si llegara del Norte. Hallar la intensidad y direcci’on del viento. 62. La Paz se halla a 16.50 S y el radio de la Tierra al ecuador es de 6400 km, con estos datos hallar: (a) La velocidad angular del monoblock central de la UMSA alrededor del eje de la Tierra. (b) Su velocidad lineal. (c) Su aceleraci o´ n centr´ıpeta. 63. Un piloto deja el avión avanzar automaticamente ´ durante una hora y media hacia el Este con velocidad 400 km/h. Al cabo de este tiempo retoma


Resp. vB = 1 m/s

↑

66. La aceleració n de una part´ıcula que viaja a lo largo de una l´ınea recta es a = k/v , donde k es una constante. Si s = 0, v = v0 cuando t = 0, determine la velocidad de la part´ıcula como una función del tiempo. Resp. v =

 2kt + v

2 0

12


67. Dos part´ıculas A y B estan ´ en reposo en el origen s = 0 y siguen una l´ınea recta tal que a A = (6t 3) ft/s2 y aB = (12t2 8) ft/s2 , donde t esta´ en segundos. Determine la distancia entre ellos cuando t = 4 s y la distancia total que cada uno ha viajado en t = 4 s .

−

−

Resp. d A = 41.0 f t, d B = 200.0 f t, ∆sAB = 152.0 f t

68. Un bote sale de un punto P sobre la orilla de un rio y viaja con velocidad constante V dirigido hacia un punto Q sobre la orilla del rio, situado en dirección directamente opuesta a P. La distancia entre los dos punto es D . Si r es la distancia in´ ´ stantanea desde Q al bote, θ es el angulo entre r y PQ, y las aguas del rio se mueven con rapidez v , demostrar que la trayectoria del bote se da por:

r =


D sec θ (sec θ + tan θ)v/V

constante tanto al comienzo como al final del viaje, demostrar que el tiempo durante el cual se mantuvo la velocidad maxima ´ se da por

2D V

− T

72. Si una part´ıcula tienen velocidad v y aceleracio´ n a a lo largo de una curva en el espacio, demostrar que el radio de curvatura de su trayectoria se da numéricamente por

R = F IG . 40.— Para el problema 68

v3

|v × a|

73. Hallar: 69. Demostrar que la magnitud de la aceleraci o´ n de una part´ıcula en movimiento curvil´ıneo en el espacio es

   dv dt

2

v4 + 2 R

(a) La aceleracio´ n tangencial (b) La aceleracio´ n normal de una part´ıcula que se mueve sobre la elipse r = a cos ωt î + b sen ωt ˆ j . ω2 (a2 b2 )sen ωt cos ωt , a2 sen2 ωt + b2 cos2 ωt ω2 ab (b) a2 sen2 ωt + b2 cos2 ωt

Resp. (a)

donde v es la rapidez tangencial y R es el radio de curvatura. 70. Si el punto A de la soga se mueve hacia abajo con una velocidad de 5 m/s, determine la velocidad del cilindro B (ver figura 43). Resp. vB = 20 m/s

↑

71. Un conductor de un automovil parte de un punto A en una autopista y se detiene en un punto B después de viajar una diatancia D en un tiempo T . Durante el viaje alcanza una velocidad máxima V . Suponiendo que el valor de la aceleraci o´ n es

√ − √

74. Una part´ıcula se mueve de manera que su vector de posición en cualquier tiempo t sea r = t î +

1 2 ˆ t j + t ˆk . Hallar: 2 (a) La velocidad (b) La rapidez

(c) La aceleraci o´ n (d) La magnitud de la aceleracio´ n

´ CINEM ATICA DEL PUNTO (e) La magnitud de la aceleracio´ n tangencial (f) La magnitud de la aceleracio´ n normal

√

Resp. (a) î + t ˆ j + ˆ k, (b) t2 + 2, (c) ˆ j , (d) 1, (e)

√ t t+ 2 , (f) 2



t2

2 +2

75. Hallar:

 (a) La tangente unitaria T

↓

78. Un helicóptero aterriza con viento cruzado en un barco en movimiento desde el cual se observa que desciende verticalmente a 10 nudos. Si el barco tiene una velocidad de avance de 20 nudos y el viento cruzado est a´ soplando perpendicularmente al curso del barco a 20 nudos, encontrar la velocidad del helicóptero a trav e´ s del aire.

− 10 ˆk, velocidad=30 nudos

79. Un semicilindro se balancea sinusoidalmente sin deslizamiento, como ae muestra en la figura 43, de tal forma que θ = sen2t:

(d) La curvatura κ de la cruva en el espacio x = t , y = t 2 /2, z = t

√ t 1+ 2 (î + t ˆ j + ˆk), (b) √ 2t1 + 4 (−t î + 2 ˆ j − t ˆk), 2

 (t + 2) 2

(c)

↑

−

(c) El radio de curvatura R

2

Resp. v A = 1 ft/s , AA = 0.5 ft/s2

Resp. v = 20 î 20 ˆ j

 (b) La normal principal N

Resp. (a)

13

2

3

, (d)



2 2 (t + 2)3

(a) Cuando pasa por la posición neutra θ = 00 , ¿cuál es la aceleración del punto de contacto con la superficie fija? ´ (b) Cuando el semicilindro esta´ al angulo ´ ´ ¿cual ´ es la aceleración maximo de 1 radian del punto de contacto con la superficie fija?

76. El conductor de un automóvil que viaja hacia el noreste a 26 mi/h, nota que el viento parece venir desde el noroeste. Cuando se dirige hacia el sureste a 30 mi/h el viento parece venir desde los 600 al sur del oeste. Hallar la velocidad del viento relativa a la Tierra. Resp. 52 mi/h en direcci o´ n 300 al sur del oeste

77. El cable en B (ver figura 42) se tira hacia abajo a 4 ft/s, y la velocidad esta´ disminuyendo a 2 ft/s2 . Determine la velocidad y aceleraci o´ n del bloque A en ese instante.


