INSTITUCIÓN EDUCATIVA EL BOSQUE FISICA GRADO 1001 NOMBRE____________________________________________________
EL MUNDO DE LA CINEMÁTICA: “MOVIMIENTOS “MOVIMIENTOS RECTILINEOS” ¿QUÉ QUEREMOS? Que determines por medio de la interpretación teórica, gráfica y experimental movimientos de los cuerpos sin tener en cuenta la causa que lo produce, aplicados en la vida cotidiana
UN PÁJARO GIGANTESCO. Los tres marineros remaron en su bote hacia el barco. Pero antes de cubrir si quiera la mitad de la distancia, un pájaro gigantesco bajó en picada sobre ellos y los levantó por los aires. Los llevó consigo a una tierra remota donde los depositó en un nido situado en lo alto de un gran árbol. A partir de los enunciados que figuran a continuación, ¿Qué envergadura tenían las alas del gigantesco pájaro y a qué distancia llevó a los tres marineros? 1. Si la envergadura envergadura de las alas alas del pájaro pájaro gigantesco gigantesco era era de 20 ó 30 metros de anchura, anchura, transpo transportó rtó a los tres marineros a una distancia de 50 leguas. 2. Si el pájaro gigantesco gigantesco transportó transportó a los tres tres camaradas camaradas a 75 leguas de distancia, distancia, la envergadura envergadura de sus alas no era de 40 ó 50 metros. 3. Si la envergadura envergadura de las alas alas del pájaro pájaro gigantesco gigantesco era era de 40 ó 50 metros de anchura, anchura, transpo transportó rtó a los tres marineros a 75 leguas de distancia. 4. Si la enve enverga rgadu dura ra de las las alas alas del pájaro pájaro gigant gigantes esco co no era era de 40 ó 50 metro metross de anchu anchura ra,, entonces era de 20 ó 30 metros. 20 – 30 30 met metro ross
40 – 50 50 met metro ross
50 Leguas 75 leguas
SABIAS QUE… La cinemática estudia el movimiento sin tener en cuenta las causas que lo producen. La gente camina, corre y monta bicicleta. La tierra rota una vez cada día y da una vuelta alrededor del Sol una vez cada año. El Sol también rota con la Vía Láctea, la cual a su vez se mueve dentro de su grupo local de galaxias. Como el movimiento es común a todas las cosas en el universo por tal motivo es importante que conozcas cuáles son sus elementos y cómo se diferencian Dos de las más interesantes formas de movimiento para observar son las competencias de 100 m y 200 m. Los corredores deben abandonar como ráfagas los bloques de partida, para alcanzar la máxima rapidez en el menor menor tiempo tiempo posibl posible. e. Alguna Algunass veces veces parece parece que la carrer carrera a termin termina a antes de comenzar. En un avión, una madre dice a su hijo Camilo: “Quédate quieto en el puesto puesto”; ”; el niño, niño, mientra mientrass tanto, tanto, piensa piensa que aunque aunque este sentado sentado y “quieto” se está moviendo con el avión. Es más Camilo o su mamá pueden decir que la azafata se acercó o alejó de ellos, y un señor se puso de pie y se fue a la parte trasera del avión y al hacer cualesquiera de estas afirmaciones, ellos se están considerando fijos, estáticos, y están describiendo los movimientos que observan sin que les importe el movimiento del avión.
Por tanto, podemos describir el movimiento de tres maneras: la primera descripción utiliza el lenguaje de la vida diaria; la segunda emplea una ecuación constituida por cantidades matemáticas; la tercera utiliza gráficas que muestran la variación de estas cantidades con el tiempo.
¿QUÉ TANTO SABES?
¿Cómo puedes determinar si un cuerpo se encuentra en movimiento o en reposo?
Si observas un cuerpo en cierta posición y al cabo de cierto tiempo vuelves a observarlo en la misma posición. ¿puedes afirmar que el cuerpo no se ha movido?¿Por qué?
Explica lo que entiendes de cada uno de los siguientes conceptos: a. Movimiento b. Posición c. Trayectoria d. Desplazamiento e. Espacio recorrido f. Distancia g. Longitud
Explica qué dispositivos en un automóvil permiten cambiar la
rapidez del vehículo.
¿Cómo puedes determinar la rapidez instantánea de un vehículo?
Consideremos dos móviles, A y B, que siguen las trayectorias ilustradas en las siguientes gráficas de posición contra tiempo: X(km)
X(km) 150
80
120
60
90 40 60 20
30 0 0
1
2
3
4
5
t(h)
0 0
1
2
3
4
5
t(h)
¿Cuál recorre más espacio? ¿En qué tiempos los dos vehículos llevan la misma velocidad?
Si te mueves en un vehículo cuya velocidad permanece constante. ¿Cómo sabes que el vehículo se está moviendo?
La siguiente tabla de datos se obtuvo al medir las diferentes posiciones que ocupa una partícula en intervalos de tiempo dados.
Posición(m )
0
3
6
9
12
15
18
21
Tiempo (s)
0
1
2
3
4
5
6
7
Elabora un gráfico de x contra t. ¿Qué tipo gráfico obtuviste? Plantea la relación que existe entre x y t. Como dos magnitudes al ser directamente proporcionales están ligadas por un cociente constante, encuentra la ecuación que liga las dos magnitudes. Físicamente, ¿Qué nombre recibe esta constante?
Explica un procedimiento que te permita determinar cuándo la velocidad de un móvil cambia.
