Capítulo
REAS DE REGIONES SOMBREADAS
20 Ejemp lo N º 1
Si A B C D es un cuadrad cuadrado o de 4 m de d e lado y "O " es centro, centro, entonces entonces el área área de la regi regi ón som sombreada breada es: 4m C C B B R Resolución Res olución :
Po r traslado Por traslado de regiones sombreadas
O
4m
R O
S
S
A
A D D A sí tenemo tenemos s que el área de la región sombreada om breada es un triángulo, que es i gual a la cuarta parte pa rte del cuadrad cuadrado. o. S
somb
4
2 2 4 4m
4
Ejemp lo N º 2
Si A BC D es un cuadrado cuadrado de 6m de lado y además "M " es punto punto medio, m edio, calcular alcular el el área área de la regió región n somb sombre reada. ada. C
B
A
D
M
Resolución: No olvidar:
B
B
S
S
S A
BM : M ed ediana iana rel relat ativa iva a AC
S
A
C
M
S S G
G : B aric aricen entr tro o de A BC S
S
C
Á re rea a Ssomb = Área A B C
Áre Ár ea ABM = Áre Área a BC M
6
D el ejemplo tenemos: tenemos:
C
B 3S S
3S S A
S M
S
S
somb
12
6
2
12
3m
2
S S
D
1
E Ejempl jemplo o Nº 3
A B C es un triángul triángulo o de 24 m 2 de área. C alcular alcular el área de la regió región n sombreada. om breada. B
2b
N
P b A
3a
C
a
M
Resolución: No olvidar
D el ejemplo tenemos: tenemos: B
Q
2S
N
4S
4a S
Q
T
TR
S
A
a
3a
R
P Q T
4
S
total
S
E Ejempl jemplo o Nº 4
b 2S a
M
C
8S 24m 2
somb
2
3m 2
Luego:
Sabi Sab i endo que AB A B C D es un rect rectángulo, ángulo, calcular calcular el área de la región sombreada. B
S
S total 10 6 30m 2 somb 2 2
C
6m A
D
10 m
Re Resolución: sol ución:
Ejemp lo N º 5
Sabiendo que el lado lado del cuadr cuadrado ado A BC D mi de 4 m y que M y N son puntos medi os, os, calcular alcular el área área de d e la regió regió n sombreada. B
B
M
P
C
P
S
R R
S
Área Áre a
total
S
=
N
A
b h
2( S R P M )
somb
6m D
10 m
S
M
C
M
2
P
S S BC M A BM 2S 3
S 3m
A
S
3S
S P
2b
SR P M
D
Re Resolución: so lución:
Ejemp lo N º 7 2m
2m M
B
C
R
S
2m
4m
C alcular alcular el el área de la la regió regió n sombreada, sombreada, si A BC D es un cuadrado de 10 m de lado, lado, y además M , N , P y R son son puntos puntos medios.
N
D
4m
M
S = Triángulo Triángulo rec rectángu tángulo lo (c ( cuarta uarta parte del del cuadr cuadrado ado A BC D ) R = Sector Sector circular circular (cuarta (cuarta parte de un círcul círculo) o)
S
somb
S
= r2
2(
C
2m
S A
N
B
)
4
P
A
Re Resolución: so lución:
4 2 22 2 = 4 2 2 = 16 8 = 8
D
R
S
4
S S
S S
Ejemp lo N º 6
S
C alcular alcular el el área de la la regió región n som sombreada, breada, si si A BC D es un cuadrado de 8 m de lado.
