Potenciación y radicación con racionales
Antes de trabajar con los números racionales, vamos a estudiar la potenciación y la radicación en el conjunto de los números enteros. POTENCIACIÓN en Z La potenciación es una forma abreviada de escribir una multiplicación multiplicación de factores iguales. 3 3 3 9 2 222 8 4 5 5 5 5 5 625 625
3
2
2
4
a
n
a a a a....a
2 2 2 2 16
n veces
La potenciación es una operación entre dos números a y n, llamados base y exponente, respectivamente. Todo número, distinto de 0, elevado al exponente 0, es igual a 1.
exponente base
a
0
a
1
n
a
0
Si la base de una potencia es un número entero, este puede ser positivo o negativo. 1. Si es positivo, es un número natural, y el resultado es siempre un número positivo. 7
2
49
3
3
27
2
6
64
2. Si es negativo, debemos analizar las posibles soluciones
2 2 2 4 2
2 2 2 2 2 16 4
2 factores
2 2 2 2 8 3
4 factores
2 2 2 2 2 2 32 5
3 factores
5 factores
Como la cantidad de factores depende del exponente, entonces: * Si el exponente es un número par, el resultado de la potencia es un número positivo. * Si el exponente es un número impar, el resultado de la potencia es un número negativo. Se analizan los siguientes casos: 52 5 2 a) 5 5 5 5
c)
b)
43 4 3 4 4 4 4 4 4
25 25
64 64
34 3 4 3 3 3 3 3 3 3 3
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
81 81
5
d)
32 32
5
Propiedad distributiva
- La potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación multiplicación y a la división: * a b a b Ejemplo: 2 32 2 2 32 4 9 36 * a : b a : b Ejemplo: 3 : 43 33 : 4 3 27 : 64
n
n
n
n
n
n
Propiedades que no cumple la potenciación
No es distributiva con respecto a la adición y sustracción: * a b a b Ejemplo: 1 22 12 22 * a b a b Ejemplo: 5 33 53 33 n
n
n
n
n
n
Actividad 1: Resuelve las siguientes potencias: a) 26 b) 17
c) 33
d)
4
2
e) 1300
POTENCIACIÓN en Q Elevar una fracción a un exponente es igual a elevar el numerador y el denominador por ese exponente. La potenciación de fracciones cumple con las mismas propiedades que con los números enteros. 2
2 5 5 5 25 5 a) 2 4 4 4 16 4
n
4
1 1 1 1 1 1 b) 4 2
4
2 2 2 2
2
5
a b
1
a
n
b
n
16
2 32 2 2 2 2 2 2 c) 5 243 3 3 3 3 3 3 3 5
Elevar un número decimal es multiplicar el número tantas veces como indica la potencia. b) 1,32 1,3 1,3 1,69
008 a) 0,23 0,2 0,2 0,2 0,008 261 c) 2,13 2,1 2,1 2,1 9,261
EXPONENTE NEGATIVO Elevar una fracción a un exponente negativo es igual al inverso multiplicativo de la base y, como exponente, el opuesto del que había. 2
1
1 1 b) 2 4 2
1 1 a) 3 3 3
2
1
3
1 c) 33 3
2 f) 3
2
1 h) 2
1 27
2
9 3 4 2
4
2 4 16
1
1
7 8 8 e) 8
4 g) 5
7
3
n
a
n
n 1 1 1 n n a a a
7
3
125 5 64 4
n
a b
a
n
b
n
Para tener en cuenta: En caso de que un decimal tenga potencia negativa, primero se lo transforma en fracción. 3
3
4 10 10 10 10 1000 0,4 4 4 4 64 10 4 3
RADICACIÓN en Z La radicación es una operación entre dos números a y n llamados base e índice respectivamente. índice
n
a
n
y se define como
base
a
b
b
n
a
radical
25 5
porque 5 2 25 4 4 81 3 porque 3 81
64 4
porque 5 32 2 porque 3
64 5 2 32 4
3
Cuando el índice de la raíz es 2, no se escribe, a significa raíz cuadrada de a. Las raíces de índice par tienen dos soluciones posibles. porque 6 2 36 4 4 16 2 porque 2 16 36 6
36 6
porque 62 36 4 4 16 2 porque 2 16
y y
Para las raíces de índice par, sólo se considera el resultado positivo. Si la base de una raíz es un número entero, este puede ser positivo o negativo. 1. Si la base es un número positivo, es un número natural, y el resultado será el número que verifique la definición de la operación. 8
64
3
125 5
4
16
2
2. Si es negativo, debemos analizar la posibilidad o imposibilidad de hallar el resultado. 3 3 8 2 porque 23 8 27 3 porque 33 27 4 y
4
16 son raíces de base negativa e índice par y no tienen solución, ya que ningún
número entero elevado a un exponente par da por resultado un número negativo.