¿Cómo puedes determinar el cambio de velocidad de un cuerpo en la unidad de tiempo?
¿Cómo se puede determinar si un cuerpo cambia la velocidad de manera constante?
AL
GRANO ...
Datos… Las descripciones modernas del movimiento comienzan con una definición cuidadosa de magnitudes como el desplazamiento, el tiempo, la velocidad, la aceleración, la masa y la fuerza. Sin embargo, hasta hace unos 400 años el movimiento se explicaba desde un punto de vista muy distinto. Por ejemplo, los científicos razonaban —siguiendo las ideas del filósofo y científico griego Aristóteles— que una bala de cañón cae porque CINEMÁTICA su posición natural está en el suelo; el Sol, la Luna y las estrellas describen círculos alrededor de la Tierra porque los cuerpos celestes se mueven por naturaleza en círculos perfectos. EL MOVIMIENTO: Un Cuerpo se La UN grandes CUERPO :pensadores encuentra en movimiento con relación El físico y astrónomo italiano Galileo reunió lasPOSICIÓN ideas deDE otros posición de un cuerpo sobre una línea a un punto fijo llamado sistema de de su tiempo y empezó a analizar el movimiento a partir de la distancia recorrida recta, en la cual se ha escogido “el , si a medida que transcurre referencia desde un punto de partida y del tiempo transcurrido. que laesta velocidad cero” como Demostró punto de referencia el tiempo, la posición relativa respecto de alos objetos durante su Xcaída. Esta determinada por la coordenada oY este punto varía. que caen aumenta continuamente aceleración es la misma para objetos pesadosdelo ligeros, siempre que noLase tenga punto donde se encuentra. posición puede ser positiva negativa, en cuenta la resistencia del aire (rozamiento). El matemático y ofísico británico dependiendo si está a la derecha o Isaac Newton mejoró este análisis al definir izquierda la fuerza y la masa, y relacionarlas del cero, respectivamente. con la aceleración. Para los objetos que se desplazan a velocidades próximas a la : Cuando un cuerpo DESPLAZAMIENTO velocidad de la luz, las leyes de Newton han sido sustituidas por la teoría de la cambia de posición se produce un relatividad de X Albert desplazamiento. = Pf – Pi Einstein. Para las partículas atómicas y subatómicas, las
leyes de Newton han sido sustituidas por la teoría cuántica. Pero para los : Es el conjunto de puntos TRAYECTORÍA fenómenos de la vida diaria, las tres leyes del movimiento de Newton siguen del espacio que ocupa a través del tiempo, siendo la piedra angular de la dinámica (el estudio de las causas del cambio en el puede ser lineal o curvilínea. ESPACIO RECORRIDO : Es la medida de movimiento). la trayectoria, siempre es positivo.
RAPIDEZ MEDIA: Si consideramos el espacio total recorrido por el móvil, en lugar del desplazamiento determinamos la rapidez media en lugar de la velocidad media. X V = t
VELOCIDAD MEDIA : En un intervalo de tiempo la velocidad media se calcula hallando el desplazamiento en la unidad de tiempo. V
X
=
t
ACELERACIÓN : Es el cambio velocidad en la unidad de tiempo
de
GRAFICAS DE POSICIÓN CONTRA TIEMPO Como los desplazamientos no son instantáneos, sino que se realizan mientras transcurre el tiempo, se facilita la descripción del movimiento al hacer un gráfico de posición contra tiempo. En el eje vertical se representan las posiciones que ocupa el cuerpo y en eje horizontal el tiempo transcurrido. Para describir el movimiento se hace necesario definir los intervalos de tiempo, que corresponden a cada cambio de posición, encontrar el desplazamiento para cada intervalo de tiempo, luego hallar el desplazamiento total sumando cada uno de los desplazamientos parciales, encontrar el espacio total sumando el valor absoluto de los desplazamientos parciales, calcular el cociente entre el valor del desplazamiento total y el tiempo total, que corresponde a la velocidad media y por último encontrar el valor de la rapidez media con el cociente entre el espacio total y el tiempo total.
EJEMPLO El siguiente gráfico de posición contra tiempo, representa el movimiento de una partícula durante 9 segundos. Basándote en la información que éste suministra, analiza el movimiento de la partícula, describe en cada uno de los intervalos de tiempo el desplazamiento total, el espacio recorrido, la velocidad media y la rapidez media. X(m) 60 50 40 30 20 10 0 -10 -20 -30
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
t(s)
•
Desplazamientos parciales t1 = 0s a 1s X 1
=
t6 = 5s a 6s
30m − 0m = 30m X 6
=
0 m − 50 m
= −50 m
t2 = 1s a 2s X 2
=
30 m − 30 m
=
t7 = 6s a 7s
0m X 7
=
0m − 0m
=
0m
t3 = 2s a 3s X 3
=
20 m − 30 m
t8 = 7s a 8s
= −10 m
X 8
= 10 m − 0 m = 10 m
t4 = 3s a 4s X 4
=
30 m − 20 m
t9 = 8s a 9s
= 10 m
X 9
= −20m −10m = −30m
t5 = 4s a 5s X 5 •
=
50 m − 30 m
=
20 m
Desplazamiento total
X T = X 1 + X 2 + X 3 + X 4 + X 5 + X 6 + X 7 + X 8 + X 9 X T •
=
30 m + 0m − 10 m + 10 m + 20 m − 50 m + 10 m − 30 m
Espacio Total
X T
=
X 1
X T
=
30m + 0m + 10m + 10m + 20m + 50m + 10m + 30m = 160m
•
+
X 2
•
+
X 3
+
X 4
+
X 5
+
X 6
+
X 7
+
X 8
+
X 9
Velocidad Media V m
=
X T t
V m
=
V m
=
− 20 m
9 s
= −2,22 m
s
Rapidez Media V m
= −20 m
=
X T t
160 m 9 s
=
17,77 m
s
El siguiente gráfico de X vs. t ilustra el movimiento de un cuerpo: X(km) 6 5 4 3 2 1 0 0
1
2
3
4
5
6 t(h)
Describe el movimiento, calculando el desplazamiento en cada intervalo de tiempo, el desplazamiento total, el espacio total recorrido, la velocidad media y la rapidez media.