Resp. (a) 4 m/s2 verticalmente hacia arriba, (b) cero

80. De un cilindro de radio R se esta´ desenrollando una cuerda arollada a su alrededor. La cuerda pasa sobre una polea y est a´ unida a un cuerpo B (como se muestra en la figura 44). Relacionar la velocidad y la aceleraci o´ n observadas del centro geométrico del cilindro a su velocidad y aceleración angulares y a la velocidad y aceleraci o´ n del cuerpo B. Resp. v = Rω

− v

B , a = Rα

− a

B

81. Desde el punto A se dispara un proyectil con una velocidad inicial v 0 . F IG . 42.— Para la pregunta 77

(a) Demostrar que el radio de curvatura maximo ´ se halla en el punto más alto de la trayectoria.

14

Lic. Evaristo Mamani Carlo Resp. (a) xmax = 2 m , (b) v =

−4.47 m/s

84. Una part´ıcula se mueve sobre una linea recta con una aceleración constante de 4 pies/s2 durante los primeros 6 s, con aceleraci o´ n cero en los proximos 4 s y una aceleracio´ n constante de 4 pies/s2 en los próximos 4 s. Sabiendo que la part´ıcula parte del origen y que su velocidad es de 8 pies/s durante el intervalo de aceleraci o´ n nula.

−

−

(a) Cosntruir las graficas de v 0 t 14 s.

− t y x − t para

≤ ≤

(b) Determine la posició n, la velocidad de la part´ı cula y la distancia total recorrida cuando ha transcurrido 14 s.


(b) Siendo θ el angulo ´ formado por la trayectoria y la horizontal en un punto dado C, demostrar que el radio de curvatura en C es:

ρ =

ρmin cos3 θ



82. Desde el punto A se dispara un proyectil con una ´ α con la velocidad inicial v 0 que forma un angulo horizontal. Expresar el radio de curvatura de la trayectoria en C en funci o´ n de x , v 0 , α y g . Resp. ρ =

v02 1 g cos α



2 2

− 2gxvtan α + v g cosx 2 0

4 0

2

α

F IG . 47.— Respuesta para el problema 84a



83. La aceleración de una part´ıcula esta´ definida por la relación:

a = 12x

− 28

donde a y x son expresados en m/s2 y m respectivamente. Sabiendo que v = 8 m/s cuando x = 0, determine: ´ (a) El valor maximo de x. (b) La velocidad cuando la part´ıcula recorre una distancia total de 3 m.

F IG . 48.— Respuesta para el problema 84a

Resp. (b) v 14 = 8 ft/s, x14 =

−8 f t, d = 88 f t

85. El movimiento de una part´ıcula está definido por la relación: x(t) = 2t3 18t2 + 48t 16 , donde

−

−


x y t se expresan en mil´ımetros y en segundos respectivamente. Determine:

15

90. Hallar: (a) La aceleracio´ n tangencial

(a) Cuando es cero la velocidad. (b) La velocidad, la posici o´ n y la distancia total recorrida cuando la aceleraci o´ n es nula.

(b) La aceleracio´ n normal de una part´ıcula que se mueve sobre la elipse r = a cos ωtî + b sen ωt jˆ.

Resp. (a) t = 2 s y t = 4 s , (b) x3 = 20 mm, d = 44 mm

86. El movimiento de una part´ıcula está definido por la relación: x(t) = 2t3 12t2 72t 80 , donde x y t se expresan en m y en s respectivamente. Determine:

−

Resp. (a)

− −

(a) Cuando es cero la velocidad. (b) La velocidad, la aceleraci o´ n y la distancia total recorrida cuando x = 0.

ω2 (a2 b2 )sen ωt cos ωt , (b) a2 sen2 ωt + b2 cos2 ωt ω2 ab a2 sen2 ωt + b2 cos2 ωt

√ − √

91. Una esfera que se lanza hacia arriba alcanza una altura H después de un tiempo τ 1 cuando se mueve hacia arriba, y despu e´ s de un tiempo τ 2 cuando se mueve hacia abajo. Comprobar que: (a) La magnitud de la velocidad inicial con que

2

Resp. (a) t = 6 s , (b) v = 288 m/s, a = 96 m/s , d = 944 m

87. La aceleración de una part´ıcula esta´ definida por a = A 6t2 siendo A una constante. Cuando t = 0 la part´ıcula se pone en movimiento en x = 8 m con v = 0. Sabiendo que cuando t = 1 s, v = 30 m/s, hallar:

−

(a) El instante en que la velocidad es cero. (b) La distancia total recorrida por la part´ıcula cuando t = 5 s . Resp. (a) t = 0.4 s , (b) d = 168.5 m

88. Un hombre se halla en un bote en la orilla de un r´ıo y desea llegar al punto directamente opuesto sobre la otra orilla. Considerando que la anchura del rio es D y que la rapidez del bote y de la corriente del rio son respectivamente V y v
√ V D− v 2

.

2

se lanzó la esfera es (b) La altura H =

1 gτ 1 τ 2 2

(c) La altura maxima ´ alcanzada es

1 g(τ 1 + τ 2 )2 8

92. Dos objetos se dejan caer desde la cima de una farallón de altura H . El segundo se suelta cuando el primero ha ca´ıdo una distancia D. Comprobar que en el instante en que el primer objeto ha llegado al suelo el segundo est a´ a una distancia por encima del primero igual a 2 DH

√ −

D

93. El alcance maximo ´ de un canon ˜ es Rmax . Comprobar que: (a) La altura alcanzada es (b) El tiempo total es



Rmax . 2g

1 Rmax y 4

94. Un proyectil que tiene un alcance horizontal R llega a una altura máxima H . Demostrar que debe haberse disparado: (a) Con rapidez inicial igual a

89. Hallar:

1 g(τ 1 + τ 2 ) 2

 

g(R2 + 16H 2 ) y (b) For8H

 (a) La tangente unitaria T

´ mando un angulo con la horizontal dado por

 (b) La normal principal N

arcsen

(c) El radio de curvatura R (d) La curvatura κ de la curva en el espacio x =

t, y =

Resp. (a)

t2 , z = t 2

î + t j + ˆ ˆ k , (b) 2 t +2

√

ˆ î + 2 jˆ − tk (t + 2) −t√ √ 2 , (c) 2t + 4 2

2

4H R2 + 16H 2

 √

3/2

, (d)

