DERIVA DER IVADAS DAS PAR PARCIA CIALES LES En las aplicaciones de las funciones de varias variables surge una pregunta: ¿Cómo será afectada la función por una variación de una de las variables independientes?. Podemos responde responderr esta interrog interrogante ante consider considerando ando cada vez una variable variable independ independient iente. e. Por ejemplo, para determinar el efecto de un catalizador en un experimento, un químico llevaría a cabo el experimento varias veces usando cantidades distintas de catalizador, pero manteniendo constantes otras variables, tales como la temperatura y la presión. Seguimos un procedimiento parecido para determinar la razón de cambio de una función f con respecto a una de sus variables independientes. Esto es, hacemos la derivada de f cada cada ve vez z con respe respecto cto a una variab variable le indepe independi ndient ente, e, mante mantenie niendo ndo cons constan tantes tes las demás. Este proceso se conoce como derivada parcial, y su resultado se refiere como la derivada parcial de f con respecto a la variable independiente elegida.
1. Definición de derivadas parciales Sea f : U ⊂ ℜ → ℜ un una a func funció ión n y n
define ne la deri deriva vada da parc parcia iall de x 0 ∈ U . Se defi
respecto a su i-ésima variable en el punto
denota tada da por por x 0 , deno
con
f
f ∂ ( x ) ∂ x 0
i
o f ( x ) 0
xi
o
∂ z (x ∂ x i
0
) , como el límite:
f ( x 0 + h ei ) − f ( x 0 ) ∂ f ( x 0 ) = lím h →0 h ∂ xi
siempre y cuando exista dicho límite. Observaciones:
a) Los e son los vectores de la base canónica de R n . En particular los vectores de la base canónica de R 2 son: e = (1,0) y e = (0,1) i
2
1
a) Derivadas Derivadas parciales parciales para una funció función n de dos dos variabl variables: es: Si z = f ( x, y ) , entonces las derivadas parciales primeras de f con respecto a las variables x e y son las funciones f y f respectivamente, respectivamente, definidas mediante: y
x
siempre y cuando existan los límites.
EJERCICIO 1: Determinar f y f para la función f ( x, y ) = x y y deducir una forma práctica para calcular las derivadas parciales 2
x
y
EJERCICIO 2: Si f ( x, y, z ) = x
+
z x + , x y
3
y
verificar que:
x
f f f ∂ ∂ ∂ + y + z =0 ∂ x ∂ y ∂ z
EJEMPLO 1: Para la función
encontrar f x y f y y evaluar cada una de ellas en el punto (1, ln2)
Solución Como
la derivada parcial de f con respecto a x en (1, ln2) es
Como
la derivada parcial de f con respecto a y en (1, ln2) es
1.2. Interpretación Interpretac ión geométrica de la derivada parcial: Dada la función z = f ( x, y ) a) Para y = b , la función ϕ ( x ) = f ( x, b ) está representada geométricamente por la curva C 1 que se obtiene de intersecar la superficie S dada por z = f ( x , y ) con el plano vertical y = b . Luego: f (a + h , b) −ϕ (a , b) ∂ f ϕ (a + h) −ϕ (a) lím lím lím (a , b) = = ϕ ′(a) = lím h →0 h →0 h h ∂ x Es decir
f ∂ x ∂
( a , b) representa la pendiente de la recta tangente T
1
a la curva C 1 en el punto
P = ( a, b, c ) donde c = f ( a , b) …..FIGURA 1
FIGURA
1
b) Para x = a , la función ϕ ( y ) = f (a, y ) está representada geométricamente por la curva C 2 que se obtiene de intersecar la superficie S dada por z = f ( x , y ) con el plano vertical x = a . Luego: ϕ ′(b ) = lím lím
h →0
ϕ (b + h) −ϕ (b)
h
lím = lím
h →0
f ( a , b + h ) −ϕ ( a , b) h
=
f ∂ ∂ y
( a , b)
Es decir
f ∂ ∂ y
( a , b) representa la pendiente de la recta tangente T 2
P = (a, b, c) donde c
a la curva C 2 en el punto
= f (a, b) …..FIGURA 2
FIGURA
2
EJEMPL EJE MPLO O 2: Hall Hallar ar la ecua ecuaci ción ón de la recta recta tange tangent ntee a la curv curvaa que que se obti obtien enee de la inte inters rsecc ecció ión n del del para parabo bolo loid idee 2 2 z = 4 − x − y y el plano y =1 , cuando x = 1 / 2 .
