Faktorisasi Lenstra Kurva Eliptik (ECM) Faktorisasi lenstra kurva eliptik atau dikenal dengan nama elliptic curve factorization method (ECM) adalah sebuah faktorisasi integer berbasis kurva eliptik yang di ciptakan pada tahun 1!" oleh #$%$Lenstram #$%$Lenstram &r dan merupakan peningkatan dari metode 'ollard p (p -1)$ -1)$ $ ECM dapat digunakan sebagai algoritma faktorisasi dalam mencari nilai faktorisasi dari integer yang berukuran kecil hingga sedang$ imana ECM masih menadi menadi algoritma terbaik dalam mencari pembagi yang tidak melebihi *+ sampai *" digit$ Kecepatan proses ECM didasarkan pada ukuran terkecil dari faktorisasi prima dari sebuah nilai n faktorisasi$ ECM dapat digunakan dalam menghilangkan faktorisasi kecil dari sebuah bilangan integer yang sangat besar yang memiliki banyak faktor$ ECM 'ada Elliptic Curve, operasi penambahan dan penggandaan titik melibatkan operasi modular inverse$ Misalkan untuk sebuah kurva pada medan Fp yang didefinisikan pada persamaan 1$ -* mod p . /0 a/ b (mod p) (1) dengan 2a0 *3b* 4 + (mod p) maka operasi penambahan dan penggandaan suatu titik pada kurva didefinisikan seperti diba5ah$ 1) Penambahan titik Misal dua buah titik ' (/p,yp) dan 6(/7,y7) pada suatu kurva C maka 8 . (/r,yr) . ' 6 . (s* 9 /p9/7, 9yps(/p9/r)), semua operasi dilakukan dalam modulus p$ : didefinisikan pada persamaan *$ : . (y p9y7);(/ p9/7) mod p (*) 2) Penggandaan titik Misal '(/p,yp) adalah suatu titik pada kurva dengan yp < + maka 8 . *' . (/r,yr) . (s*9*/p,9 yps(/p9/r))$ : didefinisikan pada persamaan 0$ : . (0/ p*a);(*y p) mod p (0) apat dilihat bah5a operasi penambahan dan penggandaan titik (dan uga perkalian skalar) melibatkan operasi modular inverse$ Modular inverse untuk a modulus p ada ika dan hanya ika a dan p relatif prima (gcd(a,m).1)$ engan kata lain ika operasi dalam elliptic curve gagal untuk suatu a maka gcd(a,p) < 1$ #al ini dapat digunakan untuk faktorisasi dengan mengganti p menadi bilangan yang akan difaktorkan dan mencoba mengalikan suatu titik sembarang pada kurva dengan suatu bilangan skalar$ Elliptic Curve Method dapat diringkas sebagai berikut= 1$ 'ilih kurva sembarang modulus n (n adalah bilangan yang akan difaktorkan) lalu pilih titik ' sembarang pada kurva$ *$ 'ilih bilangan bulat k yang sesuai lalu coba lalukan perkalian scalar 6 . k'
>ntuk mempercepat komputasi, dapat digunakan elliptic curve Montgomery form seperti pada persamaan 2$ 'ada model ini, operasi modular inverse tidak diperlukan lagi dalam operasi penambahan maupun penggandaan titik namun faktorisasi tetap dapat dilakukan$ by* . /0 a/* / (2) dengan a,b ∋ ?p dan a* < 2 dan b < +$ engan menggunakan koordinat proective(homogenous) maka persamaan " menadi by*@ . /0 a/*@ /@* (") :ebuah titik pada kurva direpresentasikan sebagai pasangan (/,@)$ Aperasi penambahan dan penggandaan titk pada kurva Montgomery dapat dilihat diba5ah$ 3) Penambahan titik (Montgomery Curve) Misal '1(/1,@1) dan '*(/*,@*) adalah titik9titik pada kurva dan titik '+(/+,@+) . '19'*$ 8(/r,@r) . '1 '* didefinisikan pada persamaan B dan 3$ /r . ((/19@1) (/*@*) (/1@1) (/*9@*))* @+ (mod n) (B) @r . ((/19@1) (/*@*) 9 (/ 1@1) (/*9@*))* /+ (mod n) (3) ) Penggandaan titik (Montgomery Curve) Misal '(/ p,@ p) adalah titik pada kurva$ Ditik 8 (/r ,@r ) . *' didefinisikan pada persamaan ! dan $ /r . (/p@p)* (/p9@p)* (mod n) (!) @r . D((/p,@p)* :D) (mod n) () engan : . (a *);2 dan D . (/ p@ p)* (/ p9@ p)* lgoritma ECM yang diimplementasikan pada makalah ini dap at dilihat pada Gambar 1$
H dalah himpunan bilangan prima dari * hingga batas I1, ⊗C adalah perkalian skalar titik pada suatu kurva C$