√ 2

(t2 + 2)3/2

95. Se dispara un proyectil desde un acantilado de altura H sobre el nivel del mar, formando un ´ α. Si cae al mar a una distancia D de angulo la base del acantilado, comprobar que su altura maxima ´ por encima del nivel del mar es:

D2 tan2 α H + 4(H + D tan α)

16

Lic. Evaristo Mamani Carlo 102. La rapidez de salida de una bala es v 0 , se situa ´ el can´ ˜ on a una altura h sobre un plano horizontal. Probar que el ángulo con el cual debe hacerse el disparo para lograr el mayor alcance sobre el plano se da por θ =


96. Una piedra se arroja a un pozo y el sonido producido al chocar con el agua es oido un tiempo τ posterior al instante en que se solt o´ . Suponiendo que la rapidez del sonido es c, probar que el nivel del agua del pozo est a´ a una profundidad



( c2 + 2gcτ 2g

− c)

2

˜ on se coloca sobre un cerro que tiene la 97. Un can´ ´ forma de un plano inclinado que forma un angulo α con la horizontal. Un proyectil se dispara hacia arriba formando un angulo ´ β con el plano. Probar que si se desea que el proyectil golpee el cerro horizontalmente, debe cumplirse que β =

2sen2α arctan 3 cos2α



−

1 gh arccos 2 2 v0 + gh





103. Una part´ı cula se mueve con rapidez v0 constante, sobre un riel circular de radio R colocado en posición horizontal sobre una superficie tambin horizontal. La part´ıcula se encuentra atada mediante una cuerda inextensible a un bloque que cuelga debajo de un agujero localizado a una distancia R/2 del centro del riel. Suponga que v 0 es suficientemente pequeño para que la cuerda no se destense: (a) Determine la rapidez del bloque en funci o´ n ´ θ . del angulo (b) Obtenga la rapidez m axima ´ del bloque. (c) Determine la aceleración a del bloque cuando la part´ıcula que se mueve sobre el riel pasa por la posicin θ =0.



98. Suponer que dos poryectiles se lanzan formando angulos ´ α y β con la horizontal desde el mismo punto en el mismo instante, en el mismo plano verticla y con la misma rapidez inicial. Probar que durante el movimiento, la l´ınea que une los proyectiles forma un angulo ´ constante con la vertical dado por

1 (α + β ) 2

99. Cuando un proyectil se lanza formando un ´ θ1 con la horizontal, cae a una distanangulo cia D 1 antes de su blanco, mientras que para un θ2 cae a una distancia D2 mas angulo ´ ´ allá del ´ blanco. Determinar el angulo para que al lanzar el proyectil de´ en el blanco. 100. Un objerto fue arrojado verticlamente hacia abajo. Durante el décimo segundo de su viaje descendió dos veces lo que descendió durante el quinto segundo. ¿Con qu e´ rapidez fue arrojado? Resp. 16 pies/seg

´ 101. El maximo alcance de un proyectil cuando se dispara hacia abajo en un plano inclinado es dos veces el maximo ´ alcance cuando es disparado hacia arriba en el mismo plano inclinado. Determinar ´ el angulo que forma el plano con la horizontal. Resp. arcsen

1 3


Resp. (a) v(θ) =

√ 5 +sen4θcosθ v , (b) v 0

± v2 kˆ, (c) v ˆ a(θ = 0) = − k 3R max =

0

2 0

104. Una part´ı cula se mueve por el interior de un tubo de largo 2R que gira con una velocidad angular constante ω 0 . La particula inicia su movimiento desde el punto medio del tubo, desplazndose por su interior con una rapidez constante v 0 respecto al mismo. Determine: (a) El radio de curvatura de la trayectoria descrita, en función del tiempo. (b) La distancia recorrida por la part´ıcula desde que inicia su movimiento hasta que llega al extremo del tubo.


17

(b) Determine el valor del radio de curvatura de la trayectoria en el ecuador ( θ= 900 ). (c) Encuentre una expresi o´ n para la longitud total de la espiral y para el tiempo que la part´ıcula tarda en recorrerla. (Indicación: De ser dificil de calcular, puede dejar expresada la integral).


Resp. (a) ρ C =

D = LT =

v0 ω0

1 + (



3/2

, (b)

0

0

0

+ t)2 ω02

2 + ( R + t)2 ω02 v

t2 = vR



R v0

v0

 1 + (

R v0

+ t)2 ω02 dt

105. Se observa una part´ıcula en movimiento con respecto a un sistema de referencia inercial. La trayectoria esta´ dada por las siguientes funciones:

ρ = Ae kθ ,


z = hρ

donde r, θ y z son las respectivas coordenadas cil´ındricas (con A, k, h positivos). Suponiendo que su rapidez es constante (v0 ) y conocida:

ˆ ˆ ; a = Resp. (a) v = Rω0 (θ + N sen θφ) 2 2 2 ˆ 2Rω0 N cos θφˆ, sen θ)ˆ r Rω0 N sen θ cos θθ + π (b) ρ C (θ = π/2) = R , (c) L T = R 0 1 + N 2 sen2 θdθ ;

Rω02 (1 + N 2

−

2

−

 √

(a) Calcule la velocidad v de la part´ıcula en función de θ , A , k , h y v 0 . (b) Encuentre su aceleraci o´ n a en función de los mismos parametros. ´ (c) Pruebe que a a.

⊥

v0 ˆ , (b) (kρˆ + ˆ θ + hkk) + 1 + h2 k2 v02 a = (k θˆ ˆ ρ), (d) A exp kθ(k 2 + 1 + h2 k2 ) 1 kv0 θ(t) = ln t + kc 2 k A k + 1 + h2 k2

Resp. (a)  r˙ =

√ k

2

−



√



106. Considere una curva espiral descrita en coordenadas esf e´ ricas por las ecuaciones:

r = R ,

φ = N θ

donde R y N son constantes conocidas (N entero par). Una part´ıcula se mueve sobre la espiral partiendo desde el extremo superior ( θ =0) y manteniendo una velocidad angular cenital con˙ stante y conocida, θ = ω 0 . Se pide: (a) Utilizando coordenadas esf e´ ricas, escriba los vectores velocidad y aceleració n para una posición arbitraria de la part´ıcula sobre su trayectoria.

