Li Lic. R R.. W W ild er P AC H EC ECO M . P A P AC
P
O C
r o
f :
E H P A C
- 1
A P T I T T I C A A PT TU U D M D M AT AT E M E M ÁT
P
E
f : P A C H
r o
O C
Rómulo Wilder PACHECO MODESTO Ediciones G & L Gustavo PACHECO HUAYANAY Repaso CEPREVAL © CEPREVAL Ciclo C 2015 Primera edición: enero de 2015
- 2
Li R.. W W ild er P A C H EC Lic. R P AC ECO M .
1.
Si ABCD es un paralelogramo de área igual a
En la figura mostrada, calcula el área de la región sombreada. 2.
80 cm 2
y F, G y E son puntos medios. Calcula el área de la región sombreada. F A B
4
E
4
2
D
C
G B) 44 cm 2
A) 46 cm 2
B) 8 u 2
A) 16 u 2
2
C) 4 u 2
D) 18 u 2
E) 10 u 2
C) 40 cm 2 E) 34 cm 2
D) 36 cm 2
Trasladando áreas Recuerda P
A total 2
A total 8
O C
r o
f :
E H P A C
A total 20
Analizando partes
E
6u 2 4u 2
Del gráfico
= 42
→
A SOMB
= 16 u 2
B
C
A total 8
3.
ABCD es un trapecio, donde: S1 = 12 m 2 y
S 2 = 18 m 2 . Calcula S 3 .
A total 20 A
2
S
D
Donde
4
2
A SOMB
F
A
4
AFCE
80 2
A
B
=S+6 =S+6 →
S
= 34 cm 2 D
C - 3
A P T I T T I C A A PT TU U D M D M AT AT E M E M ÁT
A) 15 m 2 D) 25 m
B) 18 m 2
2
C) 20 m 2 E) 30 m
2
Recuerda
Observamos que los 2 triángulos tienen la misma altura, entonces sus áreas serán proporcionales a sus bases a h 2a
A total 2
Luego
A total 2
A
Piden
A SOMB A TRAPECIO
S
=
3S
=
1 3
B
Halla el perímetro del polígono ABCDEFG. Los cuadrados ABCH y DEFG son iguales de lado 4 cm; además: CG = 7 cm. 5.
D
C A total S ... (1) + = K 3 2 S1 + K + S 2 = A total ...(2) 2 P r
Del gráfico
O C
H E o f : P A C
Igualando (1) y (2) K
B
+ S 3 = S1 + K + S 2 S 3 = 12 + 18 →
A) 28 cm D) 26 cm
C D
E
H
A
F
G
B) 24 cm
C) 32 cm E) 25 cm
S 3 = 30 m 2 B
¿En qué relación están el área de la región sombreada y el área del trapecio? a
4 3
4
4.
C D
4
A Por Pitágoras →
Del gráfico
5
- 4
4
H 3 4
F
Perímetro del = AB + BC + CD + DE + EF + FG + GA polígono = 4 + 4 + 3 + 4 + 4 + 4 + 5 = 28 cm
2a B) 1/4
E
1
G
A) 1/2 D) 1/6
4
C) 1/3 E) 1/8
Li R.. W W ild er P A C H EC Lic. R P AC ECO M .
Calcula el área de la región sombreada en el cuadrado ABCD mostrado. 6.
a2 (3 3 + π) A) 5
π a 2 a 2 3 π a 2 + ∴ A SOMB = 2 − 4 6 12
=
a2 ( 3 − π) B) 4
a
A
πa2
−
3
a2 3 2
πa2
+
12
a2 = (5π − 6 3 ) 12
B
a2 (π − 2 3 ) C) 12
D)
a2 (2π − 3 ) 4
C
D
a2 (5π − 6 3 ) E) 12
El rectángulo ABCD de 30 cm 2 de área, está formado por 5 rectángulos congruentes. ¿Cuál es el perímetro del rectángulo? 7.
