NUMEROS RACIONALES INTRODUCCIÓN Dos siglos después de la determinación de los números irracionales, El matemático y poeta Omar Khayyam estableció una teoría general de número y añadió algunos elementos a los números racionales, como son los irracionales, para que pudieran ser medidas todas las magnitudes.
Solo a finales del siglo XIX pudo formalizarse la idea de continuidad y se dío una definición sati satisf sfac acto tori ria a del del conj conjun unto to de los los núme número ros s real reales es,, con con los los trab trabaj ajos os de Cant Cantor or,, Dede Dedeki kind nd,, Weierstrass, Heine y Meray, entre otros.
DESARROLLO DE CONTENIDOS Números Naturales El conjunto de los números naturales se denota por IN y se define como:
IN = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ...............n , n + 1 , ............. ............................. ......................} ......} Números Pares
= 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , . . . . . . . . . .
Números Impares = 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 11 , . . . . . . . . . . . Números Primos = 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , . . . . . . . . . . Prioridad de operaciones:
Potencias y Raíces Multiplicaciones Multiplicaciones y/o divisiones Sumas y/o restas Esta regla se puede alterar utilizando paréntesis, los que tendrían en este caso la primera prioridad. En el caso de haber dos operaciones de un mismo nivel se procede a operar de izquierda a derecha
Criterios de divisibilidad: Un número es divisible por:
2 3 4 5 6
si termina termina en cero cero o cifra par si la suma de sus cifras es múltiplo múltiplo de 3. si el número número formado por sus dos últimas últimas cifras lo es o son ceros. si termina en 0 ó 5. si lo es por 2 y 3 a la vez.
8 si lo es el número formado por sus tres últimas cifras o éstas son ceros. 9 si la suma de sus cifras lo es. 10 si termina en cero.
En el conjunto IN se distinguen las siguientes propiedades:
•
Tiene un primer elemento :El número 1
•
Todo número natural tiene sucesor. Por ejemplo el sucesor de 10 es el 11
•
Todo número natural tiene un antecesor, excepto el número uno
•
El conjunto IN es la unión de dos subconjuntos: a) b)
Los números naturales pares de la forma: 2n con n ∈IN Los números naturales impares de la forma: 2n − 1 con n ∈IN
•
Todo sucesor de un número par es impar. Por ejemplo el sucesor de 20 es 21
•
Todo sucesor de un número impar es par. Por ejemplo el sucesor de 51 es 52
•
El conjunto IN es un conjunto ordenado, esto es, podemos comparar dos números naturales mediante la siguiente definición :
Sean a , b números naturales, entonces se tiene que: a es mayor que b si y sólo si a – b
0
En el conjunto de los números naturales, las operaciones de adición y multiplicación están bien definidas, ya que si m y n representan dos números naturales, la adición y multiplicación de ellos son números naturales. La sustracción ( m – n ) no siempre es un número natural, situación que motivó la extensión del conjunto IN.
Números Enteros Si al conjunto IN le agregamos el cero y los enteros negativos, obtenemos un conjunto más amplio que denota por Z y se define como:
ZZ = { ….., -(n+1 ) , -n ,...... -4 , -3 , -2 –1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 ..........n , ( n + 1) , ..... } En el conjunto Z se distinguen las siguientes propiedades:
•
No tiene un primer elemento.
•
Todo número entero tiene sucesor. Por ejemplo el sucesor de -4 es –3 .
•
Todo número natural tiene un antecesor. Por ejemplo el antecesor de –4 es –5.
•
El conjunto Z es la unión de dos subconjuntos:
a) Los números enteros pares b) Los números enteros impares
•
Todo sucesor de un número par es impar.
•
Todo sucesor de un número impar es par.
•
En el conjunto Z existe un orden, esto es, podemos comparar dos números enteros mediante la siguiente definición:
Sean a y b números enteros, a es mayor que b si y sólo si a – b ≥ 0
Operaciones en Z Adición en Z
Para sumar dos números enteros del mismo signo, se suman sus valores absolutos y se conserva el signo.
Ejemplos:
a) 7 + 11 = 18
b) ( – 4 ) + ( – 9 ) = – 13
Para sumar dos números enteros de distinto signo, se restan sus valores absolutos y se mantiene el signo del mayor.
Ejemplos:
a) ( – 12 ) + 8 = – 4
b) 18 + ( – 7 ) = 11
Sustracción en Z La resta o sustracción en Z se define como una operación derivada de la suma, de la siguiente forma:
Si a , b
Z ; a –b =a +( –b )
Ejemplo: – 6 – 7 = – 6 + ( – 7 ) = – 13 Multiplicación en Z Para multiplicar dos números enteros, se debe considerar:
Si son del mismo signo, se multiplican sus valores absolutos y se antepone el signo positivo.