π ω0

107. La trayectoria de un punto P, en coordenadas cil´ındricas, se define con:

ρ(t) = ρ 0 ,

(d) Encuentre una expresi o´ n para θ(t).

tf =

θ(t) =?,

z(t) = h

− Bθ(t)

Se sabe que θ(t) es una funcio´ n monótona, θ(0) = ˙ 0 y que θ(0) = ω 0 y donde h, B y ω0 son cantidades positivas conocidas. (a) Obtenga las expresiones para los vectores velocidad y aceleracio´ n en este ejemplo. (b) Obtenga una expresi o´ n para el vector tangente ˆt y para la rapidez de P. Comente sobre los signos de estas cantidades. (c) Obtenga expresiones para las aceleraciones centr´ıpeta y tangencial:

a = acent (t) + atg (t) (d) ¿Cual ´ esla función θ(t) si se sabe que la aceleración apunta todo el tiempo perpendicular al eje Z ? ˆ; a = Resp. (a) v = ρ 0 ˙θθˆ B ˙θk

ˆ, (b) − −ρ ˙θ ρˆ + ρ  θ¨θˆ − B θ¨k ρ B ˆ; v(t) = ·θ ρ + B , (c)  t =  θˆ −  k ρ + B ρ + B  a = ¨ θ ρ + B tˆ − ρ · θ ρˆ, (d) θ(t) = ω t 0

2

0

0

2 0

2

2 0 2 0

2 0

2

2

0

2

2

0

18


108. Una barra r´ıgida de largo L se mueve apoyada en dos paredes r´ıgidas que forman un angulo ´ recto ´ θ = θ(t) es entre ellas. Suponga que el angulo una función arbitraria del tiempo.

(c) Determine el valor del radio de curvatura de la trayectoria en el punto P.

(a) Determine el vector posici o´ n r(t), velocidad v(t) y aceleracio´ n a(t) del punto medio de la barra. (b) El radio de curvatura de una trayectoria se define como ρ =

v3

|v × a| . Calcule el radio de

curvatura de esta trayectoria. Interprete el resultado y dibuje la trayectoria.

(c) Suponga ahora que el apoyo inferior de la barra se mueve con rapidez constante v0 a partir del momento en que la barra esta´ en la posición vertical. Encuentre la funci o´ n θ(t) que da lugar a ese movimiento.


2R Resp. (a) r = , (b) L T = π ∗

t2 = 2R cπ 0





2π2 c2 dt, (c) R2 27R ρc = 2 86π

c 1 + t2

√

110. El punto de uni o´ n P entre un pist o´ n y una biela de largo D se mueve a lo largo del eje x debido ˜ a que el cigenal(disco), de radio R y centro en un punto fijo O, rota a velocidad angular constante ω . En el instante t = 0 la biela esta´ horizontal (φ = 0, x = R + D). (a) Encuentre una expresi o´ n para la distancia x(t) entre P y O como funci o´ n del tiempo t . (b) Encuentre la velocidad v(t) de P. F IG . 53.— Para el problema 108

(c) En la expresi o´ n para v(t) considere el caso R D y luego encuentre una expresión aproximada para la aceleracio´ n de P. ¿Co´ mo se compara la magnitud de la aceleraci o´ n ´ maxima del pistón con la aceleració n del punto A?



Resp. (b) ρ C =

L v0 , (c) θ(t) = arcsen t 2 L

 

109. Considere una curva espiral co´ nica descrita en coordenadas esf e´ ricas por las ecuaciones:

θ = 450 , r φ = 2π R donde R es una constante conocida. Una par´ıcula se mueve sobre la espiral partiendo desde el origen manteniendo una velocidad radial constante ˙ y conocida, r = c . Se pide: (a) Determine la distancia radial del punto P en el cual la rapidez de la partcula es 3c. (b) Encuentre una expresio´ n para la longitud total de la espiral y para el tiempo que la part´ıcula tarda en recorrerla. Nota: Esta´ bien si deja su solució n en términos de una integral muy complicada.


√ D − R sen ωt, (b)  , (c) R cos ωt v(t) = −Rω sen ωt 1 + √ D − R sen ωt v(t) ≈ −Rω sen ωt; a(t) ≈ −Rω cos ωt 2

Resp. (a) x(t) = R cos ωt +

2

2

2

2

2

2

´ CINEM ATICA DEL PUNTO 111. Suponga que es posible excavar un t unel ´ entre dos puntos A y B de la Tierra. La aceleración de gravedad (que apunta hacia el centro de la ´ Tierra) al interior del t unel tiene una magnitud que es proporcional a la distancia r desde el centro de la Tierra:

19

emitido por el vapor con la direcci o´ n norte—sur (ver figura 57).

| a |= Rg r donde g es la aceleración de gravedad en la superficie de la Tierra y R es el radio de la Tierra. Asumiendo que un veh´ıculo parte del reposo en el punto A y se mueve sin roce en el interior del tunel, ´ bajo el efecto de la gravedad, calcule: (a) El tiempo que requiere para llegar al punto B, que esta´ a una distancia R del punto A, en l´ınea recta. ´ (b) La rapidez maxima del movimiento resultante. Nota: Considere que la aceleración real del veh´ıculo es la que resulta de tomar la aceleraci o´ n que tendr´ıa el cuerpo si no estuviera restringido a moverse en el tunel ´ y proyectar´ı a en la dirección del tunel. ´


Resp. θ0 = 18.640

114. Considere un disco de radio R = 50 cm que rueda x) con una velocidad angusobre una recta (el eje ˆ lar ω = 2 s 1 . Considere un punto P ubicado en el per´ımetro del disco, y designe por r al vector que va desde el origen hacia el punto P. Encuentre una expresio´ n para r = r(t); suponga que en el instante t = 0 el punto P esta´ en el origen. Haga −


Resp. (a) T = π

 R g

, (b) x˙ max =

√ Rg 2

112. Suponga que la posici o´ n r de una part´ıcula en función del tiempo t viene dada por:






´ un grafico de r (t) para el intervalo t [0 s, 10 s]. ¿Cuanto ´ tarda la rueda en dar una vuelta completa?

