PERSAMAAN DIFRENSIAL BIASA (Buku pegangan mata kuliah Persamaan Difrensial)
Oleh Drs. D a f i k, M.Sc. NIP. 132 052 409
Program Pendikan Matematika FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS JEMBER Februari, 1999
Untuk Keluarga Tercinta
ii
Daftar Isi Daftar Tabel
v
Daftar Gambar
vi
Kata Pengantar
vi i
1 Konsep Dasar
1
1.1
Klasifikasi Persamaan Difrensial . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Meto da Penyelesaian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2 PDP Linier Order Satu
6
2.1
Solusi Analitis PDP Linier Order Satu . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.2
Aplikasi Sederhana PDP Order Satu . . . . . . . . . . . . . . . .
9
3 PDP Linier Order Dua
11
3.1
Klasifikasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
3.2
Persamaan Karakteristik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
3.3
Bentuk Kanonis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
3.4
Sarat Bantu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
4 Identitas Pertama dan Kedua Green iii
20
5 Aplikasi PDP Order Dua 5.1
25
Vibrasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
5.1.1
Vibrasi Pada Senar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
5.1.2
Vibrasi Pada Membran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
5.2
Difusi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
5.3
Aliran Panas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
5.4
Vibrasi dan Aliran Panas Stasioner . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
6 Deret Fourier
34
6.1
Himpunan Fungsi Ortogonal dan Ortonormal . . . . . . . . . . .
34
6.2
Deret Fourier Diperumum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
6.3
Deret Fourier Cosinus dan Sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
iv
Daftar Tabel 6.1
PDP order dua menurut jenisnya. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
v
43
Daftar Gambar 2.1
Transformasi sistem koordinat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
4.1
Luas Permukaan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
4.2
Fluk medan vektor menembus permukaan. . . . . . . . . . . . . .
22
5.1
Vibrasi senar dalam sistem koordinat . . . . . . . . . . . . . . . .
26
5.2
Vibrasi senar pada daerah terbatas . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
5.3
Vibrasi vertikal membran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
5.4
Vibrasi vertikal membran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
vi
Kata Pengantar Puji syukur kehadirat Allah S.W.T karena atas anugerah dan karuniahNya penulis dapat menyelesaikan buku pegangan kuliah dengan judul ”Persamaan Diferensial Parsial : Pendekatan Analitik”. Buku pegangan ini dibuat untuk membantu mahasiswa mengikuti mata kuliah Persamaan Difrensial Parsial yang selama ini masih cukup sulit menemukan buku-buku dalam bahasa Indonesia. Dalam buku pegangan ini dijelaskan konsep Persamaaan difrensial secara umum, PDP linier order satu dan aplikasinya, PDP linier order dua yang disertai penjelasan tentang teknik merubah PDP dalam bentuk kanonis, Identitas pertama dan kedua Green, Aplikasi PDP order dua dalam masalah Difusi, Vibrasi dan aliran panas dan terakhir adalah deret Fourier. Selanjutnya dalam kesempatan ini penulis tak lupa menyampaikan banyak terima kasih kepada yang terhormat: 1. Rektor Universitas Jember. 2. Dekan FKIP Universitas Jember. 3. Ketua Program Pendidikan Matematika yang telah memberikan motivasi dan rekomendasi penggunaannya dalam perkuliahan. 4. Semua pihak yang terlibat langsung maupun tak langsung dalam penyusunan vii
buku ajar ini. Semoga bantuan rielnya mendapat balasan yang setimpal dari Allah S.W.T. Akhirnya penulis berharap semoga buku ini memberikan manfaat bagi pembaca, oleh karena itu kritik dan saran masih penulis harapkan untuk penyempurnaannya dikemudian hari.
Jember, Januari 2003
Penulis
viii
Daftar Isi
ix
Daftar Tabel
x
Daftar Gambar
xi
BAB 1 Konsep Dasar 1.1
Klasifikasi Persamaan Difrensial
Pada umumnya dikenal dua jenis persamaan difrensial yaitu Persamaan Difrensial Biasa (PDB) dan Persamaan Difrensial Parsial (PDP). Untuk mengetahui perbedaan kedua jenis persamaan difrensial itu dapat dilihat dalam definisi berikut.
Definisi 1.1.1 Persamaan Difrensial Suatu persamaan yang meliputi turunan fungsi dari satu atau lebih variabel terikat terhadap satu atau lebih variabel bebas disebut Persamaan Difrensial. Selanjutnya jika turunan fungsi itu hanya tergantung pada satu variabel bebas maka disebut Persamaan Difrensial Biasa (PDB) dan bila tergantung pada lebih dari satu variabel bebas disebut Persamaan Difrensial Parsial (PDP) Dalam bahan a jar ini pembahasan persamaan difrensial akan difokuskan pada Persamaan Difrensial Parsial (PDP). Sehingga semua contoh soal dan aplikasinya akan dikaitkan dengan model fenomena persamaan difrensial yang terikat pada
1
BAB 1.
2
KONSEP DASAR
beberapa variabel bebas. Secara simbolik turunan parsial ini dinotasikan dengan ∂ , sehingga
∂u ∂x
2
2
∂ u ∂ u = u x , ∂x = u xx , ∂x∂y = u xy = u yx . 2
Definisi 1.1.2 Order Order suatu PDP adalah order tertinggi dari turunan dalam persamaan sehingga F (x,y,u,ux , uy , . . . , ux x . . . x x , . . . ) = 0 adalah berorder
n
n, dengan variable bebas x, y.
Definisi 1.1.3 Linieritas dan Homogenitas PDP Order n dikatakan linier bila dapat dinyatakan dalam bentuk a0 (x, y)ux + a1 (x, y)uy +
·· · + a (x, y)u x x .. . x x , . . . ) = F (x, y) k
n
Selanjutnya:
1. Bila tidak dapat dinyatakan dengan bentuk diatas dikatakan tak linier 2. Bila koefisien a0 (x), a1 (x), . . . , an(x) konstan dikatakan mempunyai koefisien konstan bila tidak, dikatakan mempunyai koefisien variabel. 3. Bila F (x) = 0 maka PDB tersebut dikatakan homogen bila tidak, disebut nonhomogen.
Definisi 1.1.4 Solusi PDP Solusi dari PDP adalah suatu fungsi u(x , y , . . . ) yang memenuhi persamaan diferensial minimal dari sebarang domain variabel x,y,... .
Contoh 1.1.1 Beberapa contoh fenomena riel dalam PDP adalah sebagai berikut: 1. ux + uy = 0 adalah persamaan transportasi 2. ux + uuy = 0 merupakan persamaan gelombang diskontinyu
BAB 1.
KONSEP DASAR
3
3. uxx + uyy = 0 adalah persamaan Laplace 4. utt
−u
xx +
u3 = 0 merupakan persamaan gelombang dengan interaksi
5. ut + uux + uxxx = 0 adalah persamaan gelombang despersive 6. utt + uxxx = 0 merupakan persamaan vibrasi pada balok 7. ux + uy = 0 adalah persamaan transportasi 8. ut
1.2
− iu
xx
= 0 merupakan persamaan gelombang diskontinyu
Metoda Penyelesaian
Terdapat tiga jenis metoda yang dapat digunakan untuk menentukan solusi dari suatu PDB yaitu: 1. Metoda Analitik. Metoda ini dapat menghasilkan dua bentuk solusi yaitu bentuk eksplisit dan implisit, yang dicari melalui teknik deduktif analogis dengan menggunakan konsep-konsep matematik. Kelebihannya dapat mengetahui bentuk fungsi solusinya namun tidak cukup fleksibel untuk masalah-masalah yang komplek. 2. Metoda kualitatif . Solusi ini hanya dapat memberikan gambaran secara geometris bagaimana visualisasi dari solusi PDB. Dengan mengamati pola grafik gradien ”field” (direction field) maka dapat diestimasi solusi PDB itu. Keunggulannya dapat memahami secara mudah kelakuan solusi suatu PDB namun fungsi asli dari solusinya tidak diketahui, dan juga kurang fleksibel untuk kasus yang komplek.
BAB 1.