Solución En este caso la pendiente de la recta tangente esta dada por
con lo cual, la recta es :
, pero pasa por el punto
En la figura 1 se muestra la recta tangente Las ecuaciones paramétricas de la recta tangente son:
y la parábola
y así
La gráfica del paraboloide, la parábola y la recta tangente se muestran en la figura 3.
FIGURA 3
allarr la ecua ecuaci ción ón de la rect rectaa EJERCI EJERCICIO CIO 3: Halla tangente a la curva que se obtiene de la intersección del paraboloide z = 4 − x 2 − y 2 y el plano
x = 1 , cuando y
=1 / 2 .
1.3. DERIVADAS PARCIALES DE DE ORDEN SUPERIOR: En forma similar a como se define define las derivadas derivadas de ordenes superiores superiores para funciones en una variable, variable, n tambien tambien se puede obtener obtener las derivadas parciales parciales de ordenes superiores superiores para funciones f : U ⊂ R → R . 2 Por ejemplo para la función f : U ⊂ R → R , podemos obtener de ellas sus derivadas parciales segundas
(derivadas parciales de segundo orden), las cuales son cuatro en total: Si z = f ( x, y ) , utilizamos la siguiente notación :
2
La notación f
x y
o
∂ f ∂ y∂ x
significa que primero derivamos con respecto a
x
y luego con respecto a
y , mientras que para calcular f el orden se invierte. y x
EJEMPLO 3 3 2 2 3 Calcule las segundas derivadas parciales de f ( x , y ) = x + x y + y
Solución Las primeras derivadas parciales están dadas por :
Entonces tenemos que :
EJERCICIO 4: Compruebe que la función u ( x, y, z ) = ( x + y + z ) 2
2
2
−1 / 2
satisface la ecuación diferencial
de Laplace en derivadas parciales:
∂u ∂u ∂u + + =0 ∂ x ∂ y ∂ z 2
2
2
2
2
1.4. Observación : note que las derivadas parciales mixtas
2
f y f y x en el ejemplo 3, son iguales. Esto no x y
es una casualidad y en la mayoría de los casos prácticos se da. El siguiente teorema, descubierto por el matemático francés Alexis Clairaut (1713 - 1765), da las condiciones bajo las cuales podemos afirmar que esta igualdad se da.
1.5. TEOREMA:
Teorema (igualdad de las derivadas mixtas) 2 Sea f : U ⊂ R → R una función definida en el conjunto abierto U : Si las funciones f y f son continuas en U , entonces: x y
y x
f x y = f y x
ijeraa que exis existe te una fun función ción z = f ( x, y ) cuyas cuyas deriva derivadas das parcia parciales les son son EJERCI EJERCICIO CIO 5: Si se dijer f ( x, y ) = x + 4 y f ( x, y ) = 3 x − y , ¿usted lo creería? y
x
EJERCICIO 6: Si
f ( x, y)
= cos( 3 x − 2 y ) :
calcular: K =
∂
2
f ( P 0 )
∂ x∂ y
+
∂
3
f ( P 0 )
∂
2
y∂ x
EJERCICIO 7: Constate que la función u = ( x − at )
π π
donde P = ( , ) 0
2
+
6 4
( x + at ) satisface la ecuación del calor: 2
2 ∂ 2u 2 ∂ u =a ∂t 2 ∂ x 2
VECTOR GRADIENTE 1. DEFINICIÓN: (vector ector gradiente) gradiente ) Definición (v 2 Sea la función f : U ⊂ R → R definida en el conjunto abiento U , se define f ) como el vector: el gradiente de f (denotada por grad ( f ) o ∇
Observación: si
f es una función en tres variables, su gradiente esta dado por:
EJEMPLO 4 2 2 Si f ( x , y ) = sen ( xy ) + x y , calcule
∇ , 1) . f (π
Solución El gradiente está dado por :
y evaluando
EJERCICIO 8: Hallar grad
f (1,0) donde f ( x, y ) = e x
2
+y
2
2. PROPIEDADES DEL GRADIENTE: n Sea la función f : U ⊂ R → R definida en el conjunto abiento U :
a) La dirección de máximo crecimiento de f en x 0 ∈ U está dado por grad f ( x 0 ) . El valor valor máximo máximo de dicho crecimiento es grad f ( x ) 0
b) La dirección de mínimo crecimiento de f en x 0 ∈ U está dado por de dicho crecimiento es
−
− grad f ( x
0
) . El valor mínimo
grad f ( x 0 )
EJERCICIO 10: La temperatura en grados Celsius sobre la superficie de una placa metálica viene dado por: T ( x, y ) = 20 − 4 x 2 − y 2 Midiendose x e y en pulgadas. Desde el punto ( 2,−3) a) ¿En qué dirección dirección crece la temperatura más rapidamente? b) ¿A qué ritmo ritmo se produce produce este crecimiento?