∈

con t0 = 1 min y r0 = 3 cm. ¿Que trayectoria recorre la part´ıcula?, ¿Cuánto tiempo tarda la part´ıcula en volver al punto de partida?.

115. Un can´ ˜ on se encuentra a una distancia D de un edificio. Encuentre el angulo ´ de elevación θ 0 y la velocidad v 0 de la bala de manera que el proyectil entre horizontalmente por la ventana que se encuentra a una altura h (ver figura 59).

113. Un barco a vapor se dirige hacia el sur con una velocidad vb = 25 km/h en un area ´ donde sopla un viento desde el suroeste con velocidad v 0 = 18 ´ θ 0 que forma el humo km/h. Encuentre el angulo

116. Considere un r´ıo de ancho L en el cual el agua fluye con velocidad v0 . Un nadador recorre el B A, mientras que un segundo trayecto A D C (ver figura 60). Los nada el trayecto C

r = r(t) = r 0 cos(t/t0 )ˆx + sen(t/t0 )ˆy

→ → → →

20

Lic. Evaristo Mamani Carlo 118. Consideremos una turbina hidraulica. ´ Supongamos que el agua ingresa a la turbina con una v = 15 m/s, formando un velocidadv , con v =  ´ angulo con la tangente al rotor en el punto de entrada α = 300 . (ver figura 62). Suponga adem as ´ que el radio externo del rotor es R = 2 m y que, en su estado estacionario, el rotor gira a 30 RPM (o sea, con frecuencia ν = 0.5 s 1 ).

| |

−


´ anclados fijamente al fondo puntos C y D estan del r´ıo y la separacio´ n entre C y D es la misma que entre A y B. Si ambos nadan con la misma velocidad v respecto al agua, ¿qui e´ n ganara´ la carrera?

La forma de las paletas de un rotor de una ´ turbina hidraulica es tal que la velocidad relativa entre el agua que ingresa a la turbina y la paleta en el punto de entrada, sea tangente a la paleta (de esta manera el agua ingresa a la turbina sin choques). Determine el angulo ´ β entre la paleta del rotor y la tangente al rotor en el punto de entrada de agua. Encuentre tambi e´ n la velocidad relativa vr del agua (respecto a la paleta) en ese punto.


´ 117. Se lanza un proyectil con cierto angulo de elevación θ0 . El alcance del proyectil es R (ver figura 61). Si se desprecia el roce con el aire, demuestre que la trayectoria viene dada por la ecuaci o´ n:

y(x) =

−

tan θ0 2 x + x tan θ0 R


Resp. tan β =

v sen α ; vr = 10.06 m/s v cos α 2πRν

−

119. Una rueda gira en torno a un eje horizontal a 30 rpm (1 rpm = una revoluci o´ n por minuto=1 vuelta por minuto), de manera que su parte inferior queda a nivel del suelo, pero sin rozarlo. (O sea, la rueda gira sin rodar). Sobre el borde de la rueda se han adosado dos piedrecitas, en posiciones diametralmente opuestas. F IG . 61.— Para el problema 117

Note que esta ecuació n corresponde a una ´ ´ parabola. Demuestre tambie´ n que el angulo de la tangente en el punto x viene impl´ıcitamente dado por:

2x tan θ0 R

− 

tan θ = 1

´ (a) Suponga que cuando el di ametro que une a las piedras pasa por la posición horizontal, e´ stas se desprenden del borde, en forma si´ multanea (figura 62a), y una de ellas llega al suelo antes que la otra. Se observa que durante el intervalo de tiempo entre la llegada al suelo de una y otra piedra, la rueda da una vuelta completa. Determine el radio de la rueda.

´ CINEM ATICA DEL PUNTO (b) ¿Qué angulo ´ α debe formar la l´ınea que une a ambas piedras con la vertical para que, si las piedras se desprenden en esa posicio´ n, lleguen al suelo al mismo tiempo?

21

(b) Calcule la razo´ n entre las componentes horizontales de la velocidad de los proyectiles. (c) ¿Cual ´ es la rapidez (magnitud de la velocidad) de cada uno de ellos al llegar al suelo?


120. Un globo sonda es soltado desde la tierra y se aleja con velocidad constante en trayectoria recta la cual forma un angulo ´ de 300 con la vertical. La velocidad del viento con respecto al suelo es de 10 km/h, estable, hacia el norte. (a) Calcule la velocidad del globo respecto al aire. (b) Calcule el tiempo que tarda el globo en alcanzar una altura de 1 km con respecto al suelo.




tA 1 vAx L 2 g Resp. (a) y = , (b) = 2 , (c) vA (t ) = 2gh + tB 2 vBx 2h L 2 g 2h con t = vB (t ) = 2gh + 8h g

|

 |

∗|

∗|

∗



˜ esta´ compuesto por: 122. Un juego de ninos ˜ avión A, que puede desplazarse (a) Un pequeno sobre una pista rectil´ınea horizontal x 0x, emitiendo radiaciones infrarrojas. 

(b) Un pequeno ˜ misil M, detector de infrarrojos, que se dirige constantemente hacia el avi o´ n, a una velocidad que se puede regular a dos valores v o 2v . Al principio situamos el misil M sobre la perpendicular y 0y a la pista x 0x, a la distancia d de 0. En el momento en que A pasa 

por 0, con la velocidad


Resp. (a)



era a M.

√ 20 3 2

km/h, (b) t

i. Hallar la ecuación de la trayectoria de M: Si su velocidad está regulada al valor v Si su velocidad está regulada al valor 2v ii. ¿A que distancia de 0 y en qué instante, el misil colisionara´ con el avi o´ n?

∗  3.46 min

• •

121. Se lanzan dos proyectiles A y B de modo que tienen igual alcance horizontal L. A se lanza horizontalmente desde una altura h , que es igual a ´ la altura maxima que alcanza B durante su vuelo (ver figura 63). (a) Calcule la razón entre los tiempos de vuelo de A y B.