S S
C
B
A l hacer hacer traslado traslado de regi regi ones, ones, la fi gura cuadrada cuadrada de 10 2 100 m 2 de área se transforma en una cruz griega,
dividida esta en 5 cuadritos congruentes. A
D
S somb
S total 5
100 m 2 20 m 2 5
Re Resolución: so lución: 8
B
C
O b s . 1 : C uando se i ntersecta ecta una di agonal y una una medi m ediana ana
el triángulo más pequeño que se forma es 60°
S
8
S
8 30°
60°
S = Sector Sector circul circular ar (doce (d oceava ava parte del círculo) írculo) . T = Triángulo Triángulo equilát equiláter ero. o. equilátero
L
2
A
D
3
4
2S
Ssomb=
C
D
8
S
B
30°° 30
T
60°
A
8
8
1 del total. 12
O b s . 2 : C uando se intersec intersecta ta dos medianas, medi anas, el triángulo
más pequeño que se forma es un
1 del total. 20
B
C
A
D
2 8 2 8 3 2 8 4 12 2
64 16 3 32 3 2 16 4 3 3
3
E Ejempl jemplo o Nº 8
Re Resolución: so lución:
Sabiendo que A BC D es un cuadr cuadrado ado de 4 m de lado y "O " es centro del cuadrado. C alcular alcular el área área de la región som sombreada. breada.
C
B
C
B
R 4R R
O A
2
2
D
Por Pitágoras: A
D
4R
16 R
R 4m
D
4m
2R 4 2
8R R 2 4 12 = 8R 3R 2
3 9 S somb 4 2 E Ejempl jemplo o Nº 10 10
R 2 2
= 2
2
C alcular alcular el área área de la regi regi ón som sombreada, breada, si el di ámetro ám etro de la circunf ircunfer eren enc cia m ide 40 m y PD = 24 m. ( "O " : centro entro del círcul círculo) o)
D el gráfico: gráfico:
S sombra= 2
2
2
R A
2
(4 R) R 2
2
C
B
2
R
Re Resolución: sol ución:
C
2
A
2 4 2 ( 2 2) 2
O
32 8
8( 4 ) m
B
P
2
D
Re Resolución: so lución:
E Ejempl jemplo o Nº 9
C alcular alcular el el área de la región región som sombreada, breada, si si A BC D es un cuadrado uadrad o de 4 m de d e lado y además "O " es centro. centro.
C
C
B
A O A
37° 20 37° 53°° 53 15 O 20
5
20
P D
B
24
53°° 53 D
S somb b h 5 20 50m 2 2 2
4
E J ER ER C I C I O S P R O P U E S TO TO S 01.
Si A BC D es un cuadra uadrado do de 6 m de lado, lado, ent entonc onces es el área de la parte sombreada mide: B
05. C alcula alcularr el áre área a de la región región sombreada sombreada,, si el lado del cuadrad uadrado o A BC D mide 12 m.
C
B
C
D
A
D
O A
a) 8 m 2 d) 18 m 2 02.
b) 12 m 2 e) 20 m 2
c) 10 m 2
C alcul alcular ar el área área de la reg región ión sombre sombreada, ada, si si A BC D es un cuadrado de "a" m de lado. B
03.
d) 32 m 2
e) 48 m 2
c) 42 m 2
El lado lado del del cua cuadr drado ado AB C D mide "a" metro metros s, calc alcular ular el área de la región sombreada. B
C
A
D
D
2
a 2 m 4 2 a 2 c) m 2
3a 2 m 4 2 5a 2 d) m 8
a)
e)
b) 30 m 2
C
A
2
06.
a) 36 m 2
3a 2 m 2 5 2 a m2 c) 2 a2 m2 e) 6
b)
2a 2 2 m 5
Sabiendo Sabiendo que el lado lado del del cuad cuadrad rado o mi de 20 20 m, calcul alcular ar el área de la región sombreada. B
a2 m 2 4 a2 m 2 d) 3
a)
C
b)
07. C alcula alcularr el área área de la la parte parte sombreada sombreada,, si el lado lado del cuadrado es 20 m. B
C
A
D
O A
04.
a) 180 m 2
c) 200 m2
d) 320 m 2
e) 240 m 2
D
c) 100 m2
Si el lado lado del del cuad cuadrad rado o A BC D mide 6 metros metros, entonc entonces es el área de la región sombreada medirá: B
A
a) 12 m 2
b) 16 m 2
d) 9 m 2
e) 20 m 2
C
08. 08.
a) 40 m 2
b) 30 m 2
d) 25 m 2
e) 20 m 2
c) 36 m 2
Si el el lado ado del del cu cuadr adrado ado mide 20 m , entonces el área de la región sombreada será: B
C
A
D
D
c) 21 m 2 a) 3 m 2
b) 5 m 2
d) 10 m 2
e) 6 m 2
c) 8 m 2
5
09.