Propiedad distributiva
- La raíz es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división: 49 4 9 23 6 * a b a b Ejemplo: n
*
n
a n
b
n
n
a
n
Ejemplo:
b
3
8 27
3
8
3
27
2 3
2 3
Propiedades que no cumple la radicación
No es distributiva con respecto a la adición y sustracción: 16 9 16 9 * ab a b Ejemplo: * a b a b Ejemplo: 100 36 100 n
n
n
n
n
n
36
Actividad 2: Resuelve las siguientes raíces: a) 81 b) 4 10000 e) 3 64
c) 3 27 f) 25
d)
3
125
RADICACIÓN en Q La raíz de una fracción es igual a la raíz del numerador y a la del denominador de la misma. a)
25 64
25
64
5
b) 3
8
27 8
3 3
27
8
3 2
c)
4
16 81
4 4
16 81
2
a n
3
b
n
a
n
b
Cálculo de raíces de números decimales: Se divide la cantidad de decimales del radicando con el índice. El resultado llevará la cantidad de decimales que indique el cociente de la división. Ejemplos: a) 0,25 0,5
pues
0,5 0,5 0,25
2 dec : 2 = 1 decimal en la respuesta
b) 3 0,008 0,2
008 pues 0,2 0,2 0,2 0,008
3 dec : 3 = 1 decimal en la respuesta
c)
1,21 1,1
2 dec : 2 = 1 decimal en la respuesta
d) 3 0,000008 0,02 6 dec : 3 = 2 decimales en la respuesta re spuesta
Actividad 3: 1) Resuelve las siguientes potencias y raíces: 2
2 a) 1 3
e) 1 1,5 5
i)
0,5 0,14
b)
3
1
f)
7 8
16 25
c)
1 2
1 4
3 9 d) : 4 2
3
1
j) 1,8 0,63
2) Resuelve los siguientes cálculos combinados: combinados: a) 2 4 : 4 25 4 3 3 52 c) 3 2 8 52 1 7 e) 11 23 1 36 g) 3 125 43 : 8 2 81 i) 8 : 2 7 12 32 2 2
4 g) 2 : 5 k) 3 0,009 3
h)
4
2
2
49 16
b) 23 : 2 3 5 2 2 8 : 2 24 d) 23 6 : 3 8 9 123 f) 4 12 362 4 52 h) 6 2 102 12 : 2 2 7 94 3 j) 3 27 5 3 2 8 : 2 5
3) Resuelve los siguientes cálculos combinados combinados expresando como fracción: a) c)
1
2
2 4 3 :2 3 12 3 5 5
1
1
2
e)
g)
7 11 5 12 6 1 2 3 12 3 5
2 2 4 5
9
7
1 i) 1,5
5
k)
2 b) 3
1 5 3 1 1 2 25 3 4
169 100
2
2
3 10
:4
1
1 1 10 2 3 3
2
1
2
5 7 1 1 2 2 f) : 16 7 2 5 14 2
1 2 h) 0,3 3 : 161 2 3
0,2 5 2
1
2 3 :4 d) 3 2 4 5 8 13
3
2
1 0,25 : 0,83 167
1
j) 0,22 : 0,31 3 8 2