4
KONSEP DASAR
3. Metoda Numerik. Pada saat sekarang metoda ini merupakan metoda yang sangat fleksibel. Metoda ini berkembangan sesuai dengan perkembangan komputer dan dapat menyelesaiakan suatu PDB dari level yang mudah sampai level yang komplek. Walaupun fungsi solusi tidak diketahui secara eksplisit maupun implisit namun data yang diberikan dapat divisualisir dalam grafik sehingga dapat dianalisis dengan baik. Namun metoda ini berdasarkan pada prinsip-prinsip aproksimasi sehingga solusi yang dihasilkan adalah solusi hampiran (pendekatan). Sebagai konsukwensi dari penggunaan metoda ini adalah adanya evaluasi berulang dengan menggunakan komputer untuk mendapatkan hasil yang akurat. Salah satu metoda yang poipuler adalah metoda Beda Hingga (Beda Hingga) dan Elemen Hingga (Finite Element). Suatu contoh diberikan persamaan difrensial uxx = 0 maka solusi analitik diperoleh dengan mengintegralkan kedua ruas persamaan ini dua kali.
uxx (x, y) dx =
ux (x, y) = c
0 dx ganti dengan sebarang fungsi y
= f (y)
ux (x, y) dx =
f (y) dx
ux (x, y) = f (y)x + g(y) merupakan solusi umum dari PDP diatas. Untuk model uxx + u = 0 teknik penyelesaiannya dapat mengadopsi teknik yang dipakai dalam menyelesaikan PDB order 2 dengan akar-akar komplek pada persamaan karakteristiknya yaitu u = c1 eλx cos µx + c2 eλx sin µx. Dalam hal ini
BAB 1.
5
KONSEP DASAR
r2 + 1 = 0 sehingga akar-akarnya adalah r 12 =
±i, dengan demikian solusi umum
PDPnya adalah u(x, y) = f (y)cos µx + f (y)sin µx. Sedang model sederhana lainnya adalah uxy = 0 dimana solusi analitiknya adalah
uxy (x, y) dx =
0 dx
uy (x, y) = f (y)
uy (x, y) dy =
f (y) dy
ux (x, y) = F (y) + g(x)
BAB 2 PDP Linier Order Satu 2.1
Solusi Analitis PDP Linier Order Satu
Bila diberikan fungsi dengan dua variabel u(x, y) maka PDP linier order satu yang paling sederhana adalah ux =
∂u = ∂x
0 atau u y =
∂u = ∂y
0. Sementara dengan
aturan Chain kedua turunan parsial ini didefinisikan sebagai ∂u ∂u ∂x ∂u ∂y = + ∂x ∂x ∂x ∂y ∂x ∂u ∂u ∂y ∂u ∂x = + ∂y ∂y ∂y ∂x ∂y
(2.1)
(2.2)
Jumlah kedua PDP yang paling sederhana diatas dengan koefisien konstan dapat disajikan dalam aux + buy = 0
(2.3)
PDP ini dapat diselesaikan dengan dua cara. 1. Metoda Kualitatif Kuantitas dari aux + buy adalah turunan berarah dari u dalam suatu vektor 6
7
BAB 2. PDP LINIER ORDER SATU
dengan arah V = [a, b] = ai + b j. Hal ini selalu bernilai nol, dengan kata lain u(x, y) pasti sama dengan konstan dalam arah V. Vektor [b, a]
−
adalah orthogonal terhadap V. Sedangkan garis yang sejajar dengan V adalah bx ay = c dan persamaan ini disebut persamaan garis karakteristik.
−
Solusi PDP diatas selalu konstan dalam masing-masing garis karakteristik ini sehingga tergantung hanya pada bx
− ay.
Dengan demikian solusinya
adalah u(x, y) = f (bx
− ay).
2. Metoda Koordinat Dalam sistem koordinat x, y dapat kita transformasikan kedalam sistem y’ y X’
x
Gambar 2.1: Transformasi sistem koordinat koordinat lain x , y dimana x dan y tetap saling tegak lurus, lihat Gambar 2.1. Misal ditetapkan x = ax +by maka y = bx ay. Dengan aturan Chain
−
turunan u(x , y ) terhadap x dan y adalah: ∂u ∂u ∂x ∂u ∂y = + ∂x ∂x ∂x ∂y ∂x = aux + buy ∂u ∂u ∂y ∂u ∂x = + ∂y ∂y ∂y ∂x ∂y
=
−au
y
+ bux
8
BAB 2. PDP LINIER ORDER SATU
Selanjutnya substitusikan kedalam persamaan aux + buy = 0 didapat a(aux + buy ) + b( auy + bux ) = 0
−
a2 ux + abuy + b2 ux
− abu
y
(a2 + b2 )ux
= 0 = 0.
Dengan demikian untuk (a2 + b2 ) = 0 maka
ux
= 0
ux dx =
0 dx
u(x, y) = f (y ) sehingga u(x, y) = f (bx
− ay)
(2.4)
merupakan solusi umum PDP diatas.
Contoh 2.1.1 Diberikan PDP 4ux
− 3u
y
= 0 dengan sarat awal u(0, y) = y 3
maka solusi umum PDP ini adalah u(x, y) = f ( 3x 4y). Nilai awal u(0, y) = y 3
− −
berimplikasi f ( 4y) = y3 . Misal w =
−
dengan demikian u(x, y) = f ( 3x
w 4
−4y maka y = − sehingga f (w) =
− − 4y) =
w3 , 64
(3x+4y)3 . 64
Selanjutnya bila persamaan 2.3 dikembangkan kedalam koefisien variabel , yakni aux + byu y = 0
(2.5)
maka vektor arah dapat ditetapkan V = [a,by]. Dalam bidang xy dapat dikatakan bahwa V adalah suatu vektor dengan gradien by . Sehingga a
dy dx
=
by . a
Solusinya
9
BAB 2. PDP LINIER ORDER SATU
b
tentu saja adalah y = Ce a x , dan sekaligus menjadi kurva karakteristik dari PDP jenis ini. Kemudian aturan berantai didefinisikan sebagai berikut: ∂u(x, y) ∂u ∂x ∂u ∂y = + = u x + uy yx ∂x ∂x ∂x ∂y ∂x ∂u(x, y) ∂u ∂x ∂u ∂y = + = u x xy + uy ∂y ∂x ∂y ∂y ∂y Untuk mendaptkan persamaan aux + byuy = 0 maka pastilah ∂u(x, y) = 0 b
sehingga solusinya adalah konstan. Sehingga solusi u(x,Ce a x ) akan memenuhi b
b
bila x = 0. Dengan demikian u(x,Ce a x ) = u(0, Ce a 0 ) = u(0, C ) . Karena y = b b b Ce a x maka C = e− a x y sehingga u(x, y) = u(0, e− a xy). Hal ini berarti solusi
umum PDP itu adalah b u(x, y) = f (e− a x y)
(2.6)
b Untuk meyakinkan fungsi u(x, y) = f (e− a x y) benar-benar merupakan solusi
dari PDP 2.5 dapat dilakukan substitusi langsung terhadap persamaan tersebut, yaitu dengan menentukan ux =
−
b − ab x − ab x y) e yf (e a
b b dan uy = e − a x f (e− a x y).
Contoh 2.1.2 Suatu PDP ux + yuy = 0 dengan sarat awal u(0, y) = y 3 maka solusi umum PDP ini adalah u(x, y) = f (e−x y). Nilai awal u(0, y) = y 3 berimplikasi f (y) = y 3 , dengan demikian u(x, y) = f (e−x y) = e −3x y3 .
2.2
Aplikasi Sederhana PDP Order Satu
Suatu fluida, katakan zat cair, mengalir dengan laju konstan c sepanjang pipa horisontal dengan arah positip. Sebagai contoh kongkrit amati proses penyebaran polusi air. Bila u(x, t) adalah konsentrasi dalam gram/centimeter dalam waktu
10
BAB 2. PDP LINIER ORDER SATU
t, maka model arus ini dapat dimodel dalam persamaan difrensial parsial order satu sebagai: ut + cux = 0
(2.7)
Untuk menurunkan rumus ini, asumsikan polusi itu bergerak sepanjang [0, b] maka jumlah polusi itu adalah M =
b 0
u(x, t) dx dalam gram. Saat selanjutnya,
t + h, polusi bergerak kearah positif sepanjang ch centimeter sehingga
b+ch
M =
u(x, t + h) dx.
ch
Turunkan hasil pengintegralan persamaan ini terhadap b didapat u(b, t) = u(b + ch,t + h). Selanjutnya gunakan aturan Chain untuk menurunkannya terhadap h, maka ∂u(b, t) ∂u(b + ch,t + h) ∂u ∂ (b + ch) ∂u ∂ (t + h) = = + ∂h ∂h ∂ (b + ch) ∂h ∂ (t + h) ∂h ∂u ∂u = c + ∂ (b + ch) ∂ (t + h) 0 = cub+ch(b + ch,t + h) + ut+h (b + ch,t + h). Ganti b + ch dengan x dan t + h dengan t, maka dapat disimpulkan cut (b, t) + cux (b, t) = 0, atau cut + cux = 0, merupakan model yang dimaksud.
BAB 3 PDP Linier Order Dua 3.1
Klasifikasi
Persamaan PDP linier order dua dapat disajikan dalam bentuk auxx + 2buxy + cuyy + dux + euy + f u = g.