MOVIMIENTO
UNIFORME
Considera un cuerpo que se mueve con velocidad constante. La dirección de movimiento nunca cambia, por tanto el cuerpo se mueve continuamente a lo largo de una recta y además efectúa desplazamientos iguales en intervalos iguales de tiempo. Un movimiento con estas características se llama Rectilíneo Uniforme. Aunque no es fácil ni frecuente observar en la naturaleza movimientos rectilíneos uniformes, a fin de estudiar sus características observemos su descripción: X(m) 120 100 80 60 40 20 0 0
2
4
Desplazamientos parciales
6
8
t1 = 0s a 2s X 1
20m − 0m = 20m
=
t2 = 2s a 4s X 2
=
40m − 20m = 20m
t3 = 4s a 6s X 3
=
60m − 40m = 20m
t4 = 6s a 8s X 4
=
80m − 60m
=
20m
t5 = 8s a 10s X 5
=
100m − 80m
Desplazamiento Total X T
X T
=
X 1 + X 2
=
+
X 3
+
X 4
+
X 5
20m + 20m + 20m + 20m + 20m = 100m
Espacio Total Recorrido X T
=
X 1
X T
=
20m + 20m + 20m + 20m + 20m
+
X 2
+
X 3
+
X 4
+
X 5 =
100m
Velocidad Media V m
=
X T t
V m
=
V m
=
100m 10 s
= 10 m
s
Rapidez Media V m
=
X T t
100 m 10 s
= 10 m
s
=
20m
10 t(s)
Como te diste cuenta, el móvil recorrió espacios iguales en tiempos iguales, además la representación gráfica es una línea recta diagonal que pasa por el origen, lo que significa que el espacio recorrido es directamente proporcional al tiempo transcurrido. La constante de proporcionalidad en este caso se llama Velocidad. Por lo tanto se obtiene la siguiente ecuación matemática: X = V.t. Al realizar un gráfico de V contra t se obtiene una recta paralela al eje horizontal. El área del rectángulo limitado por los ejes, la recta representativa y una paralela al eje vertical, representa el espacio recorrido por el móvil:
X(m)
V(m/s)
X = V.t t(s)
t(s)
Un cuerpo se desplaza con movimiento uniforme cuando recorre espacios iguales en tiempos iguales Resolvamos problemas de movimiento uniforme
EJEMPLOS
1. ¿Cuál es la velocidad de un móvil que con movimiento uniforme, ha demorado 5 segundos para recorrer una distancia de 120 cm? SOLUCIÓN DATOS: X = 120 cm = 1,2 m t=5s V=? V
V
=
X
=
t
1,2 m 5 s
V = 0,24 m s
2. Un automóvil se desplaza por una carretera de acuerdo con el siguiente gráfico: V(km/h)
24
0 0
0,3
0,6
0,9
1,2 t(h)
-24
SOLUCIÓN El gráfico muestra que t = 0h, el auto poseía una velocidad de 24 km/h, la cual se mantiene hasta t = 0,3h El automóvil permanece en reposo desde t = 0,3h y t = 0,6h; el auto regresa con velocidad constante de – 24 km/h desde t = 0,6h hasta t = 0,9h y finalmente se queda en reposo desde t = 0,9h hasta t = 1,2h. Para calcular la distancia total recorrida se halla el espacio recorrido en cada intervalo: X1 = V1.t1 X1 = 7,2 km X2 = V2.t2 X1 = (24 km/h).(0,3h) X2 = (0 km/h)(0,3h)
X2 = 0 km
X3 = V3.t3 X3 = 7,2 km X3 = (24 km/h)(0,3h) XT = X1 + X2 + X3 + X4 XT = 7,2 km + 0 km + 7,2 km + 0 km XT = 14,4 km
X4 = V4.t4 X4 = (0 km/h)(0,3h) X4 = 0 km
Observa que no consideramos el signo de la velocidad ya que se esta hablando del espacio total recorrido, que es una magnitud escalar. Para calcular el desplazamiento total del móvil debemos tener en cuenta el carácter vectorial de la velocidad. X 1
=
V 1 ⋅ t 1
X 2
=
V 2 ⋅ t 2
X 3
=
V 3 ⋅ t 3
X 1
=
( 24 km / h )( 0,3h )
X 2
=
(0 km / h )( 0,3h)
X 3
=
( −24 km / h )( 0,3h )
X 1
=
7, 2 km
X 2
=
0km
X 3
=−
X 4
=
V 4 ⋅ t 4
X 4
=
(0 km / h)( 0,3h)
X 4
=
0km X T
=
X 1
+
X 2
+
X 3
+
7, 2 km
X 4
X T
= 7,2 km + 0 km − 7,2 km + 0 km
X T
= 0km
3. Un automóvil hace un recorrido entre dos ciudades que distan entre sí 60 Km. En los primeros 40km viaja a 80 km/h y en los kilómetros restantes desarrolla solamente 20 km/h. ¿Qué tiempo tarda el viaje?¿Cuál es la velocidad media y la rapidez media en el recorrido?
