UNIVERSIDAD AUSTRAL DE CHILE FACULTAD DE CIENCIAS DE LA INGENIER´IA ´ CENTRO DE DOCENCIA DE CIENCIAS B ASICAS PARA INGENIER´IA. BAIN041 ECUACIONES DIFERENCIALES PARA INGENIER´ IA 1 Pauta Prueba Recuperativa 23 de diciembre de 2013 ´ de los siguientes problemas UNO de Problema 1 Debe responder UNO Y S OLO
a) Dado el sistema masa-resorte en equilibrio, determine las ecuaciones del movimiento que se producen producen al desplazar ambas masas una distancia de 1 m hacia la derecha para luego soltarla. Se supone que no hay resistencia con el suelo y que m1 = 2 kg k g, k1 = k = k 2 = 2 N/m, N/m , m2 = 3 kg y k3 = 3 N/m. N/m .
Soluci´ on:
Definici´ on de variables:
• x(t) : Posici´ on de la masa m en el instante de tiempo t. • y(t) : Posici´ on de la masa m en el instante de tiempo t. 1
2
................................... .................................................... ............................... .............. 0, 2 puntos ............................................ Planteamiento del sistema diferencial:
Para la masa m1 , se tiene: m1 x = x =
−k x + k (y − x) −2x + y
m2 y = 3y =
−k (y − x) − k y −2(y 2(y − x) − 3y 2 5 x− y 3 3
1
2
Para la masa m2 , se tiene:
y
=
2
3
................................... .................................................... ............................... .............. 0, 6 puntos ............................................ Matricialme Matricialmente nte se tiene: X (t) = Resoluci´ on 1
PAA/SJC/AMR
2 2 3
−
1 5 3
−
X (t); X (0) (0) =
1 1
; X (0) =
0 0
;
Aplicando Transformada de Laplace se tiene:
s2 + 1 1 2 5 s2 + 3 3
−
−
{} L
L
x y
{}
{} {} {}
L
x y
{x} L{y }
L
=
=
s s
1
(s2 + 1) s2 +
=
5 s2 + 3 2 3
8 3
1
1
s2 + 1
s s
8 3 8 s s2 + 3 s s2 +
8 (s2 + 1) s2 + 3 s L x s2 + 1 = s L y s2 + 1 ................................. .................................................. ................................. ................ 0, 8 puntos ............................................ Aplicando la Transformada de Laplace inversa, se obtiene: L
{}
x(t) = (cos t) ................................. .................................................. ................................. ................ 0, 2 puntos ............................................ y (t) = (cos t) ................................. .................................................. ................................. ................ 0, 2 puntos ............................................ b) Determine las intensidades que circulan por el siguiente circuito, inicialmente descargado descargado (condiciones iniciales nulas)
donde E (t) = 10, 10, R = 1 Ω, L = 0.5 H y C = 0.5 F . F . Definici´ on on de variables:
ectrica en el tiempo t • I : Intensidad de la corriente el´ectrica • I : Intensidad de la corriente el´ectrica ectrica en el tiempo t 1 2
.................................................................. 0, 2 puntos ............................................ Planteamiento del sistema:
• Malla 1: ABMNA V C C + V R 1 + I 1 R q + c 1 I + + I 1 R c 2I + + I 1 2I 1 + 2I 2 I 2 + I 1
= E (t) = 10 = 0 = 0 = 0
• Malla 2: BJKMB V L + V R = E (t) LI 2 I 1 R = 0 I 2 2I 1 = 0
− −
• Malla 3: AJKNA V L + V C C = E (t) 1 LI 2 + q = 10 C I 2 2I 1 = 0
−
.................................................................. 0, 6 puntos ............................................ Consideraremos las dos primeras ecuaciones diferenciales, luego el sistema matricialmente est´ a dado por:
− I 1 I 2
2 2
=
−2 0
I 1 I 2
Resoluci´ on: on:
Aplicando la transformada de Laplace, se tiene:
s+2 2
−
−2 s
{I } L{I } L{I } L{I }
∧
I 2 (t) = 0
L
1 2 1 2
= =
0 0 0 0
.................................................................. 0, 8 puntos ............................................ Respuesta:
I 1 (t) = 0
.................................................................. 0, 4 puntos ............................................