(3.1)
Misal u xx diganti dengan α 2 uxx , u xy dengan αβ , u yy dengan β 2 , u x dengan α, uy dengan β maka persamaan itu menjadi aα2 + 2bαβ + cβ 2 + dα + cβ + fu = g sehingga fungsi P (α, β ) dapat didefinisikan sebagai P (α, β ) = aα 2 + 2bαβ + cβ 2 + dα + cβ + f, dimana fungsi ini akan memenuhi sifat 2
• Merupakan fungsi hiperbolik bila b − ac > 0 2
• Merupakan fungsi parabolik bila b − ac = 0 11
BAB 3.
12
PDP LINIER ORDER DUA
2
• Merupakan fungsi eliptik bila b − ac < 0. Dengan demikian PDP linier order dua dapat digolongkan dalam tiga klasifikasi tersebut.
Contoh 3.1.1 Tentukan klasifikasi dari PDP berikut
• 3u •u
xx + 2uxy +
xx +
5uyy + xuy = 0
yu yy = 0
Secara umum PDP linier order dua disajikan dalam n
i,j=1
n
aij uxi xj +
bi uxi + cu = d.
(3.2)
i=1
Dipahami bahwa uxi xj = u xj xi maka koefisien-koefisien PDP itu juga akan berlaku
× n A = [a ]. Nilai eigen dari matrik ini diperoleh dari menyelesaikan persamaan det(A − λI) = untuk aij = a ji , dan koefisien itu dapat disajikan dalam matrik n
ij
0 dalam λ. Selanjutnya n merupakan order PDP, r menyatakan banyaknya nilai λ yang nol dan s menyatakan banyaknya nilai λ yang positif maka klasifikasi PDP dalam bentuk itu adalah sebagai berikut:
• merupakan PDP hiperbolik bila r = 0 dan s = 1 atau r = 0 dan s = n − 1 • merupakan PDP parabolik bila r > 0 (atau jika det(A = 0) • merupakan PDP eliptik bila r = 0 dan s = 0 atau r = 0 dan s = n • merupakan PDP ultrahiperbolik bila r = 0 dan 1 < s < n − 1 Contoh 3.1.2 Tentukan klasifikasi PDP 3ux
1
x1 +
ux
2
x2 +
4ux
2
x3 +
4ux
3
x3
=0
BAB 3.
13
PDP LINIER ORDER DUA
Penyelesaian 3.1.1 Dengan memahami koefisien-koefisien PDP diatas maka matrik A dapat disajikan dalam:
A =
Ingat ux
2
det(A
x3
= ux
3
koef u x
x1
koef u x
1
x1
koef u x
x1
koef u x
x1
koef u x
1
x1
koef u x
x1
koef u x
x1
koef u x
1
x1
koef u x
x1
1
1
1
x2 dan
1
1
1
=
3 0 0 0 1 2 0 2 4
dibagi 2 sebab permisalan kita 2bαβ .Dengan demikian
− λI) = (3 − λ)λ(λ − 5) = 0, dimana λ
1
= 0, λ1 = 3 dan λ1 = 5. Dapat
disimpulkan bahwa r > 0 sehingga persamaan diatas merupakan PDP parabolik.
3.2
Persamaan Karakteristik
Penyelesaian PDP linier order dua secara analitik jauh lebih sulit dibandingkan PDP linier order satu. Bahkan untuk kasus-kasus tertentu PDP ini tidak dapat diselesaikan dengan cara analitik. Salah satu cara yang paling mungkin adalah mengkaji persamaan karakterirtik dari PDP tersebut. Untuk keperluan ini akan diperkenalkan variabel bebas baru ξ dan η sebagai koordinat transformasi dari variabel bebas x, y ke ξ, η, dimana kedua variabel ini saling bebas (lepas) dan dinyatakan sebagai fungsi ξ = φ(x, y) dan η = ψ(x, y) sehingga φx ψy
−φ ψ y
x
= 0.
Selanjutnya persamaan 3.1 dapat ditulis dalam auxx + 2buxy + cuyy + suku-suku dengan order lebih rendah,
(3.3)
dapat dapat ditransformasikan kedalam bentuk Auξξ + 2Bu ηξ + Cuηη + suku-suku dengan order lebih. rendah
(3.4)
BAB 3.
14
PDP LINIER ORDER DUA
Permasalahan yang muncul sekarang, bagaimana fungsi A, B dan C direpresentasikan. Untuk menentukannya, akan digunakan aturan Chain untuk u(ξ, η) dimana ∂u ∂u ∂ξ ∂u ∂η = + ∂x ∂ξ ∂x ∂η ∂x ux = uξ φx + uη ψx ,
(3.5)
(3.6)
sedangkan ∂u ∂u ∂ξ ∂ u ∂η = + ∂y ∂ξ ∂y ∂η ∂y uy = uξ φy + uη ψy . Turunkan persamaan 3.5 terhadap x satu kali didapat uxx = u ξ φxx + (uξ )x φx + uη ψxx + (uη )x ψx .
(3.7)
Sementara (uξ )x = uξξ φx + uξη ψx (uη )x = uηξ φx + uηη ψx . Substitusikan dua persamaan terakhir ini kedalam persamaan 3.7 didapat uxx = u ξξ φ2x + 2uξη φxψx + uηη ψx2 + uξ φxx + uη ψxx .
(3.8)
Selanjutnya turunkan lagi persamaan 3.5 terhadap y dan juga turunkan persamaan 3.6 terhadap y, dengan cara yang sama didapat uxy = uξξ φx φy + uξη (φx ψy + φy ψx ) + uηη ψx ψy + uξ φxy + uη ψxy (3.9) uyy = uξξ φ2y + 2uξη φy ψy + uηη ψy2 + uξ φyy + uη ψyy .
(3.10)
BAB 3.
15
PDP LINIER ORDER DUA
Substitusikan ekspresi uxx , uxy dan uyy kedalam persamaan 3.3 didapat auxx + 2buxy + cuyy + R = (aφ2x + 2bφx φy + cφ2y )uξξ
+2 aφxψx + b(φx ψy + φy ψx) + cφy ψy uξη +(aψx2 + 2bψx ψy + cψy2 )uηη + R. Dengan demikian fungsi A, B dan C asosiatif dengan A = aφ2x + 2bφx φy + cφ2y B = aφxψx + b(φx ψy + φy ψx ) + cφy ψy C = aψx2 + 2bψx ψy + cψy2 , sehingga auxx + 2buxy + cuyy + R = Au ξξ + 2Bu ξη + Cu ηη + R
(3.11)
dimana R = (aφxx + 2bφxy + cφ yy )uη + (aψxx + 2bψxy + cψyy )uη . Bila φ dan ψ adalah fungsi linier dari x, y maka dapat ditunjukkan bahwa R = 0. Persamaan karakteristik (3.11) dapat dipilih dalam bentuk az x2 + 2bz x z y + cz y2 = 0.
(3.12)
Selanjutnya persamaan karakteristik dari persamaan (3.1) didapat dari menyelesaikan persamaan ady 2
2
− 2bdxdy + cdx
= 0.
(3.13)
Teorema 3.2.1 z (x, y) = γ merupakan persamaan karakteristik dari persamaan (3.1) jika dan hanya jika z (x, y) = γ solusi dari (3.13), dimana γ = konstanta.
BAB 3.
16
PDP LINIER ORDER DUA
Bukti 3.2.1 Misal z (x, y) = γ memenuhi persamaan dari persamaan (3.12) dan z (x, y) = 0. Definisikan suatu fungsi y = f (x, γ ) dimana f x = 0 maka dengan
aturan Chain ∂f ∂x ∂f ∂γ + =0 ∂x ∂x ∂γ ∂x ∂f ∂f ∂γ = ∂x ∂γ ∂x ∂y z x (x, y) = ∂x z y (x, y) f x =
− −
Sekarang bagi persamaan (3.12 dengan z y2 didapat z x z y
a
2
+ 2b
z x + c = 0, z y
Dengan demikian a
∂y ∂x
− 2
2b
∂y + c = 0 ∂x
atau a
dy dx
− 2
2b
dy + c = 0. dx
Dengan kata lain z (x, y) = γ solusi dari (3.13).
Contoh 3.2.1 Tentukan jenis persamaan dan kurva karakteristik PDP berikut ini: 1. 2uxx
− 4u − 6u xy
2. 4uxx + 12uxy 3. uxx
2
− x yu
yy
yy +
ux = 0
− 9u − 2u + u = 0 yy
= 0, y > 0
x
BAB 3.
17
PDP LINIER ORDER DUA
Penyelesaian 3.2.1 No. 1, dipahami bahwa a = 2, b =
−2 dan c = −6 dan
b2
− ac = 16 > 0 sehingga persamaan ini merupakan PDP hiperbolik. Kemudian +4 −6 = 0. dengan menggunakan koefisien-koefisien ini dihasilkan PDB 2 dy 2 dx
Gunakan rumus abc untuk menentukan dy = dx
dy dx
dy didapat dx
−1 ± 2.