Si A BC D es un cuadrad uadrado o de 4 m de lado, lado, ent entonc once es el área de la parte sombreada es: B
C
13. Si el áre área a de la región región sombreada sombreada mide A , entonc entonces es el área área del cuadrado AB C D medirá: medi rá: (" O " es centro entro del cuadrado). B
C O
A
D
a) m 2 c)
b)
m2 3
A
m2 2
d) 2 m 2 3
e) 4 m 2 9 10.
El área del rectángulo ABCD ABCD es 48 m2 y "O " es centro del cí cí rculo. rculo. H allar el área del cuadri cuadrilátero látero sombreado. om breado. B
a)
3A 2
b) 2A
d)
8A 3
e)
D
c)
5A 8
8A 5
14. 14. El cuadr cuadrado ado AB C D fue dividi do en en 9 cuadr cuadraditos aditos congruentes ongruentes.. C alcular alcular el área de la regi regi ón som sombreada, breada, si el lado del cuadrado mide 6m. B
C
A
D
C
O D
A
a) 10 m 2
b) 12 m 2
d) 24 m 2
e) 30 m 2
c) 15 m 2
11. Si el lado lado del del cuad cuadrad rado o A BC D mide 4 m, calc calcul ular ar el el área de la región sombreada. B
a) 20 m 2
b) 24 m 2
d) 28 m 2
e) 26 m 2
c) 18 m 2
15. 15. Sabiendo Sabiendo que que el el áre área a del del re rectángu tángulo lo AB C D mi de 120 m 2, entonces el área de la región sombreada será:
C
B
C
A
D
O
A
D
2
a) ( 1) m
2
c) ( 2 1) m 2
b) ( 3) m
2
d) ( 2) m
2
a) 40 m d) 50 m 2
e) ( 4) m 2
B
2
11b 24
b)
3b 7
e)
13b 24
2
6
D
2
d)
B
C
A
D
C
A
b 2
c) 75 m 2
16. 16. Si A BC D es un cuadr uadrad ado o de 60 cm de lado, entonces el área de la región sombreada es :
12. En la figura, figura, hallar hallar el el área área de la región región sombreada sombreada si A BC D es un cuadra cuadrado do de lado "b".
a)
b) 45 m 2 e) 60 m 2
2
c) 2
11b 18
a) 4 cm 2
b) 3 cm 2
d) 5 cm 2
e) 2 cm 2
c) 6 cm 2
17. Si la diagonal diagonal del del cuad cuadrad rado o A BC D mide 8 m, enton entonc ces el área de la región sombreada es:
21. C alcula alcularr el el área área de la reg región ión sombreada sombreada.. Lado del cuadrado : 2m
B
B
C
R A
C
O
O
A
D
a) 8 4 m
2
b) 4 4 m
2 c) 16 1 m
2
b) 2( 4 ) d) 4( 2 )
a) 2( 2) c) 6( 3 ) e) 2( 2 )
d) 6 3 m 2
e) 16 2 m 2 18. Sabiendo Sabiendo que ABC D es un cuad cuadrad rado o y "O " es centr entro o de dicho cuadrado, calcular el área de la región sombreada.