A
A) 12 cm B) 22 cm C) 14 cm D) 26 cm E) 40 cm
B
B
C
A
D
a Como los rectángulos son congruentes, se tiene 30° 30° 30°
D Del gráfico
P
A SOMB
C
r o
= 2 X + Y
f :
B
O C
E H P A C
2k
x
a 60°
= A
S
S
5k 3k
Analizando por partes tenemos
•
C
S
A 2k
S
S
2k
2k
D
6k
− A a
π ( a 2 )(60°) a 2 3 = − 360° 4 = •
πa
2
6
= A
Y
−
a
2
4
A
ABCD
= 30
6k(5k) = 30
k = 1 →
AB = 5 AD = 6
30° a
π ( a 2 )(30°) = 360° =
3
Por dato
Perímetro del ∴ = 2(5) + 2(6) = 22 cm rectángulo ABCD
πa2 12 - 5
A P T I T T I C A A PT TU U D M D M AT AT E M E M ÁT
Calcula el área de la siguiente región sombreada. 8.
Del gráfico
∴
A SOMB
−
= 2 A
4 cm
B) 12 cm 2
D) 6 cm 2
C) 16 cm 2 E) 4 cm 2
=
M
− A
− A L
π L 2 3
−
L 2 3 4
−
π L 2 8
L2 = (5π − 6 3 ) 24
Trasladando áreas se tiene B
L 60°
A
π( L 2)(60°) L 2 3 π( L / 2)2 − = 2 − 360° 4 2
4 cm A) 8 cm 2
= A
C 10.
4
Halla el área de la región sombreada. 8 cm
A
N
D
8 cm
Del gráfico A SOMB
=
A
ABCD
2
O C
4 2 P r 2 H E = = 8 cm o f : P A C 2 A) 32 cm 2
B) 20 cm 2
E) 28 cm 2
D) 36 cm 2 Calcula el área de la región sombreada, si el lado del cuadrado ABCD es “L”. 9.
A) B) C) D) E)
- 6
L2 (5π − 3 3 ) 12 L2 (π − 6 3 ) 24 L2 (π − 5 3 ) 10 L2 (5π − 6 3 ) 24 L2 (π − 3 3 ) 12
Trasladando áreas B
A
C) 30 cm 2
B
8 cm
C 8 cm
A
D
Del gráfico D
C
A SOMB
=
A
ABCD
2
82 = = 32 cm 2 2
Li R.. W W ild er P A C H EC Lic. R P AC ECO M .
Calcula el área de la región sombreada en el paralelogramo ABCD como se indica en la figura, 11.
si el área del triángulo ABP es 30 m 2 .
A)
N
A
12.
B
M
B) C)
P
D) D
C
Q
A) 12 m 2
B) 18 m 2
E)
C) 20 m 2
D) 22 m 2
Calcula el área de la región sombreada. R2 (π − 3 ) 4 R2 (2π − 3 ) 2 R2 (2π − 3 ) 4 R2 (2π − 3 3 ) 2 R2 (π − 3) 2
R
E) 27 m 2 120°
A
N 6S
2S
S
M
S
2S
2S
E
N
A
2S
120°
S S
R
B 60°
2S
M
2S
60°
2S
P
2S P
Del gráfico O C
r o
D
f :
C
Q
Por dato
S
=
A
ABCD
4 ABCD
= 30
A SOMB
− A a
πR2 6
−
3
R2 3 4
R2 (2π − 3 3 ) = 12
= 120
48 S = 120
a 60°
= A
=
A
∴
E H • P A C
π ( R 2 )(60°) R 2 = − 360° 4
Se deduce que A ABCD = 48S
A ∆ ABP
60°
→
5 = 8S = 8 = 20 m 2 2
S
=
5 2
R 2 ∴ A SOMB = 6 S = 6 (2π − 3 12
3 )
R2 (2π − 3 3 ) = 2
- 7
A P T I T T I C A A PT TU U D M D M AT AT E M E M ÁT
En la figura se muestra el hexágono regular de 10 cm de lado. Calcula el área de la región sombreada. 13.
A) 3,40 cm 2
C) 3,44 cm 2
B) 2,96 cm 2
D) 3,56 cm 2
E) 3,14 cm 2
A) 50 3 cm2 B
B) 100 3 cm2
C
C) 80 3 cm2
2 2
4
D) 120 3 cm2
2 2
E) 90 3 cm2 A 2
BD = 4 2 + 4 2 → BD = 4 2
Del gráfico
→
A Hexágono
=
3 3 2 L 2
∴
A SOMB
L
D
4
= A
− 2 A
π (2 2 )2 2 = 4 − 2 = 16 − 4 π
S S
S
4
S
12,56
S S
10 P
Del gráfico
6S
∴
A SOMB
=
3 3 (10)2 2
= 150 3 →
= 4 S = 4(25
15. S
= 3,44 cm 2
f : P A C H
r o
A Hexágono
O C E
= 25 3
3 ) = 100 3 cm 2
¿Cuánto mide el área de la región
sombreada, si el lado del cuadrado mide 2 3 ? A
B
D
C
Halla el área aproximado de la región sombreada. 14.