Dengan demikian kurva karakteristiknya merupakan solusi PDB tersebut, yaitu x
− y = γ,
atau
3x + y = γ.
Untuk No. 2, dan 3, sebagai latihan individual.
3.3
Bentuk Kanonis
Transformasi dari persamaan difrensial parsial khusus untuk order lebih dari satu dipandang penting. Hal ini berguna dalam proses penyelesaian suatu PDP. Dengan bentuk kanonis suatu PDP dapat disederhanakan sehingga dapat dipertimbangkan apakah persamaan tersebut bisa diselesaikan secara analitik atau tidak. Bila solusi analitik dapat diraih, maka dari bentuk kanonis inilah solusi umum suatu PDP diturunkan. Untuk keperluan ini dibutuhkan fungsi transformasi ξ = φ(x, y) dan η = ψ(x, y). Kemudian permisalkan kedua fungsi ini dalam persamaan karakteristik suatu PDP, selanjutnya lakukan transformasi. Dalam hal ini penentuan bentuk kanonis tergantung pada sisi prinsipal, artinya 1. Bila PDP itu merupakan persamaan hiperbolik maka sisi prinsipalnya adalah uξη atau uξξ
− u
ηη atau
A = C = 0 pada persamaan (3.11).
BAB 3.
18
PDP LINIER ORDER DUA
2. Bila PDP itu merupakan persamaan parabolik maka sisi prinsipalnya adalah uηη atau B = C = 0 pada persamaan (3.11). 3. Bila PDP itu merupakan persamaan eliptik maka sisi prinsipalnya adalah uξξ + uηη atau A = B = 0 pada persamaan (3.11). Sebagai contoh akan ditentukan bentuk kanonis dari 2uxx
− 4u − 6u xy
yy + ux =
0.
PDP ini merupakan persamaan hiperbolik sehingga sisi prinsipalnya adalah uξη atau A = C = 0 untuk persamaan (3.11). Sementara persamaan karateritiknya
− y = γ dan 3x +y = γ . Tetapkan ξ = φ(x, y) = x − y dan ξ = ψ(x, y) = 3x + y, sehingga φ = 1, φ = 0, φ = −1, φ = 0, φ = 0; ψ = 3, φ = 0, ψ = adalah x
x
xx
y
yy
xy
x
xx
y
1, φyy = 0, φxy = 0. Sekarang persamaan (3.11) menjadi 2(aφx ψx + b(φx ψy + φy ψx ) + cφy ψy )uξη + uξ φx + uη ψx = 0 2(2φx ψx
− 2(φ ψ + φ ψ ) − 6φ ψ )u + u φ + u ψ 2 2(1)(3) − 2 (1)(1) + (−1)(3) − 6(−1)(1) u + u (1) + u (3) x y
y
x
y
y
ξη
ξη
ξ x
ξ
η
η
x
= 0 = 0
Dengan demikian bentuk kanonis PDP ini adalah 32uξη + uξ + 3uη = 0. Bandingkan bentuk ini dengan persamaan semula maka jelas diperoleh bentuk yang lebih sederhana. Tidak tertutup kemungkinan bentuk ini dapat diselesaikan secara analitik.
3.4
Sarat Bantu
Ada dua sarat bantu dalam PDP yaitu sarat awal dan sarat batas. Sarat awal adalah kodisi yang dipenuhi suatu PDP dalam domain Ω pada saat awal peristiwa
BAB 3.
19
PDP LINIER ORDER DUA
fisika. Misal suatu persamaan dinyatakan dengan uxx
−u
tt =
0 maka sarat awal
yang mungkin adalah u(x, 0) = f (x). Sarat batas adalah sarat yang terjadi pada batas-batas domain awal dan akhir sustu PDP. Sarat batas ini dikelompokkan dalam tiga jenis sarat batas, yaitu:
• sarat batas Dirichlet u = g • sarat batas Neuman (flux)
∂u ∂n
= g ∂u ∂n
• sarat batas Campuran αu + β
= g
BAB 4 Identitas Pertama dan Kedua Green Identitas Green banyak dipakai dalam pembahasan PDP dengan order lebih tinggi dari satu, dengan demikian informasi ini sangat penting untuk dipahami. Untuk membahas identitas pertama dan kedua Green dibutuhkan konsep dan notasi vektor sehingga dalam bab ini akan didahului dengan definisi dan teorema diferensial vektor ini.
Definisi 4.0.1 Bila f = f (x,y,z ) adalah fungsi dalam C 1 (Ω) dimana Ω
∈
n
maka grad f =
∂f ∂ f i + j + k ∇f = ∂f ∂x ∂y ∂z
adalah gradien dari f . Kemudian jika n adalah vektor satuan di berarah dari f dalam arah n didefinisikan sebagai ∂f = ∂n
∂f ∂ f ∇f · n = ∂f n + n + n ∂x ∂y ∂z 1
20
2
3
3
maka turunan
BAB 4.
21
IDENTITAS PERTAMA DAN KEDUA GREEN
Definisi 4.0.2 Jika w = w(x,y,z ) adalah fungsi dalam C 1 (Ω) dimana Ω
n
∈ ,
atau w = w 1 (x,y,z )i + w2(x,y,z ) j + w3(x,y,z )k maka divergensi dari w adalah div w =
∇ · f = ∂w ∂x
1
+
∂w 2 ∂ w3 + , ∂y ∂z
sehingga div grad f =
f
=
∇ · ∇f
=
=
∇ f
∂ ∂ ∂ ∂x ∂y ∂z
·
∂f ∂f ∂f ∂x ∂y ∂z
T
2
∂ 2 f ∂ 2 f ∂ 2 f = + + . ∂x ∂y ∂z Kemudian disisi lain juga dikenal rotasi f yaitu
rotf =
∇ × f =
i
j
k
∂ ∂x
∂ ∂y
∂ ∂z
f 1 f 2 f 3
Teorema 4.0.1 (Integral Permukaan) Misal G suatu permukaan yang diberikan oleh z = f (x, y), dengan (x, y) di R. Jika f
∈
C 1 (R) dengan g(x,y,z ) =
g(x,y,f (x, y)) kontinyu pada R maka
g(x,y,z )ds =
G
g(x,y,f (x, y)sec γ dA
(4.1)
R
=
R
g(x,y,f (x, y) f x2 + f y2 + 1 dydx
(4.2)
BAB 4.
22
IDENTITAS PERTAMA DAN KEDUA GREEN
k n
γ
Gi
Z=f(x,y) G
A(Gi) ≈ sec γ A(Ri) ≈ sec γ ∆yi ∆xi
Ri
∆ yi
∆ xi R
Gambar 4.1: Luas Permukaan. Selanjutnya andaikata G suatu permukaan dua sisi yang sedemikian mulus dan anggap bahwa ia terendam di dalam fluida dengan suatu medan kecepatan kontinyu F (x, y). Jika
S adalah luas sepotong kecil dari G, maka disana F hampir konstan, dan volume fluida V yang melewati potongan ini dalam arah normal satuan n, lihat Gambar 4.2 adalah V ≈ F · n S . Dengan demikian disimpulkan bahwa fluk F yang melintasi G =
z
n
· G
F n dS
(4.3)
F ∆ S
G
y
x
Gambar 4.2: Fluk medan vektor menembus permukaan. Dalam hal ini juga dapat ditunjukkan bahwa rumus fluks F yang melintasi permukaan G dapat dikembangkan melalui beberapa teorema berikut.
BAB 4.
23
IDENTITAS PERTAMA DAN KEDUA GREEN
Teorema 4.0.2 (Teorema Gauss) Misal F = Mi + N j + P k berupa medan vektor dimana M , N , P
1
1
∈ C (S ) dan M , N , P ∈ C (∂S ) dan bila n merupakan
vektor normal satuan keluar dari ∂S maka
·
F n dS =
∂S
divF dV.
S
Lihat Kalkulus vektor untuk pembuktian
Teorema 4.0.3 (Teorema Divergensi) Jika Ω adlah daerah terbatas dengan batas berupa permukaan mulus sepotong-sepotong S . Misal terdapat sebarang garis memotong S pada titik tertentu, selanjutnya untuk sebuah vektor normal satuan keluar n = n(x) dari S juga w adalah vektor kontinyu dimana w
1
∈ C (Ω)
dan w
¯ ∈ C (Ω) maka 0
∇ ·
w dΩ =
Ω
w n dS
S
·
Teorema 4.0.4 (Identitas Green) Jika u dan v adalah fungsi skalar pada ¯ maka teorema divergensi dan teorema identitas diferensial C 2 (Ω) dan C 1 (Ω), 2
∇ · (u∇v) = ∇u · ∇v + u∇ v akan membentuk rumus identitas Green pertama dan kedua sebagai berikut:
Ω
∂v dimana ∂n =
Ω
2
u
2
∇ v dΩ 2
∇ v − v∇ u) dΩ
(u
∂v ∂v n + ∂y n2 + ∂v n = ∂x 1 ∂z 3
= =
∂v u dS u ∂n S Ω ∂v ∂u (u v ) dS ∂n S ∂n
∇·n
−
− ∇ · ∇v dΩ
(4.4)
(4.5)
BAB 4.