SOLUCIÓN DATOS: XT = 60 km X2 = 20 km
X1 = 40 km V2 = 20km/h
V1 = 80 km/h t1 = ? t2 = ? tT = ? V=?
Como el movimiento es uniforme se tiene que: t =
X V
, por lo tanto:
X 1
t 1
=
t 1
= 0,5h
t 2
V 1 40 Km t 1 = 80 km / h
t T
t
Rapidez Media:
X T t T
V = V1 + V2
V
t
= 1 + 2
= 0,5h + 1h
t T
V =
X 2
V 2 20 Km t 2 = 20 km / h t 2 = 1h t T
Velocidad Media:
=
=
1,5h
=
60 km 1,5h
V = 80 km/h + 20 km/h
V = 40 km
h
V 100 km =
h
4. Dos trenes parten de dos ciudades A y B, distantes entre sí 1200 km, con velocidades de 160 km/h y 200 km/h respectivamente, pero el de A sale dos horas antes. ¿Qué tiempo después de haber salido B y a qué distancia de A se encontrarán?
SOLUCIÓN Considera que los dos trenes se encuentran en el punto P de la trayectoria, por tanto el tren que parte de A recorre un espacio X, mientras el que parte de B recorre el espacio 1200 km – x. Llama t al
tiempo que tarda el Tren B en llegar al punto P; por tanto el tiempo que el tren A será t + 2h ya que éste sale dos horas antes. 1200 km
A
B
x
P
1200 km – x
Por cada tren plantea una ecuación: Tren A: X A = V A. t A Tren B : XB = VB. tB Donde, X = (160km/h)(t + 2h) …(1) 1200 km – X = (200km/h).t …(2) Aquí tienes un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas X y t, su solución se puede obtener por cualquiera de los métodos estudiados en matemáticas. Usa el método de sustitución, reemplazando la ecuación (1) en la (2), así: 1200 km – (160 km/h)(t + 2h) = (200 km/h).t 1200 km – (160 km/h).t – 320 km = (200 km/h).t – (160 km/h).t – (200 km/h).t = 320 km – 1200 km – (360 km/h).t = – 880 km t = 880km/360 km/h t = 2,44 h Al reemplazar el valor de t en cualquiera de las ecuaciones tienes: X = (160km/h)(t + 2h) X = (160km/h)(2,44h + 2h) X = 710,4 km
Consulta valores de velocidades constantes existentes en la naturaleza
MOVIMIENTO CON VELOCIDAD VARIABLE ACELERACIÓN Cuando un automóvil arranca, su velocidad va aumentando y al final disminuye progresivamente. La aceleración esta relacionada con los cambios de velocidad; en el movimiento uniforme la velocidad es constante, por lo tanto la aceleración es nula. Considera un cuerpo que en el instante t1, viaja con velocidad V 1; luego se acelera y en el intervalo de tiempo ∆t alcanza la velocidad V 2. El cuerpo sufre un cambio en la velocidad igual a la diferencia de sus velocidades ∆V = V2 – V1, en un intervalo ∆t = t2 – t1. La aceleración tiene carácter vectorial porque se obtiene de dividir el vector Velocidad entre el escalar Tiempo. Su dirección es la del cambio en la de velocidad. La aceleración media se define como la variación de la velocidad en la unidad de tiempo.
Unidades de aceleración:
a
=
a
=
∆V ∆t
V f −V i t f − t i
Las unidades de aceleración se obtienen al dividir las unidades de velocidad entre la unidad de tiempo: En el sistema M.K.S. [a] = m/s2; En el sistema C.G.S. [a] = cm/s2 Ahora resolvamos problemas de aceleración:
EJEMPLOS
1. Un automóvil viaja a la velocidad de 20 m/s, se acelera 15 s y aumenta su velocidad hasta 80 m/s. ¿Qué aceleración experimenta el automóvil?
SOLUCIÓN DATOS: Vi = 20 m/s
Vf = 80 m/s
∆t=
a
=
a
=
a
=
a
=
V f
15 s
a
=?
−V i
∆t
80m / s − 20m / s 15 s 60m / s 15 s
4m s
2
2. Un cuerpo que viajaba con velocidad de 30 m/s, la disminuyó hasta 22 m/s en 4 s. ¿Qué aceleración experimenta el cuerpo?
SOLUCIÓN DATOS: Vi = 30 m/s a
=
Vf = 22 m/s
V f
∆t=
4s
a
=?
− V i
∆t
22m / s − 30m / s
a = −2 m 2 s NOTA: - Cuando la aceleración es positiva, decimos que el movimiento es acelerado y cuando la aceleración es negativa decimos que el movimiento es retardado, cuando la aceleración es cero(0), el movimiento es uniforme. a
=
4 s
- Cuando un móvil parte del reposo significa que su velocidad inicial es cero (0), y cuando un móvil frena y se detiene significa que su velocidad final es cero (0). 3. Un automóvil que viaja a 20 m/s aplica los frenos y detiene el vehículo después de 4 segundos. ¿Cuál fue su aceleración?
SOLUCIÓN DATOS: Vi = 20 m/s a
=
a
=
Vf = 0 m/s
∆t=
4s
a
=?