EJERCICIO 11: La temperatura en el punto
( x, y , z ) en un trozo de metal viene dada por la
2 x y 3 z fórmula f ( x, y, z ) = e , ¿en qué dirección, a partir del punto (0,0,0) , crece más rápidamente la temperatura. + +
PLANO TANGENTE 1. DEFINICIÓN DE PLANO TANGENTE Y RECTA NORMAL: NORMAL: 2 Sea f : U ⊂ ℜ → ℜ una función diferenciable en x0 = ( x0 , y 0 ) ∈ U ( una una función con derivadas parciales
continuas en U o una función que geométricamente es una superficie que tiene un trazo suave, “sin puntas, vértices o esquinas” ). 1.1. La ecuación: P T : ( ( x, y, z ) − ( x0 , y0 , z 0 ) ) ⋅ gradF ( x0 , y0 , z 0 ) = 0
…………( I )
define el PLANO TANGENTE a la superficie z = f ( x, y ) en el punto P 0 = ( x0 , y 0 , z 0 ) y con vector normal n = gradF ( x0 , y0 , z 0 ) , donde z 0 = f ( x0 , y 0 ) y F ( x, y , z )
= z − f ( x ,
y)
1.2. La ecuación: L N : P = P 0 + t ⋅ gradF ( P 0 ) , t ∈ ℜ ………………………………( II ) Define a la RECTA NORMAL a la superficie z = f ( x, y ) en el punto P 0 = ( x 0 , y 0 , z 0 ) y con vector direccional gradF ( P 0 ) , 1.1.1. Observación: Como la función F se define como: F ( x, y , z )
= z − f ( x,
y ) . Luego:
n = gradF ( x 0 , y0 , z 0 ) = − f x ( x0 , y0 ) , − f y ( x0 , y0 ) , 1 …………( III ) Reemplazando ( III ) en ( I ), la ecuación del plano tangente P T se puede escribir como:
P T : − f x ( x0 , y0 ) ⋅ ( x − x0 ) − f y ( x0 , y0 ) ⋅ ( y − y0 ) + ( z − z 0 ) = 0
Figura 1: Plano tangente y Recta normal
EJEMPLO 1: 2 2 Hallar la ecuación del plano tangente al paraboloide z = 4 − x − y en el punto P 0
= ( 0 ,1, 3) .
Solución El vector gradiente esta dado por 2 2 ( , , ) F x y z = z + x + y − 4 donde
En el punto P 0
= ( 0 ,1, 3) , el vector normal es P T : ( P − P 0 ) ⋅ n = 0
n
=( 0 , 2 ,1)
y la ecuación del plano tangente es:
⇒ P T : ( x , y −1 , z − 3) ⋅ ( 0 , 2 , 1) = 0
simplificando
P T : 2 y + z = 5 En la figura figura siguiente siguiente se plano tangente.
muestra muestra el paraboloid paraboloidee y el
Figura 3: Plano tangente
EJEMPLO 2:
2 2 ¿En qué punto de la superficie z = 3 x + 2 xy + y , la recta normal normal es paralela paralela al vector u = ( 6 , 4 , − 2 ) = 6 i + 4 j − 2 k ?
Solución Sea P = ( a, b, c ) el punt punto o que que busca buscamo mos. s. Si Si la rect rectaa norma normall es paralel paralelaa al vecto vectorr , enton entonces ces su su vecto vector r 2 2 director también es paralelo a ; con lo cual, si F ( x, y , z ) = z − 3 x − 2 xy − y , entonces:
Evaluando en P = ( a, b, c ) : ……………………..( 1 ) Por otro lado, el punto P = ( a, b, c ) está sobre la superficie, por lo que satisface su ecuación. Es decir:
De (1) obtenemos el siguiente sistema:
Resolviénd Resolviéndolo olo obtenemos obtenemos que:
1 4
Y así, el punto buscado es P = ,
EJERCICIO 1:
3 9 , 4 8
.
x 2 + 4 y 2 Hallar la ecución del Plano Plano Tangente al Paraboloide elíptico z = en el 10
punto ( 2 ,−2 , 2) . Además hallar la Recta normal nor mal L en dicho punto y graficar. N
EJERCICIO 2: Halle el punto de la superficie horizontal. Graficar
z = 3 − x 2
2
− y + 6 y
donde el plano tangente es
