POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES

POOT E  E N   N    C  CI  I  I A  C I IÓ Ó N  Y  Y  RR ADI I C  C A  C I IÓ   N  D DE 

 N   N Ú  Ú M Ú   M   E RO S   S RR A  AC I I  IO   N  A  ALE  S   S 

Ejemplo:

POTENCIACIÓN

3

La potenciación con exponente natural es la operación que asocia cada par ordenado de la forma (a ; n)  Q x N, un número racional an = b, donde (a ; n)  (0 ; 0)

2.3 6 6    3  2  3   3    3            6 9   9     9      9   

 Potencia de un producto n

Potenciación: Q x N  Q

2

n

2

2

2 2 2 .4  2  4   2    4   .     .   2 2 3 .5  3 5    3    5  

a a  a    Q, b  0     n b b  b 

n

 Potencia de un cociente

Ejemplos:

n

 a      b 

3

2 2 2 8  2  *     x  x  3 3 3 27  3 

 2  2  2  2 16   2    x  x  x   3 3 3 3 81   3  

m

DE

LA

n

 a   a   a    :      b   b   b 

 Producto de potencias de igual

base:

n

  a     a     a     .       b     b     b  

  3      4  

 Potencia de la potencia n

m .n    a   m    a           b      b   

2

  3    3    3    :      2     2     2  

5 2

  3      2  

mn

 Potencia de exponente 1 1

Ejemplo: 2 3

m n

Ejemplo: 5

3

n

base

* 

  3    3    3    .      4     4     4  

b

 Cociente de potencias de igual

4

n

n

3

3

PROPIEDADES POTENCIACIÓN

a

 33  27   3  Ejemplo:    3  4 64   4  

 3  3  3  27   3   *   x  x   5 5 5 5 125    

58

n

Ejemplo:

Simbólicamente:

2

n

 a c    a    c    .     .   b d    b   d  

5

 a      b  1

 3   4 

Ejemplo:   

a b

3 4

 Potencia de exponente cero (0) 0

 a    1  b 

3

0

 2  Ejemplo:    1  3 

PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN Producto de raíces de igual índice

 Potencia de exponente negativo.

 a     b   3   4 

2

n

 b     a 

n

n

a b

 4  16    9  3 

Ejemplo:  2 3 32 3  x

RADICACIÓN RACIONALES

DE

5

NÚMEROS

La Radicación: Es la operación que

25



27

3 3

8



2 3

27

, porque

a n



b

c d 

n

a b



d 

Ejemplos:

*

3

 27 1000

a b

125



4 5

a



m .n.

3

1



a b

3.2

64

1



1

6

64

64



1 2

81

4

16







  a       b  

n

m

2

Exponente fraccionario n

3

m

a

 am / n

Ejemplo: 3

4

m

2   9   9   81 3   4 4     4  Ejemplo:   625 5  25    25  

3

 2     3 

12  /  3

 2     3 

6

4

 2  16    81  3 

729  3 (3)  3

6 / 3

= 32 = 9

2

3

 27

3

1000



3 10

Simplificación de radicales Se realiza descomponiendo el radicando en sus factores primos, agrupando los factores iguales según el índice de la raíz y aplicando las propiedades. Ejemplo:

59

 64

3

5.25

  a   n      b  

12

16

(2).32

c

raíz radicando

signo radical

n

  c       d  

índice



3

Raíz de una potencia

Simbólicamente:

*

b .d 

b

3

81

a .c

n

d 

n n

Ejemplo:

8  2     27  3 

4



Raíz de una raíz

asocia al par ordenado (b;n)  Q x N*, un número racional n b = a (si existe), llamado raíz enésima de b. Ejemplo: 3

c

n

2

Ejemplo:  

8

 x

a) Simp Simplilifi fica carr : Resolución: 144 2 72 2 36 2 18 2 9 3 3 3 1

144

a) Ef Efec ectu tuar ar:: P =

Hallando el valor que encierra cada paréntesis.

2

2

2

 1 1 1  1.4  1.3  1.2 5      12 12  3 4 6    1   1   7  5  35  3   3          2   2   2  2  4

2

2

= 2 . 2 . 3 =2.2.3 = 12

2

Reemplazando los valores

  5    .35 5  12  3

P= b)

1    .35 6    1   1   3   3     2   2 

Resolución :

2 .2 .3

144 =

3  1 1 .  5  3 4

35

63

18 0 90 45 15 5 1

2 2 3 3 5

   6 b) Ef Efec ectu tuar ar Q =     

3 .7 2

  6 =     

2

3 . 7



2

2 .3 . 5 = =

2

2

2 . 3 . 5 3 . 2 .3

7 5

7 2 5

OPERACIONES COMBINADAS EN Q. Primero se resuelven las raíces y potencias, luego los productos y cocientes, y por último las sumas y las restas. Ejemplo:

1

=

2

=



4

Resolución: 63 3 21 3 7 7 1

180

. 35 . 4

4

35

180

63

1

.