1 v , un dispositivo lib2

Resp. (ia) d(3x

x

− 154 d = 52 y

4

2

− 2d)

= y(y

2

− 3d) , (ib)

2 √ √ − y yd, (ii) En el caso en que su d 3

 y

4

22

Lic. Evaristo Mamani Carlo 125. Al destapar una botella de champana ˜ el corcho sale disparado verticalmente hacia arriba tardando t0 segundos en caer hasta la altura inicial. Determine la velocidad con que el corcho salió de la botella. (desprecie el roce con el aire). 126. Se deja caer una pelota de goma desde una altura h sobre el suelo. La rapidez con que la pelota rebota es una fracci o´ n f (f 1) de la rapidez con que la pelota impacta el suelo. Calcule la distancia total recorrida por la pelota hasta su detenci o´ n y el tiempo que tarda en hacerlo.

≤


2 4d y en el caso d, t 1 = 3 3v 4 en que su velocidad sea 2v, se tedra´ pues: x2 = d, 15 8d t2 = 15v

velocidad sea v , se tedrá pues: x1 =

123. Un Paracaidas P, que representaremos por un punto material P, cae verticalmente con velocidad l´ımite v . Un tren pasa por 0, en la vertical de caida de P, en el momento en que P est a´ a una altura h . Determinar la trayectoria de P, respecto a un via jero que esta´ sentado en el tren, en los tres casos siguientes: ´ un movimiento uniforme de (a) El tren efect ua velocidad  V , horizontal (b) El tren aborda una rampa que forma un angulo ´ constante α con la horizontal, a la  velocidad V = V

| |

(c) El tren efectua ´ un movimiento rectilineo horizontal con aceleraci o´ n constante a . Resp. (a) z  = h +

−

√

a = k x Donde k es una constante positiva. Tanto la rapidez v como el desplazamiento x son nulos para t = 0. Determine la aceleración, velocidad y posición del bloque en un instante t cualquiera. 129. Una part´ıcula que se desplaza en un medio viscoso a alta velocidad, experimenta una fuerza de freno que es proporcional al cuadrado de la rapidez. Como resultado de lo anterior, la aceleraci o´ n que experimenta la part´ıcula cuando se mueve en l´ınea recta en ese medio, a lo largo del eje x se expresa como

a =

2

−kv rˆ

Donde k es una constante. Suponiendo que para t = 0 se tiene que x = 0 y v = v 0 determine: (a) rapidez de la part´ı cula en funció n de la posición x. (b) rapidez de la part´ı cula en funció n del tiempo.

(vx + V h)cos α ; Para el viajero, el v sen α + V

130. Una caja se desplaza hacia arriba sobre un plano inclinado que tiene una pendiente α(ver figura 67), como resultado de tirar del extremo D de la cuerda con una rapidez constante v0 a lo largo de la linea CD, a partir del punto C. Determine la rapidez de la caja en cualquier instante t, en función de h , v 0 y t .

movimiento de P sigue siendo rectilineo, (c)

x =

128. La aceleracio´ n de un bloque que se mueve a lo largo del eje x se expresa como

v  x ; el viajero, ligado al sistema de V

referencia R’, observará, pues, una trayectoria rectil´ınea de pendiente v/V , (b) z  =

127. Desde un ascensor de carga cae accidentalmente un paquete cuando el ascensor se encuentra a una altura h del suelo, movie´ ndose hacia arriba. Si el ascensor mantiene una rapidez constante v0 determine a que altura se encuentra el ascensor cuando el paquete llega al suelo.

a 2 haz  z + 2 2v2 v

2

− ah ; Para el viajero del tren, el 2v 2

movimiento de P parecerá parablico.

124. Una part´ı cula se mueve de forma tal que la magnitud del vector posici o´ n r es constante. Demostrar que la velocidad de la part´ıcula es perpendicular a r. Interprete geométricamente este resultado.

´ 131. El grafico de la figura 68 muestra la rapidez de una part´ıcula que se desplaza en l´ınea recta, en función de su posición en el eje x. Demuestre que la part´ıcula nunca llega a la posición x = 30 m.


23


A, en el borde externo del disco, coincide con el origen. Determine expresiones para los vectores posición, velocidad y aceleraci o´ n del punto A.


´ es la aceleracio´ n de la part´ıcula en x = ¿Cual 18 m ? 132. Una part´ıcula se mueve a lo largo de un circulo de radio b. Si la velocidad de la part´ıcula var´ıa en el tiempo seg ´ un


v(t) = At2 ¿Para qué valor, o valores del tiempo el vector ´ aceleración forma un angulo de π/4 con el vector velocidad ? 133. Encontrar el radio de curvatura (en funci o´ n del tiempo) de la trayectoria que se asocia a la siguiente función itinerario:

r = a +  bt + ct2 b y c son ortogonales. , si los vectores constantes  134. El mecanismo que se muestra en la figura 69 adjunta transforma un movimiento de rotaci o´ n en uno lineal de traslación. El vastago ´ A, fijo en la barra OA se encuentra a una distancia d de O y desliza en la ranura a medida que el brazo OA gira a una tasa constante de ω0 radianes por segundo, en el sentido indicado por la flecha. Como consecuencia de este movimiento la barra se mueve verticalmente. Describa el movimiento de la barra vertical y en particular determine su aceleración cuando la barra forma un θ = 300 con la vertical. 135. Un disco circular de radio R rueda sin resbalar a lo largo del eje x con rapidez constante v 0 como se indica en la figura 70. Para t = 0 el punto

136. Una part´ıcula se mueve con rapidez constante v 0 a lo largo de una trayectoria parab o´ lica definida por la ecuaci o´ n y = cx2 , donde c es una constante positiva. Encuentre expresiones para la velocidad v y la aceleracio´ n a cuando la part´ıcula se encuentra en la posicio´ n (x0 , y0 = cx20 ). 137. Una part´ıcula se mueve con rapidez constante v0 . a lo largo de la espiral ρ = Aekθ Determine: (a) vector velocidad en funci o´ n de ρ y θ . (b) vector aceleraci o´ n en funcion de ρ y θ . (c) demuestre que en todo instante el vector aceleración es perpendicular al vector velocidad. (d) encuentre el angulo ´ θ y la velocidad angular en funcio´ n del tiempo. 138. Se lanza una pelota en dirección perpendicular a una superficie inclinada (que forma un angulo ´ α con la horizontal) de modo que cuando rebota lo hace con una rapidez v 0 . Determine la distancia R donde la pelota golpea nuevamente la superficie inclinada. 139. Usando el mismo cañon, se lanzan en forma suce´ siva dos proyectiles, el primero con un angulo de

