UNIVERSIDAD AUSTRAL DE CHILE FACULTAD DE CIENCIAS DE LA INGENIER´IA ´ CENTRO DE DOCENCIA DE CIENCIAS B ASICAS PARA INGENIER´IA. BAIN041 ECUACIONES DIFERENCIALES PARA INGENIER´ IA 1 Pauta Prueba Recuperativa - Sustitutiva 14 de julio de 2014
Problema Problema 1 Considere
el siguiente PVI
dy y x , y(x0 ) = y 0 − y = y ln dx x a) Determine Determine la o las regiones regiones de existencia existencia y unicidad unicidad de las soluciones. soluciones. a dado por: Soluci´ on: El problema est´ y y y y = + ln x x x Luego, y y y y f ( f (x, y ) = + ln ; > 0 x x x x y Se sabe que: > 0 ⇔ (x (x > 0 ∧ y > 0) ∨ (x < 0 ∧ y < 0) x y Dom( Dom(f ) f ) = (x, y) ∈ R2 : > 0 x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.3 puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
La regi´ on de existencia de soluciones es: R = R = R 1 ∪ R2
∀(x0 , y0 ) ∈
2
R
∂f 2 1 y = + ln ∂y x x x
Luego,
∂f y Dom = (x, y) ∈ R2 : > 0 ∂y x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.3 puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Luego las regiones son: Forma 1:
Forma 2:
R = (x, y) ∈
2
R
: x > 0 ∧ y > 0 ∪ (x, y) ∈
R
2
: x < 0 ∧ y < 0
Las regi´ on de unicidad de las soluciones coincide con las de existencia. Por tanto, existe una unica ´ curva soluci´ solucion ´ para las regiones: R = R = R 1 ∪ R2 ,
∀(x0 , y0 ) ∈
R
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.2 puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
PAA/SJC/AMR
b) Resuelv Resuelva a el PVI para para y(1) = 2. 2. Soluci´ on:
f ( f (αx, αx, αy) αy) =
αy αy αy + ln = f = f ((x, y) αx αx αx
la EDO es homog´ hom og´ enea enea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.3 puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ∴
dy du Haciendo el cambio de variables y y = ux = ux,, entonces = u + x . Reemplazando en la EDO original, dx dx se tiene: y y y y = + ln x x x du ux ux ux u+x = + ln dx x x x du u+x = u + u ln(u ln(u) dx du dx = u ln u x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.3 puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Entonces, u(x) = e Cx La soluci´ on general es:
y(x) = xe Cx ;
C ∈ R
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.2 puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aplicando la condici´ on inicial y(1) = 2 se 2 se tiene que C = = ln ln 2 Por tanto, la soluci´ on es: y (x) = x2 x 2x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.2 puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c) Si la condici condici´ on ´ inicial es (−1, 0) ¿existe 0) ¿existe una unica ´ soluci´ on? Justifique su respuesta. Soluci´ on:
El punto (−1, 0) ∈ / R 1 , R2 . Por tanto, no se garantiza existencia de soluci´ on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.2 puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Problema Problema 2 Resuelva
el siguiente problema de valores iniciales: y + 3y 3y + 2y 2y = f = f ((t), donde f ( f (t) =
y (0) = 0
y(0) = 0, 0,
0 si 0 ≤ t < π/2 π/2 sin t si t ≥ π/ π /2
sin(α + β ) = sin(α sin(α) cos( cos(β β ) + cos(α cos(α)sin(β )sin(β ) Ayuda: sin(α Soluci´ on: La funci´ on por partes f ( f (t) escrita en su forma compacta es: π 2
f ( f (t) = sin t · µ t −
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.5 puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pues,
π π π π π π π sin t − + = sin t − cos + cos t − sin = cos t − 2 2 2 2 2 2 2 Aplicando transformada de Laplace al PVI, se tiene:
L {y } + 3L {y } + 2L {y }
s2 Y ( Y (s) + 3sY 3sY ((s) + 2Y 2 Y ((s)
=
=
Y ( Y (s)(s )(s2 + 3s 3 s + 2) = Y ( Y (s)(s )(s + 1)(s 1)(s + 2) = Y ( Y (s) =