4 cm
A) 4 + π + 3
B) 6 + 2π + 3
C) 12 + 4 π − 12 3 4 cm - 8
D) π − 3 + 1
E) 6 + 2π + 3
Li R.. W W ild er P A C H EC Lic. R P AC ECO M .
Calcula el área de la región sombreada, en función de “L”. 16.
Sabemos que a
a2 → X = (π − 2) 2
X
L
Además de la pregunta N° 6, se tiene la siguiente fórmula Z
a
Donde
→
Y
Y
+ Z = X
Y
=
a2 12
→
Z
L A)
π L 2
D)
π L 2
(5π − 6 3 )
B)
8
π L 2 4
16
C)
π L 2
E)
π L 2
12
6
= X - y Trasladando áreas
Luego, del gráfico
B
A
B
C L/2 L
2 3
A SOMB
= Y − Z = Y − ( X − Y ) = 2 Y − X
a 2 = 2 (5π − 6 12
A
C
D
P
a 2 3 ) − (π − 2) 2
a2 = (6 + 2π − 6 3 ) 6
Como a = 2 3 (2 3 ) 2 ∴ A SOMB = (6 + 2π − 6 3 ) 6
= 12 + 4 π − 12 3
2 2 O C∴ A SOMB = A Semicírculo = π (L / 2) = π L E
f : P A C H
r o
D 2
17.
Calcula el área de la región sombreada.
a2 (6 3 − 2π) A) 6
B)
8
a2 4
a
(4 3 − 3π)
a2 (9 3 − 4 π) C) 6
D)
a2 (9 3 − 2π) 3
a2 (9 3 − 2π) E) 2 - 9
A P T I T T I C A A PT TU U D M D M AT AT E M E M ÁT
19.
Halla el área de la región sombreada si: R r
AB = 8 m ; AD = 12 m ;
a 120°
=
3 2
C
B r
r R
120°
A A) (96 − 9π) m 2
Del gráfico A SOMB
− 2 A
= A a
=
3a 2 3 2
120° a
D) (96 − 15π) m 2
2πa2 3
= =
a2 (9 3 − 4 π) 6
−
B) (96 − 11π) m 2
C) (96 − 13π) m 2
π(a 2 )(120°) − 2 360°
3a 2 3 2
D
R r
Por dato
=
E) (96 − 17π) m 2
3 2
R = 3k r = 2k
→
C
B r
2k 18.
El perímetro de la región sombreada será: R
R
P
r o
f :
5k
k 5 – 8
8 O C E
R
6–2k
H P A C
3k
A
D 6 12
R
En el A) 2πR D) 6πR
B) 2,5πR
C) 5πR E) 3πR
por Pitágoras (8 − 5k)2
+ (6 − 2k)2 = (5k)2 r=2 R=3
k = 1 →
Del gráfico
Del gráfico
Perímetro de la =3 R región sombreada
- 10 -
A SOMB
= A
− A
R
− 2 A
= 3(2π R)
= 12 (8) − π (3 2 ) − 2 [π ( 2 2 )]
= 6π R
= 96 − 13π m 2
r
Li R.. W W ild er P A C H EC Lic. R P AC ECO M .
En la siguiente figura se muestran los cuadrados A, B y C. Perímetro de A + Perímetro de B Halla: Perímetro de C 2 0.
Recuerda Suma de áreas parciales = Área total
1 C
1 X
1
B
A
1/2 Y
A) 1/2 D) 1
B) 1/4
C) 3/4 E) 1/8
1 Del gráfico
c c a a
A
b B b
+ X + Y = A
+ A
1(1) 1(1 / 2) 1 2 3 2 + = +1 S+ 2 2 4 3 3 = +1 S+ 4 4
c
C
S
b
S
=
3 1 + 4 4
S
=
3 + 1 2 u 4
a Del gráfico c = a + b , entonces
O C
E Perímetro de A + Perímetro de B P 4a + 4 b = r o f : P = A 1 C H Perímetro de C 4(a + b)
Halla el área sombreada, si ABCD es un cuadrado de lado 10 m. 22.