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alza θ1 y luego el otro con un angulo θ2 (θ1 > θ2 ). Si la rapidez de los proyectiles a la salida ˜ del canon es v0 y los dos proyectiles llegan simultaneamente ´ al blanco localizado a una distancia R, determine los ángulos de lanzamiento y el intervalo de tiempo transcurrido entre los dos disparos. 140. Una part´ıcula describe una trayectoria circular de radio R. El arco que recorre en funci o´ n del tiempo (t) esta´ descrito por la ecuación

s = R ln(1 + αt)


143. Una part´ı cula se mueve por el interior de un tubo de largo 2R que gira con una velocidad angular constante ω 0 . La part´ıcula inicia su movimiento ´ desde el punto medio del tubo desplazandose por su interior con una rapidez constante v 0 respecto al mismo. Determine: (a) el radio de curvatura de la trayectoria descrita, en funci o´ n del tiempo (b) la distancia recorrida por la part´ıcula desde que inicia su movimiento hasta que llega al extremo del tubo.

donde α es una constante positiva. Calcule las componentes tangencial y normal de la aceleración en funcio´ n del tiempo. 141. Una particula se mueve con rapidez constante v0 sobre la superficie de un cono recto de semiangulo ´ α de modo que la trayectoria que de´ β constante con la genscribe forma un angulo eratriz del cono. La part´ıcula inicia su movimimento a una distancia l0 del ve´ ertice del cono. Determine la ecuació n de la trayectoria de la part´ıcula, utilizando un sistema de coordenadas esf e´ ricas con origen en el v e´ rtice de cono.


˜ esta´ elevando un volant´ın. En un cierto 144. Un nino instante e´ ste se encuentra a una altura h sobre la posición del carrete y sube verticalmente con una rapidez v 0 . Si en ese instante se han desenrrollado L metros de hilo, determine con que ve´ r 0 . locidad angular gira el carrete cuyo di ametro


145. Una part´ıcula recorre una trayectoria dada por la ecuación

ρ = 10(cos θ + 1) 142. Una escalera de largo L apoyada en una pared, como se indica en la figura, desliza sobre la superficie horizontal. En su ca´ıda y cuando forma ´ θ0 con la superficie horizontal, el exun angulo tremo inferior de la escalera se mueve con una rapidez v y una aceleracio´ n a. Determine, para ese instante, la velocidad y aceleración del extremo superior de la escalera.

πt ´ , en forma tal que θ = 50 . Haga un gr afico de la trayectoria y encuentre expresiones para la velocidad y la aceleración de la part´ıcula en función del tiempo.

146. Un ventilador de techo, con aspas de largo L, gira con una velocidad angular constante ω 0 . Las vibraciones en las aspas provocan que el extremo


25

la barra OA en funcio´ n de la velocidad v y la aceleración a de la pieza B.


de las mismas describan un movimiento vertical de modo que el desplazamiento depende del ´ angulo de giro en la forma siguiente

z = d0 sen 2θ Determine la maxima ´ aceleración que experimenta el extremo de cada aspa. 147. Las componentes del vector de posicio´ n de una part´ıcula en movimiento, expresadas en componentes cartesianas, son las siguientes:

x = A cos ωt y = A sen ωt z = B sen λt

150. Una particula se mueve a lo largo de una trayectoria espiral cil´ındrica (ver figura) con una rapidez v(t). La distancia desde cualquier punto de ´ la trayectoria al eje de la espiral es R y el angulo que forma el vector velocidad con el plano perpendicular al eje de la espiral (α) es constante. Determine en términos de R , v(t) y α : (a) las componentes de velocidad y aceleraci o´ n en coordenadas cil´ındricas. (b) las componentes tangencial y normal de la aceleraci’on. (c) el radio de curvatura de la trayectoria.

donde A, B , ω y λ son constantes. Encontrar la relación que debe haber entre ω y λ para que el movimiento ocurra en un plano. 148. Un faro proyecta un haz de luz que rota con una velocidad angular ω 0 en el sentido indicado en la figura. Determine la rapidez y aceleraci o´ n con que se desplaza la luz proyectada sobre una pared a una distancia h del faro, cuando el haz ´ de luz incide con un angulo de 45 0 respecto de la pared.


149. Considere un sistema formado por dos barras articuladas de largo L cada una. La barra OA gira alrededor de O y un extremo de la otra barra se mueve horizontalmente fijo al anillo B que desliza a lo largo de una barra. Determine la velocidad angular ω y la aceleracio´ n angular α de


151. Como una aplicación particular del problema anterior considere el caso de un autom o´ vil que desciende por una rampa (de la forma indicada en la figura del problema 150) en un edificio de estacionamiento, con una rapidez constante v 0 . Si la rampa desciende una altura h cada vuelta completa determine la magnitud de la aceleración que experimenta el autom’ovil a medida que se desplaza por la rampa. 152. Una part´ıcula se mueve a lo largo de la espiral ρ = aθ desde θ = 0, con rapidez constante v0 . Determine: (a) el vector velocidad en función de θ . (b) el vector unitario tˆ tangente a la trayectoria, en funcio´ n del angulo θ. Obtenga una expresión para el camino recorrido s en función del tiempo.

26

Lic. Evaristo Mamani Carlo (c) calcule la aceleracion a en función de θ . (d) determine el vector n ˆ normal a la trayectoria, en funcio´ n de θ y obtenga una expresi o´ n para el radio de curvatura ρ c en función de θ. (e) verifique que la aceleraci o´ n es siempre perpendicular a la velocidad.

153. Una part´ıcula de masa m y carga ele´ ctrica q que se mueve a lo largo del eje x, con rapidez v0 î entra en una regio´ n del espacio de ancho L. En esta región existe un campo magn e´ tico constante  0 = B 0 jˆ el cual ejerce una fuerza F  = del tipo B  0 sobre la part´ıcula. Suponga en el an alisis ´ qv B que la fuerza gravitacional es muy peque na ˜ comparada con la fuerza magne´ tica.