L {cos
t−
π π µ t− } 2 2
π s s e 2 · 2 s +1 π s − s e 2 · 2 s +1 π s − s e 2 · 2 s +1 π s − s e 2 · (s + 1)(s 1)(s + 2)(s 2)(s2 + 1) −
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.5 puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Haciendo descomposici´ on en suma de fracciones parciales, a la expresi´ on: s A B C s + D = + + (s + 1)(s 1)(s + 2)(s 2)(s2 + 1) s+1 s+2 s2 + 1 2 1 3 −1 Se obtiene que: A = , B = , C = y D = . 2 5 10 10 Luego, s 1 2 s 3 = − + + + 2 2 2 (s + 1)(s 1)(s + 2)(s 2)(s + 1) 2(s 2(s + 1) 5(s 5(s + 2) 10(s 10(s + 1) 10(s 10(s + 1) Entonces,
π s Y ( Y (s) = e 2 · −
−1 2 s 3 + + + 2 2 2(s 2(s + 1) 5(s 5(s + 2) 10(s 10(s + 1) 10(s 10(s + 1)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.5 puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aplicando transformada inversa, a la expresi´ on anterior, se logr´ a que:
π
−1 − y(t) = e 2
t−
π
2 −2 2 + e 5
t−
1 π 3 π 2 + cos t − + sin t − 10 2 10 2
µ t−
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.5 puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
π 2
Problema Problema 3 Debe
´ responder UNO Y S OLO de los siguientes problemas. UNO de
a) Se tienen tres tres tanques A, A , B y C , C , cada uno de ellos contiene inicialmente 100 gal 100 gal de agua pura. Desde el exterior ingresa al tanque A A salmuera a una tasa de 5 gal/min 5 gal/min con con una concentraci´ on de 2 lb/gal. lb/gal . El agua se bombea del tanque A al tanque B a una tasa de 2 gal/min y del tanque A al tanque C pasan 3 gal/min. gal/min. Del tanque C se C se bombean 3 gal/min de agua al tanque B . Del tanque B sale al exterior la salmuera a una tasa de 5 gal/min. gal/min.
i) Determine la concentraci´ concentraci´ on de sal en el instante de tiempo t en cada tanque. Soluci´ on: Definici´ on de variables:
• x : Cantidad de sal en el tanque A en el instante de tiempo t. • y : Cantidad de sal en el tanque B en el instante de tiempo t. C en el instante de tiempo t. • z : Cantidad de sal en el tanque C en .................................. ................................................... ........................ ....... 0,3 ptos................................. ptos.................................................. .............................. ............. Planteamiento de Ecuaciones Diferenciales:
5x 100 2x 5y 3z y = + − 100 100 100 3x 3z z = − 100 100 ................................... .................................................... ....................... ...... 0,5 ptos.................................. ptos................................................... ............................. ............ x = 10 −
As´ı,
x y z
=
5 − 100
0
0
2 100
5 − 100
3 100
3 100
3 0 − 100
Resoluci´ on del sistema:
x y z
+
10 0 0
• Soluci´ on homog´ ho mog´ enea: en ea: Determinaci´ on de los valores propios: det( det(A − λI )
= 0
5 − 100 −λ
0
0
2 100
5 − 100 − λ
3 100
3 100
0
3 − 100 − λ
2
5 + λ 100
3 + λ = 0 100
= 0
5 3 Luego, los valores propios son: λ1 = λ 2 = − 100 y λ3 = − 100
Determinaci´ on de los vectores propios: 3 Para λ3 = − 100
2 − 100
0
0
2 100 3 100
2 − 100
3 100
0
0
x1 y1 z1
0 0 0
=
De donde se tiene que, x1 = 0, 2y1 = 3z 3 z1 . Por tanto, el primer vector est´ a dado por: 0
K 1 =
3 2
1
5 Para λ1 = − 100 de multiplicidad 2
0
0 0
2 100 3 100
0 3 100 2 100
0
x2 y2 z2
0 0 0
=
De donde se tiene que, 2x2 + 3z 3 z2 = 0 y 3x2 + 2z 2 z2 = 0 . Por tanto,el vector buscado es: K 2 =
0 1 0
Resolviendo el sistema (A − λ1 I )K 3 = K = K 2 , se tiene que K 3 = La soluci´ on homog´ ho mog´enea en ea es: e s:
−40 0 60
.