V f − V i ∆t
0m / s − 20 m / s 4 s
a = −5 m 2 s
DESCRIPCIÓN DEL MOVIMIENTO Para describir un movimiento variado es necesario realizar una gráfica de V vs. t., hallar la aceleración para cada intervalo de tiempo y decir si el movimiento es acelerado, retardado o uniforme.
EJEMPLO
V(m/s) 200
150
100
50
0 0
20
40
60
80
100
120
t (s)
SOLUCIÓN t1 = 0s a 20s a1
t4 = 60s a 80s
150 m / s − 50 m / s
=
a4
20 s
a
=
1
5m s
M. Acelerado
2
4
a
2
=
−
2,5 m s
a5
M. Retardado
2
= a
3
s
2
M. Acelerado
2
50 m / s − 200 m / s 20 s =
−
7,5 m s
2
M. Retardado
t6 = 100s a 120s a6
20 s
0m
=
5
100 m / s − 100 m / s
=
5m s
a
t3 = 40s a 60s a3
=
t5 = 80s a 100s
100 m / s − 150 m / s 20 s
=
20 s
a
t2 = 20s a 40s a2
200 m / s − 100 m / s
=
M. Uniforme
=
50 m / s − 50 m / s 20 s a
MOVIMIENTO UNIFORMEMENTE ACELERACO
6
=
0m s
2
M. Uniforme
(M. U. A)
Siempre que ocurre una variación en la velocidad decimos que el movimiento presenta aceleración. Si la velocidad varía en cantidades iguales e intervalos iguales de tiempo, la aceleración del movimiento es constante y el movimiento se denomina uniformemente acelerado o variado. Por tanto el valor de la aceleración es: a
=
V f − V i t
ECUACIONES DEL M.U.A.
Las ecuaciones del movimiento uniformemente acelerado se obtienen al analizar el siguiente gráfico teniendo en cuenta que la pendiente de la recta corresponde a la aceleración y el área bajo de la curva al espacio recorrido. Vf
Vi t
•
De acuerdo con la definición de aceleración: a ⋅ t = V f
V i
−
V f
a
=
V f
=V i +a ⋅t
− V i
t
, si despejamos Vf , se obtiene:
Por tanto;
•
(1)
Si se descompone la figura en un rectángulo y un triángulo, el área de la figura es igual a la suma de las áreas del rectángulo y del triángulo, las cuales corresponden al espacio recorrido: A r = h.b
A r = Vi.t
b ⋅h A t = 2
A t =
(V f
V i )
−
2
X = V i ⋅ t +
at
, entonces, A t =
2
(2)
2
De acuerdo con la figura que se obtiene se puede hallar el espacio recorrido calculando el área bajo la curva, la cual corresponde a un trapecio. A
•
pero,a ⋅ t = V f −V i 2
Como, X = A r + A t Por tanto;
•
.t ;
a.t 2
=
(V +V i ) B + b .h , en el gráfico B = V f y b = Vi, Por tanto, X = f ⋅ t 2 2
(3)
Una cierta ecuación se obtiene por procedimientos algebraicos, al despejar en la ecuación (1) el tiempo y sustituirlo en la ecuación (3). V f
=
V i
+
a ⋅ t
t =
→
V f
− V i
a
.
X =
(V f +V i ) 2
→
⋅ t
X
El producto de los denominadores es la diferencia de cuadrados. X = Por tanto:
2ax
2
V f
=
V i
−
2
=
(V f
V f 2
+ V i )
2 − V i
2a
⋅
(V f −V i ) a
2
.
(4)
Luego las cuatro ecuaciones utilizadas en el M.U.A. son: V f
=V i +a ⋅t
X = V i ⋅ t +
X
=
(V f +V i ) 2
at 2 2ax
2
2
V f
=
V i
−
⋅ t
2
Ahora resolvamos problemas de M.U.A.
EJEMPLOS
1. ¿Qué velocidad inicial debería tener un móvil cuya aceleración es de 4 m/s 2, si debe alcanzar una velocidad de 180 km/h a los 10 segundos de su partida?
SOLUCIÓN DATOS:
Vf =180 km/h = 50 m/s
t= 10 s
a
= 4m/s2
Vi = ?
Aplicando la formula Vf = Vi + a.t; de donde V i = Vf – a.t, se obtiene: Vi = 50m/s – (4m/s 2)(10s) V = 10 m/s 2. Un automóvil que se desplaza a 108 Km/h, frena y se detiene a los 2 segundos. ¿Cuál es el valor de la aceleración y qué distancia recorrió el vehículo?
SOLUCIÓN DATOS:
Vi =108 km/h = 30 m/s
Vf = 0m/s
Aplicamos la formula Vf = Vi + a.t de donde a 0m a
=
s
−
30 m
2 s
s
=
V f − V i t
t=2s , por tanto:
a = − 15 m s
El signo negativo indica que la velocidad disminuye.
a
=?