×

(a) demuestre que la magnitud de la velocidad es constante durante el movimiento. (b) determine la trayectoria que sigue la part´ı cula mientras que se mueve en la regio´ n donde actúa el campo magne´ tico y analice los casos posibles dependiendo de la magnitud de L.


155. El vector posicio´ n de una part´ıcula, en funcion del tiempo (función itinerario) esta dado por:

r(t) = R cos ω0 t î + R sen ω0 t ˆ j + ct ˆk donde R , ω 0 y c son constantes, y t es el tiempo. Determine: (a) rapidez de la part´ı cula en funció n del tiempo, y las componentes tangencial y normal de su aceleracio´ n. (b) radio de curvatura de la trayectoria, en función del tiempo. (c) ¿que´ relacion debe existir entre ω 0 y c , para que el movimiento ocurra sobre un plano? 156. En un rodamiento el radio del eje es R y el radio de cada esfera es a. El eje gira con una velocidad angular constante ω0 ,mientras que la pared exterior P se encuentra en reposo. Si las esferas ruedan sin resbalar en el eje y en la pared exterior, determine: (a) rapidez del centro de cada esfera. (b) velocidad angular de rotaci o´ n de cada esfera con respecto a su centro.


154. Un disco de radio R rueda sin deslizar sobre una superficie horizontal, de modo que su centro avanza en direcci o´ n x con rapidez constante v0 . En la posición inicial el centro del disco se encuentra en x = 0. Considere una part´ıcula fija al disco en el punto A, situado a una distancia a < R de su centro y calcule: (a) los vectores de posición, velocidad y aceleración del punto A, en funci o´ n del tiempo, en el sistema de coordenadas cartesianas indicado en la figura. (b) el radio de curvatura de la trayectoria del punto A cuando pasa por los puntos más ´ alto (m´ınimo y maximo ´ bajo y mas de y).


157. Un globo asciende desde el suelo a una velocidad vertical v0 Debido al viento el globo adquiere

´ CINEM ATICA DEL PUNTO una componente horizontal de velocidad v x = kz , donde k es una constante y z es la altura sobre el terreno. Si se coloca el origen del sistema de coordenadas en el punto de lanzamiento, determine:

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(b) aceleracin tangencial y normal en función del tiempo (c) radio de curvatura en función del tiempo

(a) trayectoria del globo y su vector de posición en funcio´ n del tiempo. (b) las componentes tangencial y normal de la aceleración en funcio´ n de la altura “ z ”.



158. Una barra de largo L se encuentra apoyada sobre un semi-cilindro de radio R, como se indica en la figura. El extremo inferior de la barra es forzado a moverse con rapidez constante v0 hacia la derecha. Determine la velocidad y aceleraci o´ n del extremo superior de la barra en el instante cuando su extremo inferior se encuentra a una ´ distancia 2R del eje del semi-cilindro y el angulo que forma la barra con la horizontal es α .

160. Una part´ıcula describe una trayectoria plana con una rapidez proporcional a la distancia al origen (ρ), siendo k la constante de proporcionalidad, y con una velocidad angular constante ω 0 en torno al origen. En el instante inicial, la distancia al origen es ρ 0 , θ = 0 y la componente radial de la velocidad es positiva. Determine: (a) ecuacio´ n de la trayectoria en un sistema de coordenadas polares. (b) demuestre que la aceleració n es proporcional a la distancia de la part´ıcula al origen. (c) determine las componentes tangencial y normal de la aceleració n en funcio´ n del tiempo. 161. Una part´ıcula describe la trayectoria parab o´ lica descrita por la ecuacion xy = a, manteniendo una rapidez constante v 0 . Calcule los siguientes ´ parametros cuando la part´ı cula pasa por el punto mas cercano al origen de las coordenadas: (a) componentes cartesianas de la velocidad (b) componente de aceleraci o´ n segun el eje x (c) componente de aceleraci o´ n a lo largo de la trayectoria y perpendicular a ella.


159. Desde un avión que vuela con una velocidad v0 en dirección horizontal y a una altura H sobre el suelo, se suelta un objeto. Si se asume que el roce viscoso con el aire es despreciable frente a la fuerza gravitacional, determine: (a) ecuacio´ n de la trayectoria con respecto al sistema de referencia fijo indicado en la figura.

(d) radio de curvatura de la trayectoria en ese punto 162. Considere una part´ı cula que se mueve en un plano de modo tal que la componente de su aceleración perpendicular al radio vector es nula (aθ = 0). (a) demuestre que bajo estas condiciones se cumple que el producto entre el cuadrado de la magnitud del radio vector y la velocidad angular es constante.

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Lic. Evaristo Mamani Carlo (b) si la trayectoria de la part´ıcula queda descrita por la ecuación: ρ(θ) = (2 cos θ) 1 (elipse) demuestre que la componente radial de la aceleración es proporcional a ρ 2 .

−

−

−

163. Una part´ıcula parte desde el reposo en el origen y recibe una aceleracio´ n

a =

7.5 ft/s en t = 0 y llega al reposo en el tiempo t 1 , determine: (a) El tiempo t 1 (b) La distancia que recorre la lancha antes de quedar en reposo.

k , (x + 4)2

donde a y x se expresan en m/s2 y m, respectivamente, y k es una constante. Si se sabe que la velocidad de la part´ıcula es de 4 m/s cuando x = 8 m , determine: (a) El valor de k (b) La posició n de la part´ıcula cuando v =

4.5 m/s (c) La velocidad maxima ´ de la part´ıcula. 164. Durante las pruebas realizadas a una nueva lancha salvavidas, un acelerómetro adherido a la lancha proporciona el registro que se muestra en la figura 85. Si la lancha tiene una velocidad de


a l ? a l fi n 2 s ) o a m mc g e = l l E ( o o t m ¿ c o v a r i s , s i n o t o r : E l u a A n e l fi r e n a s n o p e j o r n e m E s

Practica 2 Cinematica 1-2016 Fisica 100

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