2

.4=2 2

1

.

2 1

1

.

4



    =    

1 8

1 2

1  

2

2

1        64    2   12 = 1 1  1      2  2  

2

1  1  3 .   5  32   9.( 2) 2 .( 2) 1 2     c) 2 2 10 . 81   1     .9  10   1  9.4.     2  = 2

1

100  18 = 9

.9

100

=

60

1800 9

= -200

3. Resuelv Resuelve e las ope operacio raciones nes aplicand aplicando o propiedades de potenciación: a) 4

2

3

  1    1    1    1   1                  2    2    2    2   2 

5

1. Efectúa las las siguientes siguientes potenciaciones: potenciaciones: 2

 1  a)   =  4  3

  8  b)   =   4  

5

0 12 2 2      2 1              b)           3     4   

2

3

 5  c)   =  2  4

  3  d)    =   2 

 2  1  2 5 1  c) 3 .  .  32     2  

3

  1  e)  2  =   3 

2. Efectúa las siguiente siguientess radicaciones: radicaciones: 25

a)

b)

3

c)

3

61

8



27

d)

e)

=

4

3

5

3

3 8

4 9

=

6

 1 20  0   1 3  2              d)           4     2   

4. Efectúa Efectúa las operacio operaciones nes aplicand aplicando o las propiedades de potenciación y radicación: 5

   12  2   a) -  5    =   5        

=

=

27 1000

=

0

   b) -   4   

7 9

     

2

  



2

=

b) 18

c)

3 5

15

d)

4 3

3

 8   7    .  =  7   8 

9

 6   6    .  =  5   5  7. Richard divide en partes iguales un

terreno de 410 m 2, como se muestra en la figura, entre sus tres hijos a) ¿Cuál es el ancho y largo de cada terreno? b) ¿Cuál es el perímetro y el área del terreno de cada uno de los hijos?

5. Red Reduce uce los radicale radicaless semejantes semejantes:: a) 2 5  3 5  9 5 =

b) 14 3  7 12  3 3 

c)

90

 10  160 =

d) 2  x  5 x =

6. Hall Halla a el área área sombr sombreada eada:: a)

62

8.

La suma de los cubos de dos fracciones es 35/216. Si una equivale a ½ ¿Cuál es la otra?

  3 10      b)         5   1. Efectúa las siguientes siguientes potenciaci potenciaciones: ones: 3

 1  a)   =  3 

5

  

1

0

  1                 5  

7

2

2

  

2

2   

 2  1  2  2 3  c) 4 .  .   =   2   4   0 3 2  15      1     1    d)           5     3   

  3  b)    =   8 



0

3

 2  c)   =  5 

4. Efectúa Efectúa las operacio operaciones nes aplicand aplicando o las propiedades de radicación:

4

  2  d)    =   5 

a)

2

  3  e)  2  =   5 

2. Efe Efectúa ctúa los siguien siguientes tes radicales: radicales: 16

a)

9

3

b)

27

8 125

3

c)

3

27 125

3

216 64

=

36

3

  1       6  

3

 4    =  9 

=

=

6

c) b)

1

.

=

1 =

d)

1

1  1 10 17 = 1 1



d)

4

6

81 1296

2

= 5. Red Reduce uce los radicale radicaless semejantes: semejantes:

e)

5

32 243

=

a) 3 2  5 2  2  4 2 b) 2

3. Resuelv Resuelve e las ope operacio raciones nes aplicand aplicando o propiedades de potenciación: 3

2

4

  1   1   1   1  1  a)             3   3   3   3  3 

63

4

m

8

m



m

c) 3 12  5 3  2 3

d)

32

3 25 2

3

m

6. Halla el área sombreada de:

8. Un saco saco de camotes camotes cuesta cuesta S/20; S/20; uno de tomates; S/16 y uno de cebollas, S/12. Una señora compra 3 4

de saco de camotes,

tomates y

1 4

7. Resuelv Resuelve e combinadas:

a)

las

operaciones operaci ones

 5 1  4  1 1     .   8  3 2  11  2 3 

7

.

  3 1  10  2 3      .   9   4 4  3  5 5    2  81.   25 5     c)   10  3  b)

d)

64

4

5   7

1     4  10 2 

2

saco de

de saco de cebollas

¿Cuánto gastó en total? a) S/2 /20 0 b) S/2 /25 5 c) S/2 /26 6 d) S/2 /27 7

1