2 1.
Calcula el área de la región sombreada, en:
A
B
D
C
1u 1u 1u 1u 1u 3 − 1 2 u A) 4 3 2 u D) 2
B)
3 +1 2 3 2 u C) u 4 4
A) 50 m2 D) 20 m 2
B) 40 m 2
C) 34 m 2 E) 15 m 2
E) 1 u 2 - 11 -
A P T I T T I C A A PT TU U D M D M AT AT E M E M ÁT
Del gráfico A
A
B S
3S
3S
= 60
20 S
= 60
→
S
=3
S
4S
∴
3S
S
3S
S
D
A SOMB
= 4 S = 4 ( 3 ) = 12 m 2
C 24.
Del gráfico A
ABCD
Halla el área sombreada, si el área del
paralelogramo ABCD es 120 u 2 .
2 ABCD = 10
B 20 S
∴
A SOMB
= 100
→
S
C
=5
= 4 S = 4 ( 5 ) = 20 m 2 A
Calcula la suma de las regiones sombreadas, sabiendo que el área del cuadrado ABCD es 2 3.
D
A) 10 u 2
B) 15 u2
C) 18 u2 E) 20 u 2
D) 12 u2
60 m 2 .
B
A
O Del gráfico se deduce que G es el baricentro del C P Etriángulo DBC r o H C f : P A A B 3S
D
C
A) 15 m 2
B) 12 m 2
3S 2S
C) 10 m 2
D) 8 m 2
S
2S
G S
D
E) 6 m 2
C
Del gráfico A
S
3S
12 S
= 120
→
3S
S
∴
4S 3S
- 12 -
= 120
B
A
D
ABCD
S S
3S C
A SOMB
= 2 S = 2(10 ) = 20 u 2
S
= 10
Li R.. W W ild er P A C H EC Lic. R P AC ECO M .
2 5.
Sabiendo que el área del paralelogramo
ABCD es 160 m 2 , calcula el área de la región sombreada. A
A total 20
A A total 4
B
D D
A total 4
C
A) 8 m 2
B) 12 m 2
D) 20 m2
B
Por dato
C) 16 m 2
A total
C
= 80 m 2
E) 32 m2
se repite
∴
A SOMB
=
80 4
+
80 4
−
80 20
= 36 m 2
Realizando trazos auxiliares, se observa A
B 27.
A total 20
D
∴
Si el área total del paralelogramo ABCD es
“ a 2 ”, calcula el área de la región sombreada. A
C
A SOMB
=
A total
20
=
160 20
B
O C
2 = 8 m P r
o f :
E H P A C
D 2 6.
Dado el siguiente paralelogramo de área igual
A)
a 80 m 2 , calcula el área de la región sombreada. D) A
B
C
5a 2
B)
48
3a 2 19
a2
C) E)
24
7a 2 24 2a 2 19
Recuerda D A) 40 m2 D) 24 m 2
C B) 38 m2
C) 36 m2 E) 20 m2
A total 4
A total 16
A total 12
- 13 -
A P T I T T I C A A PT TU U D M D M AT AT E M E M ÁT
Analizando partes
En la figura M, N y P son puntos medios de los lados del paralelogramo ABCD cuya área es 29.
A
B
480 cm2 . Calcula el área de la región sombreada.
S
D
M
A C
A total 16
P
A total 12
Del gráfico
D S
S
= =
A total
4
a2 4
−
a2
−
16
A total
16
−
a2 12
−
12 S
=
A) 46 cm2
5a 2
C
N
A total
→
B
B) 45 cm2
C) 44 cm2
D) 40 cm2
48
E) 48 cm2
Recuerda ¿Qué relación hay entre el área sombreada y el área del cuadrado? 2 8.
B
A) 3/5 B) 1/6 C) 5/12 D) 3/4 E) 1/2
C
P
f : P A C H
A
B
D
E F
Del gráfico se deduce que G es el baricentro del triángulo ADC B
C
D
S
2S
A
∴
A SOMB A CUADRADO
- 14 -
G
=
5S 5 = 12 S 12
S
D
36
A total 8
C
A total 20
Donde
2S
S
24
3S 3S
A total 20
O C Analizando partes E
r o
A
A total 8
A total 6
A
ECF
= S + 36
480 6
= S + 36 →
S
= 44 cm 2