D
22. Sabiendo que que P y Q son puntos puntos medios de los los lados del cuadrante A O B. El área de la regió región n asignada asignada con con S es 16 m 2. E l área de las regiones regio nes som breadas bread as en el interior del cuadrante es: A
B
C
S
2m O
P 6m
A
a) 9 m
2
d) 8 m
2
2m
2
b) 8,5 m e) 7,5 m 2
D
c) 9,5 m
2
O
Q
a) 15 m 2
b) 32 m 2
c) 16 m 2
d) 18 m 2
B
e) 12 m 2
19. Si A BC D es un cuadrado uadrado de 12m 12m de lado, entonc entonces es el área de la parte sombreada será: B
23. H allar allar el área área de la región región sombreada:
C 2 2
A
a) 18 d) 48
b) 6 e) 24
D
c) 12
2 a) 2 3 u 3
20. Si A BC D es un cuadr cuadrado ado de 4 m de lado, lado, entonc entonces es el área de la región sombreada es: B
C
D
a) 4( 3)
b) 4 3
c) 2( 2)
d) 2( 4)
e) 4( 2)
3 u2 2
d) 2 3 u2 2
e) 2 3 u 2 2
O
A
c)
b) 3 u2
24. ¿Q ué parte parte del área área total total está sombreada? ombreada? ( A BC D es un paralelogramo) B C
A
D
7
1 4 1 d) 8
2 5 1 e) 3
a)
b)
c)
1 6
2
A
a) 2
m2
2m 2m 2m
2m 2m 2m
b) 2,5
c) 3,5 m 2
C
m2
26. 26. Si el cuadr cuadrado ado A BC D tiene tiene long longitude itudes s en metros metros,, entonces el área de la región sombreada es:
a) 2
m2
2m
2m
2m 2m
2m 2m
b) 2,5
c) 3,5 m 2
7a 24
a 12
e)
7a 12
2
c)
a 8
2
29. ¿Q ué part parte e del del área área del cuadrado uadrado A BC D está está sombreada?
1 2 1 d) 4 a)
e) 4 m 2
A
d)
2
b)
B
C
A
D
D
d) 3 m 2
B
a 20 2
25. 25. Si el cuadr cuadrado ado A BC D tiene tiene long longitude itudes s en metros metros,, entonces el área de la región sombreada es: B
a)
C
2 5 3 e) 4
b)
c)
3 5
30. Si A BC D es un cuadrado uadrado de 4 m de lado, calcul alcular ar el área de la región sombreada. B
C
A
D
D
m2 a) 12 5
d) 3 m 2
e) 4 m 2 27. En la figura, figura, hallar hallar el el área área de la reg región ión sombreada. sombreada. Si: S A BC S A C D 100 m 2
b) 16 9
c) 12 25 9 25 e) 16 9
d) 14 7
31. ¿Q ué fracc fracción ió n del del área área total total es está sombreada? C
a
D
3a
M A
B
a) 100 m 2
b) 40 m 2
c) 70 m 2
d) 80 m 2
e) 50 m 2 28. A BC D es un cuadrado uadrado de "a" cm de lado, lado, calcula alcularr el área de la región sombreada. B
1 10 3 d) 5 a)
C
7 20 8 e) 21
b)
c)
32. L as ci rcunfe rcunferen renc ci as que se se muestran muestran a continuación continuación tienen tienen el mi smo radio ( r = 4 m). C alcul alcular ar el el área área de la regió región n som sombre breada. ada. ( R , S y T son puntos de tangenc tangencia ia)) . r
r
S
R
T r
A
8
D
5 20
c) 8 3 e) 2 4 3 a) 8 2 3
42 3
36. C alcular alcular el área área de la regió regió n sombreada, sombreada, si si es un cuadrado.
b) 8 3 2 d)
2 5
33. Si el lado lado del cuad cuadrad rado o A BC D mide "a"m etros etros, enton entonc ces el área de la región sombreada será : B
C
A
a)
a2 2 m 6
D
b)
2
b) 40 m 2
d) 64 m 2
e) 50 m 2
c) 36 m2
37. E n la la fifi gu gur a D A y C B son tangentes a la semicirc emi circunfere unferenc ncii a de centro centro "O ".
a2 2 m 8
Si: Si : D A 4 m y C B 1 m , calcular el área de la región sombreada.
