UNIVERSIDAD AUSTRAL DE CHILE FACULTAD DE CIENCIAS DE LA INGENIER´IA ´ CENTRO DE DOCENCIA DE CIENCIAS B ASICAS PARA INGENIER´IA. BAIN041 ECUACIONES DIFERENCIALES PARA INGENIER´ IA 1 Pauta Segunda Evaluaci´ on on 04 de agosto de 2014
1) Para 0 < 0 < x < π, 0 < y < π, π , encuentre la soluci´on on general impl´ıcita ıcita de la l a EDO E DO
cos x 2
Soluci´ on: on:
Identificando M (x, y ) = 2
+ ex dx −
sin y
sin x cos y (sin y )2
dy = dy = 0
cos x sen x cos y + ex y N ( N (x, y) = − , encontramos que: sen y (sen y)2
∂ M ( M (x, y) = ∂y ∂ cos x 2 + ex = ∂y sen y cos x cos y = −2 (sen y)2
∂ N ( N (x, y) ∂x ∂ sen x cos y − ∂x (sen y )2 cos x cos y − (sen y)2
Por lo tanto, la ecuaci´ on diferencial es no exacta. on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0. 0.2 pun puntos tos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . En este caso: M y − N x = N
−2
cos x cos y cos x cos y + cos x (sen y)2 (sin y)2 = sin x cos y sen x − (sen y )2
depende s´olo olo de x. Luego el factor integrante esta dado por: µ(x) = e
cos x sen x
dx
= e lnsen x = sen x
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0. 0.2 pun puntos tos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Despu´es es de multipli mul tiplicar car la ecuaci´ ecuacion o´n diferencial por µ por µ((x) = sen x, la ecuaci´ on on resultante es
cos x sen x 2
1
PAA/SJC/AMR
sen y
x
+ e sen x dx −
2
sen x cos y (sen y)2
dy = dy = 0
que si es exacta, dado que: ∂ ∂y
cos x sen x
+ ex sen x sen y cos x sen x cos y −2 (sen y )2
2
sen2 x cos y − (sen y)2 cos x sen x cos y = −2 (sen y)2 ∂ = ∂x
Por tanto, existe una funci´on on F ( F (x, y) para la cual ∂F cos x sen x =2 + ex sen x, ∂x sen y
∂F sen2 x cos y = − ∂y (sen y )2
Al integrar la segunda de estas ecuaciones, se obtiene 2
F ( F (x, y) = − sen x F ( F (x, y) = sen2 x
cos y dy + dy + ϕ(x) (sen y)2
1 + ϕ(x) sen y
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0. 0.2 pun puntos tos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tomando la derivada parcial de la ultima u ´ltima expresi´ on on con respecto a x a x e igualando a M (x, y), se tiene 2
cos x sen x sen x cos x + ex sen x = 2 + ϕ (x) sen y sen y ϕ (x) = ex sen x
Integrando ϕ(x) =
1 ex sen xdx + C = ex (sen x − cos x) + C 2
Por tanto F ( F (x, y) = sen2 x
1 1 + ex (sen x − cos x) + C sen y 2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0. 0.2 pun puntos tos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . As´ As´ı, la soluci sol uci´ on o´n de la ecuaci´on on en e n la l a forma fo rma impl´ıcita ıcita es sen2 x
1 1 + ex (sen x − cos x) + C = 0, C ∈ R sen y 2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0. 0.2 pun puntos tos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2) Resuelv Resuelva a el siguiente siguiente PVI
x + 2x2x + 2x2x = U (t − 1)e 1)e
t
−
+ δ (t − 1)
x(0) = x = x (0) = 0
Soluci´ on: on:
Aplicando la Transformada de Laplace se tiene s2 L{x} + 2s 2sL{x} + 2L{x} =
1 L{U (t − 1)e 1)e e
(t−1) } +
−
s
−
e
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0. 0.5 pun puntos tos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 ·e e
(s2 + 2s 2s + 2)L{x} =