X h = C 1 X 1 (t) + C 2 X 2 (t) + C 3 X 3 (t)
0
X h = C = C 1
3 2
−
e
3
t 100
+C 2
1
0 1 0
−
e
5
t 100
+C 3
−40 0 60
0 1 0
+
t e−
5 100
t
; C 1 , C 2 , C 3 ∈
.................................. ................................................... ...................... ..... 0,4 ptos................................ ptos................................................. ............................... ..............
• Soluci´ on particular: Aplicando el m´ etodo etodo de coeficientes coeficientes indeterminados, se tiene: X p (t) =
A B C
⇒
X p (t) =
reemplazando en el sistema general se tiene:
0 0 0
=
5 − 100
0
0
2 100 3 100
5 − 100
3 100 3 − 100
0
El sistema de ecuaciones obtenido es:
A B C
5 A = −10 100 2 5 3 A− B + C = 0 100 100 100 3 3 A− C = 0 100 100
−
0 0 0
+
10 0 0
R
Luego, A = B = B = C = C = = 200. 200. Por tanto, la soluci´ on particular, est´ a dada por: X p (t) =
200 200 200
.................................. ................................................... ........................ ....... 0,4 ptos................................. ptos.................................................. .............................. .............
• Soluci´ on general: X (t) = X h (t) + X p (t)
0
X (t) = C 1
3 2
1
−
e
3
t 100
+C 2
0 1 0
e
−
5
t 100
+C 3
−40 0 60
+
0 1 0
−
t e
5
t 100
+
200 200 200
; C 1 , C 2 , C 3 ∈
.................................. ................................................... ........................ ....... 0,2 ptos.................................. ptos................................................... ............................. ............ ii) ¿Cu´ al es la concentraci´ on de sal en un instante de tiempo t muy prolongado? Soluci´ on:
(t) La concentraci´ on de sal en cada tanque est´ a dado por, C (t) = X , haciendo t → ∞ se obtiene V (t) lo pedido, es decir: X (t) 1 l´ım C (t) = l´ım ım = X p (t) x→∞ x→∞ V ( V (t) 100
Por tanto, cada tanque tiene 2 lb/min. lb/min. .................................. ................................................... ........................ ....... 0,2 ptos.................................. ptos................................................... ............................. ............
R
b) Consider Consideree una casa que consta de tres zonas, A (subterraneo), B (sala principal) y C C (habitaci´ on principal). La zona B es calentada con un calefactor que genera 80000 btu/hora 80000 btu/hora,, siendo la capacidad ◦ calor´ calor´ıfica de esta zona (1/ (1/4) F /1000 btu. btu. Las constantes de transferencia de calor son: 4 horas entre la zona A y el exterior, 4 horas entre la zona B y el exterior, 4 horas entre la zona C y el exterior, 2 horas entre la zona A y B , y 2 horas entre la zona B y la zona C . Si la temperatura en el exterior de la casa permanece constante a 35 ◦F mientras F mientras que la temperatura del subsuelo se ◦ mantiene constante a 45 F . F .