24
IDENTITAS PERTAMA DAN KEDUA GREEN
Bukti 4.0.1 Rumus identitas diferensial memberikan
∇ · (u∇v) u∇ v u∇ v dΩ
=
2
=
2
=
Ω
2
∇u · ∇v + u∇ v ∇ · (u∇v) − ∇u · ∇v ∇ · (u∇v) dΩ − ∇u · ∇v dΩ Ω
Ω
Lihat teorema divergensi =
∇ · − ∇ ·∇ u v n dS
u
S
=
u
S
v dΩ
Ω
∂v dS ∂n
− ∇u · ∇v dΩ Ω
Selanjutnya untuk identitas Green yang kedua dapat dibuktikan sebagai berikut:
Ω
(u
2
2
∇ v − v∇ u) dΩ
=
∇ − u
Ω
=
= =
2
− ∇ − ∇ ·∇ ∇ ·∇ − −
v dΩ
v
2
u dΩ
Ω
∂v dS u v dΩ ∂n S Ω ∂u v dS + v v dΩ ∂n S Ω ∂v ∂u u dS v dS S ∂n S ∂n ∂v ∂u u v dS ∂n ∂n S u
BAB 5 Aplikasi PDP Order Dua 5.1 5.1.1
Vibrasi Vibrasi Pada Senar
Vibrasi pada senar ini adalah suatu perumpamaan vibrasi pada dimensi satu. Pada aplikasi vibrasi dalam PDB peninjauan vibrasi ini hanya terfokus pada waktu t namun dalam PDP ini selain tergantung pada waktu posisi x juga dibicarakan. Misal y(x,t) adalah perpindahan dari titik setimbang pada saat t dan posisi x. Senar sangat fleksibel dan homogen sehingga tegangan merata disepanjang senar. Misal T (x, t) adalah besar tegangan dan ρ adalah densitas senar persatuan panjang maka dengan homogenitas senar gradien pada x + ∆x adalah yx (x, t) atau [1yx ], lihat Gambar 5.1 dan 5.2. Misal T 1 = T (x, t) dan T 2 = T (x+∆x, t) masing-masing tegangan kawat yang terjadi di ujung-ujung P dan Q, maka kondisi dua gelombang, yaitu gelombang longitudinal (horisontal) dan transversal (vertikal) adalah sebagai berikut:
25
BAB 5.
26
APLIKASI PDP ORDER DUA
1. pada gerakan horisontal T 1 cos α = T 2 cos β = T = Konstan T 1 (1) = 1 + yx2
T 2 (1) = T = Konstan 1 + yx2
2. pada gerakan vertikal F = ma ∂ 2 y T 1 sin α = ρ∆x 2 ∂x T 1 yx ∂ 2 y = ρ∆x 2 . ∂x 1 + yx2
T 2 sin β T 2 yx 1 + yx2
− −
y
T(x+∆ x,t) T(x,t)
α
Q
P x + ∆x
x
0
β
l
x
Gambar 5.1: Vibrasi senar dalam sistem koordinat
Q
β
P
α
2 1 + yx y
x
1
Gambar 5.2: Vibrasi senar pada daerah terbatas
BAB 5.
27
APLIKASI PDP ORDER DUA
Bagi kedua ruas dengan T pada gelombang longitudinal maka T 2 sin β T 1 sin α ∆x ∂ 2 y = ρ T 2 cos β T 1 cos α T ∂x 2 1 1 ∂ 2 y [tan β tan α] = ρ . ∆x T ∂x 2
−
−
dy dx
Padahal tan β adalah gradien pada x +∆x sehingga tan β = juga tan α adalah gradien pada x sehingga tan α =
1 dy [ ∆x dx
x+∆x
−
dy dx
x+∆x
, sehingga
x
dy dx
, demikian
ρ ∂ 2 y ]= . 2 T ∂x x
(5.1)
Ingat definisi turunan pertama dari f (x), lim ∆x→0
f (x + ∆x) ∆x
− f (x) = f (x) = ∂f (x) . ∂x
Dengan demikian persamaan (5.1) menjadi
1 dy lim [ ∆x→0 ∆x dx
dy ] = dx x+∆x x ρ yxx = ytt T
−
ρ ∂ 2 y lim ∆x→0 T ∂x 2
Dengan demikian vibrasi pada senar dalam simpangan u adalah utt = c 2 uxx dimana c =
T , ρ
(5.2)
dan persamaan ini disebut juga persamaan umum gelombang
Selanjutnya variasi persamaan gelombang ini dinyatakan sebagai berikut: 2
• bila terdapat gaya redaman u − c u tt
xx +
rut = 0, r > 0 2
• bila terdapat gaya elastisitas transversal u − c u tt
xx +
ku = 0, k > 0
• bila terdapat gaya luar dan bebas dari gaya redaman dan elastisitas transversal u − c u = f (x, t) tt
2
xx
BAB 5. 5.
APLIKA APLIKASI SI PDP PDP ORDER ORDER DUA DUA
5.1.2 5.1.2
Vibras Vibrasii Pada Pada Membra Membran n
28
Misal u(x,y,t) x,y,t) adalah gerak vertikal membran dengan domain D dan tegangan T, lihat lihat Gam Gambar 5.3. 5.3. Sebaga Sebagaim iman anaa pada pada vibr vibrasi asi senar senar diba dibawa wah h ini ini akan akan berlaku.
T 1 + u + ux2 T ux 1 + u + ux2
x+∆x +∆x
= T = Konstan x x+∆x +∆x
x+∆x +∆x
=
ρutt dx
x
x
n
D
u(x,t)
n
n
Gambar 5.3: Vibrasi vertikal membran Dalam dimensi dua tidak lain sama dengan turunan berarah persamaan itu dapat ditransformasikan dalam
∂u ∂ u F = T ds = ds = ∂n s Padahal
∂u ∂n
=
ρutt dxdy = ma
D
= n · ∇u sehingga ∇u · n = n =
∇ ·
T ( T ( u n) ds = ds =
s
=
D
ρutt dD
D
dD = ∇ · (T ∇u) dD =
Sehingga
∇ · (T ∇u) = ρu
tt ,
D
ρutt dD
∂u ∂n
sehingga
BAB 5. 5.
29
APLIKA APLIKASI SI PDP PDP ORDER ORDER DUA DUA
dimana T adalah adalah konst konstant anta. a. Rumus Rumus terakhi terakhirr inilah inilah persamaan persamaan vubrasi vubrasi dalam membran yang dapat ditulis secara umum sebagai berikut: = c 2 utt = c dimana c =
T . ρ
∇ · ∇u
(5.3)
gradu dan dikenal sebagai per ∇ · ∇u = div gradu
Dala Da lam m hal ini ini
samaan Laplace yang dapat dikembangkan menjadi:
• dalam dimensi dua ∇ · ∇u = u = u
xx +
• dalam dimensi tiga ∇ · ∇u = u = u
xx +
uyy uyy + uzz
∇ · ∇u = ∆u sehingga bentuk terumum dari vibrasi adalah
Penulisan
utt = c 2 ∆u
5.2
(5.4)
Difusi
Fenomena difusi banyak terjadi pada perusahaan perusahaan yang mengeloh bahan bahan baku cairan. cairan. Salah Salah satu contoh contoh adalah gerakan gerakan zat pewarna pewarna dalam dalam zat cair. Gerakan Gerakan itu terjadi dari konsentrasi konsentrasi yang lebih tinggi ke konsentrasi konsentrasi yang lebih rendah. Tingkat gerakan berbanding lurus dengan arah konsentrasi (gradien berarah konsentrasi
∂u ) ∂n
yang selanjutnya dikenal dengan hukum difusi ”Fick”.
Misal u Misal u((x, t) adalah besar konsentrasi dengan satuan (massa per satuan pan jang) dari zat pewarna pada posisi x pada pipa dalam waktu t, maka antara posisi x0 dan x1 jumlah massa dinyatakan dalam
x1
M ( M (t) =
x0
u(x, t) dx
BAB 5. 5.
30
APLIKA APLIKASI SI PDP PDP ORDER ORDER DUA DUA
sehingga ∂M ( ∂M (t) = ∂t
x1
ut (x, t) dx.