2
c) a m 2 12
a) 20 m 2
d) a m 2 15
D
2
e) a m 2 10
E C
34. C alcula alcularr el área área del del círc círcul ulo o sombre sombreado. ado.
A R
R A
B
O 4m
a)
9 m 2 25
d)
16 16 m 2 64 64 m 2 e) 25 125
b)
4m
9 m 2 16
c)
B
O
a) 2( 5 3) m 2
b) 2( 4 ) m 2
c) 2( 5) m 2
d) 2( 4) m 2
e) 2( 5 ) m 2
16 m 2 9
38. H allar allar el el área área de la la región región sombreada, si si A BC D es un cuadrado de lado a 2 m B
C
A
D
35. H allar la suma suma de las áreas de los dos cuadrados sombreados. Si: Si : A B 6 cm C
2
a) A
B
N
D
d) 16
cm 2
b) 9 cm 2 e) 13
cm 2
c) a 2 2m 2
P
a) 6 cm 2
a 2 m2 2
c) 4 cm2
2
e) a 2 6
2
b) a 2 m 2 4 d)
a2 2 m 2 8
39. C alcula alcularr el el área área de la la región región sombreada, si si A BC D esun rectángulo rectángulo.. ( "O " es centro del rect rectángulo) ángulo).. B
8
C
O P 2 A
6
M
2
D
9
a) 11 m 2 d) 6
b) 8 m 2
m2
e) 10
c) 12 m 2
m2
40. C alcul alcular ar el el área área de la la región región sombreada, sombreada, si si A BC D es un cuadrado cuyo lado mide 12 m. B
a) 8 3 3
b) 8 3 3 3
c) 16 3 3
d) 16 2 3 3
e) 16 4 3 3
C
44. 44. A BC D es un parale paralelog logramo ramo.. El área área de la re región
A
sombreada es 12 m2. H allar allar el el área área del del triáng triángulo ulo AB M . Si : B N = 3N M
D
B
c) 35 8 3 e) 3 4 3 a) 3 5 6 3
b) 2 5 2 3 d) 3 5 3
N
A
41. C alcul alcular ar el el área área de la reg región ión sombrea sombreada. da. 4 6
C
D
M
a) 40 m 2
b) 16 m 2
d) 36 m 2
e) 28 m 2
c) 24 m 2
45. H allar allar el el área área del del paral paralel elog ogramo ramo A BC D , si la difere diferenc ncia ia de las áreas de las 2 regiones sombreadas es "k".
16
B
a) 464 13
b) 328
c) 256 43
d) 264 20
C
A
D
e) 4( 72 13) 42.
Sabiendo Sabiendo que que P es punt punto o medio del del arc arco A B , hallar el área de la regió regió n sombreada. om breada. ( A B : diámetro) P
A
a) 4k d) 7k
b) 5k e) 8k
c) 6k
2 46. 46. Si A BC D es un par paral ale elog logramo ramo de "A " cm de área. C alcular alcular el área de la parte p arte som sombreada breada en centím centím etros. etros.
B 8m
a) m 2 d) 2 m 43.
b) 3 m 2 2
c) 2 m 2 3
e) m 2 2
A 30 A e) 36
b)
c)
A 24
En la figu figura ra,, " O " es centr entro o del cuadrant uadrante e y O B es diámetro di ámetro de la circun circunfer ferenc encia. ia. Si : O B 8 m , hallar el área de la región sombreada.
A
60°° 60 O 10
A 12 A d) 10 a)
B
47. Sab Sabien iendo que: BE = 3ED; CF = 3FE y AD = 3DF; y 2
además el área de la región sombreada mide 4m . C alcular alcular el el área área del triángulo triángulo AB ABC .
a) 3 3 m 2
B
E
F
D A
b) 200 m 2
d) 86 m 2
e) 148 m 2
3 m2 2
e)
3m
d)
2
c) 100 m 2
N
2a
B a
Q
C a
2a 2a
2 a) 26 m
2 b) 9 m
d) 13 m 2
e) 25 m 2 13
a) 140 m
2
b) 90 m
2
d) 100 m
2
e) 120 m 2
c) 180 m 2
52. H allar allar el el área área de la la región región sombreada, si si A BC D es un cuadrado de lado 2 cm.
a a D
2a
P
M
48. Sabiendo Sabiendo que A BC D esun cuad cuadrad rado o de 13 13 m de lado. lado. C alcular alcular el área área de la región som sombreada. breada.
A
3 3 m2 2
51. C alcula alcularr el áre área a de la región región sombreada sombreada,, si el lado del cuadrado mid m ide e 30 m y además M , N y P son son puntos medios.