L{x} = e
s
−
1 + e s s+1 1 1 + 2 2 e(s + 1)(s 1)(s + 2s 2s + 2) s + 2s 2s + 2 s
−
−
·
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0. 0.5 pun puntos tos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . por otra parte, (s +
1 A Bs + C = + 2 + 2s 2s + 2) s + 1 s + 2s 2s + 2 2 1 = A(s + 2s 2s + 2) + (s (s + 1)(s 1)(s2 + 2s 2s + 2)
1)(s 1)(s2
Luego el valor de las constantes son: A = 1, B 1, B = − 1 y C = − 1. Por tanto, s
−
e
L{x} =
e
1 s+1 e + − s + 1 (s + 1)2 + 1 (s + 1)2 + 1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0. 0.5 pun puntos tos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aplicando la Transformada inversa de Laplace, se tiene:
X (t) = e
t
−
t
−
−e
cos(t cos(t − 1) + e
(t−1)
−
sin(t sin(t − 1) U (t − 1)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0. 0.5 pun puntos tos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3) Resuelv Resuelvaa el siguiente sistema de ecuaciones ecuaciones diferenciales diferenciales
x zy
t
−
= x + y − z + e = 6y − 4z = 9y − 6z
Soluci´ on: on:
El sistema matricialmente esta dado por:
1 X = 0
1 −1 6 −4 0 9 −6
t
e X + + 0 . −
0
Primero resolvemos el sistema homog´eneo eneo asociado
1 X = 0
1 −1 6 −4 0 9 −6
X.
La ecuaci´ on on caracter´ caracter´ıstica de la matriz de coeficientes es:
1 − λ det(A det(A − λI ) = 0 0
1 −1 6−λ −4 −6 − λ 9
= λ (1 − λ) = 0. 2
Luego, los valores propios son: λ1 = λ = λ 2 = 0 y λ3 = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0. 0.3 pun puntos tos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Para λ Para λ 1 = λ = λ 2 = 0, se tiene:
1 0
k 0 k = 0 .
1 −1 6 −4 0 9 −6
De donde se tiene que, k1 =
1 2
k3
0
1 2 k3 , k 2 = k3 . Por tanto, el primer vector est´a dado por: 3 3
1 K = 2 . 1
3
2 1 1 2 Resolviendo el sistema (A (A − λ 1 I )P = K 1 , se tiene que, p1 = + p3 , p2 = + p3 . Por tanto, el 3 3 3 3 segundo vector est´a dado por: 1 P = 1 . 1
Para λ Para λ 3 = 1, se tiene:
0 0
k 0 k = 0 .
1 −1 5 −4 0 9 −7
1 2
k3
0
De donde se tiene que, k2 = k = k 3 = 0. Por tanto, el vector buscado es:
1 K = 0 . 3
0
La soluci´ on on homog´ hom og´enea ene a es:
1 1 1 1 X = C 2 + C 2 t + 1 + C 0 e ; C , C , C ∈ 1
h
2
t
3
1
2
3
R
3 3 1 0 ........................................................ 1.0 ptos............................................................... Aplicando el m´etodo etodo de coeficientes indeterminados, se tiene:
A X = B e p
t
−
A X = − B e
⇒
C
t
−
p
C
Reemplazando en el sistema no homog´eneo eneo se tiene:
A 1 − B e = 0 C
1 −1 6 −4
t
−
0 9 −6
El sistema de ecuaciones obtenido es:
A 1 B e + 0 e C 0 t
−
t
−
.
−A = A + B − C + 1 −B = 6B − 4C −C = 9B − 6C Luego, A Luego, A = −1/2, B 2, B = C = C = 0. Por tanto, la soluci´ on on particular, est´ a dada por:
−1/2 X = 0 e p
t
−
0
...................................................... 0.5 ptos............................................................... La soluci´ on general del sistema es: on
1 1 1 1 −1/2 X (t) = C 2 + C 2 t + 1 + C 0 e + 0 e 1
2
3
t
3
3
1
0
t
−
; C 1 , C 2 , C 3 ∈
0
.......................................................... 0.2 ptos...............................................................
R