Ejemplos: a) ( + 3 ) • ( + 8 ) = + 24
b) ( – 7 ) • ( – 8 ) = + 56
Si son de distinto signo, se multiplican sus valores absolutos y se antepone el signo negativo.
Ejemplos: a) ( + 7 ) • ( – 9 ) = – 63 b) ( – 8 ) • ( + 7 ) = – 56
Esta definición se resume en la llamada regla de los signos:
+
–
+
+
–
–
–
+
Propiedades de la adición en Z •
La adición en
Z ,
está bien definida, es decir, satisface la propiedad de clausura:
a, b •
La adición en
Z : a +( b+ c) =( a+ b )+ c
La suma en Z es conmutativa:
a,b •
Z
Z es asociativa:
a,b,c •
Z : (a+b)
El 0 pertenece a
Z y
Z : a+b=b+a
es el neutro para la suma, es decir, si a pertenece a Z , entonces.
a+0=a=0+a •
Todo número entero posee su opuesto, tal que, si a ∈ Z, existe (–a) ∈ Z, tal que:
a + (-a) = 0 = (-a) + a Propiedades del producto en Z •
La multiplicación en Z está bien definida, es decir, satisface la propiedad de clausura:
a,b
Z : a b
Z
• La multiplicación es asociativa, es decir:
a,b,c
Z : a (b c)=(a
b) c
• La multiplicación es conmutativa, es decir:
a,b
Z : a b=b
• La multiplicación posee elemento neutro, es decir, el 1 ∈ Z
a tal que:
a 1=a=1 a Propiedad distributiva del producto respecto de la suma La adición y producto en Z, satisfacen la propiedad de distributividad de la adición, respecto al producto; lo cual significa: Para todo a, b, c que pertenecen al conjunto de los números enteros se cumple :
a,b,c
Z : a (b+c)=a b+a c
Números Racionales De la misma forma como la sustracción nos condujo a considerar números negativos, la división de dos números naturales o enteros no siempre es un elemento de IN o de ZZ , lo que nos motiva a extender estos conjuntos a un conjunto denominado “Conjunto de los Números Racionales” denotado por Q. Los elementos de este conjunto Q, llamados números racionales son entonces de la forma q: q
=
a b
, donde a y b son enteros y b ≠ 0
En general el conjunto Q, se define como:
Q
= / b a
a, b
∈
Z ; b
≠ 0
Forma fraccionaria y forma decimal de un número racional: Todo número racional de la forma
i.
se puede expresar en forma decimal:
Como número decimal finito, si al efectuar la división de a por b se obtiene resto cero.
Ejemplos:
ii.
a b
2 5
= 0,4
18 5
Como número decimal periódico, si al dividir a por b no se logra obtener resto cero.
Ejemplos:
25 6
= 4,166666.. .....
Analicemos brevemente el número racional
a.
= 3,6
;
2 11
= 0,18181818 18........
a . b
a : significa que el número “a” se ha dividido en “b“ partes iguales: b
a/b a . . .
b.
Amplificar una fracción por un entero equivale a multiplicar el numerador y denominador por el entero; manteniendo el valor de la fracción
a
b
Ejemplo:
=
2a 2b
=
3a 3b
=
.................... =
ma mb
3 4
c.
=
6 8
=
9 12
=
12 16
= .............. =
3m 4m
= 0.75
Simplificar una fracción por un entero, equivale a dividir el numerador y denominador por el entero, manteniendo el valor de la fracción:
Ejemplo: 21 : 7
Simplificar por 7 la fracción
35 : 7
=
3 5
Operaciones en Q Sean
a b
,
c b
,
c d
∈
Q
se define:
• Adición en Q:
a.
Igual denominador:
b.
Distinto denominador:
a
c +
b
b
a b
a
d
c
b
c +
+
=
ad
bc
+
=
bd
• Sustracción en Q:
a.
Igual denominador:
b.