X=?
at 2
Aplicamos la formula X = V i ⋅ t +
2
, para encontrar el valor de la distancia recorrida, entonces:
( − 15 m 2 )(2 s) 2 s X = 30 m X = (30 m )(2 s) + s 2 3. Un cuerpo que parte del reposo se acelera a razón de 8 m/s 2 durante 14 segundos, luego continua moviéndose con velocidad constante durante 28 segundos y finalmente vuelve al reposo en 14 segundos. Calcular gráfica y analíticamente el espacio recorrido por el cuerpo. SOLUCIÓN Se realiza la gráfica de V contra t V(m/s) 168
112
56
0 0
14
28
42
56
t(s)
La figura que se obtiene es un trapecio de base mayor 56 segundos, de base menor 28 segundos y de altura 112 m/s; porque está es la velocidad que gana en 14 segundos, incrementando su velocidad en 8 m/s cada segundo. El espacio recorrido se obtiene al calcular el área del trapecio. X
=
(56 s + 28 s ) 2
.(112 m ) s
X
=
4704m
Analíticamente se describe el movimiento en tres intervalos de tiempo. t1: 0 s a 14 s at 2 X 1 = V i ⋅ t + 2
X 1
=
(0 m ) ⋅ (14 s) + s
(8 m 2 )(14 s) 2 s 2
X 1
=
784 m
t2: 14 s a 42 s El movimiento es uniforme y la velocidad del cuerpo corresponde a la velocidad final del primer intervalo: Vf = Vi + a.t Vf = 0m/s + (8m/s 2)(14s) Vf = 112 m/s Vf = V El espacio recorrido es: X 2 = V . t2;
X 2 = (112m/s)(28s)
X 2
=
3136 m
t3: 42 s a 56 s X 3
=
(V f + V i ) 2
⋅ t
X 3
=
(0 m s + 112 m s ) 2
.(14 s )
X 3
=
784m
El espacio total recorrido es la suma de los espacios recorridos en cada intervalo XT = 784m + 3136m + 784m X T
MOVIMIENTO DE
CAIDA
=
4704m
LIBRE
Durante muchos años, el estudio de la caída de los cuerpos ocupa gran parte de la atención de los científicos. Aristóteles consideraba que el movimiento de los cuerpos era un estado transitorio. Una
piedra caía porque buscaba su lugar natural en el suelo, las llamas tendían hacia arriba pues buscaban su lugar natural en el fuego divino de las estrellas. Aristóteles afirmaba que si se comparaban las velocidades de caída de dos cuerpos en un mismo medio, éstas eran proporcionales a sus pesos. Fue precisamente Galileo, en el siglo XVI, quien explicó satisfactoriamente este tipo de movimiento. Desde la parte superior de un plano, dejó caer diferentes esferas y observó que en todas ellas la velocidad se incrementaba uniformemente en intervalos iguales de tiempo. Galileo varió la inclinación del plano y observó que a medida que éste se hacia mayor, el incremento de la velocidad era mayor, pero aún el movimiento era uniformemente acelerado. Cuando el plano inclinado se hace completamente vertical el movimiento de la esfera es en caída libre, por lo tanto este ultimo movimiento es uniformemente acelerado. El valor de la aceleración del cuerpo, denominada aceleración de la gravedad, dirigida siempre hacia abajo, depende de la distancia a la superficie terrestre y también de la latitud o distancia al Ecuador. Al nivel del mar, la aceleración de la gravedad, que se representa mediante la letra g, tiene un valor promedio de unos 9,8m/s2. Este valor fue medido por primera vez por Christian Huygens (1629 – 1695).
ECUACIONES DE CAÍDA LIBRE Como el movimiento de Caída libre es un caso particular del M.U.A., las ecuaciones de éste último son también las ecuaciones de la caída libre. Lo único que se debe cambiar es que el valor de la aceleración siempre va a ser g y en lugar de considerar el desplazamiento en X lo haremos en y, por ser este un movimiento vertical, además en la caída libre la velocidad inicial es cero (0 m/s). V f
y
=
V i
g ⋅ t
+
= V i ⋅ t +
y
(V f + V i )
=
2
gt 2 2 gy
2
⋅ t
2 2 = V f −V i
Ahora resolvamos problemas de Caída Libre:
EJEMPLOS
1. Desde una torre se deja caer una piedra que tarda 12 segundos en llegar al suelo. Calcular la velocidad con la que llega y la altura de la torre. SOLUCIÓN DATOS: Vi = 0 m/s g = 9,8 m/s2 t = 12 s Vf = ? y=? Aplicamos las ecuaciones:
y
=
Vf = 117,6 m/s
Vf = (9,8 m/s2).(12 s)
Vf = g.t g ⋅ t 2
y =
2
(9,8 m 2 ) ⋅ (12 s) 2 s 2
y =705,6 m
2. ¿Con qué velocidad llega un cuerpo al suelo que se deja caer desde una altura de 160m? ¿Qué tiempo emplea?
SOLUCIÓN DATOS:
Vi = 0 m/s
y = 160 m
g = 9,8 m/s 2
Vf = ?
t=?
Aplicamos las formulas: 2 gy
2
= V f −V i
2
V f = g.t
V f
=
2 gy
t =
V i 2
+
V f g
V f
=
2 (9,8m / s 2 )(160 m ) + ( 0 m / s ) 2
t =
56 m / s 9,8m / s 2
V f = 56 m/s
t = 5,71s
Determina el valor de la gravedad del sitio donde te encuentras. Realiza esta actividad con dos compañeros; necesitas un cuerpo (piedra, bloque de madera), cronómetro y Decámetro. Uno de los integrantes deja caer el cuerpo libremente desde una altura previamente determinada y
medida. Cronometrar el tiempo que tarda el cuerpo en llegar al suelo y calcular el valor de la gravedad, utilizando la expresión: y
=
g ⋅ t 2 2
, de donde g =
ALGO
2 y
t 2
PARA
HACER
SOY CAPAZ DE: Desarrollar la Capacidad para explicar características de los movimientos rectilíneos en la solución de problemas.