C
a) 80 m 2
c)
b) 2 3 m 2
B
C
A
D
2 c) 11 m
2
49. Seg Según la figur figura: a: S S 16m , calcular : "r" 1 2 a) cm 2 2 d) cm 2 4
B r
S1 A
a) 8 m d) 4 m
c)
2 cm 2 3
53. H allar el área área de la la reg región sombreada, sombreada, si si el lado del del cuadrado uadrado A BC D es 4 m.
C
O
b2m e) 6 m
S2
cm 2 3 e) cm 2 6
b)
B
C
A
D
c) 16 m
50. H allar allar el área área del del triángu triángulo lo equiláte equilátero ro sombre sombreado. ado.
64 64 9 64 64 d) 25
Si: Si : BP 8 m .
a)
B
2 25 25 25 e) 64
b)
c)
25 25 9
M N A
P
C
11
54. Sabiendo Sabiendo que que A BC D es un rec rectáng tángul ulo o RS//BC RS//BC , T S//A S//A C , calcule
S1 S2
L 8
d)
L 12
siendo S y S 2 las áreas de las regiones 1
sombreadas. B
C S1
R
S S2
A
a) 1 : 1 d) 2 : 3 55.
2
a)
D
T
b) 1 : 2 e) 1 : 3
2
b)
L 2
e)
L 4
2
2
2
58. En la figur figura a mostr mostrada, ada, P, Q , R y T son puntos puntos medios, medios, además:
S1 S 2 S 2 S 4 12m
c) 3 : 4
Q S1
S3 P
área de la parte sombreada es:
S
S2
R
B a
S4
b
a
T b
a
a) 10 m 2 d) 24 m 2
b b
a c
c
2
c
c
b) 16 m 2 e) 15 m 2
c) 12 m 2
59. H allar allar el el área área de la la región región sombreada. C
20 m
b) 130 m 2 2 d) 128 m
a) 144 m c) 164 m 2 e) 156 m 2
40 m
56. C alcular alcular el área de la reg regió ión n sombre om breada, ada, si el ancho ancho del rectángu rectángulo lo A B C D mi de 12 cm y M A D es un sec sector tor circular cuyo ángulo central mide 60º. M
B
C
12
30 m
30 m
a) 300 m 2
b) 600 m 2
c) 400 m 2
d) 240 m
D
60. C alcula alcularr el área área de la la regió regió n sombreada, sombreada, si si el área área (ABC D) = 42 cm 2 y G , G
a) 48( 3 )
b) 32( 3 )
c) 32( 2 3 )
d) 24( 3 )
1
2
son baricentr baricentros os ( A BC D
es paralelogramo).
B
C G1
57. Si A BC D es un cuadr cuadrado ado y L es su lado, lado, entonc entonces es el área de la región sombreada será :
B
A
12
2
e) 200 m 2
A
e) 16 2 3
2
H allar: allar: "S"
Si el área del triáng triángulo ABC ABC mide 224 m2, entonces el
A
L 6
c)
C
D
G2 A
D
a) 40 cm 2 3
b) 20 cm 2 3
c) 10 cm 2
d) 20 cm 2
e) 7 cm 2
ves Cla ave 0 1.
d
31.
b
0 2.
c
32.
a
0 3.
b
33.
c
0 4.
c
34.
c
0 5.
b
35.
b
0 6.
e
36.
b
0 7.
b
37.
e
0 8.
a
38.
a
0 9.
b
39.
a
1 0.
b
40.
a
1 1.
d
41.
e
1 2.
d
42.
a
1 3.
d
43.
e
1 4.
a
44.
b
1 5.
b
45.
c
1 6.
e
46.
a
1 7.
e
47.
e
1 8.
b
48.
d
1 9.
b
49.
a
2 0.
e
50.
e
2 1.
a
51.
b
2 2.
c
52.
d
2 3.
d
53.
d
2 4.
a
54.
b
2 5.
d
55.
d
2 6.
b
56.
e
2 7.
e
57.
c
2 8.
d
58.
c
2 9.
d
59.
a
3 0.
e
60.
e
13