(5.5)
x0
Dipahami juga bahwa perubahan massa tergantung pada perubahan konsentrasi masuk dan perubahan konsentrasi keluar sehingga ∂M ( ∂M (t) = k( k (ux (x1 , t) ∂t
− u (x , t)), )), x
0
(5.6)
dimana k adalah adalah konsta konstant ntaa proporsi proporsional onalita itas. s. Gabunga Gabungan n persamaan persamaan (5.5) dan (5.6) menghasilkan
x1
ut (x, t) dx = dx = k k((ux (x1 , t)
x0
)), − u (x , t)), x
0
(5.7)
kemudian turunkan terhadap x1 ut (x1 , 1) = ku k uxx (x1 , t), 1
dan ganti x1 = x = x sehingga ut (x, t) = ku k uxx (x, t) atau ut = ku k uxx
(5.8)
merupakan persamaan difusi yang dimaksud. Analog dengan vibrasi, persamaan difusi dapat dikembangkan menjadi
ut dD = dD =
D
Padahal
∂u ∂n
=
k
s
∂u ds, ∂n
lihat persamaan (5.7)
∇u · n = n = n · ∇u sehingga
ut dD =
D
∇ · ∇·
k( u n) ds
s
=
D
=
k
D
(k u) dD
∇
∇ · ∇u dD
BAB 5.
31
APLIKASI PDP ORDER DUA
Sehingga ut = k
∇ · ∇u yang secara umum ditulis sebagai ut = k∆u
atau
5.3
ut = k(uxx + uyy )
dalam dimensi dua
(5.9)
ut = k(uxx + uyy + uzz )
dalam dimensi tiga
(5.10)
Aliran Panas
Penurunan rumus ini akan dikembangkan dari dua definisi khusus yang penulis anggap definisi ini dalam peristiwa fisik d=lahir dari beberapa aksioma-aksioma.
Definisi 5.3.1 Misal B suatu benda pejal diruang, D sebarang daerah pejal di B dengan batas permukaan S , lihat Gambar 5.4.
n
u(x,t)
D n
n
Gambar 5.4: Vibrasi vertikal membran Bila u(x,y,z,t) adalah suhu di titik (x,y,z ) pada B dan v kecepatan aliran panas pada B maka kecepatan itu disajikan dalam v =
−k∇u dimana k adalah
konduktivitas panas pada B. Jumlah panas yang keluar dari daerah D persatuan waktu adalah H out (t) =
· S
v n dS , sedangkan jumlah panas pada D adalah
BAB 5.
H (t) =
32
APLIKASI PDP ORDER DUA
D
cρu dD, dimana c adalah kapasitas panas dan ρ adalah rapat massa
benda per satuan volum. Selanjutnya perubahan panas pada D adalah ∂H (t) = ∂t
cρut dD
(5.11)
D
Definisi 5.3.2 Hukum Fourier mengatakan bahwa aliran panas dari yang bersuhu tinggi ke yang bersuhu lebih rendah sebanding dengan gradien suhu, dengan asumsi bahwa panas tidak akan lenyap kecuali meninggalkan daerah itu hanya melewati batas-batas permukaan S . Dengan demikian perubahan energi panas dalam D sama dengan fluk panas melalui batas-batasnya, yaitu: ∂H = ∂t
S
k(n
· ∇u) dS
(5.12)
Dari (5.11) dan (5.12) dapat dikembangakan
cρut dD =
D
· ∇ ∇ · ∇ k(n
u) dS
S
=
k
( u) dD
D
=
k
D
atau cρut = k
2
∇ u dD
2
∇ u. Dalam bentuk yang paling umum adalah ut = s 2 ∆u
adalah persamaan aliran panas yang dimaksud, dimana s =
k sebuah cρ
kon-
stanta.
5.4
Vibrasi dan Aliran Panas Stasioner
Bila peristiwa fisika tidak berubah dengan adanya perubahan waktu maka dikatakan ut = utt = 0 sehingga kedua peristiwa ini dapat dinyatakan dalam
BAB 5.
APLIKASI PDP ORDER DUA
33
persamaan ∆u = 0
(5.13)
Persamaan ini selanjutnya dinamakan persamaan Laplace dan solusinya dikatakan fungsi harmonik. Sebagai contoh, misal kita menaruh benda panas dalam oven dan ditutup rapat-rapat. Bila tidak ada jumlah panas yang meninggalkan ruang tertutup itu suhunya akan terus konstan dan inilah yang dikatakan sebagai titik setimbang.
BAB 6 Deret Fourier 6.1
Himpunan Fungsi Ortogonal dan Ortonormal
Solusi analitik berdasarkan deret Fourier dikembangkan dari konsep keortogonalan dan keortonormalan fungsi-fungsi, oleh karena itu akan didahulukan pembahasan terhadap konsep ini. Suatu definisi keortogonalan dan keortonornalan yang diungkapkan oleh Powell menyebutkan bahwa
Definisi 6.1.1 Dua fungsi f dan g yang terdefinisi pada interval [a, b] dikatakan ortogonal bila
b a
f (x)g(x) dx = 0.
Sebagai contoh Powell menyebutkan
Contoh 6.1.1 f (x) = sin nx, cos mx untuk n = m dan n, m
g(x) = sin mx atau f (x) = cos nx,
g(x) =
∈ bilangan asli, adalah fungsi-fungsi ortogonal
pada selang interval [0, π]
34
BAB 6.
35
DERET FOURIER
Definisi 6.1.2 Dua fungsi f dan g yang terdefinisi pada interval [a, b] dikatakan ortonormal bila f dan g ortogonal dan juga memenuhi sifat
b a
g2 (x) dx = 1.
sebagai implikasi dari definisi ini maka
f (x)
√
dan
b 2 f (x) a
g(x)
√
b 2 g (x) a
b a
f 2 (x) dx = 1 dan
adalah fungsi-fungsi
ortonormal pada selang [a, b], (1981 : 107-123). Selanjutnya masih meneruskan penjelasan Powell tentang definisi himpunan fungsi ortogonal dan ortonormal
Definisi 6.1.3 Himpunan fungsi-fungsi φ1 , φ2, . . . , φn yang terdefinisi pada interval [a, b] dikatakan himpunan ortogonal pada selang tersebut bila
b
φn (x)φm (x) dx = 0
a
∀n = m
dan dikatakan ortonormal bila
b
φn(x)φm (x) dx =
a
0 Jika m = m
1 Jika m = n
Dengan demikian bila φ1 , φ2 , . . . , φn adalah himpunan fungsi-fungsi ortogonal maka untuk γ n =
b a
φ2n (x) dx
1/2
> 0, himpunan
punan fungsi-fungsi ortonormal.
φ1 φ2 , , . . . , φγ nn γ 1 γ 2
adalah him-
Definisi 6.1.4 Himpunan fungsi-fungsi φ1 , φ2, . . . , φn yang terdefinisi pada interval [a, b] dikatakan ortogonal terhadap fungsi bobot w(x) pada selang tersebut bila
b
w(x)φn(x)φm (x) dx = 0,
a
∀n = m
dan dikatakan ortogonal terhadap fungsi bobot w(x) bila
b
a
w(x)φn (x)φm(x) dx =
0 Jika m = m
1 Jika m = n
BAB 6.
36
DERET FOURIER
Dapat dipahami bahwa definisi 6.1.3 adalah kasus khusus dari definisi 6.1.4 dimana w(x) = 1.
6.2
Deret Fourier Diperumum
Untuk memberikan gambaran bagaimana konsep deret Fourier itu dibangun, diperlukan generalisasi dari beberapa definisi diatas. Beberapa konsep dibawah ini akan mengarahkan pada apa yang disebut dengan deret Fourier.
Definisi 6.2.1 Misal φn (x) himpunan fungsi ortogonal pada interval [a, b] dan f (x) adalah suatu fungsi yang terdefinisi pada selang tersebut, maka bila cn =
b f (x)φn (x) dx a b 2 φ dx a n
, deret dengan ekspresi
∞
cn φn (x),
x
n=1
∈ [a, b]
(6.1)
merupakan deret Fourier diperumum dari f (x) pada interval [a, b] dimana cn
adalah koefisien Fourier dari f (x) terhadap himpunan ortogonal φn (x) untuk n = 1, 2, . . . Dua hal penting yang terjadi pada deret Fourier diperumum ini,
1. bila φn(x) adalah himpunan ortonormal pada [a, b] maka cn menjadi
b
cn =
f (x)φn (x) dx
a
2. bila φn (x) = 1, cos nπx sin nπx pada selang interval [ l, l] maka deret l l (6.1) menjadi
a0 2
+
∞
n=1
an cos
−
nπx l
+ bn sin
nπx l
(6.2)
BAB 6.
37
DERET FOURIER
dimana a0 an bn
1 l = f (x) dx l −l 1 l nπx = f (x)cos dx l −l l 1 l nπx = f (x)sin dx l −l l
(6.3)
(6.4)
(6.5)
Persamaan (6.2) selanjutnya disebut Deret Fourier dari f (x) pada selang ( l, l)
−
dan a0 , an , bn adalah koefisien-koefisien Fourier dengan formulasi pada (6.3), (6.4) dan (6.5).