Resolvamos problemas sobre movimientos rectilíneos: 1. Describa el siguiente movimiento: 200 150
) 100 m K ( 50 n ó i c 0 i s o 0 P -50
30
60
90
120
150
180
210
240
-100
Tiempo (h)
-150
2. Un móvil viaja con velocidad de 0,58 Km/h; calcula el espacio recorrido en 15 segundos. 3. La velocidad de un avión es 1020 Km/h y la de otro 420 m/s. ¿Cuál de los dos es más veloz? 4. El sonido se propaga en el aire con velocidad de 340 m/s. ¿Qué tiempo tarda en escucharse el estampido de un cañón situado a 25 Km?. 5. Un motociclista viaja hacia el oriente con velocidad de 90 Km/h durante 10 minutos; Regresa luego al occidente con velocidad de 54 Km/h durante 20 minutos y finalmente vuelve hacia el oriente durante 15 minutos viajando con velocidad de 108 Km/h. Calcula para el viaje completo: a. El espacio total recorrido c. El desplazamiento b. La rapidez media d. La velocidad media 6. Explica por qué la siguiente gráfica no representa un movimiento uniforme: X (m) 320 240 160 80 0 0
20
40
60
80
100
120
140
160
t (s)
7. Un automóvil hace un recorrido entre dos ciudades que distan entre sí 200 Km. En los primeros 140 Km viaja a 160 Km/h y en los Km restantes desarrolla solamente 60 Km/h. a. ¿Qué tiempo tarda el viaje? b. ¿Cuál es la velocidad media y la rapidez media en el recorrido? 8. Si se produjera una explosión en el sol, cuya distancia a la Tierra es 150 millones de Km, ¿Qué tiempo después de haberse producido el suceso, sería observado en la Tierra? 9. Dos trenes parten de una misma estación uno a 60 Km/h y el otro a 80 Km/h. ¿A qué distancia se encontrará uno del otro al cabo de 3 horas? a. Si marcha en el mismo sentido b. Si marchan en sentidos opuestos
10. Dos embarcaderos A y B están separados 200 Km. De A sale un barco hacia B con velocidad de 40 Km/h y simultáneamente sale un barco de B hacia A con velocidad de 25 Km/h. Calcula a qué distancia de A se cruzan y a qué tiempo después de haber partido. 11. Dos estaciones A y B, están separadas 430 Km. De A sale un tren hacia B con velocidad de 40 Km/h y dos horas más tarde sale un tren de B hacia A con velocidad de 30 Km/h. ¿Qué tiempo después de haber salido B y a qué distancia de A se encontrarán? 12. Dos trenes parten de dos ciudades A y B, distantes entre sí 660 Km, con velocidades de 84 Km/h y 120 Km/h respectivamente, pero el de B sale una hora antes. ¿Cuándo se encontrarán y a qué distancia, si viaja el uno hacia el otro? 13. Un carguero que viajaba a 20 m/s en dirección oeste se dirige en línea recta hacia un automóvil que va a 30 m/s en dirección este. Si están separadas 400 m, ¿Cuánto tiempo tardarán en chocar?. 16. Un automóvil viaja a la velocidad de 10 m/s, se acelera durante 12 segundos y aumenta su velocidad hasta 70 m/s. ¿Qué aceleración experimenta el automóvil? 14. ¿Qué tiene mayor aceleración moviéndose en línea recta: Un auto cuya rapidez aumenta de 50 a 60 Km/h o una bicicleta que pasa de 0 a 10 Km/h en el mismo tiempo. Justifica tu respuesta. 15. Describa la siguiente gráfica, de velocidad vs tiempo, y en cada uno de los intervalos de tiempo calcule la aceleración y diga a que clase de movimiento corresponde: Acelerado, Uniforme o Retardado. V(m/s) 300
240
180
120
60
0 0
15
30
45
60
75
90
105
120
135
150
t(s)
16. ¿Qué velocidad inicial debería tener un móvil cuya aceleración es 1,2 m/s 2 para alcanzar una velocidad de 90 Km/h a los 4 segundos de su partida? 17. Un tren va a una velocidad de 16 m/s; frena y se detiene en 12 segundos. Calcule su aceleración y la distancia recorrida al frenar. 18. ¿Qué velocidad inicial debería tener un móvil cuya aceleración es de 2 m/s 2, si se debe alcanzar una velocidad de 108 Km/h a los 5 segundos de su partida? 19. Un móvil parte del reposo con movimiento uniformemente acelerado y cuando ha recorrido 30 m tiene una velocidad de 6 m/s. Calcula su aceleración y el tiempo transcurrido. 20. Un automóvil con velocidad de 72 Km/h frena con una desaceleración constante. Se detiene a los 9 segundos. ¿Qué distancia recorrió? 21. Un automóvil parte del reposo y con una aceleración constante de 3 m/s 2 recorre 150 m. ¿En cuánto tiempo hizo el recorrido y con velocidad llego al final? 22. Un automóvil que se desplaza a 54 Km/h se detiene un segundo después de que el conductor aplica los frenos. ¿Cuál es el valor de la aceleración qué los frenos deben imprimir al vehículo? ¿Cuál es la distancia que recorre el vehículo en esta frenada? 23. La siguiente tabla indica en varios instantes, los valores de la velocidad de un automóvil que se mueve en una carretera plana y recta. Velocidad(Km/h )
1,5
3
4,5
6
7,5
9
Tiempo(h)
1
2
3
4
5
6
a. ¿Cuál es la variación de la velocidad en cada uno de los intervalos considerados? ¿Son iguales entre sí estas variaciones?
