M18 S2 AI4 Secante y Tangente

Nombre: Módulo 18.

Unidad 2.

Actividad Integradora.

“Secante y tangente”

¿Qué hacer? Imagina que es posible generar una función que modela para x toneladas de jitomate el costo necesario de su producción f(x). Supongamos que la función que modela el costo por toneladas está dada por: f(x) = 6x² + 5x Recuerda que las funciones son usadas para modelar el comportamiento de algún fenómeno y así poder estimar los valores de la función cuando hay una variación en x.La fórmula para calcular la pendiente de la recta secante a una función dada es:

Ahora resuelve lo que se te pide: 1. A partir de la fórmula mencionada determina la pendiente (m) de la recta secante para la función de costo de producción de 8 a 10 toneladas. Para ello, recuerda lo siguiente: • Utiliza la pendiente m de la recta secante para calcular la razón de cambio promedio del costo de jitomate de 8 a 10 toneladas. Recuerda que X1 será el primer valor de las toneladas y X2 el subsecuente. f(x) = 6x² + 5x y tenemos que la pendiente está dada por la siguiente formula

En donde x₁=8 x₂=10 como f(x) = 6x² + 5x necesitamos calcular f (x₂) y f(x₂) Entonces. f(x) = 6x² + 5x f (x₂) =6(10) ² + 5(10) f (x₂) =6(100) + 50

f (x₂) =600) + 50

f (x₂) =650 f(x) = 6x² + 5x f (x₁) =6(8) ² + 5(8) f (x₁) =6(64) + 40 f (x₁) =6(64) + 40 f (x₁) =384 + 40

f (x₁) =424

m=

f ( x ₂ )−f ( x ₁) ( x ₂ )−f (x ₁)

En donde: f (x₂) =650 f (x₁) =424 x₁=8 x₂=10 Sustituyendo: m=

f ( x ₂ )−f ( x ₁) 650−424 650−424 226 = = = 10−8 10−8 2 ( x ₂ )−(x ₁)

m=113

=113

• Luego sustituye los valores y obtén la pendiente de la recta secante. La pendiente de la recta secante por dos puntos de la gráfica de la función se interpreta como la razón promedio de cambio del costo por tonelada. 2. Realiza la gráfica de la recta secante de la función x = 1. f(x) = 6x² + 5x La gráfica de la recta secante con x=1 se debe derivar a partir de la función de costo de producción: Como solo tenemos un valor, es decir x=1 necesitamos otro valor para tener 2 puntos y así poder utilizar la fórmula de la pendiente, por lo tanto, trabajaremos utilizando el 2 por ser un valor cercano al 1. Entonces:

x₁=1 x₂=2

m=

f ( x ₂ )−f ( x ₁) ( x ₂ )−(x ₁)

f(x₂) = 6x² + 5x evaluada en f(x₂) = 6(2) ² + 5(2) f(x₂) = 6(4) + 10 f(x₂) = 24 + 10

f(x₂) = 34

f(x) = 6x² + 5x

x₂=2

f(x₁) = 6x² + 5x evaluada en

x₁=1

f(x₁) = 6(1) ² + 5 (1) f(x₁) = 6+ 5

f(x₁) = 11 En donde: f(x₁) = 11 f(x₂) = 34 x₁=1 x₂=2 m=

f ( x ₂ )−f ( x ₁) 34−11 23 = = 2−1 1 ( x ₂ )−(x ₁)

m=23

Para obtener la fórmula dela recta secante, necesitaremos la ecuación para encontrar usaremos la siguiente formula: y=m ( x−1 ) +f ( x ₁) Sustituyendo:

y=23 ( x−1 ) +12 y=23 x−23+12 y=23 x−11

Ecuación dela Recta

3. En seguida saca la recta tangente y represéntala en una gráfica.

Recuerda que si quieres obtener y y realizar la gráfica de la recta tangente debes utilizar la función del costo de producción y sustituir el valor de x=1. Posteriormente utiliza esta fórmula para obtener la tangente despejando y.

f(x) = 6x² + 5x Cuando x=1 f (1) = 6(1) ² + 5(1) f (1) = 6+ 5

f (1) = 11 Función f(x) = 6x² + 5x Derivada dela función 12x+5 Derivada es 12x+5 cundo x=1 12(1) +5 12 +5= 17 Entonces la derivada es igual a la pendiente dela recta tangente por lo tanto pendiente m=17 Para graficar la recta tangente ocuparemos la ecuación y para encontrar la ecuación aplicaremos la siguiente formula:

y=m ( x−1 ) +f ( x ₁)

y=17 ( x−1 ) +11 y=17 x−17+ 11

y=17 x−6 La ecuación de la recta tangente: y=17 x−6 realizar la gráfica emplea una tabla con un rango de x de -2 a 2 como se muestra en el ejemplo.

Referencias: https://www.youtube.com/watch?v=UGkhU1bZUbw