6.3
Deret Fourier Cosinus dan Sinus
Pada kasus-kasus khusus deret Fourier itu tidak muncul dengan dua suku namun hanya satu suku cosinus atau sinus. Deret Fourier yang seperti ini disebut deret Fourier cosinus atau sinus. Untuk menurunan rumus ini terlebih dahulu dapat diingat kembali fungsi genap dan ganjil. Sebagaimana dijelaskan dalam Seeley
Definisi 6.3.1 Fungsi f (x) dikatakan fungsi genap pada selang interval ( l, l)
− apabila f (x) = f (−x) dan dikatakan fungsi ganjil bila f (x) = −f (x) untuk ∀x ∈ (−l, l). Sebagai contoh Seeley memberikan beberapa kategori
Contoh 6.3.1 Fungsi-fungsi 1. f (x) = a, x , x2 , x4 , x8 , x2n , cos αx, sec αx adalah fungsi-fungsi genap pada
||
selang interval ( l, l) dan (
−
−∞, ∞)
BAB 6.
38
DERET FOURIER
2. f (x) = x, x3 , x5 , x7 , x2n−1 , sin αx, cosec αx, tan αx, ctan αx adalah fungsi fungsi ganjil pada selang interval ( l, l) dan (
−∞, ∞) (1982 :86-95).
−
Beberapa sifat yang dipenuhi fungsi-fungsi genap dan ganjil diberikan dalam aksioma berikut ini.
Aksioma 6.3.1 Bila fungsi f (x) adalah fungsi 1. fungsi ganjil pada selang interval ( l, l) maka
−
l
f (x) dx = 0
−l
2. fungsi genap pada selang interval ( l, l) maka
−
l
l
f (x) dx = 2
−l
f (x) dx
0
Aksioma 6.3.2 Bila 1. f dan g adalah fungsi genap pada selang interval ( l, l) maka f
−
± g,αf,fg
dan f/g, (g = 0) genap pada ( l, l).
−
2. f dan g adalah fungsi ganjil pada selang interval ( l, l) maka f
± g, αf
−
ganjil sedangkan fg dan f/g, (g = 0) genap pada ( l, l).
−
3. f genap dan g ganjil pada selang interval ( l, l) maka fg dan f/g, (g = 0)
−
ganjil pada ( l, l).
−
Dengan demikian bila f (x) terdefinisi pada ( l, l), maka untuk f (x) genap
−
berdasarkan aksioma 6.3.1 dan 6.3.2 deret Fourier (6.2) dari f (x) menjadi
∞ a0 nπx + an cos 2 l n=1
(6.6)
BAB 6.
39
DERET FOURIER
dimana a0 an
2 = l 2 = l
l
f (x) dx
0
l
f (x)cos
0
nπx dx l
Deret (6.6) dikenal sebagai deret Fourier cosinus dari f (x) pada selang ( l, l).
−
Sementara untuk f (x) ganjil deret Fourier (6.2) dari f (x) menjadi
∞
bn sin
n=1
nπx l
(6.7)
dimana bn
2 = l
l
f (x)sin
0
nπx dx l
Deret (6.7) ini dikenal sebagai deret Fourier sinus dari f (x) pada selang ( l, l).
−
Misal f (x) terdefinisi pada selang interval (0, l), maka fungsi f (x) dapat diperluas pada selang ( l, l) sehingga f (x) genap pada selang ini dengan mengambil
−
f (x) = f ( x) untuk ( l, 0). Maka deret Fourier dari f (x) adalah
−
−
∞ a0 nπx + an cos 2 l n=1
(6.8)
dimana a0 an
2 = l 2 = l
l
f (x) dx
0
l
f (x)cos
0
nπx dx l
Deret (6.8) merupakan deret Fourier cosinus dari f (x) pada selang (0, l). Dengan cara yang sama, f (x) dapat diperluas sehingga f (x) adalah ganjil pada selang ( l, l) dengan mengambil f (x) = f ( x) untuk ( l, 0). Maka deret Fourier
−
−
−
dari f (x) adalah
∞
n=1
bn sin
nπx l
(6.9)
BAB 6.
40
DERET FOURIER
dimana 2 = l
bn
l
f (x)sin
0
nπx dx l
Deret (6.7) ini merupakan deret Fourier sinus dari f (x) pada selang (0, l). Sekarang kita tinjau deret Fourier dari f (x) pada selang (a, b). Ambil 2l = b
− a sehingga (a, b) = (a, a + 2l). Dengan mengambil a seagai −l dan b sebagai
l maka deret Fourier dari f (x) pada selang (a, b) ditulis sebagai
∞ a0 2nπx 2nπx + an cos + bn sin 2 b a l n=1
−
(6.10)
dimana a0 = an = bn =
2 b
−a 2
b
−a 2
b
−a
l
f (x) dx
−l l
f (x)cos
−l l
f (x)sin
−l
nπx dx l
nπx dx l
Untuk lebih jelasnya dapat dikuti contoh berikut.
Contoh 6.3.2 Tentukan deret Fourier dari f (x) = x pada selang (0, 1) Penyelesaian 6.3.1 Disini a = 0, b = 1 dengan demikian l = b 2 a0 = 1
1
0
1
f (x) dx = 2
0
x dx = x
2
1
=1 0
− a = 1. Jadi
BAB 6.
41
DERET FOURIER
1
an = 2
1
f (x)cos2nπx dx = 2
0
2 = 2nπ
0
1
0
1 x d(sin 2nπx) = x sin2nπx nπ
1 1 = 0+ cos2nπx 2nπ nπ
1
=
0
1
bn = 2
=
f (x)sin2nπx dx = 2
= =
2 − 2nπ
− − −
− 1 0
1 cos2nπ 2n2 π2
1
sin2nπx dx
0
− 1 = 0
1
0
=
x cos2nπx dx
0
1
0
x d(cos2nπx)
− −
1 x cos2nπx nπ
x sin2nπx dx
1
1
cos2nπx dx
0
0
1 1 cos2nπ sin 2nπx nπ 2nπ 1 1 cos 2nπ = nπ nπ
1 0
Dengan demikian deret Fourier dari f (x) = x pada selang (0, 1) adalah 1 2
−
1 π
∞
n=1
sin2nπx n
Soal-Soal Latihan 1. Tentukan sifat kelinieran, kehomogenan dan order dari PDP dibawah ini (a) ut
−u
xx
(b) ut
−u
xx +
(c) utt
−u
=0 xu = 0
xx +
x2 = 0
(d) ux (1 + u2x )−1/2 + uy (1 + u2y )−1/2 = 0 2. Bila F = x5 y
2
− 2yz
+ 4xyz dan w = x2 yzi + 3xyz 2 j + (x2
tentukan hal berikut ini (a)
∇F, ∇ · w, ∇ × w
(b)
∇ · ∇F, ∇ · (∇ × w)
(c)
∂w , ∂n
dimana n adalah normal vektor satuan w.
3. Selesaikan persamaan partial order pertama berikut ini. (a) 5ut + 3ux = 0, dengan sarat u(x, 0) = sin x (b) 3uy + uxy = 0, (Petunjuk : permisalkan v = u y ) (c) (1 + x2)ux + uy = 0, dengan sarat u(0, y) = y 2
√ (d) 1 − x u + u = 0, dengan sarat u(0, y) = y 2
x
y
(e) yu x + xuy = 0, dengan sarat u(0, y) = e−y 42
2
2
− z )k maka
43 (f) ux + uy = ex+2y , dengan sarat u(x, 0) = y 4. Berilah tanda X untuk menentukan jenis PDP order dua berikut. No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Persamaan 2uxx 4uxy 6uyy + ux = 0 4uxx + 12uxy + 9uyy 2ux + u = 0 uxx x2 yu yy = 0, (y > 0) e2x uxx + 2ex+y uxy + e2y uyy = 0 2uxx 4uxy 6uyy + ux = 0 uxx + 2uxy + 17uyy = 0 2 x uxx + y2 uyy = 0 (x > 0, y > 0) uxx + 2yu xy + xuyy ux + u = 0 2xyu xy + xuy + yu x = 0 uxx 8xyuxy + yu x = 0 12yu xy yu y + xyu xx = 0 20xyu xy (1 + x)uy + x2 yu xy = 0 xyuxy + (x2 1)uy + (1 + y)ux = 0 14(x + 1)yu yy + xuy + yu xy = 0 ux x + 3ux x + 3ux x + ux x + ux x + ux x + ux x = 0
− − −
−
Eliptik
Parabolik
Hiperbolik
−
−
−
− − − −
1
1
2
2
1
2
2
3
3
2
3
1
2
3
Tabel 6.1: PDP order dua menurut jenisnya.