b. ¿Cómo clasificarías este movimiento?. ¿Cuál es el valor de la aceleración del automóvil? c. ¿Cuál era el valor de la velocidad inicial del automóvil en t = 0? 24. Un automóvil que va a velocidad constante de 20 m/s, pasa frente a un agente de tránsito que empieza a seguirlo en su motocicleta, pues en este lugar la velocidad máxima es de 18 m/s. El agente inicia su persecución 4 segundos después de que pasa el automóvil partiendo del reposo y continuando con aceleración constante, alcanza al automovilista a 3600 m del lugar donde partió. a. ¿Durante cuánto tiempo se movió el vehículo desde el instante en que paso frente al policía hasta que fue alcanzado? b. ¿Cuánto tiempo tardo el policía en su persecución? c. ¿Cuál fue la aceleración del motociclista? 25. Un cuerpo parte del reposo, tiene durante 4 segundos una aceleración de 0,8 m/s 2 sigue después durante 8 segundos con el movimiento adquirido y finalmente vuelve al reposo por la acción de una aceleración negativa de –0,4 m/s 2. Determina: a. El tiempo total del movimiento. b. Distancia total recorrida. c. Ilustra la situación y solución con una gráfica.
PREPAREMONOS PARA EL EXAMEN DE ESTADO Preguntas de selección múltiple con única respuesta. Tipo I. Realiza la respectiva justificación en una hoja examen, de por qué escogiste la respuesta y por qué los otros ítems no responden a la pregunta. RESPONDE LAS PREGUNTAS 1 Y 2 DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN La gráfica representa la velocidad como función del tiempo para dos carros que parten simultáneamente desde el mismo punto por una carretera recta.
1. El punto A representa el instante en que: A. el carro 1 alcanza al carro 2 B. la aceleración es igual para los dos carros C. la velocidad relativa entre los dos carros es cero D. los dos carros toman distinta dirección 2. Desde el momento que parten hasta el instante t 1, el carro 1 ha recorrido una distancia: A. igual a la del carro 2, porque t1 es el instante en que se encuentran B. mayor que la del carro 2, porque está moviéndose aceleradamente C. que no puede ser determinada, porque no se conocen las condiciones iniciales D. menor que la del carro 2, porque antes de t 1 la velocidad del carro 1 siempre es menor que la del 2 CONTESTA LAS PREGUNTAS 3 Y 4 DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN La gráfica muestra la posición de un cuerpo que se mueve en línea recta, en función del tiempo. En ella se tiene que x(t) = 2 + t 2, en donde las unidades están en el S.I.
3. Es correcto afirmar que el cuerpo A. se mueve con velocidad constante B. describe movimiento parabólico C. se mueve con aceleración constante D. aumenta linealmente su aceleración 4. El desplazamiento del cuerpo entre t = 3s y t = 6s vale A. 3 m B. 27 m C. 4 m D. 45 m
5. Camila arrastra su camión de juguete con una velocidad constante de 10 cm/s. En la carrocería del camión, una araña se desplaza hacia su parte trasera con velocidad 2 cm/s respecto al camión, como se ilustra en la figura. Si tu estás sentado en el piso observando esta situación, afirmas que la araña A. se desplaza hacia la derecha con velocidad 10 cm/s B. se desplaza hacia la izquierda con velocidad 2 cm/s C. no se desplaza D. se desplaza hacia la derecha con velocidad 8 cm/s
...Y ALGO PARA PRODUCIR SOY CAPAZ DE: Desarrollar la Capacidad para construir proyectos aplicables a la cinemática del movimiento rectilíneo.
Con 3 compañeros más realiza alguno de los siguientes proyectos:
Parque de diversiones con movimientos rectilíneos
Pistas de carros
La estación y el recorrido del tren
El funcionamiento del transmilenio en Bogotá
El funcionamiento de las vías en una ciudad
¿Cómo funciona el Metrocable en Medellín?
Explicación didáctica del lanzamiento vertical hacia arriba
Con dos compañeros más realiza el siguiente trabajo didáctico: Realiza por medio de juegos de mesa problemas sobre movimientos rectilíneos.
BIBLIOGRAFÍA
BIBLIOTECA DE CONSULTA. Encarta 2004
BAUTISTA BALLÉN, Mauricio. Física 10: Movimiento, Fuerzas, Energía, Fluídos y Termodinámica. Bogotá. Edit. Santillana S.A. 1995
FINN, Alonso. Física Vol. I: Mecánica. México. Edit. Fondo Educativo Interamericano, S.A. 1976
LÓPEZ TASCÓN, Carlos. Ciencia Explicada Física: Mecánica. Bogotá. Edit. Intermedio. 2004
QUIROGA CH., Jorge. Física Primera Parte. Medellín. Edit. Bedout. 1975
RAMÍREZ Sierra, Ricardo. Olimpiadas Física 10. Bogotá. Edit. Voluntad. 2000
VAUGHAN, Jenny. ¿Lo sabias? El mundo de la ciencia. Buenos Aires. Edit. Sigmar. 1993
ZITZEWITZ, Paul W. NEFF Robert F. Física 1 Segunda Edición. Bogotá. Edit. Mc Graw Hill. 1999