i) Determine Determine la ecuaci´ ecuaci´ on de temperatura en el instante de tiempo t en cada zona. Soluci´ on: Definici´ on de variables:
• x: Cantidad de temperatura en la zona A en el instante de tiempo t. • y: Cantidad de temperatura en la zona B en el instante de tiempo t. • z : Cantidad de temperatura en la zona C en C en el instante de tiempo t. ................................... .................................................... ....................... ...... 0,3 ptos.................................. ptos................................................... ............................. ............ Planteamiento Planteamiento del sistema
x =
1 1 (45 − x) + (y − x) 4 2
y =
1 1 1 (35 − y ) + (x − y) + (z − y) + 20 4 2 2
z =
1 1 (35 − z ) + (y − z) 4 2
................................... .................................................... ....................... ...... 0,5 ptos.................................. ptos................................................... ............................. ............ As´ı, 3 1 45 x = − x + y + 4 2 4 y =
1 5 1 115 x − y + z + 2 4 2 4
z =
1 3 35 y − z + 2 4 4
El sistema matricialmente esta dado por:
X (t) =
x y z
=
3 − 4 1 2
1 2 5 − 4 1 0 2
0
x y z
1 2 3 − 4
Luego, se debe determinar los valores propios,
det
3 1 − −λ 0 4 2 1 5 1 − −λ − 2 4 2 1 3 0 − − − λ 2 4
Los valores propios son:
+
3 − − λ 4
=
7 λ2 + 2λ 2λ + 16
3 1 7 λ1 = − ; λ2 = − ; λ3 = − ; 4 4 4 Los vectores propios asociados para: 3 • λ1 = − 4 1 0 0 2 µ1 0 1 1 1 µ2 = 0 − 2 2 2 µ3 0 1 0 0 2 µ2 = 0 ⇒ µ 1 = −µ3
− → ∴ µ1 = • λ2 = −
• λ3 = −
1 4
1 − 2 1 2
1 2
0
1 0 −1
=
→ = µ1 = µ 2 = µ = µ 3 ⇒ − µ 2
1 1 1
7 4
µ1 µ2 µ3
1 −1 2 1 1 − 0 2 2
1 1 2 0
1 2 1 2 1 2
0 1 2 1
0 0 0
µ1 µ2 µ3
=
0 0 0
1 µ2 = −2µ1 ∧ µ3 = − µ2 = µ = µ 1 2
− → ∴ µ3 =
1 −2 1
45 4 115 4 35 4
La soluci´ on homog´enea enea esta dado por: X h (t) = C 1
1 0 −1
−
e
3
t 4
+ C 2
1 1 1
−
e
1
t 4
+ C 3
1 −2 1
7
e− t ; C 1 , C 2 , C 3 ∈ 4
R
................................... .................................................... ....................... ...... 0,4 ptos.................................. ptos................................................... ............................. ............ La soluci´ on particular est´ a dado por: X p (t) =
A B C
−
⇒ X p (t) =
X p (t) =
A B C
=
0 0 0
1 0 2 A 5 1 B − 4 2 C 1 3 0 − 2 4 Entonces, la soluci´ on particular est´ a dada por:
3 4 1 2
1325 21 505 7 1255 21
45 4 115 4 35 4
=
63 72 60
≈
................................... .................................................... ....................... ...... 0,4 ptos.................................. ptos................................................... ............................. ............ La soluci´ on general es: X (t) = X h (t) + X p (t) 1325 21 1 1 1 505 X (t) = C 1 0 e− t + C 2 1 e− t + C 3 ; C 1 , C 2 , C 3 ∈ R −2 e− t + 7 1 1 −1 1255 21 ................................... .................................................... ....................... ...... 0,2 ptos.................................. ptos................................................... ............................. ............
3 4
1 4
7 4
ii) ¿A qu´ e temperatura temperatura se mantiene la habitaci´ on principal y el subterraneo? Justifique adecuadamente su respuesta. Soluci´ on:
l´ım x(t) = 63◦ F
t→∞
l´ım y(t) = 72◦ F
t→∞
l´ım z (t) = 60◦ F
t→∞
La habitaci´ on principal se mantiene a una temperatura aproximada de 60◦ F , F , mientras que el ◦ subterraneo se mantiene a una temperatura aproximada de 63 de 63 F .................................. ................................................... ........................ ....... 0,2 ptos.................................. ptos.................................................... ............................. ...........