Problema 2 Considere el siguiente PVI
8xy
− y = − y √ x1 + 1 , 3
y(x0 ) = y 0
i) Determine la o las regiones de existencia y unicidad de las soluciones. Soluci´ on:
1 − 8xy √ . Entonces x+1 Dom( Dom(f ) f ) = {(x, y) ∈ R : x = 0, y = 0 ∧ x > −1}
De la EDO se obtiene que, f ( f (x, y) =
y 8x
3
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.3 puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Por otra parte,
∂f 1 3 = + . Luego, ∂y 8x 8xy 4 x + 1
√
Dom
∂f ∂y
= (x, y)
{
2
∈ R
: x = 0, y = 0
∧ x > −1}
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.3 puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Por tanto, las regiones de existencia y unicidad son: R = (x, y) R2 : x > 0 y > 0 (x, y ) R2 : 1 < x < 0 y > 0 (x, y) R2 : 1 < x < 0 y < 0 (x, y ) R2 : x > 0 y < 0 = R = R 1 R2 R3 R4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.2 puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
{
{
∈ ∈ −
∧ ∧
}∪{ }∪{
∈ ∈
−
∧
∧
}∪ } ∪ ∪ ∪
ii) Resuelva esuelva el PVI para para y(3) = Soluci´ on:
−1. 8xy
−y
1
=
− √ 1 y √ − y = 8x 8xy x + 1 Corresponde a una EDO del tipo Bernoulli con n = −3. y3
x+1
3
d z = y4 / dx dz 3 = 4y y dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.2 puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
z
z
= 4y 3
z
=
z
=
− 21x z
=
y 8x y4 2x z 2x
1
− 8xy √ x + 1 − 2x√ 1x + 1 − 2x√ 1x + 1 − 2x√ 1x + 1 3
Que corresponde a una EDO de primer orden lineal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.2 puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aplicando el teorema de Leibinz, se tiene:
dx
1 z (x) = e e dx + C 2x x + 1 1 z (x) = e l n x e− l n xdx + C 2x x + 1 1 z (x) = x dx + C 2x x + 1 x dx z (x) = x + C 2 x x + 1 √ +1 x z (x) = x √ + C x 1
√ − √ − √ √ − √ √ − √ √ √ 2
dx x
1
x
2
1
1
2
2
3 2
y(x) =
1
√ x+1 x √ + C x
4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.4 puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Se busca la soluci´ on en R4 , y se tiene la restricci´ on que Si x = 3
2 3
√ x+1 √ + C > 0 x
⇒ C > √ − . Aplicando la condici´ on inicial, se tiene: √ √ (−1) = x √ + C 4
−1 = √ 3
C
3+1 3
Por tanto, y (x) =
√ √ √ x
x+1 x
1
− √ 1 3
4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.2 puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii) Si la condici´ on inicial es ( 1, 4) ¿existe 4) ¿existe una unica ´ soluci´ on? Justifique su respuesta.
−
Soluci´ on:
El punto ( 1, 4) R. R . Por tanto, no existe soluci´ on unica. ´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.2 puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−
Hint:
∈
dx
x
3 2
√ x + 1
√ = − √
2 x+1 + C x
Problema 3 Resuelva el siguiente problema de valores iniciales:
y + y = f = f ((t) = y (0) = 0 y(0) = y
donde f ( f (t) est´ a dada por el siguiente siguien te gr´afico afico
Soluci´ on:
Algebraicamente, la funci´ on esta dad por f ( f (t) = Luego, f ( f (t) = t + (2 f ( f (t) =
t
, 0 t < 1 2 t , 0 t < 1 0 , t 2
−
≤ ≤ ≥
2)µ(t − 2) − 2t)µ(t − 1) + (t(t − 2)µ t − 2(t 2(t − 1)µ 1)µ(t − 1) + (t (t − 2)µ 2)µ(t − 2)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.5 puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aplicando la Transformada de Laplace al PVI, se tiene y + y = f ( f (t)/L 1 e−s e−2s 2 s L y +L y = 2 2 2 + 2 s s s − − s 1 e e 2s 2 L y s +1 = 2 2 2 + 2 s s s −s 1 e e−2s L y = 2 2 2 2 2 + 2 2 s (s + 1) s (s + 1) s (s + 1)
{} {}
{}
− −
{}
−
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.5 puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Realizando Realizando descomposici´ descomposici´ on en fracciones parciales 1
A B C s + D + 2+ 2 s2 (s2 + 1) s s s +1 1 = As( As(s2 + 1) + B (s2 + 1) + s2 (s2 + 1) =
Por el m´etodo etodo de sustituci´ sustitu ci´ on se tiene s = 0 s = i s = 1 Entonces,
⇒ ⇒ ⇒ 1
1 = B 1 = Ci D 1 = 2A + 1
− −
∴ ∴ ∴
B = 1 D = 1 A = 0
− ∧ C = 0
A B C s + D 1 1 + 2+ 2 = 2 2 s (s + 1) s s s +1 s s +1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
=
2
−
Aplicando la transforma inversa de Laplace, se tiene: e−s e−2s L y = 2 2 2 2 2 + 2 2 /L−1 s (s + 1) s (s + 1) s (s + 1) 1 1 e−s 2e−s e−2s 2 + + y (t) = L−1 s2 s2 + 1 s2 s2 + 1 s2
{}
1
− −
−
−
e−2s s2 + 1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.5 puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Por tanto Y ( Y (t) = t
2(t − 1)µ 1)µ(t − 1) + 2 sin( sin(t − 1)µ 1)µ(t − 1) + (t (t − 2)µ 2)µ(t − 2) − sin(t sin(t − 2)µ 2)µ(t − 2) − sin t − 2(t
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.5 puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