Distinto denominador:
a
−
b
a
−
b
c
a
=
b
c d
=
−
c
b
ad
−
bc
bd
• Multiplicación en Q. a b
c •
d
=
a
•
c
b
•
d
• División en Q. a b
Observación:
:
c d
=
a b
•
d c
=
a b
• •
d c
Las cuatro operaciones en Q están bien definidas, es decir, todas ellas satisfacen la propiedad de clausura: Si
a b
,
c d
∈
a ± b
Q ; entonces:
∈ d c
Q
a • b
;
∈ d c
Q
;
a b
:
c d
∈
Q
Propiedades de la Adición
• Asociativa: ∀
p
r l p , : q s m q ,
r l p r l + + + = + s m q s m
p r p r r p • Conmutativa: ∀ q ; s : q + s = s + q
• Elemento Neutro: Existe 0 =
q
con q y s distintos de cero.
p
∈Q :
+
q
0 q
=
∃ − p ∈Q q
p ; q
∀
• Elemento Opuesto:
0
con q, s y m distintos de cero.
p
con q ≠ 0.
q
p q
;
+ − p = 0 con q ≠ 0 q
Propiedades de la Multiplicación
• Asociativa Sean
• Conmutativa
p q
Sean
,
r s
,
m n
∈Q
;
p r p r , ∈Q : • q s q s
• Existe Neutro Multiplicativo
• Inverso Multiplicativo
p q
r m p r m • • • = • s n q s n
r s
= •
p •1 = p q q
1∈Q:
p
q
q
p
∀ ∈Q ∃
p q
Orden en Q Sean
a c , b d
∈Q ;
−1
p = q
b, d ∈Z + se dice que:
:
p q
•
q p
=1
a b a b
a b
<
c
>
c
=
c
d
d
d
⇔ ad <
bc
⇔ ad >
bc
⇔ ad =
bc
Observación: Para comparar números racionales, también se pueden utilizar los siguientes procedimientos:
a.
Igualar numeradores.
b.
Igualar denominadores.
c.
Convertir a número decimal.
Fracciones a decimales Para transformar una fracción a la forma decimal, se divide el númerador por el denominador.
Ejemplos: 1) Así si queremos convertir
1 a decimal tenemos que efectuar la división 1 : 8 8
1 : 8 = 0,125 (decimal exacto) 2) Efectuemos ahora la transformación de
2 a forma decimal 3
2 : 3 = 0,66666...= 3) Convirtamos a decimal la fracción
0, 6
(decimal periódico)
1 6
1 : 6 = 0,166666...=
0,16
(decimal semi periódico)
Transformación de número decimal a fracción a.
Decimales Finitos: Se coloca el número sin coma decimal como numerador y en el denominador se coloca 1 seguido de tantos ceros como decimales tenga el número en su forma decimal.
Ejemplo: 1,17
=
117
; 0,246 =
100
24 1000
=
3
; 12,8
125
=
128 10
=
64 5
Decimales Periódicos Puros: Se formara primero un Número Mixto, se separa la parte
b.
entera, y la parte decimal irá como numerador y en el denominador se colocaran tantos nueves como decimales tenga el periodo del decimal
. Ejemplo: 2, 283 2 283 999
;
=
0, 24
24 =
99
8 =
33
c. Decimales Semi periódicos: Separamos la parte entera de la decimal. En el numerador restamos toda la parte decimal menos la parte que no se repite. En el denominador colocaremos un 9 por cada número que se repite y un 0 por cada número que no se repite.
Ejemplo: 2,283
=
2 283-2 990
=
2 281 990
;
0,246
246 - 24 =
900
222 =
900
111 =
450
37 =
150
Números Irracionales ( Q’ ó I ) Introducción Hemos visto que todo número racional es de la forma
p ; donde p q
y q son números enteros
con q ≠ 0. Además sabemos que todo número racional
p se expresa en forma decimal. q
i)
Como número decimal finito.
ii)
Como número decimal periódico (o semiperiódico). Sin embargo, no todos los números pueden representarse por un número racional.
Este hecho fue descubierto en la civilización griega y el argumento fue el siguiente:
El teorema de Pitágoras nos indica que la hipotenusa de un triángulo rectángulo, cuyo catetos miden la unidad, tendrá una medida igual a
2.
2
1
1
El número
2
=1.4142 ..........
es un número decimal con infinitas cifras no periódicas y por
tanto no representa un número racional. A estos números se les denomina Irracionales. El nombre de irracional proviene de la imposibilidad de representar al número
2 como razón de enteros.
Definición de Q’ Los números irracionales son aquellos números que no pueden expresarse como la razón de dos números enteros. Se describe como el conjunto:
Q’ = { x / x es número decimal infinito no periódico}
Algunos representantes de este conjunto son el número
π = 3,14159265 .....
; recordemos
que este número representa la razón de la circunferencia de un círculo, con su diámetro.
También se encuentran en este conjunto todas las raíces inexactas 2
1,4142 .....;
=
3
1,7321 .....;
=
5
2,2361 .....; etc.
=
Observación: Los números irracionales, en sus operaciones no cumplen necesariamente con la ley de clausura.
Ejemplos:
3
2
−
•
3
2
=
=
0
4
∉Q
=
2
' ∉Q
'