5. Pada soal nomor 4 diatas, masing-masing tentukan kurva karaketeristiknya. 6. Ulangilah soal nomor 4 untuk menentukan bentuk kanonis dari masingmasing persamaan. 7. Selesaikan persoalan dibawah ini. (a) Suatu senar panjangnya 2 m direntangkan dan kedua ujungnya diikat. Kemudian titik tengahnya diangkat (ditarik) setinggi h, dan selanjutnya senar dilepas dengan kecepatan awal nol. Tentukan model PDP getaran senar ini lengkap dengan sarat bantunya.
44 (b) Suatu bola pejal homogen dengan jari-jari R. Misal suhu awal adal f (r), dimana variabel r adalah jarak ke titik pusat bola, dan suhu pada permukaan bola adalah nol, sehingga suhu dalam bola adalah fungsi u(r, t). Tentukan model PDP aliran panas ini. 8. Selesaikan soal-soal berikut ini. (a) Buktikan bahwa f (x) = sin nx dan g(x) = cos mx untuk n = m, dan
n, m elemen bilangan asli adalah ortogonal 1 (b) Buktikan bahwa f (x) = √ sin l
nπx l
1 dan f (x) = √ sin l
mπx l
untuk n = m,
dan n, m elemen bilangan asli adalah ortonormal (c) Buktikan bahwa f n (x) = sin nπx dimana n = 1, 2, . . . adalah himpunan fungsi ortogonal 1 (d) Buktikan bahwa f (x) = √ sin l
nπx l
dimana n = 1, 2, . . . adalah him-
punan fungsi ortonormal (e) Tentukan deret Fourier dari fungsi f (x) = x, (f) Tentukan deret Fourier dari fungsi f (x) = x 2 , 9. Selesaikan soal-soal berikut. (a) L eat ,
at
{ } L{e− } (b) L{sin at }, L{cos at } (c) L{sin at }, L{cos at } (d) L− { }, L− { } (e) L− { }, L− { } (f) sederhanakan L{ay + by + cy = 0 } 1
1
1
1
1
eat
s
1
s2 +a2
1
s
s2 +a2
−π < x < π −π < x < π
45 10. Buktikan bahwa u(x, y) = f (x)g(y) solusi dari PDP uuxy = ux uy untuk seluruh pasangan berurut fungsi yang terdiferensialkan f dan g pada satu variabel. 11. Tunjukkan bahwa un(x, y) = sin nx sinh ny merupakan solusi dari uxx + uyy = 0 untuk setiap n > 0. 12. suatu operator £ dikatakn operator linier bila £(u + v ) = £u + £v £(cv ) = c£v dimana c adalah sebarang konstanta. Selanjutnya PDP £u = 0 adalah merupakan persamaan linier bila £ adalah operator yang linier. Untuk beberapa persamaan dibawah ini nyatakan ordernya, kelinierannya dan kehomogenannya (a) ut
−u
xx +
1=0
(b) ut
−u
xx +
xu = 0
(c) ut
−u
xxt +
uux = 0
xx +
x2 = 0
xx +
u/x = 0
(d) ut t
−u
(e) iut
−u
(f) ux (1 + u2x )−1/2 + uy (1 + u2y )−1/2 = 0 (g) ux + ey uy = 0 (h) ut + uxxxx +
√ 1 + u = 0
13. Selesaikan PDP 2ut + 3ux = 0 dengan u(0, x) = sin x.
46 14. Selesaikan PDP 3uy + uxy = 0 (Petunjuk : Permisalkan v = u y ). 15. Selesaikan PDP (1 + x2 )ux + uy = 0 dengan u(0, y) = y 2. 2
16. Selesaikan PDP yu x + xuy = 0 dengan u(0, x) = e −y . 17. Selesaikan PDP aux + buy + cu = 0. 18. Selesaikan PDP ux + uy + u = e x+2y dengan u(x, 0) = 0. 19. Gunakan metoda koordinat untuk menyelesaikan PDP ux +2uy +(2x y)u =
−
2x2 + 3xy
2
− 2y .
20. Suatu vektor didefinisikan sebagai f (x,y,z ) = x 2 yzi + 3xyz 2 j + (x2
2
− z )k.
Tentukan div f dan rot f . 21. Tentukan fluks keatas dari F =
−yi + xi + 9k yang melintasi permukaan bola z = 9 − x − y ; 0 ≤ x + y ≤ 4. 2
2
2
2
22. Diberikan w = w(x,y,z ) = xi + yj + zk. Misal Ω adalah suatu bola yang berpusat di (0, 0, 0) dengan jari-jari a maka tunjukkan bahwa kasus ini memenuhi teorema divergensi diatas. 23. Amati persamaan difrensial u xx
− 4u
xy +
4uyy = 0.
(a) Berikan informasi lengkap tentang tipe persamaan ini. (b) Tunjukkan bahwa u(x, y) = f (y + 2x) + xg(y + 2x) untuk sebarang f dan g merupakan solusi persamaan tersebut. (Petunjuk : Gunakan substitusi langsung.) (c) Untuk sarat bantu u(0, y) = e −3y+4 dan ux(0, y) = 2y, tentukan solusi khususnya.
47 24. Sebutkan jenis PDP order dua ini, (1 + x)uxx + 2xyuxy
2
−y u
yy =
0, selan-
jutnya tentukan kurva karakteristik dan bentuk kanonisnya. 25. (Teorema Divergensi.) Jika Ω adalah daerah sebarang dengan batas permukaan S , sedangkan n adalah vektor normal satuan kearah luar dari S maka untuk sebarang vektor v
∇ ·
k
∈ C (Ω), k = 0, 1, 2 akan berlaku
v dΩ =
Ω
v n dS.
·
S
Selanjutnya buktikan bahwa untuk sebarang u
∈
C k (Ω) tersebut akan
berlaku (a) (b)
∇ ∇ u Ω Ω
u
2
− ∇u · ∇v dΩ u − v dS v − v ∇ u dΩ =
v dΩ = 2
u ∂v dS S ∂n
Ω
2
S
∂v ∂n
∂u ∂n
26. Dalam fenomena riel suatu PDP akan muncul bersama-sama dengan sarat bantunya yaitu sarat batas dan sarat awal. (a) Tentukan tiga jenis sarat batas yang anda ketahui (b) Bila diberikan model PDP utt = c2 uxx + h(x), u(0, t) = A,
0 < x < l, t > 0
ux (l, t) + αu(l, t) = A
u(x, 0) = f (x),
ut (x, 0) = g(x)
tentukan sarat batas jenis apa yang dimiliki dan sebutkan pula sarat awalnya. (c) Suatu kawat yang panjangnya l direntangkan dan titik tengahnya diangkat (ditarik) setinggi h. Kemudian kawat tersebut dilepas dengan kecepatan awal v(x) sehingga terjadi peristiwa getaran dengan
48 model persamaan u tt = c2 uxx , dimana u(x, t) menunjukkan simpangan getaran kawat. Tentukan sarat bantu peristiwa getaran ini kemudian susun suatu model PDP lengkap dengan sarat bantunya, lihat point (b). 27. Diketahui
f (x) =
1; 2:
0 < x < π π < x < 2π
f (x + 2π)
(a) Gambarlah fungsi tersebut. (b) Tentukan deret Fourier yang sesuai dengan f (x). (c) Berdasarkan jawaban (b) diatas tentukan f (0), f (π) dan f (2π) (d) Dengan memasukkan nilai x = π2 pada deret Fourier soal (b), tentukan deret numerik untuk π4 . 28. f (x) adalah fungsi periodik dengan periode 2π, dan didefinisikan dengan f (x) = x,
−π < x < π
(a) Tentukan deret Fourier yang sesuai untuk f (x). (b) Dengan memasukkan nilai x =
π pada 2
deret Fourier pada soal (a),
tentukan deret berganti-ganti tanda untuk
π 4
(c) Dari deret Fourier (a), hitunglah f (x) untuk x = 29. Hitunglah
0 x e π
sin nxdx
−π dan x = π.
49 30. Tunjukkan bahwa f (x) yang didefinisikan oleh
−
k;
f (x) =
k :
−π < x < 0 0 < x < π
f (x + 2π)
adalah fungsi ganjil, dan gambarlah. Kemudian tentukan deret fourier sinus dari f (x). 31. Tunjukkan bahwa f (x) yang didefinisikan oleh
−
x + 1;
f (x) =
0 < x < π
x + 1 :
−π < x < 0
f (x + 2π)
adalah fungsi genap, dan gambarlah. Kemudian tentukan deret fourier cosinus dari f (x). 32. Deret Fourier f (x) pada selang interval ( l, l) adalah
−
∞ a0 nπ nπ + an cos x + bn sin x 2 l l n=1
dimana a0 , an dan bn adalah koefisien-koefisien Fourier yang terdefinisi secara khusus. Selanjutnya bila
f (x) =
0; 2:
−
π 2
< x < 0
0 < x <
π 2
Tentukan deret Fourier f (x) ini pada selang interval (
−
π π , ) 2 2
